高三数学综合练习(5.29)

高三数学综合练习题二在高三数学的学习过程中，综合练习题是提高学习效果、加强对知识点理解和应用的重要途径。

通过多次的练习，我们能够更加熟练地掌握各个知识点，提高解题能力。

下面将为大家带来一套高三数学综合练习题，希望能够帮助大家巩固知识，提高成绩。

第一题：已知函数f(x)=2x+1，求f(3)的值。

解析：根据题目已知条件可知，函数f(x)=2x+1，我们需要求出f(3)的值。

将x=3代入函数f(x)中，得到f(3)=2(3)+1=7。

因此，f(3)的值为7。

第二题：已知等差数列{an}满足a1=3，d=4，求a5的值。

解析：由等差数列的通项公式可知，an=a1+(n-1)d。

根据题目已知条件可知，a1=3，d=4，我们需要求出a5的值。

将n=5代入通项公式中，得到a5=3+(5-1)4=3+4*4=19。

因此，a5的值为19。

第三题：已知等差数列{bn}满足b1=5，d=-2，求n满足bn=-15的最小值。

解析：由等差数列的通项公式可知，bn=b1+(n-1)d。

根据题目已知条件可知，b1=5，d=-2，我们需要求出满足bn=-15的最小值。

将bn=-15代入通项公式中，得到-15=5+(n-1)(-2)，化简得到n=8。

因此，满足bn=-15的最小值为n=8。

第四题：已知函数g(x)=x^2-4x+3，求解方程g(x)=0的解。

解析：根据题目已知条件可知，函数g(x)=x^2-4x+3，我们需要求解方程g(x)=0的解。

将g(x)置为零，得到x^2-4x+3=0。

通过配方法可以将方程化简为(x-1)(x-3)=0，因此方程的解为x=1或x=3。

第五题：已知函数h(x)=2x^2-5x-3，求h(x)的最小值。

解析：为求函数的最小值，我们可以利用最值点的性质。

对于一元二次函数h(x)=2x^2-5x-3，最值点的横坐标为x=-b/2a，即x=-(-5)/(2*2)=5/4。

将x=5/4代入h(x)中，得到h(5/4)=2*(5/4)^2-5*(5/4)-3=-5/8-25/4-3=-72/8=-9。

心尺引州丑巴孔市中潭学校区2021届高三数学第二次〔5月〕综合练习〔二模〕试题 理〔含解析〕一、选择题〔本大题共8小题，共40.0分〕 1.集合{|1}A x x =>，{|(2)0}B x x x =-<，那么A B =( )A. {|0}x x >B. {|12}x x <<C. {|12}x x ≤<D. {|0x x >且1}x ≠【答案】A 【解析】 【分析】根据不等式的解法得B={x|0＜x ＜2}，然后根据并集的定义“由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合叫做并集〞进行求解即可．【详解】根据不等式的解法，易得B={x|0＜x ＜2}， 又有A={x|x ＞1}，那么A∪B={x|x＞0}． 应选：A ．【点睛】此题考查并集的运算，注意结合数轴来求解，属于容易题． 2.复数i 〔1+i 〕的虚部为〔 〕B. 1C. 0D. 1-【答案】B 【解析】 【分析】直接利用复数代数形式的乘法运算化简得答案． 【详解】∵i〔1+i 〕=-1+i ，∴i〔1+i 〕的虚部为1． 应选：B ．【点睛】此题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的根本概念，是根底题．3.在数学史上，中外数学家使用不同的方法对圆周率π进行了估算．根据德国数学家莱布尼茨在1674年给出的求π的方法绘制的程序框图如下列图．执行该程序框图，输出s 的值为〔 〕 A. 4 B.8 3C.5215D.304105【答案】C 【解析】 【分析】根据程序框图进行模拟运算即可． 【详解】第一次，4,1,3s k k ==≥否，第二次，484,2,333sk k =-==≥否， 第三次，8452,3,33515s k k =+==≥是，程序终止，输出s=5215，应选：C ．【点睛】此题主要考查程序框图的识别和判断，根据条件进行模拟运算是解决此题的关键．比较根底．4.