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傅里叶变换性质证明

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2.6傅里叶变换的性质2.6.1线性若信号「和J的傅里叶变换分别为「"和F』-,则对于任意的常数a和b,有将其推广，若- - - 「出■,则其中匚为常数，n为正整数。

由傅里叶变换的定义式很容易证明线性性质.显然傅里叶变换也是一种线性运算，在第一章我们已经知道了，线性有两个含义：均匀性和叠加性。

均匀性表明，若信号乘以常数a,则信号的傅里叶变换也乘以相同的常数a，即卩叠加性表明，几个信号之和的傅里叶变换等于各个信号的傅里叶变换之和砒心©］的©卜伽）12.6.2反褶与共轭性设f(t) 的傅里叶变换为F面我们来讨论信号反褶、共轭以及既反褶又共轭后，新信号的傅里叶变换（1）反褶f(-t)是f(t)的反褶，其傅里叶变换为綁new九(2) 共轭=匸施)时论匸加門(幼因为曲是实数，所以(dtr=dt 彳寻共觇提到积分之外根据傅里叶变换的定义(3) 既反褶又共轭町(卯訂:厂(号叫fe本性质还可利用前两条性质来证明：设g(t)=f(-t) ，h(t)=g*(t)，则*曾筍％芳遛凸■_苗苫在上面三条性质的证明中，并没有特别指明f(t)是实函数还是复函数，因此，无论f(t)为实信号还是复信号，其傅里叶变换都满足下面三条性质FLTH)] = F® 町甘D FLH 心FH)2.6.3奇偶虚实性已知f(t)的傅里叶变换为。

在一般情况下，是复函数，因此可以把它表示 成模与相位或者实部与虚部两部分，即下面根据f(t)的虚实性来讨论F()的虚实性。

(1) f(t) 为实函数对比式(2-33)与(2-34)，由FT 的唯一性可得尺(耐=][/(f)cosaf 址(1.1)f(t)是实的偶函数，即f(t)=f(-t)X()的积分项是奇函数，而奇函数在对称区间内的积分为零，故 这时X( )=0，于是可见，若f(t)是实偶函数，则F()也是实偶函数，即 匚】：’匚° :左边反褶，右边共轭 (1.2)f(t)是实的奇函数，即-f(t)=f(-t)R()的积分项是奇函数，而奇函数在对称区间内的积分为零，故 这时R( )=0，于是FQ)=卩(询片 眄' =盹)+歼询)根据定义，上式还可以写成(2-33)呎弊)=arc tan［制(曲)=2[F(唧)=・2小幷)sin(曲)必可见，若f(t)是实奇函数，则F()是虚奇函数，即咖二打(0弘打帥血忧北闻她左边反褶，右边共轭有了上面这两条性质，下面我们来看看一般实信号(即可能既不是偶信号，又不是奇信号，反正不清楚，或者说是没有必要关心信号的奇偶特性)的FT频谱特点。

2.6.4对称性傅里叶变换与傅里叶反变换之间存在着对称关系，称为傅里叶变换的对称性质。

若已知F( )=F[f(t)]则有F[f(t)]=2 JI f(-)证明：因为2 咒J-*上式右边是傅里叶正变换定义式，被变换函数是F(t)所以F[F(t)]=2 J f(-)若f(t)为偶信号，即f(t)=f(-t) ，则有F[F(t)]=2f(巧从上式可以看出，当f(t)为偶信号时，频域和时域的对称性完全成立即f(t)的频谱是F( )，F(t)的频谱为f()。

若f(t)为奇信号，即f(t)=-f(-t) ，则有F[F(t)]=-2f(小利用FT的对称性，我们可以很方便地一些信号的傅里叶变换。

下面我们举些例子来说明这一点。

试根据FT的对称性』利用冲瀏信号的僅里叶变换来求直疣信居的傅里叶变换.石年那卅3轴*?戸*"3* 沁乂(声呵W号怖孑*5?胡号气朗層用码■攝Pt F卜Hgk吧*軒翼烁诗延外专■宀科丿电解：已知沖瀏信暑的偉里叶变换为HE^(CJ=E,将E视为常数函数.它是偶函数，很据FT的对称性，^F[E]=27IE<?例Z3试根据FT的对称性』利用拒形脉沖信号的傅里叶变换来求解匚遜数的便里叶变换- 解：已知矩理脉冲信号的傅里叶妾且肖根据町的对称性,可再1亠■厂「卢魚％■论・u撐斗卢^Rj"F E叫一匸2腮逓(妙裁番寒念月朋二剧……即S趣数的珂是脉宽为汶脈高気卩的矩刑脉沖n矩形脉冲信号波形与频诣、£胚数的波形与频借如下图所示，例Z4试根据FT 的对称性，利用符号函数的傅里叶变换来求解求信号£a）-l/t 的傅里叶变换d解：已知符号函数的傅里叶吏换曲F ［踣毬£）卜盒，根据FT 的譏性可潯 ■ B片誌却⑷-- .虺 灿XJ根据FT 的对称性，考虑到m 即〔0是苛函数・有2.6.5尺度变换这里a 是非零的实常数下面利用FT 的定义及积分的性质，分a>0和a<0两种情形来证明傅里叶变 换的尺度变换特性。

