2021年高中数学模块知识基础过关学案(文理通用)模块七 导数(原卷版)

专题六《导数》讲义6.1导数的几何意义——切线知识梳理.导数的几何意义1．导数的概念(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数一般地，称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率lim Δx→0f（x0＋Δx）－f（x0）Δx＝limΔx→0ΔyΔx为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0f（x0＋Δx）－f（x0）Δx．(2)导数的几何意义函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)．(3)函数f(x)的导函数称函数f′(x)＝limΔx→0f（x＋Δx）－f（x）Δx为f(x)的导函数．2．基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)＝c(c为常数)f′(x)＝0f(x)＝x n(n∈Q*)f′(x)＝nx n－1f(x)＝sin x f′(x)＝cos_xf(x)＝cos x f′(x)＝－sin_x f(x)＝a x(a>0且a≠1)f′(x)＝a x ln_af(x)＝e x f′(x)＝e xf(x)＝log a x(x>0，a>0且a≠1)f′(x)＝1x ln af(x)＝ln x (x>0)f′(x)＝1 x3.导数的运算法则(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)．(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)．(3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f （x ）g （x ）′＝f ′（x ）g （x ）－f （x ）g ′（x ）[g （x ）]2(g (x )≠0)．4．复合函数的导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．题型一. 在某点的切线1．函数f （x ）＝xlnx ﹣x 3﹣x +1的图象在x ＝1处的切线方程是 ． 2．直线y ＝kx +1与曲线y ＝x 3+ax +b 相切于点A （1，3），则2a +b 的值为 ． 3．已知曲线y =1e x +1，则曲线的切线斜率取得最小值时的直线方程为（ ） A ．x +4y ﹣2＝0 B ．x ﹣4y +2＝0C ．4x +2y ﹣1＝0D ．4x ﹣2y ﹣1＝0题型二. 过某点的切线1．已知函数f （x ）＝x 2﹣5x +7，求经过点A （1，2）的曲线f （x ）的切线方程． 2．已知直线y ＝x +1与曲线y ＝ln （x +a ）相切，则a 的值为（ ） A ．1B ．2C ．﹣1D ．﹣23．已知曲线C ：f （x ）＝x 3﹣ax +a ，若过曲线C 外一点A （1，0）引曲线C 的两条切线，它们的倾斜角互补，则a 的值为（ ） A ．278B ．﹣2C ．2D ．−278题型三. 已知切线求参数的取值范围1．函数f （x ）＝ax 2−13x 3（x ＞0）的图象存在与直线x ﹣y +2＝0平行的切线，则实数a 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，﹣1]B ．[1，+∞）C ．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）D ．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）2．已知过点A（a，0）作曲线C：y＝x•e x的切线有且仅有两条，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣4）∪（0，+∞）B．（0，+∞）C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）3．已知函数y=12x2的图象在点(x0，12x02)处的切线为直线l，若直线l与函数y＝lnx，x∈（0，1）的图象相切，则x0必满足条件（）A．0＜x0＜1B．1＜x0＜√2C．√2＜x0＜√3D．√3＜x0＜2题型四. 距离最值问题1．若点P是函数f（x）＝x2﹣lnx上任意一点，则点P到直线x﹣y﹣2＝0的最小距离为．2．（2012·全国）设点P在曲线y=12e x上，点Q在曲线y＝ln（2x）上，则|PQ|最小值为（）A．1﹣ln2B．√2(1−ln2)C．1+ln2D．√2(1+ln2)题型五. 公切线问题1．设函数f(x)=p(x−1x)−2lnx，g(x)=2e x．若直线l与函数f（x），g（x）的图象都相切，且与函数f（x）的图象相切于点（1，0），求p的值；2．若直线y＝kx+b是曲线y＝lnx+2的切线，也是曲线y＝ln（x+1）的切线，则b＝．3．若存在a＞0，使得函数f（x）＝6a2lnx+4ax与g（x）＝x2﹣b在这两函数图象的公共点处的切线相同，则b的最大值为（）A．1e2B．12e2C．13e2D．3e2课后作业.切线1．函数f （x ）＝ln （x 2+1）的图象在点（1，f （1））处的切线的倾斜角为（ ） A ．0B ．π2C ．π3D ．π42．已知：过点M （m ，0）可作函数f （x ）＝x 2﹣2x +t 图象的两条切线l 1，l 2，且l 1⊥l 2，则t ＝（ ） A ．1B ．54C ．32D ．23．已知函数f （x ）＝2lnx +x 2+ax ，若曲线y ＝f （x ）存在与直线2x ﹣y ＝0平行的切线，则实数a 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，﹣2]B ．（﹣∞，﹣2）C ．（﹣2，+∞）D ．[﹣2，+∞）4．若函数f （x ）＝lnx 与函数g （x ）＝x 2+2x +lna （x ＜0）有公切线，则实数a 的取值范围是（ ） A ．（0，1） B ．(0，12e) C ．（1，+∞） D ．(12e，+∞)。

专题17 函数与导数压轴解答题常考套路归类【命题规律】函数与导数是高中数学的重要考查内容，同时也是高等数学的基础，其试题的难度呈逐年上升趋势，通过对近十年的高考数学试题，分析并归纳出五大考点：（1）含参函数的单调性、极值与最值； （2）函数的零点问题；（3）不等式恒成立与存在性问题； （4）函数不等式的证明． （5）导数中含三角函数形式的问题其中，对于函数不等式证明中极值点偏移、隐零点问题、含三角函数形式的问题探究和不等式的放缩应用这四类问题是目前高考函数与导数压轴题的热点．【核心考点目录】核心考点一：含参数函数单调性讨论 核心考点二：导数与数列不等式的综合问题 核心考点三：双变量问题 核心考点四：证明不等式 核心考点五：极最值问题 核心考点六：零点问题核心考点七：不等式恒成立问题核心考点八：极值点偏移问题与拐点偏移问题 核心考点九：利用导数解决一类整数问题 核心考点十：导数中的同构问题 核心考点十一：洛必达法则核心考点十二：导数与三角函数结合问题【真题回归】1．（2022·天津·统考高考真题）已知a b ∈R ，，函数()()sin ,x f x e a x g x =-=(1)求函数()y f x =在()()0,0f 处的切线方程； (2)若()y f x =和()y g x =有公共点， （i ）当0a =时，求b 的取值范围； （ii ）求证：22e a b +>．2．（2022·北京·统考高考真题）已知函数()e ln(1)x f x x =+． (1)求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； (2)设()()g x f x '=，讨论函数()g x 在[0,)+∞上的单调性； (3)证明：对任意的,(0,)s t ∈+∞，有()()()f s t f s f t +>+．3．（2022·浙江·统考高考真题）设函数e()ln (0)2f x x x x=+>． (1)求()f x 的单调区间；(2)已知,a b ∈R ，曲线()y f x =上不同的三点()()()()()()112233,,,,,x f x x f x x f x 处的切线都经过点(,)a b ．证明：（ⅰ）若e a >，则10()12e a b f a ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭； （ⅰ）若1230e,a x x x <<<<，则22132e 112e e6e 6e a ax x a --+<+<-． （注：e 2.71828=是自然对数的底数）4．（2022·全国·统考高考真题）已知函数()e e ax x f x x =-． (1)当1a =时，讨论()f x 的单调性；(2)当0x >时，()1f x <-，求a 的取值范围； (3)设n *∈N21ln(1)n n +>++．5．（2022·全国·统考高考真题）已知函数1()(1)ln f x ax a x x=--+． (1)当0a =时，求()f x 的最大值；(2)若()f x 恰有一个零点，求a 的取值范围．6．（2022·全国·统考高考真题）已知函数()ln xf x x a xx e -=+-．(1)若()0f x ≥，求a 的取值范围；(2)证明：若()f x 有两个零点12,x x ，则121x x <．7．（2022·全国·统考高考真题）已知函数()x f x e ax =-和()ln g x ax x =-有相同的最小值． (1)求a ；(2)证明：存在直线y b =，其与两条曲线()y f x =和()y g x =共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．【方法技巧与总结】1、对称变换主要用来解决与两个极值点之和、积相关的不等式的证明问题．其解题要点如下：（1）定函数（极值点为0x ），即利用导函数符号的变化判断函数单调性，进而确定函数的极值点x 0．（2）构造函数，即根据极值点构造对称函数0()()(2)F x f x f x x =--，若证2120x x x > ，则令2()()()x F x f x f x=-． （3）判断单调性，即利用导数讨论()F x 的单调性．（4）比较大小，即判断函数()F x 在某段区间上的正负，并得出()f x 与0(2)f x x -的大小关系．（5）转化，即利用函数()f x 的单调性，将()f x 与0(2)f x x -的大小关系转化为x 与02x x -之间的关系，进而得到所证或所求．【注意】若要证明122x x f +⎛⎫' ⎪⎝⎭的符号问题，还需进一步讨论122x x +与x 0的大小，得出122x x +所在的单调区间，从而得出该处导数值的正负．构造差函数是解决极值点偏移的一种有效方法，函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中．某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用．因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的．根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧．许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效2121212ln ln 2x x x xx x -+<-证明极值点偏移：①由题中等式中产生对数； ②将所得含对数的等式进行变形得到1212ln ln x x x x --；③利用对数平均不等式来证明相应的问题．3、 比值代换是一种将双变量问题化为单变量问题的有效途径，然后构造函数利用函数的单调性证明题中的不等式即可．【核心考点】核心考点一：含参数函数单调性讨论 【规律方法】1、导函数为含参一次型的函数单调性导函数的形式为含参一次函数时，首先讨论一次项系数为0，导函数的符号易于判断，当一次项系数不为雩，讨论导函数的零点与区间端点的大小关系，结合导函数图像判定导函数的符号，写出函数的单调区间．2、导函数为含参二次型函数的单调性当主导函数（决定导函数符号的函数）为二次函数时，确定原函数单调区间的问题转化为探究该二次函数在给定区间上根的判定问题．对于此二次函数根的判定有两种情况：（1）若该二次函数不容易因式分解，就要通过判别式来判断根的情况，然后再划分定义域； （2）若该二次函数容易因式分解，令该二次函数等于零，求根并比较大小，然后再划分定义域，判定导函数的符号，从而判断原函数的单调性．3、导函数为含参二阶求导型的函数单调性当无法直接通过解不等式得到一阶导函数的符号时，可对“主导”函数再次求导，使解题思路清晰．“再构造、再求导”是破解函数综合问题的强大武器．在此我们首先要清楚()()()f x f x f x '''、、之间的联系是如何判断原函数单调性的．（1）二次求导目的：通过()f x ''的符号，来判断()f x '的单调性；（2）通过赋特殊值找到()f x '的零点，来判断()f x '正负区间，进而得出()f x 单调性． 【典型例题】例1．（2023春·山东济南·高三统考期中）已知三次函数()()32111212322f x ax a x x =+---.(1)当3a =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程， (2)讨论()y f x =的单调性.例2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()()2122ex f x x a x a -⎡⎤=+-+-⎣⎦，R a ∈，讨论函数()f x 单调性；例3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()()212ln 212f x a x x a x =+-+，a ∈R ，求()f x 的单调区间.例4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()()()22ln 211f x x ax a x a =---+∈R .求函数()f x 的单调区间；核心考点二：导数与数列不等式的综合问题 【规律方法】在解决等差、等比数列综合问题时，要充分利用基本公式、性质以及它们之间的转化关系，在求解过程中要树立“目标意识”，“需要什么，就求什么”，并适时地采用“巧用性质，整体考虑”的方法．可以达到减少运算量的目的．【典型例题】例5．（2023·江苏苏州·苏州中学校考模拟预测）已知函数()1ln f x x a x x=--.(1)若不等式()0f x ≥在()1,+∞上恒成立，求实数a 的取值范围； (2)证明：()()()22211ln 21ni n n i i n n =+-⎛⎫>⎪+⎝⎭∑.例6．（2023春·重庆·高三统考阶段练习）已知函数()e (2)2,x f x x a ax a =-++∈R ． (1)当1a =时，求曲线()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程； (2)若不等式()0f x ≥对0x ∀≥恒成立，求实数a 的范围； (3)证明：当111,1ln(21)23n n n*∈++++<+N ．例7．（2023春·福建宁德·高三校考阶段练习）已知函数()e ax f x x =-（12a ≥）. (1)(0,1)x ∈，求证：1sin ln 1x x x<<-；(2)证明：111sin sin sin()23f n n+++<.(ln20.693,ln3 1.099≈≈)核心考点三：双变量问题 【规律方法】破解双参数不等式的方法：一是转化，即由已知条件入手，寻找双参数满足的关系式，并把含双参数的不等式转化为含单参数的不等式；二是巧构函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值；三是回归双参的不等式的证明，把所求的最值应用到双参不等式，即可证得结果． 【典型例题】例8．（2023春·江苏苏州·高三苏州中学校考阶段练习）已知函数()()ln 1R f x x ax a =-+∈. (1)若过原点的一条直线l 与曲线()y f x =相切，求切点的横坐标；(2)若()f x 有两个零点12x x ，，且212x x >，证明：①1228>e x x ； ②2212220+>e x x .例9．（2023春·湖南长沙·高三长郡中学校考阶段练习）已知函数2()e ,2xmx f x m =-∈R . (1)讨论()f x 极值点的个数；(2)若()f x 有两个极值点12,x x ，且12x x <，证明:()()122e f x f x m +<-.例10．（2023·全国·高三专题练习）巳知函数()ln(3)f x x x =+-. (1)求函数f （x ）的最大值; (2)若关于x 的方程e ln3,(0)3x a a a x +=>+有两个不等实数根x x ₁，₂，证明: 122e e x xa+>.核心考点四：证明不等式 【规律方法】利用导数证明不等式问题，方法如下：（1）直接构造函数法：证明不等式()()f x g x >（或()()f x g x <）转化为证明()()0f x g x ->（或()()0f x g x -<），进而构造辅助函数()()()h x f x g x =-；（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数． （4）对数单身狗，指数找基友 （5）凹凸反转，转化为最值问题 （6）同构变形 【典型例题】例11．（2023·全国·高三校联考阶段练习）已知函数()()22ln ,f x x ax bx a b =-+∈R ．(1)当0b =时，讨论()f x 的单调性;(2)设12,x x 为()f x 的两个不同零点，证明：当()0,x ∈+∞时，()()12212124sin 2e x x f x x x x +-+<++．例12．（2023·全国·高三校联考阶段练习）已知2()(ln 1)f x x x =+． (1)求()f x 的单调递增区间； (2)若124()()ef x f x +=，且12x x <，证明12ln()ln 21x x +>-．例13．（2023·江苏·高三专题练习）已知函数()ln m x nf x x+=在()()1,1f 处的切线方程为1y =. (1)求实数m 和n 的值；(2)已知()(),A a f a ，()(),B b f b 是函数()f x 的图象上两点，且()()f a f b =，求证：()()ln ln 1a b ab +<+.核心考点五：极最值问题 【规律方法】利用导数求函数的极最值问题．解题方法是利用导函数与单调性关系确定单调区间，从而求得极最值．只是对含有参数的极最值问题，需要对导函数进行二次讨论，对导函数或其中部分函数再一次求导，确定单调性，零点的存在性及唯一性等，由于零点的存在性与参数有关，因此对函数的极最值又需引入新函数，对新函数再用导数进行求值、证明等操作．【典型例题】例14．（2023春·江西鹰潭·高三贵溪市实验中学校考阶段练习）已知函数()31,R 3f x x ax a a =-+∈.(1)当1a =-时，求()f x 在[]22-,上的最值； (2)讨论()f x 的极值点的个数.例15．（2023·江西景德镇·高三统考阶段练习）已知函数21()(2)e e,()2x f x x g x a x x ⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭，其中a 为大于0的常数，若()()()F x f x g x =-． (1)讨论()F x 的单调区间；(2)若()F x 在()1x t t =≠取得极小值，求()g t 的最小值．例16．（2023·浙江温州·统考模拟预测）已知0a >，函数()()()F x f x g x =-的最小值为2，其中1()e x f x -=，()ln()g x ax =．(1)求实数a 的值；(2)(0,)∀∈+∞x ，有(1)1(e )f x m kx k g x +-≥+-≥，求2mk k -的最大值．核心考点六：零点问题 【规律方法】函数零点问题的常见题型：判断函数是否存在零点或者求零点的个数；根据含参函数零点情况，求参数的值或取值范围．求解步骤：第一步：将问题转化为函数的零点问题，进而转化为函数的图像与x 轴（或直线y k =）在某区间上的交点问题；第二步：利用导数研究该函数在此区间上的单调性、极值、端点值等性质，进而画出其图像； 第三步：结合图像判断零点或根据零点分析参数． 【典型例题】例17．