在△ABC 中，6B π=，c=4，cosC =，那么b=〔 〕A.B. 3C.32D.43【答案】B 【解析】 【分析】由利用同角三角函数根本关系式可求sinC 的值，根据正弦定理即可计算解得b 的值．【详解】∵6B π=，c=4，cosC =，∴2sin 3C==， ∴由正弦定理sin b csinB C=，可得：41223b =，解得：b=3．应选：B ．【点睛】此题主要考查了同角三角函数根本关系式，正弦定理在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于根底题．5.等差数列{}n a 的首项为1a ，公差0d ≠，那么“139,,a a a 成等比数列〞 是“1a d =〞的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，设数列{}n a 的公差为d ，从充分性与必要性的角度分析“139,,a a a 成等比数列〞和“1a d=〞的关系，综合即可得答案．【详解】根据题意，设数列{}n a 的公差为d ， 假设139,,a a a 成等比数列，那么2319a a a =，即〔a 1+2d 〕2=a 1•〔a 1+8d 〕，变形可得：a 1=d ，那么“139,,a a a 成等比数列〞是“a 1=d 〞的充分条件； 假设a 1=d ，那么a 3=a 1+2d=3d ，a 9=a 1+8d=9d ，那么有2319a a a =，那么“139,,a a a 成等比数列〞是“a 1=d 〞的必要条件；综合可得：“139,,a a a 成等比数列〞是“1a d=〞的充要条件；应选：C ．【点睛】此题考查等差、等比数列的定义以及判断，涉及充分必要的定义与判断，属于根底题．6.函数f 〔x 〕=2,,xx ax x a ≥⎧-<⎨⎩，假设函数f 〔x 〕存在零点，那么实数a 的取值范围是〔〕A.(),0-∞B.(),1-∞C.()1,+∞D.()0,+∞【答案】D 【解析】 【分析】画出函数的图象，利用数形结合推出a 的范围即可．【详解】函数f 〔x 〕=2,,x x ax x a⎧≥⎨-<⎩，函数的图象如图：函数f 〔x 〕存在零点，那么实数a 的取值范围是：〔0，+∞〕． 应选：D ．【点睛】此题考查分段函数的应用，函数的零点的判断，考查数形结合以及计算能力． 7.在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为线段CD 和11A B 上的动点，且满足1CE A F =，那么四边形1D FBE 所围成的图形〔如下列图阴影局部〕分别在该正方体有公共顶点的三个面上的正投影的面积之和〔 〕A. 有最小值32B. 有最大值52C. 为定值3D. 为定值2【答案】D 【解析】 【分析】分别在后，上，左三个平面得到该四边形的投影，求其面积和即可． 【详解】依题意，设四边形D1FBE的四个顶点在后面，上面，左面的投影点分别为D'，F'，B'，E'，那么四边形D1FBE 在上面，后面，左面的投影分别如上图．所以在后面的投影的面积为S 后=1×1=1， 在上面的投影面积S 上=D'E'×1=DE×1=DE， 在左面的投影面积S 左=B'E'×1=CE×1=CE，所以四边形D 1FBE 所围成的图形〔如下列图阴影局部〕分别在该正方体有公共顶点的三个面上的正投影的面积之和S=S 后+S 上+S 左=1+DE+CE=1+CD=2． 应选：D ．【点睛】此题考查了正方体中四边形的投影问题，考查空间想象能力．属于中档题． 8.在同一平面内，A 为动点，B ，C 为定点，且∠BAC=3π，2ACB π∠≠，BC=1，P 为BC 中点．过点P 作PQ⊥BC 交AC 所在直线于Q ，那么AQ 在BC 方向上投影的最大值是〔〕A.13B.12C.33D.23【答案】C 【解析】 【分析】先建系，由三点共圆得点A 的轨迹方程为223163x y ⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭，那么213x ≤，那么303x -≤<，再由AQ 在BC 方向上投影的几何意义可得解．【详解】建立如下列图的平面直角坐标系，那么B 〔-12，0〕，C 〔12，0〕，P 〔0，0〕， 由BAC3π∠=可知，ABC 三点在一个定圆上，且弦BC 所对的圆周角为3π，所以圆心角为23π.