北京市丰台区2021届高三数学下学期综合练习(二模)试题(二).doc

丰台区2023-2024学年度第二学期综合练习（二）高三数学 2024.4本试卷共9页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题 共40分）一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合 题目要求的一项。

1. 已知集合{}1,2,3,4,5U =，{}1,3A =，{}2,3B =，则()()U U C A C B =A.{}3B.{}1,2C.{}4,5D.{}1,2,32. 在复平面内，复数z 对应的点为(1,1)Z −，则z 的共轭复数z = A.1i + B.1i − C.1i −+ D.1i −−3. 已知数列{}n a 对于任意*,p q ∈N ，都有p q p q a a a +=，若1a =4a =A.2B.C.4D.4. 下列函数中，是偶函数且在区间(0,)+∞上单调递增的是 A.1()||f x x =B.(22x x f x −=+C.()sin f x x =D.()tan f x x =5. 若,a b ∈R ，且a b >，则 A.221111a b <++ B.22a b ab > C.22a ab b >>D.2a ba b +>>6. 已知,αβ是两个不同的平面，,m n 是两条不同的直线，能使m n ⊥成立的一组条件是 A.//αβ，m α⊥，n β⊥ B.//αβ，m α⊂，n β⊥ C.αβ⊥，m α⊥，//n βD.αβ⊥，m α⊂，//n β7. 已知函数()sin()f x x ωϕ=+ππ(0,)22ωϕ>−<<的导函数是()f x '，如果函数()()y f x f x '=−的图象如右图所示，那么,ωϕ的值分别为A.1,0B.π1,4−C.π1,4D.π2,4−8. 已知曲线2:||1C y x =+与直线:l y kx b =+，那么下列结论正确的是 A.当1k =时，对于任意的b ∈R ，曲线C 与直线l 恰有两个公共点 B.当1k =时，存在b ∈R ，曲线C 与直线l 恰有三个公共点 C.当2k =时，对于任意的b ∈R ，曲线C 与直线l 恰有两个公共点 D.当2k =时，存在b ∈R ，曲线C 与直线l 恰有三个公共点9. 已知等差数列{}n α的公差为d ，首项1π(0,)2α∈，那么“πd =”是“集合{}*sin ,n S x x n α==∈N 恰有两个元素”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件10. “用一个不垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，当圆锥的轴与截面所成的角不同时，可以得到不同的截口曲线”. 利用这个原理，小明在家里用两个射灯（射出的光锥视为圆锥）在墙上投影出两个相同的椭圆（图1），光锥的一条母线恰好与墙面垂直. 图2是一个射灯投影的直观图，圆锥PO 的轴截面APB 是等边三角形，椭圆1O 所在平面为α，PB α⊥，则椭圆1O 的离心率为图1 图2第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