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()()2e 2x m f x x m =+∈R ． (1)若存在0x >，使得()0f x <成立，求m 的取值范围；(2)若函数()()2e e x F x x f x =+-有三个不同的零点，求m 的取值范围．例18．（2023·全国·高三专题练习）设0a >，已知函数()e 2xf x a x =--，和()()ln 22g x x a x =-++⎡⎤⎣⎦.(1)若()f x 与()g x 有相同的最小值，求a 的值；(2)设()()()2ln 2F x f x g x a =++-有两个零点，求a 的取值范围.例19．（2023春·广西·高三期末）已知函数()()ln e axxf xg x x ax ==-，. (1)当1a =时，求函数()f x 的最大值；(2)若关于x 的方()()f x g x +=1有两个不同的实根，求实数a 的取值范围.核心考点七：不等式恒成立问题 【规律方法】1、利用导数研究不等式恒成立问题的求解策略：（1）通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； （2）利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题；（3）根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．2、利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解： （1）x D ∀∈，()()min m f x m f x ≤⇔≤； （2）x D ∀∈，()()max m f x m f x ≥⇔≥； （3）x D ∃∈，()()max m f x m f x ≤⇔≤； （4）x D ∃∈，()()min m f x m f x ≥⇔≥．3、不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：一般地，已知函数()y f x =，[],x a b ∈，()y g x =，[],x c d ∈． （1）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∀∈，有()()12f xg x <成立，则()()maxmin f x g x <； （2）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f xg x <成立，则()()maxmax f x g x <；（3）若[]1,x a b ∃∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f xg x <成立，则()()minmax f x g x <；（4）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f xg x =成立，则()f x 的值域是()g x 的值域的子集．【典型例题】例20．（2023·广西南宁·南宁二中校考一模）已知函数()ln 1f x x =+.(1)若函数()()1g x mf x x =+-的图象在1x =处的切线与直线2y x =平行，求函数()g x 在1x =处的切线方程；(2)求证：当12a ≤时，不等式()1af x a +≤在[1,e]上恒成立.例21．（2023·上海·高三专题练习）已知函数()(1)e (R x f x x ax a =--∈且a 为常数）. (1)当0a =，求函数()f x 的最小值；(2)若函数()f x 有2个极值点，求a 的取值范围；(3)若()ln e 1x f x x ≥-+对任意的,()0x ∈+∞恒成立，求实数a 的取值范围.例22．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()()()e 1ln ln 0x f x a x a x a =+--⋅>．(1)若e a =，求函数()f x 的单调区间； (2)若不等式()1f x <在区间()1,+∞上有解，求实数a 的取值范围．核心考点八：极值点偏移问题与拐点偏移问题 【规律方法】1、极值点偏移的相关概念所谓极值点偏移，是指对于单极值函数，由于函数极值点左右的增减速度不同，使得函数图像没有对称性．若函数)(x f 在0x x =处取得极值，且函数)(x f y =与直线b y =交于),(),,(21b x B b x A 两点，则AB 的中点为),2(21b x x M +，而往往2210x x x +≠．如下图所示．图1 极值点不偏移 图2 极值点偏移极值点偏移的定义：对于函数)(x f y =在区间),(b a 内只有一个极值点0x ，方程)(x f 的解分别为21x x 、，且b x x a <<<21，（1）若0212x x x ≠+，则称函数)(x f y =在区间),(21x x 上极值点0x 偏移；（2）若0212x x x >+，则函数)(x f y =在区间),(21x x 上极值点0x 左偏，简称极值点0x 左偏；（3）若0212x x x <+，则函数)(x f y =在区间),(21x x 上极值点0x 右偏，简称极值点0x 右偏．【典型例题】例23．（2022•浙江期中）已知函数()f x x lnx a =--有两个不同的零点1x ，2x ． （1）求实数a 的取值范围； （2）证明：121x x a +>+．例24．（2021春•汕头校级月考）已知，函数()f x lnx ax =-，其中a R ∈． （1）讨论函数()f x 的单调性； （2）若函数()f x 有两个零点， ()i 求a 的取值范围；()ii 设()f x 的两个零点分别为1x ，2x ，证明：212x x e >．例25．（2022•浙江开学）已知a R ∈，()ax f x x e -=⋅（其中e 为自然对数的底数）． （ⅰ）求函数()y f x =的单调区间；（ⅰ）若0a >，函数()y f x a =-有两个零点x ，2x ，求证：22122x x e +>．核心考点九：利用导数解决一类整数问题 【规律方法】分离参数、分离函数、半分离 【典型例题】例26．已知函数()ln 2f x x x =--． （1）求函数在()()1,1f 处的切线方程（2）证明：()f x 在区间()3,4内存在唯一的零点；（3）若对于任意的()1,x ∈+∞，都有()ln 1x x x k x +>-，求整数k 的最大值．例27．已知函数211()ln 2f x x x x a a ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭，(0)a ≠． （1）当12a =时，求函数()fx 在点()()1,1f 处的切线方程；（2）令2()()F x af x x =-，若()12F x ax <-在()1,x ∈+∞恒成立，求整数a 的最大值．（参考数据：4ln 33<，5ln 44<）．例28．已知函数()ln 2f x x x =--．（1）证明：()f x 在区间()3,4内存在唯一的零点；（2）若对于任意的()1,x ∈+∞，都有()ln 1x x x k x +>-，求整数k 的最大值．核心考点十：导数中的同构问题【规律方法】1、同构式：是指除了变量不同，其余地方均相同的表达式2、同构式的应用：（1）在方程中的应用：如果方程()0f a =和()0f b =呈现同构特征，则,a b 可视为方程()0f x =的两个根（2）在不等式中的应用：如果不等式的两侧呈现同构特征，则可将相同的结构构造为一个函数，进而和函数的单调性找到联系．可比较大小或解不等式．<同构小套路>①指对各一边，参数是关键；②常用“母函数”：()xf x x e =⋅，()xf x e x =±；寻找“亲戚函数”是关键；③信手拈来凑同构，凑常数、x 、参数；④复合函数（亲戚函数）比大小，利用单调性求参数范围． （3）在解析几何中的应用：如果()()1122,,,Ax y B x y 满足的方程为同构式，则,A B 为方程所表示曲线上的两点．特别的，若满足的方程是直线方程，则该方程即为直线AB 的方程（4）在数列中的应用：可将递推公式变形为“依序同构”的特征，即关于(),n a n 与()1,1n a n --的同构式，从而将同构式设为辅助数列便于求解【典型例题】例29．（2022·河北·高三阶段练习）已知函数()ln f x x x =． （1）讨论()f x 的单调性；（2）设a ，b 为两个不相等的正数，且b a a b =，证明：2111e a b<+<．例30．（2022·河南郑州·二模（文））已知函数()e 21e xf x x =⋅-+，()ln 2xg x x=+． （1）求函数()g x 的极值；（2）当x >0时，证明：()()f x g x ≥例31．（2022·河南省浚县第一中学模拟预测（理））已知函数()()e x f x ax a =-∈R ．（1）讨论f （x ）的单调性．（2）若a ＝0，证明：对任意的x >1，都有()4333ln f x x x x x ≥-+．核心考点十一：洛必达法则 【规律方法】法则1、若函数()f x 和()g x 满足下列条件： （1）()lim 0x af x →=及()lim 0x ag x →=；（2）在点a 的去心邻域()(),,a a a a εε-⋃+内，()f x 与()g x 可导且()0g x '≠； （3）()()limx af x lg x →'='，那么()()lim x a f x g x →=()()lim x a f x l g x →'='．法则2、若函数()f x 和()g x 满足下列条件：（1）()lim 0x f x →∞=及()lim 0x g x →∞=； （2）0A ∃>，()f x 和()g x 在(),A -∞与(),A +∞上可导，且()0g x '≠； （3）()()limx f x l g x →∞'='，那么()()limx f x g x →∞=()()limx f x l g x →∞'='．法则3、若函数()f x 和()g x 满足下列条件： （1）()lim x af x →=∞及()lim x ag x →=∞；（2）在点a 的去心邻域()(),,a a a a εε-⋃+内，()f x 与()g x 可导且()0g x '≠； （3）()()limx af x lg x →'='， 那么()()limx af xg x →=()()limx af x lg x →'='． 注意：利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意： （1）将上面公式中的x a →，,x x →+∞→-∞，x a +→，x a -→洛必达法则也成立． （2）洛必达法则可处理00，∞∞，0⋅∞，1∞，∞，，∞-∞型．（3）在着手求极限以前，首先要检查是否满足00，∞∞，0⋅∞，1∞，∞，，∞-∞型定式，否则滥用洛必达法则会出错．当不满足三个前提条件时，就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用，应从另外途径求极限．（4）若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止．()()()()()()limlimlimx ax ax a f x f x f x g x g x g x →→→'''=='''，如满足条件，可继续使用洛必达法则． 【典型例题】例32．已知函数()=ln (,)f x a x bx a b R +∈在12x =处取得极值，且曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与直线10x y -+=垂直．（1）求实数,a b 的值；（2）若[1,)x ∀∈+∞，不等式()(2)mf x m x x≤--恒成立，求实数m 的取值范围．例33．设函数()1x f x e -=-．（1）证明：当1x >-时，()1xf x x ≥+； （2）设当0x ≥时，()1xf x ax ≤+，求a 的取值范围．例34．设函数sin ()2cos xf x x=+．如果对任何0x ≥，都有()f x ax ≤，求a 的取值范围．22sin 2sin 2sin (sin )x x x x x x =-=-核心考点十二：导数与三角函数结合问题 【规律方法】 分段分析法【典型例题】例35．（2023·河南郑州·高三阶段练习）已知函数()1sin e xx f x x -=+，ππ,2x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦． (1)求证：()f x 在ππ,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增；(2)当[]π,0x ∈-时，()sin e cos sin xf x x x k x --⎡⎤⎣⎦恒成立，求k 的取值范围．例36．（2023春·江苏苏州·高三苏州中学校考阶段练习）已知函数()sin ()cos f x x x a x =-+（a 为常数），函数3211()32g x x ax =+.(1)证明：（i ）当0x >时，sin x x >； （ii ）当0x <时，sin x x <；(2)证明：当0a ≥时，曲线()y f x =与曲线()y g x =有且只有一个公共点.例37．（2023·全国·高三专题练习）已知函数π()e sin sin ,[0,π]4xf x x x x ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭.(1)若1a ≤，判断函数()f x 的单调性； (2)证明：e (π)1sin cos x x x x -+≥-.【新题速递】1．（2023·北京·高三专题练习）已知1x =是函数()()ln ln ln 21xf x x ax x=-+++的一个极值点． (1)求a 值；(2)判断()f x 的单调性；(3)是否存在实数m ，使得关于x 的不等式()f x m ≥的解集为()0,∞+?直接写出m 的取值范围．2．（2023春·广东广州·高三统考阶段练习）已知()214ln 2f x x x a x =-+． (1)若函数()f x 在区间(0,)+∞上单调递增，求实数a 的取值范围； (2)若函数()f x 有两个极值点12,x x ，证明：()()1210ln f x f x a +>-+．3．（2023春·广东广州·高三统考阶段练习）已知函数()()2e 21xf x x ax =+-，其中R a ∈，若()f x 的图象在点()()0,0f 处的切线方程为210x by ++=． (1)求函数()f x 的解析式；(2)求函数()f x 在区间[]3,1-上的最值．4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数2()1f x x =-，()ln(1)g x m x =-，R m ∈. (1)若直线:20l x y -=与()y g x =在(0,(0))g 处的切线垂直，求m 的值；(2)若函数()()()h x g x f x =-存在两个极值点1x ，2x ，且12x x <，求证：()()1122x h x x h x >.5．（2023·北京·高三专题练习）已知函数()2e x f x =，直线:2l y x b =+与曲线()y f x =相切．(1)求实数b 的值；(2)若曲线()y af x =与直线l 有两个公共点，其横坐标分别为(,)m n m n <． ①求实数a 的取值范围； ②证明：()()1f m f n ⋅>．6．（2023春·陕西西安·高三统考期末）已知函数()()33ln af x x a x x=--+． (1)当0a =时，求函数()f x 的单调区间；(2)若[]1,e x ∀∈，()0f x <，求实数a 的取值范围．7．（2023·四川资阳·统考模拟预测）已知函数()31f x x ax =-+．(1)当1a =时，过点()1,0作曲线()y f x =的切线l ，求l 的方程； (2)当0a ≤时，对于任意0x >，证明：()cos f x x >．8．（2023·四川资阳·统考模拟预测）已知函数()22e xx f x ax +=++． (1)若()f x 单调递增，求a 的取值范围；(2)若()f x 有两个极值点12,x x ，其中12x x <，求证：2133x x a ->-．9．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()()43,R,04a f x x ax bx ab a =--∈≠ (1)若0b =，求函数()f x 的单调区间；(2)若存在0R x ∈，使得()()00f x x f x x =+-，设函数()y f x =的图像与x 轴的交点从左到右分别为A ，B ，C ，D ，证明：点B ，C 分别是线段AC 和线段BD 的黄金分割点.（注：若线段上的点将线段分割成两部分，且其中较长部分与全长之比等于较短部分与较长部分之比，则称此点为该线段的黄金分割点）10．（2023·江西景德镇·统考模拟预测）已知函数()()2e e xf x x =-+，()()2112g x a x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，()()ln 1ln h x x x a =-+，其中a 为常数，若()()()()F x f x g x h x =-+.(1)讨论()F x 的单调区间；(2)若()F x 在()1x t t =≠取得极小值，且()()f t mh t ≥恒成立，求实数m 的取值范围.11．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，过点P (2，0)作直线l 交抛物线于A ，B 两点．(1)若l 的倾斜角为π4，求△F AB 的面积；(2)过点A ，B 分别作抛物线C 的两条切线1l ，2l 且直线1l 与直线2l 相交于点M ，问：点M 是否在某定直线上？若在，求该定直线的方程，若不在，请说明理由．12．（2023春·江西赣州·高三赣州市赣县第三中学校考期中）已知函数()21ln 2f x x ax =-，()()21e 112x g x x ax a x =--+-，(1)求函数()y f x =的单调区间；(2)若对于定义域内任意x ，()()f x g x ≤恒成立，求实数a 的取值范围．。

