西城区2020届初三二模数学试题及答案6月

2020年北京市西城区中考数学二模试卷题号一二三总分得分一、选择题（本大题共8小题，共16.0分）1.下列各组图形中，能将其中一个图形经过平移变换得到另一个图形的是（）A. B.C. D.2.中国国家航天局2020年4月24日在“中国航天日”之际宣布，将中国行星探测任务命名为“天问”，将中国首次火星探测任务命名为“天问一号”．火星具有与地球十分相近的环境，与地球最近的时候距离约5500万千米，将5500用科学记数法表示为（）A. 0.55×104B. 5.5×103C. 5.5×102D. 55×1023.如图是某个几何体的平面展开图，该几何体是（）A.B.C.D.4.下列运算正确的是（）A. a•a2=a3B. a6÷a2=a3C. 2a2-a2=2D. （3a2）2=6a45.如图，实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（）A. |a|＞3B. -1＜-b＜0C. a＜-bD. a+b＞06.如图，△ABC内接于⊙O，若∠A=45°，OC=2，则BC的长为（）A.B. 2C. 2D. 47.某人开车从家出发去植物园游玩，设汽车行驶的路程为S（千米），所用时间为t（分），s与t之间的函数关系如图所示．若他早上8点从家出发，汽车在途中停车加油一次，则下列描述中，不正确的是（）A. 汽车行驶到一半路程时，停车加油用时10分钟B. 汽车一共行驶了60千米的路程，上午9点5分到达植物园C. 加油后汽车行驶的速度为60千米/时D. 加油后汽车行驶的速度比加油前汽车行驶的速度快8.张老师将自己2019年10月至2020年5月的通话时长（单位：分钟）的有关数据整理如表：①2019年10月至2020年3月通话时长统计表时间10月11月12月1月2月3月时长（单位：分钟）520530550610650660②年月与年月，这两个月通话时长的总和为分钟根据以上信息，推断张老师这八个月的通话时长的中位数可能的最大值为（）A. 550B. 580C. 610D. 630二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）9.若分式在实数范围内有意义，则x的取值范围是______．10.因式分解：a3-a=______．11.如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，若△ADE的面积为1，则△ABC的面积等于______．12.如图，∠A=∠ABC=∠C=∠D=∠E，点F在AB的延长线上，则∠CBF的度数是______．13.如图，双曲线y=与直线y=mx交于A，B两点，若点A的坐标为（2，3），则点B的坐标为______．14.如图，用10个大小、形状完全相同的小矩形，拼成一个宽为50cm的大矩形，设每个小矩形的长为xcm，宽为ycm，则可以列出的方程组是______．15.某调查机构对某地互联网行业从业情况进行调查统计，得到当地互联网行业从业人员年龄分布统计图和当地90后从事互联网行业岗位分布统计图：对于以下四种说法，你认为正确的是______（写出全部正确说法的序号）．①在当地互联网行业从业人员中，90后人数占总人数的一半以上②在当地互联网行业从业人员中，80前人数占总人数的13%③在当地互联网行业中，从事技术岗位的90后人数超过总人数的20%④在当地互联网行业中，从事设计岗位的90后人数比80前人数少16.一个袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半，甲、乙、丙是三个空盒．每次从袋中任意取出两个球，如果先放入甲盒的球是红球，则另一个球放入乙盒；如果先放入甲盒的球是黑球，则另一个球放入丙盒．重复上述过程，直到袋中所有的球都被放入盒中．（1）某次从袋中任意取出两个球，若取出的球都没有放入丙盒，则先放入甲盒的球的颜色是______．（2）若乙盒中最终有5个红球，则袋中原来最少有______个球．三、解答题（本大题共12小题，共68.0分）17.计算：+（π-2020）0-3tan30°+|-1|．18.解方程：+1=．19.已知关于x的一元二次方程x2-（2k+1）x+2k=0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若该方程有一个根大于2，求k的取值范围．20.下面是小明设计的“在已知三角形的一边上取一点，使得这点到这个三角形的另外两边的距离相等”的尺规作图过程：已知：△ABC．求作：点D，使得点D在BC边上，且到AB，AC边的距离相等．作法：如图，作∠BAC的平分线，交BC于点D．则点D即为所求．根据小明设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：作DE⊥AB于点E，作DF⊥AC于点F，∵AD平分∠BAC，∴______=______（______）（括号里填推理的依据）．21.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为AB的中点，AE∥DC，CE∥DA．（1）求证：四边形ADCE是菱形；（2）连接DE，若AC=2，BC=2，求证：△ADE是等边三角形．22.某医院医生为了研究该院某种疾病的诊断情况，需要调查来院就诊的病人的两个生理指标x，y，于是他分别在这种疾病的患者和非患者中，各随机选取20人作为调查对象，将收集到的数据整理后，绘制统计图如图：根据以上信息，回答下列问题：（1）在这40名被调查者中，①指标y低于0.4的有______人；②将20名患者的指标x的平均数记作，方差记作S12，20名非患者的指标x的平均数记作，方差记作S22，则______，S12______S22（填“＞”，“=”或“＜”）；（2）来该院就诊的500名未患这种疾病的人中，估计指标x低于0.3的大约有______人；（3）若将“指标x低于0.3，且指标y低于0.8”作为判断是否患有这种疾病的依据，则发生漏判的概率是______．23.如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上两点，且=，连接OC，BD，OD．（1）求证：OC垂直平分BD；（2）过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，连接AD，CD．①依题意补全图形；②若AD=6，sin∠AEC=，求CD的长．24.如图，在△ABC中，AE平分∠BAC交BC于点E，D是AB边上一动点，连接CD交AE于点P，连接BP．已知AB=6cm，设B，D两点间的距离为xcm，B，P两点间的距离为y1cm，A，P两点间的距离为y2cm．小明根据学习函数的经验，分别对函数y2，y2随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小明的探究过程，请补充完整：（1）按照表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了yx/cm0123456y1/cm 2.49 2.64 2.88 3.25 3.80 4.65 6.00 y2/cm 4.59 4.24 3.80 3.25 2.51______ 0.00（2）在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（x，y1），（x，y2），并画出函数y1，y2的图象：（3）结合函数图象，回答下列问题：①当AP=2BD时，AP的长度约为______cm；②当BP平分∠ABC时，BD的长度为______cm．25.在平面直角坐标系xOy中，函数y=（x＞0）的图象G与直线l：y=kx-4k+1交于点A（4，1），点B（1，n）（n≥4，n为整数）在直线l上．（1）求m的值；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记图象G与直线l围成的区域（不含边界）为W．①当n=5时，求k的值，并写出区域W内的整点个数；②若区域W内恰有5个整点，结合函数图象，求k的取值范围．26.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A，B（A在B的左侧），抛物线的对称轴与x轴交于点D，且OB=2OD．（1）当b=2时，①写出抛物线的对称轴；②求抛物线的表达式；（2）存在垂直于x轴的直线分别与直线l：y=x+和拋物线交于点P，Q，且点P，Q均在x轴下方，结合函数图象，求b的取值范围．27.在正方形ABCD中，E是CD边上一点（CE＞DE），AE，BD交于点F．（1）如图1，过点F作GH⊥AE，分别交边AD，BC于点G，H．求证：∠EAB=∠GHC；（2）AE的垂直平分线分别与AD，AE，BD交于点P，M，N，连接CN．①依题意补全图形；②用等式表示线段AE与CN之间的数量关系，并证明．28.对于平面直角坐标系xOy中的定点P和图形F，给出如下定义：若在图形F上存在一点N，使得点Q，点P关于直线ON对称，则称点Q是点P关于图形F的定向对称点．（1）如图，A（1，0），B（1，1），P（0，2），①点P关于点B的定向对称点的坐标是______；②在点C（0，-2），D（1，-），E（2，-1）中，______是点P关于线段AB的定向对称点．（2）直线l：y=x+b分别与x轴，y轴交于点G，H，⊙M是以点M（2，0）为圆心，r（r＞0）为半径的圆．①当r=1时，若⊙M上存在点K，使得它关于线段GH的定向对称点在线段GH上，求b的取值范围；②对于b＞0，当r=3时，若线段GH上存在点J，使得它关于⊙M的定向对称点在⊙M上，直接写出b的取值范围．答案和解析1.【答案】A【解析】解：各组图形中，选项A中的图形是一个图形经过平移能得到另一个图形，故选：A．根据平移的性质，结合图形，对选项进行一一分析，选出正确答案．本题考查平移的性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．2.【答案】B【解析】解：5500=5.5×103，故选：B．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3.【答案】D【解析】解：观察图形可知，这个几何体是三棱柱．故选：D．侧面为三个长方形，底边为三角形，故原几何体为三棱柱．本题考查的是三棱柱的展开图，考法较新颖，需要对三棱柱有充分的理解．4.【答案】A【解析】【分析】根据同底数幂乘除法的运算法则，合并同类项法则，幂的乘方与积的乘方法则即可求解；本题考查实数和整式的运算；熟练掌握同底数幂乘除法的运算法则，合并同类项法则，幂的乘方与积的乘方法则是解题的关键．【解答】解：A.a•a2=a1+2=a3，故A正确；B.a6÷a2=a6-2=a4，故B错误；C.2a2-a2=a2，故C错误；D.（3a2）2=9a4，故D错误；故选A．5.【答案】C【解析】解：选项A，从数轴上看出，a在-3与-2之间，∴|a|＜3，故选项A不合题意；选项B，从数轴上看出，b在在原点右侧，∴b＞1，B选项化简后0<b<1故选项B不合题意；选项C，从数轴上看出，a在-3与-2之间，b在1和2之间，∴-b在-1和-2之间，∴a＜b，故选项C符合题意；选项D，从数轴上看出，a在-3与-2之间，b在1与2之间，∴-3＜a＜-2，1＜b＜2，∴|a|＜|b|，∵a＜0，b＞0，所以a+b＜0，故选项D不合题意．故选：C．根据数轴的性质以及有理数的运算法则进行解答即可．本题考查了实数和数轴以及有理数的运算，掌握数轴的性质，实数的性质是解题的关键．6.【答案】B【解析】解：由圆周角定理得，∠BOC=2∠A=90°，∴BC=OC=2，故选：B．根据圆周角定理得到∠BOC=2∠A=90°，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论．本题考查的是圆周角定理及解直角三角形的知识，掌握圆周角定理是解题的关键．7.【答案】D【解析】解：A、车行驶到一半路程时，加油时间为25至35分钟，共10分钟，故本选项正确，不符合题意；B、汽车一共行驶了60千米的路程，上午9点05分到达植物园，故本选项正确，不符合题意；C、汽车加油后的速度为30÷=60千米/时，故本选项正确，不符合题意；D、汽车加油前的速度为30÷=72千米/时，60＜72，加油后汽车行驶的速度比加油前汽车行驶的速度慢；故本选项不正确，符合题意．故选：D．根据函数的图象可知，横坐标表示时间，纵坐标表示距离，由于函数图象不是平滑曲线，故应分段考虑．此题考查了一次函数的应用，函数图象，根据函数图象的变化分段考虑是解题的关键，同时要明确公式：速度=路程÷时间．8.【答案】B【解析】解：∵2020年4月与2020年5月，这两个月通话时长的总和为1100分钟，∴550分钟一定排在这八个月的通话时长的第4位，观察数据可知，第5位的最大值为610分钟，∴张老师这八个月的通话时长的中位数可能的最大值为（550+610）÷2=580（分钟）．故选：B．由于2020年4月与2020年5月，这两个月通话时长的总和为1100分钟，可知550分钟一定排在这八个月的通话时长的第4位，找到第5位的最大值，从而可求张老师这八个月的通话时长的中位数可能的最大值．考查了确定一组数据的中位数的能力．注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数．9.【答案】x≠2【解析】解：∵分式在实数范围内有意义，∴x的取值范围是：x≠2．故答案为：x≠2．直接利用分式有意义的条件为分母不为零，进而得出答案．此题主要考查了分式有意义的条件，正确把握分式的定义是解题关键．10.【答案】a（a+1）（a-1）【解析】【分析】此题考查了提公因式与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．原式提取a，再利用平方差公式分解即可．【解答】解：原式=a（a2-1）=a（a+1）（a-1），故答案为a（a+1）（a-1）.11.【答案】4【解析】解：∵D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，DE=BC，∴△ADE∽△ABC，∴=（）2=，∵△ADE的面积为1，∴△ABC的面积为4，故答案为：4．根据三角形中位线定理得到DE∥BC，DE=BC，证明△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质计算，得到答案．本题考查的是三角形中位线定理、相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．12.【答案】72°【解析】解：∵∠A=∠ABC=∠C=∠D=∠E，∴五边形ABCDE是正多边形，∵正多边形的外角和是360°，∴∠CBF=360°÷5=72°．故答案为：72°．正多边形的外角和是360°，这个正多边形的每个外角相等，因而用360°除以多边形的边数，就得到外角的度数．本题考查了多边形的内角与外角．根据正多边形的外角和求多边形的边数和外角的度数是常用的一种方法，需要熟记．13.【答案】（-2，-3）【解析】解：∵双曲线y=与直线y=mx交于A，B两点，∴点A与点B关于原点对称，而点A的坐标为（2，3），∴点B的坐标为（-2，-3）．故答案为（-2，-3）．利用正比例函数和反比例函数的性质可判断点A与点B关于原点对称，然后根据关于原点对称的点的坐标特征写出B点坐标．本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了反比例函数的性质．14.【答案】【解析】解：依题意，得：．故答案为：．根据矩形的对边相等及大矩形的宽为50cm，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．15.【答案】①③【解析】解：对于选项①，互联网行业从业人员中90后占调查人数的56%，占一半以上，所以该选项正确；对于选项②，在当地互联网行业从业人员中，80前人数占调查总人数的3%，所以该选项错误；对于选项③，互联网行业中从事技术岗位的人数90后占总人数的56%×41%=23%，所以该选项正确；对于选项④，互联网行业中，从事设计岗位的90后人数占调查人数的56%×8%=4.48%，而80前从事互联网行业的只占1-56%-41%=3%，因此该选项不正确；因此正确的有：①③，故答案为：①③．根据扇形统计图可以得出各个年龄段的人数占调查总人数的百分比，再根据条形统计图可以得出90后从事互联网行业岗位的百分比，进而求出90后从事互联网行业岗位占调查总人数的百分比，就可以比较，做出判断．考查条形统计图、扇形统计图的意义和应用，理解各个统计图中“百分比”的意义是正确判断的前提，将“百分比”都转化为“占总调查人数的百分比”是关键．16.【答案】红色30【解析】解：（1）∵某次从袋中任意取出两个球，若取出的球都没有放入丙盒，∴放入了乙盒，∴先放入甲盒的球的颜色是红色．（2）由题意，可知取两个球共有四种情况：①红+红，则乙盒中红球数加1，②黑+黑，则丙盒中黑球数加1，③红+黑（红球放入甲盒），则乙盒中黑球数加1，④黑+红（黑球放入甲盒），则丙盒中红球数加1．那么，每次乙盒中得一个红球，甲盒可得到2个红球，∴乙盒中最终有5个红球时，甲盒有10个红球，∵红球数=黑球数，∴袋中原来最少有2（5+10）=30个球．故答案为：红色；30．（1）根据放球规则，可知若取出的球都没有放入丙盒，则放入了乙盒，由此得出先放入甲盒的球的颜色是红色；（2）由题意可知取两个球共有四种情况：①红+红，②黑+黑，③红+黑，④黑+红．那么，每次乙盒中得一个红球，甲盒可得到2个红球，以及红球数=黑球数，即可求解．本题考查了推理与论证，训练了学生的逻辑思维能力，有一定难度．根据题意得出取两个球共有四种情况，进而分析得到结论是解题的关键．17.【答案】解：原式=2+1-3×+-1=2+1-+-1=2．【解析】根据二次根式的性质、零指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值的性质计算即可．本题考查的是实数的运算，掌握二次根式的性质、零指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值的性质是解题的关键．18.【答案】解：+1=，方程的两边同乘3（x-1）得：3x+3x-3=2x，解这个方程得：，经检验，是原方程的解．【解析】根据解分式方程的步骤解答即可．本题主要考查了解分式方程，会把分式方程转化为整式方程是解答本题的关键，注意，解分式方程需要验根．19.【答案】（1）证明：∵△=[-（2k+1）]2-4×2k=（2k-1）2≥0，∴无论k为何值，方程总有两个实数根；（2）设方程的两个根分别是x1，x2，解方程得x=，∴x1=2k，x2=1．由题意可知2k＞2，即k＞1．∴k的取值范围为k＞1．【解析】（1）求出方程的判别式△的值，利用配方法得出△＞0，根据判别式的意义即可证明；（2）设方程的两个根分别是x1，x2，利用公式法求方程的解，然后根据一元二次方程根与系数的关系求得k的取值范围．本题考查了根的判别式及根与系数的关系，解题的关键是正确的运用判别式及韦达定理．20.【答案】DE DF角平分线的性质【解析】解：（1）补全图形如图所示；（2）证明：作DE⊥AB于点E，作DF⊥AC于点F，∵AD平分∠BAC，∴DE=DF（角平分线的性质），故答案为：DE，DF，角平分线的性质．（1）根据题意补全图形即可；（2）作DE⊥AB于点E，作DF⊥AC于点F，根据角平分线的性质即可得到结论．本题考查了作图-基本作图，角平分线的性质，解决本题的关键是掌握全等三角形的判定与性质．21.【答案】（1）证明：∵AE∥CD，CE∥AB，∴四边形ADCE是平行四边形，又∵∠ACB=90°，D是AB的中点，∴CD=AB=BD=AD，∴平行四边形ADCE是菱形；（2）解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=2，BC=2，∴tan∠CAB==，∴∠CAB=30°，∵四边形ADCE是菱形，∴∠EAD=2∠CAB=60°，AE=AD，∴△ADE是等边三角形．【解析】（1）先证明四边形ADCE是平行四边形，再证出一组邻边相等，即可得出结论；（2）根据三角函数的定义得到∠CAB=30°，根据菱形的性质得到∠EAD=2∠CAB=60°，AE=AD，于是得到结论．本题考查了菱形的判定，等边三角形的判定，直角三角形的性质，正确的理解题意是解题的关键．22.【答案】9 ＜＞100【解析】解：（1）①根据图象，可得指标y低于0.4的有9人．故答案为：9；②将20名患者的指标x的平均数记作，方差记作S12，20名非患者的指标x的平均数记作，方差记作S22，则＜，S12＞S22．故答案为：＜，＞；（2）500×=100（人）．故答案为：100；（3）根据图象，可知“指标x低于0.3，且指标y低于0.8”的有15人，而患者有20人，则发生漏判的概率是：1-=．故答案为．（1）①根据图象，数出直线y=0.4下方的人数即可；②根据图象，可知20名患者的指标x的取值范围是0≤x＜0.5，且有16名患者的指标x ＜0.3；20名非患者的指标x的取值范围是0.2≤x＜0.6，且位置相对比较集中，因此即可求解；（2）利用样本估计总体，用500乘样本中非患者指标x低于0.3所占的百分比即可；（3）先求出样本中“指标x低于0.3，且指标y低于0.8”的人患病的概率，再用1减去这个概率即可求解．本题考查了平均数、方差的意义，利用样本估计总体，以及概率公式，准确识图，从图中获取有用信息是解题的关键．23.【答案】解：（1）证明：∵=，∴∠COD=∠COB．∵OD=OB，∴OC垂直平分BD；（2）①补全图形，如图所示：；②∵CE是⊙O的切线，切点为C，∴OC⊥CE于点C．记OC与BD交于点F，由（1）知OC⊥BD，∴∠OCE=∠OFB=90°．∴DB∥CE，∴∠AEC=∠ABD．∵在Rt△ABD中，AD=6，sin∠ABD=sin∠AEC=，∴BD=8，AB=10．∴OA=OB=OC=5．由（1）可知OC平分BD，即DF=BF，∴BF=DF=4，OF为△ABD的中位线，∴OF=AD=3，∴CF=2．∴在Rt△CFD中，CD==2．∴CD的长为2．【解析】（1）由同弧所对的圆心角相等可得∠COD=∠COB，再由等腰三角形的“三线合一“性质可得OD=OB，从而问题得证；（2）①依照题意补全图形即可；②由切线的性质可得OC⊥CE；由同位角相等可证DB∥CE；由等角的正弦值相等可得sin∠ABD=sin∠AEC=，从而可求得BD、AB、OA、OB和OC的值，由OC垂直平分BD，可得BF及DF的值；由三角形的中位线定理可得OF的值，进而求得CF的值，最后在Rt△CFD中，由勾股定理可得CD的长．本题考查了线段的垂直平分线的判定、切线的性质、解直角三角形、三角形的中位线定理及勾股定理等知识点，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．24.【答案】1.35 2.88 3【解析】解：（1）用光滑的曲线连接y2图象现有的点，在图象上，测量出x=5时，y=1.35（答案不唯一）；故答案为：1.35，注：y=1.35是估计的数值，故答案不唯一；（2）绘制后y1、y2图象如下：（3）①当AP=2BD时，即y2=2x，在图象上画出直线y=2x，该图象与y2的交点即为所求，即图中空心点所示，空心点的纵坐标为2.88，故答案为2.88；②从表格数据看，当x=3时，y1=y2=3.25，即点D在AB中点时，y1=y2，即此时点P在AB的中垂线上，则点C在AB的中垂线上，则△ABC为等腰三角形，故当BP平分∠ABC时，此时点P是△ABC的内心，故点D在AB的中点，∴BD=AB=3，故答案为3．（1）用光滑的曲线连接y2图象现有的点，在图象上，测量出x=5时，y的值即可；（2）描点连线即可绘出函数图象；（3）①当AP=2BD时，即y2=2x，在图象上画出直线y=2x，该图象与y2的交点即为所求；②从表格数据看，当x=3时，y1=y2=3.25，故当BP平分∠ABC时，此时点P是△ABC的内心，故点D在AB的中点，即可求解．本题考查动点问题函数图象、内心的有关知识，解题的关键是学会利用图象法解决问题，属于中考常考题型．25.【答案】解：（1）把A（4，1）代入y=（x＞0）得m=4×1=4；（2）①当n=5时，把B（1，5）代入直线l：y=kx-4k+1得，5=k-4k+1，解得k=-，如图1所示，区域W内的整点有（2，3），（3，2），有2个；②如图2，直线l：y=kx-4k+1过（1，6）时，k=-，区域W内恰有4个整点，直线l：y=kx-4k+1过（1，7）时，k=-2，区域W内恰有5个整点，∴区域W内恰有5个整点，k的取值范围是-2≤k＜-．【解析】（1）把A（4，1）代入y=（x＞0）中可得m的值；（2）①当n=5时，B（1，5），将B（1，5）代入y=kx-4k+1，求得k即可，画图可得整点的个数；②分两种情况：直线l：y=kx-4k+1过（1，6），直线l：y=kx-4k+1过（1，7），画图根据区域W内恰有5个整点，确定k的取值范围．本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，利用数形结合的思想是解题的关键．26.【答案】解：（1）当b=2时，抛物线y=x2+bx+c化为y=x2+2x+c．①抛物线的对称轴x=-=-1．②∵抛物线的对称轴为直线x=-1，∴点D的坐标为（-1，0），OD=1．∵OB=2OD，∴OB=2．∵点A，点B关于直线x=-1对称，∴点B在点D的右侧．∴点B的坐标为（2，0）．∵抛物线y=x2+2x+c与x轴交于点B（2，0），∴4+4+c=0．解得c=-8．∴抛物线的表达式为y=x2+2x-8．（2）设直线y=x+与x轴交点为点E，∵y=0时，x=-，∴E（-，0）．∵抛物线的对称轴为x=-，∴点D的坐标为（-，0），①当b＞0时，OD=，∵OB=2OD，∴OB=b．∴点A的坐标为（-2b，0），点B的坐标为（b，0）．如图1，当-2b＜-时，存在垂直于x轴的直线分别与直线l：y=x+和抛物线交于点P，Q，且点P，Q均在x轴下方，解得b＞．②当b＜0时，-b＞0．∴OD=-，∵OB=2OD，∴OB=-b．∵抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A，B，且A在B的左侧，∴点A的坐标为（0，0），点B的坐标为（-b，0）．如图2，当0＜-时，存在垂直于x轴的直线分别与直线l：y=x+和抛物线交于点P，Q，且点P，Q均在x轴下方，解得b＜-2．综合以上可得，b的取值范围是b＜-2或b＞．【解析】（1）①由二次函数的对称轴方程可得出答案；②根据题意求出B点坐标为（2，0），代入抛物线解析式y=x2+2x+c可得出答案；（2）求出E（-，0），点D的坐标为（-，0）．①当b＞0时，得出点A的坐标为（-2b，0），点B的坐标为（b，0），则-2b＜-，解不等式即可；②当b＜0时，点A的坐标为（0，0），点B的坐标为（-b，0），则0＜-，解出b＜-2．本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法，熟练掌握二次函数的性质及数形结合思想是解题的关键．27.【答案】（1）证明：在正方形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=90°，∴∠AGH=∠GHC．∵GH⊥AE，∴∠EAB=∠AGH．∴∠EAB=∠GHC．（2）①补全图形，如图所示．②证明：连接AN，连接EN并延长，交AB边于点Q．∵四边形ABCD是正方形，∴点A，点C关于BD对称．∴NA=NC，∠BAN=∠BCN．∵PN垂直平分AE，∴NA=NE．∴NC=NE．∴∠NEC=∠NCE．在正方形ABCD中，BA∥CE，∠BCD=90°，∴∠AQE=∠NEC．∴∠BAN+∠AQE=∠BCN+∠NCE=90°．∴∠ANE=∠ANQ=90°．在Rt△ANE中，∴AE=CN．【解析】（1）由平行线的性质可得出∠AGH=∠GHC．证得∠EAB=∠AGH．则结论得证；（2）①依题意补全图形即可；②连接AN，连接EN并延长，交AB边于点Q．证得NA=NE．得出∠ANE=∠ANQ=90°．则可得出AE=CN．本题考查了正方形的性质，平行线的性质，轴对称的性质，中垂线的性质，等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．28.【答案】（2，0）点C，D【解析】解：（1）①如图1中，∵P（0，2），B（1，1），∴点P关于OB的对称点G（2，0），故答案为（2，0）．②∵点C（0，-2），D（1，-），E（2，-1），∴OP=2，OD=2，OC=2，OE=，∴OP=OD=OC，∴点C，D是点P关于线段AB的定向对称点．故答案为点C，D．（2）①如图2中，作⊙M关于y轴的对称图形⊙M′，当直线GH与⊙M′在第一象限相切时，设切点为P，连接PM′由题意tan∠HGO=，∴∠PGM=30°，∵PM′=1，∠M'PG=90°，∴M'G=2M'P=2，∴OG=GM'+OM=4，∴OH=OG•tan30°=，如图3中，以O为圆心，3为半径作⊙O，当直线GH与⊙O在第四象限点相切于点P 时，连接OP，同法可得OH=2，观察图象可知满足条件的b的值：-2≤b≤．②如图4中，设⊙M交x轴于K，T，则K（-1，0），T（5，0）．以O为圆心，5为半径作⊙O，当直线GH与⊙O在第二象限相切于点J时，可得OH===，此时直线GH的解析式为y=x+，当直线GH经过点K（-1，0）时，0=-+b，可得b=，此时直线GH的解析式为y=x+，观察图象可知满足条件的b的值为≤b≤．（1）①求出点P关于直线OB的对称点G即可．②求出OP，OC，OD，OE的长即可判断．（2）①求出两种特殊位置b的值即可．如图2中，作⊙M关于y轴的对称图形⊙M′，当直线GH与⊙M′在第一象限相切时，设切点为P，连接PM′．如图3中，以O为圆心，3为半径作⊙O，当直线GH与⊙O在第四象限点相切于点P时，连接OP，分别求出OH的值即可解决问题．②如图4中，设⊙M交x轴于K，T，则K（-1，0），T（5，0）．求出两种特殊位置b 的值即可判断．本题属于一次函数综合题，考查了定向对称点的定义，直线与圆的位置关系，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，学会用转化的思想思考问题，学会利用特殊位置解决问题，属于中考压轴题．。