证明：因为EIHWF 令 at=x ，当a > 0时F [儉)] = --f 代产飪= --F(-)当a < 0时一…’」-.上述两种情况可综合成如下表达式:0)若 F[f(t)]=F(），则TII由上可见，若信号f（t）在时域上压缩到原来的1/a倍，则其频谱在频域上将展宽a倍，同时其幅度减小到原来的1/a。

尺度变换性质表明，在时域中信号的压缩对应于频域中信号频带的扩展，反之，信号的时域扩展对应于频域的压缩。

对于a=-1的特殊情况，它说明信号在时域中沿纵轴反褶等效于在频域中频谱也沿纵轴反褶。

对傅里叶变换的尺度变换特性最通俗的解释可以采用生活中的实例来说明，在录音带快放时，其放音速度比原磁带的录制速度要快，这就相当于信号在时间上受到了压缩，于是其频谱就扩展，因而听起来就会感觉到声音发尖，即频率提高了。

反之，当慢放时，放音的速度比原来速度要慢，听起来就会感觉到声音浑厚，即低频比原来丰富了（频域压缩）。

266时间平移（延时）若F[f（t）]=F（«）,则下面进行证明证明：因为F[f （t - tj]二f f （t - ,Q—GO则有=f'fJ-8 二严厂f （茁上式右边的积分项为傅里叶变换定义式,于是可以得到同理可以得到:' I. .'^1-."267 时域微分 若 F[f(t)]=F()，则同理，可以推出由上可见，在时域中f(t)对t 取n 阶导数等效于在频域中f(t)的频谱F() 乘以(j)n.下面举一个简单的应用例子。

若已知单位阶跃信号 u(t)的傅里叶变 换，可利用此定理求出(t)的FT枠卜(J 研盹)证明:,两边对t 求导，可得饥)di所以=屈(由)£7(0O)吓⑷)268频域微分若F[f(t)]=F( ），则尸［警］3）并）尸［誓斗二卜內几）证明：因为•，两边分别对求导，可得所以(泅©鮮：由于旦砖⑷1 ,根据频域徽分特性可得更・■•■吨两■驚V纹耿・•或*< —尸“呻孑丽疗卢严T环7莎阳卯* -C 'V.再由FT的线性可禅/［吐时偸）2.6.9时域积分证明：=匚TV)颐咖*冇+ 何—必£4®Sfi?=(j(D)~l F(af) + 站(0)占(tu)特别地.如果胞在戲口Q处有界，则CD花像*J-。

由时域积分特性可潯g脅rF；电申羁叫真飢也峙*号吕算寸申gjf^岂血曲建衢滋）j8可见，这与利用符号函数求得的结果一致2610频域积分若F[f(t)]=F( )，则有X解:由于珂叭嘯邕庶L-=(丿妙J F〔田)+曲(O)S(Q)变换积分汝序＞并且利用阶麻信号的傅里叶变换关系式菲盹）畑2.6.11时域卷积定理证明：'倦稅和FT的定义）咬换祝分次序〕tn定好苴时穆特性）-F[/2（t）] £°f x（◎丹孚％咲于积分变樹常函数提出来）胡適轿联g曙綁伽$也钗）一砖遲長豐一密;理萸鞍滋总愛1二霍.黨:巳恭6 込:上迟基迟应r^r迟；匕55Z^?5^'由上可见」两个时间函数巻积的频营等于各个时间函数频借的菲积』也就是说，两信号时域卷稅等效于频谱相乘口2.6.12 频域卷积定理与时域卷积定理类似，S'； I； _ -Ji 'AT：'证明方法同时域卷积定理，在这里不在重复，同学们可自己证明。