学习界的专题13 利用导数解决函数的极值、最值【高考地位】导数在研究函数的极值与最值问题是高考的必考的重点内容，已由解决函数、数列、不等式问题的辅助工具上升为解决问题的必不可少的工具，特别是利用导数来解决函数的极值与最值、零点的个数等问题，在高考中以各种题型中均出现，对于导数问题中求参数的取值范围是近几年高考中出现频率较高的一类问题，其试题难度考查较大.类型一利用导数研究函数的极值例1 已知函数f (x) =+ ln x ，求函数f (x)的极值.x【变式演练1】（极值概念）【西藏日喀则市拉孜高级中学2020 届月考】下列说法正确的是（）A.当f '(x0 ) = 0 时，则f (x0 ) 为f (x) 的极大值B.当f '(x0 ) = 0 时，则f (x0 ) 为f (x) 的极小值C.当f '(x0 ) = 0 时，则f (x0 ) 为f (x) 的极值D.当f (x0 ) 为f (x) 的极值且f '(x0 ) 存在时，则有f '(x0 ) = 0【变式演练2】（图像与极值）【百师联盟2020 届高三考前预测诊断联考全国卷1】如图为定义在R 上的函数f (x)=ax3 +bx2 +cx +d (a ≠ 0)的图象，则关于它的导函数y =f '(x)的说法错误的是（）A．f '(x)存在对称轴B．f '(x)的单调递减区间为⎛-∞,1 ⎫2 ⎪ ⎝⎭C．f '(x)在(1, +∞)上单调递增D．f '(x)存在极大值【变式演练3】（解析式中不含参的极值）【江苏省南通市2020 届高三下学期高考考前模拟卷】已知函数f (x)=(ax2 +x +1)e x ，其中e是自然对数的底数，a ∈R .（1）当a = 2 时，求f (x )的极值；（2）写出函数f (x )的单调增区间；（3）当a = 0 时，在y 轴上是否存在点P，过点P 恰能作函数f (x)图象的两条切线？若存在，求出所有这样的点；若不存在，请说明理由.【变式演练4】（解析式中含参数的极值）【四川省德阳市2020 届高三高考数学（理科）三诊】已知函数f (x )=ax - 2 ln x - 2 ，g (x )=axe x - 4x ．（1）求函数f (x )的极值；（2）当a > 0 时，证明：g (x )- 2 (ln x -x +1)≥ 2 (ln a - ln 2 )．【变式演练5】（由极值求参数范围）【黑龙江省哈尔滨一中2020 届高三高考数学（理科）一模】已知函数学习界的007f ( x ) = x ln x -1 (m + 1) x2 - x 有两个极值点，则实数m 的取值范围为（）2A ． ⎛ - 1 , 0⎫B ． ⎛-1, 1 -1⎫C ． ⎛ -∞, 1 -1⎫ ）D ． (-1, +∞)e ⎪ e⎪ e⎪ ⎝ ⎭ ⎝⎭⎝⎭【变式演练 6】（由极值求其他）【四川省江油中学 2020-2021 学年高三上学期开学考试】已知函数f ( x ) = 1x 3 + ax 2 + bx (a , b ∈ R ) 在 x = -3 处取得极大值为 9.3（1） 求 a ， b 的值；（2） 求函数 f (x ) 在区间[-4, 4] 上的最大值与最小值.类型二 求函数在闭区间上的最值万能模板内 容使用场景 一般函数类型解题模板第一步 求出函数 f (x ) 在开区间(a , b ) 内所有极值点；第二步 计算函数 f (x ) 在极值点和端点的函数值；第三步 比较其大小关系，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.例 2 【河南省天一大联考 2020 届高三阶段性测试】已知函数 f ( x ) = ln x - x ， g ( x ) = ax 2+ 2x (a < 0) .（1） 求函数 f( x ) 在⎡1 , e ⎤上的最值； ⎢⎣ e ⎥⎦（2） 求函数 h( x ) = f (x ) + g (x ) 的极值点.【变式演练 7】（极值与最值关系）【安徽省皖江联盟 2019-2020 学年高三上学期 12 月联考】已知函数 f ( x ) 在区间(a , b ) 上可导，则“函数 f ( x ) 在区间(a , b ) 上有最小值”是“存在 x 0 ∈(a ,b ) ，满足 f '(x 0 ) = 0 ”的⎨ 1 （）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【变式演练 8】（由最值求参数范围）【湖北省武汉市 2020 届高三下学期六月模拟】若函数⎧a ln x - x 2 - 2 (x > 0 )f ( x ) = ⎪x + + a (x < 0) 的最大值为 f (-1) ，则实数a 的取值范围为（ ）⎩⎪ xA ． ⎡⎣0, 2e 2 ⎤⎦B ． ⎡⎣0, 2e 3⎤⎦C ． (0, 2e 2⎤⎦D ． (0, 2e 3⎤⎦【变式演练 9】（不含参数最值）【安徽省江淮十校 2020-2021 学年高三上学期第一次联考】已知函数f (x ) = cos 2 x s in 2x ，若存在实数 M ，对任意 x 1 , x 2 ∈R 都有 f ( x 1 ) - f (x 2 ) ≤ M 成立.则 M 的最小值为（）A.3 38B.32C.3 3 4D.2 3 3【变式演练 10】（含参最值）【重庆市经开礼嘉中学 2020 届高三下学期期中】已知函数f (x ) = (x - a - 1)e x -1 - 1x 2 + ax , x > 02（1） 若 f (x ) 为单调增函数，求实数 a 的值；（2） 若函数 f (x ) 无最小值，求整数 a 的最小值与最大值之和.【高考再现】1.【2018 年全国普通高等学校招生统一考试数学（江苏卷）】若函数 ƒ(x ) = 䂸x 3 — t x 䂸 + 1(t C R )在(t h + œ) 内有且只有一个零点，则 ƒ(x )在[ — 1h 1]上的最大值与最小值的和为．2【. 2018 年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标 I 卷）】已知函数 ƒ x = 䂸sinx + sin 䂸x ，则 ƒ x的最小值是 ．3. 【2020 年高考全国Ⅱ卷理数 21】已知函数 f (x ) = sin 2x sin 2x ．3 381 2 n （1） 讨论 f ( x ) 在区间(0,π) 的单调性；（2） 证明： f (x ) ≤ ；（3） 设 n ∈ N *，证明： sin 2x sin 22x sin 24x sin 22nx ≤ 3 ． 4n4. 【2020 年高考天津卷 20】已知函数 f (x ) = x3+ k ln x (k ∈ R ) ， f ' (x ) 为 f ( x ) 的导函数．（Ⅰ）当 k = 6 时，（i ） 求曲线 y = f ( x ) 在点(1, f (1)) 处的切线方程；（ii ）求函数 g (x ) = f (x ) - f '(x ) + 9的单调区间和极值；x（Ⅱ）当 k - 3 时，求证：对任意的 x , x ∈[1, +∞) ，且 x> x ， 有 f '( x ) + f ' (x ) > f (x 1 )- f (x 2 ) ． 1 2 1 2 2x - x 1 25. 【2018 年全国卷Ⅲ理数】已知函数 ƒ x = 䂸+ x + tx 䂸 ln 1 + x — 䂸x ．（1） 若 t = t ，证明：当— 1 ǹ x ǹ t 时，ƒ x ǹ t ；当 x Σ t 时，ƒ x Σ t ；（2） 若 x = t 是 ƒ x 的极大值点，求 t ．6. 【2018 年全国普通高等学校招生统一考试文科】设函数 ƒ(x ) = [tx 䂸 — (3t + 1)x + 3t + 䂸]e x .（Ⅰ）若曲线 y = ƒ(x )在点(䂸h ƒ(䂸))处的切线斜率为 0，求 a ；（Ⅱ）若 ƒ(x)在 x = 1 处取得极小值，求 a 的取值范围.7. 【2018 年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（天津卷）】设函数 ƒ(x )=(x — t 1)(x — t 䂸)(x — t 3)，其中t 1h t 䂸h t 3 C R ,且t 1h t 䂸h t 3是公差为 d 的等差数列.（I ）若t 䂸 = t h d = 1h 求曲线 y = ƒ(x )在点(t h ƒ(t ))处的切线方程；（II ） 若 d = 3，求 ƒ(x)的极值；4 4 （III ） 若曲线 y = ƒ(x) 与直线 y =— (x — t 䂸) — 6 3有三个互异的公共点，求d 的取值范围.【反馈练习】1.【2020 届高三 6 月质量检测巩固卷数学（文科）】若函数 f ( x ) = e x (-x 2 + 2x + a )在区间(a , a +1) 上存在最大值，则实数a 的取值范围为（）⎛ -1 A ．, -1 + 5 ⎫ B ． (-1, 2)2 2 ⎪ ⎝ ⎭⎛ -1 C ． 2 ⎫ , 2⎪⎛ -1 D ．2⎫, -1⎪ ⎝ ⎭⎝⎭2. 【黑龙江省大庆市第四中学 2020 届高三下学期第四次检测】若函数 f (x ) = ae x- 1在其定义域上只有 3x个极值点，则实数a 的取值范围（）⎛ e 2 ⎫⎛ e 2 ⎫ A ． -∞, - ⎪ (1, +∞)⎝⎭ B ． -∞, - ⎪⎝⎭C ． ⎛-e , -1 ⎫ (1, +∞)D ． ⎛-∞, - 1 ⎫4e 2 ⎪ e ⎪ ⎝ ⎭⎝ ⎭xx2 x3. 【湖北省金字三角 2020 届高三下学期高考模拟】已知函数 f ( x ) = e + - ln x 的极值点为1 ，函数 2g ( x ) = e x + x - 2 的零点为 x ，函数 h ( x ) = ln x的最大值为x ，则（ ） 2 2x 3A. x 1 > x 2 > x 3B. x 2 > x 1 > x 3C. x 3 > x 1 > x 2D. x 3 > x 2 > x 14. 【湖北省宜昌一中、龙泉中学 2020 届高三下学期 6 月联考】已知函数（ff (e ) = 1，当 x ＞0 时，下列说法正确的是（）ex ）满足 x 2 f '(x ) + 2xf (x ) = 1+ ln x ，① f (x ) 只有一个零点；② f (x ) 有两个零点；- 5 + 5 - 5③ f (x) 有一个极小值点；④ f (x) 有一个极大值点A．①③B．①④C．②③D．②④5.【山东省潍坊市2020届高三6月高考模拟】已知函数f(x)的导函数f'(x)=x4(x-1)3(x-2)2(x-3)，则下列结论正确的是（）A．f (x)在x = 0 处有极大值B．f (x )在x = 2 处有极小值C. f (x)在[1, 3]上单调递减D．f (x )至少有3 个零点6.【云南省曲靖市2020 届高三年级第二次教学质量监测】已知实数a, b 满足0 ≤a ≤1，0 ≤b ≤ 1 ，则函数f (x)=x3 -ax2 +b2 x +1 存在极值的概率为（）A．1B．3C．16 6 3D.37.【云南省红河自治州2019-2020 学年高三第二次高中毕业生复习统一检测】下列关于三次函数f ( x) =ax3 +bx2 +cx +d (a ≠ 0) ( x ∈R) 叙述正确的是（）①函数f (x) 的图象一定是中心对称图形；②函数f (x) 可能只有一个极值点；③当x ≠-b时，f (x) 在x =x 处的切线与函数y = f (x) 的图象有且仅有两个交点；0 3a 0④当x ≠-b时，则过点(x, f (x))的切线可能有一条或者三条．0 3a 0 0A．①③B．②③C．①④D．②④8.【2020 届江西省分宜中学高三上学期第一次段考】已知e 为自然对数的底数，设函数f (x)=1 x2 -ax +b ln x 存在极大值点x ，且对于a 的任意可能取值，恒有极大值f (x )< 0 ,则下列结论2 0 0bb ( ) 中正确的是()A. 存在 x 0= ,使得f (x 0 ) < - 12eB. 存在 x 0= ，使得f (x 0 ) > -e 2C.b 的最大值为e 3D.b 的最大值为 2e 2ax 2⎛ 1 , 3⎫9. 【四川省内江市 2020 届高三下学期第三次模拟考试】函数f （x ）＝ 2+（1﹣2a ）x ﹣2ln x 在区间 2 ⎪⎝ ⎭内有极小值，则 a 的取值范围是（）A ． ⎛ -2, -1 ⎫B ． ⎛-2, -1 ⎫3 ⎪2 ⎪ ⎝ ⎭⎝ ⎭C ． ⎛ -2, - 1 ⎫ ⋃⎛ - 1 , +∞⎫D ． ⎛ -2, - 1 ⎫ ⋃ ⎛ - 1 , +∞ ⎫ 3 ⎪ 3 ⎪ 2 ⎪ 2 ⎪ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭⎝ ⎭ ⎝ ⎭10.【河北省衡水中学 2019-2020 学年高三下学期期中】已知函数 f (x ) =(x2- a )2- 3 x 2 -1 - b ，当时（从①②③④中选出一个作为条件），函数有 .（从⑤⑥⑦⑧中选出相应的作为结论，只填出一．组．即可）1 3 5 9① a ≤ - ② < a < ③ a = 1 ，-2 < b < 0 ④ a = 1 ，- < b < -2 或b = 0 ⑤4 个极小值点⑥1 个极小值点2 2 2 4⑦6 个零点⑧4 个零点1. 【福建省漳州市 2020 届高三高考数学（文科）三模】已知函数 f (x ) = ( x + 3) e x- 2m ， m ∈ R .（1）若 m = 3，求 f ( x ) 的最值；2（2）若当 x ≥ 0 时， f (x - 2) + 2m ≥ 1 mx 2+ 2x +1 ，求 m 的取值范围.e 212. 【安徽省合肥七中、三十二中、五中、肥西农兴中学 2020 届高三高考数学（文科）最后一卷】已知函数 f (x ) = 1 x 2- 2x + a ln x ， a > 1 . 2e（1） 讨论 f( x ) 的单调性；（2）若f (x )存在两个极值点x1 、x2 ，求f (x1 )+f (x2 )的取值范围.13.【2020 届安徽省芜湖市高三下学期教育教学质量监测】已知函数f (x)=ae x + 2e -x+(a - 2 )x .（1）若y =f (x )存在极值，求实数 a 的取值范围；（2）设1 ≤a ≤ 2 ，设g (x)= f (x)-(a + 2)cos x 是定义在⎛-∞,π ⎤上的函数.2 ⎥⎝⎦（ⅰ）证明：y =g'(x )在⎛-∞,π ⎤上为单调递增函数( g'(x)是y =g (x )的导函数)；2 ⎥⎝⎦ （ⅱ）讨论y =g (x )的零点个数.14.【广东省惠州市2021 届高三上学期第一次调研】已知函数f (x) =x- ln(ax) ．a（1）若a > 0 ，求f (x) 的极值；（2）若e x ln x +mx 2 +(1 -e x )x +m ≤ 0 ，求正实数m 的取值范围．15.【北京五中2020 届高三（4 月份）高考数学模拟】设函数f（x）＝me x﹣x2+3，其中m∈R.（1）如果f（x）同时满足下面三个条件中的两个：①f（x）是偶函数；②m＝1；③f（x）在（0，1）单调递减.指出这两个条件，并求函数h（x）＝xf（x）的极值；（2）若函数f（x）在区间[﹣2，4]上有三个零点，求m 的取值范围.16.【辽宁省锦州市渤大附中、育明高中2021 届高三上学期第一次联考】已知函数f (x) =ae x - cos x -x(a ∈R).（1）若 a = 1 ，证明：f (x) ≥ 0 ；（2）若f (x) 在(0,π) 上有两个极值点，求实数 a 的取值范围.17.【西南地区名师联盟2020 届高三入学调研考试】已知函数f (x)=1x3 +bx2 +cx ，b 、c 为常数，且3学习界的007- 1< b < 1， f '(1) = 0 . 2（1）证明： -3 < c < 0 ；（2）若 x 是函数 y = f (x ) - cx 的一个极值点，试比较 f ( x - 4) 与 f (-3) 的大小. 0218.【山东省威海荣成市 2020 届高三上学期期中】某水产养殖公司在一片海域上进行海洋牧场生态养殖， 如图所示，它的边界由圆O 的一段圆弧 PMQ （ M 为此圆弧的中点）和线段 PQ 构成.已知圆O 的半径为12 千米， M 到 PQ 的距离为16 千米.现规划在此海域内修建两个生态养殖区域，养殖区域 R 1 为矩形 ABCD ，养殖区域 R 2 为 A M B ，且 A , B 均在圆弧上，C ,D 均在线段 PQ 上，设∠AOM =α.（Ⅰ）用α分别表示矩形 ABCD 和 A M B 的面积，并确定cos α的范围；（Ⅱ）根据海域环境和养殖条件，养殖公司决定在 R 1 内养殖鱼类，在 R 2 内养殖贝类，且养殖鱼类与贝类单位面积的年产值比为3 : 2 .求当α为何值时，能使年总产值最大.19.【江苏省南通市 2020 届高三下学期高考考前模拟卷】已知函数 f (x ) = ( x - a ) e x + b (a , b ∈ R ) ．（1） 讨论函数 f( x ) 的单调性；（2） 对给定的 a ，函数 f( x ) 有零点，求b 的取值范围；（3）当 a = 2 ， b = 0 时， F (x ) = f ( x ) - x + ln x ，记 y = F ( x ) 在区间⎛ 1 ,1⎫上的最大值为 m ，且4 ⎪ ⎝ ⎭m ∈[n, n + 1), n ∈Z ，求n 的值．20.【陕西省西安中学2020-2021 学年高三上学期第一次月考】已知函数f ( x) =x -1 -a ln x ．（1）当 a = 1 时，求f(x)的最小值；（2）设m 为整数，且对于任意正整数n ，(1+1)(1+1) ⋅⋅⋅ (1+1) <m ，求m 的最小值．2 22 2n。

2021年普通高中学业水平考试 科合格性考试数学仿真模拟卷07（考试时间为90分钟，试卷满分为150分）一、选择题(本大题共15小题，每小题6分，共90分．每小题中只有一个选项是符合题意的，不选、多选、错选均不得分)1．已知234x -=，则x 等于( ) A ．±18 B ．±8C ．344D ．±232 1．【解析】由题意，可知234x-=，可得13x 2＝4，即3x 2＝14，所以x 2＝164，解得x ＝±18.故选A ．【答案】A2．若集合M ＝{－1，1}，N ＝{－2，1，0}，则M ∩N ＝( ) A ．{0，－1} B ．{0} C ．{1} D ．{－1，1} 2.【解析】M ∩N ＝{1}，故选C ． 【答案】C3．已知f (x )、g (x )分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且f (x )－g (x )＝x 3＋x 2＋1，则f (1)＋g (1)＝( ) A ．－3 B ．－1 C ．1 D ．33.【解析】本题考查函数的奇偶性．令x ＝－1可得f (－1)－g (－1)＝1⇒f (1)＋g (1)＝1，故选C ． 【答案】C4．直线x ＋3y －2＝0与圆x 2＋y 2＝4相交于A 、B 两点，则弦AB 的长度等于( )A ．2 5B ．2 3C ． 3D ．14.【解析】利用平面几何中圆心距、半径、半弦长的关系求解．∵圆心到直线x ＋3y －2＝0的距离d ＝|0＋3×0－2|12＋（3）2＝1，半径r ＝2，∴弦长|AB |＝2r 2－d 2＝222－12＝2 3.【答案】B5．函数f (x )＝2x ＋1的定义域是( )A ．⎝⎛⎦⎤－∞，－12B ．⎣⎡⎭⎫－12，＋∞C ．⎝⎛⎦⎤－∞，12 D ．(－∞，＋∞) 5.【解析】由2x ＋1≥0，解得x ≥－12，故选B ． 【答案】B6．已知向量a ＝(1，x )，b ＝(－1，x )，若2a －b 与b 垂直，则|a |＝( ) A ． 2 B ． 3 C ．2 D ．46.【解析】(2a －b )·b ＝(3，x )·(－1，x )＝x 2－3＝0， ∴x ＝±3，∴|a |＝2. 【答案】C7．已知a ＋b >0，b <0，那么a ，b ，－a ，－b 的大小关系是( ) A ．a >b >－b >－a B ．a >－b >－a >b C ．a >－b >b >－aD ．a >b >－a >－b7.【解析】∵a ＋b >0，b <0，∴a >－b >0.∴－a <0，b >－A ． ∴－a <b <0<－b <A ． 【答案】C8．函数y ＝2cos 2⎝⎛⎭⎫x －π4－1的是( )A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为2π的奇函数C ．最小正周期为π的偶函数D ．最小正周期为2π的偶函数8.【解析】因为y ＝2cos 2⎝⎛⎭⎫x －π4－1＝cos 2⎝⎛⎭⎫x －π4＝sin 2x ，所以T ＝2π2＝π，且为奇函数，故选A ．【答案】A9．设变量x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －2≤0，x －2y ≤0，x ＋2y －8≤0，则目标函数z ＝3x ＋y 的最大值为( )A ．7B ．8C ．9D ．149.【解析】由不等式组，作出可行域如下： 在点A (2，3)处，z ＝3x ＋y 取最大值为9. 【答案】C10．已知{a n }为等比数列，a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝－8，则a 1＋a 10＝( ) A ．7 B ．5 C ．－5 D ．－710.【解析】利用等比数列的通项公式求解．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 4＋a 7＝a 1q 3＋a 1q 6＝2，a 5a 6＝a 1q 4×a 1q 5＝a 21q 9＝－8， ∴⎩⎪⎨⎪⎧q 3＝－2，a 1＝1或⎩⎪⎨⎪⎧q 3＝－12，a 1＝－8，∴a 1＋a 10＝a 1(1＋q 9)＝－7. 【答案】D11．当x ＞0时，下列不等式正确的是( ) A ．x ＋4x ≥4 B ．x ＋4x ≤4 C ．x ＋4x ≥8 D ．x ＋4x ≤8 11.【解析】由均值不等式可知，当x ＞0时，x ＋4x ≥2x ·4x ＝4，当且仅当x ＝2时取“＝”，故选A ．【答案】A12．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、C ．已知a ＝5，c ＝2，cos A ＝23，则b ＝( ) A ． 2 B ． 3 C ．2 D ．312.【解析】由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋22－524b ＝23，∴b ＝3，答案选D ． 【答案】D13．从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为( ) A ．15 B ．25 C ．825 D ．92513.【解析】从5人中选2人共有10种选法，其中有甲的有4种选法，所以概率为410＝25. 【答案】B14．《周髀算经》有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，雨水、惊蛰、春分、清明日影之和为三丈二尺，前七个节气日影之和为七丈三尺五寸，问立夏日影长为（ ） A ．七尺五寸B ．六尺五寸C ．五尺五寸D ．四尺五寸14．【解析】由已知结合等差数列的通项公式及求和公式即可直接求解． 从冬至日起，日影长构成数列{a n }，则数列{a n }是等差数列，则a 5+a 6+a 7+a 8＝32，S 7所以解可得，a 1＝，d ＝﹣1．故a 10＝【答案】D ．15．