傅里叶变换性质证明

傅里叶变换性质证明性质一：线性性质F[a*f(t)+b*g(t)]=a*F[f(t)]+b*F[g(t)]其中F表示傅里叶变换。

这个性质的证明非常简单，我们只需将傅里叶变换的定义代入到等式中即可。

性质二：时移性质时移性质指的是时域上的移动会导致频域上的相位变化。

设F[f(t)]表示函数f(t)的傅里叶变换，则有：F[f(t - a)] = e^(-2πiaω) * F[f(t)]其中a是常数，ω是角频率。

这个性质的证明可以通过将f(t-a)展开成泰勒级数，并代入傅里叶变换的定义进行推导得到。

性质三：频移性质频移性质指的是频域上的移动会导致时域上的相位变化。

设F[f(t)]表示函数f(t)的傅里叶变换，则有：F[e^(2πiaω0) * f(t)] = F[f(t - a)]其中a是常数，ω0是角频率。

这个性质的证明可以利用傅里叶变换的定义以及欧拉公式进行推导。

性质四：尺度变换性质尺度变换性质指的是时域上的信号缩放会导致频域上的信号压缩。

设F[f(t)]表示函数f(t)的傅里叶变换，则有：F[f(a*t)]=，a，^(-1)*F[f(t/a)]其中a是常数。

这个性质的证明可以通过将f(a*t)展开成泰勒级数，并代入傅里叶变换的定义进行推导得到。

性质五：卷积定理卷积定理是傅里叶变换中最重要的性质之一、它指出卷积在频域上等于两个函数的傅里叶变换的乘积。

设f(t)和g(t)是两个函数，f(t)*g(t)表示它们的卷积，F[f(t)]和F[g(t)]表示它们的傅里叶变换，则有：F[f(t)*g(t)]=F[f(t)]*F[g(t)]其中*表示卷积，乘法表示两个函数的傅里叶变换的乘积。

这个性质的证明可以通过将卷积展开成积分形式，然后利用傅里叶变换的定义进行推导得到。

以上是傅里叶变换的几个重要性质及其证明。

这些性质使得傅里叶变换具有很强的分析和应用能力，在信号处理、图像处理、通信等领域得到广泛应用。

这些性质的正确性和证明对于理解和应用傅里叶变换非常重要。

傅里叶变换性质证明 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】傅里叶变换的性质2.6.1线性若信号和的傅里叶变换分别为和，则对于任意的常数a和b，有将其推广，若,则其中为常数，n为正整数。

由傅里叶变换的定义式很容易证明线性性质.显然傅里叶变换也是一种线性运算，在第一章我们已经知道了，线性有两个含义：均匀性和叠加性。

均匀性表明，若信号乘以常数a，则信号的傅里叶变换也乘以相同的常数a，即叠加性表明，几个信号之和的傅里叶变换等于各个信号的傅里叶变换之和?2.6.2 反褶与共轭性设f(t)的傅里叶变换为，下面我们来讨论信号反褶、共轭以及既反褶又共轭后，新信号的傅里叶变换。

（1）反褶f(-t)是f(t)的反褶，其傅里叶变换为（2）共轭（3）既反褶又共轭本性质还可利用前两条性质来证明：设g(t)=f(-t)，h(t)=g*(t)，则在上面三条性质的证明中，并没有特别指明f(t)是实函数还是复函数，因此,无论f(t)为实信号还是复信号，其傅里叶变换都满足下面三条性质2.6.3 奇偶虚实性已知f(t)的傅里叶变换为。

