数学培优---创新题

创新题
班级 姓名 学号
⊕⊗ a b c d a b c d a a b c d a a a a a b b b b b b a b c d c c b c b c a c c a d
d b b d
d
a d a d
那么d ⊗()a c ⊕= A ．a B ．b C ．c D ．d
2.定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下，对任意的a=（m ，u ），b=（p ，q ），另a ⊙b=mq-np ，下面的说法错误的是
（A ）若a 与b 共线，则a ⊙b=0 （B ）a ⊙b=b ⊙a （C ）对任意的λ∈R ，有（λa ）⊙b=λ（a ⊙b ） （D ）（a ⊙b ）2+（a ·b ）2=|a|2 |b|2 3.设函数的集合21
1()log (),0,,1;1,0,122
P f x x a b a b ⎧⎫==++=-=-⎨⎬⎩
⎭
，
平面上点的集合11(,),0,,1;1,0,122
Q x y x y ⎧⎫==-=-⎨⎬⎩
⎭
，则在同一直角坐标系中，P 中函
数()f x 的图象恰好．．经过Q 中两个点的函数的个数是 （A ）4（B ）6（C ）8（D ）10 4.记实数1x ，2x ，……n x 中的最大数为max {}12,,......n x x x ，最小数为min {}12,,......n x x x 。

已知ABC 的三边长位a,b,c （a b c ≤≤），定义max ,,min ,,,a b c a b c l b c a b c a ⎧⎫
⎧⎫=⋅⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭
则“l =1”是“∆ABC 为等边三角形”的
A.必要而不充分的条件
B.充分而不必要的条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件 5.对于具有相同定义域D 的函数()f x 和()g x ，若存在函数()h x kx b =+（k b ，为常数），对任给的正数m ，存在相应的0x D ∈，使得当x D ∈且0x x >时，总有
0()()0()()f x h x m h x g x m <-<⎧⎨
<-<⎩
，
，则称直线:l y kx b =+为曲线()y f x =与()y g x =的“分渐近线”。

给出定义域均为D={}
1x x >的四组函数如下：
①2
()f x x =，()g x x =
()102x f x -=+，()g x =
23
x x
-； ③()f x 21x x +，()g x =ln 1ln x x x
+；④22()1x f x x =+，()2(1)x
g x x e -=--。

⊕⊗
其中，曲线()y f x =与()y g x =存在“分渐近线”的是 A ．①④ B ．②③ C ．②④ D ．③④
6.对于平面上的点集Ω，如果连接Ω中任意两点的线段必定包含于Ω，则称Ω为平面上的凸集，给出平面上4个点集的图形如下（阴影区域及其边界）： 其中为凸集的是
7.若数列{}n a 满足：对任意的n N *∈，只有有限个正整数m 使得m a n ＜成立，记这样的m 的个数为()n a *
，则得到一个新数列{}
()n a *．例如，若数列{}n a 是1,2,3,n …，…，则数
列{}
()n a *是0,1,2,1,n -…，…．已知2n a n =，则5()a *= ，(())n a **
= ．
8.若规定E=
{}1,2
10
...a a a 的子集{}12
...,n
k k k a
a a 为
E 的第k 个子集，其中
1211122...2n k k k k ---=+++，则{}1,3,a a 是E 的第 个子集；E 的第211个子集是
9.设S 为复数集C 的非空子集.若对任意x,y S ∈，都有x y,x y,xy S +-∈，则称S 为封闭集。

