小学四年级奥数竞赛班讲义 第14讲：整数与数列(一)

根据加法原理，如果登上第（n—1）级和第 （n—2）级分别有a种和b种方法，则登上第n级有 （a＋b）种方法。
因此只要知道登上第1级和第2级台阶各有几种 方法，就可以依次推算出登上以后各级的方法数。 由登上第1级有1种方法，登上第2级有2种方法，可 得出下面一串数列：
1，2，3，5，8，13，21，34，55，89。 其中从第三个数起，每个数都是它前面两个数 之和。登上第10级台阶的方法数对应这串数的第10 个，即89。
例1： 小明要登上10级台阶，他每一步只能登1级或
2级台阶，他登上10级台阶共有多少种不同的登法？
登上第1级台阶只有1种登法。登上第2级台阶 可由第1级台阶上去，或者从平地跨2级上去，故有 2种登法。登上第3级台阶可从第1级台阶跨2级上去， 或者从第2级台阶上去，所以登上第3级台阶的方法 数是登上第1级台阶的方法数与登上第2级台阶的方 法数之和，共有1+2＝3（种）……一般地，登上第 n级台阶，或者从第（n—1）级台阶跨一级上去， 或者从第（n—2）级台阶跨两级上去。
到B点，其中经过C点和D点的不同路线共有多少条？
本题和前例稍不同。因为限定了必须经过的点， 可将从A到B分为三段，每段都应重新编号。如右下 图所示，从A到C有3种走法，从C到D有4种走法，从 D到B有6种走法。因为从A到B是分几步走的 ，所以应该用乘法原理，不同 的路线共有
3×4×6＝72（条）。
Thank you
6.右上图是八间房子的示意图，相邻两间房子 都有门相通。从A点穿过房间到达B处，如果只能从 小号码房间走向大号码房间，那么共有多少种不同 的走法？
6、最大的骄傲于最大的自卑都表示心灵的最软弱无力。——斯宾诺莎 7、自知之明是最难得的知识。——西班牙 8、勇气通往天堂，怯懦通往地狱。——塞内加 9、有时候读书是一种巧妙地避开思考的方法。——赫尔普斯 10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。——笛卡儿

目录◆第一讲找规律（一） (2)◆第二讲找规律（二） (5)◆第三讲长方形和正方形（一） (8)◆第四讲长方形和正方形（二） (11)◆第五讲算式谜（一） (14)◆第六讲算式谜（二） (17)◆第七讲植树问题（一） (19)◆第八讲植树问题（二） (22)◆能力测试（一） (25)◆第九讲和差问题（一） (28)◆第十讲和倍问题（一） (31)◆第十一讲和倍问题（二） (33)◆第十二讲差倍问题 (35)◆第十三讲年龄问题（一） (38)◆第十四讲年龄问题（二） (41)◆第十五讲还原问题（一） (43)◆第十六讲还原问题（二） (45)◆能力测试（二） (48)◆第17讲周期问题（一） (2)◆第18讲周期问题（二） (7)◆第19讲假设问题（一） (12)◆第20讲假设问题（二） (16)◆第21讲计数问题（一） (17)◆第22讲计数问题（二） (19)◆第23讲容斥问题（一） (23)◆第24讲容斥问题（二） (26)◆能力测试（一） (26)◆第25讲行程问题（一） (28)◆第26讲行程问题（二） (31)◆第27讲平均数问题 (35)◆第28讲推理问题（一） (37)◆第29讲推理问题（二） (39)◆第30讲巧算（一） (40)◆第31讲巧算（二） (45)◆第32讲巧算（二） (45)◆第33讲巧算（三） (45)◆第34讲等量代换 (45)◆第35讲拼拼算算 (45)◆能力测试（二） (63)第一讲 找规律（一）事物的发展中有规律的，只有认为观察事物，找到事物发展变化的规律，才能深入地了解和掌握它，从而找到解决问题的方法和途径。

