两招搞定简单多面体外接球问题

多面体外接球半径常见的5种求法文/郭军平如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点.研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用.公式法例1 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为98，底面周长为３，则这个球的体积为 . 解 设正六棱柱的底面边长为x ，高为h，则有263,1,296,84x x x h h =⎧⎧=⎪⎪∴⎨⎨=⨯⎪⎪=⎩⎩ ∴正六棱柱的底面圆的半径12r =，球心到底面的距离2d =.∴外接球的半径1R ==.43V π∴=球. 小结 本题是运用公式222R r d =+求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式.多面体几何性质法例2 已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是A.16πB.20πC.24πD.32π解 设正四棱柱的底面边长为x ，外接球的半径为R ，则有2416x =，解得2x =.∴2R R ==∴= .∴这个球的表面积是2424R ππ=.选C. 小结 本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的.补形法例3 若三棱锥的三个侧面两两垂直，则其外接球的表面积是 . 解 据题意可知，该三棱锥的三条侧棱两两垂直，∴把这个三棱锥可以补成一个棱长为.设其外接球的半径为R ，则有()222229R =++=.∴294R =. 故其外接球的表面积249S R ππ==.小结 一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为a b c 、、，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为R，则有2R =.寻求轴截面圆半径法例4 正四棱锥S ABCD -，点S A B C D 、、、、都在同一球面上，则此球的体积为 .解 设正四棱锥的底面中心为1O ，外接球的球心为O ，如图1所示.∴由球的截面的性质，可得1OO ABCD ⊥平面.又1SO ABCD ⊥平面，∴球心O 必在1SO 所在的直线上.∴ASC ∆的外接圆就是外接球的一个轴截面圆，外接圆的半径就是外接球的半径.在ASC ∆中，由2SA SC AC ===，得222SA SC AC +=.∴ASC AC ∆∆是以为斜边的Rt . ∴12AC =是外接圆的半径，也是外接球的半径.故43V π=球. 小结 根据题意，我们可以选择最佳角度找出含有正棱锥特征元素的外接球的一个轴截面圆，于是该圆的半径就是所求的外接球的半径.本题提供的这种思路是探求正棱锥外接球半径的通解通法，该方法的实质就是通过寻找外接球的一个轴截面圆，从而把立体几何问题转化为平面几何问题来研究.这种等价转化的数学思想方法值得我们学习.确定球心位置法例5 在矩形ABCD 中，4,3AB BC ==，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B AC D --，则四面体ABCD 的外接球的体积为 A.12512π B.1259π C.1256π D.1253π 解 设矩形对角线的交点为O ，则由矩形对角线互相平分，可知OA OB OC OD ===.∴点O 到四面体的四个顶点A B C D 、、、的距离相等，即点O 为四面体的外接球的球心，如图2所示.∴外接球的半径52R OA ==.故3412536V R ππ==球.选C. CD A B S O 1图3A O D B 图4。

