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北京市东城区2008-2009学年度综合练习(二)高三数学(理科)

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北京市东城区2008-2009学年度综合练习（二）高三数学（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1.已知集合{}1,1,M =-则满足N M ⊆的集合N 的个数是 ( )A.1B.2C.3D. 42.1a =是函数22,1,()22,1x x f x x a x ⎧≤=⎨+->⎩在1x =处连续的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.在100个零件中,有一级品20个,二级品30个,三级品50个,从中抽取20个作为样本.① 采用随机抽样法:抽签取出20个样本;② 采用系统抽样法:将零件编号为00,01,…,99,然后平均分组抽取20个样本; ③ 采用分层抽样法:从一级品,二级品,三级品中抽取20个样本. 下列说法中正确的是 ( )A. 无论采用哪种方法,这100个零件中每一个被抽到的概率都相等B. ①②两种抽样方法,这100个零件中每一个被抽到的概率都相等;③并非如此C. ①③两种抽样方法,这100个零件中每一个被抽到的概率都相等;②并非如此D. 采用不同的抽样方法, 这100个零件中每一个零件被抽到的概率是各不相同的 4.在()1nx +展开式中,32x x 与的系数分别为b a ,，如果ba=3，那么b 的值为 ( ) A.70 B.60 C.55 D.405.设数列}{n a 满足3221=+a a ,且对任意的*∈N n ,点),(n n a n P 都有)2,1(1=+n n P P ,则}{n a 的前n 项和n S 为( ) A.)34(-n n B.)43(-n n C.)32(-n n D.)21(-n n 6.已知直线1l //平面α,直线2l α⊂,且1l //2l ,点1A l ∈,点2B l ∈.记A 到α的距离为a ,A 到2l 的距离为 b ,,A B 两点间的距离为c ,则 ( )A.b a c ≤≤B.b c a ≤≤C.a b c ≤≤D. a c b ≤≤ 7.若542sin ,532cos==θθ,则角θ的终边落在直线 ( )上 A. 0724=-y x B. 0724=+y x C.0247=+y x D.0247=-y x 8.已知P 为抛物线)0(22>=p py x 上的动点，F 为抛物线的焦点，过F 作抛物线在P 点处的切线的垂线，垂足为G ，则点G 的轨迹方程为 （ ）A.222p y x =+ B.2p y =- C.4)2(222p p y x =-+ D .0=y北京市东城区2008-2009学年度综合练习（二）高三数学（理科）第Ⅱ卷（共110分）注意事项：1.用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上。

