北京市海淀区2006年1月高三数学期末考试卷(文科)

海淀区2005年高三年级第一学期期末练习数 学（文科）2005．1学校________ 班级________ 姓名________一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）sin （－300°）的值为（ ） A ．21 B ．21- C ．23 D ．23-（2）函数)1(21>=-x y x 的反函数是（ ）A ．)1(log 12>+=x x yB ．)0(log 12>+=x x yC ．)1(log 12>+-=x x yD ．)1)(1(log 2>-=x x y（3）设集合}2sin 2|){(x y y x A ==，，集合}|){(x y y x B ==，，则（ ） A ．A B 中有3个元素 B ．A B 中有1个元素C ．A B 中有2个元素D ．A B ＝R（4）焦点在直线01243=--y x 上的抛物线的标准方程为（ ）A ．y x 122-= B ．x y 82=或y x 62-=C ．x y 162=D ．y x 122-=或x y 162= （5）在nxx)12(3-的展开式中，只有第5项的第二项式系数最大，则展开式中常数项是（ ） A ．－7 B ．7 C ．－28 D ．28 （6）在△ABC 中，“A ＞B ”是“B A cos cos <”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件（7）已知mn ≠0，则方程122=+ny mx 与02=+ny mx 在同一坐标系下的图形可能是（ ）（8）在数列}{n a 中，已知)(1R ∈++=c n cn a n ，则对于任意正整数n 有（ ） A ．1+<n n a a B ．n a 与1+n a 的大小关系和c 有关 C ．1+>n n a a D ．n a 与1+n a 的大小关系和n 有关二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上． （9）函数x x x f -+-=2)1(log )(21的定义域为________．（10）函数)2πsin(sin x x y -=的最小正周期是________． （11）已知向量＝（1，0），＝（2，2），则||＝________________． （12）已知点A （6，0），B 为圆422=+y x 上任意一点，则线段AB 的中点M 的轨迹方程为________________．（13）设双曲线)00(12222>>=-b a by a x ，的焦距为2c ，A ，B 分别为实轴与虚轴的一个端点，若坐标原点到直线AB 的距离为2c，则双曲线的离心率为________；渐近线方程为________________．（14）设函数)(x f 的定义域为R ，若存在常数0>M ，使|||)(|x M x f ≤对一切实数x 均成立，则称)(x f函数．给出下列函数：①0)(=x f ；②2)(x x f =；③)cos (sin 2)(x x x f +=；④1)(2++=x x xx f ；⑤)(x f 是定义在R 上的奇函数，且满足对一切实数1x ，2x ，均有2|)()(|21≤-x f x f ||21x x -．其中是函数的序号为_____________________________．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （15）本小题满分12分 已知向量)23sin 23(cosx x ，=a ，)2sin 2(cos xx -=，b ，)13(-=，c ，其中R ∈x ． （Ⅰ）当a ⊥b 时，求x 值的集合；（Ⅱ）求|a －b |的最大值．（16）本小题满分13分在一次历史与地理两科的联合测试中，备有6道历史题，4道地理题，共10道题以供选择，要求学生从中任意抽取5道题目作答，答对4道或5道可被评为良好．学生甲答对每道历史题的概率为0.9，答对每道地理题的概率为0.8．（Ⅰ）求学生甲恰好抽到3道历史题，2道地理题的概率；（Ⅱ）若学生甲恰好抽到3道历史题，2道地理题，则他能被评为良好的概率是多少？（精确到0.01）（17）本小题满分14分 解关于x 的不等式22)1(>--x x a （其中1≤a ）．（18）本小题满分14分设椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左焦点为1F （－2，0），左准线1l 与x 轴交于点N （－3，0），过点N 且倾斜角为30°的直线l 交椭圆于A 、B 两点．（Ⅰ）求直线l 和椭圆的方程；（Ⅱ）求证：点1F （－2，0）在以线段AB 为直径的圆上． （19）本小题满分14在等比数列)}({+∈N n a n 中，11>a ，公比0>q ．设n n a b 2l o g =，且6531=++b b b ，0531=b b b ．（Ⅰ）求证：数列}{n b 是等差数列；（Ⅱ）求}{n b 的前n 项和n S 及数列}{n a 的通项n a ； （Ⅲ）试比较n a 与n S 的大小．（20）本小题满分13分 已知函数)(231)(23R R ∈∈+-=a x ax x x x f ，，在曲线y ＝f （x ）的所有切线吸且仅有一条切线l 与直线x ＋y ＝0平行．设曲线y ＝f （x ）的所有切线的倾斜角α组成的集合为Ｍ，与切线垂直的直线的倾斜角β组成的集合为Ｎ． （Ⅰ）求a 的值及切线l 的方程； （Ⅱ）求集合M 与集合N ．参考答案二、填空题（每小题5分，共30分）9．]21(， 10．π 11．5 12．1)3(22=+-y x 13．2（3分）；x y ±=（2分） 14．①④⑤ 三、解答题（本大题共6小题，共80分） 15．本小题满分12分解：（Ⅰ）由b a ⊥得a ·b ＝0，即02sin 23sin 2cos 23cos =-xx x x ………………4分 则02cos =x ，得)(4π2πZ ∈+=k k x ． …………………………………5分∴ }4π2π|{Z ∈+=k k x x ，为所求． (6)分（Ⅱ）)3π23sin(45)123(sin )323(cos||222-+=++-=-x x x c a ，……………10分 所以||c a -有最大值为3．……………………………………………………12分 16．本小题满分13分解：（Ⅰ）学生甲恰好抽到3道历史题、2道地理题的概率为：21105102436=C C C ．……6分 （Ⅱ）若学生甲被评为良好，则他应答对5题，记作事件A ；或答对3道历史题，1道地理题，记作事件B ；或答对2道历史题，2道地理题，记作事件C ．∵ 238.09.0)(⨯=A P ，………………………………………………………………8分 2.08.09.0)(123⨯=C B P ，…………………………………………………………10分22238.01.09.0)(⨯⨯=C C P ，……………………………………………………12分∴ 甲被评为良好的概率为)8.03.09.04.08.09.0(8.09.0)()()(2⨯+⨯+⨯⨯⨯=++C P B P A P＝0.85536≈0.86．………………………………………………13分17．本小题满分14分解：22)1(>--x x a 02)4()2(022)1(>----⇔>---⇔x a x a x x a …………4分0224<----⇔x a a x (由a ≤1知a －2＜0)．……………………………………………6分 又由2224--=---a aa a 知，………………………………………………………………8分 当0＜a ≤1时，224>--a a ，则集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧--<<=242a a x x A ；………………………10分 当a ＝0时，原不等式解集A 为空集；…………………………………………………12分 当a ＜0时，224<--a a ，则集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<--=224x a a x A ． …………………………14分 综上所述，当0＜a ≤1时，⎭⎬⎫⎩⎨⎧--<<=242a a x x A ；当a ＝0时，A 为空集； 当a ＜0时，⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<--=224x a a xA ．18．本小题满分14分 解：（Ⅰ）直线l ：)3(33+=x y ………………………………………………………2分 由已知c ＝2及32=c a 解得：62=a ，∴ 22622=-=b ．……………………4分 ∴ 椭圆方程为12622=+y x ．…………………………………………………………5分 （Ⅱ）解方程组⎪⎩⎪⎨⎧+=-+=②①，，)3(0633322x y x y 将②代入①，整理得03622=++x x ．③……………………………………………7分 设A （1x ，1y ），B （2x ，2y ），则321-=+x x ，2321=x x ．……………………10分 解法一：22221111++=⋅⋅x y x y k k B F A F ……………………………………………………11分1]4)(2[39)(3)2)(2()3)(3(31212121212121-=++++++=++++=x x x x x x x x x x x x ，………………………………13分 ∴ B F A F 11⊥．则︒=∠901B AF ．∴ 点1F （－2，0）在以线段AB 为直径的圆上．…………………………………14分 解法二：)2()2(221111y x y x F F ，，++=⋅⋅ 2121)2)(2(y y x x +++= ………………………………………………………………11分 ]9)(3[314)(221212121+++++++=x x x x x x x x 07)(3342121=+++=x x x x ，…………………………………………………………13分 ∴ B F A F 11⊥．则︒=∠901B AF ．∴ 点1F （－2，0）在以线段AB 为直径的圆上． …………………………………14分 19．本小题满分14分证明：（Ⅰ）∵ n n a b 2log =，∴ nn n n n n a a a a b b 122121log log log +++=-=- q 2log =为常数，∴ 数列}{n b 为等差数列且公差q d 2log =．…………………………………………2分 解：（Ⅱ）∵ 6531=++b b b ，∴ 23=b ． …………………………………………3分∵ 11>a ，∴ 0log 121>=a b ．∵ 0531=b b b ，∴ 05=b ． ∴ ⎩⎨⎧=+=+．，042211d b d b 解得：⎩⎨⎧-==．，141d b ……………………………………………………6分∴ 29)1(2)1(42n n n n n S n -=-⨯-+=．……………………………………………8分 ∵ ⎩⎨⎧=-=，，4log 1log 122a q ∴⎪⎩⎪⎨⎧==．，16211a q ∴ )(25+-∈=N n a nn ． …………………10分（Ⅲ）显然 025>=-nn a ，当n ≥9时，02)9(≤-=n n S n ． ∴ n ≥9时，n n S a >． ………………………………………………………………12分 ∵ 161=a ，82=a ，43=a ，24=a ，15=a ，216=a ，417=a ，818=a ， 41=S ，72=S ，93=S ，104=S ，105=S ，96=S ，77=S ，48=S ． ∴ 当n ＝3，4，5，6，7，8时，n n S a <；当n ＝1，2或n ≥9时，n n S a >．……………………………………………………14分 20．本小题满分13分解：（Ⅰ）∵ a x x x f +-='4)(2，…………………………………………………1分 由已知可得，方程142-=+-a x x 有两个相等实根， ∴ 0)1(416=+-a ．得a ＝3．方程的解为x ＝2．……………………………………………………………4分当a ＝3时，x x x x f 3231)(23+-=，∴ 326838)2(=+-=f ． ∴ l 的方程为：)2(32--=-x y ，即0833=-+y x ．……………………………6分（Ⅱ）设过曲线上任一点P （x ，y ）处的切线斜率为k （由题意知k 存在）．则11)2(34)(22-≥--=+-='=x x x x f k ．………………………………………7分 ∴ ⎭⎬⎫⎩⎨⎧<α≤<α≤α=π4π32π0或M ．……………………………………………9分 解法（一）：当2π0<≤α时，2π+=αβ，π2π<≤β；…………………………………………11分 当π4π3<≤α时，2π-=αβ，2π4π<≤β．………………………………………12分∴ ⎭⎬⎫⎩⎨⎧<≤=π4πββN ．……………………………………………………………13分 解法（二）：设与切线垂直的直线的斜率为k ′．当－1≤k ＜0时，[)∞+∈-='，11k k ，)2π4π[，∈β；………………………………10分 当k ＝0时，k ′不存在，2π=β； ……………………………………………………11分当k ＞0时，01<-='k k ，)π2π(，∈β． …………………………………………12分 ∴ ⎭⎬⎫⎩⎨⎧<≤=π4πββN ．……………………………………………………………13分 注：其它正确解法按相应步骤给分．。

