温州市直五校协作体联盟2016届九年级第二次模拟考试数学试卷参考公式：抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，卷Ⅰ一、 选择题(本题有10小题，每小题4分，共40分，每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，均不给分)1．在数-2，3，0，2中，其中最大的是( ▲ ) A ．-2B ．3C ．0D ．22. 某几何体的三视图如图所示，则此几何体是( ▲ ) A ．圆锥 B ．圆柱 C ．长方体 D ．四棱柱3. 计算3a a -+的结果为( ▲ ) A ．a 2 B ．2a -C ．4aD ．4a -4．如图所示的几何图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的个数是( ▲ )A ．4B ．3C ．2D ．15. 某校7名初中男生参加引体向上体育测试的成绩分别为：8，5，7，5，8，6，8，则这组数据的众数和中位数分别为( ▲ ) A ．6，7 B ．8，7 C ．8，6 D ．5，76. 分式方程233x x=-的解是( ▲ ) A ．0x = B ．3x = C ．5x = D ．9x =7．已知扇形的弧长为6π，圆心角为120°，则它的半径是 ( ▲ )A ．3B ．6C ．9D ．188．不等式组21741x x +>⎧⎨-≥-⎩的解在数轴上表示正确的是( ▲ )A ．B ．C ．D ．9．如图，已知点A (1,1)关于直线y =kx 的对称点恰好落在 x 轴的正半轴上，则k 的值是( ▲ ) A ．12 B ．21- C ．22- D ．2210．如图所示，正方形ABCD 的顶点B ，C 在x 轴的正半轴(第2题图)(第9题图)上，反比例函数)0(≠=k xky 在第一象限的图象经过顶 点A (m ，m +3)和CD 上的点E ，且OB -CE =1，过点E 的 直线l 交 x 轴于点F ，交y 轴于点G （0，-3），则OF 的 长为( ▲ ) A ．4.5B ．5C ．5.4D ．6卷Ⅱ二、 填空题(本题有6小题，每小题5分，共30分) 11．分解因式：92-a = ▲ ．12．已知地球表面陆地面积与海洋面积的比约为3：7.如果宇宙中飞来一块陨石落在地球上，则落在陆地上的概率是 ▲ ．13．如图，AD ∥BE ∥CF ，直线l 1，l 2与这三条平行线分别交于点A ，B ，C 和点D ，E ，F ，23AB BC =，DE =6，则EF = ▲ ．14．如图，⊙O 的直径AB 与弦CD 相交于点E ，AB =5，AC =3，则tan ∠ADC = ▲ ．15. 如图，O 为正方形ABCD 两对角线AC 、BD 的交点，△CDE 为Rt △，∠CED =90°，∠ECD =30°，若正方形ABCD 的边长为4，则OE = ▲ ． 16. 如图，已知抛物线228y x x =-++与x 轴交于点A 、B两点，点C 是这个抛物线上一点且点C 在第一象限，连 接OC 、AC ，点D 是OC 的中点，连结BD 并延长交AC 于点E ．当tan ∠CAB =2时，则△CDE 的面积为 ▲ .(第13题图)(第14题图)(第16题图)(第15题图)三、解答题(本题有8小题，共80分．解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程) 17．(本题10分) (1)计算:(2)化简：)1(4)2(2a a ---18．(本题8分) 如图，已知：在△AFD 和△CEB 中，点A ， E ，F ，C 在同一直线上，AE =CF ，∠B =∠D，AD ∥BC ， 连结DE 、BF ．(1)求证：△ADF ≌△CBE ．(2)判断四边形DEBF 的形状，并说明理由.19. (本题8分)图1，图2是两张形状、大小完全相同的6×6方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，点A ，B 在小正方形的顶点上．(1)在图1中画出一个以点A ，B 为顶点的平行四边形，且面积为6(要求所作的平行四边形各顶点都在格点上)．(2)在图2中画出一个以点A ，B 为顶点的菱形(要求所作菱形各顶点都在格点上)；20．(本题8分)某私立学校招聘一名数学教师，学校对甲、乙、丙三位候选人进行了三项能力测试，各项测试成绩满分为100分，根据结果择优录用，三位候选人的各项测试 成绩如下表所示：(1)如果根据三项测试的平均成绩，谁将被 录用，说明理由；(2)根据实际需要，学校将教学、科研、组 织三项能力测试得分按5：3：2的比例 确定每人的成绩，谁将被录用，说明理 由.21．(本题10分)如图，⊙O 经过△ABC 的顶点A ，B ，与边AC 、BC 分别交于点D 、E 两点，连接BD 、AE ，且∠ADB =∠CDE (1)求证：△ABE 是等腰三角形； (2)若AB =45，BE =8，求⊙O 的半径.测试项目 测试成绩 甲 乙 丙 教学能力 85 73 73 科研能力 70 71 65 组织能力647284111224cos302-+-︒+-(第18题图)DOCA BE(第21题图)(第19题图1) (第19题图2)22.(本题10分)楠溪江百丈瀑景区门票价格50元/人，景区为了提高知名度，吸引更多的游客，对门票价格进行动态管 理，非节假日打a 折，节假日期间，10人以下(包括10人) 不打折，10人以上超过10人的部分打b 折，设游客为x 人，门票费用为y 元，非节假日门票费用y 1(元)及节假日 门票费用y 2(元)与游客x (人)之间的函数关系如图所示. (1)a = ▲ ，b = ▲ ；(2)直接写出y 1、y 2与x 之间的函数关系式；(3)导游小胡4月20日(非节假日)带A 旅游团，5月2日(五一劳动节)带B 旅游团到百丈瀑景区旅游，两团共计100人，两次共付门票费用3800元，求A 、B 两个旅游团 各多少人？23．(本题12分)如图，已知抛物线212y x bx c =-++图像经过(-1,4)，且与y 轴交于点 C (0,5).(1)求抛物线的解析式；(2)若P (m ,m +2)是抛物线上位于第一象限内的点，D 是线段 OC 上的一点(不与O 、C 重合)，过点D 分别作DE ∥OP 交CP 于E ，DF ∥CP 交OP 于F . ①求证：四边形DEPF 是矩形；②连接EF ，线段EF 的长是否存在最小值？若存在，求 出EF 的最小值，若不存在，请说明理由.24．(本题14分)已知：如图①，在Rt △ABC 中，∠ACB =90º，AC =15，BC =20，CD ⊥AB ，(第23题图)第22题垂足为D ．点E 是点D 关于AC 的对称点，连接AE 、CE ． (1)求CD 和AD 的长；(2)若将△ACE 沿着射线AB 方向平移，设平移的距离为m (平移距离指点A 沿AB 方向 所经过的线段长度)．当点E 分别平移到线段AC 、BC 上时，求m 的值．