辽宁省辽河油田第二高级中学2019届高三上学期期末考试数学文

i 1
i 1
19（．12 分）如图，在底面是正方形的四棱锥中 P ABCD ，AB 2 ，PA 2 ，点 P 在底面 ABCD
D．10
4．将边长为 2 的正方形 ABCD 沿对角线 BD 折起，则三棱锥 C ABD 的外接球体积为（ ）
A． 32π 3
B． 16π 3
C． 4π 3
D． 4π
5．已知函数
f
x
1
2 sin
x 2

3
cos
x 2

sin
x 2

，将
f
x
图像上所有点的横坐标缩短到原来的
（1）求数列an 的通项公式；
（2）数列bn 满足 bn

1 an an 1
，设 Tn
为数列bn 的前 n 项和，求Tn
的取值范围．
18．（12 分）在 2018 年俄罗斯世界杯期间，莫斯科的部分餐厅经营了来自中国的小龙虾，这 些小龙虾标有等级代码．为得到小龙虾等级代码数值 x 与销售单价 y 之间的关系，经统计得到 如下数据：
16．已知点 F1 ， F2 分别是双曲线 C :
x2 a2

y2 b2
1a
0,b
0 的左右两焦点，过点 F1 的直线与
双曲线的左右两支分别交于 P ， Q 两点，若 △PQF2 是以 PQF2 为顶角的等腰三角形，其中