2.答卷前将密封线内的项目填写清楚。

lfx二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

把答案填在题中横线上。

9.设函数221,0,()1,0x x f x x x -<⎧=⎨-≥⎩的反函数为1()f x -,则)1(1-f 的值为__________. 10.已知过原点的直线与圆2cos ,sin x y θθ=-+⎧⎨=⎩（其中θ为参数）相切，若切点在第二象限，则该直线的方程为 ． 11.将函数)32sin(2)(π+=x x f 图象上每一个点的横坐标扩大为原来的2倍,所得图象所对应的函数解析式 为 ;若将)(x f 的图象沿x 轴向左平移m 个单位(0>m ),所得函数的图象关于y 轴对称,则m 的最 小值为 .12.如图,⊥PD 平面ABCD ,ABCD 为正方形,AD PD =,则 直线PA 与直线BD 所成的角为 .13.6个人分乘两辆不同的出租车,如果每辆车最多能乘4个人,则不同的乘车方案有__________种. 14.在圆x y x 522=+内,过点⎪⎭⎫⎝⎛23,25有)(*∈N n n 条弦,它们的长构成等差数列{}n a ,若1a 为过该点最短弦的长,n a 为过该点最长的弦的长,且公差⎪⎭⎫ ⎝⎛∈31,51d ,则n 的值为 .三、解答题：本大题共6小题，共80分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15．（本小题满分13分）在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ．已知向量(,)a c b a =+-m ,(,)a c b =-n ,且⊥m n ．（Ⅰ）求角C 的大小;（Ⅱ）若sin sin A B +=,求角A 的值． 16．（本小题满分14分）如图，在三棱锥ABC S -中，底面ABC 是边长为4的正三角形,侧面⊥SAC 底面ABC ，32==SC SA ,N M ,分别为SB AB ,的中点.（Ⅰ）求证:SB AC ⊥;（Ⅱ）求二面角B CM N --的大小.A BCM SN一个圆环直径为m 22,通过铁丝321,,,CA CA CA BC (321,,A A A 是圆上三等分点)悬挂在B 处,圆环呈水平状态并距天花板2m ,如图所示.(Ⅰ)设BC 长为x (m ),铁丝总长为)(m y ,试写出y 关于x 的函数解析式,并写出函数定义域; (Ⅱ)当x 取多长时,铁丝总长y 有最小值,并求此最小值. 18．（本小题满分13分）在一次抗洪抢险中,准备用射击的方法引爆从河上游漂流而下的一只巨大汽油罐.已知只有5发子弹备用,且首次命中只能使汽油流出,再次命中才能引爆成功.每次射击命中的概率都是32,每次命中与否互相独立. (Ⅰ)求恰好射击5次引爆油罐的概率;(Ⅱ)如果引爆或子弹打光则停止射击,设射击次数为ξ,求ξ的分布列及ξ的数学期望.A 2A 3BCA 1如图,F 为双曲线:C )0,0(12222>>=-b a by a x 的右焦点,P 为双曲线C 右支上一点,且位于x 轴上方,M 为左准线上一点,O 为坐标原点.已知四边形OFPM 为菱形. （Ⅰ）求双曲线C 的离心率e ；（Ⅱ）若经过焦点F 且平行于OP 的直线交双曲线于B A ,两点,且12=AB ,求此时的双曲线方程. 20.(本小题满分14分) 已知函数()f x ＝11a x--（其中a 为常数，x a ≠）．利用函数)(x f y =构造一个数列}{n x ，方法如下：对于给定的定义域中的1x ，令)(12x f x =，)(23x f x =，…，)(1-=n n x f x ，…在上述构造过程中，如果i x （i =1，2，3，…）在定义域中，那么构造数列的过程继续下去；如果i x 不在定义域中，那么构造数列的过程就停止.（Ⅰ）当1=a 且11-=x 时，求数列}{n x 的通项公式；（Ⅱ）如果可以用上述方法构造出一个常数列，求a 的取值范围；（Ⅲ）是否存在实数a ，使得取定义域中的任一实数值作为1x ，都可用上述方法构造出一个无穷数列 }{n x ？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由.北京市东城区2008-2009学年度综合练习（二）高三数学参考答案 （理科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1．Ｄ 2．A 3．Ａ 4．Ｃ 5．Ａ 6．C 7．Ｂ 8．D 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9．2 10．x y 33-= 11．)3sin(2π+=x y , 12π12．3π13．50 14．5 注：两个空的填空题第一个空填对得2分，第二个空填对得3分． 三、解答题（本大题共6小题，共80分） 15. （本小题满分13分）解: （Ⅰ）由⊥m n 得()()()0a c a c b a b +-+-=； ．．．．．．．．．2分 整理得2220a b c ab +--=．即222a b c ab +-=． ．．．．．．．．．．3分又2221cos 222a b c ab C ab ab +-===． ．．．．．．．．．．5分又因为0C π<<, 所以3C π=． ．．．．．．．．．．6分（Ⅱ）因为3C π=，所以23A B π+=, 故23B A π=-． ．．．．．．．．．．7分由2sin sin sin sin()3A B A A π+=+-=得．即1sin sin 2A A A +=cos A A +=． 即sin()62A π+=． ．．．．．．．．．．．11分 因为203A π<<，所以5666A πππ<+<, ．．．．．．．．12分 故64A ππ+=或364A ππ+=． 所以12A π=或712A π=． ．．．．．．13分16．（本小题满分14分）解: (Ⅰ)取AC 的中点O ,连结OB OS ,. BC AB SC SA ==, ,OB AC SO AC ⊥⊥∴,.又平面⊥SAC 平面ABC ,且平面AC ABC SAC =平面 , ⊥∴SO 平面ABC .