(3)如图②，将△ACE 绕点A 顺时针旋转一个角α(0°＜α＜180°)，记旋转中的△ACE 为 △AC′E′，在旋转过程中，设C′E′所在的直线与直线BC 交于点P 与直线AB 交于点 Q ．是否存在这样的P 、Q 两点，使△BPQ 为等腰三角形？若存在，求出此时AQ的长；若不存在，请说明理由．图① 图②数学答题卷一、 选择题(本题有10小题，每小题4分，共40分，每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，均不给分)题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10答案二、填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分）11．___________________________ 12．____________________ 13．_______________ 14．___________________________ 15．____________________ 16．_______________ 三、解答题（本题有8小题，共80分．解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）17．（1）计算（5分）: （2）化简（5分）：)1(4)2(2a a ---18．（8分）(第24题图)111224cos302-+-︒+-(1) (2)19．(本题8分) （1）（2）20．(本题8分) （第18题(2)）（第18题(1)）21．(本题10分) （1）（2）22．（本题10分）（1）a= ，b= ；（2）（3）（第21题）DOC AB E23．（本题12分） （1） （2）24.（本题14分）； （1）（2）（3）（第23题）……………………………………线……………………………………………………（第24题图1）参考答案一、 选择题(本题有10小题，每小题4分，共40分，每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，均不给分) 1-10、DBACB DCABC二、填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分）11．(a+3)(a-3) 12. 0.3 13．9 14．3415. 26+ 16.85三、解答题（本题有8小题，共80分．解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程） 17．（本题10分） (1)计算:=131234222+-⨯+……………(4分) =1 ……………………………………(1分) (2)化简：)1(4)2(2a a ---=24444a a a -++-………………(4分) =2a …………………………………(1分) 18.(本题8分)（1）∵AD ∥BC ∴∠A=∠C ………(1分)∵AE=CF ∴AF=CE …………(1分) 又∵∠B=∠D∴△AFD ≌△CEB(AAS) ………(2分) （2）四边形DEBF 为平行四边形……(1分)∵△AFD ≌△CEB(AAS)∴DF=EB ∠DFA=∠DEB ……(1分) ∴DF 平行且等于BE ……(1分)∴四边形DEBF 为平行四边形…(1分)19. (本题8分) 如图：其他画法满足条件均得分，（1）（2）小题各4分（第24题图2）111224cos302-+-︒+-20．(本题8分)（1）甲的平均成绩为（85+70+64）÷3=73乙的平均成绩为（73+71+72）÷3=72丙的平均成绩为（73+65+84）÷3=74∴丙的平均成绩最好，候选人丙将被录用；………………………(4分) （2）甲的测试成绩为：（85×5+70×3+64×2）÷（5+3+2）=76.3乙的测试成绩为：（73×5+71×3+72×2）÷（5+3+2）=72.2丙的测试成绩为：（73×5+65×3+84×2）÷（5+3+2）=72.8∴甲的平均成绩最好，候选人甲将被录用；………………………(4分)21．(本题10分)（1）证明：∵∠ABE+∠ADE=180°又∵∠CDE+∠ADE=180°∴∠ABE=∠CDE∵∠ADB=∠AEB又∵∠ADB=∠CDE∴∠ABE=∠AEB∴△ABE为等腰三角形………………………(5分)（2）连结AO并延长AO交BE于点F，交⊙O于点G∵AB=AE∴BG=EG∴∠BAF=∠EAF∴AF⊥BE，BF=EF∴AF=84)54(2222=-=-BFAB连结BO，设半径为x，则BO=x,OF=8-x∴2224)8(+-=xx∴x=5即⊙O的半径为5 ………………………(5分)22.(本题10分)（1）a= 6 ，b= 8 ；................................(4分)（2）130y x=..........................................(1分)DOCAB E()()2500104010010x x y x x ≤≤⎧⎪=⎨+〉⎪⎩...............................(2分) （3）设B 团有m 人，则A 团的人数为（100-m ）人，当100≤≤m 时，50m +30（100-m ）=3800，解得m =40（不符，舍去）............................(1分)当m>10时，500+40（m -10）+30（100-m ）=3800解得m =70，则100-m =30答：A 团有30人，B 团有70人........................(2分)23．(本题12分)（1）根据题意得：1425b c c⎧=--+⎪⎨⎪=⎩ ...........................(2分) 解得：125b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩所以抛物线解析式为211522y x x =-++.....(2分) （2）①把P （m ,m +2）代入211522y x x =-++ 得m =-3（舍去）或m =2得点P 的坐标为（2，4）...............................(2分)∵DE //OP , DF //CP ∴四边形DEPF 是平行四边形.....(1分) 由C (0，5)， P （2，4）可得CP =5, OP =25, OC =5 ∵222CP OP OC += ∴∠CPO =900∴四边形DEPF 是矩形..................................(2分)②存在；连接DP∵四边形DEPF 是矩形 ∴EF =DP当DP ⊥OC 时，DP 最小，∵P （2，4） ∴DP 的最小值是2，∴EF 的最小值是2.....................................(2分)24．