PQF2


π 3
,
π

，则双曲线离心率
e
的取值范围为______．

2x2

x3
ln x, 4x2,
x 0 的图像和直线 y ax 有四个不同的公共点，则实数 a 的取 x0

辽宁省盘锦市辽河油田二中2019届高三上学期12月月考数学（理科）试卷一、选择题（每题一个选项，每题5分共60分）A）∩B=（）1．设全集U=R，且A={x||x﹣1|＞2}，B={x|x2﹣6x+8＜0}，则（∁UA．[﹣1，4）B．（2，3）C．（2，3] D．（﹣1，4）2．已知（3+i）•z=﹣2i（i是虚数单位），那么复数z对应的点位于复平面内的（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．下列有关命题的说法正确的是（）A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x≠1”B．“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的必要不充分条件C．命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“∀x∈R，均有x2+x+1＜0”D．命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题4．已知α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列命题中不正确的是（）A．若 m∥n，m⊥α，n⊥β，则α∥βB．若m∥α，a∩β=n，则m∥nC．若m⊥α，α∥β，则m⊥βD．若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β5．已知f（x）=是（﹣∞，+∞）上的减函数，那么a的取值范围是（）A．[，）B．（0，） C．（，1） D．（，1）6．函数y=sinxcosx+cos2x﹣在[0，]的值域是（）A．[﹣1，1] B．[，1] C．[﹣，1] D．[0，1]7．如图，一个简单空间几何体的三视图其主视图与左视图都是边长为2的正三角形，其俯视图轮廓为正方形，则其体积是（）A．B．C．D．8．如图，该程序运行后输出的结果为（）A ．1B ．2C ．4D ．169．已知点A （3，0），B （0，3），C （cos α，sin α），O （0，0），若，则的夹角为（ ）A ．B ．C ．D ．10．若抛物线y 2=4x 上一点M 到该抛物线的焦点F 的距离|MF|=5，则点M 到x 轴的距离为（ ）A ．1B ．2C ．D ．411．在的展开式中，x 的幂指数是整数的有（ ）A ．3项B ．4项C ．5项D ．6项12．若曲线f （x ）=x 4﹣x 在点P 处的切线平行于直线3x ﹣y=0，则点P 的坐标为（ ）A ．（﹣1，2）B ．（1，﹣3）C ．（1，0）D ．（1，5）二、填空题（每小题5分，每题5分共20分）13．若在区域内任取一点P ，则点P 落在单位圆x 2+y 2=1内的概率是 ．14．若等比数列{a n }的首项为，且a 4=（1+2x ）dx ，则公比q 等于 ．15．双曲线一条渐近线的倾斜角为，离心率为e ，则的最小值为 ．16．若3a =0.618，a ∈[k ，k+1），（k ∈Z ），则k= ．三、解答题：（17-21题均为12分，选做题10分）17．已知二次函数y=f （x ）的图象经过坐标原点，其导函数为f ′（x ）=6x ﹣2，数列{a n }的前n 项和为S n ，点（n ，S n ）（n ∈N *）均在函数y=f （x ）的图象上．（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）设b n =，T n 是数列{b n }的前n 项和，求使得T n ＜对所有n ∈N *都成立的最小正整数m ．18．张明要参加某单位组织的招聘面试．面试要求应聘者有7次选题答题的机会（选一题答一题），若答对4题即终止答题，直接进入下一轮，否则被淘汰．已知张明答对每一道题的概率都为．（Ⅰ）求张明进入下一轮的概率；（Ⅱ）设张明在本次面试中答题的个数为ξ，试写出ξ的分布列，并求ξ的数学期望．19．如图甲，△ABC 是边长为6的等边三角形，E ，D 分别为AB 、AC 靠近B 、C 的三等分点，点G 为BC 边的中点．线段AG 交线段ED 于F 点，将△AED 沿ED 翻折，使平面AED ⊥平面BCDE ，连接AB 、AC 、AG 形成如图乙所示的几何体．（Ⅰ）求证BC ⊥平面AFG ；（Ⅱ）求二面角B ﹣AE ﹣D 的余弦值．20．己知⊙O ：x 2+y 2=6，P 为⊙O 上动点，过P 作PM ⊥x 轴于M ，N 为PM 上一点，且． （Ⅰ）求点N 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）若A （2，1），B （3，0），过B 的直线与曲线C 相交于D 、E 两点，则k AD +k AE 是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由．21．若存在实常数k 和b ，使得函数f （x ）和g （x ）对其定义域上的任意实数x 分别满足：f （x ）≥kx+b 和g （x ）≤kx+b ，则称直线l ：y=kx+b 为f （x ）和g （x ）的“隔离直线”．已知h （x ）=x 2，φ（x ）=2elnx （e 为自然对数的底数）．