例谈多面体外接球半径的常见求法湖北省荆州市沙市第五中学张胜言求棱锥、棱柱的外接球半径、表面积、体积的问题在近几年各地的高考模拟题和全国高考试题中经常出现，这是高考的重点，也是学生学习的难点.困难表现在两个方面：一是找不到外接球球心的位置，二是如何采用适当的方法求外接球的半径.下面例谈几类多面体外接球半径的常见求法.方法一：首先构造简单的几何体，如长方体、正方体、三棱柱等，易作出这些简单几何体的外接球，从而求解.定义：若一个多面体的各个顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球.一、长方体、正方体外接球的半径1.长方体：因为长方体外接球半径是体对角线长的一半，设长方体长、宽、高分别为c b a ,,，外接球半径为R ，则2222c b a R ++=（如图1）.2.正方体：设正方体棱长为a ，外接球半径为R ，则a R 23=（如图2）.二、三棱柱外接球半径1.底面是直角三角形的直三棱柱：把三棱柱补成长方体，易求（如图3）.设底面三角形两直角边长分别为b a ,，直三棱柱高为c ，则外接球半径为R ，则2222c b a R ++=.2.正三棱柱：（如图4），正三棱柱球心O 在两底面中心21O O ，的中点处，设底面边长为a ，高为h ，外接球半径为R ，构造11OO A Rt ∆，则，，R OA hOO ==112a a D A O A 33233232111=⨯==，22233⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=h a R 三、三棱锥外接球半径c bO a 图1O a图2c b O aACB A 1C 1B 1图3AC BO B 1DC 1A 1O 1O 2a h R 图4AB DC图51.三条棱互相垂直的三棱锥：把它补成以这三条互相垂直的棱为长、宽、高的长方体，易求.（如图5）2.三组相对棱分别相等的三棱锥：（如图6），把它补成以这三组棱分别为面对角线的长方体，设c BD AC b AD BC a CD AB ======,,，设长方体长、宽、高分别为z y x ,,，则⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+222222222c x z b z y a y x ，2222222c b a z y x ++=++，()422222222c b a z y x R ++=++=.3.正四面体：设棱长为a ，外接球半径为R ，由2易知a R 46=.例题1：如图7，正方形ABCD 的边长为4，点E ，F 分别是BC ，CD 的中点，沿AE ，EF ，FA 折成一个三棱锥AEF B -（使点D C B ,,重合于点B ），则三棱锥AEF B -的外接球半径为.【解】在正方形ABCD 中，︒=∠=∠=∠90EBA FCE ADF ，所以折成三棱锥后，可将其转化为以)(,,DF BF BE AB 为棱的长方体，62224222=++=∴R 练习1：已知四面体ABC P -的四个顶点都在球O 的球面上，若⊥PB 平面ABC ，AC AB ⊥，且1=AC ，2==AB PB ，则球O 的体积为.例题2：已知正三棱柱111C B A ABC -的体积为2,32==AB V ，则该三棱柱外接球的表面积为.【解】如图8，设三棱柱的高为h ，3243S 2111=⨯=∆C B A ，2,332,=∴=∴=h h Sh V 11=∴OO ，3322233232111=⨯⨯==D A O A ，3713322221211=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=∴OO O A R ，ππ32842==∴R S 练习2：已知三棱柱111C B A ABC -侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱体积Cc b O a D A B x y z图6AB FE图7（2）ACB 1B O DC 1A 1O 1O 2R 图8︒=∠===602AB ,1,62BAC AC V ，，则该球表面积为.方法二：由定义法求多面体外接球半径.这类问题关键是找出球心O 位置：一般地，先在一个面上找到一点1O 到其余各点距离相等，球心O 就在经过点1O 并垂直于该平面的直线l 上，构造出两个直角三角形，利用勾股定理解方程组求出R .例题3：已知三棱锥ABC S -所有顶点都在球O 的球面上，且⊥SC 平面ABC ，若1===AC AB SC ，︒=∠120BAC ，则球O 的表面积为.【解】如图9，作菱形ABCD ，则︒=∠=∠6021BAC DAC 易得ACD∆为正三角形D ∴为ABC ∆外接圆的圆心，⊥∴OD 平面ABC ，又⊥SC 平面ABC ，SC OD ∥∴，过点O 作SC OE ⊥，垂足为E ，R OS OC ==，设x CE OD ==，则x SE -=1，在OSE Rt OCD Rt ∆∆,中有：()⎩⎨⎧=-+=+222222111R x R x ，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==2521R x 所以球的表面积为πππ5254422=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯==R S .练习3：若三棱锥ABC P -的高和底面边长都等于6，则其外接球的表面积为（）A.64π B.32π C.16π D.8π方法三：对于一些特殊的图形，利用其特有的性质找到外接球球心，直接求解.例题4：在三棱锥ABC S -中2==BC AB ，2==SA SC ，6=SB ，若C B A S ,,,在同一球面上，则该球的表面积是（）A.68 B.π6C π24 D.π6【解】如图10，2==BC AB ，2==SA SC ，6=SB ，在SAB ∆中，由于222SB AB SA =+，故︒=∠90SAB ，同理︒=∠90SCB ，故SB 的中点是三棱锥ABC S -外接球的球心O ，从而半径为26=R ，所以该球的表面积为ππ62642=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=S ，选D.练习4：已知三棱锥ABC -S 的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径.若平面⊥SCA 平面SCB ，BC SB AC SA ==，，三棱锥ABC -S 的体积为9，则球O 的表面积为.图9SCRRE BAO D图10AOS CB A FE D CB 图7（1）（附练习题答案：1、29π=V ；2、π36=S ；3、选A ；4、π36）。

