南大复变函数与积分变换课件PPT版3.4 解析函数的高阶导数.ppt
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复变函数与积分变换PPT_图文_图文
x y=-3
§1.4 复数域的几何模型---复球面
N
0
对复平面内任一 点z, 用直线将z 与N相连, 与球面 相交于P点, 则球 面上除N点外的 所有点和复平面 上的所有点有一 一对应的关系, 而N点本身可代 表无穷远点, 记 作.
这样的球面称作 x1
复球面.
x
x1
x3
除了复数的平
面表示方法外,
加减法与平行四边形 法则的几何意义:
乘、除法的几何意义
:
,
,
,
定理1 两个复数乘积的模等于它们的模的乘积, 两个复 数乘积的幅角等于它们幅角的和.
几何上 z1z2 相 当于将 z2 的 模扩大 |z1| 倍 并旋转一个角
度Arg z1 .
0
1
等式 Arg(z1z2)=Arg z1+Arg z2, 的意思是等式的两 边都是无限集合, 两边的集合相等, 即每给定等式左边 的一个数, 就有等式右边的一个数与之对应, 反之亦然 .
复变函数与积分变换PPT_图文_图文.ppt
引言
在十六世纪中叶，G. Cardano (1501-1576) 在研究一元二次
方程
时引进了复数。他发现这个方程没有根，并
把这个方程的两个根形式地表为
。在当时，
包括他自己在内，谁也弄不清这样表示有什麽好处。事实上，
复数被Cardano引入后，在很长一段时间内不被人们所理睬，并 被认为是没有意义的，不能接受的“虚数”。直到十七与十八世纪，
解：
设 z = x + i y , 方程变为
y
O
x
-i
几何上, 该方程表示到点2i和-2的距离相等的点的轨 迹, 所以方程表示的曲线就是连接点2i和-2的线段的垂直
复变函数与积分变换-PPT课件
i i 1 2 1 2
推广至有限个复数的乘法
i i i n 1 2 z z z r e r e r e 12 n 1 2 n i ( ) 1 2 n r r r e 12 n
浙江大学
除法运算
z1 0
z2 z2 z1 z1
z2 z2 , z1 z1
n 1 1 n
浙江大学
x iy z1 x1 iy1 1 iy 1 x 2 2 x2 iy iy z2 x2 iy2 2 x 2 2
x x y y i x y x y 1 2 1 2 2 1 1 2
x y
2 2 2 2
b) 按上述定义容易验证 加法交换律、结合律
当k＝0，1，2，…，n－1时，得到n个相异的根：
w r (cos isin ) 0 n n 1 2 2 n w r (cos i sin ) 1 n n 1 4 4 n w r (cos i sin ) 2 n n
1 n
2 ( n 1 ) 2 ( n 1 ) w r (cos i sin )
z z ( z z ) e 3 1 2 1 1 3 ( 1i)( i) 2 2 1 3 1 3 i 2 2
3 3 1 3 z i 3 2 2
i 3
z3
z2
x
O
z1
3 3 1 3 z i 3 2 2
浙江大学
复数的乘幂
n个相同复数z的乘积成为z的n次幂
z1
O 加法运算 x
z z z z 1 2 1 2
浙江大学
y
z1
z2
推广至有限个复数的乘法
i i i n 1 2 z z z r e r e r e 12 n 1 2 n i ( ) 1 2 n r r r e 12 n
浙江大学
除法运算
z1 0
z2 z2 z1 z1
z2 z2 , z1 z1
n 1 1 n
浙江大学
x iy z1 x1 iy1 1 iy 1 x 2 2 x2 iy iy z2 x2 iy2 2 x 2 2
x x y y i x y x y 1 2 1 2 2 1 1 2
x y
2 2 2 2
b) 按上述定义容易验证 加法交换律、结合律
当k＝0，1，2，…，n－1时，得到n个相异的根：
w r (cos isin ) 0 n n 1 2 2 n w r (cos i sin ) 1 n n 1 4 4 n w r (cos i sin ) 2 n n
1 n
2 ( n 1 ) 2 ( n 1 ) w r (cos i sin )
z z ( z z ) e 3 1 2 1 1 3 ( 1i)( i) 2 2 1 3 1 3 i 2 2
3 3 1 3 z i 3 2 2
i 3
z3
z2
x
O
z1
3 3 1 3 z i 3 2 2
浙江大学
复数的乘幂
n个相同复数z的乘积成为z的n次幂
z1
O 加法运算 x
z z z z 1 2 1 2
浙江大学
y
z1
z2
复变函数ppt第三章
