关于特殊函数m_ar的广义凹凸性及不等式

高等数学入门——凹凸性的定义及判定定理
这个系列文章讲解高等数学的基础内容，注重学习方法的培养，对初学者不易理解的问题往往会不惜笔墨加以解释，尽可能与高中数学衔接（高等数学课程需要用到一些高中数学中不太重要的内容，如极坐标，我们会在用到时加以补充介绍）。

并适当舍去了一些难度较大或高等数学课程不作过多要求的内容（例如用ε-δ语言证明极限，以及教材中部分定理的证明）。

本系列文章适合作为初学高等数学的课堂同步辅导，高数期末复习以及考研第一轮复习时的参考资料。

其中涉及的例题大多为扎实基础的常规性题目和帮助加深理解的概念辨析题，难度适中，并选取了一些考研数学中的经典题目。

本系列上一篇见下面的“经验引用”：
29利用函数单调性证明不等式
•高等数学基础知识
方法/步骤
1.单增曲线的两种不同“上升”方式。

2.观察曲线弧上的弦（与曲线弧的位置关系）。

3.曲线凹凸性的定义。

4.从（二阶）导数的角度考察曲线凹凸性。

5.曲线凹凸性的判定定理。

6.判断凹凸性的两个简单例子。

7.附录：定理2的完整证明。

（选读）。

利用凸凹函数证明不等式例38 （105页）证明：当0>i a （i=0,1,2,····,n ）时，有不等式na a a a a a a a a nnn n n+⋅⋅⋅++≤⋅⋅⋅≤+⋅⋅⋅++212121121（调和平均数） （几何平均数） （算术平均数）证明 分别证明两个不等式，首先证明右端不等式。

设x x f ln )(-=，),0(∞∈x ， >=''21)(xx f 0， 根据定理10推论知，f(x)在),0(∞内为凸函数，由詹生不等式，令()+∞∈=,0i i a x ，有n a n a n a n a n an a n nln ln ln ln 2121-⋅⋅⋅---≤⎪⎭⎫⎝⎛+⋅⋅⋅++- 或 ,ln ln ln ln ln 211121121n n n n n n n a a a a a a n a a a ⋅⋅⋅-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⋅⋅++-≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⋅⋅++-即nn a a a ⋅⋅⋅21na a a n+⋅⋅⋅++≤21。

其次证明左端不等式，只须令()∞∈=,01ii a x ，有 n a n a n a n a a a n n1ln 1ln 1ln 111ln 2121-⋅⋅⋅---≤⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⋅⋅⋅++-， 或()()nn n n a a a a a a na a a n 1212121ln ln ln ln 1111ln⋅⋅⋅=⋅⋅⋅++≤⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⋅⋅⋅++， 即n n na a a a a a n⋅⋅⋅≤+⋅⋅⋅++2121111综上所证有na a a a a a a a a nnn n n+⋅⋅⋅++≤⋅⋅⋅≤+⋅⋅⋅++212121121。

例42 （107页）证明：当,,,2,1,0n i a i ⋅⋅⋅=>且0,0,1>>≥βαβα时，有不等式 ααααβββ121121⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⋅⋅++≤⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⋅⋅++n a a a n a a a n bn 。

函数凸凹性在高考解题中的应用
函数凸凹性在高考解题中的应用
函数凸凹性是高等数学研究的函数重要性质之一,虽然在高中数学的课标中没有对凸凹函数做具体要求,但是它的身影在高考试题中却频频出现.充分说明了高考命题源于课本，又高于课本的原则，同时也体现了高考为高校输送优秀人才的选拔性功能.下面仅就函数凸凹性的一个侧面在高考题中的应用做初步论述.
一、凹凸函数的定义及相关定理
引理：
定理：
证明:
二、定理在高考题中的应用
以下就2012年高考试题中出现的若干有关凸凹性的试题来说明定理的解题应用价值.
例一
分析
另一种解法
解后反思
解法一基于题目代数条件、放缩求最值，解法自然，但仅停留在条件到结论的表面计算，部分学生由于计算量大和讨论繁琐而望而却步；解法二简洁明快，直观性较强，且揭示了试题立意的本质即是基于函数凹凸性立意.
例二
评注
例三
2014年长春第二次质量监测
解答。