巧解外接球问题如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点.考查学生的空间想象能力以与化归能力.研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用.一、直接法(公式法)1、求正方体的外接球的有关问题例1 〔20XXXX高考题〕若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为______________ .解析：要求球的表面积，只要知道球的半径即可.因为正方体内接于球，所以它的体对角线正好为球的直径，因此，求球的半径可转化为先求正方体的体对角线长，再计算半径.故表面积为27π.例2 一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该正方体的表面积为24，则该球的体积为______________.解析：要求球的体积，还是先得求出球的半径，而球的直径正好是正方体的体对角线，23所以球的半径为3.因此，由正方体表面积可求出棱长，从而求出正方体的体对角线是43π.故该球的体积为2、求长方体的外接球的有关问题例3 〔20XXXX高考题〕一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条1,2,3，则此球的表面积为.棱长分别为解析：关键是求出球的半径，因为长方体内接于球，所以它的体对角线正好为球的直径。

长方体体对角线长为14，故球的表面积为14π.例4、〔20XX全国卷I〕已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积为〔〕.A.16πB.20πC.24πD.32π解析：正四棱柱也是长方体。

由长方体的体积16与高4可以求出长方体的底面边长为2，因此，长方体的长、宽、高分别为2，2，4，于是等同于例3，故选C.3.求多面体的外接球的有关问题例5. 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为98，底面周长为３，则这个球的体积为.解设正六棱柱的底面边长为x，高为h，则有263,1,296,8xxx hh=⎧⎧=⎪⎪∴⎨⎨=⎪⎪=⎩⎩∴正六棱柱的底面圆的半径12r=，球心到底面的距离d=.∴外接球的半径1R==.43Vπ∴=球.小结本题是运用公式222R r d=+求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式.二、构造法(补形法)1、构造正方体例5 〔20XXXX，则其外接球的表面积是_______________.解析：此题用一般解法，需要作出棱锥的高，然后再设出球心，利用直角三角形计算球的半径.而作为填空题，我们更想使用较为便捷的方法，所以三条侧棱两两垂直，使我们很快联想到长方体的一个角，马上构造长方体，且侧棱长均相等，所以可构造正方体模型，如图1，则AC=BC=CD=表面积是9π.(如图1)例3.解据题意可知，该三棱锥的三条侧棱两两垂直，∴把这个三棱锥可以补成一个棱长为的正方体，于是正方体的外接球就是三棱锥的外接球.设其外接球的半径为R，则有()222229R=++=.∴294R=.故其外接球的表面积249S Rππ==.小结一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为a b c、、，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为R ，则有2222R a b c =++.出现“墙角〞结构利用补形知识，联系长方体。