圆心在BC 的中垂线即y 轴上，且圆心到直线BC的距离为12tan 3BCπ=(0,6，半径为3=. 所以点A的轨迹方程为：2213x y ⎛+= ⎝⎭，那么213x ≤，那么03x -≤< ， 由AQ 在BC 方向上投影的几何意义可得：AQ 在BC 方向上投影为|DP|=|x|， 那么AQ 在BC方向上投影的最大值是3，应选：C ．【点睛】此题考查了轨迹问题及平面向量数量积的运算，属中档题． 二、填空题〔本大题共6小题，共30.0分〕 9.33log ,ln 3,log 2ae b c ===，那么a ，b ，c 中最小的是______．【答案】c 【解析】 【分析】由对数值大小的比较得：b=ln3＞1，又2＜e ＜3，所以log 32＜log 3e ＜1，即c ＜a ＜b ，得解． 【详解】b=ln3＞1， 又2＜e ＜3， 所以log 32＜log 3e ＜1， 即c ＜a ＜b ，故a ，b ，c 中最小的是c ．故答案为：c【点睛】此题考查了对数值大小的比较，属简单题．10.点M 〔1，2〕在抛物线C ：y 2=2px 〔p ＞0〕上，那么点M 到抛物线C 焦点的距离是______． 【答案】2 【解析】 【分析】将点的坐标代入抛物线方程，求出p=2，求得焦点F 〔1，0〕，利用抛物线的定义，即可求点M 到抛物线C 焦点的距离．【详解】由点M 〔1，2〕在抛物线C ：y 2=2px 〔p ＞0〕上，可得4=2p ，p=2， 抛物线C ：y 2=4x ，焦点坐标F 〔1，0〕， 那么点M 到抛物线C 焦点的距离是：1+1=2， 故答案为：2．【点睛】此题考查抛物线的HY 方程及抛物线的定义，考查计算能力，属于根底题．11.圆,1x cos C y sin θθ=⎧=+⎨⎩：〔θ为参数〕上的点P 到直线12,1x t l y t =+⎧=-+⎨⎩：〔t 为参数〕的距离最小值是______．1【解析】 【分析】化成直角坐标方程后用点到直线的距离，再减去半径．【详解】由1x cos y sin θθ=⎧⎨=+⎩得x 2+〔y-1〕2=1，由，12,1x t y t =+⎧=-+⎨⎩得x-2y-3=0，圆心〔0，1〕到直线x-2y-3=0的距离d==1．1．【点睛】此题考查了参数方程化成普通方程，属中档题．12.实数,x y 满足1,, 4.x y x x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩能说明“假设z x y =+的最大值是4，那么1,3x y ==〞(,)x y 值是_________. 【答案】()2,2〔答案不唯一〕【解析】 【分析】画出约束条件的可行域，目标函数取得最大值的直线，然后求解即可．【详解】实数x ，y 满足1 4.x y x x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，，的可行域以及x+y=4的直线方程如图：能说明“假设z=x+y 的最大值为4，那么x=1，y=3”x，y 〕值是〔2，2〕． 故答案为：〔2，2〕．【点睛】此题考查线性规划的简单应用，画出可行域是解题的关键．13.由数字1，2，3，4，5，6组成没有重复数字的三位数，偶数共有______个，其中个位数字比十位数字大的偶数共有______个． 【答案】 (1). 60 (2). 36 【解析】 【分析】对于第一空：分2步分析：①分析可得要求三位偶数的个位有3种情况，②在剩下的5个数字中任选2个，安排在前2个数位，由分步计数原理计算可得答案；对于第二空：按个位数字分3种情况讨论，分别求出每种情况下的三位数的数目，由加法原理计算可得答案．【详解】根据题意， 对于第一空：分2步分析：①要求是没有重复数字的三位偶数，其个位是2、4或6，有3种情况， ②在剩下的5个数字中任选2个，安排在前2个数位，有2520A =种情况，那么有3×20=60个符合题意的三位偶数； 对于第二空：分3种情况讨论：①，当其个位为2时，十位数字只能是1，百位数字有4种情况，此时有4个符合题意的三位数； ②，当其个位为4时，十位数字可以是1、2、3，百位数字有4种情况，此时有3×4=12个符合题意的三位数；③，当其个位为6时，十位数字可以是1、2、3、4、5，百位数字有4种情况，此时有5×4=20个符合题意的三位数；那么有4+12+20=36个符合题意的三位数； 故答案为：60，36．