(本题14分)（1）CD =12，AD =9；..................... (4分)（2）如图：由对称点性质可知，∠1=∠2由平移性质可知：AC ∥A ′C ′，∠1=∠4 AE=A ′E ′①当点E ′落在AC 上时，∵AC ∥A ′C ′，∠1=∠2∴∠3=∠4∴∠3=∠2∴AA ′=A ′E ′=9；................ (2分)②当点E ′落在BC 上时，∵AC ∥A ′C ′∴∠6=∠2∵∠1=∠2，∠1=∠5，∴∠5=∠6又易知A ′C ′⊥BC∴△A ′BE ′为等腰三角形，∴A ′B= A ′E ′=9∴AA ′=25-9=16 ................. (2分)顺时针旋转一个角α（0°＜α＜180°）(3).存在，理由如下：在旋转过程，等腰△BPQ 依次有下列4种情形： ①如图1，当PB=BQ 时，得∠2=2∠Q∵∠1=∠3+∠Q ∠1=∠2∴∠3=∠Q ∴△A QC′为等腰三角形∴C′Q=AC′=15 ∴E ′Q =12+15=2710927922=+=AQ ................. (2分)②如图2，当PQ=QB 时，得∠P=∠B∵∠C′=∠B ∴∠C′=∠P ∴∠C′=∠P=∠1 可得△AQC′为等腰三角形 ∴C′Q=A Q设AQ 为x ，则C′Q =12-x由勾股定理得：2229(12)x x =+-解得x=758 即AQ=758 ................. (2分)③如图3，当BP=BQ 时，∵∠C′=∠B 可得△AQC′为等腰三角形∴C′Q=AC′=15 ∴QE ′=3 ∵AE ′=9∴AQ=1039322=+=AQ ............ (1分)④如图4，当BP=PQ 时，∵∠C′=∠B 可得△AQC′为等腰三角形∴AQ=AC=15........... (1分)。
1海 淀 区 九 年 级 第 二 学 期 期 末 练 习一、选择题〔此题共30分，每题3分〕1．2022年冬奥会由北京和张家口两市联合承办．北京到张家口的自驾距离约为196 000米．196 000用科学记数法表示应为A ．1.96×105B ．19.6×104C ．1.96×106D ．0.196×1062．中华文化底蕴深厚，地方文化活动丰富多彩.下面的四幅简笔画是从我国地方文化活动中抽象出来的，其中是轴对称图形的是A ．B ．C ．D ． 3．以下计算正确的选项是A ．632a a a =⋅B ．842a a a ÷=C ．623)(a a = D ．a a a 632=+4．如图，边长相等的正方形、正六边形的一边重合， 那么1∠的度数为 A ．20° B ．25° C ．30° D ．35° 5．如图，数轴上有M ，N ，P ，Q 四个点，其中点 P 所表示的数为a ，那么数3a -所对应的点可能是 A ．M B ．N C ．P D ．Q6分数 80 85 90 95 人数1432这10名学生所得分数的平均数是A ．86B ．88C ．90D ．927．如图，A ，B ，C ，D 为⊙O 上的点， AB OC ⊥于点E ，假设=30CDB ∠︒，2OA =，那么AB 的长为A 3B ．23C ．2D ．48套餐 类型 月费〔元/月〕 套餐内包含内容套餐外资费国内数据流量〔MB 〕 国内主叫〔分钟〕 国内流量 国内主叫套餐1 18 100 0 元/MB元/分钟套餐2 28 100 50 套餐3 38 300 50 套餐44850050小明每月大约使用国内数据流量200MB ，国内主叫200分钟，假设想使每月付费最少，那么NMQPE BCOAD他应预定的套餐是A ．套餐1B ．套餐2C ．套餐3D ．套餐4 9．随着“互联网+〞时代的到来，一种新型的打车方式受到 群众欢送．该打车方式采用阶梯收费标准．打车费用y 〔单 位：元〕及行驶里程x 〔单位：千米〕的函数关系如图所 示． 如果小明某次打车行驶里程为20千米，那么他的打车费用为A ．32元B ．34元C ．36元D ．40元10．如图1，抛物线2y x bx c =-++的顶点为P ，及x 轴交于A ，B 两点．假设A ，B 两点间的距离为m ， n 是m 的函数，且表示n 及m 的函数关系的图象大致如图2所示，那么n 可能为A ．PA AB +B ．PA AB -C ．AB PA D ．PAAB二、填空题〔此题共18分，每题3分〕11．当分式的值为0时，x 的值为 ． 12．分解因式：2312x -=______ _________． 13．据传说，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成两个相似三角形，来测量金字塔的高度. 如下图，木杆EF 的长为2m ，它的影长FD 为3m ，测得OA 为201m ，那么金字塔的高度BO 为______ _ m ．14．请写出一个图象过〔2，3〕和〔3，2〕两点的函数解析式______ ____． 15．在某次试验数据整理过程中，某个事件发生的频率情况如下表所示．试验次数 10 50 100 200 500 1000 2000 事件发生的频率估计这个事件发生的概率是_________________(准确到0.01)，试举出一个随机事件的例子，使它发生的概率及上述事件发生的概率大致一样： ______ _____________________________________________________________________________． 16.阅读下面材料：实际生活中，有时会遇到一些“不能接近的角〞，如图中的P ∠，我们可以采用下面的方 法作一条直线平分P ∠． 如图，〔1〕作直线l 及P ∠的两边分别交于点A ，B ，分别作PAB ∠和PBA ∠的角平分线，两条角平分线相交于点M ；〔2〕作直线k 及P ∠的两边分别交于点C ，D ，分别作PCD ∠和PDC ∠的角平分 线，两条角平分线相交于点N ； 〔3〕作直线 MN ． 所以，直线MN 平分P ∠.请答复：上面作图方法的依据是 _________________ ___． 三、解答题〔此题共72分，第17～26题，每题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分〕 17．计算：101()(32)124cos 453----+-+︒．18．解不等式组并将解集在数轴上表示出来．19．关于x 的方程2670x x k -++=有两个不相等的实数根． 〔1〕求k 的取值范围；〔2〕当k 为正整数时，求方程的根．20．：如图，在△ABC 中，∠ACB =90︒，点D 在BC 上，且BD =AC ，过点D 作DE ⊥AB 于点E ，过点B 作CB 的垂线，交DE 的延长线于点F ．求证：AB =DF ．21．为了提升阅读速度，某中学开设了“高效阅读〞课．小静经过2个月的训练，发现自己现在每分钟阅读的字数比原来的2倍还多300字，现在读9100字的文章及原来读3500字的文章所用的时间一样．求小静现在每分钟阅读的字数.22．