若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，x ≥1，y ≥0，则z ＝2x ＋y 的最大值为( )A ．1B ．2C ．3D ．415.【解析】在平面直角坐标系中，作出变量x ，y 的约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，x ≥1，y ≥0表示的平面区域如图中阴影部分所示．由图可知，当z ＝2x ＋y 过点B (2，0)时，z 最大，所以z max ＝4，所以z ＝2x ＋y 的最大值4.故选D ． 【答案】D二、填空题(本大题共4小题，每小题6分，共24分．将正确答案填在题中横线上) 16．f (x )为奇函数，当x <0时，f (x )＝log 2(1－x )，则f (3)＝________． 16.【解析】f (3)＝－f (－3)＝－log 24＝－2. 【答案】－217．经过点(－2，2)，且与两坐标轴所围成的三角形面积为1的直线l 的方程为________． 17.【解析】设所求直线l 的方程为x a ＋yb ＝1，由已知可得⎩⎨⎧－2a ＋2b ＝1，12|a ||b |＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1.∴2x ＋y ＋2＝0或x ＋2y －2＝0为所求． 【答案】2x ＋y ＋2＝0或x ＋2y －2＝018．某防疫站对学生进行身体健康调查，欲采用分层抽样的办法抽取样本．某中学共有学生2 000名，抽取了一个容量为200的样本，已知样本中女生比男生少6人，则该校共有女生________人．18.【解析】由题意知抽取女生97人，设该校共有女生x 人．则x ×2002 000＝97，解得x ＝970. 【答案】97019．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，－π2≤φ≤π2的图象上的两个相邻的最高点和最低点的距离为22，则ω＝______．19.【解析】由已知两相邻最高点和最低点的距离为22，由勾股定理可得T2＝（22）2－22，∴T ＝4，∴ω＝α2.【答案】α2三、解答题(本大题共3小题，共36分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤) 20．(12分)设{a n }是公比为正数的等比数列，a 1＝2，a 3＝a 2＋4. (1)求{a n }的通项公式；(2)设{b n }是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{a n ＋b n }的前n 项和S n .20．解：(1)设q 为等比数列{a n }的公比，则由a 1＝2，a 3＝a 2＋4得2q 2＝2q ＋4，即q 2－q －2＝0，解得q ＝2或q ＝－1(舍去)，因此q ＝2，所以{a n }的通项为a n ＝2·2n －1＝2n (n ∈N *)． (2)S n ＝2(12)12n --＋n ×1＋(1)2n n -×2＝2n ＋1＋n 2－2. 21．(12分)如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝1，PA ⊥平面ABCD ，CD ⊥PC ， (1)证明：CD ⊥平面PAC ；(2)若E 为AD 的中点，求证：CE ∥平面PAB ． 21.证明：(1)∵PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，∴PA ⊥CD ．又CD ⊥PC ，PA ∩PC ＝P ， ∴CD ⊥平面PAC ．(2)∵AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝1， ∴∠BAC ＝45°，∠CAD ＝45°，AC ＝ 2.∵CD ⊥平面PAC ，∴CD ⊥CA ，∴AD ＝2.又E 为AD 的中点，∴AE ＝BC ＝1，∴四边形ABCE 是正方形， ∴CE ∥AB ．又AB ⊂平面PAB ，CE ⊄平面PAB ， ∴CE ∥平面PAB ． 22．(12分)如图是半径为1m 的水车截面图,在它的边缘(圆周)上有一定点P ,按逆时针方向以角速度rad /s π(每秒绕圆心转动rad 3π)作圆周运动,已知点P 的初始位置为0P ,且06xOP π∠=,设点P 的纵坐标y 是转动时间t (单位:s )的函数,记为()y f t =.(1) 求()30,2f f ⎛⎫⎪⎝⎭的值,并写出函数()y f t =的解析式； (2) 选用恰当的方法作出函数()f t ,06t ≤≤的简图； (3) 试比较13131,,345f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的大小(直接给出大小关系,不用说明理由). 22．解：(1)()10sin62f π==,()32sin cos 23662f πππ⎛⎫=⨯+== ⎪⎝⎭, ()sin 36y f t t ππ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭,0t ≥.(2)用“五点法”作图,列表得：描点画图:说明:的变化过程也可给满分.(3) 13131345f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.。

第十二节 直线与圆锥曲线的位置关系知识梳理一、直线与圆锥曲线的位置关系设直线l 的方程为g (x ，y )＝0，圆锥曲线C 的方程为f (x ，y )＝0，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧g x ，y ＝0，f x ，y ＝0， 消去其中一个变量如y ，取得关于x 的二次方程t (x )＝0(一样为二次方程)，设其判别式为Δ，那么有1．相交：(1)Δ>0⇔直线与椭圆相交；(2)Δ>0⇒直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不必然有Δ>0，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故Δ>0是直线与双曲线相交的充分条件，但不是必要条件；(3)Δ>0⇒直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不必然有Δ>0，当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故Δ>0也仅是直线与抛物线相交的充分条件，但不是必要条件．2．相切：Δ＝0⇔直线与椭圆相切；Δ＝0⇔直线与双曲线相切；Δ＝0⇔直线与抛物线相切； 3．相离：Δ<0⇔直线与椭圆相离；Δ<0⇔直线与双曲线相离；Δ<0⇔直线与抛物线相离．专门注意：(1)直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形：相切和相交．若是直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交，但只有一个交点；若是直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交，也只有一个交点；(2)过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1外一点P (x 0，y 0)的直线与双曲线只有一个公共点的情形如下：①点P 在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和别离与双曲线两支相切的两条切线，共四条；②点P 在两条渐近线之间且包括双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线，共四条；③点P 在两条渐近线上但非原点，只有两条：一条是与另一渐近线平行的直线，一条是切线；④点P 为原点时不存在如此的直线．1.了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.了解圆锥曲线的简单应用.(3)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条平行于对称轴的直线． 二、抛物线中与核心弦有关的一些几何图形的性质 1．以过核心的弦为直径的圆和准线相切．2．设AB 为核心弦，M 为准线与x 轴的交点，那么∠AMF ＝∠BMF .3．设AB 为核心弦，A ，B 在准线上的射影别离为A 1 ，B 1 ，假设P 为A 1 B 1 的中点，那么PA ⊥PB . 4．假设AO 的延长线交准线于C ，那么BC 平行于x 轴，反之，假设过B 点平行于x 轴的直线交准线于C 点，那么A ，O ，C 三点共线．三、弦长公式假设直线y ＝kx ＋b 与圆锥曲线相交于两点A ，B ，且x 1，x 2别离为A ，B 的横坐标，那么||AB ＝1＋k 2||x 1－x 2；假设y 1，y 2别离为A ，B 的纵坐标，那么||AB ＝1＋1k 2||y 1－y 2；假设弦AB 所在直线方程设为x＝ky ＋b ，那么||AB ＝1＋k 2||y 1－y 2.专门地，核心弦(过核心的弦)的弦长的计算，一样不用弦长公式计算，而是将核心弦转化为两条焦半径之和后，利用概念求解．四、圆锥曲线的中点弦问题碰到中点弦问题经常使用“韦达定理”或“点差法”求解．在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1中，以P (x 0，y 0)为中点的弦所在直线的斜率k ＝－b 2x 0a 2y 0；在双曲线x 2a2－y 2b 2＝1中，以P (x 0，y 0)为中点的弦所在直线的斜率k ＝b 2x 0a 2y 0；在抛物线y 2＝2px (p >0)中，以P (x 0，y 0)为中点的弦所在直线的斜率k ＝py 0.专门注意：因为Δ>0是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称问题时，务必别忘了查验Δ>0!总之在解决直线与圆锥曲线公共点问题、相交弦问题和它们的综合应用问题，常常要转化为它们所对应的方程组成的方程组是不是有解或解的个数问题．对相交弦长问题及中点弦问题要正确运用“设而不求”．涉及核心弦的问题还能够利用圆锥曲线的焦半径公式．基础自测1．点P 是抛物线y 2＝4x 上一动点，那么点P 到点A (0，－1)的距离与到直线x ＝－1的距离和的最小值是( )A. 5B. 3 C ．2 D.2解析：抛物线的核心为F (1,0)，设点P 到直线x ＝－1的距离为d ，那么依照抛物线的概念有|PF |＝d ，要使|PA |＋d 最小，那么必需A ，P ，F 三点共线，现在最小值为|AF |＝2.应选D.答案：D2．直线x 4＋y 3＝1与椭圆x 216＋y 29＝1相交于A ，B 两点，椭圆上的点C 使△ABC 的面积等于12，如此的点C共有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 答案：B3．(2021·扬州调研)已知双曲线x 2－y 2a＝1的一条渐近线与直线x －2y ＋3＝0垂直，那么实数a ＝________.解析：由双曲线标准方程特点知a >0，其渐近线方程为ax ±y ＝0，可得渐近线ax ＋y ＝0与直线x －2y＋3＝0垂直，因此a ＝4.答案：44．(2021·镇江质检)以双曲线x 2－4y 2＝4的中心为极点，右核心为焦点的抛物线方程是__________________． 解析：设抛物线的方程为y 2＝2px ，那么由核心相同的条件可知p2＝5，∴p ＝25，因此抛物线的方程为y 2＝45x .答案：y 2＝45x1．(2021·山东卷)抛物线C 1：y ＝12p x 2(p >0)的核心与双曲线C 2：x 23－y 2＝1的右核心的连线交C 1于第一象限的点M .假设C 1在点M 处的切线平行于C 2的一条渐近线，那么p ＝( )A.316B.38C.233D.433 解析：抛物线C 1的标准方程为：x 2＝2py (p >0)，其核心F 为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，双曲线C 2的右核心F ′为(2,0)，渐近线方程为：y ＝±33x .由y ′＝1p x ＝33得x ＝33p ，故M ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫33p ，p 6.由F 、F ′、M 三点共线得p ＝433.答案：D2．(2021·天津卷)设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左核心为F ，离心率为33，过点F 且与x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为433.(1)求椭圆的方程；(2)设A ，B 别离为椭圆的左、右极点，过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C ，D 两点．假设AC →·DB →＋AD →·CB →＝8，求k 的值．解析：(1)设F (－c,0)，由ca ＝33，知a ＝3c .过点F 且与x 轴垂直的直线为x ＝－c ，代入椭圆方程有－c2a 2＋y 2b 2＝1，解得y ＝±6b 3，于是26b 3＝433，解得b ＝2，又a 2－c 2＝b 2，从而a ＝3，c ＝1，因此椭圆的方程为x 23＋y 22＝1.(2)设点C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，由F (－1,0)得直线CD 的方程为y ＝k (x ＋1)，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x ＋1，x 23＋y22＝1消去y ，整理得(2＋3k 2)x 2＋6k 2x ＋3k 2－6＝0.那么有：x 1＋x 2＝－6k 22＋3k 2，x 1x 2＝3k 2－62＋3k 2.因为A (－3，0)，B (3，0)，因此AC →·DB →＋AD →·CB →＝(x 1＋3，y 1)·(3－x 2，－y 2)＋(x 2＋3，y 2)·(3－x 1，－y 1)＝6－2x 1x 2－2y 1y 2＝6－2x 1x 2－2k 2(x 1＋1)(x 2＋1)＝6－(2＋2k 2)x 1x 2－2k 2(x 1＋x 2)－2k 2＝6＋2k 2＋122＋3k 2.由已知得6＋2k 2＋122＋3k 2＝8，解得k ＝±2.1．(2021·北京西城区上学期期末)已知椭圆x 24＋y 22的两个核心是F 1，F 2，点在该椭圆上．假设|PF 1|－|PF 2|＝2，那么△PF 1F 2的面积是________.解析：由椭圆的方程可知a ＝2，c ＝2，且|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝4，因此解得|PF 1|＝3，|PF 2|＝1，又|F 1F 2|＝2c ＝22，因此有|PF 1|2＝|PF2|2＋|F1F 2|2，即三角形PF 2F 1为直角三角形，因此△PF 1F 2的面积S △＝12|F 1F 2||PF 2|＝12×22×1＝2.答案：22．(2021·汕头一模)如图，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的长轴为AB ，过点B 的直线l 与x 轴垂直，椭圆的离心率e ＝32，F 1为椭圆的左核心且AF 1→·F 1B →＝1.(1)求椭圆的标准方程；(2)设P 是椭圆上异于A 、B 的任意一点，PH ⊥x 轴，H 为垂足，延长HP 到点Q 使得HP ＝PQ .连接AQ 并延长交直线l 于点M ，N 为MB 的中点，判定直线QN 与以AB 为直径的圆O 的位置关系．解析：(1)易知A (－a,0)，B (a,0)，F 1(－c,0)， ∴AF 1→·F 1B →＝(a －c,0)·(a ＋c,0)＝1，∴a 2－c 2＝b 2＝1， 又e ＝32，∴e 2＝c 2a 2＝a 2－1a 2＝34，解得a 2＝4，∴所求椭圆方程为x 24＋y 2＝1；(2)设P (x 0，y 0)，那么Q (x 0,2y 0)(x 0≠±2)， 因此k AQ ＝2y 0x 0＋2，因此直线AQ 方程y ＝2y 0x 0＋2(x ＋2)，因此M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，8y 0x 0＋2，那么N ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，4y 0x 0＋2， 因此k QN ＝4y 0x 0＋2－2y 02－x 0＝2x 0y 0x 20－4，又点P 的坐标知足椭圆方程，那么x 20＋4y 20＝4，因此x20－4＝－4y20，因此k QN＝2x0y0x20－4＝2x0y0－4y20＝－x02y0，所以直线QN的方程：y－2y0＝－x02y0(x－x0)，化简整理取得：x0x＋2y0y＝x20＋4y20＝4，即x0x＋2y0y＝4，因此点O到直线QN的距离d＝4x20＋4y20＝2，故直线QN与AB为直径的圆O相切．。

⾼中数学导数复习（基础版）第⼀章导数及其应⽤1.1导数的概念1．函数f(x)＝ax3＋3x2＋2，若f′(－1)＝4，则实数a的值是()A.B．C.D.解析：∵f(x)＝ax3＋3x2＋2，∴f′(－1)＝＝＝(aΔx2－3aΔx＋3a＋3Δx－6)＝3a－6＝4，解得a＝，故选D.答案：D2．(2019·杭州⼆中⽉考)设函数f(x)可导，则等于()A．f′(1)B．3f′(1)C.f′(1)D.f′(3)解析：＝＝f′(1)．答案：C3．⼦弹在枪筒中运动可以看作是匀变速运动，如果它的加速度是a＝5×105m/s2，⼦弹从枪⼝射出时所⽤的时间为t0＝1.6×10－3s，则⼦弹射出枪⼝时的瞬时速度为()A．1000m/sB．500m/sC．1600m/sD.800m/s解析：设运动⽅程为s＝at2，∴＝＝at0＋aΔt，∴瞬时速度v＝＝at0＝5×105×1.6×10－3＝800m/s，故选D.答案：D4．设f(x)在R上可导，已知f(－x)在x＝a处的导数为A，则f(x)在x＝－a处的导数为________．解析：∵f(－x)在x＝a处的导数为A，∴A＝，∴f(x)在x＝－a处的导数f′(－a)＝＝－A.答案：－A5．⼀质点沿直线运动，如果由始点起经过t秒后的位移为s＝t3－t2＋2t＋1，求速度为零的时刻．解：∵Δs＝s(t＋Δt)－s(t)＝(t＋Δt)3－(t＋Δt)2＋2(t＋Δt)＋1－＝t2Δt＋tΔt2＋Δt3－3tΔt－Δt2＋2Δt，∴＝t2＋tΔt＋Δt2－3t－Δt＋2，∴＝t2－3t＋2，由t2－3t＋2＝0，得t＝1或t＝2.所以速度为零的时刻为1秒末和2秒末．6．⽤定义求函数f(x)＝在x＝1处的导数．解：Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝－1＝＝＝＝，∴＝，∴＝＝－.即函数f(x)在x＝1处的导数为－.1.1.2导数的⼏何意义1．(2019·鄂东南九校期中)设P0为曲线f(x)＝x3＋x－2上的点，且曲线在P0处的切线平⾏于直线y＝4x－1，则P0点的坐标为()A．(1,0)B．(2,8)C．(1,0)或(－1，－4)D.(2,8)或(－1，－4)解析：f′(x)＝＝＝3x2＋1.由于曲线f(x)＝x3＋x－2在P0处的切线平⾏于直线y＝4x－1，所以f(x)在P0处的导数值等于4，设P0(x0，y0)，则有f′(x0)＝3x＋1＝4，解得x0＝±1，P0的坐标为(1,0)或(－1，－4)．故选C.答案：C2．下列曲线中，在x＝1处切线的倾斜⾓为的是()A．y＝x2－B．y＝xlnxC．y＝sinπxD.y＝x3－2x2解析：∵曲线在x＝1处切线的倾斜⾓为π，∴切线的斜率k ＝－1，在y＝x3－2x2中，k＝＝(－1＋Δx＋Δx2)＝－1，故选D.答案：D3.如图，函数y＝f(x)的图象在点P处的切线⽅程是y＝－x＋8，则f(5)＋f′(5)＝()A．2B．1C.D.0解析：由题可知，f(5)＝3，f′(5)＝－1，∴f(5)＋f′(5)＝2，故选A.答案：A4．曲线y＝x3＋2在点P处的切线斜率为3，则点P的坐标为()A．(－2，－8)B．(1,3)或(－1,1)C．(2,8)D.解析：设P(x0，y0)．则f′(x0)＝＝＝[3x＋3x0Δx＋(Δx)2]＝3x＝3，∴x0＝±1，∴P(1,3)或P(－1,1)．故选B.答案：B5．设曲线y＝x2＋x＋在点(1,3)处的切线与直线ax＋y＋1＝0垂直，则实数a＝()A．2B．－2C．－D.解析：f′(1)＝＝2，∴曲线y＝x2＋x＋在点(1,3)处的切线的斜率为2，⼜因为它与直线ax＋y＋1＝0垂直，∴a＝，故选D.答案：D6．(2019·陵川⾼⼆⽉考)已知函数y＝ax2＋b在点(1,3)处的切线斜率为2，则＝________.