北京市西城区2019-2020学年中考第二次质量检测数学试题一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．如图，将矩形沿对角线折叠，使落在处，交于，则下列结论不一定成立的是（）A．B．C．D．2．如图，点A、B、C、D、O都在方格纸的格点上，若△COD是由△AOB绕点O按逆时针方向旋转而得，则旋转的角度为（）A．30°B．45°C．90°D．135°3．我们知道：四边形具有不稳定性．如图，在平面直角坐标系中，边长为4的正方形ABCD的边AB在x轴上，AB的中点是坐标原点O，固定点A，B，把正方形沿箭头方向推，使点D落在y轴正半轴上点D′处，则点C的对应点C′的坐标为()A．(3，2) B．(4，1) C．(4，3) D．(4，23)4．下列四张正方形硬纸片，剪去阴影部分后，如果沿虚线折叠，可以围成一个封闭的长方体包装盒的是( )A．B．C．D．5．李老师为了了解学生暑期在家的阅读情况，随机调查了20名学生某一天的阅读小时数，具体情况统计如下：阅读时间（小时） 2 2.5 3 3.5 4 学生人数（名）12863则关于这20名学生阅读小时数的说法正确的是（ ） A ．众数是8 B ．中位数是3 C ．平均数是3D ．方差是0.346．关于x 的方程x 2+（k 2﹣4）x+k+1=0的两个根互为相反数，则k 值是（ ） A ．﹣1B ．±2C ．2D ．﹣27．如图，已知BD 是ABC △的角平分线，ED 是BC 的垂直平分线，90BAC ∠=︒，3AD =，则CE 的长为（ ）A ．6B ．5C ．4D ．338．下列图形中，是中心对称但不是轴对称图形的为（ ）A ．B ．C ．D ．9．如图，等腰三角形ABC 的底边BC 长为4，面积是16，腰AC 的垂直平分线EF 分别交AC ，AB 边于E ，F 点.若点D 为BC 边的中点，点M 为线段EF 上一动点，则CDM V 周长的最小值为( )A ．6B ．8C ．10D ．1210．如图，正六边形A 1B 1C 1D 1E 1F 1的边长为2，正六边形A 2B 2C 2D 2E 2F 2的外接圆与正六边形A 1B 1C 1D 1E 1F 1的各边相切，正六边形A 3B 3C 3D 3E 3F 3的外接圆与正六边形A 2B 2C 2D 2E 2F 2的各边相切，…按这样的规律进行下去，A 11B 11C 11D 11E 11F 11的边长为（ ）A ．92432B ．98132C ．82432D ．8813211．一个圆的内接正六边形的边长为 2，则该圆的内接正方形的边长为（ ） A ．2B ．22C ．23D ．412．下列计算正确的是（ ） A ．3a 2﹣6a 2=﹣3 B ．（﹣2a ）•（﹣a ）=2a 2 C ．10a 10÷2a 2=5a 5 D ．﹣（a 3）2=a 6二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．如图，一个直角三角形纸片，剪去直角后，得到一个四边形，则∠1+∠2=_______度．14．如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为34°的斜坡，从A 滑行至B ，已知AB ＝500米，则这名滑雪运动员的高度下降了_____米．（参考数据：sin34°≈0.56，cos34°≈0.83，tan34°≈0.67）15．某花店有单位为10元、18元、25元三种价格的花卉，如图是该花店某月三种花卉销售量情况的扇形统计图，根据该统计图可算得该花店销售花卉的平均单价为_____元．16．抛物线221y mx mx =++（m 为非零实数）的顶点坐标为_____________. 17．因式分解：x 2﹣10x+24=_____．18．四张背面完全相同的卡片上分别写有0、·3、9、2、227四个实数，如果将卡片字面朝下随意放在桌子上，任意取一张，那么抽到有理数的概率为___________．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y=ax 2+bx+c 经过A 、B 、C 三点，已知点A （﹣3，0），B （0，3），C （1，0）． （1）求此抛物线的解析式．（2）点P 是直线AB 上方的抛物线上一动点，（不与点A 、B 重合），过点P 作x 轴的垂线，垂足为F ，交直线AB 于点E ，作PD ⊥AB 于点D ．动点P 在什么位置时，△PDE 的周长最大，求出此时P 点的坐标．20．（6分）省教育厅决定在全省中小学开展“关注校车、关爱学生”为主题的交通安全教育宣传周活动，某中学为了了解本校学生的上学方式，在全校范围内随机抽查了部分学生，将收集的数据绘制成如下两幅不完整的统计图（如图所示），请根据图中提供的信息，解答下列问题．m= %，这次共抽取 名学生进行调查；并补全条形图；在这次抽样调查中，采用哪种上学方式的人数最多？如果该校共有1500名学生，请你估计该校骑自行车上学的学生有多少名？21．（6分）已知关于x 的一元二次方程(3)(2)(1)x x p p --=+.试证明：无论p 取何值此方程总有两个实数根；若原方程的两根1x ，2x 满足222121231x x x x p +-=+，求p 的值.22．（8分）如图，二次函数的图像与轴交于、两点，与轴交于点，．点在函数图像上，轴，且，直线是抛物线的对称轴，是抛物线的顶点．求、的值；如图①，连接，线段上的点关于直线的对称点恰好在线段上，求点的坐标；如图②，动点在线段上，过点作轴的垂线分别与交于点，与抛物线交于点．试问：抛物线上是否存在点，使得与的面积相等，且线段的长度最小？如果存在，求出点的坐标；如果不存在，说明理由．23．（8分）新农村社区改造中，有一部分楼盘要对外销售．某楼盘共23层，销售价格如下：第八层楼房售价为4 000元/米2，从第八层起每上升一层，每平方米的售价提高50元；反之，楼层每下降一层，每平方米的售价降低30元，已知该楼盘每套房面积均为120米2.若购买者一次性付清所有房款，开发商有两种优惠方案：降价8%，另外每套房赠送a元装修基金；降价10%，没有其他赠送．请写出售价y(元/米2)与楼层x(1≤x≤23，x取整数)之间的函数表达式；老王要购买第十六层的一套房，若他一次性付清所有房款，请帮他计算哪种优惠方案更加合算．24．（10分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，P沿射线BD运动，连接AP，将线段AP绕点P 顺时针旋转90°得线段PQ．(1)当点Q落到AD上时，∠PAB＝____°，PA＝_____，»AQ长为_____；(2)当AP⊥BD时，记此时点P为P0，点Q为Q0，移动点P的位置，求∠QQ0D的大小；(3)在点P运动中，当以点Q为圆心，23BP为半径的圆与直线BD相切时，求BP的长度；(4)点P在线段BD上，由B向D运动过程(包含B、D两点)中，求CQ的取值范围，直接写出结果．25．（10分）某学校为了解学生的课余活动情况，抽样调查了部分学生，将所得数据处理后，制成折线统计图（部分）和扇形统计图（部分）如图：（1）在这次研究中，一共调查了学生，并请补全折线统计图；（2）该校共有2200名学生，估计该校爱好阅读和爱好体育的学生一共有多少人？26．（12分）如图，在4×4的正方形方格中，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上. 填空：∠ABC= °，BC= ；判断△ABC与△DEF是否相似，并证明你的结论.27．（12分）如图，M、N为山两侧的两个村庄，为了两村交通方便，根据国家的惠民政策，政府决定打一直线涵洞.工程人员为了计算工程量，必须计算M、N两点之间的直线距离，选择测量点A、B、C，点B、C分别在AM、AN上，现测得AM=1千米、AN=1.8千米，AB=54米、BC=45米、AC=30米，求M、N两点之间的距离.参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．C【解析】分析：主要根据折叠前后角和边相等对各选项进行判断，即可选出正确答案．详解：A、BC=BC′，AD=BC，∴AD=BC′，所以A正确．B 、∠CBD=∠EDB ，∠CBD=∠EBD ，∴∠EBD=∠EDB ，所以B 正确． D 、∵sin ∠ABE=，∵∠EBD=∠EDB ∴BE=DE ∴sin ∠ABE=．由已知不能得到△ABE ∽△CBD ．故选C ．点睛：本题可以采用排除法，证明A ，B ，D 都正确，所以不正确的就是C ，排除法也是数学中一种常用的解题方法． 2．C 【解析】 【分析】根据勾股定理求解. 【详解】设小方格的边长为1，得， 22222+= ，22222+=，AC=4，∵OC 2+AO 2=222)2)+=16， AC 2=42=16，∴△AOC 是直角三角形， ∴∠AOC=90°． 故选C ． 【点睛】考点：勾股定理逆定理. 3．D 【解析】 【分析】由已知条件得到AD′=AD=4，AO=12AB=2，根据勾股定理得到22AD OA '- 3，于是得到结论． 【详解】解：∵AD′=AD=4，AO=12AB=1，∴，∵C′D′=4，C′D′∥AB，∴C′（4，），故选：D．【点睛】本题考查正方形的性质，坐标与图形的性质，勾股定理，正确的识别图形是解题关键．4．C【解析】A、剪去阴影部分后，组成无盖的正方体，故此选项不合题意；B、剪去阴影部分后，无法组成长方体，故此选项不合题意；C、剪去阴影部分后，能组成长方体，故此选项正确；D、剪去阴影部分后，组成无盖的正方体，故此选项不合题意；故选C．5．B【解析】【分析】A、根据众数的定义找出出现次数最多的数；B、根据中位数的定义将这组数据从小到大重新排列，求出最中间的2个数的平均数，即可得出中位数；C、根据加权平均数公式代入计算可得；D、根据方差公式计算即可．【详解】解：A、由统计表得：众数为3，不是8，所以此选项不正确；B、随机调查了20名学生，所以中位数是第10个和第11个学生的阅读小时数，都是3，故中位数是3，所以此选项正确；C、平均数=122 2.5386 3.5433.3520⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，所以此选项不正确；D、S2=120×[（2﹣3.35）2+2（2.5﹣3.35）2+8（3﹣3.35）2+6（3.5﹣3.35）2+3（4﹣3.35）2]=5.6520=0.2825，所以此选项不正确；故选B．【点睛】本题考查方差；加权平均数；中位数；众数．6．D【解析】【分析】根据一元二次方程根与系数的关系列出方程求解即可．【详解】设方程的两根分别为x1，x1，∵x1+（k1-4）x+k-1=0的两实数根互为相反数，∴x1+x1，=-（k1-4）=0，解得k=±1，当k=1，方程变为：x1+1=0，△=-4＜0，方程没有实数根，所以k=1舍去；当k=-1，方程变为：x1-3=0，△=11＞0，方程有两个不相等的实数根；∴k=-1．故选D．【点睛】本题考查的是根与系数的关系．x1，x1是一元二次方程ax1+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x1=−ba，x1x1=ca，反过来也成立.7．D【解析】【分析】根据ED是BC的垂直平分线、BD是角平分线以及∠A=90°可求得∠C=∠DBC=∠ABD=30°，从而可得CD=BD=2AD=6，然后利用三角函数的知识进行解答即可得.【详解】∵ED是BC的垂直平分线，∴DB=DC，∴∠C=∠DBC，∵BD是△ABC的角平分线，∴∠ABD=∠DBC，∵∠A=90°，∴∠C+∠ABD+∠DBC=90°，∴∠C=∠DBC=∠ABD=30°，∴BD=2AD=6，∴CD=6，∴故选D．【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，含30度角的直角三角形的性质，余弦等，结合图形熟练应用相关的性质及定理是解题的关键.8．C【解析】试题分析：根据轴对称图形及中心对称图形的定义，结合所给图形进行判断即可．A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误；B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项错误；C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项正确；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误. 故选C．考点：中心对称图形；轴对称图形．9．C【解析】【分析】连接AD，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC，再根据三角形的面积公式求出AD的长，再再根据EF是线段AC的垂直平分线可知，点C关于直线EF的对称点为点A，故AD的长为CM+MD的最小值，由此即可得出结论．【详解】连接AD，∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，∴AD⊥BC，∴S△ABC=12BC•AD=12×4×AD=16，解得AD=8，∵EF是线段AC的垂直平分线，∴点C关于直线EF的对称点为点A，∴AD的长为CM+MD的最小值，∴△CDM的周长最短=（CM+MD）+CD=AD+12BC=8+12×4=8+2=1．故选C．【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．10．A【解析】分析：连接OE1，OD1，OD2，如图，根据正六边形的性质得∠E1OD1=60°，则△E1OD1为等边三角形，再根据切线的性质得OD2⊥E1D1，于是可得OD2=3E1D1=3×2，利用正六边形的边长等于它的半径得到正六边形A2B2C2D2E2F2的边长=3×2，同理可得正六边形A3B3C3D3E3F3的边长=（3）2×2，依此规律可得正六边形A11B11C11D11E11F11的边长=（3）10×2，然后化简即可．详解：连接OE1，OD1，OD2，如图，∵六边形A1B1C1D1E1F1为正六边形，∴∠E1OD1=60°，∴△E1OD1为等边三角形，∵正六边形A2B2C2D2E2F2的外接圆与正六边形A1B1C1D1E1F1的各边相切，∴OD2⊥E1D1，∴OD231D132，∴正六边形A2B2C2D2E2F2的边长32，同理可得正六边形A3B3C3D3E3F3的边长=32×2，则正六边形A11B11C11D11E11F11的边长=（32）10×2=92432．故选A．点睛：本题考查了正多边形与圆的关系：把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆．记住正六边形的边长等于它的半径．11．B【解析】【分析】圆内接正六边形的边长是1，即圆的半径是1，则圆的内接正方形的对角线长是2，进而就可求解．【详解】解：∵圆内接正六边形的边长是1，∴圆的半径为1．那么直径为2．圆的内接正方形的对角线长为圆的直径，等于2．∴圆的内接正方形的边长是12．故选B．【点睛】本题考查正多边形与圆，关键是利用知识点：圆内接正六边形的边长和圆的半径相等；圆的内接正方形的对角线长为圆的直径解答．12．B【解析】【分析】根据整式的运算法则分别计算可得出结论.【详解】选项A，由合并同类项法则可得3a2﹣6a2=﹣3a2，不正确；选项B，单项式乘单项式的运算可得（﹣2a）•（﹣a）=2a2，正确；选项C，根据整式的除法可得10a10÷2a2=5a8，不正确；选项D，根据幂的乘方可得﹣（a3）2=﹣a6，不正确．故答案选B．考点：合并同类项；幂的乘方与积的乘方；单项式乘单项式．二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．270【解析】【分析】根据三角形的内角和与平角定义可求解．【详解】解析：如图，根据题意可知∠5=90°，∴∠3+∠4=90°，∴∠1+∠2=180°+180°-（∠3+∠4）=360°-90°=270°，故答案为：270度.【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理和内角与外角之间的关系．要会熟练运用内角和定理求角的度数．14．1． 【解析】试题解析：在RtΔABC 中，sin34°=ACAB∴AC=AB×sin34°=500×0.56=1米. 故答案为1. 15．17 【解析】 【分析】根据饼状图求出25元所占比重为20%,再根据加权平均数求法即可解题. 【详解】解：1-30%-50%=20%,∴2520%1030%1850%17⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题考查了加权平均数的计算方法,属于简单题,计算25元所占权比是解题关键. 16．()1,1m -- 【解析】【分析】将抛物线的解析式由一般式化为顶点式，即可得到顶点坐标. 【详解】y=mx 2+2mx+1=m(x 2+2x)+1 =m(x 2+2x+1-1)+1 =m(x+1)2 +1-m ，所以抛物线的顶点坐标为（-1，1-m ）， 故答案为（-1，1-m ）.【点睛】本题考查了抛物线的顶点坐标，把抛物线的解析式转化为顶点式是解题的关键. 17．（x ﹣4）（x ﹣6） 【解析】 【分析】因为(－4)×(－6)=24，(－4)+(－6)=－10，所以利用十字相乘法分解因式即可. 【详解】x 2﹣10x+24= x 2﹣10x+(－4)×(－6)=（x ﹣4）（x ﹣6） 【点睛】本题考查的是因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键.18．34【解析】 【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率． 【详解】∵在0.·3、227这四个实数种，有理数有0.·3227这3个， ∴抽到有理数的概率为34，故答案为34．【点睛】此题考查概率的求法：如果一个事件有n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A 出现m 种结果，那么事件A 的概率P （A ）=m n ． 三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19．（1）y=﹣x 2﹣2x+1；（2）（﹣32，154）【解析】 【分析】（1）将A （-1，0），B （0，1），C （1，0）三点的坐标代入y=ax 2+bx+c ，运用待定系数法即可求出此抛物线的解析式；（2）先证明△AOB 是等腰直角三角形，得出∠BAO=45°，再证明△PDE 是等腰直角三角形，则PE 越大，△PDE 的周长越大，再运用待定系数法求出直线AB 的解析式为y=x+1，则可设P 点的坐标为（x ，-x 2-2x+1），E 点的坐标为（x ，x+1），那么PE=（-x 2-2x+1）-（x+1）=-（x+32）2+94，根据二次函数的性质可知当x=-32时，PE 最大，△PDE 的周长也最大．将x=-32代入-x 2-2x+1，进而得到P 点的坐标． 【详解】解：（1）∵抛物线y=ax 2+bx+c 经过点A （﹣1，0），B （0，1），C （1，0），∴9a-3b+c=0{c=3a+b+c=0，解得a=-1{b=-2c=3，∴抛物线的解析式为y=﹣x 2﹣2x+1； （2）∵A （﹣1，0），B （0，1），∴OA=OB=1，∴△AOB是等腰直角三角形，∴∠BAO=45°．∵PF⊥x轴，∴∠AEF=90°﹣45°=45°，又∵PD⊥AB，∴△PDE是等腰直角三角形，∴PE越大，△PDE的周长越大．设直线AB的解析式为y=kx+b，则-3k+b=0 {b=3，解得k=1{b=3，即直线AB的解析式为y=x+1．设P点的坐标为（x，﹣x2﹣2x+1），E点的坐标为（x，x+1），则PE=（﹣x2﹣2x+1）﹣（x+1）=﹣x2﹣1x=﹣（x+32）2+94，所以当x=﹣32时，PE最大，△PDE的周长也最大．当x=﹣32时，﹣x2﹣2x+1=﹣（﹣32）2﹣2×（﹣32）+1=154，即点P坐标为（﹣32，154）时，△PDE的周长最大．【点睛】本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有运用待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，等腰直角三角形的判定与性质，二次函数的性质，三角形的周长，综合性较强，难度适中．20．(1)、26%；50；(2)、公交车；(3)、300名.【解析】试题分析：(1)、用1减去其它3个的百分比，从而得出m的值；根据乘公交车的人数和百分比得出总人数，然后求出骑自行车的人数，将图形补全；(2)、根据条形统计图得出哪种人数最多；(3)、根据全校的总人数×骑自行车的百分比得出人数.试题解析：(1)、1﹣14%﹣20%﹣40%=26%；20÷40%=50；骑自行车人数：50－20－13－7=10(名) 则条形图如图所示：(2)、由图可知，采用乘公交车上学的人数最多(3)、该校骑自行车上学的人数约为：1500×20%=300（名）．答：该校骑自行车上学的学生有300名．考点：统计图21．（1）证明见解析；（2）-2.【解析】分析：（1）将原方程变形为一般式，根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△=（2p+1）2≥1，由此即可证出：无论p取何值此方程总有两个实数根；（2）根据根与系数的关系可得出x1+x2=5、x1x2=6-p2-p，结合x12+x22-x1x2=3p2+1，即可求出p值．详解：（1）证明：原方程可变形为x2-5x+6-p2-p=1．∵△=（-5）2-4（6-p2-p）=25-24+4p2+4p=4p2+4p+1=（2p+1）2≥1，∴无论p取何值此方程总有两个实数根；（2）∵原方程的两根为x1、x2，∴x1+x2=5，x1x2=6-p2-p．又∵x12+x22-x1x2=3p2+1，∴（x1+x2）2-3x1x2=3p2+1，∴52-3（6-p2-p）=3p2+1，∴25-18+3p2+3p=3p2+1，∴3p=-6，∴p=-2．点睛：本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：（1）牢记“当△≥1时，方程有两个实数根”；（2）根据根与系数的关系结合x12+x22-x1x2=3p2+1，求出p值．22．（1），；（2）点的坐标为；（3）点的坐标为和【解析】【分析】（1）根据二次函数的对称轴公式，抛物线上的点代入，即可；（2）先求F的对称点，代入直线BE，即可；（3）构造新的二次函数，利用其性质求极值.【详解】解：（1）轴，，抛物线对称轴为直线点的坐标为解得或（舍去），（2）设点的坐标为对称轴为直线点关于直线的对称点的坐标为.直线经过点利用待定系数法可得直线的表达式为.因为点在上，即点的坐标为（3）存在点满足题意.设点坐标为，则作垂足为①点在直线的左侧时，点的坐标为点的坐标为点的坐标为在中，时，取最小值.此时点的坐标为②点在直线的右侧时，点的坐标为同理，时，取最小值.此时点的坐标为综上所述：满足题意得点的坐标为和考点：二次函数的综合运用.23．（1）30+37601850+3600923x x xyx x x≤≤⎧⎨≤≤⎩（，为整数）＝（，为整数）；（2）当每套房赠送的装修基金多于10 560元时，选择方案一合算；当每套房赠送的装修基金等于10 560元时，两种方案一样；当每套房赠送的装修基金少于10 560元时，选择方案二合算．【解析】【详解】解：（1）当1≤x≤8时，每平方米的售价应为：y=4000﹣（8﹣x）×30="30x+3760" （元/平方米）当9≤x≤23时，每平方米的售价应为：y=4000+（x﹣8）×50=50x+3600（元/平方米）．∴30+37601850+3600923x x xyx x x≤≤⎧⎨≤≤⎩（，为整数）＝（，为整数）（2）第十六层楼房的每平方米的价格为：50×16+3600=4400（元/平方米），按照方案一所交房款为：W 1=4400×120×（1﹣8%）﹣a=485760﹣a （元）， 按照方案二所交房款为：W 2=4400×120×（1﹣10%）=475200（元）， 当W 1＞W 2时，即485760﹣a ＞475200， 解得：0＜a ＜10560，当W 1＜W 2时，即485760﹣a ＜475200， 解得：a ＞10560，∴当0＜a ＜10560时，方案二合算；当a ＞10560时，方案一合算． 【点睛】本题考查的是用一次函数解决实际问题，读懂题目信息，找出数量关系表示出各楼层的单价以及是交房款的关系式是解题的关键． 24． (1)45，1227，62π；(2)满足条件的∠QQ 0D 为45°或135°；(3)BP 的长为275或2725；(4)7210≤CQ≤7. 【解析】 【分析】(1)由已知，可知△APQ 为等腰直角三角形，可得∠PAB ，再利用三角形相似可得PA ，及弧AQ 的长度； (2)分点Q 在BD 上方和下方的情况讨论求解即可．(3)分别讨论点Q 在BD 上方和下方的情况，利用切线性质，在由(2)用BP 0表示BP ，由射影定理计算即可； (4)由(2)可知，点Q 在过点Q o ，且与BD 夹角为45°的线段EF 上运动，有图形可知，当点Q 运动到点E 时，CQ 最长为7，再由垂线段最短，应用面积法求CQ 最小值． 【详解】解：(1)如图，过点P 做PE ⊥AD 于点E由已知，AP ＝PQ ，∠APQ ＝90° ∴△APQ 为等腰直角三角形 ∴∠PAQ ＝∠PAB ＝45°设PE ＝x ，则AE ＝x ，DE ＝4﹣x ∵PE ∥AB ∴△DEP ∽△DAB∴DEDA=PEAB∴4-x4=3x解得x＝12 7∴PA＝2PE＝122∴弧AQ的长为14•2π•122＝627π．故答案为45，1227，62π．(2)如图，过点Q做QF⊥BD于点F由∠APQ＝90°，∴∠APP0+∠QPD＝90°∵∠P0AP+∠APP0＝90°∴∠QPD＝∠P0AP∵AP＝PQ∴△APP0≌△PQF∴AP0＝PF，P0P＝QF∵AP0＝P0Q0∴Q0D＝P0P∴QF＝FQ0∴∠QQ0D＝45°．当点Q在BD的右下方时，同理可得∠PQ0Q＝45°，此时∠QQ0D＝135°，综上所述，满足条件的∠QQ0D为45°或135°．(3)如图当点Q直线BD上方，当以点Q为圆心，23BP为半径的圆与直线BD相切时过点Q做QF⊥BD于点F，则QF＝23BP由(2)可知，PP0＝23BP∴BP0＝13BP∵AB＝3，AD＝4 ∴BD＝5∵△ABP0∽△DBA ∴AB2＝BP0•BD∴9＝13BP×5∴BP＝27 5同理，当点Q位于BD下方时，可求得BP＝27 25故BP的长为275或2725(4)由(2)可知∠QQ0D＝45°则如图，点Q在过点Q0，且与BD夹角为45°的线段EF上运动，当点P与点B重合时，点Q与点F重合，此时，CF＝4﹣3＝1当点P与点D重合时，点Q与点E重合，此时，CE＝4+3＝7∴EF22CF+CE2217+2过点C做CH⊥EF于点H由面积法可知CH＝FC ECEF•5272∴CQ的取值范围为：210≤CQ≤7【点睛】本题是几何综合题，考查了三角形全等、勾股定理、切线性质以及三角形相似的相关知识，应用了分类讨论和数形结合的数学思想．25．（1）200名；折线图见解析；（2）1210人.【解析】【分析】（1）由“其他”的人数和所占百分数，求出全部调查人数；先由“体育”所占百分数和全部调查人数求出体育的人数，进一步求出阅读的人数，补全折线统计图；（2）利用样本估计总体的方法计算即可解答．【详解】（1）调查学生总人数为40÷20%=200（人），体育人数为：200×30%=60（人），阅读人数为：200﹣（60+30+20+40）=200﹣150=50（人）．补全折线统计图如下：．（2）2200×5060200+=1210（人）． 答：估计该校学生中爱好阅读和爱好体育的人数大约是1210人．【点睛】本题考查了统计知识的应用，试题以图表为载体，要求学生能从中提取信息来解题，与实际生活息息相关，符合新课标的理念．26． (1) 2. (2)△ABC ∽△DEF.【解析】【分析】（1）根据已知条件，结合网格可以求出∠ABC 的度数，根据，△ABC 和△DEF 的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上，利用勾股定理即可求出线段BC 的长；（2）根据相似三角形的判定定理，夹角相等，对应边成比例即可证明△ABC 与△DEF 相似．【详解】(1)9045135ABC ∠=+=o o o ，2222822BC +==；故答案为 2.(2)△ABC ∽△DEF.证明：∵在4×4的正方形方格中， 135,9045135ABC DEF ∠=∠=+=o o o o ，∴∠ABC=∠DEF. ∵2,22,2,2,AB BC FE DE ==== ∴222, 2.22AB BC DE FE ==== ∴△ABC ∽△DEF.【点睛】考查勾股定理以及相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键. 27．1.5千米【解析】【分析】先根据相似三角形的判定得出△ABC∽△AMN,再利用相似三角形的性质解答即可【详解】在△ABC与△AMN中，305549ACAB==，151.89AMAN==，∴AC AM AB AN=，∵∠A=∠A，∴△ABC∽△ANM，∴AC AMBC MN=，即30145MN=，解得MN=1.5(千米) ，因此，M、N两点之间的直线距离是1.5千米.【点睛】此题考查相似三角形的应用，解题关键在于掌握运算法则。