2020-2021北京丰台区第二中学高三数学下期中模拟试题及答案一、选择题1．已知等比数列{}n a 的公比为正数，且239522,1a a a a ⋅==，则1a = ( )A ．12B ．2 CD 2．“干支纪年法”是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法，干支是天干和地支的总称，把干支顺序相配正好六十为一周，周而复始，循环记录，这就是俗称的“干支表”甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、癸等十个符号叫天干，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥等十二个符号叫地支，如公元1984年农历为甲子年，公元1985年农历为乙丑年，公元1986年农历为丙寅年，则公元2047年农历为 A ．乙丑年B ．丙寅年C ．丁卯年D ．戊辰年3．已知函数223log ,0(){1,0x x f x x x x +>=--≤，则不等式()5f x ≤的解集为 ( )A ．[]1,1-B ．[]2,4-C ．(](),20,4-∞-⋃D ．(][],20,4-∞-⋃ 4．已知正项等比数列{}n a 的公比为3，若229m n a a a =，则212m n+的最小值等于（ ） A ．1B ．12C ．34 D ．325．“0x >”是“12x x+≥”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，1(1)()n n n S nS n N *++∈＜.若871a a <-，则（ ） A ．n S 的最大值为8S B ．n S 的最小值为8S C ．n S 的最大值为7S D ．n S 的最小值为7S7．数列{}n a 的前n 项和为21n S n n =++,()()1N*nn n b a n =-∈,则数列{}n b 的前50项和为（ ） A ．49B ．50C ．99D ．1008．已知函数22()()()n n f n n n 为奇数时为偶数时⎧=⎨-⎩，若()(1)n a f n f n =++，则123100a a a a ++++=LA ．0B ．100C ．100-D ．102009．下列命题正确的是 A ．若 a ＞b,则a 2＞b 2B ．若a ＞b ，则 ac ＞bcC ．若a ＞b ，则a 3＞b 3D ．若a>b ，则1a ＜1b10．已知数列{}n a 的首项11a =，数列{}n b 为等比数列，且1n n na b a +=．若10112b b =，则21a =（ ）A ．92B ．102C ．112D ．12211．《周髀算经》有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，冬至、立春、春分日影之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影之和为八丈五尺五寸，问芒种日影长为（ ） A ．一尺五寸B ．二尺五寸C ．三尺五寸D ．四尺五寸12．若x ，y 满足20400x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则2z y x =-的最大值为（ ）．A ．8-B ．4-C ．1D ．2二、填空题13．已知0a >，0b >，当()214a b ab++取得最小值时，b =__________． 14．设函数2()1f x x =-，对任意2,3x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，24()(1)4()x f m f x f x f m m ⎛⎫-≤-+ ⎪⎝⎭恒成立，则实数m 的取值范围是 . 15．已知0,0x y >>，1221x y +=+，则2x y +的最小值为 . 16．在数列{}n a 中，“()n 12na n N*n 1n 1n 1=++⋯+∈+++，又n n n 11b a a +=，则数列{}n b 的前n 项和n S 为______．17．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，2a =，且()()()2sin sin sin b A B c b C +-=-，则ABC ∆面积的最大值为______.18．已知数列{}n a 是递增的等比数列，14239,8a a a a +==，则数列{}n a 的前n 项和等于 .19．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且221n S n n n N *=++∈，,求n a =.__________．20．设{}n a 是等差数列，且13a =，2536a a +=，则{}n a 的通项公式为__________．三、解答题21．已知000a b c ＞，＞，＞，函数().f x a x x b c =-+++ (1)当1a b c ===时,求不等式()3f x ＞的解集；(2)当()f x 的最小值为3时,求111a b c++的最小值. 22．已知在公比为q 的等比数列{}n a 中，416a =，()34222a a a +=+. （1）若1q >，求数列{}n a 的通项公式；（2）当1q <时，若等差数列{}n b 满足31b a =，512b a a =+，123n n S b b b b =+++⋅⋅⋅+，求数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项的和.23．已知点（1，2）是函数()(0,1)xf x a a a =>≠的图象上一点，数列{}n a 的前n 项和是()1n S f n =-.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若1log n a n b a +=，求数列{}n n a b •的前n 项和n T 24．在ABC ∆ 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .已知cos 2cos 2cos A C c aB b--=（1） 求sin sin CA的值 （2） 若1cos ,24B b == ，求ABC ∆的面积. 25．设数列{}n a 满足12a = ，12nn n a a +-= ；数列{}n b 的前n 项和为n S ，且2132n S n n =-（）（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）若n n n c a b = ，求数列{}n c 的前n 项和n T ．26．