解析：∵f′(1)＝2，⼜＝＝(aΔx＋2a)＝2a，∴2a＝2，∴a ＝1.⼜f(1)＝a＋b＝3，∴b＝2.∴＝2.答案：27．曲线y＝x2－2x在点处的切线的倾斜⾓的余弦值为________．解析：依题意k＝＝＝－1，∴曲线在处的切线的倾斜⾓为π，其余弦值为cosπ＝－.答案：－※（选做题）8．已知直线l：y＝4x＋a和曲线y＝x3－2x2＋3相切．求a的值及切点的坐标．解：设直线l与曲线C相切于点P(x0，y0)，∵f′(x)＝＝3x2－4x.由导数的⼏何意义，得3x－4x0＝4，解得x0＝－或x0＝2.∴切点的坐标为或(2,3)，当切点为时，有＝4×＋a，∴a＝.当切点为(2,3)时，有3＝4×2＋a，∴a＝－5.∴所求a的值为a＝，切点为；a＝－5，切点为(2,3)．1．2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则1．若f(x)＝cos，则f′(x)等于()A.B．0C.D.－答案：B2．给出下列结论：①若y＝，则y′＝－；②若y＝，则y′＝；③若y＝2x，则y′＝2x；④若f(x)＝logax(a＞0且a≠1)，则f′(x)＝.其中正确的有()A．①②B．①②③C．②③④D.①②④答案：D3．正弦曲线y＝sinx上⼀点P，以点P为切点的切线为直线l，则直线l的倾斜⾓的范围是()A.B．C.∪D.∪解析：设P(x0，y0)，∵y′|x＝x0＝cosx0，∴直线l的斜率k＝cosx0∈[－1,1]．⼜直线l的倾斜⾓α∈[0，π)，∴0≤α≤或≤α＜π.故选C.答案：C4．(2019·⼭⼤附中⾼⼆检测)在平⾯直⾓坐标系xOy中，点A在曲线y＝lnx上，且该曲线在点A处的切线经过点(－e，－1)(e为⾃然对数的底数)，则点A的坐标是________．解析：∵y＝lnx，∴y′＝(x>0)，设A(x0，lnx0)则在点A处的切线⽅程为y－lnx0＝(x－x0)，化简为y＝x＋lnx0－1，过点(－e，－1)，∴－1＝(－e)＋lnx0－1，∴lnx0－＝0，∴x0＝e时⽅程成⽴，⼜∵y＝lnx0－递减，∴⽅程有唯⼀解x0＝e，A(e,1)．答案：(e,1)5．(2019·武威⼀中阶段测试)已知直线y＝kx是曲线y＝3x的切线，则k的值为________．解析：设切点为(x0，y0)．因为y′＝3xln3，所以k＝3x0ln3，所以y＝(3x0ln3)·x，⼜因为(x0，y0)在曲线y＝3x上，所以3x0ln3·x0＝3x0，所以x0＝＝log3e.所以k＝eln3.答案：eln36．(2019·⾃贡富顺⼀中⾼⼆期中)设f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1的导数f′(x)满⾜f′(1)＝2a，f′(2)＝－b，其中常数a，b∈R.求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线⽅程．解：因为f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1，所以f′(x)＝3x2＋2ax＋b.令x＝1，得f′(1)＝3＋2a＋b，⼜f′(1)＝2a，所以3＋2a＋b＝2a，解得b＝－3.令x＝2，得f′(2)＝12＋4a＋b，⼜f′(2)＝－b，所以12＋4a＋b＝－b，解得a＝－.则f(x)＝x3－x2－3x＋1，从⽽f(1)＝－.⼜f′(1)＝2×－＝－3，所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线⽅程为y－－＝－3(x－1)，即6x＋2y－1＝0.※（选做题）7．若存在过点(1,0)的直线与曲线y＝x3和y＝ax2＋x－都相切，求实数a的值．解：由y＝x3，得y′＝3x2，设过点(1,0)的直线与曲线y＝x3相切于点(x0，x)，则在点(x0，x)处的切线⽅程为y－x＝3x(x－x0)，∵点(1,0)在切线上，∴－x＝3x(1－x0)，解得x0＝0或x0＝.当x0＝0时，切线⽅程为y＝0，由y＝0与y＝ax2＋x－相切，联⽴Δ＝0可得a＝－；当x0＝时，切线⽅程为y＝x－，由y＝x－与y＝ax2＋x－相切，同理可得a＝.综上所述，a的值为－或.1.3.1函数的单调性与导数1．若f(x)＝x2－2x－4lnx，则f(x)的单调递增区间为()A．(－1,0)B．(－1,0)∪(2，＋∞)C．(1，＋∞)D.(2，＋∞)解析：f(x)＝x2－2x－4lnx的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝2x－2－＝＝，由f′(x)>0，得x>2，∴f(x)的单调递增区间为(2，＋∞)，故选D.答案：D2．已知函数f(x)＝－x3＋ax2－x－1在(－∞，＋∞)上是单调函数，则实数a的取值范围是()A．(－∞，－)∪(，＋∞)B．(－，)C．(－∞，－]∪[，＋∞)D．[－，]解析：∵f(x)＝－x3＋ax2－x－1在(－∞，＋∞)上单调，∴f′(x)＝－3x2＋2ax－1≤0在(－∞，＋∞)上恒成⽴，∴Δ＝(2a)2－4×(－3)×(－1)≤0，解得－≤a≤，即实数a的取值范围是[－，]故选D.答案：D3．(2019·南阳⼀中⾼⼆开学)函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)>2.则f(x)>2x＋4的解集为()A．(－1,1)B．(－1，＋∞)C．(－∞，－1)D.(－∞，＋∞)解析：构造函数g(x)＝f(x)－(2x＋4)，则g(－1)＝2－(－2＋4)＝0，⼜f′(x)>2.∴g′(x)＝f′(x)－2>0，∴g(x)是R上的增函数．∴f(x)>2x＋4?g(x)>0?g(x)>g(－1)，∴x>－1.答案：B4．(2019·仲元中学⾼⼆期中)若函数y＝－x3＋bx有三个单调区间，则实数b的取值范围是________．解析：若函数y＝－x3＋bx有三个单调区间，则y′＝－4x2＋b＝0有两个不相等的实数根，所以b>0.答案：(0，＋∞)5．若函数f(x)是R上的偶函数，且在(0，＋∞)上有f′(x)＞0，若f(－1)＝0，那么关于x的不等式x·f(x)＜0的解集为______________．解析：∵f(x)在(0，＋∞)上满⾜f′(x)＞0，∴f(x)在(0，＋∞)上为增函数，⼜f(x)为偶函数，∴f(x)在(－∞，0)上为减函数，⼜f(－1)＝0，∴f(1)＝0，∴x·f(x)＜0的解集为0＜x＜1或x＜－1.答案：(－∞，－1)∪(0,1)6．若函数f(x)＝在区间(m,2m＋1)上是单调递增函数，则实数m的取值范围是________．解析：由f′(x)＝＝≥0，解得－1≤x≤1.即f(x)的单调递增区间为[－1,1]由题意得解得－1nx；(2)f(x)＝.解：(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．f′(x)＝2x－＝.因为x＞0，所以＞0，由f′(x)＞0得x＞，所以函数f(x)的单调递增区间为；由f′(x)＜0得x＜，⼜x∈(0，＋∞)，所以函数f(x)的单调递减区间为.(2)函数f(x)的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)．f′(x)＝＝.因为x∈(－∞，2)∪(2，＋∞)，所以ex＞0，(x－2)2＞0.由f′(x)＞0得x＞3，所以函数f(x)的单调递增区间为(3，＋∞)；由f′(x)＜0得x＜3，⼜定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)，所以函数f(x)的单调递减区间为(－∞，2)，(2,3)．8．(2019·龙岩⼀中⾼⼆⽉考)已知函数f(x)＝x＋－2lnx，a∈R，讨论函数f(x)的单调性．解：函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，∴f′(x)＝1－－＝.①当Δ＝4＋4a≤0，即a≤－1时，得x2－2x－a≥0，则f′(x)≥0.∴函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增．②当Δ＝4＋4a>0，即a>－1时，令f′(x)＝0，得x2－2x－a＝0，解得x1＝1－，x2＝1＋>0.(ⅰ)若－10，＋∞)，∴f(x)在(0,1－)，(1＋，＋∞)上单调递增，在(1－，1＋)上单调递减．(ⅱ)若a>0，则x1<0，当x∈(0,1＋)时，f′(x)<0，当x∈(1＋，＋∞)时，f′(x)>0，∴函数f(x)在区间(0,1＋)上单调递减，在区间(1＋，＋∞)上单调递增．综上所述：①a≤－1时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增；②－1∞)上递增，在(1－，1＋)上递减；③a>0时，f(x)在(0,1＋)上递减，(1＋，＋∞)上递增．※（选做题）9．试求函数f(x )＝kx－lnx的单调区间．解：函数f(x)＝kx－lnx的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝k－＝.当k≤0时，kx －1＜0，∴f′(x)＜0，则f(x)在(0，＋∞)上单调递减．当k＞0时，由f′(x)＜0，即＜0，解得0＜x＜；由f′(x)＞0，即＞0，解得x＞.∴当k＞0时，f(x)的单调递减区间为，单调递增区间为.综上所述，当k≤0时，f(x)的单调递减区间为(0，＋∞)，⽆单调递增区间；当k＞0时，f(x)的单调递减区间为，单调递增区间为.1.3.2函数的极值与导数1．函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9，已知f(x)在x＝－3处取得极值，则实数a＝()A．2B．3C．4D．5解析：∵f(x)＝x3＋ax2＋3x－9，∴f′(x)＝3x2＋2ax＋3.∵f(x)在x＝－3处取得极值，∴f′(－3)＝27－6a＋3＝0，解得a＝5，故选D.答案：D2．若函数y＝x3－2ax＋a在(0,1)内有极⼩值，则实数a的取值范围是()A．(0,3)B．(－∞，3)C．(0，＋∞)D.解析：y′＝3x2－2a.∵有极值，∴a>0.令3x2－2a＝0，解得x＝±.∵函数在(0,1)内有极⼩值．∴0＜＜1，解得0＜a＜.答案：D3．设a∈R，若函数y＝eax＋3x有⼤于零的极值点，则()A．a>－3B．a<－3C．a>－D.a<－解析：∵y＝eax＋3x，∴y′＝eax·a＋3，当a≥0时，y′>0，不符合题意；当a<0时，由y′＝0，得x＝ln.∵函数y＝eax＋3x有⼤于零的极值点，∴ln>0，解得a<－3，故选B.答案：B4．函数f(x)＝lnx－x在区间(0，e)上的极⼤值为()A．－eB．－1C．1－eD.0解析：∵f′(x)＝－1，令f′(x)＝0，得x＝1，⼜∵当0＜x＜1时，f′(x)＞0，当1＜x＜e时，f′(x)＜0，∴f(x)在x＝1处取得极⼤值，f(1)＝ln1－1＝－1.故选B.答案：B5．(2019·东厦中学⾼⼆质量检测)若函数f(x)＝x3－3ax＋1在区间(0,1)内有极⼩值，则a的取值范围为________．解析：f′(x)＝3x2－3a.当a≤0时，在区间(0,1)上⽆极值．当a>0时，令f′(x)>0，解得x>或x<－.令f′(x)<0，解得－cosx＋x在(0，π)上的极⼤值为________．解析：f′(x)＝－2sinx＋1，令f′(x)＝0，得x＝或x＝π.x，f′(x)，f(x)取值情况如下表：xπf′(x)＋0－0＋f(x) 极⼤值 极⼩值 ∴f(x)极⼤值＝f＝2cos＋＝2×＋＝＋.答案：＋7．已知函数f(x)＝x3－2ax2＋a2x的极⼩值点是x＝－1，则a＝________.解析：∵f(x)＝x3－2ax2＋a2x，∴f′(x)＝3x2－4ax＋a2＝(3x－a)(x－a)．由f′(x)＝0，得x＝或x＝a.∵f(x)的极⼩值点是x＝－1，∴a<0，∴>a，∴为极⼩值点，即＝－1，∴a＝－3.答案：－38．已知函数f(x)＝x3－2x2＋x＋1.(1)求曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线⽅程；(2)求函数f(x)的极值．解：(1)f(2)＝23－2×22＋2＋1＝3，∵f′(x)＝3x2－4x＋1，∴f′(2)＝3×22－4×2＋1＝5，∴所求切线⽅程为y－3＝5(x－2)，即y＝5x－7.(2)由(1)知f′(x)＝3x2－4x＋1＝(3x－1)(x－1)，令f′(x)＝0，得x＝或x＝1.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x1(1，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x) 极⼤值 极⼩值1 由上表知，f(x)的极⼤值为f＝，f(x)的极⼩值为f(1)＝1.9．设f(x)＝a(x－5)2＋6lnx，其中a∈R，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与y轴相交于点(0,6)．(1)试确定a的值；(2)求函数f(x)的单调区间与极值．解：(1)因为f(x)＝a(x－5)2＋6lnx，所以f′(x)＝2a(x－5)＋(x>0)．令x＝1，得f(1)＝16a，f′(1)＝6－8a，所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线⽅程为y－16a＝(6－8a)(x－1)，由点(0,6)在切线上可得6－16a＝8a－6，故a＝.(2)由(1)知，f(x)＝(x－5)2＋6lnx(x＞0)，f′(x)＝x－5＋＝.令f′(x)＝0，解得x1＝2或x2＝3.当0＜x＜2或x＞3时，f ′(x)＞0，故f(x)在(0,2)，(3，＋∞)上为增函数；当2＜x＜3时，f′(x)＜0，故f(x)在(2,3)上为减函数．由此可知f(x)在x＝2处取得极⼤值f(2)＝＋6ln2，在x＝3处取得极⼩值f(3)＝2＋6ln3.10．(2019·郑州⼀中⾼⼆期中)设a∈R，函数f(x)＝x3－x2－x＋a.(1)求f(x)的极值；(2)当a在什么范围内取值时，曲线y＝f(x)与x轴仅有⼀个交点？解：(1)f′(x)＝3x2－2x－1.令f′(x)＝0，则x＝－或x＝1.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x－∞，－－－，11(1，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x) 极⼤值 极⼩值 所以f(x)的极⼤值是f－＝＋a，极⼩值是f(1)＝a－1.(2)函数f(x)＝x3－x2－x＋a＝(x－1)2(x＋1)＋a－1，由此可知，x取⾜够⼤的正数时，有f(x)>0，x取⾜够⼩的负数时，有f(x)<0，所以曲线y＝f(x)与x轴⾄少有⼀个交点．由(1)知f(x)极⼤值＝f－＝＋a，f(x)极⼩值＝f(1)＝a－1.因为曲线y＝f(x)与x轴仅有⼀个交点，所以f(x)极⼤值<0或f(x)极⼩值>0，即＋a<0或a－1>0，所以a<－或a>1，所以当a∈－∞，－∪(1，＋∞)时，曲线y＝f(x)与x轴仅有⼀个交点．11．已知f(x)＝(x2－a)ex，x∈R.(1)若a＝3，求f(x)的单调区间和极值；(2)已知x1，x2是f(x)的两个不同的极值点，且|x1＋x2|≥|x1x2|，求实数a的取值的集合M.解：(1)∵a＝3，∴f(x)＝(x2－3)ex，∴f′(x)＝(x2＋2x－3)ex.令f′(x)＝0，解得x＝－3或1.当x∈(－∞，－3)∪(1，＋∞)时，f′(x)>0；当x∈(－3,1)时，f′(x)<0.∴f(x)的增区间为(－∞，－3][1，＋∞)；减区间为[－3,1]．f(x)的极⼤值为f(－3)＝6e－3；极⼩值为f(1)＝－2e.(2)f′(x)＝(x2＋2x－a)ex，令f′(x)＝0.即x2＋2x－a＝0.由题意两根为x1，x2，∴x1＋x2＝－2，x 1x2＝－a，故－2≤a≤2.⼜Δ＝4＋4a>0，∴－1y＝的最⼤值为()A．e－1B．eC．e2D.解析：y′＝＝.由y′>0得，1－lnx>0，解得0得，1－lnx<0，解得x>e.∴y＝在(0，e)上递增，在(e，＋∞)上递减．f(e)为极⼤值，也是最⼤值，且f(e)＝＝e－1.答案：A2．函数f(x)＝x3－3x2＋m在区间[－1,1]上的最⼤值是2，则常数m＝()A．－2B．0C．2D.4解析：f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2(舍去)，当－1≤x<0时，f′(x)>0；当0期中)已知函数f(x)＝x3－x2＋6x＋a，若?x0∈[－1,4]使f(x0)＝2a成⽴，则实数a的取值范围是()A.B．C．[2,16]D.解析：f(x0)＝2a，即x－x＋6x0＋a＝2a，可化为x－x＋6x0＝a，设g(x)＝x3－x2＋6x，则g′(x)＝3x2－9x＋6＝3(x－1)(x－2)＝0，得x＝1或x＝2，∴g(1)＝，g(2)＝2，g(－1)＝－，g(4)＝16.由题意，g(x)min≤a≤g(x)max，∴－≤a≤16.故选D.答案：D4．设直线x＝t与函数f(x)＝x2，g(x)＝lnx的图象分别交于M，N，则当|MN|最⼩时t的值为()A．1B．C.D.解析：|MN|＝f(t)－g(t)＝t2－lnt，令h(t)＝t2－lnt(t>0)，∴h′(t)＝2t－＝＝.当0当t>时，h′(t)>0，h(t)为增函数，∴h(t)min＝h＝－ln，故|MN|最⼩时t＝，故选D.答案：D5．已知函数f(x)＝x＋xlnx，若m∈Z且f(x)－m(x－1)>0对任意的x>1恒成⽴，则m的最⼤值是()A．2B．3C．4D.5解析：依题意可得，m1)，则g′(x)＝，令φ(x)＝x－2－lnx，(x>1)，则φ′(x)＝1－>0，所以φ(x)＝x－2－lnx在(1，＋∞)上单调递增，⼜φ(3)＝1－ln3<0，φ(4)＝2－2ln2>0，故存在x0∈(3,4)，使φ(x0)＝x0－2－lnx0＝0，从⽽g(x)在(1，x0)上单调递减，在(x0，＋∞)上单调递增，即g(x)min＝g(x0)＝＝＝x0，故m已知a≤4x3＋4x2＋1对任意x∈[－1,1]都成⽴，则实数a的取值范围是________．解析：设f(x)＝4x3＋4x2＋1，则f′(x)＝12x2＋8x＝4x(3x＋2)，由f′(x)＝0得x＝－或x＝0.⼜f(－1)＝1，f－＝，f(0)＝1，f(1 )＝9，故f(x)在[－1,1]上的最⼩值为1.故a≤1.答案：(－∞，1]7．(2019·承德⾼三模拟)定义在R上的函数f(x)满⾜f′(x)>1－f(x)，f(0)＝6，其中f′(x)是f(x)的导函数，则不等式exf(x)>ex＋5(其中e为⾃然对数的底数)的解集为________．解析：不等式exf(x)>ex＋5可化为exf(x)－ex－5>0.设g(x)＝exf(x)－ex－5，则g′(x)＝exf(x)＋exf′(x)－ex＝ex[f(x)＋f′(x)－1]>0，所以函数g(x)在定义域R上单调递增．⼜g(0)＝0，所以g(x)>0的解集为(0，＋∞)．答案：(0，＋∞)8．已知函数f(x)＝2lnx＋(a>0)．若当x∈(0，＋∞)时，f(x)≥2恒成⽴，则实数a的取值范围是________．解析：f(x)≥2即a≥2x2－2x2lnx.令g(x)＝2x2－2x2lnx(x>0)，则g′(x)＝2x(1－2lnx)．由g′(x)＝0得x＝e，且00；当x>e时，g′(x)<0，∴x＝e时，g(x)取最⼤值g(e)＝e，∴a≥e，即实数a的取值范围是[e，＋∞)．答案：[e，＋∞)9．已知函数f(x)＝x·(lnx＋ax＋1)－ax＋1.(1)若f(x)在[1，＋∞)上是减函数，求实数a的取值范围；(2)若f(x)的最⼤值为2，求实数a的值．解：(1)若f(x)在[1，＋∞)上是减函数，则f′(x)≤0在[1，＋∞)上恒成⽴，即f′(x)＝lnx＋2ax＋2－a≤0，∴a≤－.设g(x)＝－，则g′(x)＝，∵x≥1，∴g′(x)>0，∴g(x)单调递增，∴g(x)≥g(1)，⼜g(1)＝－2，∴a≤－2.故实数a的取值范围为(－∞，－2]．(2)由f(1)＝2，要使f(x)max＝2，故f(x)的递减区间是[1，＋∞)，递增区间是(0,1)，∴f′(1)＝0，即ln1＋2a＋2－a＝0，∴a＝－2.10．(2019·镇海中学⾼⼆期末)已知函数f(x)＝(x－k)ex.(1)求f(x)的单调区间；(2)求f(x)在区间[0,1]上的最⼩值．解：(1)f′(x)＝(x－k＋1)ex.令f′(x)＝0，得x＝k－1.令x变化时，f(x)与f′(x)的变化情况如下表：x(－∞，k－1)k－1(k－1，＋∞)f′(x)－0＋f(x) －ek－1 所以，f(x)的单调递减区间是(－∞，k－1)；单调递增区间是(k－1，＋∞)．