如图，在△ABC 中，∠ACB =90︒，CD 为AB 边上的中线，过点D 作DE BC ⊥于E ，过点C 作AB 的平行线及DE 的延长线交于点F ，连接BF ，AE ．〔1〕求证：四边形BDCF 为菱形；〔2〕假设四边形BDCF 的面积为24，tan ∠EAC =23，求CF 的长.23．在平面直角坐标系xOy 中,直线1l ：及双曲线的一个交点为(,1)A m .〔1〕求m 和b 的值；〔2〕过(1,3)B 的直线交1l 于点D ，交y 轴于点E . 假设2BD BE =，求点D 的坐标.24．如图，在△ABC 中，∠C =90°，点E 在AB 上，以AE为直径的⊙O 切BC 于点D ，连接AD ． 〔1〕求证：AD 平分∠BAC ； 〔2〕假设⊙O 的半径为5，sin ∠DAC =55，求BD 的长.25．据报道，2021 年我国每千名儿童所拥有的儿科医生数为〔将0～14岁的人群定义为儿童〕，远低于世界主要兴旺国家，儿科医生存在较大缺口．根据2000-2021 年报道的相关数据，绘制统计图表如下：全国人口、儿童人口、儿科医生及每千名儿童拥有的儿科医生数统计表年份全国人口儿童人口儿科医生每千名儿童拥有的E ODBAC〔亿人〕〔亿人〕〔万人〕儿科医生数2000 2005 2021 20212021 年全国人口年龄构成统计图根据以上信息解答以下问题： （1）直接写出扇形统计图中m 的值；（2）根据统计表估计2021年我国人口数约为 亿人；〔3〕假设2021年我国儿童占总人口的百分比及2021 年一样，请你估算到2021年我国儿科医生需比2021 年增加多少万人，才能使每千名儿童拥有的儿科医生数到达.26. 小明在做数学练习时，遇到下面的题目：小明的计算结果及参考答案不同，因此他对参考答案产生了质疑．下面是他的分析、 探究过程，请你补充完整．第一步，读题，并标记题目条件如下：在△ABC 中，D 为AC 边上一点，①AB=AC ；②DBA A ∠=∠；③BD=BC ；④CD =2； ⑤△BDC 的周长为14．第二步，依据条件③、④、⑤，可以求得BD BC ==__________； 第三步，作出△BCD ，如图2所示；题目：如图1，在△ABC 中，D 为AC 边上一点，AB=AC ， DBA A ∠=∠，BD=BC .假设CD =2，△BDC 的周长为14， 求AB 的长. 参考答案：AB =8.第四步，依据条件①，在图2中作出△ABC ；〔尺规作图，保存作图痕迹〕BDC图2第五步，对所作图形进展观察、测量，发现及标记的条件_____不符〔填序号〕，去 掉这个条件，题目中其他局部保持不变，求得AB 的长为__________.27.：点(,)P m n 为抛物线24y ax ax b =-+〔0a ≠〕上一动点．（1） 1P 〔1，1n 〕，2P 〔3，2n 〕为P 点运动所经过的两个位置，判断1n ，2n 的大小，并说明理由； （2） 当14m ≤≤时，n 的取值范围是14n ≤≤，求抛物线的解析式.28. ：AB BC =，90ABC ∠=︒.将线段AB 绕点A 逆时针旋转α〔090α︒<<︒〕得 到线段AD .点C 关于直线BD 的对称点为E ，连接AE ，CE . 〔1〕如图， ①补全图形；②求AEC ∠的度数；教师：“质疑是 开启创新之门 的钥匙！〞小明：“该题目的条件存在自相矛盾的地方.假设去掉矛盾的条件后，便可求出AB 的长.〞〔2〕假设2AE =，31CE =-，请写出求α度数的思路.〔可以不写出计算结果．．．．．．．．．〕29. 对于某一函数给出如下定义：假设存在实数p ，当其自变量的值为p 时，其函数值等于p ，那么称p 为这个函数的不变值. 在函数存在不变值时，该函数的最大不变值及最小不变值 之差q 称为这个函数的不变长度.特别地，当函数只有一个不变值时，其不变长度q 为 零.例如，以下图中的函数有0，1两个不变值，其不变长度q 等于1.〔1〕分别判断函数1y x =-，，2y x =有没有不变值？如果有，直接写出其不变长度； 〔2〕函数22y x bx =-.①假设其不变长度为零，求b 的值；②假设13b ≤≤，求其不变长度q 的取值范围；〔3〕记函数22()y x x x m =-≥的图象为1G ，将1G 沿x=m 翻折后得到的函数图象记为2G .函数G 的图象由 1G 和2G 两局部组成，假设其不变长度q 满足03q ≤≤，那么m 的取值范围为 .海淀区九年级第二学期期末练习数学试卷参考答案一、选择题〔此题共30分，每题3分〕 题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答 案ACCCABBCBCCDACDA二、填空题〔此题共18分，每题3分〕题 号 11 1213 答 案23(2)(2)x x +-134题 号141516答 案〔此题答案不唯一〕0.25，从一副去掉大小王的扑克牌中抽出一张牌，牌的花色是红桃．三角形的三条角平分线交于一点；两点确定一条直线．三、解答题〔此题共72分，第17～26题，每题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分〕 17．解：原式231+21+42=---⨯……………………4分 325=-．………………………5分 18．解：原不等式组为解不等式①，得 3x ＞-． ………………………2分 解不等式②，得 2≤x ． ………………………3分∴ 原不等式组的解集为32x -≤＜．………………………4分 不等式组的解集在数轴上表示如下：………………………5分19． 解：〔1〕∵ 原方程有两个不相等的实数根，∴ 0Δ＞．即 364(7)0k -+>．∴ 2k <．.………………………2分 〔2〕∵2k <且k 为正整数，∴1=k ．.………………………3分 ∴0862=+-x x ．∴1224x x ==，．.………………………5分20．证明：∵ AB DE BC BF ⊥⊥,，90ACB ∠=︒， ∴90DBF BEF ACB ∠=∠=∠=︒．∴ ︒=∠+∠︒=∠+∠9029021F ，． ∴ F ∠=∠1．.………………………2分 在中和△△DFB ABC ，∴ ABC △≌DFB △.………………………4分 ∴DF AB =．.………………………5分21．解：设小静原来每分钟阅读x 个字．…………1分由题意，得 . ………………………3分解得 500=x . ………………………4分 经检验，500=x 是原方程的解，且符合题意. ∴130030050023002=+⨯=+x ．答：小静现在每分钟阅读1300个字. ………………………5分22．〔1〕证明：∵ 90ACB ∠=︒， ∴AC BC ⊥． ∵DE BC ⊥， ∴AC ∥DE ． 又∵ CF ∥AD ，∴ 四边形ACFD 为平行四边形. …………1分 ∴CF AD =.∵ CD AB 为边上的中线， ∴BD AD =. ∴CF BD =.∴四边形BDCF 为平行四边形. ∵ BC DE ⊥，∴四边形BDCF 为菱形. ………………………3分F〔2〕解：在Rt ACE △中，∵ ，∴设 2,3CE x AC DF x ===. ∵菱形BDCF 的面积为24， ∴ ．