确定多面体外接球球心位置的两种基本方法作者：彭建开来源：《广东教育·高中》2018年第07期多面体外接球问题，是全国卷考试命题的热点，纵观2010年到2017年这八年的全国卷试题都有考外接球（除2014年只有大纲文科卷考），因此掌握好这类问题的解法，也是高三复习备考中的基本要求.解决这类问题，关键是找到球心，而球是均匀的物体，所以几何体的中心就是球心，从这个角度来说，我们确定球心就是要找到几何体的中心. 对于规则的几何体来说，可能找到球心并不难，但对于一些不规则的几何体，找到球心就不是那么容易了. 本文介绍两种常见的找外接球的球心的方法.方法一：补形确定球心在多面体外接球问题中，直棱柱和长方体（包括正方体）的外接球球心不难找到. 如：设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a，顶点都在一个球面上，和的则该球的表面积为（）A. ？仔a2B. ？仔a2C. ？仔a2D. 5？仔a2因为是一个直棱柱，上下底面中心连线段中点就是球心，凡是直棱柱的球心都是如此.很多题目都是以这两个题目作为母题，进行变式.1. 将棱锥补成直棱柱例1.（广州执信中学2017- 2018学年高三期中理11）三棱锥A-BCD中，底面△BCD是边长为3的等边三角形，侧面三角△ACD为等腰三角形，且腰长为，若AB=2，则三棱锥A-BCD外接球表面积是（）A. 4？仔B. 8？仔C. 12？仔D. 16？仔解析：如图1，可知AB⊥平面BCD，所以只需要把三棱锥补成一个直棱柱，当直棱柱与三棱柱的外接球是同一个球，所以只要求出这个直棱柱的外接球的半径就可以了. 而这个球心就在上下底面中心的连线段的中点处，BO2=BC=，OO2=1，∴ BO1=R=2，外接球表面积S=4？仔R2=16？仔，选D.例2.（华中师大附中2017-2018高三期中考试文9）如下图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体外接球的表面积为（）A. 8？仔B. 16？仔C. 32？仔D. 64？仔解析：把三视图还原成直观图后，如图四，底面是个直角三角形，∠C=90°，AA1∥BB1，AA1⊥面ABC，所以要找外接球的球心，只要把这个几何体补成一个直三棱柱，就知道球心O在上下两个底面的外接圆圆心O1，O2连线段的中点上，外接球半径R=OA==2，S=4？仔R2=4？仔（2）2 =32？仔，选C.小结：多面体外接球问题，若可以补形为直棱柱，则补形为直棱柱比较简单.变式练习：1.（执信2017- 2018学年高三期中文）三棱锥S-ABC 及其三视图中的正视图和侧视图如图所示，则该三棱锥的外接球的表面积为（）A. 32？仔B.C.D.2.（2016广州一测10）一个六棱柱的底面是正六边形，侧棱垂直于底面，所有棱的长都为1，顶点都在同一个球面上，则该球的体积为（）A. 20？仔B.C. 5？仔D.2. 补成长方体（正方体）长方体和正方体的外接球问题比较容易，因为二者都是规则的几何体，长方体（包括正方体）的中心就是球心，即正方体的体对角线中点就是球心. 如：长方体的长宽高分别为3，2，1，其顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为.掌握了这些基本题型，很多类似的题就可以转化长方体（包括正方体）来解.例1. 已知直三棱柱ABC-A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，AB=3，AC=4，AB⊥AC，AA1=12，则球O的半径为（）A. B. 2 C. D. 3解析：如图8，因为AC，AB，AA1三条直线相互垂直，所以可以以此三边作为长方体的三条棱，补成一个长方体如图9，则长方体的对角线长l===13，所以外接球的半径R=，故选C.例2. 已知正三棱锥P-ABC，点P，A，B，C都在半径为的球面上，若PA，PB，PC两两互相垂直，则球心到截面ABC的距离为_______.解析：如图10，正三棱锥P-ABC，所以可以把它补成一个正方体如图11，设正方体边长为a，3a2=（2）2，BC=2，CH==，PH==，正方体的球心到H的距离d=R-PH=-=.小结：只要有三条相互垂直的棱，就可以尝试补形为长方体（或正方体）.变式练习：3. 某几何体的三视图如图12所示，则该几何体外接球的表面积为（）A. 4？仔B. 12？仔C. 48？仔D. 6？仔4.（2017佛山一模文）已知三棱锥P-ABC的三条侧棱 PA，PB，PC 两两相互垂直，且PA=2，PB=3，PC=2，则此三棱锥的外接球的体积等于________.方法二：过小圆圆心作垂线确定球心若多面体不是规则图形，则寻找外接球的球心较为困难，但是可以用下面的方法去尝试，一个锥体的外接球球心，一定在过底面这个多边形所在的小圆的圆心的垂线上.例1. 某几何体的三视图如图13所示，正视图为直角三角形，侧视图为等边三角形，俯视图为等腰直角三角形，则其外接球的表面积为（）A. 5？仔B. ？仔C. 8？仔D.解析：直观图如图14所示，外接球球心一定在与三角形ABC的外心垂直的直线上，不妨设球心为O，所以OS=OA=R，（-x）2+12=（）2+x2，x=，R2=，S=4？仔×=，选D.例2. 在四面体S-ABC中，SA⊥平面ABC，∠BAC=120°，SA=AC=2，AB=1，则该四面体的外接球的表面积为（）A. 11？仔B. 7？仔C.D.解析：如图16所示，要找到外接球的球心，考虑到三点A、B、C在球上，所以我们先设经过这三点的小圆圆心为O1，球心O一定在过O1与平面ABC垂直的直线上，设球心为O，过O作OH⊥SA，可知O1O=HA=1，OH=O1A，O1A是三角形ABC外接圆圆心，设它的半径为r，计算得BC=，=2r，r=，所以OA2=R2=OO12+r2=12+（）2=，所以外接球的表面积S=4？仔R2=4？仔×= ，故选C.小结：过锥体的底面所在的小圆圆心作垂线，球心就在此垂线上，再通过计算可以求出半径.变式练习：5. 正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（）A. B. 16？仔 C. 9？仔 D.6. 如图18，已知四棱锥P-ABCD的底面为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，AD=2，PA=PD=AB=2，则四棱锥P-ABCD的外接球的表面积为（）A. 2？仔B. 4？仔C. 8？仔D. 12？仔变式练习答案：1. B；2. D；3. B；4. ；5. A；6. D责任编辑徐国坚。