海淀区高三年级第一学期期末练习数 学 (文科) 2011.1第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1．sin 240的值为A ．12-B ． 12C． D2. 若等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且236a a +=，则4S 的值为 A. 12 B.11 C.10 D. 93. 设,αβ为两个不同的平面，直线l α⊂，则“l β⊥”是“αβ⊥”成立的 A ．充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件4. 某部门计划对某路段进行限速，为调查限速60 km/h 是否合理，对通过该路段的300辆汽车的车速进行检测，将所得数据按[40，50)，[50,60)，[60,70)，[70,80]分组，绘制成如图所示的频率分布直方图.则这300辆汽车中车速低于限速的汽车有A.75辆B.120辆C.180辆D.270辆5.点(2,)P t 在不等式组4030x y x y --≤⎧⎨+-≤⎩表示的平面区域内，则点(2,)P t 到直线34100x y ++=距离的最大值为 A.2 B. 4 C. 6 D.8 6. 一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体 积为A ．12B ．6C ． 4D ．2 7. 已知函数1()sin ,[0,π]3f x x x x =-∈， 01cos 3x =（0[0,π]x ∈），那么下面结论正确的是A ．()f x 在0[0,]x 上是减函数 B. ()f x 在0[,π]x 上是减函数C. [0,π]x ∃∈, 0()()f x f x > D. [0,π]x ∀∈, 0()()f x f x ≥正视图左视图俯视图8. 已知椭圆E ：1422=+y m x ，对于任意实数k ，下列直线被椭圆E 所截弦长与l ：1+=kx y 被椭圆E 所截得的弦长不可能．．．相等的是 A ．0kx y k ++= B ．01=--y kx C ．0kx y k +-= D ．20kx y +-=二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在题中横线上.9. 若直线l 经过点（1，2）且与直线210x y +-=平行,则直线l 的方程为__________.10.某程序的框图如图所示，执行该程序，若输入4， 则输出的S 为 .11．椭圆2212516x y +=的右焦点F 的坐标为 .则顶点在原点的抛物线C 的焦点也为F ，则其标准方程为 .12．在一个边长为1000米的正方形区域的每个顶点处设有一个监测站，若向此区域内随机投放一个爆破点，则爆破点距离监测站200米内都可以被检测到.那么随机投入一个爆破点被监测到的概率为_______. 13已知向量(1,),(1,)t t ==-a b .若-2a b 与b 垂直, 则||___=a .14．在平面直角坐标系x O y 中，O 为坐标原点.定义()11,P x y 、()22,Q x y 两点之间的“直角距离”为1212(,)d P Q x x y y =-+-为. 若点()1,3A -，则(,)d A O = ；已知()1,0B ，点M 为直线20x y -+=上动点，则(,)d B M 的最小值为 .三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.15．（本小题满分13分）设函数1()sin 2f x x x =+，R x ∈.（I ）求函数)(x f 的周期和值域；（II ）记ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，若3(),2f A =且a =， 求角C 的值.16. （本小题满分13分）某学校三个社团的人员分布如下表（每名同学只参加一个社团）学校要对这三个社团的活动效果进行抽样调查，按分层抽样的方法从社团成员中抽取30人，结果围棋社被抽出12人.(I) 求这三个社团共有多少人？(II) 书法社从3名高中和2名初中成员中，随机选出2人参加书法展示，求这2人中初、高中学生都有的概率.17. （本小题满分13分）如图，棱柱ABCD —1111A B C D 的底面ABCD 为菱形 ，AC BD O =，侧棱1AA ⊥BD,点F 为1DC 的中点．（I ） 证明：//OF 平面11BCC B ； （II ）证明：平面1DBC ⊥平面11ACC A .1B 1C 1A F1D18. （本小题满分13分）已知函数322()1,a f x x x=++其中0a >.（I ）若曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线与直线1y =平行，求a 的值； （II ）求函数()f x 在区间[1,2]上的最小值. 19. （本小题满分14分）已知圆22:4O x y +=,点P 为直线:4l x =上的动点.(I)若从P 到圆O 的切线长为P 点的坐标以及两条切线所夹劣弧长；（II ）若点(2,0),(2,0)A B -，直线,PA PB 与圆O 的另一个交点分别为,M N ,求证:直线MN 经过定点(1,0).20. （本小题满分14分）已知集合{}1,2,3,,2A n =*()n N ∈.对于A 的一个子集S ，若存在不大于n 的正整数m ，使得对于S 中的任意一对元素12,s s ，都有12s s m -≠，则称S 具有性质P.（Ⅰ）当10n =时，试判断集合{}9B x A x =∈>和{}*31,C x A x k k N =∈=-∈是否具有性质P ？并说明理由. (II)若集合S 具有性质P ，试判断集合 {}(21)T n x x S =+-∈)是否一定具有性质P ？并说明理由.海淀区高三年级第一学期期末练习数 学（文）答案及评分参考 2011．1第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）第II 卷（非选择题 共110分）二、填空题（本大题共6小题,每小题5分, 共30分.有两空的题目，第一空3分，第二空2分）9.240x y +-= 10. 19 11.(3,0) 212y x = 12.25π13. 2 14. 4 3三、解答题(本大题共6小题,共80分) 15．（共13分） 解：（I ） x x x f cos 23sin 21)(+=)3sin(π+=x ， ............................... 3分)(x f ∴的周期为π2 （或答:0,,2≠∈k Z k k π）. ................................4分 因为x R ∈，所以3x R π+∈,所以)(x f 值域为]1,1[- . ...............................5分（II ）由（I ）可知，)3sin()(π+=A A f , ...............................6分23)3s i n (=+∴πA, ...............................7分 π<<A 0 , 3433πππ<+<∴A , ..................................8分 2,33A ππ∴+= 得到3A π= . ...............................9分,23b a =且Bb A a sin sin = , ....................................10分s i n b B =, ∴1sin =B , ....................................11分π<<B 0 ， 2π=∴B . ....................................12分6ππ=--=∴B A C . ....................................13分16. （共13分）解：（I ）围棋社共有60人， ...................................1分 由150301260=⨯可知三个社团一共有150人. ...................................3分 （II ）设初中的两名同学为21,a a ，高中的3名同学为321,,b b b , ...................................5分 随机选出2人参加书法展示所有可能的结果:1211121321{,},{,},{,},{,},{,},a a a b a b a b a b222312132{,}, {,},{,},{,},{,}a b a b b b b b b b ，共10个基本事件. ..................................8分 设事件A 表示“书法展示的同学中初、高中学生都有”， ..................................9分 则事件A 共有111213212223{,},{,},{,},{,},{,},{,}a b a b a b a b a b a b 6个基本事件. ...................................11分 ∴53106)(==A P .故参加书法展示的2人中初、高中学生都有的概率为35. ................................13分 17. （共13分）解：（I ） 四边形ABCD 为菱形且ACBD O =，O ∴是BD 的中点 . ...................................2分 又点F 为1DC 的中点,∴在1DBC ∆中，1//BC OF , ...................................4分 ⊄OF 平面11BCC B ，⊂1BC 平面11BCC B ,∴//OF 平面11BCC B . ...................................6分 （II ） 四边形ABCD 为菱形,AC BD ⊥∴, ...................................8分 又⊥BD 1AA ，1,AA AC A =且1,AA AC ⊂平面11ACC A ,.................................10分⊥∴BD 平面11ACC A , ................................11分 ⊂BD 平面1DBC ,∴平面1DBC ⊥平面11ACC A . ................................13分 18. （共13分）解：3332222()()2a x a f x x x x -'=-=，0x ≠. .........................................2分（I ）由题意可得3(1)2(1)0f a '=-=，解得1a =， ........................................3分此时(1)4f =，在点(1,(1))f 处的切线为4y =，与直线1y =平行.故所求a 值为1. ........................................4分 （II ）由()0f x '=可得x a =，0a >， ........................................ 5分 ①当01a <≤时，()0f x '>在(1,2]上恒成立 ，所以()y f x =在[1,2]上递增， .....................................6分 所以()f x 在[1,2]上的最小值为3(1)22f a =+ . ........................................7分 ②当12a <<时，由上表可得()y f x =在[1,2]上的最小值为2()31f a a =+ . ......................................11分 ③当2a ≥时，()0f x '<在[1,2)上恒成立，所以()y f x =在[1,2]上递减 . ......................................12分 所以()f x 在[1,2]上的最小值为3(2)5f a =+ . .....................................13分 综上讨论，可知：当01a <≤时， ()y f x =在[1,2]上的最小值为3(1)22f a =+； 当12a <<时，()y f x =在[1,2]上的最小值为2()31f a a =+； 当2a ≥时，()y f x =在[1,2]上的最小值为3(2)5f a =+. 19. （共14分）解：根据题意，设(4,)P t . (I)设两切点为,C D ，则,OC PC OD PD ⊥⊥，由题意可知222||||||,PO OC PC =+即222242t +=+ ， ............................................2分 解得0t =，所以点P 坐标为(4,0). ...........................................3分 在Rt POC ∆中，易得60POC ∠=，所以120DOC ∠=. ............................................4分 所以两切线所夹劣弧长为24233ππ⨯=. ...........................................5分 （II ）设1122(,),(,)M x y N x y ，(1,0)Q ， 依题意，直线PA 经过点(2,0),(4,)A P t -，可以设:(2)6tAP y x =+， ............................................6分和圆224x y +=联立，得到22(2)64t y x x y ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩ ， 代入消元得到，2222(36)441440t x t x t +++-= ， ......................................7分 因为直线AP 经过点11(2,0),(,)A M x y -，所以12,x -是方程的两个根，所以有2124144236t x t --=+， 21272236t x t -=+ ， ..................................... 8分代入直线方程(2)6t y x =+得，212272224(2)63636t t t y t t -=+=++. ..................................9分 同理，设:(2)2t BP y x =-，联立方程有 22(2)24t y x x y ⎧=-⎪⎨⎪+=⎩， 代入消元得到2222(4)44160t x t x t +-+-=，因为直线BP 经过点22(2,0),(,)B N x y ，所以22,x 是方程的两个根，22241624t x t -=+， 222284t x t -=+ ， 代入(2)2t y x =-得到2222288(2)244t t t y t t --=-=++ . .....................11分 若11x =，则212t =，此时2222814t x t -==+ 显然,,M Q N 三点在直线1x =上，即直线MN 经过定点Q (1,0)............................12分若11x ≠，则212t ≠，21x ≠， 所以有212212240836722112136MQ t y t t k t x t t -+===----+， 22222280842811214NQ t y t t k t x t t ---+===----+................13分 所以MQ NQ k k =， 所以,,M N Q 三点共线，即直线MN 经过定点Q (1,0).综上所述，直线MN 经过定点Q (1,0). .......................................14分20. （共14分）解：（Ⅰ）当10n =时，集合{}1,2,3,,19,20A =，{}{}910,11,12,,19,20B x A x =∈>=不具有性质P . ...................................1分因为对任意不大于10的正整数m ，都可以找到集合B 中两个元素110b =与210b m =+， 使得12b b m -=成立 . ...................................3分 集合{}*31,C x A x k k N =∈=-∈具有性质P . ....................................4分 因为可取110m =<，对于该集合中任意一对元素112231,31c k c k =-=-，*12,k k N ∈都有121231c c k k -=-≠ . ............................................6分 （Ⅱ）若集合S 具有性质P ，那么集合{}(21)T n x x S =+-∈一定具有性质P . ..........7分 首先因为{}(21)T n x x S =+-∈，任取0(21),t n x T =+-∈ 其中0x S ∈，因为S A ⊆，所以0{1,2,3,...,2}x n ∈，从而01(21)2n x n ≤+-≤，即,t A ∈所以T A ⊆ ...........................8分 由S 具有性质P ，可知存在不大于n 的正整数m ，使得对S 中的任意一对元素12,s s ，都有 12s s m -≠， ..................................9分 对上述取定的不大于n 的正整数m ， 从集合{}(21)T n x x S =+-∈中任取元素112221,21t n x t n x =+-=+-，其中12,x x S ∈， 都有1212t t x x -=- ；因为12,x x S ∈，所以有12x x m -≠，即 12t t m -≠ 所以集合{}(21)T n x x S =+-∈具有性质P ． .............................14分说明：其它正确解法按相应步骤给分.。

海淀区高三年级第一学期期末练习数学 （文科）本试卷共 4 页， 150 分。

考试时长 120 分钟。

考生务势必答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共8 小题 ,每题 5 分 ,共 40 分 .在每题列出的四个选项中,选出吻合题目要求的一项 .1. 复数 2化简的结果为1 iA. 1 iB. 1 iC. 1 iD.1 i2. 向量 a(1,1),b (2, t) , 若 ab , 则实数 t 的值 为A. 2B.1C. 1D. 23. 在等边 ABC 的边 BC 上任取一点 P ，则 S ABP2S ABC 的概率是3A.1B.12D.532C.634.点 P 是抛物线 y 24x 上一点， P 到该抛物线焦点的距离为4 ，则点 P 的横坐标为A ．2B. 3C. 4开始 5.某程序的框图以下列图, 履行该程序，若输入的p 为 24 ，则输出输入 p的 n, S 的值分别为n 1，S 0A. n 4, S 30B. n 4, S 45 S p是C. n5, S30D. n5,S45 S = S + 3n6.点 A( 1,0), B(cos ,sin ) , 且|AB|3 , 则直线 AB 的方程为n n 1A. y3x3 或 y3x3 B. y3 x 3或 y3 x 33 3 3 3否输出 n ， S结束C. y x 1或 y x 1D. y2 x2 或 y2 x2sin x, sin x cosx,7.函数 f ( x)sin x cosx, 则下边结论中正确的选项是cosx,A. f (x) 是奇函数B. f (x) 的值域是 [ 1,1]C. f (x) 是偶函数D. f (x) 的值域是 [2 ,1]28. 如图，在棱长为 1 的正方体 ABCD A 1B 1C 1 D 1 中，点 E, F 分别是D 1C 1A 1B 1FDCABE棱 BC ,CC 1 的中点， P 是侧面 BCC 1 B 1 内一点，若 A 1 P / / 平面 AEF , 则线段 A 1 P 长度的取值范围是53 25C. [5 D.[2,3]A ． [1, ]B. [4, ], 2]222二、填空题 :本大题共 6 小题 ,每题 5 分 ,共 30 分 . 9.tan225 的值为 ________.10. x 2 y 2双曲线1 的渐近线方程为 _____；离心率为 ______.33S 5_____.11. 数列 { a n } 是公差不为 0 的等差数列，且 a 2 a 6a 8 ，则 a 5x 0,12. 不 等 式 组 x y 3, 表 示 的 平 面 区 域 为 ， 直 线y x 1Dy kx 1 与地域有公共点，则实数 k 的取值范围为_________.13. 三棱锥 DABC 及其三视图中的主视图和左视图如4AC222 3主视图左视图B图所示，则棱BD 的长为 ______.ab, a b0,14. 任給实数 a,b,定义 aba , a b设函数 f ( x)ln x x ，0.b则 f (2)f ( 1) =______；若 { a n } 是公比大于 0的等比数列，且 a 5 1，2f ( a 1 ) f ( a 2 )f (a 3 )f (a 7 )f (a 8）=a 1 , 则 a 1 ___.三、解答题 : 本大题共 6 小题 ,共 80 分 .解答应写出文字说明 , 演算步骤或证明过程 .15. （本小题满分 13 分）已知函数21 ABC 三个内角 A, B,C 的对边分别为f ( x)3 sinx cosx cosx，2a, b, c,且 f ( A) 1 .（I ） 求角 A 的大小；16. （本小题满分 13 分）某汽车租借公司为了检查A ，B 两种车型的出租状况， 现随机抽取这两种车型各50 辆，分别统计了每辆车在某个礼拜内的出租天数，统计数据以下表:A 型车出租天数 3 4 5 6 7 车辆数33057 5B 型车 出租天数车辆数3 4 510 10 156107 5（I ） 试依据上边的统计数据，判断这两种车型在本礼拜内出租天数的方差的大小关系（只需写出结果）；（Ⅱ）现从出租天数为 3 天的汽车（仅限 A ，B 两种车型）中随机抽取一辆，试预计这辆汽车是 A 型车的概率；（Ⅲ） 假如两种车型每辆车每日出租获取的利润同样，该公司需要购买一辆汽车，请你依据所学的统计知识，给出建议应当购买哪一种车型，并说明你的原由.17. （本小题满分14 分）A 1C 1如图，在直三棱柱 ABC A 1 B 1C 1 中，BAC 90 ，B 1AB AC AA 1，且 E 是 BC 中点 .（ I ）求证： A 1B / / 平面 AEC 1 ；ACBE（Ⅱ）求证： B 1C 平面 AEC 1 .18.（本小题满分13 分）已知函数 f ( x)1 x2 1与函数 g( x ) a ln x 在点 (1,0) 处有公共的切线，设22F ( x)f ( x) mg( x) ( m0) .（I ） 求 a 的值；（Ⅱ）求 F ( x) 在区间 [1,e] 上的最小值 . .19. （本小题满分 14 分）已知椭圆 M ：x2y 2 1(a 0) 的一个焦点为F ( 1,0) ，左右极点分别为A ，B .a 23经过点 F 的直线 l 与椭圆 M 交于 C ， D 两点 .（Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）当直线l 的倾斜角为45时，求线段CD 的长；（Ⅲ）记ABD 与ABC的面积分别为S1和S2，求| S1S2|的最大值.20. （本小题满分13 分）已知函数 f ( x) 的定义域为 (0,) ，若 y f ( x)) 上为增函数，则称 f ( x )为在 (0,x“一阶比增函数”.(Ⅰ ) 若f ( x)ax 2ax 是“一阶比增函数”，务实数 a 的取值范围；(Ⅱ) 若f ( x)是“一阶比增函数”，求证：x , x2(0,)，f ( x ) f ( x ) f ( x x )；11212（Ⅲ）若 f ( x) 是“一阶比增函数”，且 f ( x) 有零点，求证： f (x)2013有解.。