数列{}n a 中，11a = ，当2n ≥时，其前n 项和n S 满足21()2n n n S a S =⋅-．（1）求n S 的表达式； (2)设n b ＝21nS n +,求数列{}n b 的前n 项和n T ．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D【解析】设公比为q ，由已知得()22841112a q a q a q ⋅=，即22q=，又因为等比数列{}n a 的公比为正数，所以q 212a a q ===，故选D. 2．C解析：C 【解析】记公元1984年为第一年，公元2047年为第64年，即天干循环了十次，第四个为“丁”，地支循环了五次，第四个为“卯”,所以公元2047年农历为丁卯年. 故选C.3．B解析：B 【解析】分析：根据分段函数，分别解不等式，再求出并集即可．详解：由于()223log ,01,0x x f x x x x +>⎧=⎨--≤⎩，当x ＞0时，3+log 2x≤5，即log 2x≤2=log 24，解得0＜x≤4， 当x≤0时，x 2﹣x ﹣1≤5，即（x ﹣3）（x+2）≤0，解得﹣2≤x≤0， ∴不等式f （x ）≤5的解集为[﹣2，4]， 故选B ．点睛：本题考查了分段函数以及不等式的解法和集合的运算，分段函数的值域是将各段的值域并到一起，分段函数的定义域是将各段的定义域并到一起，分段函数的最值，先取每段的最值，再将两段的最值进行比较，最终取两者较大或者较小的.4．C解析：C 【解析】∵正项等比数列{}n a 的公比为3，且229m n a a a =∴2224222223339m n m n a a a a --+-⋅⋅⋅=⋅=∴6m n +=∴121121153()()(2)(2)62622624m n m n m n n m ⨯++=⨯+++≥⨯+=，当且仅当24m n ==时取等号. 故选C.点睛：利用基本不等式解题的注意点：（1）首先要判断是否具备了应用基本不等式的条件，即“一正、二正、三相等”，且这三个条件必须同时成立．（2）若不直接满足基本不等式的条件，需要通过配凑、进行恒等变形，构造成满足条件的形式，常用的方法有：“1”的代换作用，对不等式进行分拆、组合、添加系数等． （3）多次使用基本不等式求最值时，要注意只有同时满足等号成立的条件才能取得等号．5．C解析：C 【解析】先考虑充分性,当x>0时，12x x +≥=，当且仅当x=1时取等.所以充分条件成立. 再考虑必要性，当12x x+≥时，如果x>0时，22210(1)0x x x -+≥∴-≥成立，当x=1时取等.当x<0时，不等式不成立. 所以x>0. 故选C.6．C解析：C 【解析】 【分析】由已知条件推导出（n 2﹣n ）d ＜2n 2d ，从而得到d ＞0，所以a 7＜0，a 8＞0，由此求出数列{S n }中最小值是S 7． 【详解】∵（n +1）S n ＜nS n +1， ∴S n ＜nS n +1﹣nS n ＝na n +1 即na 1()12n n d-+＜na 1+n 2d ，整理得（n 2﹣n ）d ＜2n 2d ∵n 2﹣n ﹣2n 2＝﹣n 2﹣n ＜0 ∴d ＞0∵87a a -＜1＜0 ∴a 7＜0，a 8＞0 数列的前7项为负， 故数列{S n }中最小值是S 7 故选C ． 【点睛】本题考查等差数列中前n 项和最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的灵活运用．7．A解析：A 【解析】试题分析：当1n =时，113a S ==；当2n ≥时，()()()22111112n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=++--+-+=⎣⎦,把1n =代入上式可得123a =≠.综上可得3,1{2,2n n a n n ==≥.所以3,1{2,12,n n b n n n n n -==-≠为奇数且为偶数.数列{}n b 的前50项和为()()503235749224650S =--+++++++++L L ()()24349252503224922++=--⋅+⋅=.故A 正确.考点：1求数列的通项公式;2数列求和问题.8．B解析：B 【解析】试题分析：由题意可得，当n 为奇数时，()22()(1)121;n a f n f n n n n =++=-+=--当n 为偶数时，()22()(1)121;n a f n f n n n n =++=-++=+所以()1231001399a a a a a a a ++++=+++L L ()()()2410021359999224610099100a a a ++++=-++++-++++++=L L L ，故选B.考点：数列的递推公式与数列求和.【方法点晴】本题主要考查了数列的递推公式与数列求和问题，考查了考生的数据处理与运算能力，属于中档题.本题解答的关键是根据给出的函数()22(){()n n f n n n =-当为奇数时当为偶数时及()(1)n a f n f n =++分别写出n 为奇数和偶数时数列{}n a 的通项公式，然后再通过分组求和的方法得到数列{}n a 前100项的和.9．C解析：C 【解析】对于A ，若1a =，1b =-，则A 不成立；对于B ，若0c =，则B 不成立；对于C ，若a b >，则33a b >，则C 正确；对于D ，2a =，1b =-，则D 不成立.故选C10．B解析：B 【解析】 【分析】由已知条件推导出a n =b 1b 2…b n-1，由此利用b 10b 11=2，根据等比数列的性质能求出a 21． 【详解】数列{a n }的首项a 1=1，数列{b n }为等比数列，且1n n na b a +=， ∴3212212a ab a b a a =＝，＝4312341233a a b b b a b b b a ∴=∴=，，＝，，…101211011211220120219101122n n a b b b b b a b b b b b b b b b -=⋯=∴=⋯=⨯⨯⋯⨯=Q ，，（）（）（） ． 故选B ． 【点睛】本题考查数列的第21项的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意递公式和等比数列的性质的合理运用．11．B解析：B 【解析】 【分析】从冬至日起各节气日影长设为{}n a ，可得{}n a 为等差数列，根据已知结合前n 项和公式和等差中项关系，求出通项公式，即可求解. 【详解】由题知各节气日影长依次成等差数列，设为{}n a ，n S 是其前n 项和，则()19959985.52a a S a +===尺，所以59.5a =尺，由题知1474331.5a a a a ++==， 所以410.5a =，所以公差541d a a =-=-， 所以1257 2.5a a d =+=尺。