(2)当k－1≤0，即k≤1时，函数f(x)在[0,1]上单调递增，所以f(x)在区间[0,1]上的最⼩值为f(0)＝－k；当0以f(x)在区间[0,1]上的最⼩值为f(k－1)＝－ek－1；当k－1≥1，即k≥2时，函数f(x)在[0,1]上单调递减．f(x)min＝f(1)＝(1－k)·e；综上，当k≤1时，f(x)min＝－k，当1＜k＜2时，f(x)min＝－ek－1，当k≥2时，f(x)min＝f(1)＝(1－k)·e.11．设函数f(x)＝2x3＋3ax2＋3bx＋8c在x＝1及x＝2时取得极值．(1)求a、b的值；(2)若对于任意的x∈[0,3]都有f(x)，因为函数f(x)在x＝1及x＝2取得极值，则有f′(1)＝0，f′(2)＝0.即解得a＝－3，b＝4.经检验，符合题意．(2)由(1)可知，f(x)＝2x3－9x2＋12x＋8c，f′(x)＝6x2－18x＋12＝6(x－1)(x－2)，当x∈(0,1)时，f′(x)>0；当x∈(1,2)时，f′(x)<0；当x∈(2,3)时，f′(x)>0.所以，当x＝1时，f(x)取得极⼤值f(1)＝5＋8c，⼜f(0)＝8c，f(3)＝9＋8c，则当x∈[0,3]时，f(x)的最⼤值为f(3)＝9＋8c.因为对于任意的x∈[0,3]有f(x)9，因此c的取值范围为(－∞，－1)∪(9，＋∞)．12．(2019·北京卷)已知函数f(x)＝x3－x2＋x.(1)求曲线y＝f(x)的斜率为1的切线⽅程；(2)当x∈[－2,4]时，求证：x－6≤f(x)≤x；(3)设F(x)＝|f(x)－(x＋a)|(a∈R)，记F(x)在区间[－2,4]上的最⼤值为M(a)．当M(a)最⼩时，求a的值．解：(1)由f(x)＝x3－x2＋x得f′(x)＝x2－2x＋1.令f′(x)＝1，即x2－2x＋1＝1，得x＝0或x＝.⼜f(0)＝0，f＝，所以曲线y＝f(x)的斜率为1的切线⽅程是y＝x与y－＝x－，即y ＝x与y＝x－.(2)证明：令g(x)＝f(x)－x，x∈[－2,4]．由g(x)＝x3－x2得g′(x)＝x2－2x.令g′(x)＝0，得x＝0或x＝.当x变化时，g′(x)，g(x)的情况如下：x－2(－2,0)00，，44g′(x)＋－＋g(x)－6 0 － 0所以g(x)的最⼩值为－6，最⼤值为0.故－6≤g(x)≤0，即x－6≤f(x)≤x.(3)由(2)知，当a<－3时，M(a)≥F(0)＝|g(0)－a|＝－a>3；当a>－3时，M(a)≥F(－2)＝|g(－2)－a|＝6＋a>3；当a＝－3时，M(a)＝3.综上，当M(a)最⼩时，a＝－3.1.4⽣活中的优化问题举例1．已知某⽣产⼚家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－x3＋81x－234，则使该⽣产⼚家获取最⼤年利润的年产量为()A．13万件B．11万件C．9万件D.7万件解析：∵y＝－x3＋81x－234，∴y′＝－x2＋81.令y′＝0，得x＝9或x＝－9(舍)．⼜当0＜x＜9时，y′＞0，当x＞9时，y′＜0，∴x＝9时，y取得最⼤值．故选C.答案：C2．(2019·清⽔六中⾼⼆⽉考)要做⼀个圆锥形的漏⽃，其母线长为20cm，要使其体积最⼤，则⾼为()A.cmB．cmC.cmD.cm解析：设圆锥的⾼为xcm，则底⾯半径为cm.其体积为V＝πx(202－x2)(0′>0；当箱的底⾯边长为()A．5cmB．6cmC．7cmD.8cm解析：设⽔箱的底⾯边长为xcm，∵容积为256，∴⽔箱的⾼为，∴⽔箱的表⾯积f(x)＝4x·＋x2＝x2＋，f′(x)＝2x－.令f′(x)＝0，得x＝8，⼜当0＜x＜8时，f′(x)＜0，当x＞8时，f′(x)＞0，∴当x＝8时，f(x)取得最⼩值．答案：D4．某公司为了加⼤产品的宣传⼒度，准备⽴⼀块⼴告牌，在其背⾯制作⼀个形如△ABC的⽀架，要求∠ACB＝60°，BC的长度⼤于1m，且AC⽐AB长0.5m．为节省材料，要求AC的长度越短越好．(1)设BC ＝xm，AC＝ym，将y写成关于x的函数，并写出定义域；(2)当BC的长度为多少时，AC最短，求出最短长度．解：(1)由题设知BC＝xm(x>1)，AC＝ym，则AB＝y－.在△ABC中，由余弦定理，得2＝y2＋x2－2xycos60°.所以y＝，定义域为{x|x>1}．(2)y′＝＝.由y′＝0，得x＝1＋.因为当11＋时，y′>0，所以当x＝1＋时，y有最⼩值2＋.故AC的最短长度为(2＋)m，此时BC的长度为m.5．某商场销售某种商品的经验表明，该商品每⽇的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满⾜关系式y＝＋10(x－6)2，其中3＜x＜6，a为常数．已知销售价格为5元/千克时，每⽇可售出该商品11千克．(1)求a的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x 的值，使商场每⽇销售该商品所获得的利润最⼤．解：(1)∵x＝5时，y＝11，∴＋10＝11，∴a＝2.(2)由(1)可知，该商品每⽇的销售量y＝＋10(x－6)2，∴商场每⽇销售该商品所获得的利润f(x)＝(x－3)＝2＋10(x－3)(x－6)2，(3＜x＜6)．从⽽，f′(x)＝10[(x－6)2＋2(x－3)(x－6)]＝30(x－4) (x－6)．于是，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(3,4)4(4,6)f′(x)＋0－f(x)单调递增极⼤值42单调递减由上表可得，x＝4是函数f(x)在区间(3,6)内的极⼤值点，也是最⼤值点．∴当x＝4时，函数f(x)取得最⼤值，且最⼤值等于42.∴当销售价格为4元/千克时，商场每⽇销售该商品所获得的利润最⼤．第1页共2页。

第七节 双曲线(一)知识梳理 一、双曲线的概念咱们把平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做双曲线，用符号表示为||AF 1|－|AF 2||＝2a ，这两个定点叫做双曲线的核心，两个核心之间的距离叫做双曲线的焦距．二、双曲线的标准方程当双曲线的核心在x 轴上时，双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，其中核心坐标为F 1(c,0)，F 2(－c ，0)，且c 2＝a 2＋b 2；当双曲线的核心在y 轴上时，双曲线的标准方程为y 2a2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，其中核心坐标为F 1(0，c )，F 2(0，－c )，且c 2＝a 2＋b 2.当且仅当双曲线的中心在座标原点，其核心在座标轴上时，双曲线的方程才是标准形式． 三、双曲线的几何性质 方程x 2a 2－y 2b 2＝1y 2a 2－x 2b 2＝1图形范围 x ≤－a 或x ≥a ，y ∈Ry ≤－a 或y ≥a ，x ∈R对称性 关于x 轴、y 轴及原点对称关于x 轴、y 轴及原点对称顶点 A 1(－a,0)，A 2(a,0) B 1(0，－a )，B 2(0，a ) 离心率e ＝ca (e >1)e ＝ca (e >1)1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质.渐近线y ＝±b a xy ＝±a b xa ，b ，c的关系 c 2＝a 2＋b 2c 2＝a 2＋b 2基础自测1．(2021·郑州质检)设F 1，F 2是双曲线x 2－y 224＝1的两个核心，P 是双曲线上的一点，且3|PF 1|＝4|PF 2|，那么|PF 1|＝( )A ．8B ．6C ．4D ．2解析：依题意有⎩⎪⎨⎪⎧3|PF 1|＝4|PF 2|，|PF 1|－|PF 2|＝2×1，解得|PF 2|＝6，|PF 1|＝8，应选A. 答案：A2．(2021·北京东城区)假设双曲线x 26－y 23＝1的渐近线与圆(x －3)2＋y 2＝r 2(r >0)相切，那么r ＝( )A.3 B ．2 C ．3 D ．6解析：双曲线x 26－y 23＝1的渐近线方程为y ＝±22x ，因为双曲线的渐近线与圆(x －3)2＋y 2＝r 2(r >0)相切，故圆心(3,0)到直线y ＝±22x 的距离等于圆的半径r ，那么r ＝|2×3±2×0|2＋4＝ 3.答案：A3．过双曲线x 2－y 2＝8的左核心F 1有一条弦PQ 在左支上，假设|PQ |＝7，F 2是双曲线的右核心，那么△PF 2Q 的周长是____________．答案：14＋824．设F 1，F 2别离是双曲线x 2－y 29＝1的左、右核心，假设点P 在双曲线上，且PF 1→·PF 2→＝0，那么|PF 1→＋PF 2→|＝__________.解析：因为F 1、F 2别离是双曲线x 2－y 29＝1的左、右核心，因此F 1(－10，0)，F 2(10，0)．由题意知△F 1PF 2为直角三角形，∴|PF 1→＋PF 2→|＝2|PO →|＝|F 1F 2|＝210.答案：2101．(2021·湖南卷)设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两个核心，P 是C 上一点，假设|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，且△PF 1F 2的最小内角为30°，那么C 的离心率为__________．解析：设P 点在右支上，m ＝|PF 1|，n ＝|PF 2|，那么⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝6a ，m －n ＝2a ，⇒m ＝4a ，n ＝2a ，依题意，△PF 1F 2中，∠PF 1F 2＝30°，由余弦定理得 cos 30°＝16a 2＋4c 2－4a 22·8ac ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫3a c ＋c a ＝32，于是可解得e ＝ca＝3.答案：32．设圆C 与两圆(x ＋5)2＋y 2＝4，(x －5)2＋y 2＝4中的一个内切，另一个外切．(1)求圆C 的圆心轨迹L 的方程；(2)已知点M ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫355，455，F (5，0)，且P 为L 上动点，求||MP |－|FP ||的最大值及现在点P 的坐标．解析： (1)设圆C 的圆心坐标为(x ，y )，半径为r .由题设知||x ＋52＋y 2－x －52＋y 2＝4，化简得L 的方程为x 24－y 2＝1.(2)由已知可求得过M ，F 的直线l 方程为y ＝－2(x －5)，将其代入L 的方程得15x 2－325x ＋84＝0，解得x 1＝655，x 2＝14515，故可求得l 与L 的交点坐标别离为T 1⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫655，－255，T 2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫14515，2515.因T 1在线段MF 外，T 2在线段MF 内，故||MT 1|－|FT 1||＝|MF |＝2，||MT 2|－|FT 2||<|MF |＝2. 若P 不在直线MF 上，在△MFP 中有||MP |－|FP ||<|MF |＝2.故||MP |－|FP ||只在点P 位于T 1⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫655，－255时取得最大值2.,1．(2021·江门一模)在平面直角坐标系xOy 中，假设双曲线x 2m －y 2m 2＋4＝1的焦距为8，那么m ＝________.解析：因为在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 2m －y 2m 2＋4＝1的焦距为8，因此m ＞0，核心在x 轴，因此a 2＝m ，b 2＝m 2＋4，因此c 2＝m 2＋m ＋4， 又双曲线x 2m －y 2m 2＋4＝1的焦距为8，因此：m 2＋m ＋4＝16，即m 2＋m －12＝0，解得m ＝3或m ＝－4(舍)． 答案：32．(2021·韶关二模)设点P 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)与圆x 2＋y 2＝a 2＋b 2在第一象限的交点，其中F 1，F 2别离是双曲线的左、右核心，假设tan∠PF 2F 1＝3，那么双曲线的离心率为__________．解析：因为圆x 2＋y 2＝a 2＋b 2的半径r ＝a 2＋b 2＝c ，因此F 1F 2是圆的直径，因此∠F 1PF 2＝90°.依据双曲线的概念：|PF 1|－|PF 2|＝2a ，又因为在Rt△F 1PF 2中，tan∠PF 2F 1＝3，即|PF 1|＝3|PF 2|，因此|PF 1|＝3a ，|PF 2|＝a ，在直角三角形F 1PF 2中由(3a )2＋a 2＝(2c )2，得e ＝c 2a 2＝102. 答案：102。

《导数的综合应用—证明不等式》考查内容：主要涉及利用导数证明不等式 注意：涉及到复合函数求导问题一般为理科内容一．选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知1201x x ，则（ ）A ．1221ln ln x x x x > B ．1221ln ln x x x x < C ．2112ln ln x x x x > D ．2112ln ln x x x x <2．当时，有不等式 （ ）A ．1x e x <+B ．1x e x >+C ．当0x >时1x e x <+，当0x <时1x e x >+D ．当0x <时1x e x <+，当0x >时1x e x >+3．已知非零实数a ，x ，y 满足2211log log 0a a x y ++<<，则下列关系式恒成立的是（ ）A ．221111x y <++ B ．y x x y x y+>+ C ．1111xya a ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭D ．x y y x >4．已知函数()=ln 1f x x ax +-有两个零点12,x x ，且12x x <，则下列结论错误的是（ ） A ．01a << B ．122x x a +<C ．121x x ⋅>D ．2111x x a->-5．已知01a b <<<，则下列不等式一定成立的是（ ）A ．ln ln a b a b> B ．ln 1ln ab < C ．ln ln a a b b < D ．a b a b > 6．当01x <<时，()ln xf x x=，则下列大小关系正确的是（ ）A ．()()()22fx f x f x <<B ．()()()22f xf x f x <<C ．()()()22f x f x f x <<D ．()()()22f xf x f x <<7．若ln22a =，ln33b =，ln66c =，则（ ） A ．a b c <<B ．c b a <<C ．c a b <<D ．b a c <<8．下列不等式中正确的是( )①sin ,(0,)x x x <∈+∞；②1,xe x x R ≥+∈；③ln ,(0)x x x <∈+∞，. A ．①③B ．①②③C ．②D ．①②9．若[)0,x ∈+∞,则下列不等式恒成立的是 ( ) A ．21x e x x ≤++ B211124x x ≤-+C ．21cos 12x x ≥-D ．()21ln 18x x x +≥-10．若0m n e <<<，则下列不等式成立的是（ ）A ．m n e e m n <B ．m n e e m n>C ．ln ln n mn m<D ．ln ln n mn m>11．设a 为常数，函数()()2ln 1f x x x ax =--，给出以下结论： （1）若2a e -=，则()f x 存在唯一零点 （2）若1a >，则()0f x <（3）若()f x 有两个极值点12,x x ，则1212ln ln 1x x x x e-<- 其中正确结论的个数是（ ） A ．3B ．2C ．1D ．012．已知函数ln ()1x xf x x=-+在0x x =处取得最大值，则下列选项正确的是（ ） A ．()0012f x x =< B ．()0012f x x =>C ．()0012f x x ==D ．()0012f x x <<二．填空题13．若0<x 1<x 2<1，且1<x 3<x 4，下列命题：①3443ln ln x x ee x x ->-；②2121ln ln x x e e x x ->-；③3232x x x e x e <；④1221x xx e x e >；其中正确的有___14．已知函数，当时，给出下列几个结论：①；②；③;④当时，．其中正确的是 （将所有你认为正确的序号填在横线上）．15．若01a b <<<，e 为自然数()2.71828≈e ，则下列不等式：①11++>a b b a ； ②ln ln ->-a b e e a b ；③()()log 1log 1+>+a b a b ，其中一定成立的序号是___ 16．已知函数2()ln f x x x x =+，且0x 是函数()f x 的极值点．给出以下几个命题： ①010x e <<；②01x e>；③00()0f x x +<；④00()0f x x +> 其中正确的命题是__________．（填出所有正确命题的序号） 三．解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．利用函数的单调性（利用导数），证明下列不等式: （1）sin tan <<x x x ，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭；（2）1x e x >+，0x ≠.18．已知函数2()2ln f x x x =-.(1)求函数()f x 的单调区间；(2)求证：当2x >时，()34f x x >-.19．已知函数()ln 1a x bf x x x=++曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为230x y +-=.（1）求,a b 的值；（2）证明：当0x >且1x ≠时，()ln 1xf x x >-.20．已知函数f (x )＝ln(x +1)－x ． ⑴求函数f (x )的单调递减区间； ⑵若1x >-，证明：11ln(1)1x x x -≤+≤+．21．已知函数()21ln(0).f x ax x a x=-+> （1）若()f x 是定义域上的单调函数，求a 的取值范围；（2）若()f x 在定义域上有两个极值点12,x x ，证明：()()1232ln2.f x f x +>-22．已知函数()ln ()x f x e a x a R =+∈（1）当1a =时，求曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程；（2）设0x 是()f x 的导函数()f x '的零点，若e a -<<0，求证：()00x f x e >.23．已知函数()1ln f x x x x=--. （1）判断函数()f x 的单调性；（2）若()f x 满足()()()1212f x f x x x ''=≠，证明：()()1232ln 2f x f x +>-.《导数的综合应用—证明不等式》解析1.【解析】设()ln f x x x =，则()'ln 1f x x =+，由()'0f x >，得1x e>，所以函数()f x 在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增；由()'0f x <，得10x e <<，函数()f x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，故函数()f x 在()0,1上不单调，所以()1f x 与()2f x 的大小无法确定，从而排除A ，B ；设()ln x g x x=，则()21ln 'xg x x -=，由()'0g x >，得0x e <<，即函数()f x 在()0,e 上单调递增，故函数()f x 在()0,1上单调递增，所以()()12g x g x <，即1212ln ln x x x x <，所以2112ln ln x x x x <.故选：D 2.【解析】对于函数()1xf x e x =--其导数()1xf x e '=-，当0x >时()0f x '>，当0x <时，()0f x '< ()()min 00f x f ∴==∴当时()01xf x e x >∴>+3.【解析】依题意非零实数a ，x ，y 满足2211log log 0a a x y ++<<，则20,11a a ≠+>，所以01x y <<<.