海淀区高三年级第一学期期末练习数学（文）参考答案及评分标准2014．1阅卷须知:1.评分参考中所注分数,表示考生正确做到此步应得的累加分数。

2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。

一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）二、填空题（本大题共6小题,每小题5分, 有两空的小题，第一空3分，第二空2分，共30分）三、解答题(本大题共6小题,共80分)15．（本小题共13分）解：（Ⅰ）πcosππ2()2sinππ44sin cos44f=+=+=+------------------------3分（Ⅱ）由sin cos0x x+≠得ππ,4x k k≠-∈Z.因为cos2()2sinsin cosxf x xx x=++22cos sin2sinsin cosx xxx x-=++------------------------------------5分cos sinx x=+π)4x+，-------------------------------------7分所以()f x的最小正周期2πT=. -------------------------------------9分因为函数siny x=的对称轴为ππ+,2x k k=∈Z, ------------------------------11分又由πππ+,42x k k+=∈Z,得ππ+,4x k k=∈Z,9． 2 10．16 11. 712．{1,2,4}13．50，1015 14．1-;①②③所以()f x 的对称轴的方程为ππ+,4x k k =∈Z .-----------------------------------13分16．（本小题共13分）解：（Ⅰ）由上图可得0.010.190.290.451a ++++=,所以0.06a =. ----------------------------------4分（Ⅱ）设事件A 为“甲队员射击，命中环数大于7环”，它包含三个两两互斥的事件：甲队员射击，命中环数为8环，9环，10环.所以()0.290.450.010.75P A =++=. ----------------------------------9分 （Ⅲ）甲队员的射击成绩更稳定. ---------------------------------13分 17．（本小题共14分）解：（Ⅰ）因为底面ABCD 是菱形，所以//CD AB . ----------------------------1分 又因为CD ⊄平面PAB ， -------------------3分 所以//CD 平面PAB . --------------------------4分 （Ⅱ）因为PA PB =，点E 是棱AB 的中点，所以PE AB ⊥. ----------------------------------5分 因为平面PAB ⊥平面ABCD ,平面PAB平面ABCD AB =,PE ⊂平面PAB ,----------------------------------7分所以PE ⊥平面ABCD , ------------------------------------8分 因为AD ⊂平面ABCD ,所以PE AD ⊥. ------------------------------------9分 （Ⅲ）因为CA CB =，点E 是棱AB 的中点，所以CE AB ⊥. --------------------------------10分 由（Ⅱ）可得PE AB ⊥， ---------------------------------11分 所以AB ⊥平面PEC ， --------------------------------13分 又因为AB ⊂平面PAB ,所以平面PAB ⊥平面PEC . --------------------------------14分18．（本小题共13分）解：（Ⅰ）'()(1)e x f x x a =++,x ∈R . -------------------------------2分因为函数()f x 是区间[3,)-+∞上的增函数，所以'()0f x ≥，即10x a ++≥在[3,)-+∞上恒成立.------------------------------3分 因为1y x a =++是增函数，所以满足题意只需310a -++≥，即2a ≥. -------------------------------5分 （Ⅱ）令'()0f x =，解得1x a =-- -------------------------------6分 (),'()f x f x 的情况如下：--------------------------------------10分①当10a --≤，即1a ≥-时，()f x 在[0,2]上的最小值为(0)f ， 若满足题意只需2(0)e f ≥，解得2e a ≥，所以此时，2e a ≥； --------------------------------------11分②当012a <--<，即31a -<<-时，()f x 在[0,2]上的最小值为(1)f a --， 若满足题意只需2(1)e f a --≥，求解可得此不等式无解，所以a 不存在； ------------------------12分③当12a --≥，即3a ≤-时，()f x 在[0,2]上的最小值为(2)f , 若满足题意只需2(2)e f ≥，解得1a ≥-,所以此时，a 不存在. ------------------------------13分综上讨论，所求实数a 的取值范围为2[e ,)+∞. 19. （本小题共14分）解：（Ⅰ）由题意可得1c =， ----------------------------------1分 又由题意可得12c a =， 所以2a =， ----------------------------------2分所以2223b a c =-=, ----------------------------------3分所以椭圆C 的方程为22143x y +=. ---------------------------------4分所以椭圆C 的右顶点(2,0)A ， --------------------------------5分 代入圆F 的方程，可得21r =,所以圆F 的方程为22(1)1x y -+=. ------------------------------6分 （Ⅱ）法1：假设存在直线l :(2)y k x =-(0)k ≠满足条件， -----------------------------7分由22(2),143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(43)1616120k x k x k +-+-=----------------------------8分设11(,)B x y ，则21216243k x k +=+, ---------------------------------9分可得中点22286(,)4343k kP k k -++， --------------------------------11分由点P 在圆F 上可得2222286(1)()14343k k k k --+=++化简整理得20k = --------------------------------13分 又因为0k ≠，所以不存在满足条件的直线l . --------------------------------14分 （Ⅱ）法2：假设存在直线l 满足题意.由（Ⅰ）可得OA 是圆F 的直径， -----------------------------7分 所以OP AB ⊥. ------------------------------8分 由点P 是AB 中点，可得||||2OB OA ==. --------------------------------9分设点11(,)B x y ，则由题意可得2211143x y +=. --------------------------------10分又因为直线l 的斜率不为0，所以214x <, -------------------------------11分所以22222211111||3(1)3444x x OB x y x =+=+-=+<,-------------------------------13分这与||||OA OB =矛盾，所以不存在满足条件的直线l . --------------------------14分 20. （本小题共13分）解：（Ⅰ）只有y =是N 函数. ----------------------------3分 （Ⅱ）函数()[ln ]1g x x =+是N 函数.证明如下：显然，*x ∀∈N ，*()[ln ]1g x x =+∈N . ---------------------------------------4分不妨设*[ln ]1,x k k +=∈N ,由[ln ]1x k +=可得1ln k x k -≤<， 即11e e k k x -≤≤<.因为*k ∀∈N ，恒有11e e e (e 1)1k k k ---=->成立， 所以一定存在*x ∈N ，满足1e e k k x -≤<， 所以设*k ∀∈N ，总存在*x ∈N 满足[ln ]1x k +=，所以函数()[ln ]1g x x =+是N 函数. ---------------------------------------8分 （Ⅲ）（1）当0b ≤时，有2(2)[]0f b a =⋅≤，所以函数()[]x f x b a =⋅都不是N 函数. ---------------------------9分（2）当0b >时，① 若0a ≤，有(1)[]0f b a =⋅≤，所以函数()[]x f x b a =⋅都不是N 函数. ------------------10分② 若01a <≤，由指数函数性质易得 x b a b a ⋅≤⋅，所以*x ∀∈N ，都有()[][]x f x b a b a =⋅≤⋅所以函数()[]x f x b a =⋅都不是N 函数. -----------------11分③ 若1a >，令12m m b a b a +⋅-⋅>，则2log (1)am b a >⋅-，所以一定存在正整数k 使得 12k k b a b a +⋅-⋅>， 所以*12,n n ∃∈N ，使得112k k b a n n b a +⋅<<<⋅， 所以12()(1)f k n n f k <<≤+.又因为当x k <时，x k b a b a ⋅<⋅,所以()()f x f k ≤； 当1x k >+时，1x k b a b a +⋅>⋅,所以()(1)f x f k ≥+， 所以*x ∀∈N ，都有*{()|}n f x x ∉∈N ，所以函数()[]x f x b a =⋅都不是N 函数.------------------13分综上所述，对于任意实数,a b ，函数()[]x f x b a =⋅都不是N 函数.。

海淀区高三年级第一学期期末练习数学（文）答案及评分参照一、 （共 8 小 ，每小5 分，共 40 分）（ 1）B （ 2）D （3）A （4） D（ 5）B（ 6）C（7） C（8）A二、填空 （共 6 小 ，每小 5 分，共 30 分。