………………………4分 ∴ 24DF EC ⋅=． ∴ 3224x x ⋅=．∴ 12x =，22x =-〔舍〕. ∴4CE =，3DF =.∴5CF =. ………………………5分23. 解：〔1〕∵点)1,(m A 在双曲线上，∴6=m ． ………………………1分 ∵点)1,6(A 在直线上，∴2-=b ． ………………………2分 〔2〕当点B 在线段DE 上时，如图1，过点D 作DP ⊥y 轴于P ，过点B 作BQ ⊥y 轴于Q ．可得EQB △∽EPD △． ∵BE BD 2=， ∴．∵1BQ =， ∴3DP =． ∵点D 在直线1l 上， ∴．………………4分当点B 在线段DE 的延长线上时，如图2， 同理，由BE BD 2=，可得点D 的坐标为． 综上所述，点D 的坐标为或．…………… 5分图1图224. 〔1〕证明：连接OD ．………………………1分∵⊙O 切BC 于点D ， 90C ∠=︒，∴90ODB C ∠=∠=︒．∴OD ∥AC ．∴DAC ODA ∠=∠．∵OD OA =，∴OAD ODA ∠=∠．∴DAC OAD ∠=∠．∴AD 平分BAC ∠．………………………2分〔2〕解：连接DE ．∵AE 为直径，∴︒=∠90ADE ．∵OAD DAC ∠=∠，sin ，∴sin ．∵5OA =，∴10AE =．∴AD =．………………………3分∴4CD =，8AC =．∵OD ∥AC ，∴BOD BAC △∽△．………………………4分∴．即．∴．………………………5分25.〔1〕m 16.5=；………………………2分〔2〕14；〔估值在合理范围内即可〕 ………………………3分〔3〕14000016.5%0.69.721000⨯⨯- 4.14=. 答：2021年我国儿科医生需比2021 年增加4.14万人，才能使每千名儿童拥有的儿科医生数到达0.6. ………………………5分26. 第二步：6BD BC ==；………………………1分第四步：如图，△ABC 即为所求． ………………3分第五步： ② ，18．………………5分27. 解：〔1〕12n n =． ……………… 1 分理由如下：由题意可得抛物线的对称轴为2x =．∵1P (1，1n )，2P 〔3，2n 〕在抛物线24y ax ax b =-+上，∴12n n =．………………3分〔2〕当0a >时，抛物线的顶点为〔2，1〕，且过点〔4，4〕，∴抛物线的解析式为．………………5分当0a <时，抛物线的顶点为〔2，4〕，且过点〔4，1〕，∴抛物线的解析式为．综上所述，抛物线的解析式为或．…………7 分28. 解：〔1〕①补全图形，如图1所示．…………1分②连接BE .∵AB BC =，,E C 关于直线BD 对称，∴AB BC BE ==．………………………2分∴C BEC ∠=∠， BAE BEA ∠=∠．∵90ABC ∠=︒，∴270BAE AEC C ∠+∠+∠=︒．∴135AEC ∠=︒．.………………………4分〔2〕求解思路如下：a ．连接AC ，过点A 作AF ⊥CE ，交CE 延长线于点F ，如图2所示；b ．由〔1〕可求︒=∠135AEC ，由2AE =可求1AF EF ==；c ．由31CE =-，可求2AC =， 2AB BC ==，可证△ABE 为等边三角形；d ．由C ，E 两点关于直线BD 对称，AB AD =，可求15EBD ∠=︒，75ABD ∠=︒，30α=︒. ……………………7分29．解：〔1〕函数1y x =-没有不变值； ………………1分函数有1-和1两个不变值，其不变长度为2；………………2分 函数2y x =有0和1两个不变值，其不变长度为1；………………3分〔2〕①∵函数22y x bx =-的不变长度为零，∴方程22x bx x -=有两个相等的实数根.∴1b =-. ………………4分②解方程22x bx x -=，得10x =，.………………5分 ∵13b ≤≤，∴212x ≤≤.∴函数22y x bx =-的不变长度q 的取值范围为12q ≤≤. ………………6分 〔3〕m 的取值范围为13m ≤≤或. ………………8分。
2016年江苏省苏州市昆山市中考数学二模试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共304分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，把正确答案填在答题卡相应的位置上.）1．（3分）（2016•昆山市二模）a6÷a3结果是（）A．a3B．a2C．a9D．a﹣32．（3分）（2013•资阳）在函数y=中，自变量x的取值范围是（）A．x≤1 B．x≥1 C．x＜1 D．x＞13．（3分）（2016•昆山市二模）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是：（）A． B．C．D．4．（3分）（2016•昆山市二模）在一个不透明的口袋中装有5张完全相同的卡片，卡片上面分别写有数字﹣2，﹣1，0，1，3，从中随机抽出一张卡片，卡片上面的数字是负数的概率为（）A．B．C．D．5．（3分）（2016•昆山市二模）如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它成为矩形，那么需要添加的条件是（）A．AB=CD B．AD=BC C．AB=BC D．AC=BD6．（3分）（2014•潍坊）如图，▱ABCD的顶点A、B、D在⊙O上，顶点C在⊙O的直径BE上，连接AE，∠E=36°，则∠ADC的度数是（）A．44°B．54°C．72°D．53°7．（3分）（2016•昆山市二模）已知，则的值是（）A． B． C． D．8．（3分）（2012•黔西南州）三角形的两边长分别为2和6，第三边是方程x2﹣10x+21=0的解，则第三边的长为（）A．7 B．3 C．7或3 D．无法确定9．（3分）（2008•潍坊）若一次函数y=（m+1）x+m的图象过第一、三、四象限，则函数y=mx2﹣mx（）A．有最大值B．有最大值﹣C．有最小值D．有最小值﹣10．（3分）（2011•潼南县）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是菱形，点C的坐标为（4，0），∠AOC=60°，垂直于x轴的直线l从y轴出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度向右平移，设直线l与菱形OABC的两边分别交于点M，N（点M在点N的上方），若△OMN的面积为S，直线l的运动时间为t 秒（0≤t≤4），则能大致反映S与t的函数关系的图象是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分；请将答案填写在答题纸相应的位置上）11．（3分）（2006•常德）的相反数是．12．