移向得
∫C0 f ( z)dz = ∫C1 f ( z)dz + ∫C2 f ( z)dz + L+ ∫Cn f ( z)dz
完
27
例3 设C为一简单闭光滑曲线, a∈C.计算积分 ∫ C
page47
dz . z−a
参考解答 a
C
r
a
C
Cr
(1)
(2)
完
28
dz 例4 计算积分 ∫ C 2 . 积分按逆时针方向,沿曲线 逆 z −z C进行,C是包含单位圆周|z|=1的任意一条光
31
定理3 定理3 设w=f(z) 在单连通区域D内解析,则由
F(z) = ∫ f (ξ )dξ
z0
z
z ∈ D (Th3-1)
定义的函数F(z)在D内解析,且
F ′( z ) = f ( z )
参考证明
完
32
牛顿－莱布尼兹公式
定理4 定理4 设w=f(z) 在单连通区域 单连通区域D内解析, Φ ( z )是f(z) 单连通区域 的任一原函数,那么
都含在C0内部,这n+1条曲线围成了一个多连通区域 多连通区域 D,D的边界 ∂D 称为复闭路 复闭路. 复闭路 左手法则定正向: 左手法则定正向 沿着D的边界走, 区域D的点总在 左手边.
C0
C3
C2 C1
∴当C0取逆时针, C1 , C2 ,L , Cn都取顺时针.
24
∂D = C 0 + C1 + C 2 +
第三章 复变函数的积分 复变函数
引言 复变函数积分的概念 柯西—古萨定理 柯西 古萨定理 柯西积分公式、 柯西积分公式、 解析函数的高阶导数公式 解析函数与调和函数的关系
复变函数与积分变换第3章积分PPT课件
0
0
22
例2 计算 zdz, zdz的值, 其中
C1
C2
C1是单位圆 z 1的上半圆周, 顺时针方向;
C2是单位圆 z 1的下半圆周，逆时针方 向.
解: 1)C1 : z ei ,0 .
zdz
0 e i ie i d i
0
dt i
C1
2)C2 : z ei , 0.
第三章 复变函数的积分
（与实函数中二型线积分类比）
• §3.1复积分的概念 • §3.2 Cauchy积分定理 • §3.3 Cauchy积分公式 • §3.4解析函数的高阶导数
§3.1复积分的概念
1. 积分的定义 2. 积分存在的条件及其计算法 3. 积分性质
1. 积分的定义
y
定义 设(1)w f (z) z D (2)C为区域D内点A 点B
zdz
0 e i ie i d i
0
dt i
C2
可见，在本题中，C的起点与终点虽然相同，但路径
不同，积分的值也不同．
练习 计算 z dz. (1)C : i i的直线段； C
（2）C：左半平面以原点为中心逆时针方向的单位半圆周。
解（1）线段 的参数方程为 z it t :1 1
i
例3
计算
C
(z
dz z0
)n1
这里C表示以
z0为中心,
r为半径的正向圆周, n为整数.
解 C : z z0 rei 0 2
y z z0 rei
dz C (z z0 )n1
2 0
ire i r e n1 i(n1)
d
o
z
z0
2 i 0 r ne in
复变函数与积分变换PPT课件
11 2i (2 i )( 5i) 11 2i 5 10i 25 5i (5i) 25 25
16 8 i 25 25
所以
16 8 Re z , Im z 25 25
16 8 16 8 64 zz ( i)( i) 25 25 25 25 125
1. 复数的乘幂 设 n 为正整数， n 个非零相同复数 z 的乘 z 的 n 次幂，记为 z n ，即 积，称为
z n z z z
n个
若 z r（cos i sin ) ，则有
z n r n (cos n i sin n )
当 r 1 时，得到著名的棣莫弗公式 (cos i sin ) n cos n i sin n
所以 r z ( 1) 2 ( 3) 2 2 设 arg z, 则
3 tan t 3 1
又因为 z 1 i 3 位于第II象限 2 所以 arg z 3 于是
2 2 z 1 i 3 2(cos i sin ) 3 3
y arctan x , z在第一、四象限 y y arg z arctan , z在第二象限 其中 arctan 2 x 2 x y arctan x , z在第三象限
说明：当 z 在第二象限时， arg z 0 2 2 y y arctan tan( ) tan( ) tan
z0
25
开集 如果点集 D 的每一个点都是D 的内 点，则称 D 为开集. 闭集 如果点集 D 的余集为开集，则称D 为闭集. 连通集 设是 D 开集，如果对于 D 内任意两 点，都可用折线连接起来，且该折线上的 点都属于 D ，则称开集 D 是连通集.
