复数的几何意义77页PPT

例题1
已知复数 z1=2(cos(π/3)+isin(π /3))， z2=3(cos(π/6)+isin(π /6))，求z1z2和z1/z2。
解答
根据极坐标形式下复数 乘法运算规则，有
z1z2=2*3[cos(π/3+π/ 6)+isin(π/3+π/6)]=6( cos(π/2)+isin(π/2))=6 i。根据极坐标形式下复
z=2(cos(2π/3)+isin(2 π/3))。根据三角形式与 代数形式的转换公式，
有 z=2cos(2π/3)+2isin(2
π/3)=-1+√3i。
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04
复数在三角函数中应用
2024/2/2
18
三角函数基本知识点回顾
1 2
三角函数的定义 正弦、余弦、正切等基本三角函数的定义及性质。
三角函数的图像与性质 三角函数在各象限的取值范围、单调性、周期性 等。
极坐标与直角坐标关系
对于平面内任意一点M，用ρ表示线段OM的长度（有时也用r表示），θ表示从Ox 到OM的角度，ρ叫做点M的极径，θ叫做点M的极角，有序数对 (ρ,θ)就叫点M的极 坐标，这样建立的坐标系叫做极坐标系。
14
复数辐角和模长计算方法
复数辐角
在复平面内，复数所对应的向量与x轴正方向的夹角称为复数的辐角，辐角的大小有无穷多个，但是在区 间(-π,π]内的辐角称为辐角的主值，记作argz。
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30
对未来学习方向建议
深入学习复数理论
进一步学习复数的高级理论和应 用，如复变函数、留数定理等。
2024/2/2
拓展相关领域知识
了解与复数相关的数学、物理、 工程等领域的知识和应用。

例题讲解
例3.已知集合 M z z 1 1, z C (1) 求 z 3 4i 的最大值和最小值
.
（2）记集合N z z 1 i z 2 , z C， 集合P M N ,
求集合P 中复数模的最大值.
变题1 若集合 M z z 11, zC ，N z z 1i z 2, zC 集合 P M N ,求集合P中复数模的最大值 与最小值.
巩固练习
3 z i (1 i ) ， 1.已知复数 1 ,则 z1 ___
2.已知
z1
z1 10, z2 6 8i, 且z1 z2 为纯虚数，则复数
3.若 z 3 4i 2 ，则 z 最大值是 3π 4.复数 z 1 cos θ i sin θ (π θ ) 的模的取值范围为 2 5.已知 z1 2 2i ，复数 z 满足 z 1，求 z z1 的最大值
感
谢
指
导！
例题讲解
2 z ( 3 i ) ， 求z. 例2.（1）①已知
②已知 z C ,且 z(1 i) 2 3i, 求 z . 变：已知 z1 , z 2 C , 若 z1 5, z2 3 4i, z1 z2 是纯虚数，求 z 1
（2）已知 z1 , z 2 C, z1 z 2 1, z1 z 2 3, 求 z1 z2
符合向量 减法的三 角形法则.
Z2(c,d)
Z1(a,b)
o
|z2-z1|表示的几何意义?
x
表示复平面上与这两个复数对应的两点之间的距离。
例题讲解
例1.已知平行四边形 ABCD 的顶点 A, B, D 对应的复数分别为1 i,4 3i,1 3i.