【点睛】此题考查排列、组合的应用，涉及分步、分类计数原理的应用，属于根底题．14.如图，在平面直角坐标系xOy 中，点O 〔0，0〕，M 〔-4，0〕，N 〔4，0〕，P 〔0，-2〕，Q 〔0，2〕，H 〔4，2〕．线段OM 上的动点A 满足()()01OA OMλλ=∈，；线段HN 上的动点B 满足HB HN λ=．直线PA 与直线QB 交于点L ，设直线PA 的斜率记为k ，直线QB 的斜率记为k'，那么k•k'的值为______；当λ变化时，动点L 一定在______〔填“圆、椭圆、双曲线、抛物线〞之中的一个〕上． 【答案】 (1). 14(2). 双曲线 【解析】 【分析】根据向量关系得到A ，B 的坐标，再根据斜率公式可得kk′=14；设P 〔x ，y 〕，根据斜率公式可得P 点轨迹方程．【详解】∵()()01OA OM λλ=∈，；∴A〔-4λ，0〕，又P 〔0，-2〕，∴2142k λλ=-=-； ∵HBHNλ=．∴B〔4，2-2λ〕，∴22(2)'402k λλ---==--，∴kk′=14， 设L 〔x ，y 〕，那么2222224,','00y y y y y k k kk x x x x x+-+--==∴=⋅=--， ∴22414y x -=，即221416y x -=． 故答案为：14，双曲线． 【点睛】此题考查了圆锥曲线的轨迹问题，属中档题． 三、解答题〔本大题共6小题，共80.0分〕15.函数()22f x sinxcosx x =+〔1〕求函数f 〔x 〕的最小正周期；〔2〕当312x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，时，求证：()f x ≥ 【答案】〔1〕π；〔2〕见解析. 【解析】 【分析】〔1〕首先利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的最小正周期．〔2〕利用函数的关系式，进一步利用函数的定义域求出函数的值域．【详解】〔1〕()22f x sinxcosx x =+22sin x x +=223sin x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭.所以f 〔x 〕的最小正周期2Tππω==．〔2〕证明：因为312x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，，即2332x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，，所以f 〔x 〕在312ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上单调递增．当233x ππ+=-时，即3x π=-时，()min f x =所以当312x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，时，()f x ≥ 【点睛】此题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，正弦函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于根底题型． 16.〔1〕求a 的值，并用频率估计概率，估计某场外观众评分不小于9的概率；〔2〕从5名专家中随机选取3人，X 表示评分不小于9分的人数；从场外观众中随机选取3人，用频率估计概率，Y 表示评分不小于9分的人数；试求E 〔X 〕与E 〔Y 〕的值；x 1x 和观众评分的平均数2x ，用122x x +x 与122x x+的大小关系．【答案】〔1〕10.3,2；〔2〕见解析；〔3〕122x x x +＜. 【解析】 【分析】〔1〕由频率和为1可得a 的值，用某场外观众评分不小于9的频率可估计概率； 〔3〕由两组数据的比重可直接作出判断.．