多面体外接球、内切球半径常见的5种求法如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体,这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点.研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用.公式法例1一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同9一个球面上，且该六棱柱的体积为三，底面周长为3,则这个球的体积为86x=3,f1JQ———解设正六棱柱的底面边长为X,高为则有9后，2'§=6x甘"，]入=右.正六棱柱的底面圆的半径r=~,球心到底面的距离d=—.:.外接球的半径22R=J/+J?=]....v球=—.3小结本题是运用公式R2=r-+d2求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式.多面体几何性质法例2已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4,体积为16,则这个球的表面积是A.16^B.20ttC.24>tD.32i解设正四棱柱的底面边长为X,外接球的半径为R,则有4/=16,解得%=2, 2R=a/22+22+42=2^6,:.R=£.这个球的表面积是4*=24^,选C.小结本题是运用''正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的.补形法例3若三棱锥的三个侧棱两两垂直，且侧棱长均为右，则其外接球的表面积是—.解据题意可知，该三棱锥的三条侧棱两两垂直，...把这个三棱锥可以补成一个棱长为73的正方体，于是正方体的外接球就是三棱锥的外接球.设其外接球的半径为R,则有（27?）2=（、厅『+（、行『+（^3）2=9./.R2=|,故其外接球的表面积S=4*=9兀.小结一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为0、/?、c,则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为A,则有2R=7a2+b2+c2.寻求轴截面圆半径法例4正四棱锥S-ABC。