（1）求F （x ）=h （x ）﹣φ（x ）的极值；（2）函数h （x ）和φ（x ）是否存在隔离直线？若存在，求出此隔离直线方程；若不存在，请说明理由．选做题：请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．在直角坐标系xOy 中，直线C 的参数方程为为参数），曲线P 在以该直角坐标系的原点O 的为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系下的方程为ρ2﹣4ρcos θ+3=0．（1）求直线C 的普通方程和曲线P 的直角坐标方程；（2）设直线C 和曲线P 的交点为A 、B ，求|AB|．23．设函数f （x ）=|2x+1|﹣|x ﹣2|．（1）求不等式f （x ）＞2的解集；（2）∀x ∈R ，使f （x ）≥t 2﹣t ，求实数t 的取值范围．辽宁省盘锦市辽河油田二中2019届高三上学期12月月考数学（理科）试卷参考答案一、选择题（每题一个选项，每题5分共60分）A）∩B=（）1．设全集U=R，且A={x||x﹣1|＞2}，B={x|x2﹣6x+8＜0}，则（∁UA．[﹣1，4）B．（2，3）C．（2，3] D．（﹣1，4）【考点】绝对值不等式的解法；交、并、补集的混合运算；一元二次不等式的解法．【分析】利用绝对值是表达式的解法求出集合A，二次不等式的解法求解集合B，然后求解（∁A）∩B．U【解答】解：A={x||x﹣1|＞2}={x|x＞3或x＜﹣1}，∁A={x|﹣1≤x≤3}．UB={x|x2﹣6x+8＜0}={x|2＜x＜4}，A）∩B={x|2＜x≤3}．∴（∁U故选：C．2．已知（3+i）•z=﹣2i（i是虚数单位），那么复数z对应的点位于复平面内的（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】首先表示出复数z，进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，整理成复数的标准形式，写出点的坐标，根据点的坐标的符号，看出点所在的象限．【解答】解：∵∴z==，∴对应的点的坐标是（﹣）∴对应的点在第三象限，故选C．3．下列有关命题的说法正确的是（）A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x≠1”B．“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的必要不充分条件C．命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“∀x∈R，均有x2+x+1＜0”D．命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题【考点】命题的否定；必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】对于A：因为否命题是条件和结果都做否定，即“若x2≠1，则x≠1”，故错误．对于B：因为x=﹣1⇒x2﹣5x﹣6=0，应为充分条件，故错误．对于C：因为命题的否定形式只否定结果，应为∀x∈R，均有x2+x+1≥0．故错误．由排除法即可得到答案．【解答】解：对于A：命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x≠1”．因为否命题应为“若x2≠1，则x≠1”，故错误．对于B：“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的必要不充分条件．因为x=﹣1⇒x2﹣5x﹣6=0，应为充分条件，故错误．对于C：命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“∀x∈R，均有x2+x+1＜0”．因为命题的否定应为∀x∈R，均有x2+x+1≥0．故错误．由排除法得到D正确．故答案选择D．4．已知α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列命题中不正确的是（）A．若 m∥n，m⊥α，n⊥β，则α∥βB．若m∥α，a∩β=n，则m∥nC．若m⊥α，α∥β，则m⊥βD．若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β【考点】命题的真假判断与应用；平面与平面之间的位置关系．【分析】A．利用面面平行的判定定理判断．B．利用线面平行的性质判断．C．利用线面垂直的判定定理判断．D．利用面面垂直的判定定理判断．【解答】解：A．根据平行线的性质可知，当m∥n，m⊥α，n⊥β，则α∥β，所以A正确．B．根据线面平行的性质可知，只有当m，n共面时才有m∥n，所以B错误．C．根据面面平行的性质可知，如果一条直线垂直于两个平行平面的一个平面，则必垂直另一个平面，所以C正确．D．根据线面垂直的性质可知，若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β，所以D正确．故选B．5．已知f（x）=是（﹣∞，+∞）上的减函数，那么a的取值范围是（）A．[，）B．（0，） C．（，1） D．（，1）【考点】函数单调性的性质．【分析】由f（x）为（﹣∞，+∞）上的减函数，知（3a﹣1）x+4a递减，logx递减，且（3a﹣1）×1+4aa1，从而得，解出即可．≥loga【解答】解：因为f（x）为（﹣∞，+∞）上的减函数，所以有，解得，故选A．6．