在一般情况下，是复函数，因此可以把它表示成模与相位或者实部与虚部两部分，即?根据定义，上式还可以写成下面根据f(t)的虚实性来讨论F()的虚实性。

(1) f(t)为实函数对比式(2-33)与(2-34)，由FT的唯一性可得（）f(t)是实的偶函数，即f(t)=f(-t)X()的积分项是奇函数，而奇函数在对称区间内的积分为零，故这时X()=0，于是可见，若f(t)是实偶函数，则F()也是实偶函数，即左边反褶，右边共轭（）f(t)是实的奇函数，即-f(t)=f(-t)R()的积分项是奇函数，而奇函数在对称区间内的积分为零，故这时R()=0，于是可见，若f(t)是实奇函数，则F()是虚奇函数，即左边反褶，右边共轭有了上面这两条性质，下面我们来看看一般实信号（即可能既不是偶信号，又不是奇信号，反正不清楚，或者说是没有必要关心信号的奇偶特性）的FT频谱特点。

2.6傅里叶变换的性质2.6.1线性若信号「和J的傅里叶变换分别为一「；和I r aC ,F[f1(t)]=F1(ffl)i F[fJt)]=F a(ffl)则对于任意的常数a和b,有F[af1(t)+fJtll=aF1(ffl l÷bFJffl)将其推广，若■-、出 -,则其中匚为常数，n为正整数。

由傅里叶变换的定义式很容易证明线性性质.显然傅里叶变换也是一种线性运算，在第一章我们已经知道了，线性有两个含义：均匀性和叠加性。

均匀性表明，若信号乘以常数a,则信号的傅里叶变换也乘以相同的常数a,即卩叠加性表明，几个信号之和的傅里叶变换等于各个信号的傅里叶变换之和砒（W2©］的©卜伽）12.6.2反褶与共轭性号反褶、共轭以及既反褶又共轭后，新信号的傅里叶变换设f(t) 的傅里叶变换为F面我们来讨论信（1）反褶f(-t)是f(t)的反褶，其傅里叶变换为本性质还可利用前两条性质来证明： 设 g(t)=f(-t)，h(t)=g*(t),则在上面三条性质的证明中，并没有特别指明 f(t)是实函数还是复函数，因此，无论f(t)为实信号还是复信号，其傅里叶变换都满足下面三条性 质(2) 共轭=匸施)时论匸加門(M因为F 是实数，所以［dt)*=dt 彳寻共觇提到积分之外 根据傅里叶变换的定义(3) 既反褶又共轭* ς⅛tl 3r F⅛r^!⅛ :o⅛苫FLT(-O] = FH y)F[f,HI)=r⅛)FLn£)]"H J)2.6.3奇偶虚实性已知f(t)的傅里叶变换为。

在一般情况下，是复函数，因此可以把它表示成模与相位或者实部与虚部两部分，即FQ) U 卩(询)* 眄'=j?Crt)) +χ((⅛) 显獻μ⅛)卜阿跖丽下面根据f(t)的虚实性来讨论F()的虚实性。

(1) f(t) 为实函数对比式(2-33)与(2-34),由FT的唯一性可得R(O)) = J [/(t) cosaf址(1.1)f(t)是实的偶函数，即f(t)=f(-t)X()的积分项是奇函数，而奇函数在对称区间内的积分为零，故这时X( )=0 ,于是可见，若f(t)是实偶函数，则F()也是实偶函数，即7】：’匚Fl左边反褶，右边共轭(1.2)f(t)是实的奇函数，即-f(t)=f(-t)R(J的积分项是奇函数，而奇函数在对称区间内的积分为零，故这时R( )=0 ,于是(2-33)φ((w) = arc tan(曲)=2[ /(t)cos^⅛根据定义，上式还可以写成Λ1(唧) = -2j[ ∕⅛)sin(Λ⅛⅛可见，若f(t)是实奇函数，则F()是虚奇函数，即咆=DM%仁[北宓阚九血M左边反褶，右边共轭有了上面这两条性质，下面我们来看看一般实信号(即可能既不是偶信号，又不是奇信号，反正不清楚，或者说是没有必要关心信号的奇偶特性)的FT频谱特点。

傅里叶变换性质证明The final revision was on November 23, 2020傅里叶变换的性质2.6.1线性若信号和的傅里叶变换分别为和，则对于任意的常数a和b，有将其推广，若,则其中为常数，n为正整数。