快速解决巧解外接球问题如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点.考查学生的空间想象能力以及化归能力 .研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用.一、直接法 (公式法 )1、求正方体的外接球的有关问题【例 1】（上海中学）若棱长为 3 的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为______________ .【例 2】（交大附中）一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该正方体的表面积为24 ，则该球的体积为______________.2、求长方体的外接球的有关问题【例 3】（复兴高级中学）一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为1,2,3，则此球的表面积为______________.【例 4】（七宝中学）已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积为（）.A.16B. 20C.24D.323.求多面体的外接球的有关问题【例 5】（上海实验中学）一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶9点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为8 ，底面周长为3，则这个球的体积为______________. .二、构造法 (补形法 )1、构造正方体【例 6】（ 2015 年上海高考题）若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为 3 ，则其外接球的表面积是_______________.【例 7】（上海中学）若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为 3 ，则其外接球的表面积是_______________.【小结】一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为a、b、c ，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为R，则有 2Ra2b2c2.出现“墙角”结构利用补形知识，联系长方体。

简单多面体外接球球心得确定一、知识点总结1。

由球得定义确定球心⑴长方体或正方体得外接球得球心就是其体对角线得中点、⑵正三棱柱得外接球得球心就是上下底面中心连线得中点、⑶直三棱柱得外接球得球心就是上下底面三角形外心连线得中点.⑷正棱锥得外接球球心在其高上,具体位置可通过建立直角三角形运用勾股定理计算得到、⑸若棱锥得顶点可构成共斜边得直角三角形,则公共斜边得中点就就是其外接球得球心.2、构造长方体或正方体确定球心⑴正四面体、三条侧棱两两垂直得正三棱锥、四个面都就是直角三角形得三棱锥。

⑵同一个顶点上得三条棱两两垂直得四面体、相对得棱相等得三棱锥。

⑶若已知棱锥含有线面垂直关系,则可将棱锥补成长方体或正方体。

⑷若三棱锥得三个侧面两两垂直,则可将三棱锥补成长方体或正方体。

3.由性质确定球心利用球心与截面圆圆心得连线垂直于截面圆及球心与弦中点得连线垂直于弦得性质,确定球心、二:常见几何体得外接球小结1、设正方体得棱长为,求(1)内切球半径;(2)外接球半径;(３)与棱相切得球半径、(1)截面图为正方形得内切圆,得;(２)与正方体各棱相切得球:球与正方体得各棱相切,切点为各棱得中点,如图4作截面图,圆为正方形得外接圆,易得。

(3)正方体得外接球:正方体得八个顶点都在球面上,如图５,以对角面作截面图得,圆为矩形得外接圆,易得、2、正四面体得外接球与内切球得半径(正四面体图1 图2图3棱长为,也就是球心)内切球半径为:外接球半径为:三:常见题型1、已知各顶点都在同一个球面上得正四棱柱得高为４,体积为16,则这个球得表面积就是解析:本题就是运用“正四棱柱得体对角线得长等于其外接球得直径”这一性质来求解得、补形法2。

若三棱锥得三个侧棱两两垂直,且侧棱长均为,则其外接球得表面积就是 .解析:一般地,若一个三棱锥得三条侧棱两两垂直,且其长度分别为,则就可以将这个三棱锥补成一个长方体,于就是长方体得体对角线得长就就是该三棱锥得外接球得直径.设其外接球得半径为,则有.３.正四棱锥得底面边长与各侧棱长都为,点都在同一球面上,则此球得体积为、解析:寻求轴截面圆半径法4.在矩形中,,沿将矩形折成一个直二面角,则四面体得外接球得体积为( )解析:确定球心位置法四:练习1、已知点、就是球表面上得点,平面,四边形就是边长为得正方形、若,则得面积为多少?2、设三棱柱得侧棱垂直于底面,所有棱长都为,顶点都在同一个球面上,则该球得表面积为多少？３、三棱锥中,平面,,就是边长为１得正三角形,则其外接球得表面积为多少?４、点在同一个球得球面上,,,若四面体体积得最大值为,则这个球得表面积为多少？5、四面体得三组对棱分别相等,棱长为,求该四面体外接球得体积。