在数学竞赛中，常常出现按规律填数的题目，找规律的方法是根据已知数的前后（可上下）之间的联系，找出其中的规律。

例题与方法例1． 请找出下列各组数排列的规律，并根据规律在括号里填上适当的数。

（1）1，5，9，13，（ ），21，25。

（2）3，6，12，24，（ ），96，192。

知识储备一、 数列找规律的几种常用方法1. 相邻两项求差。

若差相等，此数列为等差数列，根据等差数列的通项公式即可求该数列的第n 项；若由差排列成的数列B 形成一个等差数列，原数列A 为二级等差数列，求数列A 第n 项的方法比较复杂，首先求数列B 的前n-1项的和，然后将此和加上数列A 的首项即可。

例1.1 ,36,25,16,9,4,1求该数列的第10项。

分析：相邻两项求差，差形成的数列B 为： ,11,9,7,5,3，这是一个公差为2的等差数列。

数列B 的前9项的和为99911=⨯，那么原数列的第10项为100199=+。

。

也就是一些在各大杯赛中经常出现的数列，孩子要比较熟悉。

每一项都是相邻前两项之和。

在09年迎春杯决赛中年组的试题中以填空题（12分）的形式出现了叠加数列。

最为著名的是斐波那契数列，又名兔子数列，,34,21,。

（2） 平方数列，即该数列中的第n 项为2n 。

此处要求孩子熟记20以内的平方数。

另外有两个特殊的平方数在杯赛中常出现，1936442=，2025452=。

另外平方数有个重要的性质：(a ×b)2=a 2×b 2。

例1．1中的数列实际上就是一个平方数列，根据这一点，第10项直接可得1001010=⨯。

3. 复合数列。

当数列的整体规律不明显的时候，我们可以把数列分组，例如隔项看——把奇数项和偶数项分开来考虑。

例1.2 求 ,7,5,5,4,3,3,1,2的第100项。

分析：原数列的奇数项构成的数列A 为： ,5,4,3,2，这是一个等差数列。

原数列的偶数项构成的数列B为：,7,5,3,1，这也是一个等差数列。

原数列中的第100项应该是数列B的第50项，也就是⨯1=+。

(-99502)1在中年级的杯赛考试中常出现的数列也就是上面提到过的几类数列，其中等差数列占据首要的地位，在09年的迎春杯、希望杯、学而思杯中均出现了与等差数列有关的计算题。

二、等差数列的三个重要公式在三年级秋季班初步认识了等差数列，要求掌握求和公式；三年级的春季班专门学习了等差数列的综合应用，此处复习一下等差数列中的三个公式：（1）通项公式：第n项=首项+（n-1）×公差。

如何更好的集中注意力 中 目的明确 (有预习) 固定学习时间 不打断的学习
整数与数列（一）
本讲主线 1. 等差数列及常用求和公式. 2. 图形、数列中的公差
例如， 例 ，2、5、8、11、14、17 17、 14、 11、 8、 5、 2 和＝(首＋末)×项数÷2 2. 求和： 和
和＝中间项×项数
项数＝ 项数 (末项－首项 末项 首项)÷公差＋1
3. 关于求和：
⑴ 1＋2＋3＋…＋n＝(1＋n)×n÷2
⑵ 1＋3＋5＋7＋9…＝项数×项数 ⑶ 2＋4＋6＋8＋ …＋2n＝
【课前小练习】(★★) 1. 1、3、5、7、9、…97、99，这个数列一共有____项. 2. 4、7、10、13、16、19…这个数列的第25项是____. 3. 3 4 5 6 76 77 78=____

【超常大挑战】(★★★★★) 1 1 2 1 1 2 3 2 1 1 2 3 4 3 已知一串分数 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 1 2 2 2 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 11 求: 是这串分数的第几个分数？ 100
【今 讲题】例2，例3，例4，超常 【今日讲题】例 ，超常大挑战 挑战 【讲题心得】 ____________________________________________________________________. 【家长评价】 __________________________________________________________________. 2
【例5】(★★★) ⑴ 在1~100这一百个自然数中，所有能被3整除的数的和是多少？ ⑵ 在1~100这一百个自然数中，所有不能被 这 个自然数中 有 能被9整除的数的和是多少？ 整除的数的和是多少