有两空的小 ，第一空 2 分，第二空3 分）（9） (1 ,0)（10）3 （11） 82（ 12）2 （ 13）1； 4（14） (,1][1, )23三、解答 （共 6 小 ，共80 分）（ 15）（共 13 分）解：（Ⅰ）的 是π⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分3 .4.⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分x 0 的 是3π（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：f (x) cos(πx ) .1,1]， 3因 x [2 3 因此ππ π 2π6x3.⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 7 分31因此 当 ππ 0，即 x，f (x) 获得最大 1；⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分x 3 3当 ππ 2πx1 f ( x)1 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 13 分，即，获得最小 .x3 332（ 16）（共 13 分）解：（Ⅰ）抽取的 5 人中男同学的人数5 3，女同学的人数5 2 .30 205050⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分（Ⅱ） 3 名男同学 A 1 , A 2 , A 3 ， 2名女同学B 1, B 2 . 从 5 人中随机 出2 名同学，全部可能的 果有A 1A 2, A 1A 3, A 1B 1, A 1B 2 , A 2 A 3, A 2B 1, A 2B 2, A 3B 1, A 3B 2 , B 1B 2 ，共 10 个 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分用C 表示：“出的两名同学中恰有一名女同学”一事件，C中的果有6个，它是：A1B1, A1B2, A2 B1, A2 B2 , A3 B1, A3 B2.⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 8 分因此出的两名同学中恰有一名女同学的概率63⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分P(C).105（Ⅲ） s12s22.⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 13 分（17）（共 14 分）明：（Ⅰ）在菱形 BB1C1C 中，BC∥ B1C1.因BC ? 平面 AB1C1， B1C1ì平面 AB1C1，因此BC // 平面AB1C1.⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3 分（Ⅱ）接 BC1.在正方形 ABB1 A1中， AB ^ BB1.因平面AA1B1B平面 BB1C1C ，平面 AA1 B1B平面 BB1C1C BB1，ABì平面 ABB1 A1，因此AB ^ 平面BB1C1C.⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分C C1因 B1C ì平面 BB1C1C ，因此AB^ B1C.⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分B B 1A A1在菱形 BB1C1C 中， BC1 ^ B1C .因BC1ì平面A BC1， AB ì平面ABC1，BC1AB= B，因此B1C ^ 平面A BC1.⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 8 分因AC1ì平面A BC1，因此 B1C AC1.⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分（Ⅲ） E, F , H , G 四点不共面.原由以下：⋯⋯⋯⋯⋯⋯11分因E,G 分是B1C, B1C1的中点，因此 GE ∥CC1.C C1同理可： GH ∥C1A1.E G因GE ì平面 EHG ， GH ì平面 EHG ， GE GH = G ，CC1ì平面B B 1H AAC11C ， A1C1ì平面 AAC11C ，A F A1因此平面 EHG ∥平面AAC11C .因 F 平面AAC1 1C，因此F平面EHG，即E, F , H ,G四点不共面.⋯⋯⋯⋯⋯⋯14分（ 18）（共 13 分）解：（Ⅰ）由意可知M 的准方程：x222y 1， a2, b 1 .因此M 的 2 2.⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分因c a2b21，因此c22⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分e，即 M 的离心率.a22（Ⅱ）若 C ,O , D 三点共，由 CD 是段AB的垂直均分可得：OA OB .⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分由（Ⅰ）可得A(0,1) ， B(x0 , y0 ) .⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 7 分因此x02y021.①又因x02 2 y02 2 ，②⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分由①②可得：x00,x00,⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 11 分（舍），或y01y0 1.x 0 0, 0 ， 然 足 意 .当，直 l 的方程 xy 01因此 存在直 l 使得 C, O, D 三点共 ，直l 的方程 x 0 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 13 分（ 19）（共 13 分）（Ⅰ）解：e x x e x⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 1 分f '( x).x 2因 切 ax y 0原点 (0,0)，e x 0e x 0e x 0因此x 0 x 0 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3 分x 02x 0解得： x 02 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分xx2（Ⅱ） 明：g(x)f ( x) e2 ( x 0) ， g '(x)e (xx 42x) .xx令 g '(x) e x ( x 2 2x) 0 ，解得 x 2.⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分x 4x 在 (0, ) 上 化 ， g '( x), g(x) 的 化状况以下表x (0, 2)2 g '( x)-g( x)↘e 24因此 当 x2 ， g (x) 获得最小e 2.4因此 当 x0 ， g (x) ?e 21，即 f (x)4(2,+ ? )+↗⋯⋯⋯⋯⋯⋯8 分x .⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 9 分（Ⅲ）解：当 b 0 ，会集 { xR f ( x) bx 0} 的元素个数 0；当 0be 2 Rf (x)bx 0} 的元素个数1；，会集 { x4当 be 2，会集 { x R f ( x) bx 0} 的元素个数 2；4当 b e2R f ( x) bx 0}的元素个数 3.⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 13 分，会集 { x4（20）（共 14 分）解：（Ⅰ）因a1 1 ，2a n12a n p ，因此 2a22a1 p2p ， 2a32a2 p22p .因 S312 ，因此2 2 p2 2 p6 3 p24 ，即p6.⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分因此 a n1a n3(n1,2,3,) .因此数列 { a n}是以 1 首， 3公差的等差数列 .因此 S 1 n n(n1)33n2n⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分n22.（Ⅱ）若数列 { a n } 是等比数列，a22a1a3.由（Ⅰ）可得：(1p)21(1p) .⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分2解得： p0.当 p0 ，由2a n 12a n p 得： a n 1 a n1.然，数列 { a n } 是以1首，1公比的等比数列.因此 p0.⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 7 分（Ⅲ）当 p0 ，由（Ⅱ）知：1(1,2,3, ) .a n n因此11(n 1,2,3,) ，即数列{1} 就是一个无等差数列.a n a n因此当 p0，可以获得足意的等差数列.当 p0 ，因a11，2a n 12a n p ，即 a n a n p1，2因此数列 { a n} 是以1首，p公差的等差数列 . 2因此 a n p p. n 122下边用反法明：当p0 ，数列 {1} 中不可以拿出无穷多并按本来次序摆列而成等差数列.a n假存在p00 ，从数列 {1} 中可以获得足意的无等差数列，没关系{ b n} .数列 { b n} 的公差d.a n①当p00 ，a n0(n1,2,3,) .因此数列 { b n } 是各均正数的减数列.因此 d0 .因 b n b1(n 1)d (n1,2,3,) ，因此当 n1b1， b n b1 (n1)db11)d 0 ，与 b n0矛盾. db1 (1d②当 p00 ，令p0n 1p00 ，解得： n 12.22p0因此当 n12， a n0恒成立. p0因此数列 { b n } 必然是各均数的增数列.因此d0 .因 b n b1(n1)d (n1,2,3,) ，因此当 n1b1， b n b1 (n1)d b1 (1b11)d 0 ，与 b n0矛盾.d d上所述，p0是独一足条件的p 的.⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 14 分pp。

海淀区高三年级第一学期期末练习数学（文）参考答案及评分标准2013．1说明：合理答案均可酌情给分，但不得超过原题分数.一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8答案 A A C B C B D B二、填空题（本大题共6小题,每小题5分, 有两空的小题，第一空3分，第二空2分，共30分）9．1 10． 11．12． 13． 14．0；三、解答题(本大题共6小题,共80分)15．（本小题满分13分）解：（I）因为………………6分又，，………………7分所以，………………9分（Ⅱ）由余弦定理得到，所以………………11分解得（舍）或………………13分所以16. （本小题满分13分）解：（I）由数据的离散程度可以看出，B型车在本星期内出租天数的方差较大………………3分（Ⅱ）这辆汽车是A类型车的概率约为这辆汽车是A类型车的概率为………………7分（Ⅲ）50辆A类型车出租的天数的平均数为………………9分50辆B类型车出租的天数的平均数为………………11分答案一：一辆A类型的出租车一个星期出租天数的平均值为4.62，B类车型一个星期出租天数的平均值为4.8，选择B类型的出租车的利润较大,应该购买B型车………………13分答案二：一辆A类型的出租车一个星期出租天数的平均值为4.62，B类车型一个星期出租天数的平均值为 4.8，而B型车出租天数的方差较大，所以选择A型车………………13分17. （本小题满分14分）解：(I) 连接交于点，连接因为为正方形，所以为中点又为中点，所以为的中位线，所以………………3分又平面，平面所以平面………………6分(Ⅱ)因为，又为中点，所以………………8分又因为在直三棱柱中，底面，又底面, 所以,又因为，所以平面，又平面，所以………………10分在矩形中, ,所以，所以，即………………12分又，所以平面………………14分18. （本小题满分13分）解：（I）因为所以在函数的图象上又，所以所以………………3分（Ⅱ）因为，其定义域为………………5分当时，，所以在上单调递增，所以在上最小值为………………7分当时，令，得到(舍)当时，即时，对恒成立，所以在上单调递增,其最小值为………………9分当时，即时, 对成立，所以在上单调递减，其最小值为………………11分当,即时, 对成立, 对成立所以在单调递减,在上单调递增其最小值为………13分综上，当时，在上的最小值为当时，在上的最小值为当时, 在上的最小值为.19. （本小题满分14分）解：（I）因为为椭圆的焦点,所以又所以所以椭圆方程为………………3分（Ⅱ）因为直线的倾斜角为,所以直线的斜率为1,所以直线方程为,和椭圆方程联立得到,消掉,得到………………5分所以所以………………7分（Ⅲ）当直线无斜率时,直线方程为,此时, 面积相等，………………8分当直线斜率存在（显然）时,设直线方程为,设和椭圆方程联立得到,消掉得显然，方程有根，且………………10分此时………………12分因为,上式，（时等号成立）所以的最大值为………………14分20. （本小题满分13分）解：（I）由题在是增函数，由一次函数性质知当时，在上是增函数，所以………………3分（Ⅱ）因为是“一阶比增函数”，即在上是增函数，又，有，所以，………………5分所以，所以所以………………8分（Ⅲ）设，其中.因为是“一阶比增函数”，所以当时，法一：取，满足，记由（Ⅱ）知，同理，所以一定存在，使得，所以一定有解………………13分法二：取，满足，记因为当时，，所以对成立只要，则有，所以一定有解………………13分。

海淀区高三年级第一学期期末练习数 学（文科）2012.01一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）复数i(12i)-=（A ）2i -+ （B ）2i + （C ）2i - （D ）2i -- （2）如图，正方形ABCD 中，点E ，F 分别是DC ，BC 的中点，那么=EF（A ）1122AB AD +（B ）1122AB AD -- （C ）1122AB AD -+ （D ）1122AB AD -（3）已知数列{}n a 满足：22111, 0, 1(*)n n n a a a a n +=>-=∈N ，那么使5n a <成立的n 的最大值为（ ）（A ）4 （B ）5 （C ）24 （D ）25 （4）某程序的框图如图所示，若执行该程序，则输出的i 值为（A ）5 （B ）6 （C ）7 （D ）8（5）已知直线1l ：110k x y ++=与直线2l ：210k x y +-=，那么“12k k =”是“1l ∥2l ”的（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件（6）函数()sin(2)(,)f x A x A ϕϕ=+?R 的部分图象如图所示，那么(0)f =（A ）12-（B ）1- （C）- （D）-（7）已知函数()2f x x x x =-，则下列结论正确的是（A ）()f x 是偶函数，递增区间是()0,+?（B ）()f x 是偶函数，递减区间是(,1)-?（C ）()f x 是奇函数，递减区间是()1,1- （D ）()f x 是奇函数，递增区间是(),0-?（8）点A 到图形C 上每一个点的距离的最小值称为点A 到图形C 的距离. 已知点(1,0)A ，圆C ：2220x x y ++=，那么平面内到圆C 的距离与到点A 的距离之差为1的点的轨迹是（A ）双曲线的一支 （B ）椭圆 （C ）抛物线 （D ）射线二、填空题：本大题共6小题，每小题6分，共30分，把答案填在题中横线上.（9）双曲线22145x y -=的离心率为 .（10）已知抛物线2y ax =过点1(,1)4A ，那么点A 到此抛物线的焦点的距离为 .（11）若实数,x y 满足40,250,10,x y x y y ì+-?ïïï+-?íïï-?ïïî 则2z x y =+的最大值为 .（12）甲和乙两个城市去年上半年每月的平均气温（单位：C °）用茎叶图记录如下，根据茎叶图可知，两城市中平均温度较高的城市是_____________，气温波动较大的城市是____________.（13）已知圆C ：22(1)8x y -+=，过点(1,0)A -的直线l 将圆C 分成弧长之比为1:2的两段圆弧，则直线l 的方程为 .（14）已知正三棱柱'''ABC A B C -的正（主）视图和侧（左）视图如图所示. 设,'''ABC A B C ∆∆的中心分别是,'O O ，现将此三棱柱绕直线'OO 旋转，射线OA 旋转所成的角为x 弧度（x 可以取到任意一个实数），对应甲城市 乙城市9 08 77 3 1 2 4 72 2 0 4 7的俯视图的面积为()S x ，则函数()S x 的最大值为 ；最小正周期为 .说明：“三棱柱绕直线'OO 旋转”包括逆时针方向和顺时针方向，逆时针方向旋转时，OA 旋转所成的角为正角，顺时针方向旋转时，OA 旋转所成的角为负角.三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （15）（本小题满分13分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ， 2A B =，sin B =. （Ⅰ）求cos A 的值；（Ⅱ）若2b =，求边,a c 的长. (16)（本小题满分13分）为加强大学生实践、创新能力和团队精神的培养，促进高等教育教学改革，教育部门主办了全国大学生智能汽车竞赛. 该竞赛分为预赛和决赛两个阶段，参加决赛的队伍按照抽签方式决定出场顺序.通过预赛，选拔出甲、乙和丙三支队伍参加决赛.（Ⅰ）求决赛中甲、乙两支队伍恰好排在前两位的概率； （Ⅱ）求决赛中甲、乙两支队伍出场顺序相邻的概率. （17）（本小题满分13分）在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，AC BD O =.（Ⅰ）若AC PD ⊥，求证：AC ⊥平面PBD ； （Ⅱ）若平面PAC ^平面ABCD ，求证：PB PD =； （Ⅲ）在棱PC 上是否存在点M （异于点C ）使得BM ∥平面PAD ，若存在，求PMPC的值；若不存在，说明理由.(18)（本小题满分13分）已知函数2()e ()xf x x ax a =+-，其中a 是常数. （Ⅰ）当1a =时，求()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程； （Ⅱ）求()f x 在区间[0,)+∞上的最小值.（19）（本小题满分13分）BCDO AP已知椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点为1F (1,0)，离心率为12. （Ⅰ）求椭圆C 的方程及左顶点P 的坐标；（Ⅱ）设过点1F 的直线交椭圆C 于,A B 两点，若PAB ∆的面积为3613，求直线AB 的方程.（20）（本小题满分14分） 若集合A 具有以下性质：①A ∈0，A ∈1；②若A y x ∈,，则A y x ∈-，且0≠x 时，A x∈1. 则称集合A 是“好集”.（Ⅰ）分别判断集合{1,0,1}B =-，有理数集Q 是否是“好集”，并说明理由； （Ⅱ）设集合A 是“好集”，求证：若A y x ∈,，则A y x ∈+； （Ⅲ）对任意的一个“好集”A ，分别判断下面命题的真假，并说明理由. 命题p ：若A y x ∈,，则必有A xy ∈； 命题q ：若A y x ∈,，且0≠x ，则必有A xy∈；海淀区高三年级第一学期期末练习数 学（文科）参考答案及评分标准 2012．01一.选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.（9）32 （10）54（11）7 （12）乙，乙（13）1y x =+或1y x =-- （14）8；3π注：（13）题正确答出一种情况给3分，全对给5分；（12）、（14）题第一空3分；第二空2分.三.解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （15）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为2A B =，所以2cos cos 212sin A B B ==-. ………………………………………2分 因为sin B =， 所以11cos 1233A =-?.………………………………………3分 （Ⅱ）由题意可知，(0,)2B πÎ.所以cos B =………………………………………5分 所以 sin sin 22sin cos A B B B ===. ………………………………………7分因为sin sin b aB A=，2b =， =.所以3a =. ………………………………………10分 由1cos 3A =可知，(0,)2A πÎ.过点C 作CD AB ^于D .所以110cos cos 23333c a B b A=???. ………………………………………13分(16)（本小题满分13分）解：基本事件空间包含的基本事件有“甲乙丙，甲丙乙，乙甲丙，乙丙甲，丙甲乙， 丙乙甲”. ………………………………………2分 （Ⅰ）设“甲、乙两支队伍恰好排在前两位”为事件A ，事件A 包含的基本事件 有“甲乙丙，乙甲丙”，则 ………………………………………4分()2163P A ==. 所以 甲、乙两支队伍恰好排在前两位的概率为13. ………………………………………7分（Ⅱ）设“甲、乙两支队伍出场顺序相邻”为事件B ，事件B 包含的基本事件 有“甲乙丙，乙甲丙，丙甲乙，丙乙甲”，则………………………………………10分()4263P B ==. 所以甲、乙两支队伍出场顺序相邻的概率为23. ………………………………………13分(17)（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为 底面ABCD 是菱形所以 AC BD ⊥. ………………………………………1分 因为 AC PD ⊥，PD BD D =，所以 AC ⊥平面PBD . ………………………………………3分 （Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可知AC BD ⊥. 因为 平面PAC ^平面ABCD ，平面PAC平面ABCD AC =，BD Ì平面ABCD ，所以 BD ⊥平面PAC . ………………………………………5分 因为 PO Ì平面PAC ，所以 BD PO ⊥. ………………………………………7分 因为 底面ABCD 是菱形，所以 BO DO =.所以 PB PD =. ………………………………………8分 （Ⅲ）解：不存在. 下面用反证法说明. ………………………………………9分 假设存在点M （异于点C ）使得BM ∥平面PAD . 在菱形ABCD 中，BC ∥AD ， 因为 AD Ì平面PAD ，BC Ë平面PAD ， 所以 BC ∥平面PAD .………………………………………11分 因为 BM Ì平面PBC ，BC Ì平面PBC ，BC BM B =，所以 平面PBC ∥平面PAD .………………………………………13分而平面PBC 与平面PAD 相交，矛盾. ………………………………………14分(18)（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由2()e ()x f x x ax a =+-可得2'()e [(2)]x f x x a x =++. ………………………………………2分 当1a =时,(1)e f = ,'(1)4e f =. ………………………………………4分 所以 曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为()e 4e 1y x -=-，即4e 3e y x =-. ………………………………………6分 （Ⅱ）令2'()e [(2)]0xf x x a x =++=，解得(2)x a =-+或0x =. ………………………………………8分 当(2)0a -+≤，即2a ≥-时，在区间[0,)+∞上，'()0f x ≥，所以()f x 是[0,)+∞上的增函数.所以()f x 的最小值为(0)f ＝a -; ………………………………………10分 当(2)0a -+>，即2a <-时, ()'(),f x f x 随x 的变化情况如下表MBCDOAP由上表可知函数()f x 的最小值为2((2))e a f a +-+=. ……………………………………13分 （19）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由题意可知：1c =，12c a =，所以2a =. 所以 2223b a c =-=.所以 椭圆C 的标准方程为22143x y +=，左顶点P 的坐标是(2,0)-. ……………………………………4分（Ⅱ）根据题意可设直线AB 的方程为1x my =+，1122(,),(,)A x y B x y .由221,431x y x my ìïï+=ïíïï=+ïî可得：22(34)690m y my ++-=. 所以 223636(34)0m m ∆=++>，122634m y y m +=-+，122934y y m =-+. ……………………………………7分所以 PAB ∆的面积12111322S PF y y =-=创……………………………………9分=………………………………………10分 因为PAB ∆的面积为3613， 213=. 令t =22(1)3113t t t =?+. 解得116t =（舍），22t =. 所以m =?所以直线AB 的方程为10x -=或10x --=.……………………………………13分 （20）（本小题满分14分）解：（Ⅰ）集合B 不是“好集”. 理由是：假设集合B 是“好集”. 因为1B -?，B ∈1，所以112B --=-?. 这与2B -?矛盾.………………………………………2分有理数集Q 是“好集”. 因为0ÎQ ，1ÎQ , 对任意的,x y ÎQ ，有x y -?Q ，且0≠x 时，1xÎQ . 所以有理数集Q 是“好集”. ………………………………………4分 （Ⅱ）因为集合A 是“好集”，所以 A ∈0.若,x y A Î，则A y ∈-0，即A y ∈-.所以A y x ∈--)(，即A y x ∈+. ………………………………………7分 （Ⅲ）命题q p ,均为真命题. 理由如下： ………………………………………9分 对任意一个“好集”A ，任取,x y A Î， 若y x ,中有0或1时，显然A xy ∈. 下设y x ,均不为0，1. 由定义可知：A xx x ∈--1,11,1. 所以111A x x -?-，即1(1)A x x Î-. 所以 (1)x x A -?.由（Ⅱ）可得：(1)x x x A -+?，即2x A Î. 同理可得2y A Î. 若0x y +=或1x y +=，则显然2()x y A +?. 若0x y +?且1x y +?，则2()x y A +?.所以 A y x y x xy ∈--+=222)(2. 所以A xy∈21. 由（Ⅱ）可得：A xyxy xy ∈+=21211.所以 A xy ∈.综上可知，A xy ∈，即命题p 为真命题. 若,x y A Î，且0x ¹，则1A xÎ. 所以 1y y A x x=孜，即命题q 为真命题. ……………………………………14分。