故SB 在平面ABC 内的射影为OB ,SB AC ⊥∴. …………………6分 (Ⅱ)取OB 的中点D ,作CM NE ⊥交CM 于E ,连结DE ，ND . 在△SOB 中,D N ,分别为OB SB ,的中点, DN ∴∥SO .又⊥SO 平面ABC ,⊥∴DN 平面ABC ,由CM NE ⊥得CM DE ⊥.故NED ∠为二面角B CM N --的平面角. ……………………9分 设OB 与CM 交于G ,则G 为△ABC 的中心,GB GD 41=∴.又CM DE ⊥,CM BM ⊥,DE ∴∥MB ,2141==∴MB DE .在△SAC 中可得22=SO ,在△SOB 中,221==SO ND ，在Rt △NDE 中,22212tan ==NED . 22arctan =∠∴NED . ∴ 二面角B CM N --的大小为22arctan . …………14分解法二: (Ⅰ) 取AC 的中点O ,连结OB OS ,. BC AB SC SA ==, , OB AC SO AC ⊥⊥∴,.又平面⊥SAC 平面ABC ,且平面AC ABC SAC =平面 ,⊥∴SO 平面ABC .ABC MSN O DE G如图所示建立空间直角坐标系xyz O -,则)2,3,0(),0,3,1(),22,0,0(),0,0,2(),0,32,0(),0,0,2(N M S C B A -.(4,0,0),AC SB ∴=-=-.则0=⋅,SB AC ⊥∴. ………………6分(Ⅱ)由(Ⅰ)得).2,0,1(),0,3,3(-==设n =),,(z y x 为平面CMN 的一个法向量,30,0,CM MN ⎧⋅==⎪⎨⋅==⎪⎩n x n x -取1=z ,得6,2-==y x .∴=n (.又)22,0,0(=为平面ABC 的法向量,cos ∴＜OS ⋅n ＞=13OSOS ⋅=⋅n n .∴二面角B CM N --的大小为31arccos. ………………14分 17. （本小题满分13分）解: (Ⅰ)由题意,C 321,,A A A 四点构成一个正三棱锥,321,,CA CA CA 为该三棱锥的三条侧棱. …2分三棱锥的侧棱2)2(21+-=x CA ; …………………4分于是有2)2(32+-+=x x y .()20<<x …………………5分(Ⅱ)对y 求导得2)2()2(312+---='x x y . ………………8分令0='y 得2)2()2(922+-=-x x ,解得23=x 或=x 25(舍). …………………10分 当)23,0(∈x 时,,0<'y 当⎪⎭⎫ ⎝⎛∈2,23x 时,0>'y . ………………12分故当23=x 时,即m BC 5.1=时,y 取得最小值为6m . ………………13分 18．（本小题满分13分）解: (Ⅰ)记“恰好射击５次引爆油罐”的事件为事件A ,则31421216()333243P A C ⎛⎫=⨯⨯⨯=⎪⎝⎭. ………………4分 (Ⅱ)射击次数ξ的可能取值为2,3,4,5. ………………5分94)32()2(2===ξP ;278323132)3(12=⨯⨯⨯==C P ξ;1232124(4)()33327P C ξ==⨯⨯⨯=;91274278941)5(=---==ξP . ………………11分故ξ的分布列为277991527442783942=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE . 故所求ξ的数学期望为2779. ……………13分19. （本小题满分13分）解: (Ⅰ)由于四边形OFPM 是菱形,故OF PF c ==,作双曲线的右准线交PM 于点H ,则22a PM PH c=+. …………3分所以离心率22222222222PFOF c c e e a a PH c a e c c c c=====----; 整理得220e e --=.解得2e =或1e =-(舍)． 故所求双曲线的离心率为2 ． …………5分(Ⅱ) 由2e =得223,2a b a c ==,双曲线方程为222213x y a a-=.设P 的横坐标为0x ,由于四边形OFPM 是菱形,即2PF PM c a ===,得200322a x a x a c +==即.将其代入双曲线方程得22223213a y a a ⎛⎫⎪⎝⎭-=,解得y =.即3(,)22P a . ………………7分3OP k =故直线AB 的方程为2)3y x a =-. …………8分将直线AB 的方程代入到双曲线方程中得22420290x ax a +-=. …………10分由,12=AB 12=, 解得1a =.则23b =.所求双曲线方程为2213y x -=. ……………13分 20. （本小题满分14分） 解：（Ⅰ）当1=a 时，x xx f -=1)(，所以，nn n x x x -=+11． 两边取倒数，得11111-=-=+nn n n x x x x ，即1111-=-+n n x x ．又111-=x , 所以数列{nx 1}是首项为1-，公差1-=d 的等差数列． ………………3分 故n n x n-=-⋅-+-=)1()1(11，所以n x n 1-=，即数列}{n x 的通项公式为nx n 1-=,n *∈N . …………………4分 （Ⅱ）根据题意，只需当a x ≠时，方程x x f =)(有解， ………………5分即方程 01)1(2=-+-+a x a x 有不等于a 的解．将a x =代入方程左边，左边为1，与右边不相等．故方程不可能有解a x =．……………7分由 △=0)1(4)1(2≥---a a ，得 3-≤a 或1≥a .即实数a 的取值范围是(,3][1,)-∞-+∞． …………………10分(Ⅲ)假设存在实数a ，使得取定义域中的任一实数值作为1x ，都可以用上述方法构造出一个无穷数列}{n x ，那么根据题意可知，xa a x --+1=a 在R 中无解， ……………12分 即当a x ≠时，方程1)1(2-+=+a a x a 无实数解． 由于a x =不是方程1)1(2-+=+a a x a 的解，所以对于任意x ∈R ，方程1)1(2-+=+a a x a 无实数解， 因此⎩⎨⎧≠-+=+.01,012a a a 解得1-=a ．故1-=a 即为所求a 的值．……………14分。