16 8 i 25 25
所以
16 8 Re z , Im z 25 25
16 8 16 8 64 zz ( i)( i) 25 25 25 25 125
1. 复数的乘幂 设 n 为正整数， n 个非零相同复数 z 的乘 z 的 n 次幂，记为 z n ，即 积，称为
z n z z z
n个
若 z r（cos i sin ) ，则有
z n r n (cos n i sin n )
当 r 1 时，得到著名的棣莫弗公式 (cos i sin ) n cos n i sin n
所以 r z ( 1) 2 ( 3) 2 2 设 arg z, 则
3 tan t 3 1
又因为 z 1 i 3 位于第II象限 2 所以 arg z 3 于是
2 2 z 1 i 3 2(cos i sin ) 3 3
y arctan x , z在第一、四象限 y y arg z arctan , z在第二象限 其中 arctan 2 x 2 x y arctan x , z在第三象限
说明：当 z 在第二象限时， arg z 0 2 2 y y arctan tan( ) tan( ) tan
z0
25
开集 如果点集 D 的每一个点都是D 的内 点，则称 D 为开集. 闭集 如果点集 D 的余集为开集，则称D 为闭集. 连通集 设是 D 开集，如果对于 D 内任意两 点，都可用折线连接起来，且该折线上的 点都属于 D ，则称开集 D 是连通集.
复变函数与积分变换经典PPT—复变函数.ppt
解
由上例可知
(z
1 a)n1
dz
2i, 0,
n0 n 0,
此处不妨设 a z0,
则有
1
1
1,
2 i (z z0 )n dz 0,
n1 n 1.
四、小结与思考
本课所讲述的复合闭路定理与闭路变形原
理是复积分中的重要定理, 掌握并能灵活应用它 是本章的难点.
1
2
3
CF
A
A
F
B4
D1 E C1 B
D
E
问题的提出 C
C1
复合闭路定理D
C2 C3
典型例题
小结与思考
一、.
z 2 z 1
因为 z 2 是包含 z 1 在内的闭曲线,
根据本章第一节例4可知,
1 dz 2i.
z 2 z 1 由此希望将基本定理推广到多连域中.
y C1
解 C1 和 C2 围成一个圆环域, 函数 ez 在此圆环域和其边界
z
C2 o1
2x
上处处解析, 圆环域的边界构成一条复合闭路,
根据闭路复合定理, ez dz 0. z
例3 求
(z
1 a)n1
dz
,
为含
a
的任一简单闭
路，n 为整数.
解 因为a 在曲线内部,
a
1
BB
BB
即 f (z)dz f (z)dz 0,
C
C1
或 f (z)dz f (z)dz.
C
C1
CF
A A F B
D1 E C1 B
复变函数与积分变换课堂PPT第三章
C1O C3
则根据复合闭路定理可得
C2 C1O C3
y
C i -i x
§4 原函数与不定积分
定理一 则积分
C1
如果函数 f (z)在单连通域B内处处解析,
与连接起点及终点的路线C无关。
B B C2 z1
z2
C2
z1
z2
C1
由定理一可知, 解析函数在单连通域内的积分只与
起点z0和终点z1有关, 如图所示, 有
设C为平面上给定的一条光滑(或按段光滑)曲线。 如果选定C的两个可能方向中的一个作为正方向(或正 向)，则将 C理解为带有方向的曲线，称为有向曲线。 设曲线 C的两个端点为 A与 B，如果将 A到 B的方向 作为C的正方向，则从 B到 A的方向就是C的负方向， 并记作 C 。 常将两个端点中一个作为起点，另一个 作为终点，则正方向规定为起点至终点的方向。
O C1 y
在复平面内除z=0和z=1两个奇点外
G
x C2 1
包含奇点 z = 0，C2只包含奇点 z=1。
则根据复合闭路定理可得
y
G
x C2 1
O C1
从这个例子可以看到：借助于复合闭路定理，有些
比较复杂的函数的积分可以化为比较简单的函数的积分
来计算它的值。这是计算积分常用的一种方法。
例 计算
是 f (z)的一个原函数。
