简单多面体外接球球心的确定

两招搞定简单多面体外接球问题
■ 舒飞跃
此类 近年来， 高考题中常常出现简单多面体外接球问题， 问题能有效考查学生的空间想象能力， 它自然受到命题者的青 睐． 简单多面体外接球问题实质上是解决球的半径和确定球心 的位置问题， 解决这一问题从两个方面入手可以有效解决球心 与球半径， 下面笔者就这一问题谈一谈自已的想法， 供参考． 一、 深入理解球的定义， 转化为常见结论， 准确定位球心 在空间中， 如果一个定点与一个简单多面体的所有顶点的 距离都相等， 那么这个定点就是该简单多面体外接球的球心 ． 由上面的性质， 可以得到下列简单多面体外接球的球心的 如下结论． 结论 1 ： n 棱锥有外接球的球心在过底面多边形外接圆的 圆心且垂直 于 底 面 的 直 线 上， 具体的位置通过计算后准确 找到． 结论 2 ：n 棱台有外接球的球心是在上 、 下底面多边形的外 接圆的圆心的连线的直线上， 具体位置可通过计算准确找到 ． 结论 3 ：n 直棱柱有外接球的球心是在上 、 下底面多边形的 外接圆的圆心的连线的中点 ． （ 特别地， 正方体与长方体的外接球的球心是其体对角线 中点． ） 例1 一个几何体的三视 图如图 1 所示， 其中正视图是 一个正三角形， 则这个几何体 的外接球的表面积为 ． 解：由三视图作出原几何 体是三棱锥 A － BCD， 如图 2 所 示， 平面 ABD ⊥ 平面 BCD， 取 BD 的 中 点 为 O1 ，连 结 AO1 ， CO1 ， 因 △ABD 边长为 4 的正三 角形， △BCD 是等腰直角三角 2， ∠BCD = 90 ° ， 形， 且 BC = CD = 2 槡 有 AO1 ⊥ 平面 BCD， 则球心 O 在线段 AO1 上， 连结 BO． 设外接球的半径为 Ｒ，
x = cosθ 4 － sinθ 4 －y ， ， 则k = 令 的最大值， 整理得：kx － y + 3 － cosθ 3 －x y = sinθ 4 － 3k = 0． y） 在直线 kx － y + 4 － 3 k = 0 上， 因此点 M（ x， 同时又在单

如何确定外接（内切）球的球心球与其他几何体的切接问题，是近几年高考的热点，这种题目几乎在各省高考试题中都有涉及，主要考查直观想象和逻辑推理的核心素养．“切”“接”问题的处理规律：(1)“切”的处理解决与球有关的内切问题主要是指球内切于多面体或旋转体，解答时首先要找准切点，通过作截面来解决．如果内切的是多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作．(2)“接”的处理把一个多面体的几个顶点放在球面上即为球的外接问题．解决这类问题的关键是抓住外接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径．1．由球的定义确定球心若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球．也就是说如果一个定点到一个简单多面体的所有顶点的距离都相等，那么这个定点就是该简单多面体外接球的球心．①长方体或正方体的外接球的球心是其体对角线的中点；①正三棱柱的外接球的球心是上、下底面中心连线的中点；①直三棱柱的外接球的球心是上、下底面三角形外心连线的中点；①正棱锥的外接球的球心在其高上，具体位置可通过建立直角三角形运用勾股定理计算得到．[例1]若正三棱柱ABC­A′B′C′的底面边长为2，侧棱长为1，其顶点都在同一个球面上，则球的表面积为________．[解析]如图，H′，H分别为上、下底面的中心，HH′的中心O 为外接球的球心．由题意得，在Rt①OAH中，AH＝233，OH＝12，则外接球的半径R＝OA＝AH2＋OH2＝19 12，表面积S＝4πR2＝19π3.[答案]19π32．构造长方体或正方体确定球心①正四面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥、四个面都是直角三角形的三棱锥，可将三棱锥补成长方体或正方体；①同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、相对的棱相等的三棱锥，可将三棱锥补成长方体或正方体；①若已知棱锥含有线面垂直关系，则可将棱锥补成长方体或正方体；①若三棱锥的三个侧面两两垂直，则可将三棱锥补成长方体或正方体．[例2]若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的体积是________．[解析]三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为3，则可将三棱锥补形成正方体．从而其外接球的直径为3，半径为32，故所求外接球的体积V＝4π3×⎝⎛⎭⎪⎫323＝9π2.[答案]9π2[点评]一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为a，b，c，则可以将这个三棱锥补形成一个长方体，长方体的体对角线的长就是该三棱锥外接球的直径，即2R＝a2＋b2＋c2.3．由球的性质确定球心[典例3]正三棱锥A­BCD内接于球O，且底面边长为3，侧棱长为2，则球O的表面积为________．[解析]如图，设三棱锥A­BCD的外接球的半径为r，M为正①BCD的中心，因为BC＝CD＝BD＝3，AB＝AC＝AD＝2，AM①平面BCD，所以DM＝1，AM＝3，又OA＝OD＝r，所以(3－r)2＋1＝r2，解得r＝233，所以球O的表面积S＝4πr2＝16π3.[答案]16π3[点评]本题运用公式R2＝r2＋d2(r为三棱锥底面外接圆的半径，R为三棱锥外接球的半径，d为球心到三棱锥底面中心的距离)求球的半径，该公式是求球的半径的常用公式．本题的思路是探求正棱锥外接球半径的通法，该方法的实质是通过寻找外接球的一个轴截面，把立体几何问题转化为平面几何问题来研究．。