由傅里叶变换的定义式很容易证明线性性质.显然傅里叶变换也是一种线性运算，在第一章我们已经知道了，线性有两个含义：均匀性和叠加性。

均匀性表明，若信号乘以常数a，则信号的傅里叶变换也乘以相同的常数a，即叠加性表明，几个信号之和的傅里叶变换等于各个信号的傅里叶变换之和?2.6.2 反褶与共轭性设f(t)的傅里叶变换为，下面我们来讨论信号反褶、共轭以及既反褶又共轭后，新信号的傅里叶变换。

（1）反褶f(-t)是f(t)的反褶，其傅里叶变换为（2）共轭（3）既反褶又共轭本性质还可利用前两条性质来证明：设g(t)=f(-t)，h(t)=g*(t)，则在上面三条性质的证明中，并没有特别指明f(t)是实函数还是复函数，因此,无论f(t)为实信号还是复信号，其傅里叶变换都满足下面三条性质2.6.3 奇偶虚实性已知f(t)的傅里叶变换为。

在一般情况下，是复函数，因此可以把它表示成模与相位或者实部与虚部两部分，即?根据定义，上式还可以写成下面根据f(t)的虚实性来讨论F()的虚实性。

(1) f(t)为实函数对比式(2-33)与(2-34)，由FT的唯一性可得（）f(t)是实的偶函数，即f(t)=f(-t)X()的积分项是奇函数，而奇函数在对称区间内的积分为零，故这时X()=0，于是可见，若f(t)是实偶函数，则F()也是实偶函数，即左边反褶，右边共轭（）f(t)是实的奇函数，即-f(t)=f(-t)R()的积分项是奇函数，而奇函数在对称区间内的积分为零，故这时R()=0，于是可见，若f(t)是实奇函数，则F()是虚奇函数，即左边反褶，右边共轭有了上面这两条性质，下面我们来看看一般实信号（即可能既不是偶信号，又不是奇信号，反正不清楚，或者说是没有必要关心信号的奇偶特性）的FT频谱特点。

2.6傅里叶变换的性质2.6.1线性若信号「和J的傅里叶变换分别为一「；和FJ-,则对于任意的常数a和b,有将其推广，若- - - 「出■,则其中匚为常数，n为正整数。

由傅里叶变换的定义式很容易证明线性性质.显然傅里叶变换也是一种线性运算，在第一章我们已经知道了，线性有两个含义：均匀性和叠加性。

均匀性表明，若信号乘以常数a,则信号的傅里叶变换也乘以相同的常数a，即卩叠加性表明，几个信号之和的傅里叶变换等于各个信号的傅里叶变换之和砒心©］的©卜伽）12.6.2反褶与共轭性设f(t) 的傅里叶变换为F面我们来讨论信号反褶、共轭以及既反褶又共轭后，新信号的傅里叶变换（1）反褶f(-t)是f(t)的反褶，其傅里叶变换为綁new九(2) 共轭=匸施)时论匸加門(幼因为曲是实数，所以(dtr=dt 彳寻共觇提到积分之外根据傅里叶变换的定义(3) 既反褶又共轭町(卯訂:厂(号叫fe本性质还可利用前两条性质来证明：设g(t)=f(-t) ，h(t)=g*(t)，则*曾筍％芳遛凸■_苗苫在上面三条性质的证明中，并没有特别指明f(t)是实函数还是复函数，因此，无论f(t)为实信号还是复信号，其傅里叶变换都满足下面三条性质FLTH)] = F® 町甘D FLH 心FH)2.6.3奇偶虚实性已知f(t)的傅里叶变换为。

