简单多面体外接球问题总结

多面体与外接球的三种题型 题型一（直接找直径） 1、在三棱锥S-ABC 中，SA=AC=，SB=，BC=1，则三棱锥S-ABC 的外接球的表面积是 。

2、若三棱锥S-ABC 的所有顶点都在同一个球O 的球面上，SA 面ABC ，SA=，AB=1，AC=2，∠BAC=60°，求球O 的体积。

题型二（作轴截面构造Rt △）1、已知三棱锥S-ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，△ABC 是边长为1的正三角形，SC 是球O 的直径，且SC=2，求此棱锥的体积。

2、一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的高为，底面周长为3，则这个球的体积为 。

题型三（补形法）1、若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为，则其外接球的表面积为2、一个几何体的三视图如图所示，其中主视图和侧视图是腰长为4的两个全等直角三角形，若该几何体的所有顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为 。

3、已知S ，A ，B ，C 是球O 表面上的一点，SA 面ABC ，AB BC ，SA=AB=1，BC=，则球O 的表面积等于 。

23⊥3233⊥⊥24、四棱锥P -ABCD 的三视图如图所示，四棱锥P -ABCD 的五个顶点都在同一个球面上，E ，F 分别是棱AB ，CD 的中点，直线EF 被球面所截的线段长为，则该球的表面积为5、在三棱锥S -ABC 中，SA=BC=2，SB=AC=3，SC=AB=，则该三棱锥外接球的体积是 。

题型四（割补法）1、如图所示的四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是边长为a的正方形，PD 底面ABCD ，且PD=a ，PA=PA=a ，若在这个四棱锥内放一球，则此球的最大半径是 。

2、已知正四面体的外接球的半径为1，则此正四面体的体积为 。

3、已知三棱锥D -ABC 的顶点都在球O 的球面上，AB=4，BC=3，AB BC ，AD=12，且DA 平面ABC ，则三棱锥A -BOD 的体积是 。

确定简单多面体外接球的球心的策略简单多面体外接球问题是立体几何中的难点和重要的考点，此类问题实质是解决球的半径r或确定球心o的位置问题，其中球心的确定是关键.如何确定简单多面体外接球的球心，下面作一些归纳、总结．1 由球的定义确定球心在空间，如果一个定点与一个简单多面体的所有顶点的距离都相等，那么这个定点就是该简单多面体的外接球的球心．由上述性质，可以得到确定简单多面体外接球的球心的如下结论．结论1 正方体或长方体的外接球的球心是其体对角线的中点．结论2 正棱柱的外接球的球心是上下底面中心的连线的中点．结论3 直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心的连线的中点．结论4 正棱锥的外接球的球心是在其高上，具体位置可通过计算找到．结论5 若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形，则公共斜边的中点就是其外接球的球心．例1 （2012年高考辽宁卷·文16）已知点p，a，b，c，d是球o表面上的点，pa⊥平面abcd，四边形abcd是边长为23的正方形.若pa＝26，则△oab的面积为________．图1解析因为外接球球心满足到各个顶点距离相等，直角三角形斜边中点到各个顶点距离相等，故可知pc的中点即为球心o.如图1，在rt△pac中，ac＝26，pc＝43，故r＝23.球心满足oa＝ob＝r＝23，故△oab为等边三角形，所以其面积s＝33．评注（1）球心满足到各个顶点距离相等，故球心常常在某直角三角形的斜边中点处.另外，因为球心与截面圆圆心的连线垂直于截面，故一个球中多个过截面圆圆心的垂线的交点必为球心.（2）此题还可以通过构造长方体找到球心，并获解．例2 （2010年高考全国ⅰ新课标卷·理10）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a，顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（）.a.πa2b.73πa2c.113πa2d.5πa2图2解析设o1，o2分别是正三角形a1b1c1和正三角形abc的中心，又三棱柱abc—a1b1c1是正三棱柱，所以其外接球的球心o是o1o2的中点，如图2，于是其外接球的半径为r＝oo22+ao22＝（a2）2+（23ad）2＝（a2）2+（23×32a）2＝7a212，所以球的表面积为4π·r2＝73πa2，故选b．评注（1）正三棱柱外接球的球心是上下底面正三角形中心的连线的中点.（2）直三棱柱外接球的球心是上下底面三角形外心的连线的中点．2 构造正方体或长方体确定球心长方体或正方体的外接球的球心是在其体对角线的中点处.以下是常见的、基本的几何体补成正方体或长方体的途径与方法．途径1 正四面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥、四个面都是直角三角形的三棱锥都分别可构造正方体．途径2 同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、相对的棱相等的三棱锥都分别可构造长方体和正方体．途径3 若已知棱锥含有线面垂直关系，则可将棱锥补成长方体或正方体．途径4 若三棱锥的三个侧面两两垂直，则可将三棱锥补成长方体或正方体．例3 （2012年高考辽宁卷·理16）已知正三棱锥p—abc，点p，a，b，c都在半径为3的球面上.若pa，pb，pc两两互相垂直，则球心到截面abc的距离为________．图3解析因为pa，pb，pc两两互相垂直，故正三棱锥p—abc的外接球即是以pa，pb，pc为棱的正方体的外接球，球心是在其体对角线的交点处，如图3，易证op⊥平面abc，所以球心o到截面abc的距离即为球半径r减去正三棱锥p—abc的高.设pa＝a，则（2r）2＝3a2，所以a＝2.设正三棱锥p—abc的高为h，则va—pbc＝vp —abc，即13×12a2·a＝13×34（22）2h，解得h＝233，故球心到截面abc的距离为3－233＝33．评注（1）易知三棱锥o—abc是正三棱锥，求出其高即为所求.（2）构造正方体并找到球心是破解此题的关键．3 由性质确定球心利用球心o与截面圆圆心o1的连线垂直于截面圆及球心o与弦中点的连线垂直于弦的性质，确定球心．例4 三棱锥s—abc中，sa⊥平面abc，sa＝2，△abc是边长为1的正三角形，则其外接球的表面积为________．图4解析设o1是△abc的外心，如图4，则o1a＝o1b＝o1c.过点o1作平面abc的垂线oo1，由此可知直线oo1上任意一点与a，b，c的距离相等，故三棱锥s—abc的外接球的球心在直线oo1上，又要使oa＝os，则o在线段sa的垂直平分线do上，从而三棱锥s—abc的外接球的球心是直线o1o与do的交点．do＝ao1＝23ae＝33，在rt△aod中，ao2＝ad2＋do2＝43，于是s球表＝4π·ao2＝163π．评注（1）一般棱锥的外接球的球心是在经过棱锥的底面多边形的外接圆的圆心且垂直于这个面的直线上.（2）此题也可以通过构造正三棱柱来解答，其球心是两底面三角形中心的连线的中点．。