不妨设11,42x y ==， 则2211614161616,,175201720111142===>⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以A 选项错误； 315535,2,422444y x x y x y +=+=+==<，所以B 选项错误；由于1011a <<+，根据指数函数的性质可知：11421111a a ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，所以C 选项错误.依题意01x y <<<，要证明x y y x >，只需证明ln ln x yy x >，即证ln ln x y y x >，即证ln ln y x y x >，构造函数()()ln 01xf x x x=<<，()'21ln x f x x-=，由于01x <<，所以ln 0x <，所以()'21ln 0x f x x -=>在区间()0,1上恒成立，所以()f x 区间()0,1上递增，所以ln ln y xy x>，所以x y y x >.故D 选项正确.故选：D4.【解析】因为函数()=ln 1f x x ax +-,所以11()'-=-=axf x a x x, 当a≤0时，()0,f x '>所以f(x)在（0，+∞）上单调递增，所以不可能有两个零点.当a>0时，10x a <<时，()0f x '>，函数f(x)单调递增，1x a>时，()0f x '<， 函数f(x)单调递减.所以max 11()()ln .f x f aa== 因为函数f(x)有两个零点，所以1ln0,ln 0,ln 0,0 1.a a a a>∴->∴<∴<< 又111()0,(1)10, 1.a f f a x e e e =-<=->∴<<又111210,.x x a a a<<∴->令2221()()()ln()()ln (0)g x f x f x x a x x ax x a a a a=--=----+<≤则212()11()20.21()a x a g x a x x x x a a-=-+=<--' 所以函数g(x)在1(0,)a 上为减函数，11()()g x g a∴>=0，又1()=0f x ，11111222()ln()()1()()0,f x x a x f x g x a a a∴-=---+-=>又2()0f x =，∴212x x a >-，即1222x x a+>>.故答案为B5.【解析】对A ，令()ln x f x x=，'2ln 1()(ln )x f x x -=，当'()00f x x e <⇒<<，∴()f x 在(0,)e 单调递减，∴()()f a f b >，即ln ln a ba b >，故A 正确； 对B ，01a b <<<，∴ln ln 0a b <<，∴ln 1ln ab>，故B 错误； 对C ，令()ln f x x x ='()ln 1f x x ⇒=+，当10x e<<时，'()0f x <；当1x e >时，'()0f x >，∴()f x 在1(0,)e 单调递减，在1(,)e +∞单调递增，显然当1b e=时，ln ln a a b b >，故C 错误；对D ，ln ln a b a a b b a b ⇔>>，由C 选项的分析，当1a e=时，ln ln a a b b <，故D 错误；故选：A.6.【解析】根据01x <<得到201x x <<<，而()21ln 'xf x x-=， 所以根据对数函数的单调性可知01x <<时，1ln 0x ->， 从而可得()'0f x >，函数()f x 单调递增，所以()()()210f xf x f <<=，而()222ln 0x f x x ⎛⎫=> ⎪⎝⎭，所以有()()()22f x f x f x <<.故选D.7.【解析】设ln ()xf x x=，则21ln ()x f x x -'=，所以()f x 在(0,)e 上递增，在(,)e +∞上递减；即有(6)(4)(3)f f f <<，所以ln6ln4ln2ln36423<=<，故c a b <<.故选：C8.【解析】对于①：令sin ,(0,)y x x x =-∈+∞，则'cos 10y x =-≤恒成立， 则sin ,(0,)y x x x =-∈+∞是减函数，所以有0y <恒成立， 所以sin ,(0,)x x x <∈+∞成立，所以①正确；对于②：1,xe x x R ≥+∈，令1xy e x =--，'e 1x y =-， 当0x <时，'0y <，当0x >时，'0y >，所以函数1x y e x =--在(,0)-∞上是减函数，在(0,)+∞上是增函数，所以在0x =处取得最小值，所以0010y e ≥--=，所以1,xe x x R ≥+∈成立，所以②正确；对于③，ln x x <，(0,)x ∈+∞，令ln y x x =-，有11'1x y x x-=-=， 所以有当01x <<时，'0y >，当1x >时，'0y <，所以函数ln y x x =-在1x =时取得最大值，即ln 010y x x =-≤-<， 所以ln x x <，(0,)x ∈+∞恒成立，所以③正确； 所以正确命题的序号是①②③，故选B.9.【解析】对于A ,分别画出2,1x y e y x x ==++在[)0,+∞上的大致图象如图,知21x e x x ≤++不恒成立,排除A ；对于B ,令()()252111,'24x x f x x x f x -⎫=-+=⎪⎭，所以20,,5x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()()'0,f x f x <为减函数,2,5x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，()()'0,f x f x >为增函数,所以()f x 最小值为21,5f B ⎛⎫=<⎪⎝⎭错，排除B ；对于D ,当4x =时,221ln 5ln 244,8e D <==-⨯错，排除D ，故选C.10.【解析】构造函数()()()21,xxx e e f x f x x x -='=，函数在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，因为0m n e <<<，当m 和n 在不同单调区间时，函数值大小不能确定，故AB 不正确;构造函数()()2ln 1ln ,x xf x f x x x -='=，函数在()()0,,,e e +∞，0m n e <<<故ln ln n mn m>.故答案为：D. 11.【解析】（1）若函数()f x 存在零点，只需方程()2ln 10x x ax --=有实根，即方程ln 1x a x -=有实根，令ln 1()x g x x -=，则只需函数ln 1()x g x x -=图像与直线y a =有交点即可.又22ln ()x g x x -'=，由22ln ()0x g x x -'=>可得20x e <<；由22ln ()0x g x x-'=<可得2x e >； 所以函数ln 1()x g x x-=在2(0,)e 上单调递增，在2(,)e +∞上单调递减， 故22max ()()g x g e e -==，因此，当2a e -=时，直线y a =与ln 1()x g x x-=图像仅有一个交点，即原函数只有一个零点，所以（1）正确；（2）由（1）可知，当1a >时，2ln 1()1x g x e a x--=≤<<在(0,)+∞上恒成立， 即2()()0f x g x a x=-<在(0,)+∞上恒成立，即()0f x <在(0,)+∞上恒成立；故（2）正确；（3）因为()()2ln 1f x x x ax =--，所以()ln 2f x x ax '=-，若()f x 有两个极值点12,x x ，则1122ln 20ln 20x ax x ax -=⎧⎨-=⎩，所以1212ln ln 2x x a x x -=-， 又由()f x 有两个极值点，可得方程ln 20x ax -=有两不等实根，即方程ln 2xa x=有两不等式实根，令ln ()x h x x =，则1ln ()xh x x-'=， 由1ln ()0x h x x -'=>得0x e <<；由1ln ()0xh x x -'=<得x e >； 所以函数ln ()xh x x =在(0,)e 上单调递增，在(,)e +∞上单调递减，所以max 1()h x e =，又当1x <时，ln ()0x h x x =<；当1x >时，ln ()0xh x x =>； 所以方程ln 2x a x =有两不等式实根，只需直线2y a =与函数ln ()xh x x=的图像有两不同交点，故102a e<<；所以1212ln ln 1x x x x e -<-，即（3）正确.故选A 12.【解析】函数的定义域为()0,∞+，而()()2ln 11x x f x x ++'=-+，令()ln 1h x x x =---，则()h x 在()0,∞+上单调递减， 且()221133110,ln 2ln 02222h eh e e -⎛⎫=->=-<-=-< ⎪⎝⎭，010,,2x ⎛⎫∴∃∈ ⎪⎝⎭使()00h x =，从而()f x 在()00,x 上单调递增，在()0,x +∞上单调递减，()f x 在0x x =处取得最大值，00ln 10x x ∴++=，()0000000ln 1ln 1,12x x x x f x x x ∴=--∴=-=<+.故选：A13.【解析】令()()ln 0x f x e x x =->，则()1x f x e x'=-， 易知当()0,x ∈+∞时，()f x '单调递增，由131303f e ⎛⎫'=-< ⎪⎝⎭，()110f e '=->，则存在01,13x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭使得()00f x '=，∴当()00,x x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减；当()0,x x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增；1201x x ，∴当02x x =时，()()21f x f x <即2121ln ln x x e x e x -<-，∴此时2121ln ln x x e e x x -<-，故②错误；341x x <<，∴()()43f x f x >即3443ln ln x x e x e x ->-，∴3443ln ln x x e e x x ->-，故①正确；令()()0xe h x x x =>，()()21x e x h x x -'=， ∴当()0,1x ∈时，()0h x '<，()h x 单调递减；当()1,x ∈+∞时，()0h x '>，()h x 单调递增；2301x x <<<，∴()2h x 与()3h x 的大小无法确定即23x x e 、32x x e 的大小无法确定，故③错误；121x x ，∴()()21h x h x <即2121x x e e x x <，∴1221x x x e x e >，故④正确.故答案为：①④.14.【解析】因为，所以，可知（0，1e）递减， （1e，+∞）递增，故①错误；令，所以'()ln g x x =，可知在（0,1）上递减，（1，+∞）上递增，故②错；令，所以h （x ）在（0，+∞）上递增，所以，故③正确；当时，可知，又因为f （x ）在（1e，+∞）递增， 设111()()2()()x xf x xf x x f x ϕ=-+1'()()'()2()x f x xf x f x ϕ∴=+-112ln 2ln 0x x x x x =+->，又因为f （x ）在（1e ，+∞）递增，所以1x x >时，1()()f x f x >即11ln ln x x x x >，所以1x x >时，'()0x ϕ>，故()x ϕ为增函数，所以21()()x x ϕϕ>，所以2222111()()2()()x x f x x f x x f x ϕ=-+1()0x ϕ>=，故④正确．15.【解析】对于①若11++>a b b a 成立.两边同时取对数可得11ln ln a b b a ++>,化简得()()1ln 1ln a b b a +>+，因为01a b <<<， 则10,10a b +>+>,不等式两边同时除以()()11a b ++可得ln ln 11b ab a >++ 令()ln 1xf x x =+,()0,1x ∈，则()()()()22111ln 1ln '11x x x x x f x x x +-+-==++ 当()0,1x ∈时, 11ln 0x x+->,所以()'0f x > 即()ln 1xf x x =+在()0,1x ∈内单调递增 所以当01a b <<<时()()f b f a >,即ln ln 11b ab a >++，所以11++>a b b a ，故①正确 对于②若ln ln ->-a b e e a b ,化简可得ln ln a b e a e b ->-，令()ln xg x e x =-,()0,1x ∈，则()()211',''xx g x e g x e x x=-=+， 由()''0g x >可知()1'xg x e x=-在()0,1x ∈内单调递增， 而()()'0,'110g g e →-∞=->， 所以()1'xg x e x=-在()0,1x ∈内先负后正， 因而()ln xg x e x =-在()0,1x ∈内先递减,再递增,所以当01a b <<<时无法判断，ln a e a -与ln b e b -的大小关系.故②错误.对于③,若()()log 1log 1+>+a b a b ，令()()log 1x h x x =+， 利用换底公式化简可得()()ln 1ln x h x x+=,()0,1x ∈ 则()()()()()()()()22ln 1ln ln 1ln 1ln 11''ln ln 1ln x x x x x x x x x h x x x x x x +-+-++⎡⎤+===⎢⎥+⎣⎦当()0,1x ∈时,()()ln 0,1ln 10x x x x <++> ， 所以()()ln 1ln 10x x x x -++<,即()'0h x <， 则()()ln 1ln x h x x+=在()0,1x ∈内单调递减，所以当01a b <<<时,()()ln 1ln 1ln ln a b a b++>，即()()log 1log 1+>+a b a b ，所以③正确，综上可知,正确的为①③，故答案为: ①③ 16.【解析】的定义域为，，所以有，所以有，即，即，所以有；因为， 所以有．17.【解析】（1）设()sin f x x x =-，()tan =-g x x x ， ∴()cos 1'=-f x x ，()222cos sin sin 1()11cos cos --'=-=-x x x g x xx， ∵0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴0cos 1x <<，∴()0f x '<，()0g x '>， ∴函数()sin f x x x =-在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减；函数()tan =-g x x x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增；∴()(0)0f x f <=，()(0)0g x g >=，即sin x x <，tan x x >， ∴sin tan <<x x x ，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭； （2）设函数()1x h x e x =--，所以 ()1xh x e '=-；令()10'=-=xh x e 得：0x =，由()10xh x e '=->得0x >；由()10'=-<xh x e 得0x <；所以函数()1xh x e x =--在(),0-∞上单调递减，在()0,∞+上单调递增；∴当0x =时，()h x 取最小值，即min ()(0)0h x h ==， ∴当0x ≠时，恒有()0h x >，即1x e x >+，0x ≠显然成立． 18.【解析】(1)依题意知函数的定义域为{x |x >0}， ∵f ′(x )＝2x -2=2(1)(1)x x x+-，由f ′(x )>0， 得x>1; 由f ′(x )<0， 得0<x<1∴f (x )的单调增区间为(1，＋∞), 单调减区间为(0，1)．(2)设g (x )＝f （x ）-3x+1=x 2－2ln x -3x+4， ∴g ′(x )＝2x -2--3=2232(21)(2)x x x x x x--+-=， ∵当x >2时，g ′(x )>0，∴g (x )在(2，＋∞)上为增函数， ∴g (x )>g (2)＝4-2ln2-6+4>0，∴当x >2时， x 2-2lnx>3x-4, 即当x >2时()34f x x >-..19.【解析】1）()()221ln '1x x b x f x x x α+⎛⎫-⎪⎝⎭=-+由于直线230x y +-=的斜率为12-，且过点()1,1，故()()11,1'1,2f f ⎧=⎪⎨=-⎪⎩即1,1,22b a b =⎧⎪⎨-=-⎪⎩解得1a =，1b =.（2）由（1）知f(x)=ln 1,1x x x++所以()22ln 112ln 11x x f x x x x x ⎛⎫--=- ⎪--⎝⎭ 考虑函数()()2120x h x lnx x x-=->，则h′(x)=()()222222112x x x x x x----=-， 所以x≠1时h′(x)＜0而h(1)=0,故x ()0,1∈时h(x)>0可得()ln 1xf x x >-, x ()1∈+∞， h(x)<0可得()ln 1xf x x >-,从而当0x >，且1x ≠时，()ln 1xf x x >-.20.【解析】（1）函数f (x )的定义域为(1,)-+∞．()f x '＝11x +－1＝－1x x +． 由()f x '<0及x >－1，得x >0．∴ 当x ∈（0，＋∞）时，f (x )是减函数， 即f (x )的单调递减区间为（0，＋∞）．（2）证明：由⑴知，当x ∈（－1，0）时，()f x '＞0，当x ∈（0，＋∞）时，()f x '＜0，因此，当1x >-时，()f x ≤(0)f ，即ln(1)x x +-≤0∴ln(1)x x ．令1()ln(1)11g x x x =++-+，则211()1(1)g x x x =-+'+＝2(1)x x +． ∴ 当x ∈（－1，0）时，()g x '＜0，当x ∈（0，＋∞）时，()g x '＞0． ∴ 当1x >-时，()g x ≥(0)g ，即1ln(1)11x x ++-+≥0，∴1ln(1)11x x +≥-+． 综上可知，当1x >-时，有11ln(1)1x x x -≤+≤+． 21.【解析】（1）()2ln f x x ax x =--+ ，()212121ax x f x ax x x-+==-'--+ ，则18a ∆=- ， 当18a ≥时()0,0f x '∆≤≤ ，此时f(x)在()0,∞+单调递减， 当108a <<时0∆≤ ，方程2210ax x -+= 有两个不等的正根12,x x ，不妨设12x x <，则当()()120,,x x x ∈⋃+∞时()0f x '< ， 当()12,x x x ∈时，()0f x '> ，这时f(x)不是单调函数， 综上，a 的取值范围为1,8⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，（2）由（1）可知当且仅当10,8a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，f(x)有极小值点1x 和极大值点2x且1212x x a +=，2212x x a=， ()()12f x f x + 22111222ln ln x ax x x ax x =--+--+()()()()12121211ln ln 1122x x x x x x =-+----++ ()()12121ln 12x x x x =-+++ ()1ln 214a a=++ ，令()()1ln 214g a a a =++ ，10,8a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦， 则当10,8a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()221141044a g a a a a -=-=<' ， 则()()1ln 214g a a a =++在10,8a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时单调递减，所以()132ln28g a g ⎛⎫>=- ⎪⎝⎭，即()()1232ln2f x f x +>-， 22.【解析】（1）当1a =时，()ln (0)xf x e x x =+>，1()x f x e x'∴=+，且(1)f e =， ∴曲线()y f x =在(1,)e 处的切线的斜率(1)1k f e '==+. ∴曲线()y f x =在(1,)e 处的切线方程为(1)(1)y e e x -=+-，即(1)10e x y +--=；（2）由题意得()xa f x e x'=+.0x 是()f x 的导函数()f x '的零点，()0000x a f x e x '∴=+=，即00x a e x =-，00ln ln x a e x ⎛⎫-∴= ⎪⎝⎭， 即()00ln ln()x x a +=-.又e a -<<0，则()00ln ln()1x x a +=-<. 令()ln g x x x =+，显然0x >，所以'1()10g x x=+> 因此()ln g x x x =+在(0,)+∞上是增函数，且()0(1)1g x g <=.001x ∴<<，因此0ln 0a x >.()0000ln x x f x e a x e ∴=+>.23.【解析】（1）函数()1ln f x x x x=--的定义域是()0,∞+. 因为()2222213()1112410x x x f x x x x x -+-+'=+-==>恒成立， 所以函数()1ln f x x x x=--在定义域()0,∞+上是单调递增函数.（2）由（1）知()2111f x x x'=+-.令()()12f x f x m ''==，得21122211101110m x x m x x ⎧-+-=⎪⎪⎨⎪-+-=⎪⎩，由一元二次方程根与系数关系得12111x x +=，即1212x x x x +=⋅>124x x ⋅>， ∴()()()()()12121212121211ln ln ln 1f x f x x x x x x x x x x x ⎛⎫+=+-+-+=--⎪⎝⎭令124t x x =⋅>，则()1212ln 1ln 1x x x x t t --=--，令()()ln 14g t t t t =-->， 则()()1104g t t t'=->>，得()()432ln 2g t g >=-.。