函数凸凹性在高考解题中的应用一隅函数凸凹性是高等数学研究的函数重要性质之一,虽然在高中数学的课标中没有对凸凹函数做具体要求,但是它的身影在高考试题中却频频出现. 充分说明了高考命题源于课本，又高于课本的原则，同时也体现了高考为高校输送优秀人才的选拔性功能.下面仅就函数凸凹性的一个侧面在高考题中的应用做初步论述.一、凹凸函数的定义及相关定理定义：如果函数()f x 对其定义域中任意的1x ，2x 都有如下不等式[])()(21)2(2121x f x f x x f +≤+ （1） 成立，则称)(x f 是下凸（凸）函数(如图1所示)，当且仅当21x x =时等号成立． 如果函数()f x 对其定义域中任意的1x ，2x 都有如下不等式[])()(21)2(2121x f x f x x f +≥+ （2） 成立，则称)(x f 是上凸（凹）函数(如图2所示)，当且仅当21x x =时等号成立．从几何意义来看，不等式（1）表示定义域中任意两点1x ，2x 的中点M 所对应的曲线上的点Q 位于弦上对应点P 的下面．不等式（2）则有相反的意义．引理：设函数)(x f 在开区间I 上可导，则(1))(x f 在区间I 上为上凸函数⇔导函数)(x f '在区间I 单调减少．(2))(x f 在区间I 上为下凸函数⇔导函数)(x f '在区间I 单调增加．定理：若函数)(x f 在开区间),(b a 上为下凸函数且可导，),(00y x P 为其图像上一点，则函数)(x f 的图像必在P 点处函数切线的上方；反之，若函数)(x f 在开区间),(b a 上为上凸函数且可导，则函数)(x f 的图像必在P 点处函数切线的下方.证明:由函数)(x f 在开区间I 上可导,从而P 点处函数切线方程为000))((y x x x f y +-'=记000))(()()(y x x x f x f x F --'-=,)()()(0x f x f x F '-'='当)(x f 在开区间),(b a 上为下凸函数时,由引理得)(x F 在0x x =处取得最小值0,即,0)(≥x F 也即000))(()(y x x x f x f +-'≥,∴即证函数)(x f 的图像在P 点处函数切线的上方;同理可得,若函数)(x f 在开区间),(b a 上为上凸函数且可导，则函数)(x f 的图像必在P 点处函数切线的下方.二、定理在高考题中的应用以下就2012年高考试题中出现的若干有关凸凹性的试题来说明定理的解题应用价值. 例1.(新课标∙理21) 已知函数()f x 满足满足121()(1)(0)2x f x f ef x x -'=-+； （1）求()f x 的解析式及单调区间；（2）若21()2f x x ax b ≥++，求(1)a b +的最大值。

凹凸函数的概念在数学中，凹凸函数是一个非常重要的概念，凹凸函数广泛应用于优化问题和计算机图形学等领域。

凹凸函数一般用于描述图像或函数图像的形状，合理使用凹凸函数能够使问题得到更好的解决。

首先，我们来定义一下凹凸函数。

凹凸函数是定义在某一区间上的实值函数，如果该函数的定义域内任意两点的连线都在该函数的图像上方，那么这个函数就是凸函数；如果该函数的定义域内任意两点的连线都在该函数的图像下方，那么这个函数就是凹函数。

从图像上来看，凸函数的函数值形成的图像曲线是朝上凸起的，而凹函数的函数值形成的图像曲线是朝下凸起的。

凸函数的一个重要性质是，在凸函数上任意两点的线段都完全位于函数上方。

这意味着，如果我们想要最小化某个凸函数的取值，那么最小值一定在函数的一个顶点上取得。

凸函数还有一个重要的性质是对于任意的两个$x,y$和$\lambda$(其中$\lambda$取值在$[0,1]$之间)，都有如下不等式成立：$$f(\lambda x + (1-\lambda)y)\leq \lambda f(x) + (1-\lambda)f(y)$$这个不等式被称为凸函数的Jensen不等式。