九年级模拟测试 数学试卷 第1页（共25页）北 京 市 西 城 区 九 年 级 模 拟 测 试数学试卷 2020。

6一、选择题（本题共16分,每小题2分）第1—8题均有四个选项,符合题意的选项只有一个.1。

下列各组图形中，能将其中一个图形经过平移变换得到另一个图形的是(A) （B ）(C ）（D ）2。

中国国家航天局2020年4月24日在“中国航天日"之际宣布,将中国行星探测任务命名为“天问”,将中国首次火星探测任务命名为“天问一号”. 火星具有与地球十分相近的环境，与地球最近的时候距离约5 500万千米，将5 500用科学记数法表示为九年级模拟测试 数学试卷 第2页（共25页）（A ）40.5510⨯ （B ）35.510⨯ （C)25.510⨯ （D)25510⨯ 3。

图1是某个几何体的平面展开图，该几何体是（A) （B ） （C ） （D ）图14。

下列运算中，正确的是（A ）23⋅=a a a （B)623÷=a a a （C ） 2222-=a a （D ）()22436=a a5。

如图，实数a ，b 在数轴上的对应点的位置如图所示,则正确的结论是（A ）3a >(B ）10b -<-<（C ）a b <- (D ）0a b +>6。

如图,△ABC 内接于⊙O ，若∠A ＝45°,OC ＝2，则BC 的长为（A（B ）(C ）(D ）47。

某人开车从家出发去植物园游玩，设汽车行驶的路程为S (千米）,所用时间为t (分)，S与t之间的函数关系如图所示．若他早上8点从家出发，汽车在途中停车加油一次,则下列描述中,不正确．．．的是（A)汽车行驶到一半路程时，停车加油用时10分钟（B）汽车一共行驶了60千米的路程，上午9点5分到达植物园(C）加油后汽车行驶的速度为60千米/时(D）加油后汽车行驶的速度比加油前汽车行驶的速度快8.张老师将自己2019年10月至2020年5月的通话时长（单位：分钟)的有关数据整理如下:①2019年10月至2020年3月通话时长统计表②2020年4月与2020年5月,这两个月通话时长的总和为1100分钟根据以上信息，推断张老师这八个月的通话时长的中位数可能的最大值为（A）550 （B)580 （C）610 (D）630二、填空题(本题共16分，每小题2分)9。

北京市 初三二模试卷一、选择题(本题共30分，每小题3分)1．羊年除夕夜的10点半，在央视春晚送红包的活动中，微信“摇一摇”峰值的摇动次数达到8.1亿次/分钟，送出微信红包120 000 000个．将120 000 000用科学记数法表示应为 A. 90.1210⨯ B. 71.210⨯ C. 81.210⨯ D. 71210⨯ 2．如图，BD ∥AC ，AD 与BC 交于点E ，如果∠BCA=50°，∠D=30°， 那么∠DEC 等于A. 75°B. 80°C. 100°D. 120° 3．64的立方根是A. 8±B. 4±C. 8D. 4 4．函数2y x =-中，自变量x 的取值范围是A.2x ≠B. x ≥2C. x ＞2D. x ≥2-5．如图，△ABC 中，D ，E 两点分别在AB ，AC 边上，且DE ∥BC ， 如果23AD AB =，AC=6，那么AE 的长为 A. 3 B. 4 C. 9 D. 126．某居民小区开展节约用电活动，该小区100户家庭4月份的节电情况如下表所示． 节电量（千瓦时） 20 30 40 50 户数（户）20303020A. 35B. 26C. 25D. 20 7. 若一个正六边形的半径为2，则它的边心距等于 A. 2 B. 1 C. 3 D. 238．如图，△ABC 的边AC 与⊙O 相交于C ，D 两点，且经过圆心O ， 边AB 与⊙O 相切，切点为B ．如果∠A=34°，那么∠C 等于 A ．28° B ．33° C ．34° D ．56°9．如图，将正方形OABC 放在平面直角坐标系xOy 中，O 是原点， 若点A 的坐标为(1,3)，则点C 的坐标为 A ．(3,1) B ．(1,3)- C ．(3,1)- D ．(3,1)--10．在平面直角坐标系xOy 中，点M 的坐标为(,1)m ．如果以原点为圆心，半径为1的⊙O 上存在点N ，使得45OMN ∠=︒，那么m 的取值范围是A ．1-≤m ≤1 B. 1-＜m ＜1 C. 0≤m ≤1 D. 0＜m ＜1 二、填空题(本题共18分，每小题3分)11．若2(2)10m n ++-= 则m n -= ．12．若一个凸n 边形的内角和为1080︒，则边数n = ．13．两千多年前，我国的学者墨子和他的学生做了小孔成像的实验．他的做法是，在一间黑暗的屋子里，一面墙上开一个小孔，小孔对面的墙上就会出现外面景物的倒像．小华在学习了小孔成像的原理后，利用如下装置来验证小孔成像的现象．已知一根点燃的蜡烛距小孔20cm ，光屏在距小孔30cm 处，小华测量了蜡烛的火焰高度为2cm ，则光屏上火焰所成像的高度为______cm ．14．请写出一个图象的对称轴是直线1x =，且经过(0,1)点的二次函数的表达式： ______． 15．如图，在平面直角坐标系x Oy 中，直线3y x =与双曲线ny x =（n ≠0）在第一象限的公共点是(1,)P m ．小明说：“从图象上可以看出，满足3nx x>的x 的取值范围是1x >．”你同意他的观点吗？答： ．理由是 ．16．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点D 为直线2y x =上且在第一象限内的任意一点，1DA ⊥x 轴于点1A ，以1DA 为边在1DA 的右侧作正方形111A B C D ；直线1OC 与边1DA 交于点2A ，以2DA 为边在2DA 的右侧作正方形222A B C D ；直线2OC 与边1DA 交于点3A ，以3DA 为边在3DA 的右侧作正方形333A B C D ，……，按这种方式进行下去，则直线1OC 对应的函数表达式为 ，直线3OC 对应的函数表达式为 .三、解答题(本题共30分，每小题5分)17．如图，△ABC 是等边三角形，D ，E 两点分别在AB ，BC 的延长线上，BD=CE ，连接AE ，CD ．求证：∠E ＝∠D ．18．计算：1012cos 30()1(3)3π-++--o .19．已知2540x x --=，求代数式(2)(2)(21)(2)x x x x +----的值．20．解方程：231233x x x x-=--．21．列方程（组）解应用题：某超市的部分商品账目记录显示内容如下：22．已知关于x 的函数 2(3)3y mx m x =+--．（1）求证：无论m取何实数，此函数的图象与x轴总有公共点；（2）当m＞0时，如果此函数的图象与x轴公共点的横坐标为整数，求正整数m的值．四、解答题(本题共20分，每小题5分)23．如图，将平行四边形纸片ABCD按如图方式折叠，使点C 与点A重合，点D的落点记为点D′，折痕为EF，连接CF．（1）求证：四边形AFCE是菱形；（2）若∠B=45°，∠FCE=60°，AB=62，求线段D′F的长．24.1949年以来，北京市人口结构变迁经历了5个阶段，从2001年至今已进入第五个阶段——人口膨胀增长阶段.以下是根据北京市统计局1月的相关数据制作的统计图.根据以上信息解决下列问题：（1）以下说法中，正确的是（请填写所有正确说法的序号）①从2011年至2014年，全市常住人口数在逐年下降；②2010年末全市常住人口数达到近年来的最高值；③2014年末全市常住人口比2013年末增加36.8万人；④从2011年到2014年全市常住人口的年增长率连续递减.（2）补全“2014年末北京市常住人口分布图”，并回答：2014年末朝阳、丰台、石景山、海淀四区的常住人口总数已经达到多少万人？（3）水资源缺乏制约着北京市的人口承载能力，为控制人口过快增长，到底，北京市要将全市常住人口数控制在2180万以内（即不超过2180万）.为实现这一目标，的全市常住人口的年增长率应不超过．（精确到0.1%）25．如图1，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点F在线段ED上．连接AF并延长交⊙O于点G，在CD的延长线上取一点P，使PF=PG．（1）依题意补全图形，判断PG与⊙O的位置关系，并证明你的结论；（2）如图2，当E为半径OA的中点，DG∥AB，且OA PG的长．26．（1）小明遇到下面一道题：如图1，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC=90º，∠ACB=30º，BE ⊥AC 于点E ，且=CDE ACB ∠∠．如果AB=1，求CD 边的长．小明在解题过程中发现，图1中，△CDE 与△ 相似，CD 的长度等于 ，线段CD 与线段 的长度相等；他进一步思考：如果ACB α∠=（α是锐角），其他条件不变，那么CD 的长度可以表示为CD= ；（用含α的式子表示）（2）受以上解答过程的启发，小明设计了如下的画图题：在Rt △OMN 中，∠MON=90º，OM ＜ON ，OQ ⊥MN 于点Q ，直线l 经过点M ，且l ∥ON ．请在直线l 上找出点P 的位置，使得NPQ ONM ∠=∠．请写出你的画图步骤，并在答题卡上完成相应的画图过程．（画出一个即可，保留画图痕迹，不要求证明）五、解答题(本题共22分，第27题7分，第28题7分，第29题8分) 27．已知一次函数1y kx b =+（k ≠0）的图象经过(2,0)，(4,1)两点，二次函数2224y x ax =-+（其中a ＞2）．（1）求一次函数的表达式及二次函数图象的顶点坐标（用含a 的代数式表示）； （2）利用函数图象解决下列问题： ①若25=a ，求当10y >且2y ≤0时，自变量x 的取值范围； ②如果满足10y >且2y ≤0时的自变量x 的取值范围内恰有一个整数，直接写出a 的取值范围．28．正方形ABCD的边长为3，点E，F分别在射线DC，DA上运动，且DE=DF．连接BF，作EH ⊥BF所在直线于点H，连接CH.（1）如图1，若点E是DC的中点，CH与AB之间的数量关系是；（2）如图2，当点E在DC边上且不是DC的中点时，（1）中的结论是否成立？若成立给出证明；若不成立，说明理由；（3）如图3，当点E，F分别在射线DC，DA上运动时，连接DH，过点D作直线DH的垂线，交直线BF于点K，连接CK，请直接写出线段CK长的最大值．29．对于平面直角坐标系xOy 中的点P 和图形G ，给出如下定义：在图形G 上若存在两点M ，N ，使△PMN 为正三角形，则称图形G 为点P 的τ型线，点P 为图形G 的τ型点， △PMN 为图形G 关于点P 的τ型三角形．（1）如图1，已知点(0,A ，(3,0)B ，以原点O 为圆心的⊙O 的半径为1．在A ，B 两点中，⊙O 的τ型点是____，画出并回答⊙O 关于该τ型点的τ型三角形；（画出一个即可） （2）如图2，已知点(0,2)E ，点(,0)F m （其中m ＞0）．若线段EF 为原点O 的τ型线，且线段EF 关于原点O 的τ型三角形的面积为9，求m 的值； （3）若(0,2)H -是抛物线2y x n =+的τ型点，直接写出n 的取值范围．数学试卷参考答案及评分标准一、选择题（本题共30分，每小题3分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B D B B A C A C A11 12 13 14 15 163-8 3221y x x=-+（答案不唯一）不同意x的取值范围是10x-<<或1x>（或其他正确结论）23y x=1415y x=17.证明：如图1.∵△ABC是等边三角形，∴AC=BC，∠ACB＝∠ABC=60°．………………………………………………1分∵ D ，E 两点分别在AB ，BC 的延长线上，∴ ∠ACE ＝∠CBD=120°． …………………2分 在△ACE 和△CBD 中，,,AC CB ACE CBD CE BD =⎧⎪∠∠⎩=⎪⎨，＝ ……………………… 3分∴ △ACE ≌△CBD ．……………………… 4分∴ ∠E ＝∠D ．…………………………………………………………………… 5分18．解： 1012cos 30()13(3)3π-++---o323311=⨯++-- ………………………………………………………………4分 231=+. ………………………………………………………………………… 5分 19．解： (2)(2)(21)(2)x x x x +----=224(252)x x x ---+………………………………………………………………2分 =224252x x x --+-=256x x -+-．………………………………………………………………………3分 ∵ 2540x x --=，∴ 254x x -=．…………………………………………………………………… 4分 ∴ 原式=2(5)64610x x ---=--=-．……………………………………………5分 20．解：去分母，得 3(3)2x x --=．…………………………………………………… 1分 去括号，得 332x x -+=． ………………………………………………………2分 整理，得 21x =-．……………………………………………………………… 3分图1解得 12x =-． …………………………………………………………………… 4分经检验，12x =-是原方程的解． …………………………………………………5分所以原方程的解是12x =-．21．解：设牙膏每盒x 元，牙刷每支y 元．…………………………………………………1分由题意，得 713121,1415187.x y x y +=+=⎧⎨⎩…………………………………………………… 2分解得 85.x y ==⎧⎨⎩，……………………………………………………………………… 3分(124125)88-⨯=（盒）． ………………………………………………………… 4分 答：第三天卖出牙膏8盒．………………………………………………………………5分 22．解：（1）当m=0 时，该函数为一次函数33y x =--，它的图象与x 轴有公共点.……………………… 1分当m ≠0 时，二次函数2(3)3y mx m x =+--．2(3)4(3)m m ∆=--⨯-26912m m m =-++2269(3)m m m =++=+． ∵ 无论m 取何实数，总有2(3)m +≥0，即∆≥0， ∴ 方程2(3)30mx m x +--=有两个实数根．∴ 此时函数2(3)3y mx m x =+--的图象与x 轴有公共点．……………2分 综上所述，无论m 取何实数，该函数的图象与x 轴总有公共点． （2）∵m ＞0，∴ 该函数为二次函数，它的图象与x 轴的公共点的横坐标为(3)(3)2m m x m--±+=．∴ 11x =-，23x m=．……………………………… 3分 ∵ 此抛物线与x 轴公共点的横坐标为整数，∴正整数m=1或3．………………………………………5分四、解答题（本题共20分，每小题5分） 23．（1）证明：如图2．∵点C 与点A 重合，折痕为EF ，∴12∠=∠，AE=EC ．∵ 四边形ABCD 为平行四边形， ∴ AD ∥BC ． ∴ 32∠=∠．∴ 13∠=∠．∴ AE=AF ．……………………………………1分 ∴ AF=EC ． 又∵ AF ∥EC ，∴ 四边形AFCE 是平行四边形．…………… 2分 又AE=AF ，∴ 四边形AFCE 为菱形．………………………… 3分（2）解：如图3，作AG ⊥BE 于点G ，则∠AGB=∠AGE=90°． ∵ 点D 的落点为点D ′ ，折痕为EF ，图2∴D F DF '=.∵ 四边形ABCD 为平行四边形， ∴ AD=BC ．又∵AF=EC ，∴AD AF BC EC -=-，即DF BE =．∵在Rt △AGB 中，∠AGB=90°，∠B=45°，AB=62，∴ AG=GB=6.∵ 四边形AFCE 为平行四边形， ∴ AE ∥FC. ∴ ∠4=∠5=60°.∵ 在Rt △AGE 中，∠AGE=90°，∠4=60°， ∴ 23tan 60AGGE ==︒∴ 623BE BG GE =+=+ ∴ 623D F '=+.…………………5分 24.解：（1）③④.………………………………… 2分（2）补全统计图见图4. ………………… 3分 1055万人. ………………………… 4分 （3）1.3%.………………………………… 5分图325. 解：（1）补全图形如图5所示.…………………… 1分 答：PG 与⊙O 相切. 证明：如图6，连接OG .∵ PF=PG ， ∴ ∠1=∠2.又∵OG=OA ， ∴ ∠3=∠A. ∵ CD ⊥AB 于点E ， ∴ ∠A+∠AFE =90°. 又∵∠2 =∠AFE ，∴ ∠3+∠1=90°. ……………………… 2分 即 OG ⊥PG.∵ OG 为⊙O 的半径，∴ PG 与⊙O 相切. …………………… 3分（2）解：如图7，连接CG.∵ CD ⊥AB 于点E ，∴ ∠OEC=90°. ∵ DG ∥AB ，∴∠GDC=∠OEC =90°. ∵∠GDC 是⊙O 的圆周角， ∴ CG 为⊙O 的直径. ∵ E 为半径OA 的中点， ∴ 22OA OCOE ==. ∴ ∠OCE=30°即∠GCP =30°.又∵∠CGP=90°，243CG OA ==，∴3tan 434PG CG GCP =⋅∠==. …………………………… 5分 26.解：（1）CAD ，3，BC. ……………………………… 3分1tan α.……………………………………………4分 （2）方法1：如图8，以点N 为圆心，ON 为半径作圆，交直线l 于点1P ，2P ，则点 1P ，2P 为符合题意的点.………………………… 5分方法2：如图9，过点N 画NO 的垂线1m ，画NQ 的垂直平分线2m ，直线1m 与2m 交于点R ，以点R 为圆心，RN 为半径作圆，交直线l 于点1P ，2P ，则点1P ，2P 为符合题意的点.……………… 5分图6图7五、解答题(本题共22分，第27题7分，第28题7分，第29题8分) 27．解：（1）∵ 一次函数1y kx b =+（k ≠0）的图象经过(2,0)，(4,1)两点，∴ 20,4 1.k b k b +=⎧⎨+=⎩解得1,21.k b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩…………………………… 1分∴ 1211-=x y ．…………… 2分 ∵ 22224)(42a a x ax x y -+-=+-=，∴ 二次函数图象的顶点坐标为2(,4)a a -．………… 3分（2）①当25=a 时，4522+-=x x y ．………… 4分 如图10，因为10y >且2y ≤0，由图象得2＜x ≤4．…… 6分②136≤a ＜52．……………………………7分图8 图928．解：（1）CH=AB ． ………………………………… 1分 （2）结论成立．………………………………… 2分 证明：如图11，连接BE ． 在正方形ABCD 中，AB=BC=CD=AD ，∠A=∠BCD=∠ABC=90°． ∵ DE=DF ， ∴ AF=CE ．在△ABF 和△CBE 中，,,,AB CB A BCE AF CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ △ABF ≌△CBE ．∴ ∠1=∠2．…………………………………………3分 ∵ EH ⊥BF ，∠BCE=90°，∴ H ，C 两点都在以BE 为直径的圆上．∴ ∠3=∠2．∴ ∠3=∠1．∵ ∠3+∠4=90°，∠1+∠HBC=90°，∴ ∠4=∠HBC ．∴ CH=CB ．………………………………………………………………… 5分 ∴ CH=AB ．………………………………………………………………… 6分（3）323+．………………………………………………………………………7分29．解：（1）点A ．………………………………………1分画图见图12．（画出一个即可）………… 2分△AMN （或△AJK ）. …………………… 3分（2）如图13，作OL ⊥EF 于点L.∵ 线段EF 为点O 的τ型线，∴ OL 即为线段EF 关于点O 的τ型三角形的高.∵线段EF 关于点O 的τ43 ∴233OL =. ……………………………… 4分 ∵ 2OE =，OF m =， ∴222223262()33EL OE OL =-=-=. ∴ 6cos 1EL OE ∠==图12 图13∴ cos 2cos 1OL OL OF ===∠∠∴m ……………………6分（3）n ≤54-.………………………8分。