北京市丰台区2021——2022 学年度第二学期综合练习（一）高三化学本试卷共10 页，100 分。

考试时长90 分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

可能用到的相对原子质量：H 1 C 12 N 14 O 16 Na 23 S 32第一部分本部分共14 题，每题 3 分，共42 分。

在每题列出的四个选项中，选出最符合题目要求的一项。

1.冬奥会冰球运动所需要的下列器材中，由金属材料制成的是（）A．冰球——橡胶B．冰球杆——碳纤维C．运动员面罩——钢丝网D．运动员头盔——丙烯腈、丁二烯、苯乙烯形成的高聚物2．下列化学用语或图示表达正确的是（）A．金属铜具有导电性C．金刚石硬度大B．氮气化学性质稳定D．碘单质常温为固体A.第一电离能：Li <Be <B C．电负性：N <O <FB.原子半径：Mg <Na <KD．酸性：H SiO <H PO <HClO2 3 3 4 4A.FeSO 溶液中放入铁粉：2Fe3++ Fe 3Fe2+4B.硝酸保存于棕色试剂瓶：4HNO3 光照4NO2↑+O2↑+2H O2C.氮肥NH HCO4 3保存于阴凉处：NH△HCO NH4 3 3↑+CO2↑+H O2D.金属钠保存于煤油中：2Na + O Na O 2Na + 2H O 2NaOH + H ↑2 2 2 2 2A．∆H > 02B．1 mol S（g）完全燃烧释放的能量小于2968 kJC．∆H =∆H -∆H2 1 3D．16 g S（s）完全燃烧释放的能量为1484 kJ7．实验室制取下列气体，所选反应试剂、制备装置与收集方法合理的是（）．．下列关于氨气的说法不．正．确．的是（ ）A. NH 分子呈三角锥形，属于极性分子3B. NH 易液化、易溶于水均与氢键的形成有关3C. NH 与 HCl 反应的过程包含配位键的形成， NH Cl 属于共价化合物34D. 烧瓶中溶液红色不变时， NH + H O 32下列事实不能用Cl + H O2 2A .实验室用 NaOH 溶液吸收Cl 尾气 2B .用饱和食盐水除去Cl 中的 HCl 杂质2C . NaClO 与浓盐酸混合产生氯气D ．漂白粉中加入适量醋酸可增强漂白性NH ⋅ H ONH + + OH - 达平衡324HClO 平衡移动加以解释的是（）糖酯可由油酸（C 17H COOH ）与蔗糖反应而得，其转化关系如下图所示：33下列说法正确的是（ ）A ．蔗糖不能发生银镜反应B ．油酸是一种饱和高级脂肪酸C ．蔗糖酯属于油脂类物质D．蔗糖酯在酸性条件下充分水解的最终产物为油酸和蔗糖11．下列实验方案能达到实验目的的是（）A B C D比较目比较Mg、Al 金属性的研究浓度对化学平衡的Na CO2 3、比较碳酸、醋酸、苯的强弱影响NaHCO3慢与酸反应的快酚的酸性强弱实验方案12.水溶性荧光超支化聚合物P 在生物、医药及组织工程和生物成像等领域都有较好的应用，合成P 的单体由M（）和W（）在一定条件下反应得到，P 的结构片段如下：下列说法不．正．确．的是（）A．W 不存在顺反异构B．聚合物P 的单体由M 与W 通过取代反应得到C．M 与W 形成的单体通过缩聚反应制得聚合物P，同时有CH OH 生成3D．聚合物P 具有较好水溶性可能与存在多个亲水基团－OH 有关13.一种可充电的锌锰分液电池，其结构如下图所示：⎣( )下列说法不．正．确．的是（ ）A .放电时，正极反应为：MnO + 4H + + 2e - Mn 2+ + 2H O22B .充电时，Zn 作阴极： ⎡Zn(OH ) 4⎤⎦2- + 2e -Zn + 4OH -C .离子交换膜a 和 b 分别为阳离子交换膜和阴离子交换膜D .充电过程中K SO 溶液的浓度逐渐降低2414. 某小组进行以下探究。

xyO π2π1-1心尺引州丑巴孔市中潭学校丰台区2021年高三年级第二学期统一练习〔二〕数 学〔理科〕一、本大题共8小题，每题5分，共40分．在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．在复平面内，复数121izi-=+对应的点位于 (A) 第一象限(B) 第二象限(C) 第三象限(D) 第四象限2．(A) x ∀∈R ，20x> (B) x ∀∈R ，2310x x ++> (C) x ∃∈R ，lg 0x >(D) x ∃∈R ，122x =3．a >0且a ≠1，函数log a y x =，x y a =，y x a =+在同一坐标系中的图象可能是(A)(B)(C)(D)4．参数方程2cos (3sin x y θθθ=⎧⎨=⎩，，为参数)和极坐标方程4sin ρθ=所表示的图形分别是(A) 圆和直线(B) 直线和直线(C) 椭圆和直线(D) 椭圆和圆5．由1,2,3,4,5组成没有重复数字且2与5不相邻的四位数的个数是(A) 120(B) 84 (C) 60 (D) 486．函数sin()y A x ωϕ=+的图象如下列图，那么该函数的解析式可能是(A) 441sin()555y x =+ (B) 31sin(2)25y x =+(C) 441sin()555y x =-(D) 41sin(2)55y x =+OO O O x x xxyyyy1 11 1111 1此题就是考查正弦函数的图象变换。