函数y=sinxcosx+cos2x﹣在[0，]的值域是（）A．[﹣1，1] B．[，1] C．[﹣，1] D．[0，1]【考点】三角函数的最值．【分析】首先对三角函数式进行化简得y=，再求出2x+的取值范围后求值域．【解答】解：由题意知化简三角函数式：y=sinxcosx+cos2x﹣=+﹣=∵x∈[0，]∴∴﹣≤sin（2x+）≤1故选：C7．如图，一个简单空间几何体的三视图其主视图与左视图都是边长为2的正三角形，其俯视图轮廓为正方形，则其体积是（）A．B．C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】三视图复原的几何体是正四棱锥，求出底面面积，正四棱锥的高，即可求出体积．【解答】解：如图据条件可得几何体为底面边长为2的正方形，侧面是等边三角形高为2的正四棱锥，故其体积V=×4×=．故选C．8．如图，该程序运行后输出的结果为（）A．1 B．2 C．4 D．16【考点】程序框图．【分析】由题意可得：①a=1≤3，b=2，a=1+1=2；②a=2≤3，b=4，a=2+1=3；③a=3≤3，b=16，a=3+1=4；进而程序结束得到答案．【解答】解：由题意可得：①a=1≤3，b=2，a=1+1=2；②a=2≤3，b=4，a=2+1=3；③a=3≤3，b=16，a=3+1=4；因为a=4≤3不成立，所以输出b的数值为16．故选D．9．已知点A（3，0），B（0，3），C（cosα，sinα），O（0，0），若，则的夹角为（）A．B．C．D．【考点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．【分析】根据题意求出的坐标，再由它的模求出角α，进而求出点C的坐标，利用数量积的坐标表示求出和夹角的余弦值，再求出夹角的度数．【解答】解：∵A（3，0），C（cosα，sinα），O（0，0），∴=（3+cosα，sinα），∵，∴（3+cosα）2+sin2α=13，解得，cosα=，则α=，即C（，），∴和夹角的余弦值是==，∴和的夹角是．故选：D．10．若抛物线y2=4x上一点M到该抛物线的焦点F的距离|MF|=5，则点M到x轴的距离为（）A．1 B．2 C． D．4【考点】抛物线的简单性质．+1=5求【分析】先根据抛物线方程求得准线方程，利用抛物线定义可知M到准线的距离为5，进而利用xM得M的横坐标，代入抛物线方程求得M的纵坐标，从而求得答案．【解答】解：根据题意可知抛物线的准线方程为x=﹣1，∵M到该抛物线的焦点F的距离为5+1=5∴M到准线的距离为5，即xM∴x=4，代入抛物线方程求得y=±4M∴点M到x轴的距离为4．故选D11．在的展开式中，x的幂指数是整数的有（）A．3项B．4项C．5项D．6项【考点】二项式定理的应用．【分析】利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为整数得展开式中x的幂的指数是整数的项【解答】解：当r=0，6，12，18，24时，x的指数分别是整数故x的幂的指数是整数的有5项故选项为C．12．若曲线f（x）=x4﹣x在点P处的切线平行于直线3x﹣y=0，则点P的坐标为（）A．（﹣1，2）B．（1，﹣3）C．（1，0）D．（1，5）【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】设出P的坐标为（a，b），根据f（x）的解析式求出f（x）的导函数，由曲线在点P的切线与已知直线平行，得到斜率相等，先根据已知直线的方程求出已知直线的斜率即为曲线上过点P切线方程的斜率，即为导函数在x=a时的函数值，把x=a代入导函数表示出函数值，让其等于切线方程的斜率列出关于a 的方程，求出方程的解即可得到a的值，然后把a的值代入f（x）中即可得到b的值，根据求出的a与b 的值写出点P的坐标即可．【解答】解：设点P的坐标为（a，b），由f（x）=x4﹣x，得到f′（x）=4x3﹣1，因为曲线上过P的切线与直线3x﹣y=0平行，所以过点P 的切线的斜率k 等于直线3x ﹣y=0的斜率，即k=3，则f ′（a ）=4a 3﹣1=3，解得a=1，把a=1代入得：f （1）=0，则点P 的坐标为（1，0）．故选C二、填空题（每小题5分，每题5分共20分）13．若在区域内任取一点P ，则点P 落在单位圆x 2+y 2=1内的概率是 ． 【考点】简单线性规划；几何概型． 【分析】由我们易画出图象求出其对应的面积，即所有基本事件总数对应的几何量，再求出区域内也单位圆重合部分的面积，代入几何概型计算公式，即可得到答案．【解答】解：满足约束条件区域为△ABC 内部（含边界），与单位圆x 2+y 2=1的公共部分如图中阴影部分所示，则点P 落在单位圆x 2+y 2=1内的概率概率为P===．故答案为：．14．若等比数列{a n }的首项为，且a 4=（1+2x ）dx ，则公比q 等于 3 ． 【考点】等比数列；定积分．【分析】先计算定积分得到a 4，因为等比数列的首项为，然后根据等比数列的通项公式列出关于q 的方程，求出即可．【解答】解：由已知得：a 4=∫14（1+2x ）dx=x+x 2|14=18．又因为等比数列的首项为，设公比为q 根据等比数列的通项公式a n =a 1q n ﹣1，令n=4得：a 4=×q 3=18，解得q 3==27，所以q=3．故答案为3．15．双曲线一条渐近线的倾斜角为，离心率为e ，则的最小值为．【考点】双曲线的简单性质；基本不等式．【分析】根据条件，确定几何量之间的关系，再利用基本不等式，即可得到结论．