3-3 高阶导数解析

例8. 设 y = x ( µ ∈ R ), 求 y 解:
µ
(n)
.
y′ = µ x µ −1 ,
y′′ = ( µ x µ −1 )′ = µ ( µ − 1) x µ − 2 ,
y′′′ = ( µ ( µ − 1) x µ − 2 )′ = µ ( µ − 1)( µ − 2) x µ − 3 , LL
′ ′ v 1 =− 2 v v
− 2x = y′′′ = 2 2 (1 + x )
2( 3 x 2 − 1) = , 2 3 (1 + x )
则 y′′(0) = − 2x (1 + x )
2 2
′
(−2 x )′(1 + x ) − (−2 x )[(1 + x ) ]′
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例11. 设
1
求
2 ′ y= ,即 ( +x )y =1 ′ 解: 1 2 1+x 用莱布尼兹公式求 n 阶导数
( +x ) 1
令 由 由 即 得 得
2
2x
2
y
(2m )
(0 =0 )
( + 得 y 2m 1)(0 =(− )m(2 )!y(0 ) 1 m ′ ) +) y(2m 1 (00, n=2 m )= (n ) y (0 = m ) (m=01 2L ,, , ) m =L (− ) 2 )!y 0 m m) ( 1= m − ) (21!,( n=2′(+1
3 2 3 1 − cos 4 x 5 3 = 1 − sin 2 x = 1 − ⋅ = + cos 4 x , 4 8 8 4 2

( f ( x)) lim f ( x x) f ( x)
x0
x
存在,则称( f ( x))为函数f ( x)在点x处的二阶导数.
记作
f ( x),
y,
d2 dx
y
2
或
d
2 f (x dx 2
)
.
d (dy) d x dx
y f (x) y f (x) y [ f (x)] f (x)
dx n
dx n
二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数.
相应地, f ( x)称为零阶导数; f ( x)称为一阶导数.
二、 高阶导数求法举例
例
设 y arctan x, 求f (0), f (0).
( 1
1(xu21))
1(1u(112x2
x2 )2
)
解
y

1

y(n) ( 1)( n 1)xn (n 1)
若 为自然数n,则
y(n) ( xn )(n) n!, y(n1) (n!) 0.
注意:求n阶导数时,求出1-3或4阶后,不要急于合并, 分析结果的规律性,写出n阶导数.(数学归纳法)
例. 设 y eax , 求 y(n). 解: y aeax ,
y a2 eax , y a3eax , , y(n) an eax
特别有: (e x )(n) e x
例 设 y ln(1 x), 求y(n) .
[([(11(112xx1)x)3)2]](1[2[1(x1()12 x(1)x)3]2x]) 22(13(1x)x3 )4

0,
求
d2 y d x2

低阶导数和高阶导数一、低阶导数与高阶导数的定义（一）低阶导数1. 一阶导数- 对于函数y = f(x)，它的一阶导数y^′=f^′(x)表示函数y = f(x)的瞬时变化率。

- 从几何意义上讲，函数y = f(x)在点x处的一阶导数f^′(x)就是曲线y = f(x)在点(x,f(x))处的切线斜率。

- 例如，对于函数y = x^2，根据求导公式(x^n)^′=nx^n - 1，可得y^′=(x^2)^′ = 2x。

2. 二阶导数- 函数y = f(x)的一阶导数y^′=f^′(x)的导数称为函数y = f(x)的二阶导数，记作y^′′=f^′′(x)。

- 二阶导数在物理中可以表示加速度（如果y表示位移，y^′表示速度，那么y^′′表示加速度）。

- 对于前面提到的y = x^2，y^′ = 2x，那么y^′′=(2x)^′=2。

（二）高阶导数1. 定义- 一般地，函数y = f(x)的n - 1阶导数的导数称为函数y = f(x)的n阶导数，记作y^(n)=f^(n)(x)，n≥slant2且n∈ N^+。

2. 莱布尼茨公式（用于求两个函数乘积的高阶导数）- 设u = u(x)和v = v(x)都是n阶可导函数，则(uv)^(n)=∑_{k =0}^nC_{n}^ku^(n - k)v^(k)，其中C_{n}^k=(n!)/(k!(n - k)!)。

二、低阶导数与高阶导数的求法（一）基本函数求导公式1. 幂函数- (x^n)^′=nx^n - 1，例如(x^3)^′ = 3x^2。

2. 三角函数- (sin x)^′=cos x，(cos x)^′=-sin x，(tan x)^′=sec^2x。

3. 指数函数- (a^x)^′=a^xln a（a>0,a≠1），特别地(e^x)^′ = e^x。

4. 对数函数- (log_{a}x)^′=(1)/(xln a)（a>0,a≠1,x>0），特别地(ln x)^′=(1)/(x)。

-1 y=-(1+x)-2 y ln(1 x ) y (1+ x ) 解:
y=(-1)(-2)(1+x)-3 y(4)=(-1)(-2)(-3)(1+x)-4
一般地 可得 y(n)=(-1)(-2) (-n+1)(1+x)-n (1)n 1 (n 1)! (1 x)n
k u (n k )v(k ) (uv)(n) Cn k 0 n
这一公式称为莱布尼茨公式
5. yx 2e2x 求y(20) 解: 设ue2x vx2 则 (u)(k)2ke2x (k1 2 20) v2x v2 (v)(k)0 (k3 4 20) 代入莱布尼茨公式 得
解:
y
(n)
n(n 1)(n 2) 3 2 1 a0 n!a0
y
( n 1 )
0
4. 导出函数积的 n 阶导数公式. (uv)uvuv (uv)uv2uvuv (uv)uv3uv3uvuv 类似地可以得到:
根据高阶导数的定义, 求函数的高阶 导数就是将函数逐次求导, 因此, 前面介 绍的导数运算法则与导数基本公式, 仍然 适用于高阶导数的计算． 例1 y=axb 求y 解: ya y0 例2 ssinwt 求s 解: swcoswt sw 2sinwt
第四节 高阶导数
一、高阶导数的概念
二、高阶导数的运算法则
引例：变速直线运动
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ速度
加速度 即 a ( s)
即 v s
一、高阶导数
定义. 如果函数 y f (x) 的导函数 y f ( x) 仍是x的可导函数, 就称 y f (x) 的导数为 函数 f ( x) 的二阶导数, 记作 2 2 d y d f (x) y，f (x) ， 2 或 2 dx dx 类似地 二阶导数的导数叫做三阶导数 三阶导数的导数叫做四阶导数; 一般地, (n1)阶导数的导数叫做n阶导数 分别记作 3y 4y ny d d d y y (4) y (n) 或 3 4 n dx dx dx