【详解】〔1〕由图知10.20.50.3a =--=，某场外观众评分不小于9的概率是12．〔2〕X 的可能取值为2，3．P 〔X =2〕=21413535C C C =；P 〔X =3〕=343525C C =． 所以X 的分布列为所以E 〔X 〕=2×3555+⨯=． 由题意可知，132Y B ⎛⎫ ⎪⎝⎭～，，所以E 〔Y 〕=np =32． 〔3〕122x x x +＜．【点睛】此题考查了离散型随机变量的期望考查了超几何分布和二项分布，属中档题． 17.在三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC 是正三角形，侧棱1AA ⊥底面ABC ．D ，E 分别是边BC ，AC 的中点，线段1BC 与1B C 交于点G ，且4AB =，1BB =〔1〕求证：EG ∥平面1AB D ； 〔2〕求证：1BC ⊥平面1AB D ； 〔3〕求二面角1A B C B --的余弦值．【答案】〔1〕见解析；〔2〕见解析；〔3. 【解析】 【分析】〔1〕证明EG∥AB 1．然后利用直线与平面平行的判定定理证明EG∥平面AB 1D ．〔2〕取B 1C 1的中点D 1，连接DD 1．建立空间直角坐标系D-xyz ，通过向量的数量积证明BC 1⊥DA，BC 1⊥DB 1．然后证明BC 1⊥平面AB 1D ．〔3〕求出平面B 1CB 的一个法向量，平面AB 1C 的一个法向量，设二面角A-B 1C-B 的平面角为θ，利用空间向量的数量积求解二面角的余弦函数值即可．【详解】〔1〕证明：因为E 为AC 中点，G 为B 1C 中点．所以EG ∥AB 1． 又因为EG ⊄平面AB 1D ，AB 1⊂平面AB 1D ， 所以EG ∥平面AB 1D ．〔2〕 证明：取B 1C 1的中点D 1，连接DD 1．显然DA ，DC ，DD 1两两互相垂直，如图，建立空间直角坐标系D -xyz ， 那么D 〔0，0，0〕，()0A，，B 〔0，-2，0〕，(102B -，，(102C ，，)0E ，，C 〔0，2，0〕．所以(102DB =-，，()2DA ，=，(104BC =，．又因为12300400BC DA ⋅=+⨯+⨯=，()1100240BC DB ⋅=⨯+-⨯+=，所以BC 1⊥DA ，BC 1⊥DB 1．又因为DA ∩DB 1=D ，所以BC 1⊥平面AB 1D ．〔3〕解：显然平面B 1CB 的一个法向量为1n =〔1，0，0〕． 设平面AB 1C 的一个法向量为：2n =〔x ，y ，z 〕，又()0AC =-，，(104B C ，，=-， 由22100n AC n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，，得2040y y ⎧-+=⎪⎨-=⎪⎩，．设x =1，那么y =z =(213n =，．所以121212110n n cos n n n n ＜，＞⋅===．设二面角A -B 1C -B 的平面角为θ，由图可知此二面角为锐二面角，所以cos θ=【点睛】此题考查直线与平面垂直以及平行的判定定理的应用，二面角的平面角的求法，考查计算能力． 18.函数22()(24)ln 4(f x ax x x ax x a R =+--∈且a≠0〕． 〔1〕求曲线y=f 〔x 〕在点〔1，f 〔1〕〕处的切线方程； 〔2〕假设函数f 〔x 〕的极小值为1a，试求a 的值．【答案】〔1〕--4y a =；〔2〕2a =-.【解析】 【分析】 〔1〕由题意可知'()4(1)ln ,(0,)f x ax x x =+∈+∞．'(1)0, (1)--4f f a ==，由此能求出曲线y=f 〔x 〕在点〔1，f 〔1〕〕处的切线方程．〔2〕当a ＜-1时，求出1321ln()f a a a aa ⎛⎫-=+-=⎪⎝⎭，解得11ae=->-，不成立；②当a=-1时，'()f x ≤0在〔0，+∞〕上恒成立，f 〔x 〕在〔0，+∞〕单调递减．f 〔x 〕无极小值；当-1＜a ＜0时，极小值f 〔1〕=-a-4，由题意可得14a a--=，求出2a =；当a ＞0时，极小值f 〔1〕=-a-4．由此能求出a 的值．