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北京市东城区2018—2019学年度第二学期高三综合练习（二）高三数学(文科)本试卷共4页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答在答题卡上,在试卷上作答无效。

考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1.已知集合，则A 。

B 。

C. D.【答案】A 【解析】 【分析】解出集合B 中的不等式，根据集合并集运算得到结果。

【详解】，根据集合并集运算得到：.故答案为：A.【点睛】这个题目考查了集合的并集运算，属于基础题.2。

下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是A 。

B 。

C 。

D 。

【答案】D 【解析】 【分析】根据幂函数和指数函数和三角函数的奇偶性，以及单调性得到结果。

【详解】是奇函数，故A 排除；是非奇非偶函数,C 排除;是偶函数，但在上有增也有减,B 排除，只有D 正确.{13},{20}A x x xB x x 或=-=-≥AB ={}12x x x <-≥或{}12x x -<≤{23}x x ≤<R{2}Bxx =≥的AB ={}12x x x <-≥或()0,+∞3y x =c o s y x =x y e =1y x =+3y x =xy e =c o s y x=()0,+∞故答案为：D.【点睛】这个题目考查了函数的奇偶性以及单调性的判断，属于基础题.3。

执行如图所示的程序框图,输入，那么输出的的值分别为A. B 。

C. D.【答案】D 【解析】 【分析】根据程序框图，依次代入数值得到结果.【详解】根据程序框图,依次代入数值得到：a ＝a ＋b ＝7,b ＝a －b ＝7－5＝2，a ＝a －b ＝7－2＝5, 所以，a ＝5，b ＝2 故答案为：D.【点睛】本题考查了程序框图的应用,属于基础题.4。

若满足,则点到点距离的最小值为A 。

北京市东城区2020届高三数学下学期综合练习(二模)试题 理

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北京市东城区2020届高三数学下学期综合练习（二模）试题 理本试卷共4页，共150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将答题卡交回。

第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知集合2{2,1,0,1,2},{20}A B x x x =--=--≤，则A B =R I ð(A){2}- (B) {01}， (C) {2,1,2}-- (D) {1,0,1,2}- （2）执行如图所示的程序框图，输入2,5a b ==，那么输出的,a b 的值分别为（A ）7，3- （B ）3-，3- （C ）5，3- （D ）5， 2（3）已知向量a 与b 不共线，且AB m =+u u u r a b (1)m ≠，.AC n =+u u u r a b 若,,A B C 三点共线，则实数,m n 满足的条件为(A)1m n += (B) 1m n +=- (C) 1mn = (D)1mn =-（4）鲁班锁起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，相传由春 秋时代鲁国工匠鲁班所作. 右图是某个经典的六柱鲁班锁及其六个构件的图片，下图是其中一个构件的三视图（单位：mm ）， 则此构件的体积为（A ）334000mm （B ） 333000mm （C ） 332000mm （D ）330000mm （5）已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，则“n n S na >对2n ≥恒成立”是“34a a >”的 (A ) 充分而不必要条件 (B) 必要而不充分条件 (C) 充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件（6）教室的图书角摆放了一些阅读书目，其中有3本相同的论语、6本互不相同的近代文学名著，现从这9本书中选出3本，则不同的选法种数为(A) 84 (B) 42 (C) 41 (D)35（7）已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，P 是底面ABCD 上的动点，1PA PC ≥，则满足条件的点P 构成的图形的面积等于 (A) 12 (B) 4π (C) 44π- (D) 72（8）在交通工程学中，常作如下定义：交通流量Q （辆/小时）：单位时间内通过某一道路横断面的车辆数； 车流速度V （千米/小时）：单位时间内车流平均行驶的距离； 车流密度K （辆/千米）：单位长度道路上某一瞬间所存在的车辆数. 一般的， V 和K 满足一个线性关系：00=(1)KV v k -（其中00,v k 是正数），则以下说法正确的是 (A) 随着车流密度的增大，车流速度在逐渐增大 (B) 随着车流密度的增大，交通流量在逐渐增大 (C) 随着车流速度的增大，交通流量先减小、后增大 (D) 随着车流速度的增大，交通流量先增大、后减小第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