最好采用排除法。

考查的关键是A ，ω，φ每一个字母的意义。

7．直线l ：Ax By C ++=(A ，B 不全为0)，两点111(,)P x y ，222(,)P x y ，假设1122()()0Ax By C Ax By C ++++>，且1122Ax By C Ax By C++>++，那么(A) 直线l 与直线P 1P 2不相交 (B) 直线l 与线段P 2 P 1的延长线相交 (C) 直线l 与线段P 1 P 2的延长线相交(D) 直线l 与线段P 1P 2相交此题就是考查线性规划问题。

北京市丰台区2021届下学期高三年级综合练习（二）数学试卷（二模）本试卷满分共150分 考试时间120分钟第一部分（选择题 共40分）一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1在复平面内，复数2iz i=-对应的点位于 A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限D 第四象限2下列函数中，在区间0，∞上单调递增的是A 12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭B 1y x -=C 21y x =-（） D ln y x =3已知向量a =-1，2，b =2，m ，若a ∥b ，则m= A -4B 12-C12D44在平面直角坐标系Oy 中，角α以O 为始边，它的终边与以原点O 为圆心的单位圆的交点为23sin()2πα+2323-5353-2221(0)x y a a -=>22430x y y +-+=333132log 22y x =+（）22221(0)x y x a b +=≥22221(0)x y x b c+=≤22c a b<<15122c a -<<均为正数，则b m ba m a+>+”是假命题的一组整数a,b 的值依次为________________．13已知点()()22f x f x ππ-=+2sin ()x f x x x ππ=-+{}n a {}n a {}12n n a -+2π23FMFC2213xy+=PA PB PA PB [12(12)2(21)2212nn nnS+⨯-==⨯-=--(121)1(12)212nn n+-⨯-=+-221nn=+-1(12)2112nnnS n n⨯-=+=+--35250022324(0)()()5525P X C===123212(1)()()5525P X C===2202329(2)()()5525P X C===()412960122525255==E X⨯+⨯+⨯2π⊂⊄⊂⊂AE FC(01)FMFCλλ=≤≤EM EF FM EF FCλ=+=+=，y，是平面AEM的法向量，则m AEm EM⎧=⎪⎨=⎪⎩，即0,(1)20,x zy zλλ-+=⎧⎨+-=⎩，…………10分所以(1,2,1)mλλλ=++．…………11分因为n =1，0，0是平面CDEF的法向量，所以2cos,3(1m nm nm n<>==+………………12分因为01λ≤≤，解得13λ=． …………13分 所以平面AEM 与平面CDEF 所成锐二面角的余弦值为23时，13FM FC =． ……………14分 19（本小题15分）解：I 函数f 的定义域为（0，∞）． ……………………1分 若a=0，则()221ln 2f x x x x =-，'2ln f x x x =（）， ……………………2分 令f =0．得=1， ……………………………………3分 随的变化，f'，f 的变化情况如下表所示……………5分所以a=0时，f 的最小值为 ()112f =-． …………6分 II 因为()()()'2ln 0 f x x a x x =->， …………7分 当a≤0时，-a>0，令f'>0，得ln>0，所以>1，f 在区间1，∞上单调递增， 令f'<0，得ln>0，所以0<<1，f 在区间0，1上单调递减．……………9分当0<a<1时，令f'（）=0，得=1或=a ， 随的变化，f'，f 的变化情况如下表所示所以f 在区间（0，a ）上单调递增，在区间a ，1上单调递减，在区间（1，∞）上单调递增． (11)当a=1时，因为f'= 2-1ln≥0，当且仅当=1时，f'=0， 所以f 在区间0，∞上单调递增， ……………………12分 当a>1时，令f'=0，得=1或=a ， 随的变化，f'，f 的变化情况如下表所示所以f 在区间0，1上单调递增，在区间1，a 上单调递减，在区间a ，∞上单调递增．………………………………14分综上所述，当a≤0时，f 的单调递增区间为（1，∞），单调递减区间为0，1； 当0<a<1时，f 的单调递增区间为0，a ，1，∞，单调递减区间为（a ，1）； 当a=1时，f 的单调递增区间为0，∞，无单调递减区间；当a>1时，f 的单调递增区间为0，1，a ，∞，单调递减区间为（1，a ）． ………………………………15分 20．（本小题15分）解：I 当直线l 斜率不存在时，其方程为=-1 ………………………………2分由221,31x y x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得1,3x y =-⎧⎪⎨=⎪⎩或1,3x y =-⎧⎪⎨=-⎪⎩ ……4分所以AB =……………………5分 II 假设存在，0，使PA PB 为定值， ①当直线l 斜率存在时，设直线l 的方程为：y=（1），A 1，y 1，B 2，y 2， ……………………6分由2233,(1)x y y k x ⎧+=⎨=+⎩ 得2222(13)6330k x k x k +++-=， 则22121222633,1313k k x x x x k k-+=-=++ …………………………8分 所以=1-m 2-my 1y 2 =12-m 12m 221121 =12 -m 12m 2212 2 122 = 2-m 1221122m 22222222222()(6)(1)(33)()(13)131313k m k k k k m k k k k --+-++=+++++ 2222(361)313m m k m k +++-=+……………………11分若PA PB 为常数，只需22361331m m m ++-=，解得53m =-，此时29PA PB =-…………………………13分 所以存在点5(,0)3P -，使PA PB 为定值29-②当直线l 与轴垂直时，不妨设((1,A B --, 当点P 坐标为5(,0)3P -时，5656462(1,)(1,)3333999PA PB =-+-+-=-=- 综上，存在点5(,0)3P -,使PA PB 为定值29-…………………………15分 21．（本小题14分）解：I 因为41 ∉A ，|4-1| ∉A ，所以数集A 不具有性质P ；………………3分 IIi 因为a 2021 a 2021= 2a 2021>a 2021，所以a 2021a 2021 ∉B ， 所以|a 2021-a 2021|=0∈B ，则a 1=0． 因为a i <a i1（i=1，2，…，2020， 所以a 2021a 2020>a 2021a 2019>…>a 2021a 2>a 2021 所以a 2021a i ∉Bi=2，3，…，2020． 所以a 2021-a i ∈Bi=2，3，…，2020． 因为0<a 2021-a 2020<a 2021-a 2019<…<a 2021-a 2<a 2021, 所以a 2021-a i =a 2022-i （i=2，3，…，2020． ① 所以a 2021=a 2020a 2,a 2021=a 2019a 3因为a 2020a 2019>a 2020a 2018>…>a 2020a 3>a 2020a 2=a 2021, 所以a 2020 a i ∉Bi=3，4，…，2019． 所以a 2020-a i ∈Bi=3，4，…，2019． 因为0<a 2020-a 2019<a 2020-a 2018<…<a 2020-a 3<a 2020, 所以a 2020-a 2019=a 2,a 2020-a 3=a 2018否则a 2020-a 2019=a≥3，得a 2020≥a 3a 2019=a 2021矛盾． a 2020-a 3= a l l≥2019，得a 2020≥a 3a 2019=a 2021矛盾， 所以a 2020-a i =a 2021-i i=3，…，2019． ② ①-②得a 2022-i -a 2021-i =a 2021-a 2020=a 2i=3，…，2019, 即a 3-a 2=a 4-a 3=…=a 2019-a 2018=a 2 所以a i1-a i = a 2（i=1，2，…，n-1）．所以a 1，a 2，…，a n 是等差数列． …………………………12分 iin 的最大值是4． ………………………………………………14分。