专题3.1 导数的概念及运算目录一、考纲要求1.了解导数概念的实际背景；2.通过函数图象直观理解导数的几何意义；3.能根据导数的定义求函数y ＝c (c 为常数)，y ＝x ，y ＝1x，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x 的导数；4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单复合函数(仅限于形如y ＝f (ax ＋b )的复合函数)的导数；5.了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念，几何意义；6.了解微积分基本定理的含义。

二、考点网络三、考情分析四、考点梳理考点1．导数的概念函数()f x 在0x x =处瞬时变化率是0000()()lim limx x f x x f x yx x∆→∆→+∆-∆=∆∆，我们称它为函数()y f x =在0x x =处的导数，记作0()f x '或0x x y ='．知识点诠释：①增量x ∆可以是正数，也可以是负，但是不可以等于0．0x ∆→的意义：x ∆与0之间距离要多近有 多近，即|0|x ∆-可以小于给定的任意小的正数；②当0x ∆→时，y ∆在变化中都趋于0，但它们的比值却趋于一个确定的常数，即存在一个常数与 00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆无限接近； ③导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率．如瞬时速度即是位移在这一时 刻的瞬间变化率，即00000()()()limlimx x f x x f x yf x x x∆→∆→+∆-∆'==∆∆． 考点2．基本初等函数的导数公式考点3.导数的运算法则（1）函数和差求导法则：[()()]()()f x g x f x g x '''±=±；（2）函数积的求导法则：[()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''=+； （3）函数商的求导法则：()0g x ≠，则2()()()()()[]()()f x f xg x f x g x g x g x ''-=． 考点4．复合函数的导数复合函数[()]y f g x =的导数和函数()y f u =，()u g x =的导数间关系为x u x y y u '''=：重难点题型（一） 导数的定义例1．（23-24高二下·四川遂宁·阶段练习）设()f x 为可导函数，且满足0(3)lim 3(33)x f x f x∆→+∆-=∆，则曲线()y f x =在点(3,(3))f 处的切线的斜率是（ ）A ．1B ．3C ．6D ．9例2．（23-24高二下·江西萍乡·期中）已知甲､乙两个小区在[]0,t 这段时间内的家庭厨余垃圾的分出量Q 与时间t 的关系如图所示．给出下列四个结论，其中正确结论的个数为（ ）①在[]12,t t 这段时间内，甲小区比乙小区的分出量增长得慢； ②在[]23,t t 这段时间内，乙小区比甲小区的分出量增长得快； ③在2t 时刻，甲小区的分出量比乙小区的分出量增长得慢； ④乙小区在2t 时刻的分出量比3t 时刻的分出量增长得快． A ．1 B ．2C ．3D ．4例3．（24-25高三上·吉林长春·开学考试）数()f x 在R 上可导，若()23f '=，则()()232limx f x f x x∆→+∆--∆=∆ .【变式训练1】．（23-24高二上·江苏南京·期末）若0(22)(2)lim 62x f x f x∆→+∆-=∆，则()2f '=（ ）A ．32B ．6C ．3D ．3-【变式训练2】．（24-25高三·上海·课堂例题）如图，函数y =f (x )图像在点P 处的切线方程是8y x =-+，则()()55limh f h f h→+-= .【变式训练3】．（23-24高二下·山东菏泽·期中）若函数()f x 在0x x =处可导，则()()000lim4h f x h f x h h→+--=（ ） A ．()014f x ' B ．()012f x 'C ．()0f x 'D ．()02f x '重难点题型（二） 导数的运算例4．（2024高三·全国·专题练习）已知()()2024ln f x x x =+，若()0f x '=2025，则0x 等于（ ） A ．2e B ．1 C ．ln2 D ．e例5．（23-24高二下·福建福州·期末）已知函数()()21f x x x f '=-⋅，则()2f '=（ ）A ．0B ．2C ．3D ．4例6．（2024·四川绵阳·模拟预测）已知函数()sin cos f x x x =-，且()()003f x f x ='，则0sin 21cos 2x x =- .【变式训练4】．（2024·山西晋中·模拟预测）已知函数()()()()()()()234562222222f x x x x x x x x =------，则()0f '=（ ） A ．202 B ．212 C ．222 D ．232【变式训练5】．（2024·河南信阳·三模）动点P 在函数ln(4)ln y x x =--的图像上，以P 为切点的切线的倾斜角取值范围是（ ） A ．π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．π3π0,,π44⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭C ．π3π,24⎤⎛ ⎥⎝⎦D ．3π,π4⎡⎫⎪⎢⎣⎭【变式训练6】．（2024·江西南昌·三模）设函数()f x 的导数为()f x '，且()f x =则(1)f '= .【变式训练7】．（2024·广西柳州·模拟预测）已知()ln f x x x =，则()f x 在点()()e,e f 处的切线斜率是 ．重难点题型（三）导数的几何意义【解题方法总结】求切线方程问题的两种类型及方法(1)、求“在”曲线y ＝f (x )上一点P (x 0，y 0)处的切线方程：点P (x 0，y 0)为切点，切线斜率为k ＝f ′(x 0)，有唯一的一条切线，对应的切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)．.(2)、求“过”曲线y ＝f (x )上一点P (x 0，y 0)的切线方程：切线经过点P ，点P 可能是切点，也可能不是切点，这样的直线可能有多条，解决问题的关键是设切点，利用“待定切点法”，即： ①设切点A (x 1，y 1)，则以A 为切点的切线方程为y －y 1＝f ′(x 1)(x －x 1)；①根据题意知点P (x 0，y 0)在切线上，点A (x 1，y 1)在曲线y ＝f (x )上，得到方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 1＝f (x 1)，y 0－y 1＝f ′(x 1)(x 0－x 1)，求出切点A (x 1，y 1)，代入方程y －y 1＝f ′(x 1)(x －x 1)，化简即得所求的切线方程． 考向1、求曲线的切线方程例7．（2023·陕西榆林·一模）曲线()e xf x x =-在0x =处的切线方程为 ．例8．（2024·四川宜宾·三模）若曲线e x y a =+的一条切线方程是1y x =-，则a =（ ）A ．2-B ．1C ．1-D ．e例9．（2023·北京东城·一模）过坐标原点作曲线2e 1x y -=+的切线，则切线方程为（ ）A ．y x =B ．2y x =C ．21e y x =D ．e y x =例10．（2024·贵州六盘水·三模）已知曲线23ln y x x =-的一条切线方程为y x m =-+，则实数m =（ ）A ．−2B ．1-C ．1D ．2【变式训练8】．（2024·湖北·模拟预测）曲线e x y =在点()0,2P 处的切线为l ，则l 在x 轴上的截距是 .【变式训练9】．（2024·陕西安康·模拟预测）若函数()3221f x x x =++，则()f x 在点()1,2P -处的切线方程为（ ）A ．10x y +-=B ．30x y ++=C ．250x y -+=D ．230x y +-=【变式训练10】．（2024·天津和平·二模）过点()0,0作曲线()2xy x =∈R 的切线，则切点的坐标为 ．【变式训练11】．（2024·山西吕梁·二模）若曲线()ln f x x =在点()00,P x y 处的切线过原点()0,0O ，则0x = .考向2、公切线例11．（2024·陕西榆林·模拟预测）已知曲线()2f x x =与()()()ln 0g x ax a =>有公共切线，则实数a 的最大值为 ．例12．（2024·广东茂名·一模）曲线ln y x =与曲线22y x ax =+有公切线，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦B ．1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭C ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【变式训练12】．（2023·陕西宝鸡·模拟预测）已知曲线()e xf x x =+在点()()0,0f 处的切线与曲线()ln 1y x a =-+相切，则a = .【变式训练13】．（2023·四川绵阳·模拟预测）若函数()2f x x ax =-与函数()ln 2g x x x =+的图象在公共点处有相同的切线，则实数a =（ ）A ．2-B ．1-C ．eD ．2e -考向3、切线的条数问题例13．（2023·河南·三模）已知函数()3f x x x a =-+的图像关于原点对称，则与曲线()y f x =和214y x =+均相切的直线l 有（ ）A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条例14．（2023·山东烟台·三模）若曲线1(0)y kx k -=<与曲线e x y =有两条公切线，则k 的值为 ．【变式训练14】．（2023·湖南衡阳·模拟预测）若曲线()(0)kf x k x=<与()e x g x =有三条公切线，则k 的取值范围为（ ）A ．1,0e ⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．1,e⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭C ．2,0e ⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．2,e ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭【变式训练15】．（2023·河北邯郸·三模）若曲线e x y =与圆22()2x a y -+=有三条公切线，则a 的取值范围是 ．考向4、已知切线方程求参数例15．（2018·江西·一模）设e 表示自然对数的底数，函数222e e 5()2424x x a f x x ax a =+--+，当()f x 取得最小值时，则实数a 的值为 ．例16．（2015·吉林·二模）已知函数()2e xf x a =（0,e a >为自然对数的底数）的图像与直线0x =的交点为M ，函数()lnx g x a =()0a >的图像与直线0y =的交点为N ，MN 恰好是点M 到函数()ln xg x a=()0a >图像上任意一点的线段长的最小值，则实数a 的值是【变式训练16】．（2020·重庆·模拟预测）若曲线y ＝ax +2cos x 上存在两条切线相互垂直，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[√3]B ．[﹣1，1]C ．（﹣∞，1]D ．[1]【变式训练17】．（19-20高三上·四川广安·阶段练习）已知直线2y x =与曲线()()ln f x ax b =+相切，则ab 的最大值为A ．4eB ．2eC ．eD ．2e考向5、平行、垂直与重合问题例17．（2023·四川凉山·一模）函数()21ln 2f x x a x =+在区间()1,2的图象上存在两条相互垂直的切线，则a 的取值范围为（ ）A ．()2,1-B ．()2,1--C ．()2,0-D ．()3,2--例18．（2021·四川·三模）切x 轴于点A 、对称轴平行于y 轴的抛物线和曲线y =B ，并且两曲线在B 点的切线相互垂直，A 、B 两点的横坐标分别为1、2，k 和c 是正的常数，则k 的值为 ．【变式训练18】．（2021·浙江杭州·模拟预测）函数()sin f x ax x =+的图象上存在两条相互垂直的切线，则实数a 的取值范围是（ ）A ．{}0,1B ．{}0C ．[)0,1D ．[)1,+∞【变式训练19】．（2019·江苏泰州·一模）已知函数31()4f x x x=-+，若直线1l ，2l 是函数()y f x =图象的两条平行的切线，则直线1l ，2l 之间的距离的最大值是 ．考向6、最值问题例19．（2024·四川眉山·三模）若关于x 的不等式()32ln 10x ax bx a ≤--≠恒成立，则b a的最大值为（ ）A ．21e B ．22e C ．1eD ．2e例20．（22-23高三上·河北邢台·阶段练习）二次函数222y x x -=+与()20,0y x ax b a b =-++>>在它们的一个交点处切线互相垂直，则24b a b+的最小值为 .例21．（2024·江西新余·模拟预测）（多选题）已知函数()ln f x x ax b =--，则下列说法正确的是：（ ）.A ．若1,1a b ==，则()f x 的最大值为2-B ．若1a =-，则函数()xf x 始终有且仅有1个极值点且为极小值点C ．若1ab =，则()f x 始终有且仅有1个零点D ．若()0f x ≤恒成立，则a b +的最小值为0【变式训练20】．（2024·广东江门·二模）若曲线21:C y x =与曲线2:e (0)xC y a a =>存在公切线，则a 的最大值 .【变式训练21】．（2024·福建泉州·模拟预测）若曲线2y x 与()e 0xy t t =≠恰有两条公切线，则t 的取值范围为（ ）A ．240,e ⎛⎫⎪⎝⎭B ．24,e ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭C ．()24,0,e ∞∞⎛⎫-⋃+ ⎪⎝⎭D ．()24,0e ∞⎧⎫-⋃⎨⎬⎩⎭【变式训练22】．（23-24高二下·河南周口·阶段练习）下列命题正确的有（ ）A ．已知函数()f x 在R 上可导，若()12f '=，则()()121lim2x f x f x→+-=B ．已知函数()()ln 21f x x =+，若()01f x '=，则012x =C ．若函数()32113f x x x =-++，则()f x 的极大值为1D ．设函数()f x 的导函数为f ′(x )，且()()232ln f x x xf x '=++，则()924f '=-1．（2024·全国·高考真题）设函数()2e 2sin 1x xf x x +=+，则曲线y =f (x )在点(0,1)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（ ）A ．16B ．13C ．12D ．232．（2023·全国·高考真题）曲线e 1xy x =+在点e 1,2⎛⎫ ⎪⎝⎭处的切线方程为（ ）A ．e 4y x =B ．e 2y x =C ．e e 44y x =+ D ．e 3e24y x =+ 3．（2021·全国·高考真题）若过点(),a b 可以作曲线e x y =的两条切线，则（ ） A ．e b a < B ．e a b < C ．0e b a <<D ．0e a b <<4．（2020·全国·高考真题）若直线l 与曲线y x 2+y 2=15都相切，则l 的方程为（ ）A ．y =2x +1B ．y =2x +12C ．y =12x +1D ．y =12x +125．（2020·全国·高考真题）函数43()2f x x x =-的图像在点(1(1))f ，处的切线方程为（ ） A ．21y x =-- B ．21y x =-+ C ．23y x =-D ．21y x =+6．（2024·全国·高考真题）若曲线e x y x =+在点()0,1处的切线也是曲线ln(1)y x a =++的切线，则a = .7．（2022·全国·高考真题）曲线ln ||y x =过坐标原点的两条切线的方程为 ， ． 8．（2022·全国·高考真题）已知1x x =和2x x =分别是函数2()2e x f x a x =-（0a >且1a ≠）的极小值点和极大值点．若12x x <，则a 的取值范围是 ．9．（2022·全国·高考真题）若曲线()e x y x a =+有两条过坐标原点的切线，则a 的取值范围是 ． 10．（2021·全国·高考真题）曲线2x 1y x 2-=+在点()1,3--处的切线方程为 ． 11．（2024·天津·高考真题）设函数()ln f x x x =． (1)求()f x 图象上点()()1,1f 处的切线方程；(2)若()(f x a x ≥在()0,x ∈+∞时恒成立，求a 的值；(3)若()12,0,1x x ∈，证明()()121212f x f x x x -≤-． 12．（2024·全国·高考真题）已知函数3()e x f x ax a =--． (1)当1a =时，求曲线()y f x =在点()1,(1)f 处的切线方程； (2)若()f x 有极小值，且极小值小于0，求a 的取值范围． 13．（2023·全国·高考真题）已知函数()()1ln 1f x a x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭．(1)当1a =-时，求曲线y =f (x )在点()()1,1f 处的切线方程． (2)若函数()f x 在(0,+∞)单调递增，求a 的取值范围． 14．（2023·天津·高考真题）已知函数()()11ln 12f x x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭．(1)求曲线y =f (x )在2x =处的切线斜率； (2)求证：当0x >时，()1f x >； (3)证明：()51ln !ln 162n n n n ⎛⎫<-++≤ ⎪⎝⎭．。