2 22 1. 本试卷共 8 页，共三道大题，28 道小题。

满分 100 分。

考试时间 120 分钟。

2. 在试卷和草稿纸上准确填写姓名、准考证号、考场号和座位号。

3. 试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

4. 在答题卡上，选择题、作图题用 2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。

5. 考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回。

北京市西城区2020届九年级数学统一测试卷（含答案解析）数学试卷2020.5一、选择题（本题共 16 分，每小题 2 分）第 1–8 题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.1. 北京大兴国际机场目前是全球建设规模最大的机场，2019 年 9 月 25 日正式通航，预计到 2022 年机场旅客吞吐量将达到 45 000 000 人次， 将 45 000 000 用科学记数法表示为 （A ） 45 ⨯106（B ） 4.5 ⨯107（C ） 4.5 ⨯108（D ） 0.45 ⨯1082. 右图是某个几何体的三视图，该几何体是 （A ）圆锥 （B ）圆柱 （C ）长方体 （D ）正三棱柱3. 下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（A ）（B ）（C ）（D ）4. 在数轴上，点 A ，B 表示的数互为相反数，若点 A 在点 B 的左侧，且 AB = 2 2 ，则点 A ，点 B 表示的数分别是 （A ） − ， （B ） ， − （C ） 0 ， 2 （D ） −2 ， 25. 如图，AB 是⊙O 的直径，C ，D 是⊙O 上的两点．若∠CAB =65°， 则∠ADC 的度数为 （A ）65° （B ）35° （C ）32.5°（D ）25°22 22考生须知6.甲、乙两名运动员的10 次射击成绩（单位：环）如图所示，甲、乙两名运动员射击成绩的平均数依次记为x甲，x乙，射击成绩的方差依次记为s2 ，s2 ，则下列关系中完全正甲乙确的是（A）x甲= x乙，s2 ＞s2 （B）x甲= x乙，s2 ＜s2甲乙甲乙（C）x甲＞x乙，s2 ＞s2 （D）x甲＜x乙，s2 ＜s2甲乙甲乙7.如图，在数学实践活动课上，小明同学打算通过测量树的影长计算树的高度．阳光下他测得长1.0 m 的竹竿落在地面上的影长为0.9 m．在同一时刻测量树的影长时，他发现树的影子有一部分落在地面上，还有一部分落在墙面上．他测得这棵树落在地面上的影长BD 为2.7 m，落在墙面上的影长CD 为1.0 m，则这棵树的高度是（A）6.0 m （B）5.0 m（C）4.0 m （D）3.0 m8.设m 是非零实数，给出下列四个命题：①若−1 <m < 0 ，则1 <m <m2 ；②若m > 1 ，则1 <m2 <m ；m m③若m <1 <m2 ，则m < 0 ；④若m2 <m <1 ，则0 <m < 1．m m其中命题成立的序号是（A）①③（B）①④（C）②③（D）③④二、填空题（本题共16 分，每小题2 分）9.若x −1 在实数范围内有意义，则实数x 的取值范围是．10.若多边形的内角和是外角和的2 倍，则该多边形是边形．11.已知y 是以x 为自变量的二次函数，且当x=0 时，y 的最小值为-1，写出一个满足上述条件的二次函数表达式．12.如果a2+a = 1 ，那么代数式1 −a −1的值是．a a2 − 113.如图，在正方形ABCD 中，BE 平分∠CBD，EF⊥BD 于点F.若DE= ，则BC 的长为．214.如图，△ABC 的顶点A，B，C 都在边长为1 的正方形网格的格点上，BD⊥AC 于点D，则AC 的长为，BD 的长为．（第14 题图）（第15 题图）15.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B，C的坐标分别是（0，4），（4，0），（8，0），⊙M 是△ABC 的外接圆，则点M 的坐标为．16.某景区为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了某月（30 天）接待游客人数（单位：万人）的数据，绘制了下面的统计图和统计表.每日接待游客人数（单位：万人）游玩环境评价0≤x＜5 好5≤x＜10 一般10≤x＜15 拥挤15≤x＜20 严重拥挤根据以上信息，以下四个判断中，正确的是（填写所有正确结论的序号）．①该景区这个月游玩环境评价为“拥挤或严重拥挤”的天数仅有 4 天；②该景区这个月每日接待游客人数的中位数在5～10 万人之间；③该景区这个月平均每日接待游客人数低于 5 万人；④这个月1 日至 5 日的五天中，如果某人曾经随机选择其中的两天到该景区游玩，那么他“这两天游玩环境评价均为好”的可能性为3 .10三、解答题（本题共68 分，第17-21 题，每小题5 分，第22-24 题，每小题 6 分，第25 题5 分，第26 题6 分，第27-28 题，每小题7 分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.1- 1 017.计算：( ) +(1-2 3) + - 2sin 60°．3í 2x + 54 ìï 3(x - 2) < 2x - 2, 18. 解不等式组： ï ï < x . î19. 关于 x 的一元二次方程 x 2 - (2m + 1)x + m 2= 0 有两个实数根.（1） 求 m 的取值范围；（2） 写出一个满足条件的 m 的值，并求此时方程的根．20. 如图，在□ABCD 中，对角线 AC ，BD 交于点 O ，OA =OB ，过点 B 作 BE ⊥AC 于点 E .（1） 求证：□ABCD 是矩形； （2） 若 AD = 2 ， cos ∠ABE =2 5 ，5求 AC 的长．21. 先阅读下列材料，再解答问题.尺规作图已知：△ABC ，D 是边 AB 上一点，如图 1，求作：四边形 DBCF ，使得四边形 DBCF 是平行四边形. 小明的做法如下：图 1（1）设计方案先画一个符合题意的草图,如图 2，再分析实现目标的具体方法，依据：两组对边分别平行的四边形是平行四边形.图 2（2）设计作图步骤，完成作图作法：如图 3， ① 延长 BC 至点 E ；② 分别作∠ECP =∠EBA , ∠ADQ =∠ABE ； ③ DQ 与 CP 交于点 F . ∴ 四边形 DBCF 即为所求.图 3（3）推理论证证明：∵ ∠ECP =∠EBA ，∴ CP ∥BA . 同理，DQ ∥BE .∴ 四边形 DBCF 是平行四边形.请你参考小明的做法，再设计一种尺规作图的方法（与小明的方法不同），使得画出的四边形 DBCF 是平行四边形，并证明．522.运用语音识别输入软件可以提高文字输入的速度.为了解A，B 两种语音识别输入软件的准确性，小秦同学随机选取了20 段话，其中每段话都含100 个文字（不计标点符号）.在保持相同语速的条件下，他用标准普通话朗读每段话来测试这两种语音识别输入软件的准确性.他的测试和分析过程如下，请补充完整.（1）收集数据两种软件每次识别正确的字数记录如下：A98 98 92 92 92 92 92 89 89 8584 84 83 83 79 79 78 78 69 58B99 96 96 96 96 96 96 94 92 8988 85 80 78 72 72 71 65 58 55（2）整理、描述数据根据上面得到的两组样本数据，绘制了频数分布直方图：（3）分析数据两组样本数据的平均数、众数、中位数、方差如下表所示：平均数众数中位数方差A84.7 84.5 88.91B83.7 96 184.01（4）得出结论根据以上信息，判断种语音识别输入软件的准确性较好，理由如下：（至少从两个不同的角度说明判断的合理性）．23.如图，四边形OABC 中，∠OAB=90°，OA = OC，BA = BC. 以O 为圆心，以OA 为半径作⊙O.（1）求证：BC 是⊙O 的切线；（2）连接BO 并延长交⊙O 于点D，延长AO 交⊙O 于点E，与BC 的延长线交于点F，若»AD = »AC ，① 补全图形；② 求证：OF=OB.24.如图，在△ABC中，AB=4cm，BC=5cm.P是»AB上的动点，设A，P两点间的距离为x cm，B，P 两点间的距离为y1 cm，C，P 两点间的距离为y2 cm.小腾根据学习函数的经验，分别对函数y1，y2 随自变量x 的变化而变化的规律进行了探究. 下面是小腾的探究过程，请补充完整:（1）按照下表中自变量x 的值进行取点、画图、测量，分别得到了y1，y2 与x 的几组对应值: x/cm 01234y1/cm 4.00 3.69 2.13 0y2/cm 3.00 3.91 4.71 5.23 5（2）在同一平面直角坐标系xOy 中，描出补全后的表中各组数值所对应的点(x，y1)，点(x，y2)，并画出函数y1，y2 的图象；（3）结合函数图象，①当△PBC 为等腰三角形时，AP 的长度约为cm；②记»AB 所在圆的圆心为点O，当直线PC恰好经过点O时，PC的长度约为cm．25.在平面直角坐标系xOy 中，直线l1: y =kx + 2k(k > 0) 与x轴交于点A，与y轴交于点B，与函数y =m( x > 0) 的图象的交点P 位于第一象限. x（1）若点P 的坐标为(1，6)，① 求m 的值及点A 的坐标；②PB = ；PA（2）直线l2: y = 2kx − 2 与y 轴交于点C，与直线l1 交于点Q，若点P 的横坐标为1，①写出点P的坐标（用含k的式子表示）；② 当PQ≤PA 时，求m 的取值范围.26.已知抛物线y =ax2 +bx +a + 2（a ≠ 0 ）与x 轴交于点A（x1 ，0），点B（x2 ，0）（点A 在点B 的左侧），抛物线的对称轴为直线x =−1 .（1）若点A 的坐标为（−3, 0 ），求抛物线的表达式及点B 的坐标；（2）C 是第三象限的点，且点C 的横坐标为−2 ，若抛物线恰好经过点C，直接写出x2的取值范围；（3）抛物线的对称轴与x 轴交于点D，点P 在抛物线上，且∠DOP=45°，若抛物线上满足条件的点P 恰有4 个，结合图象，求a 的取值范围.27.如图，在等腰直角△ABC 中，∠ACB=90°. 点P 在线段BC 上，延长BC 至点Q，使得CQ=CP，连接AP，AQ. 过点B 作BD⊥AQ 于点D，交AP 于点E，交AC 于点F．K 是线段AD上的一个动点（与点A，D不重合），过点K作GN⊥AP于点H，交AB于点G，交AC 于点M，交FD 的延长线于点N．（1）依题意补全图1；（2）求证：NM =NF；（3）若AM=CP，用等式表示线段AE，GN 与BN 之间的数量关系，并证明．图1 备用图3 28.对于平面直角坐标系 xOy 中的图形 W 1 和图形 W 2，给出如下定义：在图形 W 1 上存在两点 A ，B （点 A 与点 B 可以重合），在图形 W 2 上存在两点 M ，N （点 M 与点 N 可以重合），使得 AM =2BN ，则称图形 W 1 和图形 W 2 满足限距关系. （1）如图 1，点 C （1，0），D （-1，0），E （0，），点 P 在线段 DE 上运动（点 P可以与点 D ，E 重合），连接 OP ，CP ．① 线段OP 的最小值为 ，最大值为 ；线段 CP 的取值范围是 ；② 在点 O ，点 C 中，点与线段 DE 满足限距关系；图 1 图 2（2） 如图 2，⊙O 的半径为 1，直线 y = 3x + b (b > 0) 与 x 轴、y 轴分别交于点 F ，G ．若线段 FG 与⊙O 满足限距关系，求 b 的取值范围；（3） ⊙O 的半径为 r ( r ＞0 )，点 H ，K 是⊙O 上的两个点，分别以 H ，K 为圆心，1 为半径作圆得到⊙H 和⊙K ，若对于任意点 H ，K ，⊙H 和⊙K 都满足限距关系，直接写出 r 的取值范围.3 3 í 2x + 54北 京 市 西 城 区 九 年 级 统 一 测 试数学试卷答案及评分标准2020.5一、选择题（本题共 16 分，每小题 2 分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案BBCADACB二、填空题（本题共 16 分，每小题 2 分）910 1112 x ≥1六 答案不唯一，如： y = x 2−11 1314 15 162 + 15，3（6，6）①，④三、解答题（本题共 68 分，第 17-21 题，每小题 5 分，第 22-24 题，每小题 6 分，第 25 题5 分，第 26 题 6 分，第 27-28 题，每小题7 分）1 - 1 017．解： ( ) +(1- 23) + - - 2sin 60° = 2 + 1 + − 2 ⨯ 32= 3． ····························· 5 分ìï 3(x - 2) < 2x - 2,① 18．解：原不等式组为ï ï < x . ② î 解不等式①，得 x <4.解不等式②，得 x > 5.2 ∴原不等式组的解集为 5< x < 4 .2································································································· 5 分19．解：（1）依题意，得△= [- (2m + 1)]2 - 4创1 m 2 ．= 4m + 1 ≥ 0．解得 m ≥- 1．4（2）答案不唯一，如: m = 0 ，此时方程为 x 2 - x = 0 ． 解得 x 1 = 0 ， x 2 = 1 ． ···················· 5 分ï2 5520．（1）证明：∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，∴ OA =OC ，OB =OD ．∵ OA =OB ，∴ OA =OC =OB =OD ．∴ AC =BD ． ∴ □ABCD 是矩形．（2）解: ∵ 四边形 ABCD 是矩形，∴ ∠BAD =∠ADC =90°． ∴ ∠BAC +∠CAD =90°．∵ BE ⊥AC ，∴ ∠BAC +∠ABE =90°．∴∠CAD =∠ABE ．在 Rt △ACD 中， AD = 2，cos ∠CAD =cos ∠ABE =，∴ AC =5． ························ 5 分21. 答案不唯一，如：（1） 两组对边分别相等的四边形是平行四边形．（2） 如图．（3） 证明：∵ CF =BD ，DF =BC ，∴ 四边形 DBCF 是平行四边形.··························································································· 5 分522．解：（2）（3）平均数众数中位数方差A92B88.5（4）答案不唯一，理由须支撑推断的结论．··························································································· 6 分23．（1）证明：连接AC，∵ OC = OA，∴点C 在⊙O 上．∵ OA = OC，BA = BC，∴ ∠OAC =∠OCA，∠BAC =∠BCA．∴ ∠OCB =∠OAB =90°．∴ OC⊥BC 于点C．∴ BC 是⊙O 切线．（2）① 补全图形.② 证明：∵ BA，BC 是⊙O 的两条切线，切点分别为A，C，∴ BA=BC，∠DBA=∠DBC．∴ BD 是AC 的垂直平分线．∵ OA=OC，∴ ∠AOB=∠COB．∵»AD = »AC ，AE为⊙O的直径，∴C»E = D»E ．∴∠COE=∠DOE．∵∠AOB=∠DOE，∴ ∠AOB=∠BOC=∠COE=60°．∵ BC 是⊙O 的切线，切点为C，∴ ∠OCB =∠OCF =90°．∴ ∠OBC=∠OFC =30°．∴ OF = OB．····················6分24．解:（1）x/cm 01234y1/cm 3.09y2/cm（2）画出函数y1 的图象；（3）① 0.83 或2.49 ．② 5.32．····························································································· 6 分25．解：（1）①令y=0，则kx + 2k = 0 ．∵ k > 0 ，解得x = -2．∴ 点A 的坐标为(-2，0) ．∵点P 的坐标为(1，6)，∴m = 6．1②．3（2）① P (1，3k ) ．② 依题意，得kx + 2k = 2kx − 2 ，解得x = 2 +2 ．k∴点Q 的横坐标为 2 +2 ，k∵2+2>1（k > 0 ），k∴ 点Q 在点P 的右侧．如图，分别过点P，Q 作PM⊥x 轴于M，QN⊥x 轴于N，则点M，点N 的横坐标分别为1，2 +2 ．k若PQ=PA，则PQ= 1 ．PA∴ PQ =MN = 1．PA MA∴MN=MA．∴ 2 +2− 1 = 3 ，解得k =1．k∵ MA = 3，∴ 当PQ = MN ≤1 时，k ≥1．PA MA∴ m = 3k ≥3．∴ 当PQ≤PA 时，m≥3．················5 分b26．解：（1）∵ 抛物线 y = ax 2+ bx + a + 2 的对称轴为直线 x =-1，∴ −= −1 ．2a∴ b = 2a ．∴ y = ax 2+ 2ax + a + 2 化为 y = a (x +1)2+ 2 ．将点 A （-3，0）代入 y = a (x +1)2+ 2 中， 得a = − 1 ． 2∴ y = − 1 ( x + 1)2+ 2 = − 1 x 2 − x + 3 ．2 2 2∴ 抛物线的表达式为 y = − 1x 2− x + 3．2 2点 B 的坐标为（1，0）．（2） −1 < x 2 < 0 ．（3）∵ 抛物线的顶点为（-1,2），∴ 点 D 的坐标为（ −1, 0 ）． ∵∠DOP =45°，且抛物线上满足条件的点 P 恰有 4 个，∴ 抛物线与 x 轴的交点都在原点的左侧．∴ 满足条件的点 P 在 x 轴上方有 2 个，在 x 轴下方也有 2 个． ∴ a + 2 < 0 ． 解得 a < −2 ． ∴ a 的取值范围是a < −2 ．··························································································· 6 分27．（1）补全图形，如图1.证明：（2）∵CQ=CP，∠ACB=90°，∴ AP=AQ．∴ ∠APQ =∠Q．∵ BD⊥AQ，∴∠QBD+∠Q=∠QBD +∠BFC = 90°．∴ ∠Q =∠BFC．∵∠MFN =∠BFC，∴∠MFN =∠Q．同理，∠NMF =∠APQ．∴ ∠MFN =∠FMN．∴ NM =NF．图 1（3）连接CE，如图2．由（1）可得∠PAC =∠FBC，∵ ∠ACB=90°，AC =BC，∴ △APC ≌ △BFC．∴ CP =CF．∵AM=CP，∴AM =CF．∵ ∠CAB=∠CBA =45°．∴ ∠EAB =∠EBA．∴AE =BE．又∵ AC =BC，图 2∴CE 所在直线是AB 的垂直平分线．∴ ∠ECB =∠ECA =45°．∴ ∠GAM =∠ECF=45°．由（1）可得∠AMG =∠CFE，∴ △AGM ≌ △CEF．∴ GM=EF．∵ BN=BE + EF + FN=AE +GM+ MN．∴ BN=AE+ GN．····························································································· 7 分3 28．解：（1）①，2② O．（2）直线y =；3≤CP≤2；3x+b与x轴、y轴分别交于点F，G（0，b），3当 0＜b ＜1 时，线段 FG 在⊙O 的内部，与⊙O 无公共点，此时⊙O 上的点到线段 FG 的最小距离为1 − b ，最大距离为1 + b ． ∵ 线段 FG 与⊙O 满足限距关系， ∴ 1 + b ≥ 2(1 − b ) ． 1解得 b ≥ ．31∴ b 的取值范围是 3≤b ＜1．当 1≤b ≤2 时，线段 FG 与⊙O 有公共点，线段 FG 与⊙O 满足限距关系. 当 b ＞2 时，线段 FG 在⊙O 的外部，与⊙O 无公共点，此时⊙O 上的点到线段 FG 的最小距离为 1b − 1 ，最大距离为b + 1 ．2∵ 线段 FG 与⊙O 满足限距关系，1 ∴ b + 1 ≥ 2(2 b − 1) ．而b + 1 > 2( 1 2b − 1) 总成立． ∴ 当 b ＞2 时，线段 FG 与⊙O 满足限距关系． 1综上，b 的取值范围是 b ≥ ．3（3）0＜r ≤3．································································································· 7 分。