这个不等式的意义在于，对于任意两个点$x,y$，函数$f$在它们的中点$\lambda x + (1-\lambda)y$的值大于等于$y$和$f$的线性插值，这意味着凸函数的图像总是朝上方的。

凹函数同样也具有类似的性质和不等式。

对于任意的两个$x,y$和$\lambda$，都有以下不等式成立：$$f(\lambda x + (1-\lambda)y)\geq \lambda f(x) + (1-\lambda)f(y)$$这个不等式被称为凹函数的Jensen不等式。

这个不等式的意义在于，对于任意两个点$x,y$，函数$f$在它们的中点$\lambda x + (1-\lambda)y$的值小于等于$y$和$f$的线性插值，这意味着凹函数的图像总是朝下方的。

凹凸函数在不等式证明中的巧用唐才祯1 莫玉忠2 李金继3摘要：本文从凹凸函数原始定义出发，导出其等价的解析不等式.同时从凹凸函数的几何特征导出另一个与凹凸函数原始定义等价的解析不等式.然后利用所得不等式来推导一些常用的不等式，提供了一种不等式证明的技巧.关键词：凹函数；凸函数；不等式；几何特征不等式在数学问题中是经常碰到的，常用的不等式证明方法有初等数学中的综合法、分析法、比较法和数学归纳法]1[，高等数学中常用的方法是利用函数的单调性、极大、极小值法和泰勒展式等方法]2[ .本文介绍利用凹凸函数的定义及其几何特征在不等式证明中的应用.一． 凹凸函数定义及几何特征凹凸函数是区分函数增减方式的两种不同类型的函数，即：虽然函数单调增加，但却可有如图1中的两种方式增加，把形如)(1x f 的增长方式的函数称为凸函数，而形如)(2x f 的增长方式的函数称为凹函数，其精确定义为1．定义]3[设函数)(x f 在区间I 有定义,若)1,0(,,21∈∀∈∀t I x x 有))()1()())1((()()1()())1((21212121x f t x tf x t tx f x f t x tf x t tx f -+≥-+-+≤-+ ……（1） 则称)(x f 在区间I 是凸函数（凹函数）.根据函数的凸凹定义，不难证明，若函数)(x f 在区间I 是凹的，则函数一)(x f 在区间I 就是凸的，从而，我们从凸函数特征的讨论可在凹函数上适用.为了便于使用，通常把不等式（1）改写成如下等价形式：如：设1,1,2121=--==q q t q t q 有. ))1,0(,(21∈q q则（1）式可改写为)()()(22112221x q x f q x q x q f +≤+ (2)2． 凸函数的几何特征：如图，设21,A A 是凸函数y=)(x f 曲线上两点，它们对应的横坐标),(,2121x x x x x ∈<，则存在1,0,2121=+>q q q q ,使得1作者简介： 唐才祯（1963－），男， 广西灵川人，中教一级， 广西医科大学附中. 2作者简介： 莫玉忠（1969－），女， 广西金秀人，讲师， 柳州师专数学系.3作者简介： 李金继（1963－），男，广西灵川人， 灵川化肥厂.,2211x q x q x +=,过点x 作ox 轴的垂线交函数于A ，交21A A 于B ，则（2）式左端即为A 点纵坐标，右端即为B 点纵坐标，因此，凸函数的几何意义就是：其函数曲线任意两点1A 与2A 之间的部分位于弦21A A 的下方或曲线在任一点切线上方.根据以上几何特征，下面推导一个关于凸函数的直接不等式，设)(x f y =为函数，21A A 为)(x f 上的任一弦，设)(,()),(,(222111x f x A x f x A ，不妨设21x x < ，则直线 21A A 的方程为),()()()(112121x x x x x f x f x f y ---+= ),(21x x x ∈ 从而由上所述凸函数几何性质有),()()()()(112121x f x x x x x f x f x f ≤---+ ),(21x x x ∈……（3） 3． 凸函数的判断凸函数的判别准则在一般教材均有述及，下面是[4]中的一个判别凸函数准则： 定理 设)(x f 在),(b a 上二阶可导，则)(x f 在),(b a 上是凸函数的充要条件是 0)(≥''x f下面我们将从不等式（2）、（3）出发，适当选取2121,,,x x q q 来证明一些不等式.