版权所有，请勿转载！- 1 -北京市海淀区2005—2006学年度高三年级第一学期期末练习数学（文）试卷一．选择题：1．已知sin570°的值为（ ） （A ）21 （B ）－21 （C ）23 （D ）－23 2．若直线ax +y －1=0与直线4x +(a －3)y －2=0垂直，则实数a 的值等于（ ） （A ）－1 （B ）4 （C ）53 （D ）－233．函数f (x )= sin x cos x －3sin 2x 的最小正周期为（ ）（A ）4π （B ）2π（C ）π （D ）2π 4．已知向量a ，b 满足：|a |=2，|b |=1，()0a b b -⋅=，那么向量a 与b 的夹角为（ ）（A ）30° （B ）45° （C ）60° （D ）90°5．已知两不重合的直线a ，b 及两不重合的平面α、β，那么下列命题中正确的是（ ）（A ）//////a b ααββ⎫⇒⎬⎭ （B ）//////a a αβαβ⎫⇒⎬⎭（C ）//a a αββα⊥⎫⇒⎬⊥⎭ （D ）//a a b b αα⊥⎫⇒⊥⎬⎭6．若椭圆2212x y m+=的离心率为21，则实数m 等于（ ） （A ）23或38 （B ）23 （C ）83 （D ）83或32 7．甲、乙两人独立地解同一问题，甲解决这个问题的概率是P 1，乙解决这个问题的概率是P 2，则其中至少有一个人解决这个问题的概率为（ ）（A ）P 1+P 2 （B ）P 1〃P 2 （C ）1－P 1〃P 2 （D ）1－(1－P 1)(1－P 2)版权所有，请勿转载！- 2 -8．向量OA =(1，21)，OB =(0，1)，若动点P (x ，y )满足条件：0101OP OA OP OB ⎧<⋅<⎪⎨<⋅<⎪⎩，则P (x ，y )的变化范围（不含边界的阴影部分）是（ ）二．填空题：9．抛物线x 2=ay 的准线方程是y =2，则实数a 的值为 。

海淀区高三年级第一学期期末练习数学（理）答案及评分参考2011．1第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题（本大题共6小题,每小题5分, 共30分.有两空的题目，第一空3分，第二空2分） 9． 222x y x += (1,0) 10． 180 11． 512． M P N e e e << 13．① ④ 14． 4 32 (1)2 3 (01)k kk k ⎧+≥⎪⎨⎪+<<⎩ 三、解答题(本大题共6小题,共80分) 15．（共12分）解：（I ） x x x f 2cos )32cos()(--=πx x x 2cos 3sin2sin 3cos2cos -+=ππ .......................................2分x x 2cos 212sin 23-=)62si n(π-=x . .......................................4分)2,0(π∈x Θ，)65,6(62πππ-∈-∴x ， .......................................5分]1,21()62sin(-∈-∴πx ，即)(x f 在(0,2π）的值域为]1,21(- . .......................................6分（II ）由（I ）可知，)62sin()(π-=A A f ，1)62sin(=-∴πA ， ......................................7分π<<A 0Θ ， 611626πππ<-<-∴A ， .....................................8分 3,262πππ==-∴A A . ....................................9分A bc c b a cos 2222-+=Θ ， .....................................10分把3a b ==代入，得到2320c c -+=， ..................................11分1=∴c 或2=c . ....................................12分 16.（共13分） 解：（I ）方法一设选手甲在A 区投两次篮的进球数为X ，则)109,2(~B X ， 故591092)(=⨯=X E ， ....................................... 2分 则选手甲在A 区投篮得分的期望为6.3592=⨯ . ....................................... 3分设选手甲在B 区投篮的进球数为Y ，则)31,3(~B Y ，故1313)(=⨯=Y E ， ....................................... 5分则选手甲在B 区投篮得分的期望为313=⨯ . ....................................... 6分 36.3>Θ，∴选手甲应该选择A 区投篮. .......................................7分方法二：（I ）设选手甲在A 区投篮的得分为ξ，则ξ的可能取值为0，2，4，212291(0)(1)101009918(2)(1)1010100981(4)().10100P P C P ξξξ==-===⋅-====；；所以ξ的分布列为.......................................2分6.3=∴ξE .......................................3分 同理，设选手甲在B 区投篮的得分为η，则η的可能取值为0，3，6，9，3123223318(0)(1);327114(3)(1);339112(6)()(1);33911(9)().327P P C P C P ηηηη==-===⋅-===-====所以η的分布列为：.......................................5分3E η∴=， .......................................6分ηξE E >Θ，∴选手甲应该选择A 区投篮. .......................................7分（Ⅱ）设选手甲在A 区投篮得分高于在B 区投篮得分为事件C ，甲在A 区投篮得2分在B 区投篮得0分为事件1C ，甲在A 区投篮得4分在B 区投篮得0分为事件2C ，甲在A 区投篮得4分在B 区投篮得3分为事件3C ，则123C C C C =U U ，其中123,,C C C 为互斥事件. .......................................9分 则： 12312318881881449()()= ()()()1002710027100975P C P C C C P C P C P C =++=⨯+⨯+⨯=U U 故选手甲在A 区投篮得分高于在B 区投篮得分的概率为4975..................................13分17. （共14分）解：（I ）Θ棱柱ABCD —1111A B C D 的所有棱长都为2，∴四边形ABCD 为菱形，AC BD ⊥ . .......................................1分又1A O ⊥平面ABCD, BD ⊂平面ABCD ，1AO BD ∴⊥ . .......................................2分 又1AC AO O =Q I ，1,AC AO ⊂平面11ACC A ， ⊥∴BD 平面11ACC A ， .......................................3分⊂1AA Θ平面11ACC A ，∴ BD ⊥1AA . .......................................4分（Ⅱ）连结1BCΘ四边形ABCD 为菱形，AC BD O =IABC1B 1C 1A DF1D OO ∴是BD 的中点. ....................................... 5分 又Θ点F 为1DC 的中点，∴在1DBC ∆中，1//BC OF ， .......................................6分 ⊄OF Θ平面11BCC B ，⊂1BC 平面11BCC B∴//OF 平面11BCC B .......................................8分（III ）以O 为坐标系的原点，分别以1,,OA OB OA 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系. Θ侧棱1AA 与底面ABCD 的所成角为60°，1A O ⊥平面ABCD ．ο601=∠∴AO A ，在AO A Rt 1∆中，可得11,AO AO == 在Rt AOB ∆中，OB ===得1(1,0,0),(0,A A D B ...............................10分 设平面D AA 1的法向量为),,(1111z y x n =⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅∴0111AD n AA n )0,3,1(),3,0,1(1--=-=Θ111100x x ⎧-+=⎪∴⎨-=⎪⎩ 可设)1,1,3(1-=n .......................................11分 又ΘBD ⊥平面11ACC A所以，平面11A ACC的法向量为2n OB ==u u r u u u r.......................................12分55353,cos 21-=⋅-=>=<∴n n , Θ二面角D —1AA —C 为锐角，故二面角D —1AA —C 的余弦值是55. ....................................14分18. （共13分）解：2211(21)()1(1)(1)a x ax a f x a x x x --+-'=--=+++，1x >-， .......................................2分（I ）由题意可得13(1)24af -'==-，解得3a =， ....................................3分 因为(1)ln 24f =-，此时在点(1,(1))f 处的切线方程为(ln24)2(1)y x --=--， 即2ln22y x =-+-，与直线:21l y x =-+平行，故所求a 的值为3. ....................4分 （II ） 令()0f x '=，得到1212,0x x a=-= ， 由12a ≥可知120a-≤ ，即10x ≤. ................................5分 ① 即12a =时，12120x x a=-==. 所以,2'2()0,(1,)2(1)x f x x x =-≤∈-+∞+， ................................6分 故()f x 的单调递减区间为(1,)-+∞ . ................................7分 ② 当112a <<时，1120a-<-<，即1210x x -<<=， 所以，在区间1(1,2)a--和(0,)+∞上，'()0f x <； ...............................8分在区间1(2,0)a-上，'()0f x >. .................................9分故 ()f x 的单调递减区间是1(1,2)a --和(0,)+∞，单调递增区间是1(2,0)a -. .........10分③当1a ≥时，1121x a=-≤-， 所以，在区间(1,0)-上()0f x '>； ................................11分在区间(0,)+∞上()0f x '< ， ...............................12分 故()f x 的单调递增区间是(1,0)-，单调递减区间是(0,)+∞. ............................13分 综上讨论可得： 当12a =时，函数()f x 的单调递减区间是(1,)-+∞； 当112a <<时，函数()f x 的单调递减区间是1(1,2)a --和(0,)+∞，单调递增区间是1(2,0)a-； 当1a ≥时，函数()f x 的单调递增区间是(1,0)-，单调递减区间是(0,)+∞. 19. （共14分）解：（Ⅰ）抛物线22y px = (0)p >的准线为2px =-， .....................................1分 由抛物线定义和已知条件可知||1()1222p pMF =--=+=，解得2p =，故所求抛物线方程为24y x =. 2880y y b +-= ......................................3分 （Ⅱ）联立2124y x by x⎧=-+⎪⎨⎪=⎩，消x 并化简整理得.依题意应有64320b ∆=+>，解得2b >-. ..............................................4分 设1122(,),(,)A x y B x y ，则12128,8y y y y b +=-=-， .............................................5分 设圆心00(,)Q x y ，则应有121200,422x x y yx y ++===-. 因为以AB 为直径的圆与x 轴相切，得到圆半径为0||4r y ==， ........................6分又||AB =. 所以||28AB r ==， .........................................7分解得85b =-. .........................................8分所以12124822224165x x b y b y b +=-+-=+=，所以圆心为24(,4)5-. 故所求圆的方程为2224()(4)165x y -++=. ............................................9分 方法二：联立2124y x b y x⎧=-+⎪⎨⎪=⎩，消掉y 并化简整理得22(416)40x b x b -++=， 依题意应有2216(4)160b b ∆=+->，解得2b >-. ............................................4分 设1122(,),(,)A x y B x y ，则21212416,4x x b x x b +=+= . .............................................5分 设圆心00(,)Q x y ，则应有121200,422x x y yx y ++===-， 因为以AB 为直径的圆与x 轴相切，得到圆半径为0||4r y ==. .....................................6分又||AB =，又||28AB r ==8， .............................................7分解得85b =-， ..............................................8分所以12485x x +=，所以圆心为24(,4)5-. 故所求圆的方程为2224()(4)165x y -++=. .............................................9分 （Ⅲ）因为直线l 与y 轴负半轴相交，所以0b <，又l 与抛物线交于两点，由（Ⅱ）知2b >-，所以20b -<<，...........................................10分 直线l ：12y x b =-+整理得220x y b +-=， 点O 到直线l的距离d ， .................................................11分所以1||42AOB S AB d ∆==-= ..................................................12分令32()2g b b b =+，20b -<<，24()343()g b b b b b '=+=+，由上表可得()g b 最大值为432()327g -= . ...............................................13分所以当43b =-时，AOB ∆. ...............................................14分20．（共14分）解：（Ⅰ）当10n =时，集合{}1,2,3,,19,20A =L ,{}{}910,11,12,,19,20B x A x =∈>=L 不具有性质P ． ...................................1分因为对任意不大于10的正整数m ，都可以找到该集合中两个元素110b =与210b m =+，使得12b b m -=成立．...............2分 集合{}*31,C x A x k k N =∈=-∈具有性质P ． ................................................3分 因为可取110m =<，对于该集合中任意一对元素112231,31c k c k =-=-，*12,k k N ∈ 都有121231c c k k -=-≠． .....................................................................4分 （Ⅱ）当1000n =时，则{}1,2,3,,1999,2000A =L①若集合S 具有性质P ，那么集合{}2001T x x S =-∈一定具有性质P ．...................5分 首先因为{}2001T x x S =-∈，任取02001,t x T =-∈ 其中0x S ∈， 因为S A ⊆，所以0{1,2,3,...,2000}x ∈，从而0120012000x ≤-≤，即,t A ∈所以T A ⊆. ...........................6分 由S 具有性质P ，可知存在不大于1000的正整数m ， 使得对S 中的任意一对元素12,s s ，都有12s s m -≠． 对于上述正整数m ，从集合{}2001T x x S =-∈中任取一对元素11222001,2001t x t x =-=-，其中12,x x S ∈， 则有1212t t x x m -=-≠,所以集合{}2001T x x S =-∈具有性质P ． .............................8分②设集合S 有k 个元素．由第①问知，若集合S 具有性质P ，那么集合{}2001T x x S =-∈一定具有性质P ． 任给x S ∈，12000x ≤≤，则x 与2001x -中必有一个不超过1000， 所以集合S 与T 中必有一个集合中至少存在一半元素不超过1000，不妨设S 中有t 2k t ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭个元素12,,,t b b b L 不超过1000．由集合S 具有性质P ，可知存在正整数1000m ≤， 使得对S 中任意两个元素12,s s ，都有12s s m -≠， 所以一定有12,,,t b m b m b m S +++∉L .又100010002000i b m +≤+=，故12,,,t b m b m b m A +++∈L , 即集合A 中至少有t 个元素不在子集S 中， 因此2k k +≤2000k t +≤，所以20002kk +≤，得1333k ≤， 当{}1,2,,665,666,1334,,1999,2000S =L L 时， 取667m =，则易知对集合S 中任意两个元素12,y y ， 都有12||667y y -≠，即集合S 具有性质P ，而此时集合Ｓ中有1333个元素．因此集合S 元素个数的最大值是1333． .....................................14分说明：其它正确解法按相应步骤给分.。