2020年北京市西城区中考数学二模试卷一、选择题（本大题共8小题，共16.0分）1.如图，雪人平移得到的图形是()A.B.C.D.2.2017年4月8日，中国财经新闻报道中国3月外汇储备30090.9亿，这个数据用科学记数法表示为()A. 3.00909×104B. 3.00909×105C. 3.00909×1012D. 3.00909×10133.如图所示为几何体的平面展开图，则从左到右，其对应的几何体名称分别为()A. 圆锥，正方体，三棱锥，圆柱B. 圆锥，正方体，四棱锥，圆柱C. 圆锥，正方体，四棱柱，圆柱D. 正方体，圆锥，圆柱，三棱柱4.在下列运算中，正确的是A. b 2+b 2=b 4B. b 3⋅b 2=b 6C. b 8÷b 2=b 4D. (b 2)3=b 65.实数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如图所示．若b+d=0，则下列结论中正确的是()>1 C. ad>bc D. |a|>|d|A. b+c>0B. ca6.如图，已知⊙O的半径为5，△ABC是⊙O的内接三角形，若∠A=60°，则BC的长为()A. 3√3B. 4√3C. 5√3D. 6√37.张师傅驾车从甲地到乙地，两地相距500千米，汽车出发前油箱有油25升，途中加油若干升，加油前、后汽车都以100千米/小时的速度匀速行驶，已知油箱中剩余油量y(升)与行驶时间t(小时)之间的关系如图所示．以下说法错误的是()A. 加油前油箱中剩余油量y与行驶时间t的函数关系是y=−8t+25B. 途中加油21升C. 汽车加油后还可行驶4小时D. 汽车到达乙地时油箱中还余油6升8.小明记录了自己一周每天的零花钱(单位：元)，分别如下：5，4.5，5，5.5，5.5，5，4.5；则这组数据的中位数是()A. 5B. 4.5C. 5.5D. 5.2二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）9.若分式x+2有意义，则实数x的取值范围是______．x−310.因式分解：4mn−mn3=______ ．11.如图，已知在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，F、G分别是AD、AE的中点，且FG=2cm，则BC的长度是______cm．12.如图，在正五边形ABCDE中，AC与BE相交于点F，则∠AFE的度数为______．13.如图，直线y=kx(k>0)与双曲线y=3交于A、B两点，若A、B两点的坐标分别为A(x1,y1)，xB(x2,y2)，则x1y2+x2y1的值为______ ．14.用8块相同的长方形地砖拼成一个大长方形，每个长方形的长和宽如图所示，则可列出关于x，y的二元一次方程组为__________________．15.张老师对本校参加体育兴趣小组的情况进行调查，图1和图2是收集数据后绘制的两幅不完整统计图，已知参加体育兴趣小组的学生共有80名，其中每名学生只参加一个兴趣小组，根据图中提供的信息，可知参加排球兴趣小组的人数占体育兴趣小组总人数的百分数是______．16.为了从2018枚外形相同的金蛋中找出唯一的有奖金蛋，检查员将这些金蛋按1～2018的顺序进行标号，第一次先取出编号为单数的金蛋，发现其中没有有奖的金蛋，他将剩下的金蛋在原来的位置又按1～1009编号(即原来的2号变为1号，原来的4号变为2号…原来的2018号变为1009号)，又从取出新的编号为单数的金蛋进行检验，仍没有发现金蛋…如此下去，检查到最后一枚金蛋才是有奖金蛋，问这枚有奖金蛋最初的编号是________．三、解答题（本大题共12小题，共68.0分）17.计算：(2019−π)0+3tan30°−√12+|−2|18.解方程：xx−2=2x−1+119.已知关于x的一元二次方程(m−1)x2+(m−4)x−3=0(m为实数且m≠1)．(1)求证：此方程总有两个实数根；(2)如果此方程的两个实数根都是整数，求正整数m的值．20.如图，BD是△ABC的角平分线．(1)用直尺和圆规过点D作DF⊥BC，垂足为F(不要求写作法，保留作图痕迹)；(2)若BC=10，AB=12，S△ABC=55，求DF的长．21.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，过点D分别作DE//AC、DF//AB，分别交AB、AC于点E、F.求证：四边形AEDF是菱形．22.某工厂的机器上存在一种易损元件，这种元件发生损坏时，需要及时维修．现有甲、乙两名工人同时从事这项工作，如表记录了某月1日到10日甲、乙两名工人分别维修这种元件的件数．日期1日2日3日4日5日6日7日8日9日10日甲维修的元件数3546463784乙维修的元件数4745545547 (Ⅰ)从这10天中，随机选取一天，求甲维修的元件数不少于5件的概率；(Ⅱ)试比较这10天中甲维修的元件数的方差s甲2与乙维修的元件数的方差s乙2的大小．(只需写出结论)；(Ⅲ)由于甲、乙的任务量大，拟增加工人，为使增加工人后平均每人每天维修的元件不超过3件，请利用上表数据估计最少需要增加几名工人．23.在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线∠A上，且∠CBF=12(1)证明直线BF是⊙O的切线；(2)若AB=5，sin∠CBF=√5，求BF的长．524.数学活动课上，老师提出问题：如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4cm，AC=3cm，点D是AB的中点，点E是BC上一个动点，连接AE、DE.问CE的长是多少时，△AED的周长等于CE长的3倍．设CE=xcm，△AED的周长为ycm(当点E与点B重合时，y的值为10)．小牧根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小牧的探究过程，请补充完整：(1)通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组值，如下表：x/cm00.51 1.52 2.53 3.54y/cm8.07.77.57.4______ 8.08.69.210(说明：补全表格时相关数值保留一位小数)(2)建立平面直角坐标系，描出上表中对应值为坐标的点，画出该函数的图象，如图2；(3)结合画出的函数图象，解决问题：①当CE的长约为______cm时，△AED的周长最小；②当CE的长约为______cm时，△AED的周长等于CE的长的3倍．(x>0)的图象经过点A，作AC⊥x轴于点C．25.如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y=kx(1)求k的值；(2)直线AB：y=ax+b(a>0)图象经过点A交x轴于点B.横、纵坐标都是整数的点叫做整点．线段AB，AC，BC围成的区域(不含边界)为W．①直线AB经过(0,1)时，直接写出区域W内的整点个数；②若区域W内恰有1个整点，结合函数图象，求a的取值范围．26.如图，已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A，B，AB=2，与y轴交于点C，对称轴为直线x=2．(1)求抛物线的函数表达式；(2)根据图象，直接写出不等式x2+bx+c>0的解集：______(3)设D为抛物线上一点，E为对称轴上一点，若以点A，B，D，E为顶点的四边形是菱形，则点D的坐标为：______27.如图，正方形ABCD中，点M在CD边上，点N在正方形ABCD的外部，且满足∠CMN=90°，CM=MN，连接AN，CN.点E是AN中点，连接BE，与AC交于点F．(Ⅰ)求证：BE⊥AC．(Ⅱ)请探究线段BE，AD，CN所满足的数量关系，并证明你的结论；(Ⅲ)设AB=1.若点M沿着线段CD从点C运动到点D，则在该点的运动过程中，线段EN所扫过的面积为______(直接写出答案)．28.对于平面直角坐标系xOy中的点P，给出如下定义：记点P到x轴的距离为d1，到y轴的距离为d2，若d1≥d2，则称d1为点P的最大距离；若d1<d2，则称d2为点P的最大距离．例如：点P(−3,4)到到x轴的距离为4，到y轴的距离为3，因为3<4，所以点P的最大距离为4．(1)①点A(2,−5)的最大距离为______；②若点B(a,2)的最大距离为5，则a的值为______；(2)若点C在直线y=−x−2上，且点C的最大距离为5，求点C的坐标；(3)若⊙O上存在点M，使点M的最大距离为5，直接写出⊙O的半径r的取值范围．【答案与解析】1.答案：B解析：解：利用平移的性质可知选项B符合条件．故选B．利用平移的性质即可判断．本题考查平移变换，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考基础题．2.答案：C解析：解：将30090.9亿用科学记数法表示为：3.00909×1012．故选：C．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n 为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3.答案：D解析：解：根据几何体的平面展开图，则从左到右，其对应的几何体名称分别为：正方体，圆锥，圆柱，三棱柱．故选：D．根据常见的几何体的展开图进行判断，即可得出结果．本题考查了常见几何体的展开图；熟记常见几何体的平面展开图的特征，是解决此类问题的关键．4.答案：D解析：本题主要考查合并同类项及幂的运算，根据和并同类项法则及同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方与积的乘方的性质分别求解各式即可进行判断．解：A.b2+b2=2b2，故该选项错误；B.b3·b2=b5，故该选项错误；C.b8÷b2=b6，故该选项错误；D.(b2)3=b6，故该选项正确．故选D．5.答案：D解析：本题考查了实数与数轴，由b+d=0确定原点的位置是解题关键，利用了有理数的运算．由b+d=0可得原点在b、d表示的数的中间位置，根据数轴上的点表示的数右边的总比左边的大，可得a<b<0<c<d，根据不等式的基本性质可得答案．解：因为b+d=0，∴b、d互为相反数，则数轴上原点在b、d表示的点的中间位置，由图可知c在数轴上对应的点在b、d表示的点的中间偏右的位置，如图所示，故由数轴上的点表示的数右边的总比左边的大，得a<b<0<c<d，A、b+d=0，∴b+c<0，故A不符合题意；<0，故B不符合题意；B、caC、ad<bc<0，故C不符合题意；D、|a|>|b|=|d|，故D正确；故选：D．6.答案：C解析：【试题解析】连接OB，OC，过点O作OD⊥BC于点D，根据圆周角定理求出∠BOC的度数，再由三角形的性质得出∠OBD度数，根据垂径定理可知BC=2BD，进而可得出结论．本题考查的是圆周角定理，根据题意作出辅助线，构造出圆心角是解答此题的关键．解：连接OB，OC，过点O作OD⊥BC于点D，∵∠A=60°，∴∠BOC=2∠A=120°．∵OB=OC，∴∠OBD=180°−120°2=30°，OD⊥BC．∴OD=12OB=52，BD=√OB2−OD2=5√32．∴BC=2BD=5√3．故选C．7.答案：C解析：本题考查了一次函数的应用，一次函数解析式的确定，路程、速度、时间之间的关系等知识，难度中等．仔细观察图象，从图中找出正确信息是解决问题的关键．A.设加油前油箱中剩余油量y(升)与行驶时间t(小时)的函数关系式为y=kt+b，将(0,25)，(2,9)代入，运用待定系数法求解后即可判断；B.由题中图象即可看出，途中加油量为30−9=21升；C.先求出每小时的用油量，再求出汽车加油后行驶的路程，然后与4比较即可判断；D.先求出汽车从甲地到达乙地需要的时间，进而得到需要的油量；然后用汽车油箱中原有的油量加上途中的加油量，再减去汽车行驶500千米需要的油量，得出汽车到达乙地时油箱中的余油量即可判断．解：A.设加油前油箱中剩余油量y(升)与行驶时间t(小时)的函数关系式为y=kt+b．将(0,25)代入解析式得b=25，将(2,9)代入，得2k+25=9，解方程可得k=−8∴y=−8t+25，故A选项说法正确；B.由图象可知，途中加油：30−9=21(升)，故B选项说法正确；C.由图可知汽车每小时用油(25−9)÷2=8(升)，<4(小时)，故C选项说法错误；所以汽车加油后还可行驶：30÷8=334D.∵汽车从甲地到达乙地，所需时间为：500÷100=5(小时)，∴5小时耗油量为：8×5=40(升)，又∵汽车出发前油箱有油25升，途中加油21升，∴汽车到达乙地时油箱中还余油：25+21−40=6(升)，故D选项说法正确．故选C．8.答案：A解析：解：把这些数据从小到大排列为：4.5，4.5，5，5，5，5.5，5.5，最中间的数是5，则这组数据的中位数是5；故选：A．先把这些数据从小到大排列，找出最中间的数即可得出答案．本题考查了确定一组数据的中位数的能力．一些学生往往对这个概念掌握不清楚，计算方法不明确而误选其它选项，注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数．9.答案：x≠3有意义，解析：解：∵分式x+2x−3∴x−3≠0，则实数x的取值范围是：x≠3．故答案为：x≠3．直接利用分式有意义的条件得出x−3≠0，进而得出答案．此题主要考查了分式有意义的条件，正确把握分式的定义是解题关键．10.答案：mn(2+n)(2−n)解析：解：原式=mn(4−n2)=mn(2+n)(2−n)，故答案为：mn(2+n)(2−n)原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．11.答案：8解析：解：∵△ADE中，F、G分别是AD、AE的中点，∴DE=2FG=4cm，∵D，E分别是AB，AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴BC=2DE=8cm，故答案为：8．利用三角形中位线定理，即可得解．本题考查了三角形的中位线定理，是基础题．12.答案：72°解析：解：∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠EAB=∠ABC=(5−2)×180°=108°，5∵BA=BC，∴∠BAC=∠BCA=36°，同理∠ABE=36°，∴∠AFE=∠ABF+∠BAF=36°+36°=72°，故答案为：72°．根据题意，求出∠EAB，进行计算即可．本题考查的是正多边形的内角，三角形的外角性质，属于基础题．13.答案：−6上的点，解析：解：∵点A(x1,y1)，B(x2,y2)是双曲线y=3x∴x1⋅y1=x2⋅y2=3①，∵直线y =kx(k >0)与双曲线y =3x 交于点A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)两点，∴x 1=−x 2，y 1=−y 2②，∴原式=−x 1y 1−x 2y 2=−3−3=−6．故答案为：−6．先根据点A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)是双曲线y =3x 上的点可得出x 1⋅y 1=x 2⋅y 2=3，再根据直线y =kx(k >0)与双曲线y =3x 交于点A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)两点可得出x 1=−x 2，y 1=−y 2，再把此关系代入所求代数式进行计算即可．本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数的对称性，根据反比例函数的图象关于原点对称得出x 1=−x 2，y 1=−y 2是解答此题的关键． 14.答案：{x =3yx +y =24解析：此题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，从题中所给的已知量24cm 入手，找到两个等量关系是解题的关键．解：由图示可得，x +y =24且2x =3y +x ，所以关于x ，y 的二元一次方程组为{x =3y x +y =24． 故答案为{x =3y x +y =24．15.答案：25%解析：本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键，条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．根据题意求出参加篮球兴趣小组的人数，计算即可．解：由题意得，参加篮球兴趣小组的人数为：80×45%=36(人)，∴参加排球兴趣小组的人数为：80−36−24=20(人)，∴参加排球兴趣小组的人数占体育兴趣小组总人数的百分数为：20÷80×100%=25%，故答案为25%．16.答案：1024解析：此题主要考查了推理与论证，正确得出挑选金蛋的规律进而得出挑选的次数是解题关键．根据题意可得每次挑选都是去掉奇数，进而得出需要挑选的总次数进而得出答案．解：∵将这些金蛋按1−2018的顺序进行标号，第一次先取出编号为单数的金蛋，发现其中没有有奖金蛋，∴剩余的数字都是偶数，是2的倍数，；∵他将剩下的金蛋在原来的位置上又按1−1009编了号，又从中取出新的编号为单数的金蛋进行检验，仍没有发现有奖金蛋，∴剩余的数字为4的倍数，以此类推：2018→1009→504→252→126→63→31→15→7→3→1共经历10次重新编号，故最后剩余的数字为：210=1024．故答案为1024．17.答案：解：原式=1+3×√3−2√3+23=3+√3−2√3=3−√3．解析：此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．直接利用绝对值的性质以及零指数幂的性质、特殊角的三角函数值分别化简得出答案．18.答案：解：化为整式方程得：x2−x=2x−4+x2−3x+2−x−2x+3x=−20=−2，所以方程无解．解析：把分式方程转化为整式方程求解，最后进行检验．本题考查了解分式方程，(1)解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．(2)解分式方程一定注意要验根．19.答案：(1)证明：依题意，得Δ=(m−4)2−4(m−1)×(−3)=m2−8m+16+12m−12=m2+4m+4=(m+2)2．∵(m+2)2≥0，∴方程总有两个实数根；(2)解：a=m−1，b=m−4，c=−3，x=−(m−4)±√(m+2)2，2(m−1)∴x1=−1，x2=3，m−1∵方程的两个实数根都是整数，且m是正整数，∴m−1=1或m−1=3，∴m=2或m=4．解析：本题考查的是一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解法，掌握一元二次方程根的判别式的应用是解题的关键．(1)根据一元二次方程根的判别式，配方法，偶次方的非负性证明；(2)利用公式法解出方程，根据题意求出m．20.答案：解：(1)如图，DF为所作；(2)作DE⊥AB于E，如图，∴BD是△ABC的角平分线．∴DE=DF，∵S△ABC=S△ABD+S△DBC=12AB⋅DE+12BC⋅DF=12DF(AB+BC)，∴12DF×(10+12)=55，∴DF=5．解析：本题考查了作图−基本作图，也考查了角平分线的性质．(1)利用基本作法，过点D作DF⊥BC于F；(2)作DE⊥AB于E，如图，利用角平分线的性质得到DE=DF，再根据三角形面积公式得到12DF(10+ 12)=55，从而可计算出DF．21.答案：证明：∵DE//AC，DF//AB，∴四边形AEDF是平行四边形．∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD.∵DE//AC，∴∠EDA=∠CAD，∴∠EDA=∠BAD，∴AE=DE，∴四边形AEDF是菱形．解析：本题考查了菱形的判定，基础题根据平行四边形的定义得出四边形AEDF是平行四边形，再求出AE=DE，根据菱形的判定推出即可．22.答案：解：(Ⅰ)设A表示事件“从这10天中，随机选取一天，甲维修元件数不少于5”．根据题意，P(A)=510=12．(Ⅱ)S甲2>S乙2，(Ⅲ)设增加工人后有n名工人．因为每天维修的元件的平均数为：110[(3+5+4+6+4+6+3+7+8+4)+(4+7+4+5+5+4+5+5+4+7)]=10，所以这n名工人每天维修的元件的平均数为10n．令10n ≤3.解得n≥103．所以n的最小值为4．为使增加工人后平均每人每天维修的元件不超过3件，至少应增加2名工人．解析：此题考查概率，方差，平均数，(1)根据概率公式求解；(2)根据数据的稳定性比较方差的大小；(3)根据平均数求解．23.答案：解：(1)证明：连接AE，如图，∵AB为直径，∴∠AEB=90°，∴AE⊥BC，∵AB=AC，∴BE=CF，AE平分∠BAC，∴∠BAE=12∠BAC，∵∠CBF=12∠CAB，∴∠BAE=∠CBF，∵∠BAE+∠ABE=90°，∴∠ABE+∠CBF=90°，即∠ABF=90°，∴AB⊥BF，∴直线BF是⊙O的切线；(2)由(1)可知∠CBF=∠BAE，，在Rt△ABE中，，∴BE5=√55，∴BE=√5，∴BC=2√5，如图2，过C作CM⊥BF于点M，则，即2√5=√55，∴CM=2，由勾股定理可求得BM=4，又∵AB//CM，∴CMAB =BF−BMBF，即25=BF−4BF，∴BF=203．解析：本题主要考查切线的性质及等腰三角形的性质、三角函数的定义等知识点．(1)连接AE，先根据圆周角定理得到∠AEB=90°，再根据等腰三角形的性质得BE=CF，∠BAE=12∠BAC，从而得到∠BAE=∠CBF，然后证明∠ABF=90°，于是根据切线的判定定理得到结论；(2)由(1)结论结合正弦值，在Rt△ABE中可求得BE，可求出BC，过C作CM⊥BF，在Rt△BCM中可求得BM，CM，再利用平行线分线段成比例可求得BF．24.答案：(1)7.6(2)根据(1)表对应的坐标值进行描点，画图象；如图2所示：(3)1.5 2.7解析：解：(1)x=2cm，即CE=2cm，∵Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4cm，AC=3cm，∴AB=5cm，∵BC=4，点D是AB的中点，∴AD=2.5，DE是△ABC的中位线，AC=1.5，∴DE=12∴AE=√AC2+CE2=√32+22=√13≈3.6，∴y=AE+DE+AD=3.6+1.5+2.5=7.6；故答案为：7.6；(2)见答案(3)①由(2)画出的函数图象，当CE的长约为1.5cm时，△AED的周长最小；故答案为：1.5；②在(2)函数图象中，画出直线y=3x的图象，如图3所示：直线y=3x与原函数图象的交点即为△AED的周长等于CE的长的3倍值时对应x的值，x≈2.7cm，故答案为：2.7．(1)x=2cm，即CE=2cm，由勾股定理求出AB=5cm，求出AD=AC=2.5，DE是△ABC的中位线，由三角形中位线定理得出DE=121.5，由勾股定理求出AE=√AC2+CE2=√13≈3.6，即可得出结果；(2)根据(1)表对应的坐标值进行描点，画出图象即可；(3)①由(2)画出的函数图象得出：当CE的长约为1.5cm时，△AED的周长最小即可；②在(2)函数图象中，画出直线y=3x的图象，直线y=3x与原函数图象的交点即为△AED的周长等于CE的长的3倍值时对应x的值，即可得出结果．本题是三角形综合题目，考查了勾股定理、三角形中位线定理、描点法画函数图象、图象的交点等知识；本题综合性强，熟练掌握勾股定理和三角形中位线定理，理解图象的意义是解题关键．25.答案：解：(1)把A(2,2)代入y=kx中，得k=2×2=4；(2)①∵直线AB经过(0,1)，设直线AB的解析式为：y=ax+b(a≠0)，则{2a+b=20+b=1，解得{a=12b=1，∴直线AB的解析式为：y=12x+1，∴B(−2,0)，图象如下：由图象可知，直线AB经过(0,1)时，区域W内的整点只有1个；②当直线AB经过点A(2,2)，(0,1)时区域W内恰有1个整点，则{2a+b=20+b=1，∴a=12，当直线AB经过点A(2,2)，(1,1)时区域W内没有整点，则{2a+b=2a+b=1，∴a=1，∴当12≤a<1时区域W内恰有1个整点；综上，当12≤a<1时区W内恰有1个整点．解析：(1)把A(2,2)代入y =kx 中便可求得k ；(2)①根据图象直接写出答案便可；②用待定系数法求出直线AB 分别过点(0,1)，(1,0)，(3,1)，(4,1)四点时的a 值便可．本题是一次函数与反比例函数的交点问题，主要考查了待定系数法求函数解析式，新定义，解答(2)小题的关键是根据新定义，确定不同情况下的解析式． 26.答案：解：(1)如图，∵AB =2，对称轴为直线x =2．∴点A 的坐标是(1,0)，点B 的坐标是(3,0)．把A 、B 两点的坐标代入得：{1+b +c =09+3b +c =0，解得：{b =−4c =3， ∴抛物线的函数表达式为y =x 2−4x +3；(2)x <1或x >3；(3)(2,−1)．解析：(1)见答案．(2)由图象得：不等式x 2+bx +c >0，即y >0时，x <1或x >3；故答案为：x <1或x >3；(3)y =x 2−4x +3=(x −2)2−1，∴顶点坐标为(2,−1)，当E 、D 点在x 轴的上方，即DE//AB ，AE =AB =BD =DE =2，此时不合题意，如图，根据“菱形ADBE 的对角线互相垂直平分，抛物线的对称性”得到点D 是抛物线y =x 2−4x +3的顶点坐标，即(2,−1)，故答案是：(2,−1)．(1)根据抛物线对称轴的定义易求A(1,0)，B(3,0).代入抛物线的解析式列方程组，解出即可求b、c 的值；(2)由图象得：即y>0时，x<1或x>3；(3)如图，点D是抛物线的顶点，所以根据抛物线解析式利用顶点坐标公式即可求得点D的坐标．本题考查了二次函数综合题．解题过程中用到的知识点有：待定系数法求二次函数的解析式，菱形的性质．解(1)题时，把点A、B的坐标代入抛物线解析式，列出关于系数b、c的方程组，通过解方程组来求它们的值，解(2)时运用数形结合的思想是关键，解(3)时，正确画图是关键．27.答案：解：(Ⅰ)证明：连接CE，如图1所示，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD=90°，AB=BC，∴∠ACB=∠ACD=12∠BCD=45°，∵∠CMN=90°，CM=MN，∴∠MCN=45°，∴∠ACN=∠ACD+∠MCN=90°，∵在Rt△ACN中，点E是AN中点，∴CE=AE=12AN．∵AE=CE，AB=CB，∴点B，E在AC的垂直平分线上，∴BE垂直平分AC，∴BE⊥AC．(Ⅱ)BE=√22AD+12CN.证明如下：由(Ⅰ)可知AF=FC，∵点E是AN中点，∴AE=EN，FE是△ACN的中位线，∴FE=12CN．∵BE⊥AC，∴∠BFC=90°，∴∠FBC+∠FCB=90°，∵∠FCB=45°，∴∠FBC=45°，∴BF=CF．在Rt△BCF中，BF2+CF2=BC2，∴BF=√22BC．∵四边形ABCD是正方形，∴BC=AD，∴BF=√22AD．∵BE=BF+FE，∴BE=√22AD+12CN．(Ⅲ)34解析：本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质、等腰直角三角形的性质、三角形中位线的性质、直角三角形的性质、线段垂直平分线的判定、勾股定理、平行线的性质以及梯形的面积公式．(Ⅰ)连接CE，由正方形以及等腰直角三角形的性质可得出∠ACN=90°，再根据直角三角形的性质以及点E为AN的中点即可得出AE=CE，由此即可得出B、E在线段AC的垂直平分线上，由此即可证得BE⊥AC；(Ⅱ)根据三角形的中位线性质可得出EF=12CN，再结合正方形的性质可得出BF=√22AD，由线段间的关系即可证出结论；(Ⅲ)找出EN所扫过的图形为四边形DFCN.根据正方形以及等腰直角三角形的性质可得出BD//CN，由此得出四边形DFCN为梯形，再由AB=1，可算出线段CF、DF、CN的长度，利用梯形的面积公式即可得出结论．(Ⅰ)见答案；(Ⅱ)见答案；(Ⅲ)如图2，在点M沿着线段CD从点C运动到点D的过程中，线段EN所扫过的图形为四边形DFCN．∵∠BDC=45°，∠DCN=45°，∴BD//CN，∴四边形DFCN为梯形．∵AB=1，∴CF=DF=12BD=√22，CN=√2CD=√2，∴S梯形DFCN =12(DF+CN)⋅CF=12(√22+√2)×√22=34．故答案为34．28.答案：解：(1)5，±5；(2)设点C的坐标(x,y)，∵点C的“最大距离”为5，∴x=±5或y=±5，当x=5时，y=−7，当x=−5时，y=3，当y=5时，x=−7，当y=−5时，x=3，∴点C(−5,3)或(3,−5)．(3)如图，观察图象可知：当⊙O于直线x=5，直线x=−5，直线y=5，直线y=−5有交点时，⊙O上存在点M，使点M的最大距离为5，∴5≤r≤5√2．解析：解：(1)①∵点A(2,−5)到x轴的距离为5，到y轴的距离为2，∵2<5，∴点A的“最大距离”为5．②∵点B(a,2)的“最大距离”为5，∴a=±5；故答案为5，±5．(2)见答案；(3)见答案(1)①直接根据“最大距离”的定义，其最小距离为“最大距离”；②点B(a,2)到x轴的距离为2，且其“最大距离”为5，所以a=±5；(2)根据点C的“最大距离”为5，可得x=±5或y=±5，代入可得结果；(3)如图，观察图象可知：当⊙O于直线x=5，直线x=−5，直线y=5，直线y=−5有交点时，⊙O 上存在点M，使点M的最大距离为5，本题考查一次函数综合题、“最大距离”的定义、圆的有关知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会利用特殊位置解决数学问题，属于中考压轴题．。

1.（西城3）.焦点在x 轴的正半轴上,且焦点到准线的距离为4的抛物线的标准方程是( A) 24x y = ( B) 24y x = ( C) 28x y = ( D) 28y x =答案D2.（西城6）圆224210x y x y ++-+= 截x 轴所得弦的长度等于( A)2 ( B) ( C) ( D)4 答案 B3.（西城14）.能说明“若m ( n +2)≠0,则方程2212x y m n +=+表示的曲线为椭圆或双曲线”是错误的一组m , n 的值是 .答案答案不唯一. 如3m =，1n =4.（海淀3）若抛物线212y x =的焦点为F ，点P 在此抛物线上且横坐标为3，则||PF 等于 （A ）4 （B ）6（C ）8（D ）10答案 B5（海淀12）已知双曲线E 的一条渐近线方程为y x =，且焦距大于4，则双曲线E 的标准方程可以为_______.（写出一个即可）答案22144x y -=6.（昌平7）已知点P 是双曲线22:14y C x -=的一条渐近线(0)y kx k =>上一点，F 是双曲线C 的右焦点，若△OPF 的面积为5，则点P 的横．坐标为（A ） （B （C ）± （D ）答案 A7.（昌平13）已知点M 在抛物线24y x =上，若以点M 为圆心的圆与x 轴和其准线l 都相切，则点M 到其顶点O的距离为__ .8.（密云5）.已知双曲线221(0)x y a a-=>的一条渐近线方程为20x y +=，则其离心率为答案A9.（密云7）已知圆22:(1)2C x y +-=，若点P 在圆C 上，并且点P 到直线y x =的距离为2，则满足条件的点P 的个数为A ．1B ．2C ．3D ．4 答案C10.(东城4)双曲线222:1y C x b-=的渐近线与直线1x =交于,A B 两点，且4AB =，那么双曲线C 的离心率为(A) (B) (C)2 答案B11.（丰台6）已知抛物线M :)0(22>=p py x 的焦点与双曲线13:22=-x y N 的一个焦点重合，则=p（A （B ）2（C ）（D ）4答案D12.（丰台13）双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x M 的离心率为3，则其渐近线方程为 .答案y =13. （房山4）若双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>的一条渐近线经过点，则该双曲线的离心率为（A （B（C ）2 （D 答案C14. （房山12）若直线3x =与圆2220x y x a +--=相切，则a = ． 答案 315.（房山13）已知抛物线C:22y x=的焦点为F，点M在抛物线C上，||1MF=，则点M的横坐标是，△MOF（O为坐标原点）的面积为．答案12；1416. （朝阳4）圆心在直线0-=x y上且与y轴相切于点(0,1)的圆的方程是（A）22(1)(1)1-+-=x y（B）22(1)(1)1+++=x y（C）22(1)(1)2-+-=x y（D）22(1)(1)2+++=x y答案A17. （朝阳5）直线l过抛物线22=y x的焦点F，且l与该抛物线交于不同的两点11(,)A x y，22(,)B x y．若123+=x x，则弦AB的长是（A）4（B）5（C）6（D）8答案A18. （朝阳14）已知双曲线C的焦点为1(0,2)F，2(0,2)F-，实轴长为2，则双曲线C的离心率是________；若点Q 是双曲线C的渐近线上一点，且12FQ F Q⊥，则12QF F△的面积为________．答案2；2319.（西城20）答案解：（Ⅰ）由题意，得1b=，3ca=. ………………2分又因为222a b c=+，………………3分所以2a=，3c=.故椭圆E的方程为2214xy+=. ………………5分（Ⅱ）(2,0)A-，(2,0)B.设0000(,)(0)D x y x y≠，则2214xy+=. ………………6分所以直线CD的方程为011yy xx-=+，………………7分令0y =，得点P 的坐标为0(,0)1x y -. ……………… 8分 设(,)Q Q Q x y ，由4OP OQ ⋅=u u u r u u u r ，得004(1)Qy x x -=（显然2Q x ≠）. …… 9分 直线AD 的方程为00(2)2y y x x =++， ……………… 10分 将Q x 代入，得00000(442)(2)Q y y x y x x -+=+，即00000004(1)(442)(,)(2)y y y x Q x x x --++. ……………… 11分故直线BQ 的斜率存在，且000000(442)2(2)(442)Q BQ Q y y y x k x x y x -+==-+-- …… 12分200002000022424y y x y x x y y -+=--- 20000200002214242y y x y y x y y -+==---. ………… 13分 又因为直线BC 的斜率12BC k =-，所以BC BQ k k =，即,,C B Q 三点共线. ……………… 14分20.（海淀19）已知椭圆2222:1x y W a b+=(0)a b >>过(0,1),(0,1)A B -.（Ⅰ）求椭圆W 的方程；（Ⅱ）过点A 的直线l 与椭圆W 的另一个交点为C ，直线l 交直线2y =于点M ，记直线BC ，BM 的斜率分别为1k ，2k ，求12k k 的值.答案解：（Ⅰ）由题意，2221.b ca abc =⎧⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎩，解得2,1.a b =⎧⎨=⎩所以椭圆W 的方程为2214x y +=.（Ⅱ）由题意，直线l 不与坐标轴垂直.设直线l 的方程为：1y kx =+（0k ≠）. 由221,4 4.y kx x y =+⎧⎨+=⎩得22(41)80k x kx ++=. 设11(,)C x y ，因为10x ≠，所以12841kx k -=+. 得21122814114141k k y kx k k k --=+=⋅+=++.即222814(,)4141k k C k k --++. 又因为(0,1)B -，所以22121411418441k k k k k k -++==--+. 由1,2.y kx y =+⎧⎨=⎩得1,2.x k y ⎧=⎪⎨⎪=⎩ 所以点M 的坐标为1(,2)k.所以22131k k k+==. 所以1213344k k k k ⋅=-⋅=-.21.（昌平19）（本小题15分）已知椭圆:M 22221(0)x y a b a b+=>>，椭圆M 与y 轴交于,A B 两点(A 在下方)，且||4AB =．过点(0,1)G 的直线l 与椭圆M 交于,C D 两点（不与A 重合）． （Ⅰ）求椭圆M 的方程；（Ⅱ）证明：直线AC 的斜率与直线AD 的斜率乘积为定值． 答案解：（Ⅰ）由题意得222524,,c a b a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩解得2,1.a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩ …………….3分即椭圆的方程为22154x y +=． …………….5分 （Ⅱ）法一由题意，直线l 的斜率存在. 当0k =时，直线l 的方程为1y =.代入椭圆方程有2x =±.则(22C D -.所以22AC AD k k ====所以12.5AC AD k k ⋅==- …………….8分当0k ≠时，则直线l 的方程为1y kx =+．由221,154y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22(45)10150k x kx ++-=. …………….9分设11(,)C x y ，22(,)D x y ， 则1212221015,4545k x x x x k k+=-=-++． …………10分 又(0,2)A -， 所以112AC y k x +=，222AD y k x +=. …………….11分 因为1212121222(3)(3)AC AD y y kx kx k k x x x x ++++⋅==g 21212123()9k x x k x x x x +++=212123()9k x x k x x ++=+222222103()93036451245.1515545kk k k k k k k-+-+++=+=+=---+ 即直线AC 的斜率与直线AD 的斜率乘积为定值． …………….15分 法二设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为1y kx =+． …………….6分由221,154y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22(45)10150k x kx ++-=. …………….7分设11(,)C x y ，22(,)D x y ， 则1212221015,4545k x x x x k k +=-=-++． …………….9分 又(0,2)A -，所以112AC y k x +=，222AD y k x +=. …………….11分 因为1212121222(3)(3)AC AD y y kx kx k k x x x x ++++⋅==g 21212123()9k x x k x x x x +++=212123()9k x x k x x ++=+222222103()93036451245.1515545kk k k k k k k -+-+++=+=+=---+即直线AC 的斜率与直线AD 的斜率乘积为定值． …………….15分22.（密云19）已知椭圆：过点(1,2P ，设它的左、右焦点分别为，，左顶点为，上顶点为．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程和离心率；（Ⅱ）过点6(,0)5Q -作不与轴垂直的直线交椭圆于，（异于点）两点，试判断的大小是否为定值，并说明理由． 答案（Ⅰ）解：根据题意得22222131,42,.a b c a b c ⎧+=⎪⎪=⎪=+⎪⎩解得2,1,a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩所以椭圆C 的方程为2214x y +=，离心率е=（Ⅱ）解：方法一因为直线不与轴垂直，所以直线的斜率不为设直线的方程为：65x ty =-， 联立方程226,51.4x ty x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩化简得2212(4)0525t y ty +--=．显然点6(,0)5Q -在椭圆C 的内部，所以0∆>．设11(,)M x y ，22(,)N x y ，则122125(4)t y y t +=+，1226425(4)y y t =-+． 又因为(2,0)A -，所以11(2,)AM x y =+u u u u r ，22(2,)AN x y =+u u u r．所以1212(2)(2)AM AN x x y y =+++u u u u r u u u rg12122121222266(2)(2)55416(1)()5256441216(1)()25(4)55(4)25ty tx y y t y y t y y t t t t t =-+-++=++++=+⨯-+⨯+++=0 所以AM AN ⊥u u u u r u u u r ，即o90MAN ∠=是定值．方法二（1）当直线垂直于x 轴时 解得M 与N 的坐标为64(,)55-±．由点(2,0)A -，易证o90MAN ∠=． （2）当直线斜率存在时设直线的方程为：6(),0.5y k x k =+≠，联立方程226(),51.4y k x x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩化简得2222484(3625)(14)0525k k x k x -+++=． 显然点6(,0)5Q -在椭圆C 的内部，所以0∆>．设11(,)M x y ，22(,)N x y ，则2122485(14)k x x k +=-+，21224(3625)25(14)k x x k -=+．又因为(2,0)A -，所以11(2,)AM x y =+u u u u r ，22(2,)AN x y =+u u u r．所以1212(2)(2)AM AN x x y y =+++u u u u r u u u rg12122221212222222266(2)(2)()()55636(1)(2)()45254(3625)64836(1)(2)425(14)55(14)25x x k x k x k k x x k x x k k k k k k k =+++++=++++++--=+⨯++⨯++++=0所以AM AN ⊥u u u u r u u u r ，即o90MAN ∠=是定值．23.(东城19)已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的一个顶点坐标为(0,1)A -，离心率为23．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若直线(1)(0)y k x k =-≠与椭圆C 交于不同的两点P ，Q ，线段PQ 的中点为M ，点(1,0)B ，求证：点M 不在以AB 为直径的圆上． 答案（Ⅰ）解：由题意可知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===+,1,23,222b a ca cb 解得⎪⎩⎪⎨⎧===,3,1,2c b a所以椭圆C 的方程为1422=+y x ．………………………………4分 （Ⅱ）证明：设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，),(00y x M ．由221,4(1),x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得2222(4+1)8440k x k x k -+-= ， 所以22222(8)4(41)(44)4816k k k k ∆=--⨯+-=+. 所以当k 为任何实数时，都有0∆>．所以2122841k x x k +=+，2122444+1k x x k -=． 因为线段PQ 的中点为M ,所以212024241x x k x k +==+，002(1)41-=-=+k y k x k , 因为(1,0)B ,所以00(,1)AM x y =+uuu r ，00(1,)BM x y =-uuu r．所以2200000000(1)(1)=AM BM x x y y x x y y ⋅=-++-++uuu r uuu r 2222222244=()()41414141k k k k k k k k ---++++++322243=41k k k k ---+（） 222(431)=41k k k k -+++（）22237[4()]816=41k k k -+++（）.又因为0k ≠，2374()0816k ++>，所以0AM BM ⋅≠uuu r uuu r，所以点M 不在以AB 为直径的圆上．………………………………14分24.（丰台20）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>经过(10)A ,，(0)B b ,两点.O 为坐标原点，且△AOB 的面积为4. 过点(01)P ,且斜率为(0)k k >的直线l 与椭圆C 有两个不同的交点M N ，,且直线AM ，AN 分别与y 轴交于点S ，T .（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）求直线l 的斜率k 的取值范围；（Ⅲ）设PS PO PT PO λμ==u u r u u u r u u u r u u u r,,求λμ+的取值范围. 答案解：（Ⅰ）因为椭圆2222:1x y C ab+=经过点(10)A ,，所以21a =解得1a =. 由△AOB4可知，124ab =，解得2b =，所以椭圆C 的方程为2221x y +=． ………3分（Ⅱ) 设直线l 的方程为1y kx =+，1122()()M x y N x y ,,,．联立22211x y y kx +==+⎧⎨⎩，消y 整理可得：22(21)410k x kx +++=．因为直线与椭圆有两个不同的交点， 所以22164(21)0k k ∆=-+>，解得212k >．因为0k >，所以k的取值范围是)2+∞． ………7分（Ⅲ）因为(10)(01)A P ,,,1122()()M x y N x y ,,,, 所以直线AM 的方程是：11(1)1y y x x =--.令0x =，解得111y y x -=-.所以点S 的坐标为11(0)1y x --,.同理可得：点T 的坐标为22(0)1y x --,. 所以11(01)1y PS x -=--u u r ,,22(01)1y PT x -=--u u u r ,,(01)PO =-u u u r,. 由,,μλ== 可得：12121111y y x x λμ---=--=---,， 所以111111111y kx x x λ+=+=+--． 同理22111kx x μ+=+-．由（Ⅱ)得121222412121kx x x x k k +=-=++,， 所以 121211211kx kx x x λμ+++=++--()121212122(1)()221kx x k x x x x x x +-+-=+-++22222222142(1)()22121214()121212442(21)21421(1) 2(1)121k k k k k k k k k k k k k k k k k ⋅+---++=+--+++-+-+=++++-+=++=-++g所以λμ+的范围是2)． ………14分25. （房山19）已知椭圆C 的两个顶点分别为(2,0)A -，(2,0)B ，焦点在x 轴上，离心率为12． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设O 为原点，点P 在椭圆C 上，点Q 和点P 关于x 轴对称，直线AP 与直线BQ 交于点M ，求证： P ，M 两点的横坐标之积等于4，并求OM 的取值范围．答案（Ⅰ）设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b +=>>.依题意，2a =，12c a =. 得1c =，2223b a c =-=.所以，椭圆C 的方程为22143x y +=. （Ⅱ）依题意，可设(,)P m n （22m -<<且0m ≠），则(,)Q m n -.点P 在椭圆C 上，则22143m n +=， AP 的斜率为12n k m =+，直线AP 方程为(2)2n y x m =++， BQ 的斜率为12n k m -=-，直线BQ 的方程为(2)2n y x m -=--. 设(,)M x y ，由(2)2(2)2n y x m n y x m ⎧=+⎪⎪+⎨-⎪=-⎪-⎩得42x m n y m ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以M 的坐标为42(,)n m m . 所以P ，M 的横坐标之积等于44m m ⋅=. OM ==== 由204m <<， 所以，OM 的取值范围是()2,+∞.26. （朝阳19）已知椭圆C ：22221(0)+=>>x y a b a b，且椭圆C经过点． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）已知过点(4,0)P 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，与直线1=x 交于点Q ，设λ=u u u r u u u r AP PB ，μ=u u u r u u u r AQ QB (λ，)μ∈R ，求证：λμ+为定值．答案（19）（本小题14分）解：（Ⅰ）由题意可知222222,121,⎧=+⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪=⎪⎩a b c ab c a得22=b ，24=a ． 所以椭圆C 的方程为22142+=x y ．……………5分 （Ⅱ）由题意可知，直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为(4)=-y k x ．由(4),10=-⎧⎨-=⎩y k x x 得1,3.=⎧⎨=-⎩x y k 所以(1,3)-Q k ． 由22(4),24=-⎧⎨+=⎩y k x x y 得222(4)4+-=x kx k . 整理得2222(12)16(324)0+-+-=k x k x k .由2222(16)4(12)(324)0∆=--+->k k k，得66<<k ． 设直线l 与椭圆C 的交点11(,)A x y ，22(,)B x y ，则21221612+=+k x x k ，212232412-=+k x x k . 因为λ=u u u r u u u r AP PB ，μ=u u u r u u u r AQ QB 且11(4,)=--u u u r AP x y ，22(4,)=-u u u r PB x y ，11(1,3)=---u u u r AQ x k y ，22(1,3)=-+u u u r QB x y k ， 所以111212222241(4)(1)(1)(4)41(4)(1)λμ----+--+=+=----x x x x x x x x x x 1212225()28(4)(1)+--=--x x x x x x . 因为22121222163245()285281212-+--=⨯-⨯-++k k x x x x k k 22228064881612-+--=+k k k k0=， 所以0λμ+=.……………14分27.（顺义4）抛物线2=4y x 上的点与其焦点的最短距离为（A ）4 （B ）2 （C ）1 （D ）12答案 C28. （顺义14）若直线:l y x a =+将圆22:1C x y +=的圆周分成长度之比为1:3的两段弧，则实数a 的所有可能取值是____________.答案 1a =±29. （15）曲线C 是平面内到定点3(0)2F ，和定直线3:2l x =-的距离之和等于5的点的轨迹，给出下列三个结论： ①曲线C 关于y 轴对称；②若点(,)P x y 在曲线C 上，则y 满足4y ≤；③若点(,)P x y 在曲线C 上，则15PF ≤≤；其中，正确结论的序号是_____________.答案 ②③30（顺义20）（本小题14分） 已知椭圆2222:1(0)+=>>x y C a b a b的焦距和长半轴长都为2．过椭圆C 的右焦点F 作斜率为(0)k k ≠的直线l 与椭圆C 相交于,P Q 两点．（I ）求椭圆C 的方程；（II ）设点A 是椭圆C 的左顶点，直线,AP AQ 分别与直线4x =相交于点,M N .求证：以MN 为直径的圆恒过点F .解：（I ）由题意得222222c a a b c =⎧⎪=⎨⎪=+⎩解得2,1a b c === ---------------------3分 故椭圆C 的方程为22143x y +=． -------------------5分 （II ）(1,0)F ，(2,0)A -，直线l 的方程为(1)y k x =-． ------------------6分 由22(1)3412y k x x y =-⎧⎨+=⎩ 得2222(34)84120k x k x k +-+-=. 直线l 过椭圆C 的焦点，显然直线l 椭圆C 相交.设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，则2122834k x x k +=+,212241234k x x k -⋅=+ --------------8分 直线AP 的方程为11(2)2y y x x =++，令4x =，得1162M y y x =+； 即116(4,)2y M x + 同理：226(4,)2y N x + --------------10分 ∴116(3,)2y FM x =+u u u u r ，226(3,)2y FN x =+u u u r 又1212369(2)(2)y y FM FN x x ⋅=+++u u u u r u u u r -------------------11分 =121236(1)(1)9(2)(2)k x k x x x -⋅-+++=[]21212121236()192()4k x x x x x x x x -++++++ =222222222412836(1)343494121643434k k k k k k k k k --++++-++++ =22229363493634k k k k -⋅+++ =990-=∴以MN 为直径的圆恒过点F . ----------------14分。