【解答】解：由题意，∴b=，∴c=2a∴=≥=（当且仅当a=时取等号）∴当a=时，的最小值为故答案为：．16．若3a =0.618，a ∈[k ，k+1），（k ∈Z ），则k= ﹣1 ． 【考点】指数函数的单调性与特殊点．【分析】先判断出0.618所在的范围，必须与3有关系，再根据y=3x 在定义域上是增函数，得出a 所在的区间，即能求出k 的值．【解答】解：∵＜0.618＜1，且函数y=3x 在定义域上是增函数， ∴3a =0.618，﹣1＜a ＜0，则k=﹣1． 故答案为﹣1．三、解答题：（17-21题均为12分，选做题10分）17．已知二次函数y=f （x ）的图象经过坐标原点，其导函数为f ′（x ）=6x ﹣2，数列{a n }的前n 项和为S n ，点（n ，S n ）（n ∈N *）均在函数y=f （x ）的图象上． （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）设b n =，T n 是数列{b n }的前n 项和，求使得T n ＜对所有n ∈N *都成立的最小正整数m ．【考点】数列的求和；导数的运算． 【分析】（Ⅰ）设这二次函数f （x ）=ax 2+bx （a ≠0），根据导函数求得f （x ）的表达式，再根据点（n ，S n ）（n ∈N *）均在函数y=f （x ）的图象上，求出a n 的递推关系式，（Ⅱ）把（1）题中a n 的递推关系式代入b n ，根据裂项相消法求得T n ，最后解得使得对所有n ∈N *都成立的最小正整数m ． 【解答】解：（Ⅰ）设这二次函数f （x ）=ax 2+bx （a ≠0）， 则f ′（x ）=2ax+b ， 由于f ′（x ）=6x ﹣2，得 a=3，b=﹣2，所以f （x ）=3x 2﹣2x ． 又因为点（n ，S n ）（n ∈N *）均在函数y=f （x ）的图象上， 所以S n =3n 2﹣2n ．当n ≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1=（3n 2﹣2n ）﹣[3（n ﹣1）2﹣2（n ﹣1）]=6n ﹣5． 当n=1时，a 1=S 1=3×12﹣2=6×1﹣5， 所以，a n =6n ﹣5（n ∈N *）（Ⅱ）由（Ⅰ）得知==，故T n ===（1﹣）．因此，要使（1﹣）＜（n ∈N *）成立的m ，必须且仅须满足≤，即m ≥10，所以满足要求的最小正整数m 为10．18．张明要参加某单位组织的招聘面试．面试要求应聘者有7次选题答题的机会（选一题答一题），若答对4题即终止答题，直接进入下一轮，否则被淘汰．已知张明答对每一道题的概率都为．（Ⅰ）求张明进入下一轮的概率；（Ⅱ）设张明在本次面试中答题的个数为ξ，试写出ξ的分布列，并求ξ的数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列． 【分析】（Ⅰ）分别求得张明答4道题进入下一轮的概率、答5道题进入下一轮的概率、答6道题进入下一轮的概率、答7道题进入下一轮的概率，相加即得所求．（Ⅱ）依题意，ξ的可能取值为4，5，6，7，再求出ξ取每一个值的概率，即可求得它的概率分布列以及数学期望．【解答】解：（Ⅰ）张明答4道题进入下一轮的概率为；答5道题进入下一轮的概率为；答6道题进入下一轮的概率为；答7道题进入下一轮的概率为；故张明进入下一轮的概率为．（Ⅱ）依题意，ξ的可能取值为4，5，6，7．当ξ=4时可能答对4道题进入下一轮，也可能打错4道题被淘汰.；类似有； P（ξ=6）=；P（ξ=7）=．．19．如图甲，△ABC是边长为6的等边三角形，E，D分别为AB、AC靠近B、C的三等分点，点G为BC边的中点．线段AG交线段ED于F点，将△AED沿ED翻折，使平面AED⊥平面BCDE，连接AB、AC、AG形成如图乙所示的几何体．（Ⅰ）求证BC⊥平面AFG；（Ⅱ）求二面角B﹣AE﹣D的余弦值．【考点】用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的判定；与二面角有关的立体几何综合题．【分析】（Ⅰ）由已知条件推导出DE⊥AF，DE⊥GF，DE∥BC，DE⊥平面AFG．由此能够证明BC⊥平面AFG．（Ⅱ）以点F为坐标原点，分别以FG，FD，FA所在的直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角B﹣AE﹣D的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：在图甲中，∵△ABC是边长为6的等边三角形，E，D分别为AB、AC靠近B、C的三等分点，点G为BC边的中点，∴DE⊥AF，DE⊥GF，DE∥BC．…在图乙中，∵DE⊥AF，DE⊥GF，AF∩FG=F，∴DE⊥平面AFG．又∵DE∥BC，∴BC⊥平面AFG．…（Ⅱ）∵平面AED⊥平面BCDE，平面AED∩平面BCDE=DE，DE⊥AF，DE⊥GF，∴FA，FD，FG两两垂直．以点F 为坐标原点，分别以FG ，FD ，FA 所在的直线为x ，y ，z 轴， 建立如图所示的空间直角坐标系F ﹣xyz ．则由题意知：，，E （0，﹣2，0），∴，，0）．…设平面ABE 的一个法向量为．则，∴，取x=1，则，z=﹣1，∴．…显然为平面ADE 的一个法向量，所以．…∵二面角B ﹣AE ﹣D 为钝角，∴二面角B ﹣AE ﹣D 的余弦值为．…20．己知⊙O ：x 2+y 2=6，P 为⊙O 上动点，过P 作PM ⊥x 轴于M ，N 为PM 上一点，且．