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北京市东城区2007—2008学年度高三综合练习（一）数学试题（理科）本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分. 共150分，考试时间120分钟. 考试结束，将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷（选择题 共40分）注意事项： 1．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上. 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号. 不能答在试卷上.一、选择题：本大题共8小题. 每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．若复数z ai z i z 且复数满足,1)1(+=-在复平面上对应的点位于第二象限，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1>aB ．11<<-aC ．1-<aD ．11>-<a a 或2．已知等比数列{n a }的前n 项和为S n ，且S 3=7a 1，则数列{n a }的公比q 的值为 （ ）A ．2B ．3C ．2或－3D ．2或33．“0=a ”是“函数),0()(2+∞+=在区间ax x x f 上是增函数”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB=AA 1=2，AD=1，E 为CC 1的中点，则异面直线BC 1与AE 所成角的余弦值为 （ ）A ．1010B ．1030 C ．1060 D ．10103 5．实数y x z y x y x y x y x -=⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≥+-≤-+则满足条件,0,0,022,04,的最大值为（ ）A ．—1B ．0C ．2D ．46．某高校外语系有8名奥运会志愿者，其中有5名男生，3名女生，现从中选3人参加某项“好运北京”测试赛的翻译工作，若要求这3人中既有男生，又有女生，则不同的选法共有 （ ） A ．45种 B ．56种 C ．90种 D ．120种7．已知向量b a b a b a b a 与则满足,37|2|,3||,2||,=+==的夹角为（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°8．△ABC 中，AB =22，AC=2，BC =2，设P 为线段BC 上一点，且,2321≤≤PB 则一定有（ ）A ．AB ·AC >P A 2，AB ·AC >PB ·PC B ．P A 2>AB ·AC ，P A 2>PB ·PCC ．PB ·PC > AB ·AC ，PB ·PC >P A 2D ．AB ·AC > PB ·PC ，P A 2 >PB ·PC第II 卷（共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 把答案填在题中横线上.9．=--+-→)131(lim 21x x x x x .10．函数)12(log 31-=x y 的定义域是 .11．函数x x x y 2cos 3cos sin 2+=的最小正周期为 ；最大值为 .12．已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点分别为F 1，F 2，若在双曲线的右支上存在一点P ，使得|PF 1|=3|PF 2|，则双曲线的离心率e 的取值范围为 . 13．在三棱锥P —ABC 中，△ABC 是边长为6的等边三角形，PA=PB=PC=34，则点P到平面ABC 的距离为 ；若P ，A ，B ，C 四点在某个球面上，则球的半径为 . 14．在实数集R 中定义一种运算“*”，具有性质： ①对任意a b b a R b a **,,=∈；②对任意a a R a =∈0*,；③对任意c c b c a ab c c b a R b a 2)*()*()(**)*(,,-++=∈，则0*2= ；函数)0(1*)(>=x xx x f 的最小值为 . 三、解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（本小题满分13分） 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且.cos cos 3cos B c B a C b -= （I ）求cos B 的值；（II ）若2=⋅，且22=b ，求c a 和b 的值.16．（本小题满分14分） 如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，∠BAC =90°，AB =BB 1，直线B 1C 与平面ABC成30°角.（I ）求证：平面B 1AC ⊥平面ABB 1A 1；（II ）求直线A 1C 与平面B 1AC 所成角的正弦值； （III ）求二面角B —B 1C —A 的大小. 17．（本小题满分13分）已知定圆,16)1(:22=++y x A 圆心为A ，动圆M 过点B (1,0)且和圆A 相切，动圆的圆心M 的轨迹记为C . （I ）求曲线C 的方程；（II ）若点),(00y x P 为曲线C 上一点，求证：直线01243:00=-+y y x x l 与曲线C 有且只有一个交点.18．