积分学三大定理的另证及其注记
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# 证明了当 !" ’ & 时， % "） ’" 不是比 !" 高阶的无穷小， 而 !# $ # "（ % "） ! ! &（ %’ （ "） ） ’" 是 !# $ # "（
比 !" 高阶的无穷小! 关键词 " 微元法 " 旋转体的侧面积 " 微分元素 " 中图分类号 " (!$# ! #
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（ " ）仍不必假设 ! # + ［ #， $］ ， 但要求 ! # " ［ #， $］ ， 在 （ #， $）内存在原函数 注 -# 所得的公式 ’ （ %） ， 即 ’( （ %） ) （ ! %） （ # * % * $） ， 并且 ’ # + ［ #， $］ &若’ （ %）不存在， 公式 （ " ）有可能不成立& 例 &# 由例 " 知 （ ! %） +% ) . & 但显然不存在 ! 使 （ ! !） （ " - ’ ） ) "（ ! !） ) .
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’ （ $）- ’ （ #） ) 令 " ) ()*｛%% . ｝’ ’ ， 由积分定义便得
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注 &# 这里是从右往左证公式 （!） ， 与普通证法完全不同， 且无须假设 ! # + 〔 #， $〕 & 因此公式 （ ! ）是推广了 $%& & 注 ,# 若 ! # + 〔 #， $〕 但含第一类间断点， 由于（ ! %） 在 〔 #， $〕 上没有原函数， 因而不可直接用公
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&# 利用广义的 $%& 证明改进了的 $%! 仍按广义的 $%& 的条件& 由公式 （!） ， 对’ （ %） 在 ［ #， $］ 上应用拉格朗日定理知， 至少存在一点 ! （ #， $）使得 ’ （ $）- ’ （ #） ) ’( （ !） （ $ - #） ) （ ! !） （ $ - #） ， 即 # # # # # # ! %） +% ) （ ! !） （ $ - #） （ # * ! * $） & $（
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若 %( . $ ， 同理有,-.
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所以， / (） ) （ " (） （ $ & ( & %） ， 即（ " (）在 〔 $， %〕上存在原函数 ! （ (） ) !（ 注 ’! 连续是原函数存在的充分非必要条件!
例 ’! （ " (） )
{
% (/-0 $，
’ , 12/， ( ( $， ( 在 （ , 3 ，+ 3 ）内有不连续点 ( ) $ ， 但它仍有原函数 ( ) $ 0 （ (） )
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./01 2 ， 3/1 -" " " " " " " " " " " " " " " " 高等数学研究 3/41 ， #&&%" " " " " " " " " " " 56789:5 93 ;(<<:=: >?6@:>?69;5
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用微元法求旋转体侧面积的一个注记
许新忠! "
（ ! 宁夏大学数学计算机学院 " 摘 要"
〔 !〕 进一步地， 若!#" 〔 #， $〕且含有第一类间断点， 那么 （ ! %）必无原函数 & "# 利用拉格朗日定理等证明广义的 $%& 设 !#" 〔 #， $〕 ， 在 （ #， $） 内存在原函数 ’ （ %） ， 即 ’( （ % ）) （ ! %） （ # * % * $） ， 并且 ’ # + 〔 #， $〕 & 在 〔 #， $〕 中任意插入若干个分点 # ) %’ * %! * %" * …% , -! * % , ) $， 则’ （ $）- ’ （ # ）) ’ （ %, ） ,
{
% (/-0 $，
’ , 12/， ( ( $， ( ( ) $
注 %! 若 " # ’ 〔 $， %〕 ， 则只能证得 ! # # 〔 $， %〕 ! 可积函数可能有原函数， 也可能没有原函数!
%$$# —$’ —%9 ! 收稿日期：
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高等数学研究# # # # # # # # # # # # # # # # "’’- 年 !! 月
52,6 7 ， 826 9! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 高等数学研究 82:6 ， %$$#! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ;)<=>?; >8 @&AA?B? CD)E?CD)>@;
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教学随议
积分学三大定理的另证及其注记
李德新 !
摘 要! （ 福建农林大学计算机与信息学院 ! 福建福州 ! "#$$$% ）
!
用不同的思路推证积分中值定理、 原函数存在定理和微积分基本定理! 连续 ! 可积 ! 原函数 ! 定理 ! 证法 ! 中图分类号 ! &’(% ! %
关键词 !
积分学中， 积分中值定理、 原函数存在定理及微积分基本定理 （ 这里依次记为 )*’ 、 )*% 、 )*" ） ， 是三个最重要的定理! 所见过的教材对这三大定理的证明全都千篇一律! 本文将用不同思路推证这三大定理， 所得到的结果更优! 为行文方便， 记"## 〔 $， %〕 、 "#& （ $， %） 、 "#’ 〔 $， %〕分别表示 （ " (）在 〔 $， %〕上连续、 （ " (）在 （ $， %）内可导、 （ " (）在 〔 $， %〕上可积! ’! 利用定积分基本性质等证明 )*% " *） +*， 给 ( 一个增量 %(， 且使 ( + %( # 〔 $， %〕 ， 则 $（ （ ( + %(）, ! （ (） ) $ （ " *） +* , $ （ " *） +* ) $ (" （ *） +*! %! ) !
［ "］ ! %） +%& 这时， 可以用下述结果 ： 设!#" 〔 #， $〕且含第一类间断点 % ) /， ’ （ %） 式 （ ! ）计算积分 （ #
$
$
$〕上除去点 / # + （ #， $）外是（ ! %）的原函数， 又% ) /是’ （ %）的连续点或第一类间断点， 则 在 〔 #， ! %） +% )［ ’ （ %） ］ 0［ ’ （ %） ］& $（ 应用中， 上述结果可直接理解为普通的分段积分法$ （ ! %） % ) $（ ! %）0 $（ %） +%， 而将 % ) / 当作连
#&&% A &- A &$ ! 收稿日期：
积分学三大定理的另证及其注记
作者： 作者单位： 刊名： 英文刊名： 年，卷(期)： 被引用次数： 李德新 福建农林大学计算机与信息学院,福建福州,350002 高等数学研究 STUDIES IN COLLEGE MATHEMATICS 2005，8(6) 1次
必须当 !" ’ & 时是比 ! 高阶的无穷小! & ’" ] 上的部分量与所求量的微分元素之差，
下面证 明，当 ! " ’ & 时， % "） ’" 不 是 比 ! " 高 阶 的 无 穷 小，而 ! # $ # "（ % "） ・ ! # $ # "（
) # ’ " 是比 ! " 高阶的无穷小! ! & ( %’ （ "） !
不失一般性， 设在 [ "， % "）单增， 且 %’ （ "）( & ， （ % "） - & ! " & ’" ] 上 （ 先证 ! " ’ & 时， % "） ’" 不是比 ! " 高阶的无穷小! ! # $ # "（ !( # # " " ! # $ # "（ ) ! （ !"） &（ ! (） $ # "（ % "） ) % "） ’" - & # （ % "）& # "（ % " & !"） # " "