简单多面体外接球球心的确定一、知识点总结1.由球的定义确定球心⑴长方体或正方体的外接球的球心是其体对角线的中点⑵正三棱柱的外接球的球心是上下底面中心连线的中点⑶直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心连线的中点⑷正棱锥的外接球球心在其高上，具体位置可通过建立直角三角形运用勾股定理计算得到⑸若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形，则公共斜边的中点就是其外接球的球心2 .构造长方体或正方体确定球心⑴正四面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥、四个面都是直角三角形的三棱锥⑵同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、相对的棱相等的三棱锥⑶若已知棱锥含有线面垂直关系，则可将棱锥补成长方体或正方体⑷若三棱锥的三个侧面两两垂直，则可将三棱锥补成长方体或正方体3.由性质确定球心利用球心0与截面圆圆心O i的连线垂直于截面圆及球心0与弦中点的连线垂直于弦的性质，确定球心.二：常见几何体的外接球小结1、设正方体的棱长为a，求(1)内切球半径；(2)外接球半径；(3)与棱相切的球半径。

(1 )截面图为正方形EFGH的内切圆，得R -24作截面图, (2)与正方体各棱相切的球：球与正方体的各棱相切，切点为各棱的中点，如图圆0为正方形EFGH的外接圆，易得R竝a。

2(3)正方体的外接球：正方体的八个顶点都在球面上，如图5，以对角面AA1作截面图得，圆0 为矩形AA1C1C的外接圆，易得R A,0 J^a。

22、正四面体的外接球和内切球的半径（正四面体棱长为 三：常见题型解析：本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的 补形法2.若三棱锥的三个侧棱两两垂直，且侧棱长均为 J 3，则其外接球的表面积是 解析： 一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为 将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径 外接球的半径为R ，则有2R V a 2 b 2 c 2 .D1 t ! i Q I ■ ID "■'A f —■・ Cl G 内切球半径为:——a12 外接球半径为: 日0 L ,, a , O 也是球心）1.已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为 4, 体积为16,则这个球的表面积是a b 、c ，则就可以 .设其。

外接球问题方法总结外接球问题方法总结外接球问题，是立体几何的一个重点，也是高考考察的一个热点，当然这热点不是“重点”，接下来小编搜集了外接球问题方法总结，欢迎查看。

简单多面体外接球问题是立体几何中的难点和重要的考点，此类问题实质是解决球的半径尺或确定球心0的位置问题，其中球心的确定是关键。

（一）由球的定义确定球心在空间，如果一个定点与一个简单多面体的所有顶点的距离都相等，那么这个定点就是该简单多面体的外接球的球心。

由上述性质，可以得到确定简单多面体外接球的球心的如下结论。

结论1：正方体或长方体的外接球的球心其体对角线的中点。

结论2：正棱柱的外接球的球心是上下底面中心的连线的中点。

结论3：直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心的连线的中点。

结论4：正棱锥的外接球的球心在其高上，具体位置可通过计算找到。

结论5：若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形，则公共斜边的中点就是其外接球的球心。

（二）构造正方体或长方体确定球心长方体或正方体的外接球的球心是在其体对角线的'中点处。

以下是常见的、基本的几何体补成正方体或长方体的途径与方法。

途径1：正四面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥、四个面都是是直角三角形的三棱锥都分别可构造正方体。

途径2：同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、相对的棱相等的三棱锥都分别可构造长方体和正方体。

途径3：若已知棱锥含有线面垂直关系，则可将棱锥补成长方体或正方体。

途径4：若三棱锥的三个侧面两两垂直，则可将三棱锥补成长方体或正方体。

（三）由性质确定球心利用球心O与截面圆圆心O1的连线垂直于截面圆及球心O与弦中点的连线垂直于弦的性质，确定球心。