（Ⅰ）求点N 的轨迹C 的方程； （Ⅱ）若A （2，1），B （3，0），过B 的直线与曲线C 相交于D 、E 两点，则k AD +k AE 是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；轨迹方程．【分析】（Ⅰ）设M （x ，y ），则可设P （x ，y 0），Q （x ，0），根据又，可确定y 0=3y ，进而可知点P 的坐标代入圆的方程，求得曲线C 的方程． （Ⅱ）设D （x 1，y 1），E （x 2，y 2），设出过点B 的直线DE 的方程，与题意方程联立，利用韦达定理求出横坐标的和与乘积，求出k AD +k AE 化简即可判断否为定值． 【解答】解：（Ⅰ）设N （x ，y ），P （x 0，y 0），则M （x 0，0），，由，得，∴…由于点P 在圆O ：x 2+y 2=6上，则有，即．∴点N 的轨迹C 的方程为．…（Ⅱ） 设D （x 1，y 1），E （x 2，y 2），过点B 的直线DE 的方程为y=k （x ﹣3），由消去y 得：（2k 2+1）x 2﹣12k 2x+18k 2﹣6=0，其中△＞0∴；…∴=…==∴k AD +k AE 是定值﹣2．…21．若存在实常数k 和b ，使得函数f （x ）和g （x ）对其定义域上的任意实数x 分别满足：f （x ）≥kx+b 和g （x ）≤kx+b ，则称直线l ：y=kx+b 为f （x ）和g （x ）的“隔离直线”．已知h （x ）=x 2，φ（x ）=2elnx （e 为自然对数的底数）．（1）求F （x ）=h （x ）﹣φ（x ）的极值；（2）函数h （x ）和φ（x ）是否存在隔离直线？若存在，求出此隔离直线方程；若不存在，请说明理由． 【考点】利用导数求闭区间上函数的最值． 【分析】（1）由已知中函数f （x ）和φ（x ）的解析式，求出函数F （x ）的解析式，根据求导公式，求出函数的导数，根据导数判断函数的单调性并求极值（2）由（1）可知，函数f （x ）和φ（x ）的图象在（，e ）处相交，即f （x ）和φ（x ）若存在隔离直线，那么该直线必过这个公共点，设隔离直线的斜率为k ．则隔离直线方程为y ﹣e=k （x ﹣），即y=kx ﹣k +e ，根据隔离直线的定义，构造方程，可求出k 值，进而得到隔离直线方程． 【解答】解：（1）∵F （x ）=f （x ）﹣φ（x ）=x 2﹣2elnx （x ＞0），∴F ′（x ）=2x ﹣==令F′（x）=0，得x=，当0＜x＜时，F′（x）＜0，x＞时，F′（x）＞0故当x=时，F（x）取到最小值，最小值是0（2）由（1）可知，函数f（x）和φ（x）的图象在（，e）处相交，因此存在f（x）和φ（x）的隔离直线，那么该直线过这个公共点，设隔离直线的斜率为k．则隔离直线方程为y﹣e=k（x﹣，即y=kx﹣k+e由f（x）≥kx﹣k+e（x∈R），可得x2﹣kx+k﹣e≥0当x∈R恒成立，则△=k2﹣4k+4e=（k﹣2）2≤0，∴k=2，此时直线方程为：y=2x﹣e，下面证明φ（x）≤2x﹣e exx＞0时恒成立令G（x）=2x﹣e﹣φ（x）=2x﹣e﹣2elnx，G′（x）=2﹣=（2x﹣2e）=2（x﹣），当x=时，G′（X）=0，当0＜x＜时G′（x）＞0，则当x=时，G（x）取到最小值，极小值是0，也是最小值．所以G（x）=2x﹣e﹣g（x）≥0，则φ（x）≤2x﹣e当x＞0时恒成立．∴函数f（x）和φ（x）存在唯一的隔离直线y=2x﹣e选做题：请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．在直角坐标系xOy中，直线C的参数方程为为参数），曲线P在以该直角坐标系的原点O的为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系下的方程为ρ2﹣4ρcosθ+3=0．（1）求直线C的普通方程和曲线P的直角坐标方程；（2）设直线C和曲线P的交点为A、B，求|AB|．【考点】点的极坐标和直角坐标的互化；点到直线的距离公式；参数方程化成普通方程．【分析】（1）参数t得到曲线C的普通方程为x﹣y﹣1=0，利用x=ρcosθ，y=ρsinθ，即可得出P的直角坐标方程；（2）利用点到直线的距离公式可求出圆心到直线的距离d和弦长l=即可得出．【解答】解：（1）由曲线C的参数方程为为参数），消去参数t得到曲线C的普通方程为x﹣y﹣1=0；∵x=ρcosθ，y=ρsinθ，曲线P在极坐标系下的方程为ρ2﹣4ρcosθ+3=0，∴曲线P的直角坐标方程为x2+y2﹣4x+3=0．（2）曲线P可化为（x﹣2）2+y2=1，表示圆心在（2，0），半径r=1的圆，则圆心到直线C的距离为，故|AB|==．23．设函数f（x）=|2x+1|﹣|x﹣2|．（1）求不等式f（x）＞2的解集；（2）∀x∈R，使f（x）≥t2﹣t，求实数t的取值范围．【考点】一元二次不等式的应用；分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的最值及其几何意义．【分析】（1）根据绝对值的代数意义，去掉函数f（x）=|2x+1|﹣|x﹣2|中的绝对值符号，求解不等式f（x）＞2，（2）由（1）得出函数f（x）的最小值，若∀x∈R，恒成立，只须即可，求出实数t的取值范围．【解答】解：（1）当，∴x＜﹣5当，∴1＜x＜2当x≥2，x+3＞2，x＞﹣1，∴x≥2综上所述 {x|x＞1或x＜﹣5}．（2）由（1）得，若∀x∈R，恒成立，则只需，综上所述．。