下列命题：①集合S ＝{a ＋bi |a,b 为整数，i 为虚数单位}为封闭集；②若S 为封闭集，则一定有0S ∈；③封闭集一定是无限集；④若S 为封闭集，则满足S T C ⊆⊆的任意集合T 也是封闭集. 其中真命题是 （写出所有真命题的序号） 10.若实数x 、y 、m 满足x m y m -<-，则称x 比y 接近m . （1）若21x -比3接近0，求x 的取值范围；
（2）对任意两个不相等的正数a 、b ，证明：22a b ab +比33a b +接近2ab ab ； （3）已知函数()f x 的定义域{}
,,D x x k k Z x R π≠∈∈.任取x D ∈，()f x 等于1sin x +和1sin x -中接近0的那个值.写出函数()f x 的解析式，并指出它的奇偶性、最小正周期、最小值和单调性（结论不要求证明）.
创新题参考答案
1、解：由上表可知：a (○+c c =),故d ○*a (○+=)c d ○*a c =，选A 。

2、若a 与b 共线，则有a
b=mq-np=0，故A 正确；因为b a pn-qm =，而
a b=mq-np ，所以有a
b b a ≠，故选项B 错误，故选B 。

3、当a=0,b=0;a=0,b=1;a=
21,b=0; a=2
1
,b=1;a=1,b=-1;a=1,b=1时满足题意，故答案选B 4、若△ABC 为等边三角形时，即a=b=c ，则max ,,1min ,,a b c a b c b c a b c a ⎧⎫⎧⎫
==⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭
则l =1；若△
ABC 为等腰三角形，如a=2,b=2,c=3时，则32
max ,,,min ,,2
3a b c a b c b c a b c a ⎧⎫⎧⎫==⎨⎨⎬⎪⎭⎩⎭⎩，此时l =1
仍成立但△AB C 不为等边三角形,所以A 正确.
5、存在分渐近线的充要条件是∞→x 时，0)()(→-x g x f 。

对于○1，当1>x 时便不符合，所以○1不存在；对于○2，肯定存在分渐近线，因为当时，0)()(→-x g x f ；对于○3，
x x x g x f ln 11)()(-
=
-，设01
)(",ln )(2>=-=x
x x x x λλ且x x <ln ，所以当∞→x 时x x ln -越来愈大，从而)()(x g x f -会越来越小，不会趋近于0，所以不存在分渐近线；○4当0→x 时，02
2112)()(→+++-=
-x e x
x g x f ，因此存在分渐近线。

故，存在分渐近线的是○2○4选C
6、②③根据题意，在①④中任取两点，连接起来，如下图，不符合题意。

7、因为5m a <，而2
n a n =，所以m=1,2,所以5()a *=2.
12345678910111213141516 ()0,
()1,()1,()1,
()2,()2,()2,()2,()2,
()3,()3,()3,()3,()3,()3,()3,
a a a a a a a a a a a a a a a a *****
*
*
*
*
*******================因为
所以1(())a **＝1, 2(())a **＝4，3(())a **＝9，4(())a **
＝16， 猜想2
(())n a n **=
8、5，
9、直接验证可知①正确.
当S 为封闭集时，因为x －y ∈S ，取x ＝y ，得0∈S ，②正确 对于集合S ＝{0}，显然满足素有条件，但S 是有限集,③错误
取S ＝{0}，T ＝{0,1}，满足S T C ⊆⊆,但由于0－1＝－1∉T ，故T 不是封闭集，④错误 答案：①②
10、 (1) x ∈(-2,2)；
(2) 对任意两个不相等的正数a 、b ，有222a b ab ab ab +>，332a b ab ab +> 因为22332|2|2()()0a b ab ab ab a b ab a b a b +--+-=-+-<，
所以2233|2|2a b ab ab a b ab +-<+-，即a 2b +ab 2比a 3+b 3接近2ab ab (3) 1sin ,(2,2)
()1|sin |,1sin ,(2,2)
x x k k f x x x k x x k k πππππππ+∈-⎧==-≠⎨
-∈+⎩,k ∈Z ， f (x )是偶函数，f (x )是周期函数，最小正周期T =π，函数f (x )的最小值为0， 函数f (x )在区间[,)2k k π
ππ-单调递增，在区间(,]2
k k π
ππ+单调递减，k ∈Z ．。