2006年北京市海淀区高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 设全集U ={1, 2, 3, 4, 5}，集合A ={2, 3, 4}，B ={2, 5}，则B ∪(∁U A)=( ) A {5} B {1, 2, 5} C {1, 2, 3, 4, 5} D ⌀2. 等差数列{a n }的公差d <0，且a 2⋅a 4=12，a 2+a 4=8，则数列{a n }的通项公式是（ ）A a n =2n −2(n ∈N ∗)B a n =2n +4(n ∈N ∗)C a n =−2n +12(n ∈N ∗)D a n =−2n +10(n ∈N ∗)3. 设函数f(x)=2x +1(x ∈R)的反函数为f −1(x)，则函数y =f −1(x)的图象是( A )AB C D4. 双曲线x 29−y 2m =1的焦距是10，则实数m 的值为（ ）A −16B 4C 16D 815. 若m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题不正确的是（ ） A 若α // β，m ⊥α，则m ⊥β B 若m // n ，m ⊥α，则n ⊥α C 若m // α，m ⊥β，则α⊥β D 若α∩β=m ，n 与α、β所成的角相等，则m ⊥n6. 若a >b >0，则下列不等式中总成立的是（ ） A a +1b>b +1aB ba>b+1a+1C a +1a>b +1bD2a+b a+2b>ab7. 某科技小组有四名男生两名女生．现从中选出三名同学参加比赛，其中至少有一名女生入选的不同选法种数为（ ）A C 63BC 21C 52 C C 21C 42+C 22C 41D A 638. 若f(x)=ax 2+bx +c(a >0, x ∈R)，f(−1)=0，则“b <−2a”是“f(2)<0”的（ ） A 充要条件 B 充分不必要条件 C 必要不充分条件 D 既不充分又不必要条件二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上. 9. 不等式1−x x>0的解集为________．10. 将圆C:x 2+y 2+2x −4y =0按向量a →=(1, −2)平移后，得到圆C′，则圆C′的半径为________，其圆心坐标为________．11. 在同一时间内，对同一地域，市、县两个气象台预报天气准确的概率分别为910、45，两个气象台预报准确的概率互不影响，则在同一时间内，至少有一气象台预报准确的概率是________．12. 如图，边长均为2的正方形ABCD 与正方形ABEF 构成60∘的二面角D −AB −F ，则点D 到点F 的距离为________，点D 到平面ABEF 的距离为________．13. 若函数f(x)=√(a +2)x 2+bx −(a +2)(a 、b ∈R)的定义域为R ，则3a +b 的值为________．14. 对于大于或等于2的自然数m 的n 次幂进行如图方式的“分裂”．仿此，52的“分裂”中最大的数是________，若m 3的“分裂”中最小的数是211，则m 的值为________．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数f(x)=cos2x +2√3sinxcosx(x ∈R)． （1）求函数f(x)的最小正周期和最大值；（2）函数f(x)的图象可由y =2sinx(x ∈R)的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？ 16. 已知函数f(x)=mx 3+nx 2(m 、n ∈R, m ≠0)，函数y =f(x)的图象在点（2, f(2)）处的切线与x 轴平行．（1）用关于m 的代数式表示n ；（2）当m =1时，求函数f(x)的单调区间．17. 如图：三棱锥P −ABC 中，PB ⊥底面ABC ，∠BAC =90∘，PB =AB =AC =4，点E 是PA 的中点． （1）求证：AC ⊥平面PAB ；（2）求异面直线BE 与AC 的距离；（3）求直线PA 与平面PBC 所成的角的大小．18. 平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两定点A(1, 0)、B(0, −1)，动点P(x, y)满足：OP →=mOA →+(m −1)OB →(m ∈R)． （1）求点P 的轨迹方程； （2）设点P 的轨迹与双曲线C ：x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0)交于相异两点M 、N ．若以MN 为直径的圆经过原点，且双曲线C 的离心率等于√3，求双曲线C 的方程．19. 数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N ∗)，S n =(m +1)−ma n 对任意的n ∈N ∗都成立，其中m 为常数，且m <−1．（1）求证：数列{a n }是等比数列；（2）记数列{a n }的公比为q ，设q =f(m)．若数列{b n }满足；b 1=a 1，b n =f(b n−1)(n ≥2, n ∈N ∗)．求证：数列{1b n}是等差数列；（3）在（2）的条件下，设c n =b n ⋅b n+1，数列{c n }的前n 项和为T n ．求证：T n <1． 20. 函数f(x)的定义域为R ，并满足以下条件：①对任意x ∈R ，有f(x)>0；②对任意x ，y ∈R ，有f(xy)=[f(x)]y ；③f(13)>1．（1）求f(0)的值；（2）求证：f(x)在R 上是单调增函数；（3）若a >b >c >0且b 2=ac ，求证：f(a)+f(c)>2f(b)．2006年北京市海淀区高考数学二模试卷（文科）答案1. B2. D3. A4. C5. D6. A7. C8. B9. {x|0<x <1} 10. √5,(0, 0) 11. 0.98 12. 2,√3 13. −6 14. 9,1515. 解：（1）f(x)=cos2x +2√3sinxcosx =cos2x +√3sin2x… =2(12cos2x +√32sin2x)=2sin(2x +π6)…∴ T =π，f(x)最大值=2…（2）先将y =2sinx(x ∈R)的图象向左移π6个单位，得到y =2sin(x +π6)的图象；再将y =2sin(x +π6)的图象的横坐标变为原来的一半，纵坐标不变，得到y =2sin(2x +π6)的图象．…或先将y =2sinx(x ∈R)的图象的横坐标变为原来一半，纵坐标不变，得到函数y =2sin2x 的图象；再将y =2sin2x 的图象向左移π12个单位，得到2sin(2x +π6)的图象．…16. 解：（1）∵ f(x)=mx 3+nx 2， ∴ f ′(x)=3mx 2+2nx 由已知条件得：f ′ （2）=0∴ 3m +n =0 ∴ n =−3m（2）若m =1，则n =−3 ∴ f(x)=x 3−3x 2，∴ f ′(x)=3x 2−6x ，令f ′(x)>0，∴ x <0或x >2． 令f ′(x)<0，得0<x <2∴ f(x)的单调递增区间为(−∞, 0)，(2, +∞) ∴ f(x)的单调递减区间为(0, 2)．17.解：（1）∵ 三棱锥P −ABC 中，PB ⊥底面ABC ，∠BAC =90∘，∴PB ⊥AC ，BA ⊥AC ．…∵ PB ∩BA =B ，∴ AC ⊥平面PAB ．…（2）∵ PB =BA =4，点E 是PA 的中点，∴ BE ⊥EA ．… 又∵ EA ⊂平面PAB ，由（1）知AC ⊥EA ，… ∴ EA 是异面直线BE 、AC 的公垂线段，… ∵ PB ⊥AB ，∴ △PBA 为直角三角形．…∴ EA =12PA =12×4√2=2√2，∴ 异面直线BE 与AC 的距离为2√2．…（3）取BC 中点D ，连结AD 、PD ，∵ AB =AC =4，∠BAC =90∘，∴ BC ⊥AD ，AD =2√2．∵ PB ⊥底面ABC ，AD ⊂底面ABC ，∴ PB ⊥AD ．∵ PB ∩BC =B ，∴ AD ⊥平面PBC ．… ∴ PD 为PA 在平面PBC 内的射影，∴ ∠APD 为PA 与平面PBC 所成角．… 在Rt △ADP 中，sinAPD =ADAP =12，… ∴ ∠APD =30∘，…∴ PA 与平面PBC 所成角大小为30∘． 18. 解：（1）∵ OP →=mOA →+(m −1)OB →，∴ (x, y)=m(1, 0)+(m −1)(0, −1)∴ {x =my =1−m ，∴ x +y =1即点P 的轨迹方程为x +y −1=0 （2）由{x +y =1x 2a 2−y 2b 2得：(b 2−a 2)x 2+2a 2x −a 2−a 2b 2=0∵ 点P 轨迹与双曲线C 交于相异两点M 、N ，∴ b 2−a 2≠0， 且△=4a 4−4(b 2−a 2)(−a 2−a 2b 2)>0(∗)设M(x 1, y 1)，N(x 2, y 2)，则x 1+x 2=−2a 2b 2−a 2，x 1x 2=−a 2+a 2b 2b 2−a 2∵ 以MN 为直径的圆经过原点，∴ OM →⋅ON →=0，即：x 1x 2+y 1y 2=0，∴ x 1x 2+(1−x 1)(1−x 2)=0，即1+2a 2b 2−a 2−2(a 2+a 2b 2)b 2−a 2=0即b2−a2−2a2b2=0①，∵ e=√3，∴ e2=a2+b2a2=3，∴ b2=2a2②．∴ 由①、②解得a=12，b=√22符合(∗)式∴ 双曲线C的方程为4x2−2y2=1．19. 解：（1）当n=1时，a1=S1=1，∵ S n=(m+1)−ma n，①∴ S n−1=(m+1)−ma n−1(n≥2)，②①-②得：a n=ma n−1−ma n(n≥2)，∴ (m+1)a n=ma n−1．∵ a1≠0，m<−1，∴ a n−1≠0，m+1≠0，∴ ana n−1=mm+1(n≥2)．∴ 数列a n是首项为1，公比为mm+1的等比数列．（2）f(m)=mm+1，b1=a1=1，b n=f(b n−1)=b n−1b n−1+1，∴ 1b n =b n−1+1b n−1，∴ 1b n−1b n−1=1(n≥2)，∴ 数列{1b n}是首项为1，公差为1的等差数列．（3）由（2）得1b n =n，则b n=1n．c n=b n⋅b n+1=1n(n+1)，T n=11×2+12×3+⋯+1n(n+1)=11−12+12−13+13−14+⋯+1n−1n+1=1−1n+1<1．20. 解：（1）∵ 对任意x∈R，有f(x)>0，∴ 令x=0，y=2得：f(0)=[f(0)]2⇒f(0)=1；（2）任取x1，x2∈R，且x1<x2，则x1=13p1，x2=13p2，故p1<p2，∵ 函数f(x)的定义域为R，并满足以下条件：①对任意x∈R，有f(x)>0；②对任意x，y∈R，有f(xy)=[f(x)]y；③f(13)>1．∴ f(x1)−f(x2)=f(13p1)−f(13p2)=[f(13)]p1−[f(13)]p2<0，∴ f(x1)<f(x2)，∴ 函数f(x)是R上的单调增函数．（3）由（1）（2）知，f(b)>f(0)=1，∴ f(b)>1，∵ f(a)=f(b⋅ab )=[f(b)]a b，f(c)=f(b⋅cb)=[f(b)]c b，∴ f(a)+f(c)=[f(b)]a b+[f(b)]c b>2√[f(b)]c+a b，而a+c>2√ac=2√b2=2b，∴ 2√[f(b)]c+a b>2√[f(b)]2b b=2f(b)，∴ f(a)+f(c)>2f(b)．。