确定球心位置的三种方法决定球的几何要素是球心的位置和球的半径，在球与其他几何体的结合问题中，通过位置关系的分析，找出球心所在的位置是解题的关键，不妨称这个方法为球心位置分析法．方法一由球的定义确定球心若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球．也就是说如果一个定点到一个简单多面体的所有顶点的距离都相等，那么这个定点就是该简单多面体外接球的球心．(1)长方体或正方体的外接球的球心是其体对角线的中点；(2)正三棱柱的外接球的球心是上、下底面中心连线的中点；(3)直三棱柱的外接球的球心是上、下底面三角形外心连线的中点；(4)正棱锥的外接球球心在其高上，具体位置可通过建立直角三角形运用勾股定理计算得到；(5)若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形，则公共斜边的中点就是其外接球的球心．已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是()A．16πB．20πC．24πD．32π【解析】已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，可求得底面边长为2，故球的直径为22＋22＋42＝26，则半径为6，故球的表面积为24π，故选C．【答案】 C方法二构造长方体或正方体确定球心(1)正四面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥、四个面都是直角三角形的三棱锥，可将三棱锥补形成长方体或正方体；(2)同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、相对的棱相等的三棱锥，可将三棱锥补形成长方体或正方体；(3)若已知棱锥含有线面垂直关系，则可将棱锥补形成长方体或正方体；(4)若三棱锥的三个侧面两两垂直，则可将三棱锥补形成长方体或正方体．如图，边长为2的正方形ABCD中，点E，F分别是边AB，BC的中点，将△AED，△EBF，△FCD分别沿DE，EF，FD折起，使A，B，C三点重合于点A′，若四面体A′EFD 的四个顶点在同一个球面上，则该球的半径为()A ．2B ．62C ．112D ．52【解析】 易知四面体A ′EFD 的三条侧棱A ′E ，A ′F ，A ′D 两两垂直，且A ′E ＝1，A ′F ＝1，A ′D ＝2，把四面体A ′EFD 补成从顶点A ′出发的三条棱长分别为1，1，2的一个长方体，则长方体的外接球即为四面体A ′EFD 的外接球，球的半径为r ＝1212＋12＋22＝62.故选B ． 【答案】 B方法三 由性质确定球心利用球心O 与截面圆圆心O ′的连线垂直于截面圆及球心O 与弦中点的连线垂直于弦的性质，确定球心．正三棱锥A -BCD 内接于球O ，且底面边长为3，侧棱长为2，则球O 的表面积为________．【解析】 如图，M 为底面△BCD 的中心，易知AM ⊥MD ，DM ＝1，AM ＝ 3.在Rt △DOM 中，OD 2＝OM 2＋MD 2，即OD 2＝(3－OD )2＋1，解得OD ＝233，故球O 的表面积为4π×⎝⎛⎭⎫2332＝163π.【答案】163π。

角形的三棱锥，可将三棱锥补成长方体或正方体；
②同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、相对的棱相等的三
棱锥，可将三棱锥补成长方体或正方体；
③若已知棱锥含有线面垂直关系，则可将棱锥补成长方体或正方
体；
④若三棱锥的三个侧面两两垂直，则可将三棱锥补成长方体或正
方体．
[例 2] 若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为 3，则其
[解析] 如图，H′，H 分别为上、下底面的中心，HH′的中心 O
为外接球的球心．
由题意得，在 Rt△OAH 中，
AH＝2 3 3，OH＝12，
则外接球的半径 R＝OA＝ AH2＋OH2＝
1192，
表面积 S＝4πR2＝139π.
[答案]
19π 3
2．构造长方体或正方体确定球心
①正四面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥、四个面都是直角三
长就是该三棱锥外接球的直径，即 2R＝ a2＋b2＋c2.
3．由球的性质确定球心
[典例 3] 正三棱锥 ABCD 内接于球 O，且底面边长为 3，侧棱
长为 2，则球 O 的表面积为________．
[解析] 如图，设三棱锥ABCD的外接球的半径为
AC＝AD＝2，AM⊥平面 BCD，所以 DM＝1，AM＝ 3，又 OA＝OD 23
＝r，所以( 3－r)2＋1＝r2，解得 r＝ 3 ，所以球 O 的表面积 S＝4πr2
＝136π.
[答案]
16π 3
[点评]
本题运用公式 R2＝r2＋d2(r 为三棱锥底面外接圆的半径，R 为三 棱锥外接球的半径，d 为球心到三棱锥底面中心的距离)求球的半径， 该公式是求球的半径的常用公式．本题的思路是探求正棱锥外接球半 径的通法，该方法的实质是通过寻找外接球的一个轴截面，把立体几 何问题转化为平面几何问题来研究．