, 则称 定理二表明
容易证明，f (z)的任何两个原函数相差一个常数。 设G (z)和H (z)是 f (z)的何任两个原函数, 则 所以
c为任意常数。
因此, 如果函数 f (z)在区域B内有一个原函数 F (z),
则，它就有无穷多个原函数, 而且具有一般表达式
复变函数和积分变换 84页PPT文档
（2）第二次数学危机 前面说过牛顿在确定 x3的导数时，前面部 分假设 0 是非零的，而在论证的后一部分， 又被取为零，偷换假设的错误是明显的。1734 年，英国哲学家、大主教贝克莱发表《分析 学家，或致一个不信正教数学家的进言》，矛 头指向微积分的基础——无穷小的问题，提 出了所谓“贝克莱悖论”。
中国古藉《易．系辞》中说： 「上古结绳而治，后世圣人易之以书契。」 这些都是匹配计数法的反映。
（２）整数 正整数，零与负整数构成整数系。
•零不仅表示「无」，更是表示空位的符号。 •中国古代用算筹计算数并进行运算时，空位不放算筹， 虽无空位记号，但仍能为位值记数与四则运算创造良好的条件。 •印度－阿拉伯命数法中的零（zero）来自印度的（sunya ） 字，其原意也是「空」或「空白」。
2、数学的内容
大致说来，数学分为初等数学与高等 数学两大部分。
初等数学中主要包含两部分：几何学 与代数学。几何学是研究空间形式的学科， 而代数学则是研究数量关系的学科。
初等数学基本上是常量的数学。
高等数学含有非常丰富的内容，以大学本科所学为 限，它主要包含： • 解析几何：用代数方法研究几何，其中平面解析几 何部分内容已放到中学。 • 线性代数：研究如何解线性方程组及有关的问题。 • 高等代数：研究方程式的求根问题。 • 微积分：研究变速运动及曲边形的求积问题。作为 微积分的延伸，物理类各系还要讲授常微分方程与 偏微分方程。 • 概率论与数理统计：研究随机现象，依据数据进行 推理。等等
分数的使用导源于除法运算的需要。 除法运算可看作求解方程px=q（p≠0 ），如果p， q是整数，则所给方程未必有整数解。 为了使它恒有解，就有必要把整数系扩大成为有 理数系。
（４）无理数
（５）实数
3.4解析函数的高阶导数
证 先证n 1的情况.
根据导数的定义,
f (z0 )
lim
z0
f (z0
z) z
f (z0 )
由柯西积分公式
f
(z0 )
1 2i
C
f (z) z z0
dz,
f
( z0
z)
1 2i
C
z
f (z) z0 z
dz,
f
( z0
z) z
f
(z0 )
1 2zi
C
z
f (z) dz z0 z
三、柯西不等式与刘维尔定理
柯西不等式
设函数 f (z) 在区域 D：z z0 R内解析, 且
f (z) M，则
f
(n)(z0 )
n! M Rn
(n 1,2,)
证 任取R1 : 0 R1 R, 则f (z)在 z z0 R1上解析,
由解析函数的高阶导数公式得：
f (n)(z0 )
解析函数高阶导数的表达式是什么?
柯西积分公式
f
(z)
1
2
i
C
f
(
) z
d
在积分号下对z求导得
f
(z)
1
2
i
C
f ( )
z2
d
,
再继续一次得
f
(z)
2!
2 i
C
f
( )
z3
d
,
依次下去可推测
f
(n)(z)
n!
2 i
C
f (
z
)
n1
d
,
或改写为
f
( n) ( z0
)
复变函数与积分变换第3章复变函数的积分
设 曲 线 C 的 方 程 ： z ( t ) x ( t ) i y ( t ) ( t [ a , b ] ）
C f( z ) d z C u d x v d y i C v d x u d y .
b
a{u[x(t),y(t)]x(t)v[x(t),y(t)]y(t)}dt
容易验证，右边两个线积分都与路线C 无关，
所以
的zd值z 无论
1 3 4i2 c
2
是C怎样的曲线都等于
例 3求 证 lri m 0 |z|rz2z 31dz0.
例 4求 Cz1 idz的 积 分 的 一 个 绝 对 上 界 ， 其 中 C
为 从 原 点 到 34i的 直 线 段 .