（本小题满分13分） 甲、乙、丙三人进行某项比赛，每局有两人参加，没有平局，在一局比赛中，甲胜乙的概率为53，甲胜丙的概率为54，乙胜丙的概率为53，比赛的规则是先由甲和乙进行第一局的比赛，然后每局的获胜者与未参加此局比赛的人进行下一局的比赛，在比赛中，有人获胜两局就算取得比赛的胜利，比赛结束. （I ）求只进行两局比赛，甲就取得胜利的概率； （II ）求只进行两局比赛，比赛就结束的概率； （III ）求甲取得比赛胜利的概率. 19．（本小题满分13分）已知函数⎩⎨⎧>≤+-=1,ln 1,)(23x x x ax x x x f ，在x =1处连续.（I ）求a 的值；（II ）求函数)(x f 的单调减区间；（III ）若不等式R ∈+≤x c x x f 对一切)(恒成立，求c 的取值范围. 20．（本小题满分14分）已知集合)(),2,1(},,,,,{1321A l n n i a a a a a A n >≤≤∈=R 其中Λ表示和)1(n j i a a j i ≤<≤+中所有不同值的个数.（I ）已知集合)(),(},16,8,4,2{},8,6,4,2{Q l P l Q P 分别求==； （II ）若集合2)1()(:},2,,8,4,2{-==n n A l A n求证Λ； （III ）求)(A l 的最小值.参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1．A 2．C 3．A 4．B 5．D 6．A 7．C 8．D 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 9．2 10．⎥⎦⎤⎝⎛1,21 11．2,π 12．21≤<e 13．6，4 14．5，3 注：两个空的填空题第一个空填对得2分，第二个空填对得3分. 三、解答题（本大题共6小题，共80分） 15．（本小题满分13分） （I ）解：由正弦定理得C R c B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2===，,0sin .cos sin 3sin ,cos sin 3)sin(,cos sin 3cos sin cos sin ,cos sin cos sin 3cos sin ,cos sin 2cos sin 6cos sin 2≠==+=+-=-=A B A A B A C B B A B C C B B C B A C B B C R B A R C B R 又可得即可得故则因此.31cos =B …………6分（II ）解：由2cos ,2==⋅B a BC BA 可得，,,0)(,12,cos 2,6,31cos 222222c a c a c a B ac c a b ac B ==-=+-+===即所以可得由故又 所以.6==c a…………13分16．（本小题满分14分）解法一：（I ）证明：由直三棱柱性质，B 1B ⊥平面ABC ，∴B 1B ⊥AC ，又BA ⊥AC ，B 1B ∩BA=B ， ∴AC ⊥平面 ABB 1A 1， 又AC ⊂平面B 1AC ，∴平面B 1AC ⊥平面ABB 1A 1.…………4分（II ）解：过A 1做A 1M ⊥B 1A 1，垂足为M ，连结CM ，∵平面B 1AC ⊥平面ABB 1A ，且平面B 1AC ∩平面ABB 1A 1=B 1A ， ∴A 1M ⊥平面B 1AC.∴∠A 1CM 为直线A 1C 与平面B 1AC 所成的角， ∵直线B 1C 与平面ABC 成30°角， ∴∠B 1CB=30°.设AB=BB 1=a ，可得B 1C=2a ，BC=a AC a 2,3=，.66sin ,22,311111====C A M A CM A a M A a C A 又从而∴直线A 1C 与平面B 1AC 所成角的正弦值为.66 …………9分（III ）解：过A 做AN ⊥BC ，垂足为N ，过N 做NO ⊥B 1C ，垂足为O ，连结AO ，由AN ⊥BC ，可得AN ⊥平面BCC 1B 1，由三垂线定理，可知AO ⊥B 1C ， ∴∠AON 为二面角B —B 1C —A 的平面角，.36sin ,,3611==∴=⋅==⋅=AO AN AON a C B AC AB AO a BC AC AB AN∴二面角B —B 1C —A 的大小为.36arcsin…………14分解法二：（I ）证明：同解法一. …………4分（II ）解：建立如图的空间直角坐标系A —xyz ，∵直线B 1C 与平面ABC 成30°角， ∴∠B 1CB=30°. 设AB=B 1B=1，).1,1,0(),1,0,0(),0,0,2(),0,1,0(),0,0,0(.2,311B A C B A AC BC 则则==,6661||||,cos ),1,0,2(),1,1,0(,,11111111111==⋅>=<∴=-=C A B A C A B A C A B A AC B B A B A 又的一个法向量是平面易知连结∴直线A 1C 与平面B 1AC 所成角的正弦值为.66 …………9分（III ）解：设),,(z y x n =为平面BCC 1B 1的一个法向量，.33232,cos cos ,,).0,2,1(,0,2,1,02,0),0,1,2(),1,0,0(,,11111111=⋅==<=--====⎩⎨⎧=-=∴-==⊥⊥B A n A C B B AC B A n z y x y x z BB BC n BB n θθ则的大小为设二面角的一个法向量又得则令又则∴二面角B —B 1C —A 的大小为.33arccos …………14分17．（本小题满分13分）（I ）解：圆A 的圆心为4),0,1(1=-r A 半径，设动圆M 的圆心.