北京市丰台区2021届新高考二诊数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若函数()()2sin 2cos f x x x θ=+⋅（02πθ<<）的图象过点()0,2，则（ ）A ．函数()y f x =的值域是[]0,2B ．点,04π⎛⎫⎪⎝⎭是()y f x =的一个对称中心 C ．函数()y f x =的最小正周期是2π D ．直线4x π=是()y f x =的一条对称轴【答案】A 【解析】 【分析】根据函数()f x 的图像过点()0,2，求出θ，可得()cos21f x x =+，再利用余弦函数的图像与性质，得出结论. 【详解】由函数()()2sin 2cos f x x x θ=+⋅（02πθ<<）的图象过点()0,2，可得2sin 22θ=，即sin 21θ=，22πθ∴=，4πθ=，故()()22sin 2cos 2cos cos21f x x x x x θ=+⋅==+， 对于A ，由1cos21x -≤≤，则()02f x ≤≤，故A 正确； 对于B ，当4x π=时，14f π⎛⎫=⎪⎝⎭，故B 错误； 对于C ，22T ππ==，故C 错误； 对于D ，当4x π=时，14f π⎛⎫=⎪⎝⎭，故D 错误； 故选：A 【点睛】本题主要考查了二倍角的余弦公式、三角函数的图像与性质，需熟记性质与公式，属于基础题.2．《九章算术》是我国古代数学名著，书中有如下问题：“今有勾六步，股八步，问勾中容圆，径几何？”其意思为：“已知直角三角形两直角边长分别为6步和8步，问其内切圆的直径为多少步？”现从该三角形内随机取一点，则此点取自内切圆的概率是（ ） A ．12πB ．3π C ．6π D ．9π【答案】C 【解析】 【分析】利用直角三角形三边与内切圆半径的关系求出半径，再分别求出三角形和内切圆的面积，根据几何概型的概率计算公式，即可求解. 【详解】10=， 利用等面积法，可得其内切圆的半径为6826810⨯==++r ，所以向次三角形内投掷豆子，则落在其内切圆内的概率为2216682ππ⋅=⨯⨯.故选：C. 【点睛】本题主要考查了面积比的几何概型的概率的计算问题，其中解答中熟练应用直角三角形的性质，求得其内切圆的半径是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.3．设抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F,抛物线C与圆22:(3C x y +='交于M,N 两点,若||MN =,则MNF V 的面积为( )AB ．38C．8D．4【答案】B 【解析】 【分析】由圆C '过原点，知,M N 中有一点M与原点重合，作出图形，由C M C N ''==，MN =C M C N ''⊥，从而直线MN 倾斜角为4π，写出N 点坐标，代入抛物线方程求出参数p ，可得F 点坐标，从而得三角形面积． 【详解】由题意圆C '过原点，所以原点是圆与抛物线的一个交点，不妨设为M ，如图，由于C M C N ''=，MN =C M C N ''⊥，∴4C MN π'∠=，4NOx π∠=，∴点N坐标为，代入抛物线方程得22p =p =，∴3 (,0)4F，113332248FMN NS MF y∆=⨯=⨯⨯=．故选：B.【点睛】本题考查抛物线与圆相交问题，解题关键是发现原点O是其中一个交点，从而MNC'∆是等腰直角三角形，于是可得N点坐标，问题可解，如果仅从方程组角度研究两曲线交点，恐怕难度会大大增加，甚至没法求解．4．设变量,x y满足约束条件2239x yxyx+≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则目标函数2z x y=+的最大值是（）A．7 B．5 C．3 D．2【答案】B【解析】【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得结论.【详解】画出约束条件22390x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，表示的可行域，如图，由20 2390x y x y +-=⎧⎨--=⎩可得31x y =⎧⎨=-⎩， 将2z x y =+变形为2y x z =-+， 平移直线2y x z =-+，由图可知当直2y x z =-+经过点()3,1-时， 直线在y 轴上的截距最大， z 最大值为2315z =⨯-=，故选B.【点睛】本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.5．已知集合{}2|230A x x x =--<，集合{|10}B x x =-≥，则()A B ⋂=R ð（ ）.A ．(,1)[3,)-∞+∞UB ．(,1][3,)-∞+∞UC ．(,1)(3,)-∞+∞UD ．(1,3)【答案】A 【解析】 【分析】算出集合A 、B 及A B I ，再求补集即可. 【详解】由2230x x --<，得13x -<<，所以{|13}A x x =-<<，又{|1}B x x =≥， 所以{|13}A B x x ⋂=≤<，故()A B ⋂=R ð{|1x x <或3}x ≥. 故选：A. 【点睛】本题考查集合的交集、补集运算，考查学生的基本运算能力，是一道基础题.6．中国铁路总公司相关负责人表示，到2018年底，全国铁路营业里程达到13.1万公里，其中高铁营业里程2.9万公里，超过世界高铁总里程的三分之二，下图是2014年到2018年铁路和高铁运营里程（单位：万公里）的折线图，以下结论不正确的是（ ）A ．