区 域 包 含 于 D . 若 f(z)在 区 域 D 内 解 析 ， 则
D
n
i) f(z)dz f(z)dz;
C
k1Ck
Ci
ii) f(z)dz0其 中 为 C 与 C k
围 成 的 复 合 闭 路 ,C 与 C k均 取 正 方 向
例 3.7计 算2z1dz,其 中 C是 包 含 0和 1的 Cz2z
定 理 3 . 6设 f(z)在 单 连 通 区 域 D 解 析 ， F (z)为 f(z)的 一 个 原 函 数 ， 则 对 任 意 z0,z1 D , 有
z1 z0
f(z)dzF(z1)F(z0)
例 8计 算 bznd z,其 中 n是 正 整 数 。 a
例9计算izcoszdz. 0
为f (z)沿曲线C的积分，记为
n
Cf(z)dz=ln→ i∞ mk=1f(ζ k)Δ zk
沿 曲 线 C 的 负 方 向 的 积 分 记 为 f( z ) d z C
C f( z ) d z C u d x v d y i C v d x u d y .
b
a{u[x(t),y(t)]x(t)v[x(t),y(t)]y(t)}dt
容易验证，右边两个线积分都与路线C 无关，
所以
的zd值z 无论
1 3 4i2 c
2
是C怎样的曲线都等于
例 3求 证 lri m 0 |z|rz2z 31dz0.
例 4求 Cz1 idz的 积 分 的 一 个 绝 对 上 界 ， 其 中 C
为 从 原 点 到 34i的 直 线 段 .
区 域 包 含 于 D . 若 f(z)在 区 域 D 内 解 析 ， 则
D
n
i) f(z)dz f(z)dz;
C
k1Ck
Ci
ii) f(z)dz0其 中 为 C 与 C k
围 成 的 复 合 闭 路 ,C 与 C k均 取 正 方 向
例 3.7计 算2z1dz,其 中 C是 包 含 0和 1的 Cz2z
定 理 3 . 6设 f(z)在 单 连 通 区 域 D 解 析 ， F (z)为 f(z)的 一 个 原 函 数 ， 则 对 任 意 z0,z1 D , 有
z1 z0
f(z)dzF(z1)F(z0)
例 8计 算 bznd z,其 中 n是 正 整 数 。 a
例9计算izcoszdz. 0
为f (z)沿曲线C的积分，记为
n
Cf(z)dz=ln→ i∞ mk=1f(ζ k)Δ zk
沿 曲 线 C 的 负 方 向 的 积 分 记 为 f( z ) d z C
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数 的
(2) 由 | f (z) z |
1, |2 z|
有
积 分
| f (0)| 1
2π
|z| r
| z |2
1 |2 z|
ds
1 2π
1 ds
|z| r |z|
1
2π
|z| r
| z |2
1 (2 | z |)
ds
1 2πr , 2πr
|
f (0)|
1 2πr2(2 r)
2πr 1,
10
§3.4 解析函数的高阶导数
第 三 章
复
变
证 (1) | f (0)| 1 2π
|z| r
|
f
(z) z| | z |2
|z|
ds ,
函
数 的
(2)
| f (0)|
1 2πr2(2 r)
2πr 1
1 r(2 r)
1,
积
分
(3) 令 r 1得 | f (0)| 2 .
推出一些理论结果。
3
§3.4 解析函数的高阶导数
第
P73 例3.12 部分
三
章
解 复
| zi | 1
cos z (z i)3
dz
2πi cos z
2!
zi
变 函
πi cos i πi (e e1 ) .
2
数
的
积 分
例 计算
ez
| z| 1 z100 dz .
解
ez
| z| 1 z100 dz
§3.4 解析函数的高阶导数
第 三
§3.4
解析函数的高阶导数
章 一、高阶导数定理
复 变
二、柯西不等式
函 数
三、刘维尔定理
的
积
分
1
§3.4 解析函数的高阶导数
第 一、高阶导数定理
三 章
分析 如果函数 f (z) 在区域 D 内解析，在 D D C 上连续，
复 变
则由柯西积分公式有
f (z)
1 2πi
| f (n)(z0 )|
n! 2π
| z z0 | R1
| f (z)| | z z0 |n1
ds
n! M R1n
,
令 R1 R ,
即得
| f (n)(z0 )|
n! M Rn ,
(n 1, 2, ).