这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做 复平面 ，x轴叫做 实轴 ， y轴叫做 虚轴 . 显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外,虚轴上的点都表示纯虚数. 2.复数的几何意义 按照这种表示方法，每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应； 反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应.因此，复 数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应的，即复数z＝a＋bi
因此，复数集C与复平面内的向量所成的集合也是一一对应的(实数0与
零向量对应)，即复数z＝a＋bi
平面向量
→ OZ
，这是复数的
另一种几何意义.
思考 (1)虚轴上的点都对应着唯一的纯虚数吗？
答案 不是.
(2)象限内的点与复数有何对应关系？
பைடு நூலகம்
答案 第一象限的复数特点：实部为正，且虚部为正；
第二象限的复数特点：实部为负，且虚部为正；
第三象限的复数特点：实部为负，且虚部为负；
第四象限的复数特点：实部为正，且虚部为负.
知识点二 复数的模 1.如图所示，向量O→Z的模 r 叫做复数 z＝a＋bi(a，b∈R)的模，记作|z|或|a
＋bi|.如果 b＝0，那么 z＝a＋bi 是一个实数 a，它的模等于|a|(就是 a 的绝 对值).由模的定义可知：|z|＝|a＋bi|＝r＝ a2＋b2 (r≥0，r∈R).
2.复数的模的性质，设z1，z2是任意两个复数，则 (1)|z1·z2|＝|z1|·|z2|，zz12＝||zz12||(|z2|≠0)(复数的乘、除法将在下节学习到). (2)|zn1|＝|z1|n(n∈N*). (3)|z1|－|z2|≤|z1＋z2|≤|z1|＋|z2|，等号成立的条件是： ①当|z1＋z2|＝|z1|＋|z2|时，即 z1，z2 所对应的向量同向共线； ②当||z1|－|z2||＝|z1＋z2|时，即 z1，z2 所对应的向量反向共线. (4)||z1|－|z2||≤|z1－z2|≤|z1|＋|z2|，等号成立的条件是： ①当|z1－z2|＝|z1|＋|z2|时，即 z1，z2 所对应的向量反向共线； ②当||z1|－|z2||＝|z1－z2|时，即 z1，z2 所对应的向量同向共线.

，也会招来人们的反感轻蔑和嫉妒。——培根 22、业精于勤，荒于嬉；行成于思，毁于随。——韩愈
23、一切节省，归根到底都归结为时间的节省。——马克思 24、意志命运往往背道而驰，决心到最后会全部推倒。——莎士比亚
25、学习是劳动，是充满思想的劳动。——乌申斯基
谢谢！
复数的几何意义
51、没有哪个社会可以制订一部永远 适用的 宪法， 甚至一 条永远 适用的 法律。 ——杰 斐逊 52、法律源于人的自卫本能。——英 格索尔
53、人们通常会发现，法律就是这样 一种的 网，触 犯法律 的人， 小的可 以穿网 而过， 大的可 以破网 而出， 只有中 等的才 会坠入 网中。 ——申 斯通 54、法律就是法律它是一座雄伟的大 夏，庇 护着我 们大家 ；它的 每一块 砖石都 垒在另 一块砖 石上。 ——高 尔斯华 绥 55、今天的法律未必明天仍是法律。 ——罗·伯顿

例3 如图所示，平行四边形OABC的顶点O，A，C分别
对应的复数为0，3＋2i，－2＋4i. 求：(1)A→O表示的复数；
解 因为A，C对应的复数分别为3＋2i，－2＋4i， 由复数的几何意义，知O→A与O→C表示的复数分别为 3＋2i，－2＋4i. 因为A→O＝－O→A，所以A→O表示的复数为－3－2i.
的对角线OZ所对应的向量
→ OZ
就是
与复数z1＋z2对应的向量
复数减法的几 何意义
从向量
→ OZ2
的终点指向向量
O→Z1的
终点的向量 -Z-2-Z→1 就是复数z1－z2对
应的向量
2 题型探究
PART TWO
题型探究
一、复数的几何意义
例1 实数x分别取什么值时，复数z＝(x2＋x－6)＋(x2－2x－15)i对应的 点Z在： (1)第三象限；
题型探究
跟踪训练1 求当实数m为何值时，复数z＝(m2－8m＋15)＋(m2＋3m－ 28)i在复平面内的对应点分别满足下列条件： (1)位于第四象限；
m2－8m＋15>0，
m<3或m>5，
解 由题意，知m2＋3m－28<0， 解得－7<m<4.
即－7<m<3.
故当－7<m<3时，复数z的对应点位于第四象限.
知识梳理
2.复数的模 复数z＝a＋bi(a，b∈R)，对应的向量为O→Z，则向量 O→Z 的模叫作复数z＝ a＋bi的模(或绝对值)，记作 |z| 或 |a＋bi| .由模的定义可知：|z|＝|a＋bi| ＝ a2＋b2 .
知识梳理
知识点三 复数加、减法的几何意义
复数加法的几 何意义
以 O→Z1，O→Z2 为邻边的平行四边形