||,,),,(22MB r r y x M =依题意有半径为由|AB|=2，可知点B 在圆A 内，从而圆M 内切于圆A ， 故|MA|=r 1—r 2，即|MA|+|MB|=4，所以，点M 的轨迹是以A ，B 为焦点的椭圆，设椭圆方程为12222=+b y a x ，由.3,4,22,4222====b a c a 可得故曲线C 的方程为.13422=+y x …………6分（II ）解：当2,134,002400±==+=x y x y 可得由时， ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=-=≠--==-====.134,4312:,4312,0).0,2(,2,0,2).0,2(,2,0,22200000000000y x y x x y y xx y l y C l x l y x C l x l y x 联立方程组的方程为直线时当有且只有一个交点与曲线直线的方程为直线时当有且只有一个交点与曲线直线的方程为直线时当消去.0164824)34(,20023020=-+-+y x x x x y y 得 ①由点),(00y x P 为曲线C 上一点，.1234.13420202020=+=+x y y x 可得得于是方程①可以化简为.022002=+-x x x x 解得0x x =，),,(,4312000000y x P C l y y y xx y x x 有且有一个交点与曲线故直线可得代入方程将=-==综上，直线l 与曲线C 有且只有一个交点，且交点为),(00y x P . …………13分18．（本小题满分13分）（I ）解：只进行两局比赛，甲就取得胜利的概率为：.251254531=⨯=P …………4分（II ）解：只进行两局比赛，比赛就结束的概率为：.25185********=⨯+⨯=P…………8分（III ）解：甲取得比赛胜利共有三种情形：若甲胜乙，甲胜丙，则概率为25125453=⨯； 若甲胜乙，甲负丙，则丙负乙，甲胜乙，概率为6252753535153=⨯⨯⨯； 若甲负乙，则乙负丙，甲胜丙，甲胜乙，概率为.6254853545252=⨯⨯⨯所以，甲获胜的概率为.5362548625272512=++…………13分 19．（本小题满分13分）（I ）解：由1)(=x x f 在处连续，可得1ln 11=+-a ，故.0=a…………2分（II ）解：由（I ）得⎩⎨⎧>≤-=.1,ln ,1,)(23x x x x x x f.0)(,1)(,1.320,0)(,23)(,12>'='><<<'-='<x f xx f x x x f x x x f x 故时当可得令时当所以函数).32,0()(的单调减区间为x f…………7分（III ）解：设⎩⎨⎧>-≤--=-=.1,ln ,1,)()(23x x x x x x x x x f x g,)(,2753191271)31()().,31(),31,()(,1)(,)(),1(.0)(,1,11)(,1.)()1,31(,)()31,(.131,0)(;31,131,0)(,123)(,12恒成立对一切要使不等式的最大值为所以函数单调减区间为的单调增区间为于是函数处连续在又函数的单调减区间为函数可得时故当时当的单调减区间为函数的单调增区间为函数可得可得令即或可得令时当R ∈+≤=+--=-+∞---∞=+∞<'>-='>---∞<<-<'-<>-<>'--='<x c x x f g x g x g x x g x g x g x xx g x x g x g x x g x x x x g x x x g x,275)(,)(≤∈≤x g x c x g 又恒成立对一切即R 故c 的取值范围为.275≥c …………13分20．（本小题满分14分）（I ）解：由2+4=6，2+6=8，2+8=10，4+6=10，4+8=12，6+8=14，得5)(=P l ，由2+4=6，2+8=10，2+16=18，4+8=12，4+16=20，8+16=24， 得.6)(=Q l…………4分（II ）证明：因为.2)1()(,2)1()1(2-≤-=≤<≤+n n A l n n C n j i a a n j i 所以项共有,)1(,,,,.,,,22,,),1,1(,},2,,8,4,2{1的值两两不同即所有时当且仅当因此时当即则不妨设时当任取又集合n j i a a a a a a l j k i a a a a k i l j a a a a a a a a a a l j l j n l k n j i a a a a A j i l k j i l k j i l k j i l k i i j j i l k j i n ≤<≤++=+==+≠+≠=+≠++<≤=<+<≠≤<≤≤<≤++=+Λ因此.2)1()(-=n n A l …………9分（III ）解：不妨设n a a a a <<<<Λ321，可得.)12(,)2()1(;,;,,),1(,,,,,,,32)(,32)1(,1113211213121中的一个或者等于中的一个等于因此每个和时当时当根据等差数列的性质考虑成等差数列设事实上即个不同的数中至少有故-≤≤+≤≤+≤<≤++=+>++=+≤+≤<≤+-≥-≤<≤++<<+<+<<+<+-+-+-n l a a n k a a n j i a a a a a a n j i a a a a n j i n j i a a a a a a n A l n n j i a a a a a a a a a a a a n l k j i n n j i j i j i j i j i n j i n n n n ΛΛΛ故对这样的集合.32)(,32)(,--=n A l n A l A 的最小值为所以…………14分。