2020北京中考数学二模分类汇编——几何综合1．（2020•海淀区二模）如图1，等边三角形ABC中，D为BC边上一点，满足BD＜CD，连接AD，以点A为中心，将射线AD顺时针旋转60°，与△ABC的外角平分线BM交于点E．（1）依题意补全图1；（2）求证：AD＝AE；（3）若点B关于直线AD的对称点为F，连接CF．①求证：AE∥CF；②若BE+CF＝AB成立，直接写出∠BAD的度数为°．2．（2020•西城区二模）在正方形ABCD中，E是CD边上一点（CE＞DE），AE，BD交于点F．（1）如图1，过点F作GH⊥AE，分别交边AD，BC于点G，H．求证：∠EAB＝∠GHC；（2）AE的垂直平分线分别与AD，AE，BD交于点P，M，N，连接CN．①依题意补全图形；②用等式表示线段AE与CN之间的数量关系，并证明．3．（2020•东城区二模）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，点D是△ABC外一点，点D 与点C在直线AB的异侧，且点D，A，C不共线，连接AD，BD，CD．（1）如图1，当α＝60°．∠ADB＝30°时，画出图形，直接写出AD，BD，CD之间的数量关系；（2）当α＝90°，∠ADB＝45°时，利用图2，继续探究AD，BD，CD之间的数量关系并证明；（提示：尝试运用图形变换，将要研究的有关线段尽可能转移到一个三角形中）（3）当∠ADB＝时，进一步探究AD，BD，CD之间的数量关系，并用含α的等式直接表示出它们之间的关系．4．（2020•朝阳区二模）已知∠AOB＝40°，M为射线OB上一定点，OM＝1，P为射线OA 上一动点（不与点O重合），OP＜1，连接PM，以点P为中心，将线段PM顺时针旋转40°，得到线段PN，连接MN．（1）依题意补全图1；（2）求证：∠APN＝∠OMP；（3）H为射线OA上一点，连接NH．写出一个OH的值，使得对于任意的点P总有∠OHN为定值，并求出此定值．5．（2020•丰台区二模）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，将CA绕点C顺时针旋转45°，得到CP，点A关于直线CP的对称点为D，连接AD交直线CP于点E，连接CD．（1）根据题意补全图形；（2）判断△ACD的形状，并证明；（3）连接BE，用等式表示线段AB，BC，BE之间的数量关系，并证明．温馨提示：在解决第（3）问的过程中，如果你遇到困难，可以参考下面几种解法的主要思路．解法1的主要思路：延长BC至点F，使CF＝AB，连接EF，可证△ABE≌△CFE，再证△BEF是等腰直角三角形．解法2的主要思路：过点A作AM⊥BE于点M，可证△ABM是等腰直角三角形，再证△ABC∽△AME．解法3的主要思路：过点A作AM⊥BE于点M，过点C作CN⊥BE于点N，设BN＝a，EN＝b，用含a或b 的式子表示AB，BC．……．6．（2020•石景山区二模）在△ABC中，AB＝AC，D是边BC上的一点（不与点B重合），边BC上点E在点D的右边且∠DAE＝∠BAC，点D关于直线AE的对称点为F，连接CF．（1）如图1，①依题意补全图1；②求证：CF＝BD．（2）如图2，∠BAC＝90°，用等式表示线段DE，CE，CF之间的数量关系，并证明．7．（2020•房山区二模）点C为线段AB上一点，以AC为斜边作等腰Rt△ADC，连接BD，在△ABD外侧，以BD为斜边作等腰Rt△BED，连接EC．（1）如图1，当∠DBA＝30°时：①求证：AC＝BD；②判断线段EC与EB的数量关系，并证明；（2）如图2，当0°＜∠DBA＜45°时，EC与EB的数量关系是否保持不变？对于以上问题，小牧同学通过观察、实验，形成了解决该问题的几种思路：想法1：尝试将点D为旋转中心，过点D作线段BD垂线，交BE延长线于点G，连接CG；通过证明△ADB≌△CDG解决以上问题；想法2：尝试将点D为旋转中心，过点D作线段AB垂线，垂足为点G，连接EG．通过证明△ADB∽△GDE解决以上问题；想法3：尝试利用四点共圆，过点D作AB垂线段DF，连接EF，通过证明D、F、B、E 四点共圆，利用圆的相关知识解决以上问题．请你参考上面的想法，证明EC＝EB（一种方法即可）．8．（2020•平谷区二模）如图，在△ABM中，∠ABC＝90°，延长BM使BC＝BA，线段CM 绕点C顺时针旋转90°得到线段CD，连接DM，AD．（1）依据题意补全图形；（2）当∠BAM＝15°时，∠AMD的度数是；（3）小聪通过画图、测量发现，当∠AMB是一定度数时，AM＝MD．小聪把这个猜想和同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法：想法1：通过观察图形可以发现，如果把梯形ABCD补全成为正方形ABCE，就易证△ABM ≌△AED，因此易得当∠AMD是特殊值时，问题得证；想法2：要证AM＝MD，通过第（2）问，可知只需要证明△AMD是等边三角形，通过构造平行四边形CDAF，易证AD＝CF，通过△ABM≌△CBF，易证AM＝CF，从而解决问题；想法3：通过BC＝BA，∠ABC＝90°，连接AC，易证△ACM≌△ACD，易得△AMD是等腰三角形，因此当∠AMD是特殊值时，问题得证．请你参考上面的想法，帮助小聪证明当∠AMD是一定度数时，AM＝MD．（一种方法即可）9．（2020•密云区二模）已知：MN是经过点A的一条直线，点C是直线MN左侧的一个动点，且满足60°＜∠CAN＜120°，连接AC，将线段AC绕点C顺时针旋转60°，得到线段CD，在直线MN上取一点B，使∠DBN＝60°．（1）若点C位置如图1所示．①依据题意补全图1；②求证：∠CDB＝∠MAC；（2）连接BC，写出一个BC的值，使得对于任意一点C，总有AB+BD＝3，并证明．10．（2020•昌平区二模）如图，在△ABC中，∠BAC＝30°，AB＝AC，将线段AC绕点A 逆时针旋转α°（0＜α＜180），得到线段AD，连接BD，交AC于点P．（1）当α＝90°时，①依题意补全图形；②求证：PD＝2PB；（2）写出一个α的值，使得PD＝PB成立，并证明．11．（2020•顺义区二模）已知：在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，点D为线段BC上一动点（点D不与点B、C重合），点B关于直线AD的对称点为E，作射线DE，过点C 作BC的垂线，交射线DE于点F，连接AE．（1）依题意补全图形；（2）AE与DF的位置关系是；（3）连接AF，小昊通过观察、实验，提出猜想：发现点D在运动变化的过程中，∠DAF 的度数始终保持不变，小昊把这个猜想与同学们进行了交流，经过测量，小昊猜想∠DAF＝°，通过讨论，形成了证明该猜想的两种想法：想法1：过点A作AG⊥CF于点G，构造正方形ABCG，然后可证△AFG≌△AFE…想法2：过点B作BG∥AF，交直线FC于点G，构造▱ABGF，然后可证△AFE≌△BGC…请你参考上面的想法，帮助小昊完成证明（一种方法即可）．12．（2020•门头沟区二模）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB，BC上的两个动点（不与点A，B，C重合），且AE＝CF，延长BC到G，使CG＝CF，连接EG，DF．（1）依题意将图形补全；（2）小华通过观察、实验、提出猜想：在点E，F运动过程中，始终有EG＝DF．经过与同学们充分讨论，形成了几种证明的想法：想法一：连接DE，DG，证明△DEG是等腰直角三角形；想法二：过点D作DF的垂线，交BA的延长线于H，可得△DFH是等腰直角三角形，证明HF＝EG；…请参考以上想法，帮助小华证明EG＝DF．（写出一种方法即可）2020北京中考数学二模分类汇编——几何综合参考答案与试题解析1．（2020•海淀区二模）如图1，等边三角形ABC中，D为BC边上一点，满足BD＜CD，连接AD，以点A为中心，将射线AD顺时针旋转60°，与△ABC的外角平分线BM交于点E．（1）依题意补全图1；（2）求证：AD＝AE；（3）若点B关于直线AD的对称点为F，连接CF．①求证：AE∥CF；②若BE+CF＝AB成立，直接写出∠BAD的度数为20°．【分析】（1）由旋转即可补全图形；（2）先判断出∠BAE＝∠CAD，再判断出∠ABE＝60°＝∠C，进而判断出△ABE≌△ACD，即可得出结论；（3）①先判断出AFC＝∠ACF，设∠BAD＝α，进而表示出∠FAD＝α，∠CAF＝60°﹣2α，进而得出∠ACF＝60°+α再判断出∠CAE＝120°﹣α，即可得出结论；②先判断出∠CBG＝30°﹣α，进而判断出∠CDF＝60°﹣2α，再判断出DF＝CF，进而得出∠DCF＝∠CDF＝60°﹣2α，再判断出∠DCF＝α，即可得出结论．【解答】解：（1）补全图形如图1所示；（2）由旋转知，∠DAE＝60°，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠ABC＝∠C＝∠BAC＝60°，∴∠DAE＝∠BAC，∴∠BAE＝∠CAD，∵BE是△ABC的外角的平分线，∴∠ABM＝（180°﹣60°）＝60°＝∠C，在△ABE和△ACD中，，∴△ABE≌△ACD（ASA），∴AD＝AE；（3）①如图2，连接AF，∵点F是点B关于AD的对称点，∴∠BAD＝∠FAD，AF＝AB，∴AF＝AC，∴∠AFC＝∠ACF，设∠BAD＝α，则∠FAD＝α，∴∠CAF＝∠BAC﹣∠BAD﹣∠FAD＝60°﹣2α，∴∠ACF＝（180°﹣∠CAF）＝60°+α，由（2）知，∠BAE＝∠CAD＝60°﹣α，∴∠CAE＝∠BAE+∠BAC＝60°﹣α+60°＝120°﹣α，∴∠ACF+∠CAE＝60°+α+120°﹣α＝180°，∴AE∥CF；②如图2，连接BF，设∠BAD＝α，∵点F是点B关于AD的对称点，∴AD⊥BF，垂足记作点G，则∠AGB＝90°，∴∠ABG＝90°﹣α，∵∠ABC＝60°，∴∠CBG＝30°﹣α，连接DF，则BD＝DF，∴∠CDF＝2∠CBG＝60°﹣2α，由（2）知，△ABE≌△ACD，∴BE＝CD，∵BE+CF＝AB，∴CD+CF＝BC＝BD+CD，∴BD＝CF，∴DF＝CF，∴∠DCF＝∠CDF＝60°﹣2α，由①知，∠ACF＝60°+α，∴∠DCF＝∠ACF﹣∠ACB＝α，∴60°﹣2α＝α，∴α＝20°，即∠BAD＝20°，故答案为：20．【点评】此题是三角形综合题，主要考查了等边三角形的性质，旋转的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，判断出∠CDF＝60°﹣2α是解本题的关键．2．（2020•西城区二模）在正方形ABCD中，E是CD边上一点（CE＞DE），AE，BD交于点F．（1）如图1，过点F作GH⊥AE，分别交边AD，BC于点G，H．求证：∠EAB＝∠GHC；（2）AE的垂直平分线分别与AD，AE，BD交于点P，M，N，连接CN．①依题意补全图形；②用等式表示线段AE与CN之间的数量关系，并证明．【分析】（1）由平行线的性质可得出∠AGH＝∠GHC．证得∠EAB＝∠AGH．则结论得证；（2）①依题意补全图形即可；②连接AN，连接EN并延长，交AB边于点Q．证得NA＝NE．得出∠ANE＝∠ANQ＝90°．则可得出AE＝NE＝CN．【解答】（1）证明：在正方形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝90°，∴∠AGH＝∠GHC．∵GH⊥AE，∴∠EAB＝∠AGH．∴∠EAB＝∠GHC．（2）①补全图形，如图所示．②证明：连接AN，连接EN并延长，交AB边于点Q．∵四边形ABCD是正方形，∴点A，点C关于BD对称．∴NA＝NC，∠BAN＝∠BCN．∵PN垂直平分AE，∴NA＝NE．∴NC＝NE．∴∠NEC＝∠NCE．在正方形ABCD中，BA∥CE，∠BCD＝90°，∴∠AQE＝∠NEC．∴∠BAN+∠AQE＝∠BCN+∠NCE＝90°．∴∠ANE＝∠ANQ＝90°．在等腰Rt△ANE中，∴AE＝NE＝CN．【点评】本题考查了正方形的性质，平行线的性质，轴对称的性质，中垂线的性质，等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．3．（2020•东城区二模）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，点D是△ABC外一点，点D 与点C在直线AB的异侧，且点D，A，C不共线，连接AD，BD，CD．（1）如图1，当α＝60°．∠ADB＝30°时，画出图形，直接写出AD，BD，CD之间的数量关系；（2）当α＝90°，∠ADB＝45°时，利用图2，继续探究AD，BD，CD之间的数量关系并证明；（提示：尝试运用图形变换，将要研究的有关线段尽可能转移到一个三角形中）（3）当∠ADB＝时，进一步探究AD，BD，CD之间的数量关系，并用含α的等式直接表示出它们之间的关系．【分析】（1）先判断出∠BDE＝90°，再根据勾股定理得出BD2+DE2＝BE2，即BD2+AD2＝BE2，再判断出△ABE≌△ACD（SAS），得出BE＝CD，即可得出结论；（2）同（1）方法得出DE2+BD2＝BE2，进而得出2AD2+BD2＝BE2，同（1）的方法判断出BE＝CD，即可得出结论；（3）同（1）的方法得出DE2+BD2＝BE2，再判断出DF＝2AD•sin，即可得出结论．【解答】解：（1）AD2+BD2＝CD2，理由：如图1，过AD为边在AD上侧作等边三角形ADE，连接BE，则AD＝DE＝AE，∠DAE＝∠ADE＝60°，∵∠ADB＝30°，∴∠BDE＝∠DBA+∠ADE＝90°，在Rt△BDE中，根据勾股定理得，BD2+DE2＝BE2，∴BD2+AD2＝BE2，∵∠DAE＝∠BAC＝60°，∴∠BAE＝∠CAD，∵AB＝AC，∴△ABE≌△ACD（SAS），∴BE＝CD，∴AD2+BD2＝CD2；（2）如图2，过点A作AE⊥AD，且AE＝AD，连接BE，DE，∴∠ADE＝45°，∵∠BDA＝45°，∴∠BDE＝90°，根据勾股定理得，DE2+BD2＝BE2，∵DE2＝2AD2，∴2AD2+BD2＝BE2，∵∠DAE＝∠BAC＝90°，∴∠BAE＝∠CAD，∵AB＝AC，∴△ABE≌△ACD（SAS），∴BE＝CD，∴2AD2+BD2＝CD2；（3）如图3，将线段AD绕点A顺时针旋转α得到AE，连接DE，BE，∴∠ADE＝（180°﹣∠DAE）＝90°﹣α，∵∠ADB＝α，∴∠BDE＝90°，根据勾股定理得，DE2+BD2＝BE2，∵∠DAE＝∠BAC＝α，∴∠BAE＝∠CAD，∵AB＝AC，∴△ABE≌△ACD（SAS），∴BE＝CD，∴DE2+BD2＝CD2，过点A作AF⊥DE于F，则DE＝2DF，∴∠DAF＝90°﹣∠ADE＝α，在Rt△ADF中，sin∠DAF＝，∴DF＝AD•sin∠DAF＝AD•sin，∴DE＝2DF＝2AD•sin，即：（2AD•sin）2+BD2＝CD2．【点评】此题是三角形综合题，主要考查了等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，构造出全等三角形是解本题的关键．4．（2020•朝阳区二模）已知∠AOB＝40°，M为射线OB上一定点，OM＝1，P为射线OA 上一动点（不与点O重合），OP＜1，连接PM，以点P为中心，将线段PM顺时针旋转40°，得到线段PN，连接MN．（1）依题意补全图1；（2）求证：∠APN＝∠OMP；（3）H为射线OA上一点，连接NH．写出一个OH的值，使得对于任意的点P总有∠OHN为定值，并求出此定值．【分析】（1）根据要求画出图形即可．（2）利用三角形的外角的性质解决问题即可．（3）结论：OH＝1时，∠OHN的值为定值．证明△OMP≌△GPN（SAS），推出OP＝NG，∠AOB＝∠NGP＝40°，由OM＝OH＝PG＝1，推出OP＝HG，推出GH＝GN，推出∠GNH＝∠GHN＝（180°﹣40°）＝70°可得结论．【解答】（1）解：图形如图所示：（2）证明：如图1中，∵∠MPN＝∠AOB＝40°，∠APM＝∠APN+∠MPN＝∠AOB+∠OMP，∴∠APN＝∠OMP．（3）解：结论：OH＝1时，∠OHN的值为定值．理由：在射线PA设取一点G，使得PG＝OM，连接NG．∵PN＝PM，∠GPN＝∠OMP，∴△OMP≌△GPN（SAS），∴OP＝NG，∠AOB＝∠NGP＝40°，∵OM＝OH＝PG＝1，∴OP＝HG，∴GH＝GN，∴∠GNH＝∠GHN＝（180°﹣40°）＝70°，∴∠OHN＝180°﹣70°＝110°．【点评】本题属于几何变换综合题，考查了三角形的外角的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．5．（2020•丰台区二模）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，将CA绕点C顺时针旋转45°，得到CP，点A关于直线CP的对称点为D，连接AD交直线CP于点E，连接CD．（1）根据题意补全图形；（2）判断△ACD的形状，并证明；（3）连接BE，用等式表示线段AB，BC，BE之间的数量关系，并证明．温馨提示：在解决第（3）问的过程中，如果你遇到困难，可以参考下面几种解法的主要思路．解法1的主要思路：延长BC至点F，使CF＝AB，连接EF，可证△ABE≌△CFE，再证△BEF是等腰直角三角形．解法2的主要思路：过点A作AM⊥BE于点M，可证△ABM是等腰直角三角形，再证△ABC∽△AME．解法3的主要思路：过点A作AM⊥BE于点M，过点C作CN⊥BE于点N，设BN＝a，EN＝b，用含a或b 的式子表示AB，BC．……．【分析】（1）根据要求画出图形即可．（2）结论：△ACD是等腰直角三角形．根据等腰直角三角形的定义判断即可．（3）结论：BC+BA＝BE．延长BC至点F，使CF＝AB，连接EF．证明△EAB≌△ECF（SAS），推出BE＝EF，∠AEB＝∠CEF可得结论．【解答】解：（1）图形如图所示：（2）结论：△ACD是等腰直角三角形．理由：∵A，D关于CP对称，∴AD⊥CP，∠ACP＝∠PCD＝45°，CA＝CD，∴∠ACD＝90°，∴△ACD是等腰直角三角形．（3）结论：BC+BA＝BE．理由：延长BC至点F，使CF＝AB，连接EF．∵∠ABC＝∠AEC＝90°，∴∠BAE+∠BCE＝180°，∵∠BCE+∠ECF＝180°，∴∠BAE＝∠ECF，∵△ACD是等腰直角三角形，CE⊥AD，∴AE＝DE，∴CE＝AE＝ED，∵AB＝CF，∴△EAB≌△ECF（SAS），∴BE＝EF，∠AEB＝∠CEF，∴∠BEF＝∠AEC＝90°，∴△BEF是等腰直角三角形，∴BF＝BE，∵BF＝BC+CF＝BC+BA，∴BC+BA＝BE．【点评】本题考查作图﹣复杂作图，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线面构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．6．（2020•石景山区二模）在△ABC中，AB＝AC，D是边BC上的一点（不与点B重合），边BC上点E在点D的右边且∠DAE＝∠BAC，点D关于直线AE的对称点为F，连接CF．（1）如图1，①依题意补全图1；②求证：CF＝BD．（2）如图2，∠BAC＝90°，用等式表示线段DE，CE，CF之间的数量关系，并证明．【分析】（1）①根据题意补全图形即可；②连接AF，如图1，根据已知条件得到∠3＝∠1+∠2．根据轴对称的性质得到AF＝AD，∠FAE＝∠3＝∠1+∠2．根据全等三角形的性质得到结论；（2）连接FA，FE，如图2，根据等腰三角形的性质得到∠1＝∠2＝45°，求得∠FCE ＝90°，根据勾股定理即可得到结论．【解答】解：（1）①依题意补全图形，如图1；②证明：连接AF，如图1，∵，∴∠3＝∠1+∠2．∵点F与点D关于直线AE对称，∴AF＝AD，∠FAE＝∠3＝∠1+∠2．∴∠4＝∠FAE﹣∠2＝（∠1+∠2）﹣∠2＝∠1．又∵AC＝AB，∴△ACF≌△ABD（SAS），∴CF＝BD；（2）线段DE，CE，CF之间的数量关系是DE2＝CE2+CF2．证明：连接FA，FE，如图2，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠1＝∠2＝45°，由（1）②，可得FE＝DE，∠3＝∠2＝45°，∴∠FCE＝90°，在Rt△FCE中，由勾股定理，得FE2＝CE2+CF2，∴DE2＝CE2+CF2．【点评】本题考查了几何变换的综合题，全等三角形的性质，轴对称的性质，勾股定理，正确的作出图形是解题的关键．7．（2020•房山区二模）点C为线段AB上一点，以AC为斜边作等腰Rt△ADC，连接BD，在△ABD外侧，以BD为斜边作等腰Rt△BED，连接EC．（1）如图1，当∠DBA＝30°时：①求证：AC＝BD；②判断线段EC与EB的数量关系，并证明；（2）如图2，当0°＜∠DBA＜45°时，EC与EB的数量关系是否保持不变？对于以上问题，小牧同学通过观察、实验，形成了解决该问题的几种思路：想法1：尝试将点D为旋转中心，过点D作线段BD垂线，交BE延长线于点G，连接CG；通过证明△ADB≌△CDG解决以上问题；想法2：尝试将点D为旋转中心，过点D作线段AB垂线，垂足为点G，连接EG．通过证明△ADB∽△GDE解决以上问题；想法3：尝试利用四点共圆，过点D作AB垂线段DF，连接EF，通过证明D、F、B、E 四点共圆，利用圆的相关知识解决以上问题．请你参考上面的想法，证明EC＝EB（一种方法即可）．【分析】（1）①先利用直角三角形斜边的中线得出AC＝2DF，再用含30°的直角三角形的性质得出BD＝2DF，即可得出结论；②先求出∠BDC＝15°，进而得出∠CDE＝60°，即可判断出△CDE是等边三角形，即可得出结论；（2）先判断出BD＝GD，进而判断出△ADB≌△CDG（SAS），得出∠DCG＝∠DAB，判断出△BCG是直角三角形，再判断出EG＝EB，即可得出结论．【解答】解：（1）①如图1，过点D作DF⊥AC于F，则∠DFC＝90°，∵△ADC是AC为斜边作等腰Rt△ADC，∴AC＝2DF，在Rt△DFB中，∠DBA＝30°，∴BD＝2DF，∴AC＝BD；②∵△ADC是等腰直角三角形，∴∠ACD＝45°，∵∠DBA＝30°，∴∠CDB＝∠ACD﹣∠DBA＝15°，∵△BDE是等腰直角三角形，∴∠BDE＝45°，∴∠CDE＝∠CDB+∠BDE＝60°，在Rt△ADC中，AC＝DC，在Rt△BDE中，BD＝BE＝DE，由①知，AC＝BD，∴BE＝CD＝ED，∴△CDE是等边三角形，∴DE＝CE，∴EC＝EB；（2）如图2，过点D作DG⊥BD交BE的延长线于G，连接CG，∴∠BDG＝90°＝∠ADC，∴∠ADB＝∠CDG，∵△BED是以BD为斜边作等腰Rt△BED，∴∠BED＝90°，∠DBE＝45°，∴∠DGE＝90°﹣∠DBE＝45°＝∠DBE，∴BD＝GD，∵AD＝CD，∴△ADB≌△CDG（SAS），∴∠DCG＝∠DAB，∵∠ACD＝45°，∴∠BCG＝∠ACG＝90°，在Rt△BDG中，DB＝DG，∠BED＝90°，∴EG＝EB，∴BE＝CE（直角三角形斜边的中线等于斜边的一半）．【点评】此题是三角形综合题，主要考查了等腰直角三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质，判断出∠BCG＝90°是解本题的关键．8．（2020•平谷区二模）如图，在△ABM中，∠ABC＝90°，延长BM使BC＝BA，线段CM 绕点C顺时针旋转90°得到线段CD，连接DM，AD．（1）依据题意补全图形；（2）当∠BAM＝15°时，∠AMD的度数是60°；（3）小聪通过画图、测量发现，当∠AMB是一定度数时，AM＝MD．小聪把这个猜想和同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法：想法1：通过观察图形可以发现，如果把梯形ABCD补全成为正方形ABCE，就易证△ABM ≌△AED，因此易得当∠AMD是特殊值时，问题得证；想法2：要证AM＝MD，通过第（2）问，可知只需要证明△AMD是等边三角形，通过构造平行四边形CDAF，易证AD＝CF，通过△ABM≌△CBF，易证AM＝CF，从而解决问题；想法3：通过BC＝BA，∠ABC＝90°，连接AC，易证△ACM≌△ACD，易得△AMD是等腰三角形，因此当∠AMD是特殊值时，问题得证．请你参考上面的想法，帮助小聪证明当∠AMD是一定度数时，AM＝MD．（一种方法即可）【分析】（1）由题意画出，图形；（2）由旋转的性质可得出△DCM为等腰直角三角形，则∠DMC＝45°，∠AMB＝75°，可求出答案；（3）根据三种想法证明△AMD为等边三角形即可得出结论．【解答】解：（1）由题意画出图形如图1，（2）如图1，∵∠BAM＝15°，∠ABC＝90°，∴∠AMB＝90°﹣15°＝75°，∵线段CM绕点C顺时针旋转90°得到线段CD，∴CM＝CD，∠MCD＝90°，∴∠CMD＝∠MDC＝45°，∴∠AMD＝180°﹣∠AMB﹣∠DMC＝180°﹣75°﹣45°＝60°．故答案为：60°．（3）当∠AMB＝75°时，AM＝DM．想法1证明：如图2，过点A作AE⊥CD交CD的延长线于点E，∵∠AEC＝∠C＝∠ABC＝90°，AB＝BC，∴四边形ABCE正方形，∴AB＝AE，BC＝CE，由（2）可知CM＝CD，∴BM＝DE，∴△ABM≌△AED（SAS），∴AM＝AD，由（2）可知∠AMD＝60°，∴△AMD为等边三角形，∴AM＝DM．想法2证明：如图3，过点C作CF∥AD交AB于点F，∵AF∥CD，∴四边形AFCD为平行四边形，∴AD＝CF，AF＝CD，∵AB＝AF+BF，BC＝BM+CM，AB＝BC，∴CD+BF＝BM+CM，∵CD＝CM，∴BF＝BM，又∵AB＝BC，∠FBC＝∠MBC＝90°，∴△ABM≌△CBF（SAS），∴AM＝CF，∴AM＝AD，又∵∠AMD＝60°，∴△AMD为等边三角形，∴AM＝DM．想法3证明：如图4，连接AC，∵BC＝AB，∠ABC＝90°，∴∠ACB＝45°，∴∠ACD＝45°，又∵CM＝CD，AC＝AC，∴△ACM≌△ACD（SAS），∴AM＝AD，∵∠AMD＝60°，∴△AMD为等边三角形，∴AM＝DM．【点评】本题是四边形综合题，考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，正方形的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．9．（2020•密云区二模）已知：MN是经过点A的一条直线，点C是直线MN左侧的一个动点，且满足60°＜∠CAN＜120°，连接AC，将线段AC绕点C顺时针旋转60°，得到线段CD，在直线MN上取一点B，使∠DBN＝60°．（1）若点C位置如图1所示．①依据题意补全图1；②求证：∠CDB＝∠MAC；（2）连接BC，写出一个BC的值，使得对于任意一点C，总有AB+BD＝3，并证明．【分析】（1）①根据题意作出图形即可求解；②根据等量关系可证∠CDB＝∠MAC；（2）如图2，连接BC，在直线MN上截取AH＝BD，连接CH，根据SAS可证△ACH≌△DCB，再根据全等三角形的性质和等边三角形的判定与性质即可求解．【解答】解：（1）①如图1所示：②证明：∵∠C＝60°，∠DBN＝60°，∴∠C＝∠DBN，∵∠DBN+∠ABD＝180°，∴∠C+∠ABD＝180°，在四边形ACDB中，∠CDB+∠BAC＝180°，∵∠BAC+∠MAC＝180°，∴∠CDB＝∠MAC；（2）BC＝3时，对于任意一点C，总有AB+BD＝3．证明：如图2，连接BC，在直线MN上截取AH＝BD，连接CH，∵∠MAC＝∠CDB，AC＝CD，∴△ACH≌△DCB（SAS），∴∠ACH＝∠DCB，CH＝CB，∵∠DCB+∠ACB＝∠ACD＝60°，∴∠HCB＝∠ACH+∠ACB＝60°，∴△HCB是等边三角形，∴BC＝BH＝BA+BD＝3．【点评】考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，关键是根据题意作出辅助线，得到△HCB是等边三角形．10．（2020•昌平区二模）如图，在△ABC中，∠BAC＝30°，AB＝AC，将线段AC绕点A 逆时针旋转α°（0＜α＜180），得到线段AD，连接BD，交AC于点P．（1）当α＝90°时，①依题意补全图形；②求证：PD＝2PB；（2）写出一个α的值，使得PD＝PB成立，并证明．【分析】（1）当α＝90°时，①依题意即可补全图形；②根据30度角所对直角边等于斜边一半即可证明PD＝2PB；（2）当α的值为60或120度时，根据等腰三角形的性质即可证明PD＝PB成立．【解答】解：（1）当α＝90°时，①如图即为补全的图形；②证明：∵∠BAC＝30°，AB＝AC，根据题意可知：AC＝AD，∴AD＝AB，∴∠ABD＝∠ADB，∵∠CAD＝90°，∴∠DAB＝120°，∴∠ABD＝∠D＝∠BAC＝30°，∴AP＝BP，在Rt△APD中，∠ADB＝30°，∴PD＝2AP，∴PD＝2PB；（2）当α＝60（或120°）时，PD＝PB成立，情况1，如图所示：当α＝60°时，过点D作DF⊥AC于点F，过点B作BE⊥AC于点E，∴DF∥BE，∴△DFP∽△BEP，∴＝，在Rt△ABE中，∠BAC＝30°，∴AC＝AB＝2BE，在Rt△ADF中，∠CAD＝60°，∴AD＝DF，∵AD＝AC＝AB，∴2BE＝DF，∴BE＝DF，∴PD＝PB．情况2，如图所示：当α＝120°时，过点D作DF⊥AC于点F，过点B作BE⊥AC于点E，∴DF∥BE，∴△DFP∽△BEP，∴＝，在Rt△ABE中，∠BAC＝30°，∴AC＝AB＝2BE，在Rt△ADF中，∠FAD＝60°，∴AD＝DF，∵AD＝AC＝AB，∴2BE＝DF，∴BE＝DF，∴PD＝PB．【点评】本题考查了作图﹣旋转变换、等腰三角形的性质、含30度角的直角三角形，解决本题的关键是掌握旋转的性质．11．（2020•顺义区二模）已知：在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，点D为线段BC上一动点（点D不与点B、C重合），点B关于直线AD的对称点为E，作射线DE，过点C 作BC的垂线，交射线DE于点F，连接AE．（1）依题意补全图形；（2）AE与DF的位置关系是AE⊥DF；（3）连接AF，小昊通过观察、实验，提出猜想：发现点D在运动变化的过程中，∠DAF 的度数始终保持不变，小昊把这个猜想与同学们进行了交流，经过测量，小昊猜想∠DAF＝45°，通过讨论，形成了证明该猜想的两种想法：想法1：过点A作AG⊥CF于点G，构造正方形ABCG，然后可证△AFG≌△AFE…想法2：过点B作BG∥AF，交直线FC于点G，构造▱ABGF，然后可证△AFE≌△BGC…请你参考上面的想法，帮助小昊完成证明（一种方法即可）．【分析】（1）根据题意正确画图；（2）证明△ABD≌△AED（SSS），可得∠AED＝∠B＝90°，从而得结论；（3）想法1：如图2，过点A做AG⊥CF于点G，先证明四边形ABCG是正方形，得AG ＝AB，∠BAG＝90°，再证明Rt△AFG≌Rt△AFE（HL），得∠GAF＝∠EAF，根据∠BAG ＝90°及角的和可得结论；想法2：如图3，过点B作BG∥AF，交直线FC于点G，证明四边形ABGF是平行四边形，得AF＝BG，∠BGC＝∠BAF，再证明Rt△AEF≌Rt△BCG（HL），同理根据∠BCG ＝90°及等量代换，角的和可得结论．【解答】解：（1）补全图形如图1：（2）AE与DF的位置关系是：AE⊥DF，理由是：∵点B关于直线AD的对称点为E，∴AB＝AE，BD＝DE，∵AD＝AD，∴△ABD≌△AED（SSS），∴∠AED＝∠B＝90°，∴AE⊥DF；故答案为：AE⊥DF；（3）猜想∠DAF＝45°；想法1：证明如下：如图2，过点A做AG⊥CF于点G，依题意可知：∠B＝∠BCG＝∠CGA＝90°，∵AB＝BC，∴四边形ABCG是正方形，∴AG＝AB，∠BAG＝90°，∵点B关于直线AD的对称点为E，∴AB＝AE，∠B＝∠AED＝∠AEF＝90°，∠BAD＝∠EAD，∴AG＝AE，∵AF＝AF，∴Rt△AFG≌Rt△AFE（HL），∴∠GAF＝∠EAF，∵∠BAG＝90°，∴∠BAD+∠EAD+∠EAF+∠GAF＝90°，∴∠EAD+∠EAF＝45°．即∠DAF＝45°．想法2：证明如下：如图3，过点B作BG∥AF，交直线FC于点G，依题意可知：∠ABC＝∠BCF＝90°，∴AB∥FG，∵AF∥BG，∴四边形ABGF是平行四边形，∴AF＝BG，∠BGC＝∠BAF，∵点B关于直线AD的对称点为E，∴AB＝AE，∠ABC＝∠AED＝90°，∠BAD＝∠EAD，∵AB＝BC，∴AE＝BC，∴Rt△AEF≌Rt△BCG（HL），∴∠EAF＝∠CBG，∵∠BCG＝90°，∴∠BGC+∠CBG＝90°，∴∠BAF+∠EAF＝90°，∴∠BAD+∠EAD+∠EAF+∠EAF＝90°，∵∠BAD＝∠EAD，∴∠EAD+∠EAF＝45°，即∠DAF＝45°．故答案为：45．【点评】本题是三角形的综合题，考查了三角形全等的性质和判定，正方形和平行四边形的判定和性质，对称的性质，角的平分线，画图的能力，垂直的判定等知识，正确作辅助线，构建三角形全等是关键．12．（2020•门头沟区二模）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB，BC上的两个动点（不与点A，B，C重合），且AE＝CF，延长BC到G，使CG＝CF，连接EG，DF．（1）依题意将图形补全；（2）小华通过观察、实验、提出猜想：在点E，F运动过程中，始终有EG＝DF．经过与同学们充分讨论，形成了几种证明的想法：想法一：连接DE，DG，证明△DEG是等腰直角三角形；想法二：过点D作DF的垂线，交BA的延长线于H，可得△DFH是等腰直角三角形，证明HF＝EG；…请参考以上想法，帮助小华证明EG＝DF．（写出一种方法即可）【分析】（1）根据题意画出图形即可；（2）如图，连接DE，DG，根据正方形的性质得到AD＝CD，∠A＝∠DCF＝90°，根据全等三角形的性质得到DE＝DF，∠ADE＝∠CDF，求得DF＝DG，由等腰三角形的性质得到∠CDF＝∠CDG，推出△EDG是等腰直角三角形，于是得到结论．【解答】解：（1）依题意补全图形如图所示；（2）如图，连接DE，DG，∵在正方形ABCD中，AD＝CD，∠A＝∠DCF＝90°，∵AE＝CF，∴△ADE≌△CDF（SAS），∴DE＝DF，∠ADE＝∠CDF，∵∠DCF＝90°，∴DC⊥FG，∵CF＝CG，∴DF＝DG，∴∠CDF＝∠CDG，∴DE＝DG，∠ADE＝∠CDG，∵∠ADC＝90°，∴∠EDG＝90°，∴△EDG是等腰直角三角形，∴EG＝DG＝DF．【点评】本题考查了等腰直角三角形，作图﹣基本作图，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．。