海淀区高三年级第一学期期末练习数 学（文）答案及评分参考 2011．1第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）第II 卷（非选择题 共110分）二、填空题（本大题共6小题,每小题5分, 共30分.有两空的题目，第一空3分，第二空2分）9.240x y +-= 10. 19 11.(3,0) 212y x =12. 25π 13. 2 14. 4 3 三、解答题(本大题共6小题,共80分)15．（共13分）解：（I ） x x x f cos 23sin 21)(+=)3sin(π+=x ， ............................... 3分 )(x f ∴的周期为π2 （或答:0,,2≠∈k Z k k π）. ................................4分 因为x R ∈，所以3x R π+∈,所以)(x f 值域为]1,1[- . ...............................5分（II ）由（I ）可知，)3sin()(π+=A A f , ...............................6分23)3s i n (=+∴πA , ...............................7分 π<<A 0 ,3433πππ<+<∴A , ..................................8分2,33A ππ∴+= 得到3A π= . ...............................9分 ,23b a = 且B b A a sin sin = , ....................................10分s i n b B =, ∴1sin =B , ....................................11分 π<<B 0 ， 2π=∴B . ....................................12分 6ππ=--=∴B A C . ....................................13分 16. （共13分）解：（I ）围棋社共有60人， ...................................1分 由150301260=⨯可知三个社团一共有150人. ...................................3分 （II ）设初中的两名同学为21,a a ，高中的3名同学为321,,b b b , ...................................5分 随机选出2人参加书法展示所有可能的结果:1211121321{,},{,},{,},{,},{,},a a a b a b a b a b 222312132{,}, {,},{,},{,},{,}a b a b b b b b b b ，共10个基本事件. ..................................8分 设事件A 表示“书法展示的同学中初、高中学生都有”， ..................................9分 则事件A 共有111213212223{,},{,},{,},{,},{,},{,}a b a b a b a b a b a b 6个基本事件....................................11分 ∴53106)(==A P . 故参加书法展示的2人中初、高中学生都有的概率为35. ................................13分 17. （共13分）解：（I ） 四边形ABCD 为菱形且AC BD O =，O ∴是BD 的中点 . ...................................2分 又点F 为1DC 的中点,∴在1DBC ∆中，1//BC OF , ...................................4分⊄OF 平面11BCC B ，⊂1BC 平面11BCC B ,∴//OF 平面11BCC B . ...................................6分 （II ） 四边形ABCD 为菱形,AC BD ⊥∴, ...................................8分 又⊥BD 1AA ，1,AA AC A =且1,AA AC ⊂平面11ACC A ,.................................10分 ⊥∴BD 平面11ACC A , ................................11分 ⊂BD 平面1DBC ,∴平面1DBC ⊥平面11ACC A . ................................13分18. （共13分） 解：3332222()()2a x a f x x x x -'=-=，0x ≠. .........................................2分 （I ）由题意可得3(1)2(1)0f a '=-=，解得1a =， ........................................3分此时(1)4f =，在点(1,(1))f 处的切线为4y =，与直线1y =平行.故所求a 值为1. ........................................4分 （II ）由()0f x '=可得x a =，0a >， ........................................ 5分 ①当01a <≤时，()0f x '>在(1,2]上恒成立 ，所以()y f x =在[1,2]上递增， .....................................6分 所以()f x 在[1,2]上的最小值为3(1)22f a =+ . ........................................7分 ②当12a <<时，由上表可得()y f x =在[1,2]上的最小值为2()31f a a =+ . ......................................11分 ③当2a ≥时，()0f x '<在[1,2)上恒成立，....................................10分所以()y f x =在[1,2]上递减 . ......................................12分 所以()f x 在[1,2]上的最小值为3(2)5f a =+ . .....................................13分 综上讨论，可知：当01a <≤时， ()y f x =在[1,2]上的最小值为3(1)22f a =+；当12a <<时，()y f x =在[1,2]上的最小值为2()31f a a =+；当2a ≥时，()y f x =在[1,2]上的最小值为3(2)5f a =+.19. （共14分）解：根据题意，设(4,)P t .(I)设两切点为,C D ，则,OC PC OD PD ⊥⊥，由题意可知222||||||,PO OC PC =+即222242t +=+ ， ............................................2分 解得0t =，所以点P 坐标为(4,0). ...........................................3分 在Rt POC ∆中，易得60POC ∠=，所以120DOC ∠=. ............................................4分 所以两切线所夹劣弧长为24233ππ⨯=. ...........................................5分 （II ）设1122(,),(,)M x y N x y ，(1,0)Q ，依题意，直线PA 经过点(2,0),(4,)A P t -， 可以设:(2)6t AP y x =+， ............................................6分 和圆224x y +=联立，得到22(2)64t y x x y ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩ ， 代入消元得到，2222(36)441440t x t x t +++-= ， ......................................7分 因为直线AP 经过点11(2,0),(,)A M x y -，所以12,x -是方程的两个根， 所以有2124144236t x t --=+， 21272236t x t -=+ ， ..................................... 8分 代入直线方程(2)6t y x =+得，212272224(2)63636t t t y t t -=+=++. ..................................9分同理，设:(2)2t BP y x =-，联立方程有 22(2)24t y x x y ⎧=-⎪⎨⎪+=⎩， 代入消元得到2222(4)44160t x t x t +-+-=，因为直线BP 经过点22(2,0),(,)B N x y ，所以22,x 是方程的两个根，22241624t x t -=+， 222284t x t -=+ ， 代入(2)2t y x =-得到2222288(2)244t t t y t t --=-=++ . .....................11分 若11x =，则212t =，此时2222814t x t -==+ 显然,,M Q N 三点在直线1x =上，即直线MN 经过定点Q (1,0)............................12分 若11x ≠，则212t ≠，21x ≠， 所以有212212240836722112136MQ t y t t k t x t t -+===----+， 22222280842811214NQ t y t t k t x t t ---+===----+................13分 所以MQ NQ k k =， 所以,,M N Q 三点共线，即直线MN 经过定点Q (1,0).综上所述，直线MN 经过定点Q (1,0). .......................................14分20. （共14分）解：（Ⅰ）当10n =时，集合{}1,2,3,,19,20A =，{}{}910,11,12,,19,20B x A x =∈>=不具有性质P . ...................................1分 因为对任意不大于10的正整数m ，都可以找到集合B 中两个元素110b =与210b m =+， 使得12b b m -=成立 . ...................................3分 集合{}*31,C x A x k k N =∈=-∈具有性质P . ....................................4分因为可取110m =<，对于该集合中任意一对元素112231,31c k c k =-=-，*12,k k N ∈ 都有121231c c k k -=-≠ . ............................................6分 （Ⅱ）若集合S 具有性质P ，那么集合{}(21)T n x x S =+-∈一定具有性质P . ..........7分 首先因为{}(21)T n x x S =+-∈，任取0(21),t n x T =+-∈ 其中0x S ∈，因为S A ⊆，所以0{1,2,3,...,2}x n ∈，从而01(21)2n x n ≤+-≤，即,t A ∈所以T A ⊆ ...........................8分 由S 具有性质P ，可知存在不大于n 的正整数m ，使得对S 中的任意一对元素12,s s ，都有 12s s m -≠， ..................................9分 对上述取定的不大于n 的正整数m ， 从集合{}(21)T n x x S =+-∈中任取元素112221,21t n x t n x =+-=+-，其中12,x x S ∈， 都有1212t t x x -=- ； 因为12,x x S ∈，所以有12x x m -≠，即 12t t m -≠ 所以集合{}(21)T n x x S =+-∈具有性质P ． .............................14分说明：其它正确解法按相应步骤给分.。

2006年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学（文史类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至9页，共150分。

考试时间120分钟考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题共40分）注意事项：1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号、考试科目涂写在答题卡上。

2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号除黑。

如需改动，用像皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

不能答在试卷上。

一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）设集合A ={}312＜+x x ，B ={}23＜＜x x -，则A ⋂B 等于 (A){}23＜＜x x - (B){}21＜＜x x (C)3-＞x x (D)1＜x x (2)函数y =1+cos x 的图象（A ）关于x 轴对称 （B ）关于y 轴对称 （C ）关于原点对称 （D ）关于直线x =2π对称 （3）若a 与b -c 都是非零向量，则“a ·b =a ·c ”是“a ⊥(b -c )”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件（4）在1，2，3，4，5这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为偶数的共有（A ）36个 （B ）24个 （C ）18个 （D ）6个 （5）已知(3)4,1()log ,1aa x a x f x x x --⎧=⎨≥⎩＜，是（-∞，+∞）上的增函数，那么a 的取值范围是（A ）(1，+∞) （B ）(-∞,3) (C)3,35⎡⎫⎪⎢⎣⎭(D)(1,3)(6)如果-1，a,b,c,-9成等比数列，那么(A)b=3,ac=9 (B)b=-3,ac=9 (C)b=3,ac=-9 (D)b=-3,ac=-9 (7)设A 、B 、C 、D 是空间四个不同的点，在下列命题中，不正确．．．的是 (A)若AC 与BD 共面，则AD 与BC 共面(B)若AC 与BD 是异面直线，则AD 与BC 是异面直线 (C)若AB =AC ，DB =DC ，则AD =BC (D)若AB =AC ，DB =DC ，则AD ⊥BC(8)下图为某三岔路口交通环岛的简化模型，在某高峰时段，单位时间进出路口A 、B 、C 的机动车辆数如图所示，图中x 1`x 2`x 3，分别表示该时段单位时间通过路段AB ⋂,BC ⋂,CA ⋂的机动车辆数（假设：单位时间内，在上述路段中，同一路段上驶入与驶出的车辆数相等），则 （A ）x 1＞x 2＞x 3 （B ）x 1＞x 3＞x 2 （C ）x 2＞x 3＞x 1 （D ）x 3＞x 2＞x 1第Ⅱ卷（共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