2008-2009学年北京东城区高三部分学校月考文

2008-2009学年北京东城区高三部分学校月考文

2008-2009学年度北京市东城区高三部分学校月考数学（文科）试卷一、选择题（每题5分） 1．若函数)2(),0(1)()(21f x x x f x f 则的反函数<+=-的值（ ）A ．1B ．—1C ．1或—1D ．5 2．已知数列2),1(2,}{a a S S n a n n n n 则且项和为的前-=等于 （ ）A ．4B ．2C ．1D ．—2 3．如果命题“)(q p 或⌝”为假命题，则（ ）A ．p ，q 均为真命题B ．p ，q 均为假命题C ．p ，q 中至少有一个为真命题D ．p ，q 中至多有一个为真命题4．等差数列1062,}{a a a S n a n n ++若项和为的前为一个确定的常数，则下列各个和中，也为确定的常数的是 （ ）A ．S 6B ．S 11C ．S 12D ．S 135．设函数1)1(log )(2=-==x x y x f y 的图像关于直线的图像与对称，则)(x f y =为（ ）A ．)1(log 2x y +=B ．)1(log 2-=x yC ．)2(log 2-=x yD ．)2(log 2x y -=6．设2321401,)1(4321S S S n S n n ++-++-+-=-则 的值为（ ）A ．0B ．3C ．4D ．—857．已知函数=+-+++=c b d cx bx x x f 那么上是减函数在区间,]2,1[)(23（ ）A ．有最大值215B ．有最大值—215 C ．有最小值215 D ．有最小值—2158．关于函数)(22)(R ∈-=-x x f xx有下列三个结论：①)(x f 的值域为R ；②)(x f 是R上的增函数；③对任意0)()(,=+-∈x f x f R x 有成立；其中所有正确的序号为（ ）A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③二、填空题（每题5分）9．已知函数x qx px x x f 的图像与+-=23)(轴切于点（1，0），则p= ，q= .10．已知n n n S N n S 求和),(22222*1031074∈+++++=+ = . 11．已知)21(lg ,0)2(lg ),(3)(f f R a x a x x f 则且=∈-+== . 12．设0384,1}{220062005=+->x x a a q a n 是方程和若的等比数列是公比的两个根，则20082007a a += .13．若直线)10(|1|2≠>-==a a a y a y x且与函数的图像有两个公共点，则a 的取值范围是 . 14．已知数列n n S a a ,21,}{1=中为数列的前n 项和，且)(1*N n n a S nn ∈的一个等比中项为与，则n S = . 三、解答题：15．（12分）已知数列.1,2,2}{211==+=+a a kS S S n a n n n n 又满足项和的前 （1）求k 的值及通项公式a n . （2）求n S .16．（13分）已知函数a x x x x f +++-=93)(23（1）求)(x f 的单调区间；（2）若]2,2[)(-在x f 上的最大值为20，求它在[—2，2]上的最小值.17．（14分）如图，已知：在菱形ABCD 中，∠DAB=60°，PA ⊥底面ABCD ，PA=AB=2，E ，F 分别是AB 与PD 的中点.（1）求证：PC ⊥BD ；（2）求证：AF//平面PEC ； （3）求二面角P —EC —D 的大小. 18．（13分）已知函数0)0(),2()2(2)()(,)(≠-+=+f yx f y x f y f x f y x x f 均有对任意实数，且存在非零常数.0)(,=c f c 使 （1）求)0(f 的值；（2）判断)(x f 的奇偶性并证明；（3）求证)(x f 是周期函数，并求出)(x f 的一个周期.19．（14分）设函数21223,),,(13)(x x x x R b a x a bx ax x f ==∈+-+=在处取得极值，且2||21=-x x（1）若)(,,1x f b a 及的值求=的单调区间； （2）若b a 求,0>的取值范围.20．（14分）已知等差数列0,1}{1>=d a a n 公差的首项，且第二项、第五项、第十 四项分别是一个等比数列的第二项、第三项、第四项. （1）求数列}{n a 的通项公式； （2）设,,),()3(121*t b b b S N n a n b n n n n 是否存在最大的整数+++=∈+=使得对意的t tS n n 求出若存在总成立均有,?36>；若不存在，请说明理由.。