二． 等式（2）的应用不等式（2）是凸函数定义的一个等价形式，所以不等式（2）的应用实际上是凸函数定义的直接应用，（2）式的一个直接结果是出詹生（Jenson ）不等式.命题 若函数)(x f 在区间I 是凸的，则有不等式)()()()(22112211n n n n x f q x f q x f q x q x q x q f +++≤+++ )4( 其中1,,,2,1,0,21=+++=>∈n i i q q q n i q I x 且，其证明可参见[3]，在此略.如在（2）及（4）式中，适当选取)(x f 的表达式，将可巧妙地证明一些不等式.例1． 证明不等式n x x x n x x x p n p p p n +++≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+++ 2121其中 .0,,;1211≥≥n x x x q证明：设,0,)(>=x x x f p 则2)1()(''--=p x p p x f ，由条件可知.0)(''≥x f 从而p x x f =)(为凸函数.取n q q q n 121==== ，再由Jenson 不等式（4）有 n x x x n x x x p n p p p n +++≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+++ 2121例2．证明不等式y y x x y x y x ln ln 2ln )(+≤++ 0,>y x . 证明：取x x x f ln )(=，0>x .1ln )('+=x x f ，.0,01)(''>>=x x x f 如取21,221===q q n .由Jenson 不等式有 y y x x y x y x ln ln 2ln 2+≤++ 即有 y y x x y x y x ln ln 2ln )(+≤++ 三． 不等式（3）的应用 不等式（3）是由凸函数的几何特征得到的，要得到所要证的不等式，需据所给出的不等式形式适当选取21,x x 的值，所以这种方法具有一定的构造性，灵活性，难度相对大些.例3． 证明杨格（young ）不等式：.111,0,,=+>+<qp b a q b p a ab q p 证明：取.ln )(x x f =显然其为凹函数，直线AB 的方程为)(ln ln ln 112121x x x x x x x y ---=-，取)1,0('),,()'1('2121∈∈-+=p x x x p x p x 则 212112121ln )'1(ln '))'1()1'((ln ln ln x p x p x p x p x x x x x y -+=-+---+= 如取.111'1,1',,21qp p p p b x a x q p =-=-=== 由（3）式 q p q p b qa pb q a p ln 1ln 1)11ln(+>+ b a b qa p q p .ln )11ln(>+ 又因为x ln 在定义域上为严格增函数，所以有q p b qa pb a 11.+<. 例4 证明不等式0,,2)2(>+≤+b a b a b a nn n 证明：此例是例1的特例，下面用不等式（3）的方法给予证明.取)(,0,)(x f x x x f y n则>==为凸函数，由（3）式有 21)(21,,),()()()()(2121112121=+=+=+=---+<x x x b a b x b a a x x x x x x f x f x f x f 取从而有)21()()()()21(b a a ba ab a b b a a b a b b a a n n n n +-+-++++++<，化简后得： )(21)2(n n n b a b a +≤+. 结语：综上所述，利用凸函数定义及几何特性证明不等式，关键是要根据所要证不等式，选取相关的函数及适当的21,x x 选取，此法虽具有一定的构造性，但证明的过程却相对简洁.参考文献：[1].梁永固，等，初等代数研究，广东高等教育出版社，1989[2].纪乐刚，等，数学分析，华东师范大学出版社，1993[3].刘玉琏，等，数学分析讲义，高等教育出版社，1996[4].朱来义，等，微积分，高等教育出版社，2000。