北京市西城区中考数学二模试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．据报道，到2020年北京地铁规划线网将由19条线路组成，总长度将达到561500米，将561500用科学记数法表示为（）A．0.5615×106B．5.615×105C．56.15×104D．561.5×1032．下列运算中，正确的是（）A．a3+a3=2a6B．a5﹣a3=a2C．a2•a2=2a4D．（a5）2=a103．将不等式x﹣1＞0的解集表示在数轴上，下列表示正确的是（）A．B．C．D．4．在一个不透明的口袋中装有5个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，5，从中随机摸出一个小球，其标号是奇数的概率为（）A．B．C．D．5．介于下列哪两个整数之间（）A．0与1 B．1与2 C．2与3 D．3与46．如图是由射线AB，BC，CD，DE，EA组成的平面图形，若∠1+∠2+∠3+∠4=225°，ED∥AB，则∠1的度数为（）A．55° B．45° C．35° D．25°7．对于反比例函数y=，当1＜x＜2时，y的取值范围是（）A．1＜y＜3 B．2＜y＜3 C．1＜y＜6 D．3＜y＜68．如图，AB为半圆O的直径，C为的中点，若AB=2，则图中阴影部分的面积是（）A．B． +C．D． +9．如图，点A在观测点北偏东30°方向，且与观测点的距离为8千米，将点A的位置记作A（8，30°）．用同样的方法将点B，点C的位置分别记作B（8，60°），C（4，60°），则观测点的位置应在（）A．点O1 B．点O2 C．点O3 D．点O410．某大型文体活动需招募一批学生作为志愿者参与服务，已知报名的男生有420人，女生有400人，他们身高均在150≤x＜175之间，为了解这些学生身高的具体分别情况，从中随机抽取若干学生进行抽样调查，抽取的样本中，男生比女生多2人，利用所得数据绘制如下统计图表：组别身高（cm）A 150≤x＜155B 155≤x＜160C 160≤x＜165D 165≤x＜170E 170≤x＜175根据图表提供的信息，有下列几种说法①估计报名者中男生身高的众数在D组；②估计报名者中女生身高的中位数在B组；③抽取的样本中，抽取女生的样本容量是38；④估计身高在160cm至170cm（不含170cm）的学生约有400人其中合理的说法是（）A．①② B．①④ C．②④ D．③④二、填空题11．如图，长方体中所有与棱AB平行的棱是．12．关于x的方程x2﹣4x+k=0有两个相等的实数根，则实数k的值为．13．如图，正方形ABCD中，点E为对角线AC上一点，且AE=AB，则∠BED的度数是度．14．在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径是5，点A为⊙O上一点，AB⊥x轴于点B，AC⊥y轴于点C，若四边形ABOC的面积为12，写出一个符合条件的点A的坐标．15．如图是由三个直角三角形组成的梯形，根据图形，写出一个正确的等式．16．《数学九章》中的秦九韶部算法是我国南宋时期的数学家秦九提出的一种多项式简化算法，现在利用计算机解决多项式的求值问题时，秦九韶算法依然是最优的算法．例如，计算“当x=8时，多项式3x3﹣4x2﹣35x+8的值”，按照秦九韶算法，可先将多项式3x3﹣4x2﹣35x+8进行改写：3x3﹣4x2﹣35x+8=x（3x2﹣4x﹣35）+8=x[x（3x﹣4）﹣35]+8按改写后的方式计算，它一共做了3次乘法，3次加法，与直接计算相比节省了乘法的次数，使计算量减少，计算当x=8时，多项式3x3﹣4x2﹣35x+8的值1008．请参考上述方法，将多项式x3+2x2+x﹣1改写为：，当x=8时，这个多项式的值为．三、解答题（本题共72分，第17-26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）17．（5分）计算：﹣2﹣1+（﹣π）0﹣4sin45°．18．（5分）解方程组．19．（5分）已知x2﹣3x﹣4=0，求代数式（x+1）（x﹣1）﹣（x+3）2+2x2的值．20．（5分）列方程（组）解应用题某服装店用4500元购进一批衬衫，很快售完，服装店老板又用2100元购进第二批该款式的衬衫，但每件进价比第一批衬衫的每件进价少了10元，且进货量是第一次进货量的一半，求第一批购进这种衬衫每件的进价是多少元？21．（5分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，CD平分∠ACB交AB于点D，DE⊥AC于点E，BF∥DE交CD 于点F．求证：DE=BF．22．（5分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠ADC=90°，对角线AC，BD交于点O，DE平分∠ADC 交BC于点E，连接OE．（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）若AB=2，求△OEC的面积．23．（5分）直线y=﹣2x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线y=kx+b（k，b是常数，k≠0）经过点A，与y轴交于点C，且OC=OA．（1）求点A的坐标及k的值；（2）点C在x轴的上方，点P在直线y=﹣2x+4上，若PC=PB，求点P的坐标．24．（5分）阅读下列材料：社会消费品零售总额是指批发和零售业，住宿和餐饮业以及其他行业直接售给城乡居民和社会集团的消费品零售额，在各类与消费有关的统计数据中，社会消费品零售总额是表现国内消费需求最直接的数据．2012年，北京市全年实现社会消费品零售总额7702.8亿元，比上一年增长11.6%，2013年，全年实现社会消费品零售总额8375.1亿元，比上一年增长8.7%，2014年，全年实现社会消费品零售总额9098.1亿元，比上一年增长8.6%，2015年，全年实现社会消费品零售总额10338亿元，比上一年增长7.3%．2016年，北京市实现市场总消费19926.2亿元，比上一年增长了8.1%，其中实现服务性消费8921.1亿元，增长10.1%；实现社会消费品零售总额11005.1亿元，比上一年增长了6.5%．根据以上材料解答下列问题：（1）补全统计表：2012﹣2016年北京市社会消费品零售总额统计表年份 2012年 2013年 2014年 2015年 2016年社会消费品零售总额（单位：亿元）（2）选择适当的统计图将2012﹣2016年北京市社会消费品零售总额比上一年的增长率表示出来，并在图中表明相应数据；（3）根据以上信息，估计2017年北京市社会消费品零售总额比上一年的增长率约为，你的预估理由是．25．（5分）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O是一点，过点B作⊙O的切线，与AC延长线交于点D，连接BC，OE∥BC交⊙O于点E，连接BE交AC于点H．（1）求证：BE平分∠ABC；（2）连接OD，若BH=BD=2，求OD的长．26．（5分）学习了《平行四边形》一章以后，小东根据学习平行四边形的经验，对平行四边形的判定问题进行了再次探究．以下是小东探究过程，请补充完整：（1）在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若AB∥CD，补充下列条件中能判定四边形ABCD是平行四边形的是（写出一个你认为正确选项的序号即可）；（A）BC=AD （B）∠BAD=∠BCD （3）AO=CO（2）将（1）中的命题用文字语言表述为：①命题1 ；②画出图形，并写出命题1的证明过程；（3）小东进一步探究发现：若一个四边形ABCD的三个顶点A，B，C的位置如图所示，且这个四边形满足CD=AB，∠D=∠B，但四边形ABCD不是平行四边形，画出符合题意的四边形ABCD，进而小东发现：命题2“一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形”是一个假命题．27．（7分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+2ax﹣3a（a＞0）与x轴交于A，B两点（点A在点B 的左侧）．（1）求抛物线的对称轴及线段AB的长；（2）抛物线的顶点为P，若∠APB=120°，求顶点P的坐标及a的值；（3）若在抛物线上存在一点N，使得∠ANB=90°，结合图象，求a的取值范围．28．（7分）△ABC是等边三角形，以点C为旋转中心，将线段CA按顺时针方向旋转60°得到线段CD，连接BD交AC于点O．（1）如图1．①求证：AC垂直平分BD；①点M在BC的延长线上，点N在线段CO上，且ND=NM，连接BN，判断△MND的形状，并加以证明；（2）如图2，点M在BC的延长线上，点N在线段AO上，且ND=NM，补全图2，求证：NA=MC．29．（8分）在平面直角坐标系xOy中，△ABC的顶点坐标分别是A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），对于△ABC的横长、纵长、纵横比给出如下定义：将|x1﹣x2|，|x2﹣x3|，|x3﹣x1|中的最大值，称为△ABC的横长，记作D x；将|y1﹣y2|，|y2﹣y3|，|y3﹣y1|中的最大值，称为△ABC的纵长，记作D y；将叫做△ABC的纵横比，记作λ=．例如：如图1，△ABC的三个顶点的坐标分别是A（0，3），B（2，1），C（﹣1，﹣2），则D x=|2﹣（﹣1）|=3，D y=|3﹣（﹣2）|=5，所以λ==．（1）如图2，点A（1，0），①点B（2，1），E（﹣1，2），则△AOB的纵横比λ1=△AOE的纵横比λ2= ；②点F在第四象限，若△AOF的纵横比为1，写出一个符合条件的点F的坐标；③点M是双曲线y=上一个动点，若△AOM的纵横比为1，求点M的坐标；（2）如图3，点A（1，0），⊙P以P（0，）为圆心，1为半径，点N是⊙P上一个动点，直接写出△AON 的纵横比λ的取值范围．北京市西城区中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．据报道，到2020年北京地铁规划线网将由19条线路组成，总长度将达到561500米，将561500用科学记数法表示为（）A．0.5615×106B．5.615×105C．56.15×104D．561.5×103【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：将561500用科学记数法表示为：5.615×105．故选：B．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．2．下列运算中，正确的是（）A．a3+a3=2a6B．a5﹣a3=a2C．a2•a2=2a4D．（a5）2=a10【考点】47：幂的乘方与积的乘方；35：合并同类项；46：同底数幂的乘法．【分析】根据幂的乘方、同类项合并、同底数幂的乘法的运算法则解答即可．【解答】解：A、a3+a3=2a3，错误；B、不是同类项，不能合并，错误；C、a2•a2=a4，错误；D、（a5）2=a10，正确；故选D【点评】此题考查幂的乘方、同类项合并、同底数幂的乘法问题，关键是根据幂的乘方、同类项合并、同底数幂的乘法法则计算．3．将不等式x﹣1＞0的解集表示在数轴上，下列表示正确的是（）A．B．C．D．【考点】C6：解一元一次不等式；C4：在数轴上表示不等式的解集．【分析】先解不等式得到x＞1，然后利用数轴表示不等式的方法对各选项进行判断．【解答】解：x﹣1＞0，所以x＞1，用数轴表示为：．故选A．【点评】本题考查了解一元一次不等式：根据不等式的性质解一元一次不等式．基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1．4．在一个不透明的口袋中装有5个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，5，从中随机摸出一个小球，其标号是奇数的概率为（）A．B．C．D．【考点】X4：概率公式．【分析】由在一个不透明的口袋中装有5个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，5，直接利用概率公式求解即可求得答案．【解答】解：∵在一个不透明的口袋中装有5个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，5，∴从中随机摸出一个小球，其标号是奇数的概率为：．故选C．【点评】此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．5．介于下列哪两个整数之间（）A．0与1 B．1与2 C．2与3 D．3与4【考点】2B：估算无理数的大小．【分析】依据被开放数越大对应的算术平方根越大求解即可．【解答】解：∵4＜5＜9，∴2＜＜3．故选：C．【点评】本题主要考查的是算术平方根的性质，熟练掌握算术平方根的性质是解题的关键．6．如图是由射线AB，BC，CD，DE，EA组成的平面图形，若∠1+∠2+∠3+∠4=225°，ED∥AB，则∠1的度数为（）A．55° B．45° C．35° D．25°【考点】L3：多边形内角与外角；J2：对顶角、邻补角；JA：平行线的性质．【分析】根据多边形的外角和等于360°，即可得到∠5的度数，进而得出∠AED的度数，再根据平行线的性质进行解答即可．【解答】解：如图，由多边形的外角和等于360°可知，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=360°，又∵∠1+∠2+∠3+∠4=225°，∴∠5=135°，∴∠AED=45°，又∵ED∥AB，∴∠1=∠AED=45°，故选：B．【点评】本题考查的是多边形的内角和外角以及平行线的性质，掌握多边形的外角和等于360°是解题的关键．7．对于反比例函数y=，当1＜x＜2时，y的取值范围是（）A．1＜y＜3 B．2＜y＜3 C．1＜y＜6 D．3＜y＜6【考点】G4：反比例函数的性质．【分析】利用反比例函数的性质，由x的取值范围并结合反比例函数的图象解答即可．【解答】解：∵k=6＞0，∴在每个象限内y随x的增大而减小，又∵当x=1时，y=6，当x=2时，y=3，∴当1＜x＜2时，3＜y＜6．故选D．【点评】本题主要考查反比例函数的性质，当k＞0时，在每一个象限内，y随x的增大而减小；当k＜0时，在每一个象限，y随x的增大而增大．8．如图，AB为半圆O的直径，C为的中点，若AB=2，则图中阴影部分的面积是（）A．B． +C．D． +【考点】M5：圆周角定理；MO：扇形面积的计算．【分析】先利用圆周角定理得到∠ACB=90°，则可判断△ACB为等腰直角三角形，接着判断△AOC和△BOC 都是等腰直角三角形，于是得到S△AOC=S△BOC，然后根据扇形的面积公式计算图中阴影部分的面积．【解答】解：∵AB为直径，∴∠ACB=90°，∵C为的中点，∴=，∴AC=BC，∴△ACB为等腰直角三角形，∴OC⊥AB，∴△AOC和△BOC都是等腰直角三角形，∴S△AOC=S△BOC，OA=，∴S阴影部分=S扇形AOC==．故选C．【点评】本题考查了扇形面积的计算：圆面积公式：S=πr2，（2）扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形．求阴影面积常用的方法：①直接用公式法；②和差法；③割补法．求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．9．如图，点A在观测点北偏东30°方向，且与观测点的距离为8千米，将点A的位置记作A（8，30°）．用同样的方法将点B，点C的位置分别记作B（8，60°），C（4，60°），则观测点的位置应在（）A．点O1 B．点O2 C．点O3 D．点O4【考点】D3：坐标确定位置．【分析】根据点A的位置记作A（8，30°），B（8，60°），C（4，60°），进而得出观测点位置．【解答】解：如图所示：观测点的位置应在点O1．故选：A．【点评】此题主要考查了坐标确定位置，正确利用已知点得出观测点是解题关键．10．某大型文体活动需招募一批学生作为志愿者参与服务，已知报名的男生有420人，女生有400人，他们身高均在150≤x＜175之间，为了解这些学生身高的具体分别情况，从中随机抽取若干学生进行抽样调查，抽取的样本中，男生比女生多2人，利用所得数据绘制如下统计图表：组别身高（cm）A 150≤x＜155B 155≤x＜160C 160≤x＜165D 165≤x＜170E 170≤x＜175根据图表提供的信息，有下列几种说法①估计报名者中男生身高的众数在D组；②估计报名者中女生身高的中位数在B组；③抽取的样本中，抽取女生的样本容量是38；④估计身高在160cm至170cm（不含170cm）的学生约有400人其中合理的说法是（）A．①② B．①④ C．②④ D．③④【考点】W5：众数；V3：总体、个体、样本、样本容量；V5：用样本估计总体；V7：频数（率）分布表；W4：中位数．【分析】根据中位数的定义可判断①、②；由男生总人数及男生比女生多2人可判断③；用男女生身高的样本中160cm至170cm所占比例乘以男女生总人数可判断④．【解答】解：由直方图可知，男生身高人数最多的为D组，即众数在D组，故①正确；由A与B的百分比之和为10.5%+37.5%=48%＜50%，则女生身高的中位数在C组，故②错误；∵男生身高的样本容量为4+8+10+12+8=42，∴女生身高的样本容量为40，故③错误；∵女生身高在160cm至170cm（不含170cm）的学生有40×（30%+15%）=18人，∴身高在160cm至170cm（不含170cm）的学生有（420+400）×=400（人），故④正确；故选：B．【点评】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．二、填空题11．如图，长方体中所有与棱AB平行的棱是DC，EF，HM ．【考点】JA：平行线的性质；I1：认识立体图形．【分析】根据平行线的性质以及正方体的特征进行判断即可．【解答】解：由图可得，长方体中所有与棱AB平行的棱有3条：DC，EF，HM，故答案为：DC，EF，HM．【点评】本题主要考查了平行线的性质以及正方体的特征，解题时注意：在平面内不相交的两条直线平行．12．关于x的方程x2﹣4x+k=0有两个相等的实数根，则实数k的值为 4 ．【考点】AA：根的判别式．【分析】若一元二次方程有两等根，则根的判别式△=b2﹣4ac=0，建立关于k的方程，求出k的取值．【解答】解：∵方程x2﹣4x+k=0有两个相等的实数根，∴△=（﹣4）2﹣4k=0，即﹣4k=﹣16，k=4故本题答案为：4．【点评】总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根13．如图，正方形ABCD中，点E为对角线AC上一点，且AE=AB，则∠BED的度数是135 度．【考点】LE：正方形的性质．【分析】根据正方形的性质可知：AB=BC，因为AE=BC，所以AB=AE，即三角形ABE是等腰三角形，因为∠BAE是45°，所以可求出∠BEA，同理可求出∠AED的度数，进而求出∠BED的度数．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，AC是对角线，∴AB=BC，∠BAE=45°，∵AE=BC，∴∠ABE=∠AED==67.5°，同理可求得：∠AED=67.5°，∴∠BED=2×67.5°=135°．故答案为135．【点评】本题考查了正方形的性质：四边相等、对角线平分对角以及等腰三角形的判定和性质和三角形内角和定理的运用．14．在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径是5，点A为⊙O上一点，AB⊥x轴于点B，AC⊥y轴于点C，若四边形ABOC的面积为12，写出一个符合条件的点A的坐标（3，4）．【考点】D5：坐标与图形性质．【分析】设点A坐标为（x，y），由圆的半径为5可得x2+y2=25，根据矩形的面积为xy=12或xy=﹣12，分情况分别解和可得点A的坐标．【解答】解：设点A坐标为（x，y），则AO2=x2+y2=25，由xy=12或xy=﹣12，当xy=12时，可得（x+y）2﹣2xy=25，即（x+y）2﹣24=25，∴x+y=7或x+y=﹣7，①若x+y=7，即y=7﹣x，代入xy=12得x2﹣7x+12=0，解得：x=3或x=4，当x=3时，y=4；当x=4时，y=3；即点A（3，4）或（4，3）；②若x+y=﹣7，则y=﹣7﹣x，代入xy=12得：x2+7x+12=0，解得：x=﹣3或x=﹣4，当x=﹣3时，y=﹣4；当x=﹣4时，y=﹣3；即点A（﹣3，﹣4）或（﹣4，﹣3）；当xy=﹣12时，可得（x+y）2﹣2xy=25，即（x+y）2+24=25，∴x+y=1或x+y=﹣1，③若x+y=1，即y=1﹣x，代入xy=﹣12得x2﹣x﹣12=0，解得：x=﹣3或x=4，当x=﹣3时，y=4；当x=4时，y=﹣3；即点A（﹣3，4）或（4，﹣3）；④若x+y=﹣1，则y=﹣1﹣x，代入xy=﹣12得：x2+x﹣12=0，解得：x=3或x=﹣4，当x=3时，y=﹣4；当x=﹣4时，y=3；即点A（3，﹣4）或（﹣4，3）；故答案为：（3，4），（答案不唯一）．【点评】本题主要考查坐标与图形的性质，熟练掌握两点的距离公式和解二元二次方程组是解题的关键．15．如图是由三个直角三角形组成的梯形，根据图形，写出一个正确的等式c2=a2+b2．【考点】KR：勾股定理的证明．【分析】该图形的面积与3个直角三角形组成一个直角梯形，根据三角形的面积公式、梯形的面积公式进行解答．【解答】解：依题意得： ab+c2+ab=（a+b）（a+b），整理，得c2=a2+b2．故答案是：c2=a2+b2．【点评】本题考查了勾股定理的证明，解题时，采用了分割法求图形的面积．16．《数学九章》中的秦九韶部算法是我国南宋时期的数学家秦九提出的一种多项式简化算法，现在利用计算机解决多项式的求值问题时，秦九韶算法依然是最优的算法．例如，计算“当x=8时，多项式3x3﹣4x2﹣35x+8的值”，按照秦九韶算法，可先将多项式3x3﹣4x2﹣35x+8进行改写：3x3﹣4x2﹣35x+8=x（3x2﹣4x﹣35）+8=x[x（3x﹣4）﹣35]+8按改写后的方式计算，它一共做了3次乘法，3次加法，与直接计算相比节省了乘法的次数，使计算量减少，计算当x=8时，多项式3x3﹣4x2﹣35x+8的值1008．请参考上述方法，将多项式x3+2x2+x﹣1改写为：x[x（x+2）+1]﹣1 ，当x=8时，这个多项式的值为647 ．【考点】4J：整式的混合运算—化简求值．【分析】仿照题中的方法将原式改写，把x的值代入计算即可求出值．【解答】解：x3+2x2+x﹣1=x[x（x+2）+1]﹣1，当x=8时，原式=647，故答案为：x[x（x+2）+1]﹣1；647【点评】此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，弄清题中的方法是解本题的关键．三、解答题（本题共72分，第17-26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）17．计算：﹣2﹣1+（﹣π）0﹣4sin45°．【考点】2C：实数的运算；6E：零指数幂；6F：负整数指数幂；T5：特殊角的三角函数值．【分析】首先计算乘方、开方和乘法，然后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．【解答】解：﹣2﹣1+（﹣π）0﹣4sin45°=3﹣+1﹣4×=3+﹣2=+【点评】此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．18．解方程组．【考点】98：解二元一次方程组．【分析】方程组利用代入消元法求出解即可．【解答】解：，把①代入②得：3x+2（x﹣1）=8，解得：x=2，把x=2代入①得：y=1，则方程组的解为．【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．19．已知x2﹣3x﹣4=0，求代数式（x+1）（x﹣1）﹣（x+3）2+2x2的值．【考点】4J：整式的混合运算—化简求值．【分析】原式利用平方差公式，完全平方公式化简，去括号合并得到最简结果，把已知等式代入计算即可求出值．【解答】解：原式=x2﹣1﹣x2﹣6x﹣9+2x2=2x2﹣6x﹣10=2（x2﹣3x﹣4）﹣2，当x2﹣3x﹣4=0时，原式=﹣2．【点评】此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．20．列方程（组）解应用题某服装店用4500元购进一批衬衫，很快售完，服装店老板又用2100元购进第二批该款式的衬衫，但每件进价比第一批衬衫的每件进价少了10元，且进货量是第一次进货量的一半，求第一批购进这种衬衫每件的进价是多少元？【考点】B7：分式方程的应用．【分析】设第一批衬衫每件进价为x元，则第二批每件进价为（x﹣10）元．根据第二批该款式的衬衫，进货量是第一次的一半，列出方程即可解决问题．【解答】解：设第一批衬衫每件进价为x元，根据题意，得•=，解得x=150，经检验x=150是原方程的解，且满足题意，答：第一批衬衫每件进价为150元．【点评】本题考查分式方程的应用，解题的关键是学会设未知数、找等量关系、列出方程解决问题，注意分式方程必须检验，属于中考常考题型．21．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，CD平分∠ACB交AB于点D，DE⊥AC于点E，BF∥DE交CD于点F．求证：DE=BF．【考点】KF：角平分线的性质；JA：平行线的性质．【分析】根据角平分线的定义得到∠1=∠2，根据角平分线的性质得到DE=BD，∠3=∠4，由平行线的性质得到3=∠5，于是得到结论．【解答】证明：∵CD平分∠ACB，∴∠1=∠2，∵DE⊥AC，∠ABC=90°∴DE=BD，∠3=∠4，∵BF∥DE，∴∠4=∠5，∴∠3=∠5，∴BD=BF，∴DE=BF．【点评】本题考查了角平分线的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．22．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠ADC=90°，对角线AC，BD交于点O，DE平分∠ADC交BC 于点E，连接OE．（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）若AB=2，求△OEC的面积．【考点】LD：矩形的判定与性质．【分析】（1）只要证明三个角是直角即可解决问题；（2）作OF⊥BC于F．求出EC、OF的长即可；【解答】（1）证明：∵AD∥BC，∴∠ABC+∠BAD=180°，∵∠ABC=90°，∴∠BAD=90°，∴∠BAD=∠ABC=∠ADC=90°，∴四边形ABCD是矩形．（2）作OF⊥BC于F．∵四边形ABCD是矩形，∴CD=AB=2，∠BCD=90°，AO=CO，BO=DO，AC=BD，∴AO=BO=CO=DO，∴BF=FC，∴OF=CD=1，∵DE平分∠ADC，∠ADC=90°，∴∠EDC=45°，在Rt△EDC中，EC=CD=2，∴△OEC的面积=•EC•OF=1．【点评】本题考查矩形的判定和性质、角平分线的定义、三角形中位线定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形中位线解决问题，属于中考常考题型．23．直线y=﹣2x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线y=kx+b（k，b是常数，k≠0）经过点A，与y 轴交于点C，且OC=OA．（1）求点A的坐标及k的值；（2）点C在x轴的上方，点P在直线y=﹣2x+4上，若PC=PB，求点P的坐标．【考点】F8：一次函数图象上点的坐标特征．【分析】（1）令y=0，求得x的值，即可求得A的坐标为（2，0），由OC=OA得C（0，2）或（0，﹣2），然后根据待定系数法即可求得k的值；（2）由B、C的坐标，根据题意求得P的纵坐标，代入y=﹣2x+4即可求得横坐标．【解答】解：（1）由直线y=﹣2x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，令y=0，则﹣2x+4=0，解得x=2，∴A（2，0），∵OC=OA，∴C（0，2）或（0，﹣2），∵直线y=kx+b（k，b是常数，k≠0）经过点A和点C，∴或，解得k=1或k=﹣1；（2）∵B（0，4），C（0，2），且PC=PB，∴P的纵坐标为3，∵点P在直线y=﹣2x+4上，把y=3代入y=﹣2x+4解得x=，∴P（，3）．【点评】本题考查了一次函数图象上点点坐标特征，分类讨论思想运用是本题点关键．24．阅读下列材料：社会消费品零售总额是指批发和零售业，住宿和餐饮业以及其他行业直接售给城乡居民和社会集团的消费品零售额，在各类与消费有关的统计数据中，社会消费品零售总额是表现国内消费需求最直接的数据．2012年，北京市全年实现社会消费品零售总额7702.8亿元，比上一年增长11.6%，2013年，全年实现社会消费品零售总额8375.1亿元，比上一年增长8.7%，2014年，全年实现社会消费品零售总额9098.1亿元，比上一年增长8.6%，2015年，全年实现社会消费品零售总额10338亿元，比上一年增长7.3%．2016年，北京市实现市场总消费19926.2亿元，比上一年增长了8.1%，其中实现服务性消费8921.1亿元，增长10.1%；实现社会消费品零售总额11005.1亿元，比上一年增长了6.5%．根据以上材料解答下列问题：（1）补全统计表：2012﹣2016年北京市社会消费品零售总额统计表年份 2012年 2013年 2014年 2015年 2016年社会消费品零售总额（单位：亿元）7702.8 8375.19098.1 10338 11005.1（2）选择适当的统计图将2012﹣2016年北京市社会消费品零售总额比上一年的增长率表示出来，并在图中表明相应数据；（3）根据以上信息，估计2017年北京市社会消费品零售总额比上一年的增长率约为 5.45% ，你的预估理由是从2014到2016年北京市社会消费品零售总额比上一年的增长率的平均每年下降1.05% ．【考点】VE：统计图的选择；V5：用样本估计总体；VA：统计表．【分析】（1）根据2012﹣2016年北京市社会消费品零售总额完成统计表即可；（2）根据2012﹣2016年北京市社会消费品零售总额比上一年的增长率，画出2012﹣2016年北京市社会消费品零售总额比上一年的增长率折线统计图即可；（3）根据从2014到2016年北京市社会消费品零售总额比上一年的增长率的平均每年下降1.05%，即可得出2017年北京市社会消费品零售总额比上一年的增长率．【解答】解：（1）补全统计表如下：（2）2012﹣2016年北京市社会消费品零售总额比上一年的增长率统计图如下：（3）从2014到2016年北京市社会消费品零售总额比上一年的增长率的平均每年下降1.05%，故2017年北京市社会消费品零售总额比上一年的增长率约为6.5%﹣1.05%=5.45%，故答案为：5.45%，从2014到2016年北京市社会消费品零售总额比上一年的增长率的平均每年下降1.05%．【点评】本题主要考查了统计图、统计表的选择，解题时注意：折线统计图的特点：能清楚地反映事物的变化情况，显示数据变化趋势．25．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O是一点，过点B作⊙O的切线，与AC延长线交于点D，连接BC，OE ∥BC交⊙O于点E，连接BE交AC于点H．（1）求证：BE平分∠ABC；（2）连接OD，若BH=BD=2，求OD的长．【考点】MC：切线的性质．【分析】（1）根据切线的性质得到∠ACB=90°，根据平行线的性质得到OE⊥AC，根据垂径定理即可得到结论；（2）根据切线的性质得到∠ABD=90°，根据等腰三角形的性质得到∠CBD=∠2，解直角三角形即可得到结论．【解答】（1）证明：∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵OE∥BC，∴OE⊥AC，∴=，∴∠1=∠2，∴BE平分∠ABC；（2）解：∵BD是⊙O的切线，∴∠ABD=90°，∵∠ACB=90°，BH=BD=2，∴∠CBD=∠2，∴∠1=∠2=∠CBD，∴∠CBD=30°，∠ADB=60°，∵∠ABD=90°，∴AB=2，OB=，∵OD2=OB2+BD2，∴OD=．。