7
§3.4 解析函数的高阶导数
第 三、刘维尔定理
三 章
定理 设函数 f (z) 在全平面上解析且有界，则 f (z) 为一常数。
| f (0)|
1 2πi
|z| r
f (z) z z z2
dz
,
| f (0)| 1
2π
|z| r
|
f
(z) z| | z |2
|z|
ds,
9
§3.4 解析函数的高阶导数
第 三 章
复
变
证 (1) | f (0)| 1 2π
|z| r
|
f
(z) z| | z |2
|z|
ds ,
函
C
f ( ) d , z
(z D).
函
数 的 积
又 d [( z)1] ( z)2 ,
dz
d2 dz2
[(
z)1]
2 (
z)3 ,
分
……
dn dzn
(
1 ) n!(
z
z)(n1)
(
n! z)n1
,
2
§3.4 解析函数的高阶导数
第 一、高阶导数定理
三 章
定理 如果函数 f (z) 在区域 D 内解析，在 D D C 上连续，
复
P71 定理
则 f (z)的各阶导数均在 D上解析，且
变 3.9 函
f (n)(z) n!
2πi
C
f ( ) ( z)n1
d ,
(z D).
数
的 证明 (略)
(进入证明?)
积
分 意义 解析函数的导数仍解析。
应用
反过来计算积分
C
f (z) (z z0 )n1
dz
2πi n!
f (n)(z0 ).
P74 定理3.11
复 变
证明 设 z0 为平面上任意一点，
函 数
R 0 , 函数 f (z) 在 | z z0 | R 上解析，且 | f (z)| M ,
的 积 分
根据柯西不等式有
| f (z0 )|
M, R
令 R , 即得 f (z0 ) 0 ,
由 z0 的任意性，知在全平面上有 f (z) 0 ,
C1
C2
分
C1
ez
(z i)2
dz (z i)2
C2
ez
(z i)2
dz (z i)2
记为
I1 I2.
5
§3.4 解析函数的高阶导数
第
三
例
计算 I
|z|2
ez
(z2 1)2 dz .
章
复
解
(2)
I1
C1
ez
(z i)2
dz (z i)2
变
函 数 的
(高阶导数公式)
2πi 1!
12
§3.4 解析函数的高阶导数
第 三 章
复
变 证 (3) 根据柯西积分公式有
函 数 的
1
(z f (z) ) dz 2πi 1 (z f (z) )
[
ez
(z i)2
]
zi
积 分
π (1 i)ei .
2
同样可求得
I2
π 2
(1
i)ei
.
(3)
I
I1 I2
π 2
[(1 i)ei
(1 i)ei ]
C1 i
C
C2
2
i
2πi sin(1 π ) . 4
6
§3.4 解析函数的高阶导数
第 二、柯西不等式
三 章
定理 设函数 f (z) 在 | z z0 | R内解析，且 | f (z)| M , 则
P73
复 定理 变 3.10
| f (n)(z0 )|
n! M Rn ,
(n 1, 2, ).
(柯西不等式)
函 数
证明
R1 : 0 R1 R , 函数 f (z) 在 | z z0 | R1 上解析，
的 积 分
f (n)(z0 )
n! 2πi
f (z) |zz0 | R1 (z z0 )n1 dz , (n 1, 2 , ) .
则 f (z) 为一常数。
8
§3.4 解析函数的高阶导数
第 三 章
复 变
证
(1) 任取正数 r 2 , (注意 f (z)在 | z | 2上的性态不知道)
函
则函数 f (z) 在 | z | r 内解析， 由高阶导数公式有
数
的 积 分
f (0) 1
2πi
|z| r
f (z) z2
dz
,
2πi (ez )99
99!
z0
2πi 99!
.
4
§3.4 解析函数的高阶导数Fra bibliotek 第三
例
计算 I
|z|2
ez
(z2 1)2 dz .
章 复
解
(1) 令
f (z)
ez
(z2 1)2
ez
(z i)2(z i)2
.
变
C1 i
C
C2
2
i
函 数
如图，作 C1, C2两个小圆，
的 积
则 I f (z)dz f (z)dz (复合闭路定理)
11
§3.4 解析函数的高阶导数
第 三 章
复
变 证 (1) 由于 f (z) 在 | z | 2内解析，根据高阶导数定理可得
函
数
在 | z | 2 内，f (z) 也解析；
的
积
(2) 由 | f (z) 2| | z| 可得
分
在 | z | 2内，f (z) 0 ，
z f (z) 在 | z | 2 内解析； f (z)