（3分）（2016•徐州一模）已知一粒大米的质量约为0.000021千克，这个数用科学记数法表示为．13．（3分）（2013•福州）某校女子排球队队员的年龄分布如下表：年龄13 14 15人数 4 7 4则该校女子排球队队员的平均年龄是岁．14．（3分）（2016•昆山市二模）如图，已知在△ABC中，∠B与∠C的平分线交于点P．当∠A=70°时，则∠BPC的度数为．15．（3分）（2016•昆山市二模）关于x的方程（a﹣6）x2﹣8x+6=0有实数根，则整数a的最大值是．16．（3分）（2016•昆山市二模）如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB，cosA=，BE=2，则tan∠DBE=．17．（3分）（2014•济宁）如图，四边形OABC是矩形，ADEF是正方形，点A、D在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，点F在AB上，点B、E在反比例函数y=的图象上，OA=1，OC=6，则正方形ADEF的边长为．18．（3分）（2016•昆山市二模）如图，等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1，且AC 边在直线a上，将△ABC绕点A顺时针旋转到位置①可得到点P1，此时AP1=；将位置①的三角形绕点P1顺时针旋转到位置②，可得到点P2，此时AP2=1+；将位置②的三角形绕点P2顺时针旋转到位置③，可得到点P3，此时AP3=2+；…，按此规律继续旋转，直至得到点P2015为止．则AP2015=．三、解答题（本大题共10小题，共76分.请在答题卡指定区域内作答，解答时写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.）19．（6分）（2016•昆山市二模）（﹣）﹣1﹣3tan60°+（1﹣）0+．20．（6分）（2016•昆山市二模）解方程：．21．（6分）（2016•昆山市二模）解不等式组：．22．（6分）（2011•曲靖）先化简，再求值：，其中a=．23．（6分）（2016•昆山市二模）如图，点C在线段AB上，△DAC和△DBE都是等边三角形．（1）求证：△DAB≌△DCE；（2）求证：DA∥EC．24．（8分）（2013•南昌）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=（x＞0）的图象和矩形ABCD在第一象限，AD平行于x轴，且AB=2，AD=4，点A的坐标为（2，6）．（1）直接写出B、C、D三点的坐标；（2）若将矩形向下平移，矩形的两个顶点恰好同时落在反比例函数的图象上，猜想这是哪两个点，并求矩形的平移距离和反比例函数的解析式．25．（8分）（2016•昆山市二模）“抢红包”是2015年春节十分火爆的一项网络活动，某企业有4000名职工，从中随机抽取350人，按年龄分布和“抢红包”所持态度情况进行调查，并将调查结果绘成了条形统计图和扇形统计图．（1）这次调查中，如果职工年龄的中位数是整数，那么这个中位数所在的年龄段是哪一段？（2）如果把对“抢红包”所持态度中的“经常（抢红包）”和“偶尔（抢红包）”统称为“参与抢红包”，那么这次接受调查的职工中“参与抢红包”的人数是多少？并估计该企业“从不（抢红包）”的人数是多少？26．（8分）（2016•昆山市二模）为了抓住保国寺建寺1000年的商机，某商店决定购进A、B两种艺术节纪念品．若购进A种纪念品8件，B种纪念品3件，需要950元；若购进A 种纪念品5件，B种纪念品6件，需要800元．（1）求购进A、B两种纪念品每件各需多少元？（2）若该商店决定购进这两种纪念品共100件，考虑市场需求和资金周转，用于购买这100件纪念品的资金不少于7500元，但不超过7650元，那么该商店共有几种进货方案？27．（10分）（2014•黔南州）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点G，点F是CD上一点，且满足=，连接AF并延长交⊙O于点E，连接AD、DE，若CF=2，AF=3．（1）求证：△ADF∽△AED；（2）求FG的长；（3）求证：tan∠E=．28．（12分）（2013•莱芜）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点A（﹣3，0）、B（1，0）、C（﹣2，1），交y轴于点M．（1）求抛物线的表达式；（2）D为抛物线在第二象限部分上的一点，作DE垂直x轴于点E，交线段AM于点F，求线段DF长度的最大值，并求此时点D的坐标；（3）抛物线上是否存在一点P，作PN垂直x轴于点N，使得以点P、A、N为顶点的三角形与△MAO相似（不包括全等）？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．2016年江苏省苏州市昆山市中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共304分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，把正确答案填在答题卡相应的位置上.）1．（3分）（2016•昆山市二模）a6÷a3结果是（）A．a3B．a2C．a9D．a﹣3【解答】解：a6÷a3=a3，故选：A．2．（3分）（2013•资阳）在函数y=中，自变量x的取值范围是（）A．x≤1 B．x≥1 C．x＜1 D．x＞1【解答】解：根据题意得，x﹣1＞0，解得x＞1．故选：D．3．（3分）（2016•昆山市二模）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是：（）A． B．C．D．【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形；B、是轴对称图形，不是中心对称图形；C、是轴对称图形，是中心对称图形；D、是轴对称图形，不是中心对称图形．故选C．4．（3分）（2016•昆山市二模）在一个不透明的口袋中装有5张完全相同的卡片，卡片上面分别写有数字﹣2，﹣1，0，1，3，从中随机抽出一张卡片，卡片上面的数字是负数的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：∵在一个不透明的口袋中装有5张完全相同的卡片，卡片上面分别写有数字﹣2，﹣1，0，1，3，∴从中随机抽出一张卡片，卡片上面的数字是负数的概率为：．故选C．5．（3分）（2016•昆山市二模）如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它成为矩形，那么需要添加的条件是（）A．AB=CD B．AD=BC C．AB=BC D．