北京市西城区九年级模拟测试数学试卷答案及评分标准2020.6一、选择题（本题共16分，每小题2分）170o(2020)3tan301π--+131-···············································································································5分18．解：方程两边乘以3(1)x-，得33(1)2x x x+-=．解得34x.检验：当34x时，3(1)0x-≠．所以，原分式方程的解为3=4x.······························································································································5分19．解：（1）依题意，得△=2(21)412kk ．=221k．∵ 221k≥0，∴ 方程总有两个实数根． （2）解：由求根公式，得21)21kkx ，∴ 12x k ，21x ．∵ 该方程有一个根大于2，∴ 22k ． ∴ 1k ．∴ k 的取值范围是1k ． ····································································· 5分20．解：（1）如图.（2）DE ，DF ，角平分线上的点到角两边的距离相等.··························································································································· 5分21．证明：（1）∵ AE ∥DC ，CE ∥DA ，∴ 四边形ADCE 是平行四边形．∵ 在Rt △ABC 中， D 为AB 的中点， ∴ AD = BD =CD =12AB ． ∴ 四边形ADCE 是菱形．（2）在Rt △ABC 中，AC =BC=2，∴ tan BC CAB AC ∠==．EDCBA∴ ∠CAB =30︒．∵ 四边形ADCE 是菱形． ∴ AE = AD ，∠EAD =2∠CAB =60︒．∴ △ADE 是等边三角形． ······································································· 5分22．解：（1）① 9 .② < ，> . （2）100 . （3）0.25 .·························································································· 5分23．（1）证明：∵ CDCB∴ ∠COD =∠COB ．∵ OD = OB ， ∴ OC 垂直平分BD ．（2）解：① 补全图形，如图所示.② ∵ CE 是⊙O 切线，切点为C ，∴ OC ⊥CE 于点C ．记OC 与BD 交于点F ，由（1）可知 OC 垂直BD ， ∴ ∠OCE =∠OFB = 90°． ∴ DB ∥CE ． ∴∠AEC =∠ABD ．在Rt △ABD 中，AD =6，3sin sin 5AEC ABD ∠=∠=，∴ BD = 8，AB = 10． ∴ OA = OB = OC =5．由（1）可知 OC 平分BD ，即DF = BF ， ∴ BF =DF =4． ∴132OFAD ．∴ CF = 2． 在Rt △CFD 中，2225CDCF DF ．······················································································ 6分A24（2）画出函数1y 的图象；（3）答案不唯一，如：① 3.86；② 3． ···························································································· 6分 25．解：（1）∵点A （4，1）在函数my x=（0x > ∴ m = 4．（2）①41y kx k =-+，经过点B （1，5） ∴ 415k k -+=．解得 43k =-．此时区域W 内有2个整点．②∵ 直线l 41y kx k =-+ 过定点A （4，1），∵ n 为整数，当n =6时，直线41y kx k =-+，经过点B （1，6），区域W 内有4个整点， 当n =7时，直线41y kx k =-+，经过点B （1，7），区域W 内有5个整点， 此时，可得 2=-k ．当n ≥ 8时，区域W 内的整点个数大于5个． ∴ k 的取值范围是2=-k ． ····················································· 6分26．解：（1）当2b =时，2y x bx c =++化为22y x x c =++． ① 1x =-．② ∵ 抛物线的对称轴为直线1x =-， ∴ 点D 的坐标为（-1，0），OD =1．∵ OB =2OD ，∴ OB =2．∵ 点A ，点B 关于直线1x =-对称， ∴ 点B 在点D 的右侧．∴ 点B 的坐标为（2，0）．∵ 抛物线22y x x c =++与x 轴交于点B （2，0），∴ 440c ++=． 解得 8c =-．∴ 抛物线的表达式为228=+-y x x ．（2）设直线22b y x +=+与x 轴交点为点E ， ∴ E （22b +-，0）． 抛物线的对称轴为2b x =-， ∴ 点D 的坐标为（2b-，0）． ①当 0b >时，2bOD =．∵ OB =2OD ， ∴ OB = b ．∴ 点A 的坐标为（2b -，0），点B 的坐标为（b ，0）．22b x ++ P∴ 2b OD =-． ∵ OB =2OD ， ∴ OB = -b ．∵ 抛物线2+y x bx c =+与x 轴交于点A ，B ，且A 在B 的左侧， ∴ 点A 的坐标为（0，0），点B 的坐标为（-b ，0）．当0 <22b +-时，存在垂直于x 轴的直线分别与直线l ：22b y x +=+ 和抛物线交于点P ，Q ，且点P ，Q 均在x 轴下方，解得 b < -2．综上，b 的取值范围是 2b <-或23b >. ····································· 6分27．（1）证明：在正方形ABCD 中，AD ∥BC ，∠BAD = 90°，∴ ∠AGH =∠GHC ． ∵ GH ⊥AE ， ∴ ∠EAB =∠AGH ． ∴ ∠EAB =∠GHC ．（2）① 补全图形，如图所示．②AE =．证明：连接AN ，连接EN 并延长，交AB 边于点Q ．∵ 四边形ABCD 是正方形， ∴ 点A ，点C 关于BD 对称． ∴ NA =NC ，∠1 =∠2． ∵ PN 垂直平分AE ， ∴ NA =NE ． ∴ NC =NE ． ∴ ∠3 =∠4．在正方形ABCD 中，BA ∥CE ，∠BCD = 90°， ∴∠AQE =∠4．∴∠1+∠AQE =∠2+∠3 =90°． ∴∠ANE =∠ANQ =90°．在Rt △ANE 中，∴AE =． ···························································· 7分28．解：（1） ①()2,0；② C ，D ．（2） ① 由题意，0b ≠，若0>b ，当直线l 与以点()2,0-为圆心，1为半径的圆相切时，=b 当直线l 经过点()1,0-时，3=b ． G HAFDCEBEC∴b ． 若0<b ，当直线l 经过点()1,0时，3=-b ．当直线l 与以点()0,0为圆心，3为半径的圆相切时，=-b ．∴-b ≤3-．综上，b 的取值范围是-b ≤b ．b ··························································· 7分。