多面体的外接球专题模型总结终极版题型一、长方体的外接球1.长方体外接球半径R=√a2+b2+c22a2.正方体外接球半径R=√323.长方体外接球的切割体（从长方体八个顶点中任取四个顶点）（1）三条侧棱两两垂直的三棱锥简称墙角型（2）一条侧棱垂直于底面，底面是直角三角形的三棱锥（双垂直）（3）各棱相等的三棱锥（正四面体）（4）对棱相等的三棱锥专题练习例1.在三棱锥BCD A −中，侧棱AB 、AC 、AD 两两垂直，ABC ∆、ACD ∆、ADB ∆的面积分别为22、32、62，则三棱锥BCD A −的外接球的体积为（ ）A ．6πB ．26πC ．36πD ．46π例2. 如图所示，已知球O 的面上有四点A 、B 、C 、D ，2===⊥⊥BC AB DA BC AB ABC DA ，，面,则球O 的体积等于 ．例 3.已知三棱锥BCD A −的所有棱长都为2，则该三棱锥外接球的体积为_________例4.四面体BCD A −中，5==CD AB ，34==BD AC ，41==BC AD ，则四面体BCD A −外接球的表面积为（ ）A ．π50B ．π100C ．π150D ．π200变式练习1.在三棱锥ABC P −中，4==BC PA ，5==AC PB ，11==AB PC ，则三棱锥ABC P −的外接球的表面积为（ ）A ．π8B ．π12C ．π26D ．π242.已知三棱锥ABC P −的顶点都在球O 的表面上，若PA ，PB ，PC 两两互相垂直，且2===PC PB PA ，则球O 的体积为（ ） A ．π312 B ．π28 C ．π34 D ．π43.《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥ABC P −为鳖臑，⊥PA 平面ABC ，2==AB PA ，4=AC ，三棱锥ABC P −的四个顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为（ ） A ．π8 B ．π12 C ．π20 D ．π244．已知三棱锥ABC S −的各顶点都在一个半径为r 的球面上，且1===SC SB SA ，2===AC BC AB ，则球的表面积为（ ）A ．π12B ．π8C ．π4D ．π35．已知三棱锥ABC P −的各顶点都在同一球面上，且⊥PA 平面ABC ，若该棱锥的体积为332，2=AB ，1=AC ，︒=∠60BAC ，则此球的表面积等于（ ） A ．π5 B ．π8 C ．π16 D ．π206．三棱锥ABC P −的四个顶点都在球O 的球面上，已知PA ，PB ，PC 两两垂直，1=PA ，4=+PC PB ，当三棱锥的体积最大时，球O 的体积为（ ） A ．π36 B ．π9C ．29π D ．49π7．如图所示，平面四边形ABCD 中，2===CD AD AB ，22=BD ，CD BD ⊥，将其沿对角线BD 折成四面体ABCD ，使平面ABD ⊥平面BCD ，若四面体ABCD 的顶点在同一个球面上，则该球的体积为（ ）A ．π328B ．π24C ．π34题型二、上下对称几何体外接球（直棱柱）直棱柱外接球半径R=√r 2+h 24,其中r 是底面外接圆半径，h 是直棱柱的高 r =a 2sinA(正弦定理)例1.设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（ ）A.πa 2B.73.πa 2 C. 113πa 2 D. 5πa 2例2.如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为 ．例3.如图，三棱锥的所有顶点都在一个球面上，在ABC ∆中，3=AB ，︒=∠60ACB ，︒=∠90BCD ，CD AB ⊥，22=CD ，则该球的体积为 ．例4. 如图是某几何体的三视图，正视图是等边三角形，侧视图和俯视图为直角三角形，则该几何体外接球的表面积为（ ） A ．320πB ．π8C ．π9D ．319π例5. 如图，某三棱锥的正视图、侧视图和俯视图分别是直角三角形、等腰三角形和等边三角形，若该三棱锥的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ） A ．π27 B ．π48 C ．π64D ．π81变式练习1.已知A ，B ，C ，D 是同一球面上的四个点，其中ABC ∆是正三角形，⊥AD 平面ABC ，62==AB AD ，则该球的体积为（ ） A ．π332 B ．π48 C ．π24 D ．π162.四面体ABCD 的四个顶点都在球O 的表面上，⊥AB 平面BCD ，三角形BCD 是边长为3的等边三角形，若4=AB ，则球O 的表面积为（ ） A ．π36B ．π28C ．π16D ．π43.已知一个三棱锥的三视图如下图所示，其中俯视图是顶角为32π的等腰三角形，则该三棱锥外接球的表面积为（ ） A ．π20B ．π17C ．π16D ．π8题型三、正N 棱锥外接球正N 棱锥外接球半径R=l 22ℎ,其中l 是侧棱长度，h 是正棱锥的高例1. 正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（ ） A.81π4B. 16πC. 9πD.27π4题型四、等腰三角形底边与一直角三角形斜边构成二面角的四面体如上图中，ABC △为等腰三角形，且AC AB =，DBC △是以BC 为斜边的△Rt ，D BC A −−二面角为α，令ABC △的外接圆半径为2r ，BC 边上的高为21h AO =，12r BC =，F 为ABC △的外心，则根据剖面图可知，外接球半径R 满足以下恒等式()21222221212sin r r h R E O OO OE +⎪⎭⎫ ⎝⎛−==+=α．例1在四面体ABC S −中，BC AB ⊥，2==BC AB ，SAC △为等边三角形，二面角B AC S −−的余弦值为33−，则四面体ABC S −的外接球表面积为 ．CB图3图4图5作二面角剖面⇒例2.在四面体ABCD 中，AB=AD=2,∠BAD =60。