辽河油田第二高级中学2018-2019学年高三上学期第三次月考试卷数学含答案班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1． 如图所示，网格纸表示边长为1的正方形，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ） A ．4 B ．8 C ．12 D ．20【命题意图】本题考查三视图、几何体的体积等基础知识，意在考查空间想象能力和基本运算能力． 2． 将函数x x f ωsin )(=（其中0>ω）的图象向右平移4π个单位长度，所得的图象经过点 )0,43(π，则ω的最小值是（ ） A ．31 B ． C ．35D ．3． 已知函数(5)2()e22()2xf x x f x x f x x +>⎧⎪=-≤≤⎨⎪-<-⎩，则(2016)f -=（ ） A ．2e B ．e C ．1 D ．1e【命题意图】本题考查分段函数的求值，意在考查分类讨论思想与计算能力．4． 已知M N 、为抛物线24y x =上两个不同的点，F 为抛物线的焦点．若线段MN 的中点的纵坐标为2，||||10MF NF +=，则直线MN 的方程为（ ）A ．240x y +-=B ．240x y --=C ．20x y +-=D ．20x y --=5． 执行如图所示的程序框图，输出的值是（ ）A ．5B ．4C ．3D ．26． 圆锥的高扩大到原来的 倍，底面半径缩短到原来的12，则圆锥的体积（ ） A.缩小到原来的一半 B.扩大到原来的倍 C.不变 D.缩小到原来的167． 已知全集U={0，1，2，3，4}，集合M={2，3，4}，N={0，1，4}，则集合{0，1}可以表示为（ ） A ．M ∪NB ．（∁U M ）∩NC ．M ∩（∁U N ）D ．（∁U M ）∩（∁U N ）8． 已知||=3，||=1，与的夹角为，那么|﹣4|等于（ ）A ．2B ．C ．D ．139． 已知曲线2:4C y x =的焦点为F ，过点F 的直线与曲线C 交于,P Q 两点，且20FP FQ +=，则OP Q ∆的面积等于（ ）A ．B ．C ．2 D ．410．函数22()(44)log x x f x x -=-的图象大致为（ ）11．定义运算：,,a a ba b b a b≤⎧*=⎨>⎩．例如121*=，则函数()sin cos f x x x =*的值域为（ ）A ．22⎡-⎢⎣⎦ B ．[]1,1- C ．,12⎤⎥⎣⎦ D ．1,2⎡-⎢⎣⎦12．已知P （x ，y ）为区域内的任意一点，当该区域的面积为4时，z=2x ﹣y 的最大值是（ ）A ．6B ．0C ．2D ．2二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在横线上）13．当0,1x ∈（）时，函数()e 1x f x =-的图象不在函数2()g x x ax =-的下方，则实数a 的取值范围是___________．【命题意图】本题考查函数图象间的关系、利用导数研究函数的单调性，意在考查等价转化能力、逻辑思维能力、运算求解能力．14．已知抛物线1C ：x y 42=的焦点为F ，点P 为抛物线上一点，且3||=PF ，双曲线2C ：12222=-by a x（0>a ，0>b ）的渐近线恰好过P 点，则双曲线2C 的离心率为 .【命题意图】本题考查了双曲线、抛物线的标准方程，双曲线的渐近线，抛物线的定义，突出了基本运算和知识交汇，难度中等.15．若实数,,,a b c d 满足24ln 220b a a c d +-+-+=，则()()22a cb d -+-的最小值为 ▲ ． 16．已知函数21()sin cos sin 2f x a x x x =-+的一条对称轴方程为6x π=，则函数()f x 的最大值为___________．【命题意图】本题考查三角变换、三角函数的对称性与最值，意在考查逻辑思维能力、运算求解能力、转化思想与方程思想．三、解答题（本大共6小题，共70分。