如图，设复平面内的点Z 表示复数z abi ，连接 OZ ， 显然向量 OZ 由点 Z 唯一确 定；反过来，点 Z 也可以由 向量OZ 唯一确定.
y
b
Z (a,b)
O
ax
如图，设复平面内的点Z 表示复数z abi ，连接 OZ ， 显然向量 OZ 由点 Z 唯一确 定；反过来，点 Z 也可以由 向量OZ 唯一确定.
复数的几何意义
高一年级 数学
复习回顾
我们引入新数 i，规定 i2 1
复数的代数形式：
复数的代数形式：
复 数 z a + b i (a,bR)
复数的代数形式：
复 数 z a + b i (a,bR)
实部
复数的代数形式：
复 数 z a + b i (a,bR)
实部 虚部
复数的代数形式：
有序实数对 (a,b) 复数 z abi
有序实数对 (a,b)
复数 z abi
复平面内的点Z (a,b)
有序实数对 (a,b)
复数 z abi
对应 复平面内的点Z(a,b)
找出复平面内的点所表示的复数： y 在复平面内，
原点 O(0,0)
1
O1
x
找出复平面内的点所表示的复数： y 在复平面内，
Z1(2,0)
1
x
虚轴上的点Z (0,1) 表示纯虚数i ；
Z (0,1) 2
2
点 Z3(2,3)
找出复平面内的点所表示的复数： y
在复平面内，
Z3(2,3)
原点 O(0,0) 表示实数0；
实轴上的点 Z1(2,0) 表示实数2；
1
(0,0)O
Z1(2,0)

则 ∣ z 1- z 2∣ 的 最 大 值 是 （
）
（ A） ６
（ B） ５
（ C） ４ （ D） ３
解法1：z1 z2z1 (2 i z1 ) 2 z1 i
z1
i
2
max
z1 z2 的最大值是4
解法 2： z1 z2 2i , z1 2i z2
94.对一个适度工作的人而言，快乐来自于工作，有如花朵结果前拥有彩色的花瓣。――[约翰·拉斯金] 95.没有比时间更容易浪费的,同时没有比时间更珍贵的了，因为没有时间我们几乎无法做任何事。――[威廉·班] 96.人生真正的欢欣，就是在于你自认正在为一个伟大目标运用自己；而不是源于独自发光.自私渺小的忧烦躯壳，只知抱怨世界无法带给你快乐。――[萧伯纳]
例1
复 数 z 满 足 条 件 ∣ z+2∣ -∣ z-2∣ =4 则复数 z 所对应的点 Z 的轨迹是
（
）
（ 1） 双 曲 线 （ B ） 双 曲 线 的 右 支
（ C） 线 段
（ D） 射 线
例 2． 若 复 数 z 满 足 条 件 ∣ z∣ ＝ １ ， 求 ∣ z-2i∣ 的 最 值 。
例 3 ． 已 知 z 1、 z 2∈ C ， 且 ∣ z 1∣ ＝ １ ， 若 z 1+ z 2= 2 i ，
最小值是__________.
2 复数 z 满足条件∣z-2∣+∣z+i∣= 5 ，
则∣z∣的取值范围是（
）
(A)
2
5 5
,
5

(C)1, 5
(B)
2
5 5
,2

(D) 1,2
例２．已知复平面内一个椭圆的两 个焦点对应的复数分别是-1+3 i、 -1- i，且复数 1+i 对应的点正好在这 个椭圆上，则这个椭圆方程的复数 形式是———————————