2006年市海淀区期末练习二高三数学文科试卷(海淀区二模试卷)一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．若集合}5,2{},4,3,2{},5,4,3,2,1{===B A U ，则B ∪（）等于（） A ．{5}B ．{1，2，5}C ．{1，2，3，4，5}D ．2．等差数列{n a }的公差d<0，且8,124242=+=⋅a a a a ，则数列{n a }的通项公式是（） A ．)(22*N n n a n ∈-= B ．)(42*N n n a n ∈+=C ．)(122*N n n a n ∈+-=D ．)(102*N n n a n ∈+-=3．若函数xx f 2)(=+1的反函数是)(1x f-，则函数)(1x fy -=的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．4．双曲线1922=-my x 的焦距是10，则实数m 的值为（）A ．－16B ．4C ．16D ．815．若α、β是两个不同平面，m 、n 是两条不同直线，则下列命题不正确．．．的是（） A ．,,//αβα⊥m 则β⊥m B ．m ∥n ，m ⊥α，则n ⊥α C ．n ∥α，n ⊥β，则α⊥βD ．α∩β=m ，n 与α、β所成的角相等，则m ⊥n6．若0>>b a ，则下列不等式中一定成立的是（）A ．a b b a 11+>+B ．11++>a b a bC ．ab b a 11->-D ．ba b a b a >++227．某科技小组有四名男生两名女生. 现从中选出三名同学参加比赛，其中至少有一名女生 入选的不同选法种数为（）A ．36CB ．2512C CC ．14222412C C C C +D ．36A8．若0)1(),,0()(2=-∈>++=f R x a c bx ax x f ，则“a b 2-<”是“0)2(<f ”的（） A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分又不必要条件二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上. 9．不等式01>-xx的解集为. 10．将圆042:22=-++y x y x C 按向量a =（1，－2）平移后，得到圆C ′，则圆C ′的半径为，其圆心坐标为.11．在同一时间内，对同一地域，市、区两个气象台预报天气准确的概率分别为109、54， 两个气象台预报准确的概率互不影响，则在同一时间内，至少有一气象台预报准确的概率是. 12．如图，边长均为2的正方形ABCD 与正方形ABEF 构成60°的二面角D —AB —F ，则点D 到点F 的距离为，点D 到平面ABEF 的距离为. 13．若函数)2()2()(2+-++=a bx x a x f 的定义域为R ，则b a +3的值为.14．对大于或等于2的自然数m 的n 次幂进行如下方式的“分裂”仿此，52的“分裂”中最大的数是，若)(*3N m m ∈的“分裂”中最小的数是21，则m 的值为. 三、解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（本小题共13分）已知函数).(cos sin 322cos )(R x x x x x f ∈+= （1）求函数)(x f 的最小正周期和最大值；（2）函数)(x f 的图象可由R x x y ∈=(sin 2）的图象经过怎样的平移和伸缩变换得 到？16．（本小题共13分）已知函数m nx mx x f ()(23+=、0,≠∈m R n ），函数)(x f y =的图象在点（2，)2(f ）处的切线与x 轴平行.（1）用关于m 的代数式表示n ；（2）当m=1时，求函数)(x f 的单调区间.17．（本小题共14分）如图：三棱锥P —ABC 中，PB ⊥底面ABC ，∠BAC=90°，PB=AB=AC=4，点E 是PA 的中点. （1）求证：AC ⊥平面PAB ； （2）求异面直线BE 与AC 的距离； （3）求直线PA 与平面PBC 所成的角的大小.18．（本小题共13分）平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两定点A （1，0）、B （0，－1），动点P （y x ,）满足：)()1(R m OB m OA m OP ∈-+=.（1）求点P 的轨迹方程；（2）设点P 的轨迹与双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x C 交于相异两点M 、N. 若以MN 为直径的圆经过原点，且双曲线C 的离心率等于3，求双曲线C 的方程.19．（本小题共13分）数列}{n a 的前n 项和为n n n ma m S N n S -+=∈)1(),(*对任意的*N n ∈都成立，其中m 为常数，且m<－1.（1）求证：数列}{n a 是等比数列；（2）记数列}{n a 的公比为q ，设).(m f q =若数列}{n b 满足；*111,2)((,N n n b f b a b n n ∈≥==-）. 求证：数列}1{nb 是等差数列； （3）在（2）的条件下，设1+⋅=n n n b bc ，数列}{n c 的前n 项和为n T . 求证：.1<n T20．（本小题共14分）函数)(x f 的定义域为R ，并满足以下条件： ①对任意R x ∈，有0)(>x f ；②对任意x 、R y ∈，有yx f xy f )]([)(=； ③.1)31(>f （1）求)0(f 的值；（2）求证：)(x f 在R 上是单调增函数；（3）若ac b c b a =>>>2,0且，求证：).(2)()(b f c f a f >+[参考答案]一、选择题（本大题共8小题，每题5分，共40分） 1．B 2．D 3．A 4．C 5．D 6．A 7．C 8．B 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 9．}10|{<<x x 10．5（2分）（0，0）（3分） 11． 12．2（2分）3（3分） 13．－6 14．9（2分） 5（3分） 三、解答题（本大题共6小题，共80分）15．（共13分）解：（1）x x x x x f 2sin 32cos cos sin 322cos )(+=+=…………2分 R x x x x ∈+=+=)(62sin(2)2sin 232cos 21(2π）………………………………4分∴T=2)(,=最大值x f π…………………………………………………………6分 （2）先将R x x y ∈=(sin 2）的图象向左移6π个单位，得到)6sin(2π+=x y 的图象；再将)6sin(2π+=x y 的图象的横坐标变为原来的一半，纵坐标不变，得到)62sin(2π+=x y 的图象.…………………………13分或先将R x x y ∈=(sin 2）的图象的横坐标变为原来一半，纵坐标不变，得到函数x y 2sin 2=的图象；再将x y 2sin 2=的图象向左移12π个单位，得到)62sin(2π+=x y 的图象.………………………………13分 16．（共13分）解：（1）nx mx x f nxmx x f 23)()(223+='∴+= ………………2分由已知条件得：0)2(='f ∴3m+n=0 ………………4分∴n=－3m …………6分（2）若m=1，则n=－3……………………7分x x x f x x x f 63)(3)(223-='∴-=∴，令0)(>'x f ………………8分0<∴x 或.2>x ………………10分令20,0)(<<<'x x f 得………12分∴)(x f 的单调递增区间为（－∞，0），（2，+∞）∴)(x f 的单调递减区间为（0，2）.………………………………13分 17．（共14分）解法一：（1）∵三棱锥P —ABC 中，PB ⊥底面ABC ，∠BAC=90° ∴PB ⊥AC ，BA ⊥AC ……………………4分∵PB ∩BA=B ∴AC ⊥平面PAB ………………4分 （2）∵PB=BA=4，点E 是PA 的中点∴BE ⊥EA ………………5分又∵EA ⊂平面PAB 由（1）知AC ⊥EA ………………6分∴EA 是异面直线BE 、AC 的公垂线段…………7分 ∵PB ⊥AB ∴△PBA 为直角三角形…………8分 ∴EA=21PA=21×42=22∴异面直线BE 与AC 的距离为22.………………9分 （3）取BC 中点D ，连结AD 、PD ∵AB=AC=4，∠BAC=90° ∴BC ⊥AD AD=22∵PB ⊥底面ABC ，AD ⊂底面ABC ∴PB ⊥AD ∵PB ∩BC =B ∴AD ⊥平面PBC ………………11分∴PD 为PA 在平面PBC 内的射影∴∠APD 为PA 与平面PBC 所成角.…………………12分 在Rt △ADP 中，21sin ==APAD APD ……………………13分∴∠APD=30°………………14分∴PA 与平面PBC 所成角大小为30°. 解法二：（1）同解法一…………………………4分 （2）同解法一……………………………9分 （3）过点A 作AD//PB ，则AD ⊥平面ABC 如图，以A 为坐标原点，建立空间直角坐标系， 则A （0，0，0），B （－4，0，0），C （0，4，0），P （－4，0，4）………………10分)0,4,4(),4,4,4(=-=∴BC PC ………………11分设平面PBC 的法向量),,1(μλ=n⎩⎨⎧=-=∴⎩⎨⎧=+=-+∴⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅01044044400μλλμλBC n PC n ……………………12分n ∴=（1，－1，0）PA =（4，0，－4），设直线PA 与平面PBC 所成角为θsin θ=cos<PA ,n 21||||=⋅n PA n PA …………………………13分∴直线PA 与平面PBC 所成角的大小为30°………………14分 18．（共13分）解：（1）)1,0)(1()0,1(),()1(--+=∴-+=m m y x OB m OA m OP …………2分11=+∴⎩⎨⎧-==∴y x my m x 即点P 的轨迹方程为01=-+y x …………4分（2）由⎪⎩⎪⎨⎧-=+22221b y ax y x 得：22222222)(b a a x a x a b --+-=0∵点P 轨迹与双曲线C 交于相异两点M 、N 022≠-∴a b ， 且(*)0))((44222224>----=∆b a a a b a设),(),,(2211y x N y x M ，则222222122221,2ab b a a x x a b a x x -+-=--=+…………6分∵以MN 为直径的圆经过原点0=⋅∴ON OM 即：02121=+y y x x0)1)(1(2121=--+∴x x x x 即0)(22122222222=-+--+ab b a a a b a 即022222=--b a a b ①…………………8分222222233a b a b a e e =∴=+=∴= ②………………10分∴由①、②解得22,21==b a 符合（*）式∴双曲线C 的方程为12422=-y x ………………………………13分 19．（共13分）证明：（1）当n=1时，111==S a …………………………1分n n ma m S -+=)1( ①)2()1(11≥-+=∴--n ma m S n n ②……………2分①－②得：)2(1≥-=-n ma ma a n n n ……………………3分01,0,1,0)1(111≠+≠∴-<≠=+∴--m a m a ma a m n n n)2(11≥+=∴-n m ma a n n …………………………4分 ∴数列}{n a 是首项为1，公比数1+m m 的等比数列.……………………4分（2）1)(11)(11111+====+=---n n n n b b b f b a b m mm f (7)分)2(11111111≥=-∴+=∴---n b b b b b n n n n n ……………………9分 ∴数列{nb 1}是首项为1，公差为1的等差数列.（3）由（2）得=nb 1n 则nb n 1=……10分)1(11+=⋅=+n n b b c n n n ……11分 111413131212111)1(1321211+-++-+-+-=+++⨯+⨯=n n n n T n ………………12分1111<+-=n …………………………13分 20．（共14分）解法一：（1）令2,0==y x ，得：2)]0([)0(f f =……………1分1)0(0)0(=∴>∴f f …………………………3分（2）任取1x 、),(2+∞-∞∈x ，且21x x <. 设,31,312211p x p x ==则21p p < 21)]31([)]31([)31()31()()(2121p p f f p f p f x f x f -=-=-……………………4分)()()(,1)31(2121x f x f x f p p f ∴<∴<> 在R 上是单调增函数……10分（3）由（1）（2）知1)0()(=>f b f 1)(>b f b ab f bcb f a f )]([)()(=⋅=b cb f bc b f c f )]([)()(=⋅=………11分bc a bcb ab f b f b fc f a f +>+=+∴)]([2)]([)]([)()(而)(2)]([2)]([222222b f b f b f bb ac c a bb bc a =>∴==>++)(2)()(b f c f a f >+∴……14分解法二：（1）∵对任意x 、y ∈R ，有yx f xy f )]([)(=x f x f x f )]1([)1()(=⋅=∴………1分∴当0=x 时0)]1([)0(f f =……2分∵任意x ∈R ，0)(>x f …………3分1)0(=∴f ……………………4分（2）1)]31([)313()1(,1)31(3>=⨯=∴>f f f f …………………………6分x f x f )]1([)(=∴是R 上单调增函数即)(x f 是R 上单调增函数；………10分（3）c a c a f f f c f a f +>+=+)]1([2)]1([)]1([)()(……………………11分而)(2)]1([2)]1([222222b f f f bb ac c a b c a =>∴==>++)(2)()(b f c f a f >+∴……………………14分说明：其它正确解法按相应步骤给分.。

海淀区高三年级第一学期期末练习数学（文科）2016.1本试卷共4页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上 作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1. 复数(1i)(1i)+-=A.2B.1C. 1-D.2- 2. 已知数列{}n a 是公比为2的等比数列，且满足4320a a a -=，则4a 的值为 A.2 B.4 C.8 D.163. 如图, 正方形ABCD 中，E 为DC 的中点，若AE AB AC λμ=+u u u r u u u r u u u r，则λμ+的值为 A.12 B. 12- C. 1 D.1-4 . 如图，在边长为3的正方形内有区域A （阴影部分所示），张明同学用随 机模拟的方法求区域A 的面积. 若每次在正方形内每次随机产生10000个点,并记录落在区域A 内的点的个数. 经过多次试验，计算出落在区域A 内点的个 数平均值为6600个，则区域A 的面积约为A.5B.6C. 7D.85. 某程序框图如图所示，执行该程序，如输入的a 值为1，则输出的a 值为 A.1 B.2 C.3 D.56. 若点(2,3)-不在．．不等式组0,20,10x y x y ax y -≥⎧⎪+-≤⎨⎪--≤⎩表示的平面区域内，则实数a 的取值 范围是A.(,0)-∞B. (1,)-+∞C. (0,)+∞D.(,1)-∞-EA BCD输出输入开始结束是否7. 已知函数, 1,()πsin , 1,2x x f x x x ≤⎧⎪=⎨>⎪⎩ 则下列结论正确的是 A ．000,()()x f x f x ∃∈-≠-R B ．,()()x f x f x ∀∈-≠R C ．函数()f x 在ππ[,]22-上单调递增 D ．函数()f x 的值域是[1,1]- 8. 已知点(5,0)A ，抛物线2:4C y x =的焦点为F ，点P 在抛物线C 上，若点F 恰好在PA 的 垂直平分线上，则PA 的长度为A.2B.22C. 3D.4 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。