辽宁省辽河油田第二中学2024学年数学高三第一学期期末质量跟踪监视试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．答题时请按要求用笔。

3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且//AB CD ，若正方体的六个面所在的平面与直线CE EF ，相交的平面个数分别记为m n ，，则下列结论正确的是（ ）A ．m n =B ．2m n =+C ．m n <D ．8m n +<2．设x ∈R ，则“327x <”是“||3x <”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．设复数z 满足()117i z i +=-，则z 在复平面内的对应点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．等比数列{}n a 的各项均为正数，且384718a a a a +=，则3132310log log log a a a +++=( )A ．12B ．10C ．8D ．32log 5+5．设全集U =R ，集合2{|340}A x x x =-->，则UA =（ ）A ．{x |-1 <x <4}B ．{x |-4<x <1}C ．{x |-1≤x ≤4}D ．{x |-4≤x ≤1}6．为得到的图象，只需要将的图象（ ）A ．向左平移个单位B ．向左平移个单位C ．向右平移个单位D ．向右平移个单位7．若函数32()2()f x x mx x m R =-+∈在1x =处有极值，则()f x 在区间[0,2]上的最大值为（ ）A ．1427B ．2C ．1D ．38．已知复数z 满足()1z i i =-，(i 为虚数单位)，则z =( )A ．2B ．3C ．2D ．39．已知抛物线22(0)y px p =>上一点(5,)t 到焦点的距离为6，P Q 、分别为抛物线与圆22(6)1x y -+=上的动点，则PQ 的最小值为（ ）A ．211-B ．525-C ．25D ．251-10．为比较甲、乙两名高中学生的数学素养，对课程标准中规定的数学六大素养进行指标测验（指标值满分为100分，分值高者为优），根据测验情况绘制了如图所示的六大素养指标雷达图，则下面叙述不正确的是（ ）A ．甲的数据分析素养优于乙B ．乙的数据分析素养优于数学建模素养C ．甲的六大素养整体水平优于乙D ．甲的六大素养中数学运算最强11．执行如图所示的程序框图，若输入的3t =，则输出的i =( )A ．9B ．31C ．15D ．6312．已知函数()2331x x f x x ++=+，()2g x x m =-++，若对任意[]11,3x ∈，总存在[]21,3x ∈，使得()()12f x g x =成立，则实数m 的取值范围为（ ） A ．17,92⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．[)17,9,2⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦C ．179,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．4179,,2⎛⎤⎡⎫-∞+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。