由上可见，两个时间函数频谱的卷积等效于两个时间函数的乘积。

或者说, 两个时间函数乘积的频谱等于各个函数频谱乘积乘以1/2。

显然，时域与频域卷积定理是对称的，这是由傅里叶变换的对称性决定的。

2.6.13 帕斯瓦尔定理前面我们在讲信号分解时，提及帕斯瓦尔定理。

下面我们来研究一下该定理在FT中的具体表现形式。

若F[f(t)]=F( )，则M 仏=舟口％）% =匚PW）%这就是帕斯瓦尔定理在傅里叶变换中体现，它表明了信号的能量在时域与频域是守恒的。

下面利用FT的定义和性质，推导信号能量的求解。

f『测必=匸几）八f）曲F*（田）旷血力町迪=扌丄矿仙）]田=f£（纫La?lU f ；ti,式中龙是信号f（t）的总能量，IF（如f.为信号f（t）的能量谱密度。

帕斯瓦尔定理表明，这个总能量既可以按每单位时间的能量|f（t）|2 在整个时间内积分计算出来，也可以按单位频率内的能量誚敲肚72在整个频率范围内积分来得到。

此定理也可以如下证明。

由相关性定理可得[/⑷?_匸尸（妙密皿匀田dt9 ■（1FT定梵【交换积井次序）取t=0，即得帕斯瓦尔定理。

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傅里叶变换性质证明

傅里叶变换性质证明

傅里叶变换性质证明性质一：线性性质F[a*f(t)+b*g(t)]=a*F[f(t)]+b*F[g(t)]其中F表示傅里叶变换。

这个性质的证明非常简单，我们只需将傅里叶变换的定义代入到等式中即可。

性质二：时移性质时移性质指的是时域上的移动会导致频域上的相位变化。

设F[f(t)]表示函数f(t)的傅里叶变换，则有：F[f(t - a)] = e^(-2πiaω) * F[f(t)]其中a是常数，ω是角频率。

这个性质的证明可以通过将f(t-a)展开成泰勒级数，并代入傅里叶变换的定义进行推导得到。

性质三：频移性质频移性质指的是频域上的移动会导致时域上的相位变化。

设F[f(t)]表示函数f(t)的傅里叶变换，则有：F[e^(2πiaω0) * f(t)] = F[f(t - a)]其中a是常数，ω0是角频率。

这个性质的证明可以利用傅里叶变换的定义以及欧拉公式进行推导。

性质四：尺度变换性质尺度变换性质指的是时域上的信号缩放会导致频域上的信号压缩。

设F[f(t)]表示函数f(t)的傅里叶变换，则有：F[f(a*t)]=，a，^(-1)*F[f(t/a)]其中a是常数。

这个性质的证明可以通过将f(a*t)展开成泰勒级数，并代入傅里叶变换的定义进行推导得到。

性质五：卷积定理卷积定理是傅里叶变换中最重要的性质之一、它指出卷积在频域上等于两个函数的傅里叶变换的乘积。

设f(t)和g(t)是两个函数，f(t)*g(t)表示它们的卷积，F[f(t)]和F[g(t)]表示它们的傅里叶变换，则有：F[f(t)*g(t)]=F[f(t)]*F[g(t)]其中*表示卷积，乘法表示两个函数的傅里叶变换的乘积。

这个性质的证明可以通过将卷积展开成积分形式，然后利用傅里叶变换的定义进行推导得到。

以上是傅里叶变换的几个重要性质及其证明。

这些性质使得傅里叶变换具有很强的分析和应用能力，在信号处理、图像处理、通信等领域得到广泛应用。

这些性质的正确性和证明对于理解和应用傅里叶变换非常重要。

第三章傅里叶变换的性质.ppt

第三章傅里叶变换的性质.ppt



0
f (t)奇函数：X ()

f (t)sin tdt 2

f (t)sin tdt

0
X () 0
R() 0
可见，R()=R(- )为偶函数； X()= -X(- )为奇函数； 若 f (t)是实偶函数，F(j )=R() 必为实偶函数。 若 f (t)是实奇函数，F(j )=jX() 必为虚奇函数。

1 T

(t

T
)
F( j)
T
根据时域微分特性：
( j)2 F ( j) 1 e jT 2 1 e jT ,
0 2
T
TT
T

F(
j )

2
2T
(1
cosT )

4
2T
sin
2 (T
2
)

TSa2 (T
2
)
第三章第1讲

12
频域微分和积分特性
公式：
( jt)n f (t) F (n) ( j) f (0) (t) 1 f (t) F (1) ( j)
表明信号过延程时都了是t0在秒频并谱不搬会移改的变基其础频上谱完的成幅的度。，但是 使其相位变化了 - t0
频移特性： f (t)e j0 t F[ j( 0 )]
表明信号 f (t)乘以 e j0 t，等效于其频谱 F(j)沿频率右移 0
因为： cos 0 t