简单多面体外接球球心得确定一、知识点总结1。

由球得定义确定球心⑴长方体或正方体得外接球得球心就是其体对角线得中点、⑵正三棱柱得外接球得球心就是上下底面中心连线得中点、⑶直三棱柱得外接球得球心就是上下底面三角形外心连线得中点.⑷正棱锥得外接球球心在其高上,具体位置可通过建立直角三角形运用勾股定理计算得到、⑸若棱锥得顶点可构成共斜边得直角三角形,则公共斜边得中点就就是其外接球得球心.2、构造长方体或正方体确定球心⑴正四面体、三条侧棱两两垂直得正三棱锥、四个面都就是直角三角形得三棱锥。

⑵同一个顶点上得三条棱两两垂直得四面体、相对得棱相等得三棱锥。

⑶若已知棱锥含有线面垂直关系,则可将棱锥补成长方体或正方体。

⑷若三棱锥得三个侧面两两垂直,则可将三棱锥补成长方体或正方体。

3.由性质确定球心利用球心与截面圆圆心得连线垂直于截面圆及球心与弦中点得连线垂直于弦得性质,确定球心、二:常见几何体得外接球小结1、设正方体得棱长为,求(1)内切球半径;(2)外接球半径;(３)与棱相切得球半径、(1)截面图为正方形得内切圆,得;(２)与正方体各棱相切得球:球与正方体得各棱相切,切点为各棱得中点,如图4作截面图,圆为正方形得外接圆,易得。

(3)正方体得外接球:正方体得八个顶点都在球面上,如图５,以对角面作截面图得,圆为矩形得外接圆,易得、2、正四面体得外接球与内切球得半径(正四面体图1 图2图3棱长为,也就是球心)内切球半径为:外接球半径为:三:常见题型1、已知各顶点都在同一个球面上得正四棱柱得高为４,体积为16,则这个球得表面积就是解析:本题就是运用“正四棱柱得体对角线得长等于其外接球得直径”这一性质来求解得、补形法2。

若三棱锥得三个侧棱两两垂直,且侧棱长均为,则其外接球得表面积就是 .解析:一般地,若一个三棱锥得三条侧棱两两垂直,且其长度分别为,则就可以将这个三棱锥补成一个长方体,于就是长方体得体对角线得长就就是该三棱锥得外接球得直径.设其外接球得半径为,则有.３.正四棱锥得底面边长与各侧棱长都为,点都在同一球面上,则此球得体积为、解析:寻求轴截面圆半径法4.在矩形中,,沿将矩形折成一个直二面角,则四面体得外接球得体积为( )解析:确定球心位置法四:练习1、已知点、就是球表面上得点,平面,四边形就是边长为得正方形、若,则得面积为多少?2、设三棱柱得侧棱垂直于底面,所有棱长都为,顶点都在同一个球面上,则该球得表面积为多少？３、三棱锥中,平面,,就是边长为１得正三角形,则其外接球得表面积为多少?４、点在同一个球得球面上,,,若四面体体积得最大值为,则这个球得表面积为多少？5、四面体得三组对棱分别相等,棱长为,求该四面体外接球得体积。

十种题型搞定多面体的外接球，内切球问题题型一 直角四面体的外接球 补成长方体，长方体对角线长为球的直径1．三棱锥P ABC -中，ABC ∆为等边三角形，2PA PB PC ===，PA PB ⊥，三棱锥P ABC -的外接球的表面积为（ ）A ．48πB ．12πC ．D ．2.在正三棱锥A BCD -中，,E F 分别是,AB BC 的中点，EF DE ⊥，若BC =A BCD -外接球的表面积为A πB 2πC 3πD 4π3.在正三棱锥S ABC -中，,M N 分别是,SC BC 的中点，且MN AM ⊥，若侧棱SA =，则正三棱锥S ABC -外接球的表面积为A 12πB 32πC 36πD 48π 4.（2019全国1理12）．已知三棱锥P −ABC 的四个顶点在球O 的球面上，P A =PB =PC ，△ABC 是边长为2的正三角形，E ，F 分别是P A ，AB 的中点，∠CEF =90°，则球O 的体积为A ．