AC=BD【解答】解：可添加AC=BD，∵四边形ABCD的对角线互相平分，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AC=BD，根据矩形判定定理对角线相等的平行四边形是矩形，∴四边形ABCD是矩形，故选：D．6．（3分）（2014•潍坊）如图，▱ABCD的顶点A、B、D在⊙O上，顶点C在⊙O的直径BE上，连接AE，∠E=36°，则∠ADC的度数是（）A．44°B．54°C．72°D．53°【解答】解：∵BE是直径，∴∠BAE=90°，∵四边形ABCD是平行四边形，∠E=36°，∴∠BEA=∠DAE=36°，∴∠BAD=126°，∴∠ADC=54°，故选：B．7．（3分）（2016•昆山市二模）已知，则的值是（）A． B． C． D．【解答】解：由，得a=b，==﹣，故选：C．8．（3分）（2012•黔西南州）三角形的两边长分别为2和6，第三边是方程x2﹣10x+21=0的解，则第三边的长为（）A．7 B．3 C．7或3 D．无法确定【解答】解：x2﹣10x+21=0，因式分解得：（x﹣3）（x﹣7）=0，解得：x1=3，x2=7，∵三角形的第三边是x2﹣10x+21=0的解，∴三角形的第三边为3或7，当三角形第三边为3时，2+3＜6，不能构成三角形，舍去；当三角形第三边为7时，三角形三边分别为2，6，7，能构成三角形，则第三边的长为7．故选A9．（3分）（2008•潍坊）若一次函数y=（m+1）x+m的图象过第一、三、四象限，则函数y=mx2﹣mx（）A．有最大值B．有最大值﹣C．有最小值D．有最小值﹣【解答】解：∵一次函数y=（m+1）x+m的图象过第一、三、四象限，∴m+1＞0，m＜0，即﹣1＜m＜0，∴函数y=mx2﹣mx=m（x﹣）2﹣有最大值，∴最大值为﹣．故选B．10．（3分）（2011•潼南县）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是菱形，点C的坐标为（4，0），∠AOC=60°，垂直于x轴的直线l从y轴出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度向右平移，设直线l与菱形OABC的两边分别交于点M，N（点M在点N的上方），若△OMN的面积为S，直线l的运动时间为t 秒（0≤t≤4），则能大致反映S与t的函数关系的图象是（）A．B．C．D．【解答】解：过A作AD⊥x轴于D，∵OA=OC=4，∠AOC=60°，∴OD=2，由勾股定理得：AD=2，①当0≤t＜2时，如图所示，ON=t，MN=ON=t，S=ON•MN=t2；②2≤t≤4时，ON=t，MN=2，S=ON•2=t．故选：C．二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分；请将答案填写在答题纸相应的位置上）11．（3分）（2006•常德）的相反数是．【解答】解：的相反数是，故答案为：．12．（3分）（2016•徐州一模）已知一粒大米的质量约为0.000021千克，这个数用科学记数法表示为 2.1×10﹣5．【解答】解：0.000 021=2.1×10﹣5．故答案为：2.1×10﹣5．13．（3分）（2013•福州）某校女子排球队队员的年龄分布如下表：年龄13 14 15人数 4 7 4则该校女子排球队队员的平均年龄是14岁．【解答】解：根据题意得：（13×4+14×7+15×4）÷15=14（岁），故答案为：14．14．（3分）（2016•昆山市二模）如图，已知在△ABC中，∠B与∠C的平分线交于点P．当∠A=70°时，则∠BPC的度数为125°．【解答】解：∵△ABC中，∠A=70°，∴∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A=180°﹣70°=110°，∴BP，CP分别为∠ABC与∠ACP的平分线，∴∠2+∠4=（∠ABC+∠ACB）=×110°=55°，∴∠P=180°﹣（∠2+∠4）=180°﹣55°=125°．故答案为：125°．15．（3分）（2016•昆山市二模）关于x的方程（a﹣6）x2﹣8x+6=0有实数根，则整数a的最大值是8．【解答】解：①若a=6，则方程有实数根，②若a≠6，则△≥0，∴64﹣4×（a﹣6）×6≥0，整理得：a≤，∴a的最大值为8．16．（3分）（2016•昆山市二模）如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB，cosA=，BE=2，则tan∠DBE= 3．【解答】解：设菱形的边长为a，在RT△ADE中，∵∠DEA=90°，AD=a，AE=a﹣2，∴cosA==，∴，∴a=10，∴AD=10，AE=8，DE==6，∴tan∠DBE===3．故答案为3．17．（3分）（2014•济宁）如图，四边形OABC是矩形，ADEF是正方形，点A、D在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，点F在AB上，点B、E在反比例函数y=的图象上，OA=1，OC=6，则正方形ADEF的边长为2．【解答】解：∵OA=1，OC=6，∴B点坐标为（1，6），∴k=1×6=6，∴反比例函数解析式为y=，设AD=t，则OD=1+t，∴E点坐标为（1+t，t），∴（1+t）•t=6，整理为t2+t﹣6=0，解得t1=﹣3（舍去），t2=2，∴正方形ADEF的边长为2．故答案为：2．18．（3分）（2016•昆山市二模）如图，等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1，且AC 边在直线a上，将△ABC绕点A顺时针旋转到位置①可得到点P1，此时AP1=；将位置①的三角形绕点P1顺时针旋转到位置②，可得到点P2，此时AP2=1+；将位置②的三角形绕点P2顺时针旋转到位置③，可得到点P3，此时AP3=2+；…，按此规律继续旋转，直至得到点P2015为止．则AP2015=1343+672．【解答】解：AP1=，AP2=1+，AP3=2+；AP4=2+2；AP5=3+2；AP6=4+2；AP7=4+3；AP8=5+3；AP9=6+3；∵2015=3×671+2，∴AP2013=（2013﹣671）+671=1342+671，∴AP2014=1342+671+=1342+672，∴AP2015=1342+672+1=1343+672．故答案为：1343+672．三、解答题（本大题共10小题，共76分.请在答题卡指定区域内作答，解答时写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.）19．（6分）（2016•昆山市二模）（﹣）﹣1﹣3tan60°+（1﹣）0+．【解答】解：原式=﹣3﹣3×+1+2=﹣3﹣3+1+2=﹣2﹣．20．（6分）（2016•昆山市二模）解方程：．【解答】解：最简公分母为（x+2）（x﹣2），去分母得：（x﹣2）2﹣（x+2）（x﹣2）=16，整理得：﹣4x+8=16，解得：x=﹣2，经检验x=﹣2是增根，故原分式方程无解．21．