复数的模及其几何意义
复数的模及其几何意义
x＝－2 时，点 Z 位于直线 x－y－3＝0 上. 合复数的模及其几何意义
作复复数数的 加模减及法其的几几何何意意义义 探复数加减法的几何意义
课 时
究复数加减法的几何意义
分
复数的模及其几何意义
层
释复数加减法的几何意义 疑复复数数加 的减模法及的其几几何何意意义义
解得－2<m<12.
层 作 业
难
故实数 m 的取值范围是－2，12.
返
首
页
·
16
·
情
课
景
堂
导 学
复数可由复平面内的点或向量进行表示
小 结
·
探 新
(1)复数与复平面内点的对应：复数的实、虚部是该点的横、纵
提 素
知
养
坐标，利用这一点，可把复数问题转化为平面内点的坐标问题．
合
作
课
探 究
(2)复数与复平面内向量的对应：复数实、虚部是对应向量的坐
课
景
堂
导
小
学
结
·
探
提
新
素
知
养
·
·
合
作
课
探
时
究
∴z4＝z2＋z3－z1＝(5＋i)＋(3＋3i)－(1＋i)＝7＋3i，
分 层
释
作
疑 难
∴AD 的长为|A→D|＝|z4－z1|＝|(7＋3i)－(1＋i)|＝|6＋2i|＝2 10.
业
返 首 页
·
26
复数的模及其几何意义
情
课
景
堂
导
小
学

模，记做 z 或 a bi
z=a+bi
Z(a,b)
如何求复数
的模？？
a
y b
ox
uuur z OZ a2 b2
复数的模的几何意义：
复数z=a+bi在复平面所对应的点Z（a，b）到原点 的距离
例4、已知复数z 1=3+2i，z2=-2+4i，比较这两
个复数模的大小
解：Q z1 13, z2 2 5 z1 z2
解：m2 m m 020来自,得m m
2或m 0
1
m 1,
一种重要的数学思想：数形结合思想
二、复数的向量表示
z=a+bi Z(a,b)
a
y b
ox
复数z=a+bi 一一对应 直角坐标系中的点Z(a,b)
一一对应
uuur 一一对应
平面向量 OZ
三、复数的摸
uuur
向量 OZ 的模叫做复数z=a+bi的
练习：已知复数 z k 3i, (k R) 的模为
5，求k的值
解：z k 2 9 5, k 2 16 k 4
实数 (数)
一一对应
数轴上的点 (形)
实数的几何模型:
01
x
注:规定了正方向，原点，单位长度的直线叫做数轴.
由复数相等的内涵可知,任何一个复数 z a bi(a,bR) ，都可以与一个有序数对 (a,b) 唯一确定。 因为有序数对(a,b) 与平面直角坐标系中的点一一对应，所以 复数集与平面直角坐标系中的点集可以建立一一对应的关系.
有序实数对(a,b)
复数z=a+bi 一一对应 直角坐标系中的点Z(a,b)
（数）
（形）

阻抗
在交流电路中，电阻、电 感和电容的阻抗可用复数 表示，实部表示电阻，虚 部表示电感和电容。
频域分析
通过傅里叶变换将时域信 号转换为频域信号，频域 信号可用复数表示。
振动与波动的复数描述
简谐振动
简谐振动的位移、速度和加速度可用复数表示，方便进行振幅、 频率和相位的计算。
波的叠加
多个波叠加时，可用复数表示各波的振幅和相位，便于计算合成 波的振幅和相位。
复数的运算与几何意
04
义
复数的加法与减法
01
02
03
加法运算规则
设$z_1 = a + bi$，$z_2 = c + di$，则$z_1 + z_2 = (a + c) + (b + d)i$。
减法运算规则
设$z_1 = a + bi$，$z_2 = c + di$，则$z_1 - z_2 = (a - c) + (b - d)i$。
复数的几何意义ppt课 件(公开课)
目录
• 引言 • 复数的表示方法 • 复数的几何解释 • 复数的运算与几何意义 • 复数在几何中的应用 • 复数在其他领域的应用
引言
01
复数的基本概念
01
02
03
04
定义
复数是形如 $a + bi$ 的数， 其中 $a$ 和 $b$ 是实数，$i$ 是虚数单位，满足 $i^2 = -1$。
实部和虚部
在复数 $a + bi$ 中，$a$ 称 为实部，$b$ 称为虚部。
共轭复数
若 $z = a + bi$，则其共轭复 数为 $a - bi$。
模