每相邻两年相比较，2014年到2015年铁路运营里程增加最显著B ．从2014年到2018年这5年，高铁运营里程与年价正相关C ．2018年高铁运营里程比2014年高铁运营里程增长80%以上D ．从2014年到2018年这5年，高铁运营里程数依次成等差数列 【答案】D 【解析】 【分析】由折线图逐项分析即可求解 【详解】选项A ，B 显然正确； 对于C ，2.9 1.60.81.6->，选项C 正确； 1.6,1.9,2.2,2.5,2.9不是等差数列，故D 错. 故选：D 【点睛】本题考查统计的知识，考查数据处理能力和应用意识,是基础题7．已知3log 2a =ln3b =，0.992c -=，则,,a b c 的大小关系为（ ） A ．b c a >> B ．a b c >>C ．c a b >>D ．c b a >>【答案】A 【解析】 【分析】根据指数函数与对数函数的单调性，借助特殊值即可比较大小. 【详解】 因为331log 2log 32<=， 所以12a <. 因为3＞e ，所以ln3ln 1b e =>=，因为00.991>->-，2xy =为增函数，所以0.991221c -=<< 所以b c a ＞＞， 故选：A. 【点睛】本题主要考查了指数函数、对数函数的单调性，利用单调性比较大小，属于中档题.8．1777年，法国科学家蒲丰在宴请客人时，在地上铺了一张白纸，上面画着一条条等距离的平行线，而他给每个客人发许多等质量的，长度等于相邻两平行线距离的一半的针，让他们随意投放.事后，蒲丰对针落地的位置进行统计，发现共投针2212枚，与直线相交的有704枚.根据这次统计数据，若客人随意向这张白纸上投放一根这样的针，则针落地后与直线相交的概率约为（ ） A ．12πB ．3πC ．2πD ．1π【答案】D 【解析】 【分析】根据统计数据，求出频率，用以估计概率. 【详解】70412212π≈. 故选:D. 【点睛】本题以数学文化为背景，考查利用频率估计概率，属于基础题.9．如图是正方体截去一个四棱锥后的得到的几何体的三视图，则该几何体的体积是（ ）A ．12B ．13C ．23D ．56【答案】C 【解析】 【分析】根据三视图作出几何体的直观图，结合三视图的数据可求得几何体的体积. 【详解】根据三视图还原几何体的直观图如下图所示：由图可知，该几何体是在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中截去四棱锥1B ABCD -所形成的几何体， 该几何体的体积为321211133V =-⨯⨯=. 故选：C. 【点睛】本题考查利用三视图计算几何体的体积，考查空间想象能力与计算能力，属于基础题. 10．下列四个图象可能是函数35log |1|1x y x +=+图象的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】 【分析】首先求出函数的定义域，其函数图象可由35log ||x y x=的图象沿x 轴向左平移1个单位而得到，因为35log ||x y x=为奇函数，即可得到函数图象关于(1,0)-对称，即可排除A 、D ，再根据0x >时函数值，排除B ，即可得解. 【详解】∵35log |1|1x y x +=+的定义域为{}|1x x ≠-，其图象可由35log ||x y x=的图象沿x 轴向左平移1个单位而得到，∵35log ||x y x=为奇函数，图象关于原点对称，∴35log |1|1x y x +=+的图象关于点(1,0)-成中心对称.可排除A 、D 项. 当0x >时，35log |1|01x y x +=>+，∴B 项不正确.故选：C 【点睛】本题考查函数的性质与识图能力，一般根据四个选择项来判断对应的函数性质，即可排除三个不符的选项，属于中档题.11．阅读下面的程序框图，运行相应的程序，程序运行输出的结果是（ ）A ．1．1B ．1C ．2．9D ．2．8【答案】C 【解析】 【分析】根据程序框图的模拟过程，写出每执行一次的运行结果，属于基础题. 【详解】初始值0n =，1S =第一次循环：1n =，11122S =⨯=； 第二次循环：2n =，121233S =⨯=；第三次循环：3n =，131344S =⨯=；第四次循环：4n =，141455S =⨯=；第五次循环：5n =，151566S =⨯=； 第六次循环：6n =，161677S =⨯=；第七次循环：7n =，171788S =⨯=；第九次循环：8n =，181899S =⨯=；第十次循环：9n =，1910.191010S =⨯=≤； 所以输出190.910S =⨯=. 故选：C 【点睛】本题考查了循环结构的程序框图的读取以及运行结果，属于基础题. 12．设x ∈R ，则“327x <”是“||3x <”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】先解不等式化简两个条件，利用集合法判断充分必要条件即可 【详解】解不等式327x <可得3x <，解绝对值不等式||3x <可得33x -<<， 由于{|33}-<<x x 为{|3}x x <的子集，据此可知“327x <”是“||3x <”的必要不充分条件． 故选：B 【点睛】本题考查了必要不充分条件的判定，考查了学生数学运算，逻辑推理能力，属于基础题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