在一般情况下，是复函数，因此可以把它表示 成模与相位或者实部与虚部两部分，即下面根据f(t)的虚实性来讨论F()的虚实性。

(1) f(t) 为实函数对比式(2-33)与(2-34)，由FT 的唯一性可得尺(耐=][/(f)cosaf 址(1.1)f(t)是实的偶函数，即f(t)=f(-t)X()的积分项是奇函数，而奇函数在对称区间内的积分为零，故这时X( )=0，于是可见，若f(t)是实偶函数，则F()也是实偶函数，即 匚】：’匚° :左边反褶，右边共轭 (1.2)f(t)是实的奇函数，即-f(t)=f(-t)R()的积分项是奇函数，而奇函数在对称区间内的积分为零，故 这时R( )=0，于是FQ)=卩(询片 眄' =盹)+歼询)根据定义，上式还可以写成(2-33)呎弊)=arc tan［制(曲)=2[f(唧)=-2小幷)sin(曲)dt可见，若f(t)是实奇函数，则F()是虚奇函数，即咆=[北)严自=[伽沁伽皿左边反褶，右边共轭有了上面这两条性质，下面我们来看看一般实信号(即可能既不是偶信号，又不是奇信号，反正不清楚，或者说是没有必要关心信号的奇偶特性)的FT频谱特点。

傅里叶变换是一种重要的数学工具，可以将一个时域的信号分解为频域的成分，从而在频域进行分析和处理。

在通信、图像处理、音频处理等领域都有着广泛的应用。

本文将就 txf(t) 的傅里叶变换进行详细介绍和分析。

一、傅里叶变换的定义和基本概念傅里叶变换是指将一个实数函数 f(t) 转换成另外一个实数函数F(ω) 的过程，其中F(ω) 是 f(t) 的频域表示。

傅里叶变换的定义如下所示：F(ω) = ∫[from -∞ to ∞] f(t) e^(-jωt) dt其中，F(ω) 表示频域表示， f(t) 表示时域表示，ω 表示频率， e^(-jωt) 表示复指数函数，∫ 表示积分符号。

二、傅里叶变换的性质和公式1. 线性性质：若 f(t) 和 g(t) 分别具有傅里叶变换F(ω) 和G(ω)，则有a*f(t) + b*g(t) 的傅里叶变换为a*F(ω) + b*G(ω)。

2. 时移性质：若 f(t) 具有傅里叶变换F(ω)，则 f(t - t0) 具有傅里叶变换 e^(-jωt0)F(ω)。

3. 频移性质：若 f(t) 具有傅里叶变换F(ω)，则e^(jω0t)f(t) 具有傅里叶变换F(ω - ω0)。

4. 傅里叶变换对称性：若 f(t) 具有傅里叶变换F(ω)，则 F(-ω) =F*(ω)。

三、傅里叶变换的计算方法傅里叶变换的计算可以使用积分的方法进行，也可以使用快速傅里叶变换（FFT）进行。

对于一些特殊的信号，可以直接根据傅里叶变换的性质和公式进行计算。

四、txf(t) 的傅里叶变换下面我们将具体分析 txf(t) 的傅里叶变换。

我们需要先对 txf(t) 进行傅里叶变换的积分计算：F(ω) = ∫[from -∞ to ∞] txf(t) e^(-jωt) dt在进行积分计算的时候，需要对 txf(t) 进行分解，然后利用傅里叶变换的性质和公式进行计算。

在计算的过程中，需要注意积分的范围和变量的换元。

2.6 傅里叶变换的性质2.6.1线性若信号和的傅里叶变换分别为和，则对于任意的常数a和b，有将其推广，若,则其中为常数，n为正整数。

由傅里叶变换的定义式很容易证明线性性质.显然傅里叶变换也是一种线性运算，在第一章我们已经知道了，线性有两个含义：均匀性和叠加性。

均匀性表明，若信号乘以常数a，则信号的傅里叶变换也乘以相同的常数a，即叠加性表明，几个信号之和的傅里叶变换等于各个信号的傅里叶变换之和2.6.2 反褶与共轭性设f(t)的傅里叶变换为，下面我们来讨论信号反褶、共轭以及既反褶又共轭后，新信号的傅里叶变换。