B ．C ． D5.设A ，B ，C ，D 是半径为2的球面上的四个不同点，且满足AB →·AC →＝0，AD →·AC →＝0，AB →·AD →＝0，用S 1、S 2、S 3分别表示△ABC 、△ACD 、△ABD 的面积，则S 1＋S 2＋S 3的最大值是________．题型二 等腰四面体的外接球 补成长方体，长方体相对面的对角线为等腰四面体的相对棱1．在四面体ABCD 中，若AB CD ==，2AC BD ==，AD BC ==ABCD 的外接球的表面积为( ) A ．2πB ．4πC ．6πD ．8πA B C D ，，，四点在半径为225的球面上，且5AC BD ==， AD BC ==，AB CD =，则三棱锥D ABC -的体积是____________．3.在三棱锥S ﹣ABC 中，底面△ABC 的每个顶点处的三条棱两两所成的角之和均为180°，△ABC 的三条边长分别为AB=3，AC=5，BC=6， 则三棱锥ABC S -的体积（ ）A ．22B ． 10C ．232D ．234 题型三 有公共斜边的两个直角三角形组成的三棱锥 ，球心在公共斜边的中点处1.在矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝3，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角D AC B --，则四面体ABCD 的外接球的体积为A. π12125B.π9125C.π6125D.π31252.三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，且SA AC SB BC ====4SC =，则该球的体积为A2563π B 323π C 16π D 64π3．在四面体S ABC -中，,2AB BC AB BC SA SC ⊥====，二面角S AC B --的余弦值是3-）A. B ．6π C ．24π D4.在平面四边形ABCD 中，1AB AD CD ===，2BD =，BD CD ⊥，将其沿对角线BD 折成四面体'A BCD -，使平面'A BD ⊥平面BCD ，若四面体'A BCD -顶点都在同一个球面上，则该球的体积为A 32πB 3πC 23π D 2π 5．平行四边形ABCD 中，AB ·BD =0，沿BD 将四边形折起成直二面角A 一BD －C ，且4222=+BD AB ，则三棱锥A －BCD 的外接球的表面积为（ ） A ．2π B ．4π C ．π4 D ．2π6已知直角梯形ABCD ，AB AD ⊥，CD AD ⊥，222AB AD CD ===，沿AC 折叠成三棱锥，当三棱锥体积最大时，三棱锥外接球的体积为 ．题型四 侧棱垂直于地面或侧面垂直于地面 过底面外心做垂线，球心有垂线上 1.已知四面体P ABC -,其中ABC ∆是边长为6的等边三角形,PA ⊥平面ABC ,4PA =,则四面体P ABC -外接球的表面积为________．2. 一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的（ ）外接球的半径为33B ．表面积为137++C ．体积为3D ．外接球的表面积为π4． 题型五 其中一条侧棱满足某个特殊的条件1.已知三棱锥BCD A -中，2====CD BD AC AB ,AD BC 2=,直线AD 底面BCD 所成的角是3π，则此时三棱锥外接球的体积是 ( ) A π8 B π32 C π324 D π328 答案。

