解析函数的高阶导数(1)
- 格式:ppt
- 大小:952.00 KB
- 文档页数:11
复变函数与积分变换第五版答案目录练 习 一...............................1 练 习 二...............................3 练 习 三...............................5 练 习 四...............................8 练 习 五..............................13 练 习 六..............................16 练 习 七..............................18 练 习 八..............................21 练 习 九 (24)练 习 一1.求下列各复数的实部、虚部、模与幅角。
(1)i iii 524321----; 解:i i i i 524321---- =i 2582516+ zk k Argz z z z ∈+====π221arctan2558258Im 2516Re(2)3)231(i + 解: 3)231(i +zk k Argz z z z e i i∈+===-=-==+=πππππ210Im 1Re 1][)3sin 3(cos 3332.将下列复数写成三角表示式。
1)i 31-解:i 31-)35sin 35(cos2ππi +=(2)i i +12解:i i+12)4sin 4(cos21ππi i +=+=3.利用复数的三角表示计算下列各式。
(1)i i2332++- 解:i i 2332++-2sin2cosππi i +==(2)422i +-解:422i +-41)]43sin 43(cos 22[ππi +=3,2,1,0]1683sin 1683[cos 2]424/3sin ]424/3[cos 28383=+++=+++=k ki k k i k ππππππ4..设321,,z z z 三点适合条件:321z z z ++=0,,1321===z z z 321,,z z z 是内接于单位圆z =1的一个正三角形的项点。
函数的高阶导数与泰勒展开函数的高阶导数和泰勒展开是微积分中重要的概念和工具。
高阶导数描述了函数在不同阶数上的变化率,而泰勒展开则能够将一个函数近似表示为一组无穷阶的多项式。
一、函数的高阶导数函数的导数可以理解为函数变化的速率。
一阶导数描述了函数变化的一阶特征,而高阶导数则进一步描述了函数的更高阶特征。
在数学符号中,函数f的n阶导数可以表示为fn(x),其中x为自变量。
高阶导数可以通过重复对函数进行求导得到。
例如,f的二阶导数f''(x)可以通过对一阶导数f'(x)再次求导得到。
具体而言,f''(x)是f'(x)的导数。
二、泰勒展开泰勒展开是一种将函数近似表示为多项式的方法。
它基于函数在某一点附近的导数值来构建多项式。
泰勒展开的公式如下:f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)^2/2! + f'''(a)(x-a)^3/3! + ...其中,f(a)表示函数在点a处的函数值,f'(a)表示函数在点a处的一阶导数值,f''(a)表示函数在点a处的二阶导数值,以此类推。
泰勒展开可以通过截断多项式的无穷级数来得到一个有限项级数,用有限项级数逼近原函数。
在实际应用中,一般取近似项为三阶或四阶,以保证精度和计算效率。
三、函数的高阶导数与泰勒展开的应用函数的高阶导数和泰勒展开在数学和物理学中有着广泛的应用,以下是一些常见的应用场景:1. 最值问题:通过求函数的高阶导数,可以找到函数的驻点和拐点,从而帮助解决最值问题。
例如,求一个函数在某个区间上的最大值或最小值。
2. 函数逼近:通过使用泰勒展开,可以将一个复杂的函数近似为一个简单的多项式函数,从而简化计算,并提高计算效率。
这在数值计算和数值模拟中特别有用。
3. 常微分方程:高阶导数为描述常微分方程提供了基础。
练 习 一1.求下列各复数的实部、虚部、模与幅角。
(1)i ii i 524321----; 解:i ii i 524321---- =i 2582516+zk k Argz z z z ∈+====π221arctan2558258Im 2516Re(2)3)231(i + 解: 3)231(i +zk k Argz z z z e i i∈+===-=-==+=πππππ210Im 1Re 1][)3sin3(cos3332.将下列复数写成三角表示式。
1)i 31- 解:i 31-)35sin 35(cos2ππi +=(2)i i +12解:i i+12 )4sin 4(cos21ππi i +=+=3.利用复数的三角表示计算下列各式。
(1)i i2332++- 解:i i 2332++- 2sin2cosππi i +==(2)422i +-解:422i +-41)]43sin 43(cos 22[ππi +=3,2,1,0]1683sin 1683[cos 2]424/3sin ]424/3[cos 28383=+++=+++=k ki k k i k ππππππ4..设321,,z z z 三点适合条件:321z z z ++=0,,1321===z z z 321,,z z z 是内接于单位圆z=1的一个正三角形的项点。
证:因,1321===z z z 所以321,,z z z 都在圆周,11==z z 又因321z z z ++=0则,321z z z -=+1321=-=+z z z ,所以21z z +也在圆周1=z 上,又,12121==-+z z z z 所以以0,211,z z z +为顶点的三角形是正三角形,所以向量211z z z +与之间的张角是3π,同理212z z z +与之间的张角也是3π,于是21z z 与之间的张角是32π,同理1z 与3z ,2z 与3z 之间的张角都是32π,所以321,,z z z 是一个正三角形的三个顶点。