（1）反褶f(-t)是f(t)的反褶，其傅里叶变换为（2）共轭（3）既反褶又共轭本性质还可利用前两条性质来证明：设g(t)=f(-t)，h(t)=g*(t)，则在上面三条性质的证明中，并没有特别指明f(t)是实函数还是复函数，因此,无论f(t)为实信号还是复信号，其傅里叶变换都满足下面三条性质2.6.3 奇偶虚实性已知f(t)的傅里叶变换为。

在一般情况下，是复函数，因此可以把它表示成模与相位或者实部与虚部两部分，即根据定义，上式还可以写成下面根据f(t)的虚实性来讨论F()的虚实性。

(1) f(t)为实函数对比式(2-33)与(2-34)，由FT的唯一性可得（1.1）f(t)是实的偶函数，即f(t)=f(-t)X()的积分项是奇函数，而奇函数在对称区间内的积分为零，故这时X()=0，于是可见，若f(t)是实偶函数，则F()也是实偶函数，即左边反褶，右边共轭（1.2）f(t)是实的奇函数，即-f(t)=f(-t)R()的积分项是奇函数，而奇函数在对称区间内的积分为零，故这时R()=0，于是可见，若f(t)是实奇函数，则F()是虚奇函数，即左边反褶，右边共轭有了上面这两条性质，下面我们来看看一般实信号（即可能既不是偶信号，又不是奇信号，反正不清楚，或者说是没有必要关心信号的奇偶特性）的FT频谱特点。

傅里叶变换性质证明1. 线性变换 F {fc f c 2211+}=c 1F {f1}+c 2F {f2} (1.1)证明： F {fc f c 2211+}=[]dx x x efc fc iwx-∞∞⎰+-2211)()( =dx x dx x efc efc iwxiwx⎰⎰∞∞---∞∞-+)()(2211=c 1F {f1}+c 2F {f2}2. 尺度变换性质如果f(x)的傅里叶变换存在且为F(w),则f(ax)的傅里叶变换为⎪⎭⎫ ⎝⎛a w F a 1。

(也可记为 f(ax)↔⎪⎭⎫ ⎝⎛a w F a 1） 证明：因为 F {()ax f }=()dx ax f e iwx-+∞∞-⎰则，令du adx u a x ax u 1,1,===当a>0时， F {()u f }=()du u f ae ua wi -+∞∞-⎰1即，F {()ax f }=⎪⎭⎫ ⎝⎛a w F a 1 （或记为f(ax)↔⎪⎭⎫⎝⎛a w F a 1）当a<0时，a a -= 则，u adx u a x x a ax u 1,1,-=-=-== F {()u f }=()()du u f adu u f a ee u awi ua wi -+∞∞---∞∞+⎰⎰=11-综上所述，F {()ax f }=⎪⎭⎫ ⎝⎛a w F a 1 (亦或可记为 f(ax)↔⎪⎭⎫ ⎝⎛a w F a 1）物理意义：（1）0<a<1时域扩展，频带压缩； （2）a>1时域压缩，频域扩展； （3）a=-1，f(t)→f(-t);F(w)→F(-w)。

举个例子，1 -1≤t ≤1 f(t)=0 其他而函数f(t)的傅里叶变换F(w)为()()dt dt dt dt t f w F eeeeiwtiwtiwtiwt⎰⎰⎰⎰+∞----∞---+∞∞-∙++∙==111100()()ww w w sin 20sin 20∙=+∙+= f(t)图像为附属matlab代码：x=-10:0.01:10y=1.*(x>=-1&x<=1)+0.*(x<-1)+0.*(x>1)plot(x,y,'r','linewidth',2)axis([-10 10 0 2.1]) %在x取值[-10,10]内作图，在值域[0,1]内以0.2分度取值grid onF(w)的图像：附属代码：x=-10:0.01:10y=2.*sin(x)./xplot(x,y,'r','linewidth',2)grid on（1）当0<a<1时，我们任意取a=0.5，则1 -2≤t≤2f(0.5t)=0 其他同理，()() www F2sin=。