多面体外接球问题方法总结
求多面体的外接球的方法有两种：
1. 利用多面体的顶点坐标求解：
a. 首先求解多面体的质心坐标。

可以通过计算多面体的顶点坐标的平均值得到质心坐标。

b. 然后，求解多面体顶点到质心的距离，取最大距离作为外接球的半径。

c. 外接球的中心坐标为质心坐标，半径为最大距离。

2. 利用多面体的边长/面积求解：
a. 首先，根据多面体的类型，求解多面体的特定的边长、面积或者角度。

b. 利用上述的边长、面积或者角度的关系，可以求解外接球的半径。

c. 外接球的中心坐标可以通过找到多面体的对称中心或者中心对称点来获取。

需要注意的是，方法一比方法二更为常用且通用，但对于某些特殊的多面体，可能需要使用方法二来求解。

同时，在实际应用中，还可以借助计算机软件来进行多面体外接球的求解，提高计算的精度和效率。

外接球问题方法总结
外接球问题方法总结
简单多面体外接球问题是立体几何中的难点和重要的考点，此类问题实质是解决球的半径尺或确定球心0的位置问题，其中球心的确定是关键。

（一）由球的定义确定球心
在空间，如果一个定点与一个简单多面体的所有顶点的距离都相等，那么这个定点就是该简单多面体的外接球的球心。

由上述性质，可以得到确定简单多面体外接球的球心的如下结论。

结论1：正方体或长方体的外接球的球心其体对角线的中点。

结论2：正棱柱的外接球的球心是上下底面中心的连线的中点。

结论3：直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心的连线的中点。

结论4：正棱锥的外接球的球心在其高上，具体位置可通过计算找到。

结论5：若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形，则公共斜边的中点就是其外接球的球心。

（二）构造正方体或长方体确定球心
长方体或正方体的外接球的球心是在其体对角线的'中点处。

以下是常见的、基本的几何体补成正方体或长方体的途径与方法。

途径1：正四面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥、四个面都是是直角三角形的三棱锥都分别可构造正方体。

途径2：同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、相对的棱相等的三棱锥都分别可构造长方体和正方体。

途径3：若已知棱锥含有线面垂直关系，则可将棱锥补成长方体或正方体。

途径4：若三棱锥的三个侧面两两垂直，则可将三棱锥补成长方体或正方体。

（三）由性质确定球心
利用球心O与截面圆圆心O1的连线垂直于截面圆及球心O与弦中点的连线垂直于弦的性质，确定球心。