xyO π2π1-1心尺引州丑巴孔市中潭学校丰台区2021年高三年级第二学期统一练习〔二〕数 学〔文科〕一、本大题共8小题，每题5分，共40分．在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．假设2∈{1，a ，a 2-a }，那么a =(A) -1(B) 0 (C) 2 (D) 2或-12．(A) x ∀∈R ，20x> (B) x ∀∈R ，2310x x ++> (C) x ∃∈R ，lg 0x >(D) x ∃∈R ，122x =3．a >0且a ≠1，函数log a y x =，x y a =在同一坐标系中的图象可能是(A)(B)(C)(D)4．数列{}n a 中，135a =，111(2)n n a n a -=-≥，那么2011a = (A) 12-(B) 23-(C)35(D)52关于数列的概念是几次考试中第一次考，要注意引起关注。

遇到这样既不成等差又不成等比的数列，求2011a =，只能是周期性。

5．如下列图，2AB BC =，OA a =，OB b =，OC c =，那么以下等式中成立的是(A) 3122c b a =- (B) 2c b a =-(C) 2c a b =-(D) 3122c a b =-这样的问题是学生的难点和易错点，学生的问题往往是不知从何下手。

讲评时可再选一填空题进行复练。

6．函数sin()y A x ωϕ=+的图象如下列图，那么该函数的解析式可能是(A) 441sin()555y x =+ (B) 31sin(2)25y x =+ABCO(C) 441sin()555y x =- (D) 41sin(2)55y x =+此题就是考查正弦函数的图象变换。

最好采用排除法。

考查的关键是A ，ω，φ每一个字母的意义。

7．x ，y 的取值如下表：从散点图可以看出y 与x 线性相关，且回归方程为0.95y x a =+，那么a =(A) 5 (B)(C)(D) 0此题就是考查回归方程过定点(,)x y 。