（6分）（2016•昆山市二模）解不等式组：．【解答】解：，解不等式①得x＞2，解不等式②得x＜3，所以不等式组的解集为2＜x＜3．22．（6分）（2011•曲靖）先化简，再求值：，其中a=．【解答】解：原式=﹣×=﹣==，当a=﹣2时，原式==．23．（6分）（2016•昆山市二模）如图，点C在线段AB上，△DAC和△DBE都是等边三角形．（1）求证：△DAB≌△DCE；（2）求证：DA∥EC．【解答】证明：（1）∵△DAC和△DBE都是等边三角形，∴DA=DC，DB=DE，∠ADC=∠BDE=60°，∴∠ADC+∠CDB=∠BDE+∠CDB，即∠ADB=∠CDE，在△DAB和△DCE中，，∴△DAB≌△DCE（SAS）；（2）∵△DAB≌△DCE，∴∠A=∠DCE=60°，∵∠ADC=60°，∴∠DCE=∠ADC，∴DA∥EC．24．（8分）（2013•南昌）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=（x＞0）的图象和矩形ABCD在第一象限，AD平行于x轴，且AB=2，AD=4，点A的坐标为（2，6）．（1）直接写出B、C、D三点的坐标；（2）若将矩形向下平移，矩形的两个顶点恰好同时落在反比例函数的图象上，猜想这是哪两个点，并求矩形的平移距离和反比例函数的解析式．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，平行于x轴，且AB=2，AD=4，点A的坐标为（2，6）．∴AB=CD=2，AD=BC=4，∴B（2，4），C（6，4），D（6，6）；（2）A、C落在反比例函数的图象上，设矩形平移后A的坐标是（2，6﹣x），C的坐标是（6，4﹣x），∵A、C落在反比例函数的图象上，∴k=2（6﹣x）=6（4﹣x），x=3，即矩形平移后A的坐标是（2，3），代入反比例函数的解析式得：k=2×3=6，即A、C落在反比例函数的图象上，矩形的平移距离是3，反比例函数的解析式是y=．25．（8分）（2016•昆山市二模）“抢红包”是2015年春节十分火爆的一项网络活动，某企业有4000名职工，从中随机抽取350人，按年龄分布和“抢红包”所持态度情况进行调查，并将调查结果绘成了条形统计图和扇形统计图．（1）这次调查中，如果职工年龄的中位数是整数，那么这个中位数所在的年龄段是哪一段？（2）如果把对“抢红包”所持态度中的“经常（抢红包）”和“偶尔（抢红包）”统称为“参与抢红包”，那么这次接受调查的职工中“参与抢红包”的人数是多少？并估计该企业“从不（抢红包）”的人数是多少？【解答】解：（1）这次调查中，如果职工年龄的中位数是整数，那么这个中位数所在的年龄段是25﹣35之间；（2）“经常（抢红包）”和“偶尔（抢红包）”共占的百分比为40%+22%=62%，则这次接受调查的职工中“参与抢红包”的人数是350×62%=217（人）；根据题意得：4000×（1﹣40%﹣22%）=1520（人），则该企业“从不（抢红包）”的人数是1520人．26．（8分）（2016•昆山市二模）为了抓住保国寺建寺1000年的商机，某商店决定购进A、B两种艺术节纪念品．若购进A种纪念品8件，B种纪念品3件，需要950元；若购进A 种纪念品5件，B种纪念品6件，需要800元．（1）求购进A、B两种纪念品每件各需多少元？（2）若该商店决定购进这两种纪念品共100件，考虑市场需求和资金周转，用于购买这100件纪念品的资金不少于7500元，但不超过7650元，那么该商店共有几种进货方案？【解答】解：（1）设该商店购进一件A种纪念品需要a元，购进一件B种纪念品需要b元，根据题意得方程组得：，解方程组得：，∴购进一件A种纪念品需要100元，购进一件B种纪念品需要50元；（2）设该商店购进A种纪念品x个，则购进B种纪念品有（100﹣x）个，∴，解得：50≤x≤53，∵x 为正整数，x=50，51，52，53∴共有4种进货方案，分别为：方案1：商店购进A种纪念品50个，则购进B种纪念品有50个；方案2：商店购进A种纪念品51个，则购进B种纪念品有49个；方案3：商店购进A种纪念品52个，则购进B种纪念品有48个；方案4：商店购进A种纪念品53个，则购进B种纪念品有47个．27．（10分）（2014•黔南州）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点G，点F是CD上一点，且满足=，连接AF并延长交⊙O于点E，连接AD、DE，若CF=2，AF=3．（1）求证：△ADF∽△AED；（2）求FG的长；（3）求证：tan∠E=．【解答】解：（1）∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∴DG=CG，∴=，∠ADF=∠AED，∵∠FAD=∠DAE（公共角），∴△ADF∽△AED；（2）∵=，CF=2，∴FD=6，∴CD=DF+CF=8，∴CG=DG=4，∴FG=CG﹣CF=2；（3）∵AF=3，FG=2，∴AG=，tan∠E=tan∠ADG=．28．（12分）（2013•莱芜）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点A（﹣3，0）、B（1，0）、C（﹣2，1），交y轴于点M．（1）求抛物线的表达式；（2）D为抛物线在第二象限部分上的一点，作DE垂直x轴于点E，交线段AM于点F，求线段DF长度的最大值，并求此时点D的坐标；（3）抛物线上是否存在一点P，作PN垂直x轴于点N，使得以点P、A、N为顶点的三角形与△MAO相似（不包括全等）？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：由题意可知．解得．∴抛物线的表达式为y=﹣．（2）将x=0代入抛物线表达式，得y=1．∴点M的坐标为（0，1）．设直线MA的表达式为y=kx+b，则．解得．∴直线MA的表达式为y=x+1．设点D的坐标为（），则点F的坐标为（）．DF==．当时，DF的最大值为．此时，即点D的坐标为（）．（3）存在点P，使得以点P、A、N为顶点的三角形与△MAO相似．设P（m，）．在Rt△MAO中，AO=3MO，要使两个三角形相似，由题意可知，点P不可能在第一象限．①设点P在第二象限时，∵点P不可能在直线MN上，∴只能PN=3AN，∴，即m2+11m+24=0．解得m=﹣3（舍去）或m=﹣8．又﹣3＜m＜0，故此时满足条件的点不存在．②当点P在第三象限时，∵点P不可能在直线MA上，∴只能PN=3AN，∴，即m2+11m+24=0．解得m=﹣3或m=﹣8．此时点P的坐标为（﹣8，﹣15）．③当点P在第四象限时，若AN=3PN时，则﹣3，即m2+m﹣6=0．解得m=﹣3（舍去）或m=2．当m=2时，．此时点P的坐标为（2，﹣）．若PN=3NA，则﹣，即m2﹣7m﹣30=0．解得m=﹣3（舍去）或m=10，此时点P的坐标为（10，﹣39）．综上所述，满足条件的点P的坐标为（﹣8，﹣15）、（2，﹣）、（10，﹣39）．。