1 2
(e
j0 t

e
j0 t
)
sin
0t

1 2j
(e
j0 t
傅里叶变换的性质

傅里叶变换的性质

பைடு நூலகம்
由于 满足绝对可积条件，其傅里叶变换不含冲激函数，故
10） 频谱如图 5.4-8(d)所示。
（5.4-
(a)
(b)
(c) 图 5.4-8 三角脉冲信号及其频谱 若傅里叶变换式对 求导，可得频域微分性质：
(d) （5.4-11）
例 5.4-6 利用频域微分性质求斜变函数 解
的傅里叶变换。
根据频域微分性质，有
4 傅里叶变换的性质
傅里叶变换建立了信号的时域与频域间的一般关系。实际上， 通过数学运算求解一个信号的傅里叶变换不是最终的目的，重要的是在信号分 析的理论研究与实际设计中能够了解当信号在时域进行某种运算后在频域将 发生何种变化，或反过来从频域的运算推测时域信号的变动。如果采用傅里叶 变换的基本性质求解复杂信号变换，不仅计算过程简单，而且物理概念清楚。
一、线性 傅里叶变换的线性性质包含齐次性与可加性，若
，
则
（5.4-1）
式中 、 为任意常数。
上面的结论可以容易地由傅里叶变换的定义式证明。即傅里 叶变换是一种线性运算，相加信号的频谱等于各个信号的频谱之和。
二、对偶性 若
则
如图 5.4-1 所示，其中
，
。
图 5.4-1 对偶性说明 证明 由逆傅里叶变换公式
（5.4-8）
图 5.4-7 符号函数及其频谱 利用常数 1 和符号函数的傅里叶变换，可求得阶跃函数的变换。由于
故有
（5.4-9）
阶跃函数的傅里叶变换在 处为
，在 处为
。
例 5.4-5 利用时域微分性质求图 5.4-8(a)所示三角脉冲 信号的傅里叶变换。
解 三角脉冲信号可表示为
对 求两次导数，波形如图 5.4-8(b)和(c)所示。根据微分性质得
傅里叶变换性质

傅里叶变换性质

傅里叶变换性质证明1. 线性变换 F {fc f c 2211+}=c 1F {f1}+c 2F {f2} (1.1)证明： F {fc f c 2211+}=[]dx x x efc fc iwx-∞∞⎰+-2211)()( =dx x dx x efc efc iwxiwx⎰⎰∞∞---∞∞-+)()(2211=c 1F {f1}+c 2F {f2}2. 尺度变换性质如果f(x)的傅里叶变换存在且为F(w),则f(ax)的傅里叶变换为⎪⎭⎫ ⎝⎛a w F a 1。

(也可记为 f(ax)↔⎪⎭⎫ ⎝⎛a w F a 1） 证明：因为 F {()ax f }=()dx ax f e iwx-+∞∞-⎰则，令du adx u a x ax u 1,1,===当a>0时， F {()u f }=()du u f ae ua wi -+∞∞-⎰1即，F {()ax f }=⎪⎭⎫ ⎝⎛a w F a 1 （或记为f(ax)↔⎪⎭⎫⎝⎛a w F a 1）当a<0时，a a -= 则，u adx u a x x a ax u 1,1,-=-=-== F {()u f }=()()du u f adu u f a ee u awi ua wi -+∞∞---∞∞+⎰⎰=11-综上所述，F {()ax f }=⎪⎭⎫ ⎝⎛a w F a 1 (亦或可记为 f(ax)↔⎪⎭⎫ ⎝⎛a w F a 1）物理意义：（1）0<a<1时域扩展，频带压缩； （2）a>1时域压缩，频域扩展； （3）a=-1，f(t)→f(-t);F(w)→F(-w)。

举个例子，1 -1≤t ≤1 f(t)=0 其他而函数f(t)的傅里叶变换F(w)为()()dt dt dt dt t f w F eeeeiwtiwtiwtiwt⎰⎰⎰⎰+∞----∞---+∞∞-∙++∙==111100()()ww w w sin 20sin 20∙=+∙+= f(t)图像为附属matlab代码：x=-10:0.01:10y=1.*(x>=-1&x<=1)+0.*(x<-1)+0.*(x>1)plot(x,y,'r','linewidth',2)axis([-10 10 0 2.1]) %在x取值[-10,10]内作图，在值域[0,1]内以0.2分度取值grid onF(w)的图像：附属代码：x=-10:0.01:10y=2.*sin(x)./xplot(x,y,'r','linewidth',2)grid on（1）当0<a<1时，我们任意取a=0.5，则1 -2≤t≤2f(0.5t)=0 其他同理，()() www F2sin=。