【详解】〔1〕函数f 〔x 〕=〔2ax 2+4x 〕ln x -ax 2-4x 〔a ∈R ，且a ≠0〕． 由题意可知'()4(1)ln ,(0,)f x ax x x =+∈+∞．'(1)0, (1)--4f f a ==∴曲线y =f 〔x 〕在点〔1，f 〔1〕〕处的切线方程为--4y a =．〔Ⅱ〕①当a ＜-1时，x 变化时'(), ()f x f x 变化情况如下表：此时1321ln()f a a a aa ⎛⎫-=+-=⎪⎝⎭，解得11ae=->-，故不成立．②当a =-1时，'()f x ≤0在〔0，+∞〕上恒成立，所以f 〔x 〕在〔0，+∞〕单调递减． 此时f 〔x 〕无极小值，故不成立． ③当-1＜a ＜0时，x 变化时'(), ()f x f x 变化情况如下表：此时极小值f 〔1〕=-a -4，由题意可得4a a--=，解得2a=-或2a =-．因为-1＜a ＜0，所以2a=．④当a ＞0时，x 变化时'(), ()f x f x 变化情况如下表：此时极小值f 〔1〕=-a -4，由题意可得4a a--=，解得2a=-或2a =-，故不成立．综上所述2a=-．【点睛】此题考查切线方程的求法，考查极值的求法，考查导数性质、函数的单调性、最值等根底知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．19.椭圆:C 2221x y a +=(>1)a 的离心率为3.〔Ⅰ〕求椭圆C 的方程；〔Ⅱ〕设直线l 过点(1,0)M 且与椭圆C 相交于,A B 两点.过点A 作直线3x =的垂线，垂足为D .证明直线BD 过x 轴上的定点.【答案】〔1〕2213x y +=；〔2〕见解析. 【解析】 【分析】〔1〕由离心率列方程可求得椭圆方程；〔2〕当直线AB 的斜率不存在时，直线BD 过点〔2，0〕．当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 为y=k 〔x-1〕，联立方程组，消去y 整理得：〔1+3k 2〕x 2-6k 2x+3k 2-3=0．利用韦达定理、直线方程，结合条件求出直线BD 过x 轴上的定点．【详解】〔1〕解：由题意可得22213b ca abc =⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩,解得1a b ==，所以椭圆C 的方程为2213x y += ．〔2〕直线BD 恒过x 轴上的定点N 〔2，0〕．证明如下 〔a 〕当直线l 斜率不存在时，直线l 的方程为x =1，不妨设A 〔1，3〕，B 〔1，3-〕，D 〔3，3〕．此时，直线BD 的方程为：y=3〔x -2〕，所以直线BD 过点〔2，0〕．〔b 〕当直线l 的斜率存在时，设A 〔x 1，y 1〕，B 〔x 2，y 2〕，直线AB 为y =k 〔x -1〕，D 〔3，y 1〕．由()12233y k x x y =-⎧⎪+=⎨⎪⎩得：〔1+3k 2〕x 2-6k 2x +3k 2-3=0．所以x 1+x 2=22631k k +，x 1x 2=223331k k -+．……〔*〕 直线BD ：y -y 1=2123y y x --〔x -3〕，只需证明直线BD 过点〔2，0〕即可.令y =0，得x -3=()12213y x y y ---，所以x =2112121333y y y x y y y --+-=212213y y x y y --=2122143x x x x x ---即证21221432x x x x x --=-，即证()211223x x x x +-=.将〔*〕代入可得()222211222212339323313131k k k x x x x k k k -++-=-==+++. 所以直线BD 过点〔2，0〕综上所述，直线BD 恒过x 轴上的定点〔2，0〕．【点睛】此题考查椭圆方程求法，考查了直线恒过定点，考查推理论证能力、运算求解能力，考查由特殊到一般的思想，是难题．20.对于由有限个自然数组成的集合A ，定义集合S 〔A 〕={a+b|a∈A，b∈A}，记集合S 〔A 〕的元素个数为d 〔S 〔A 〕〕．定义变换T ，变换T 将集合A 变换为集合T 〔A 〕=A∪S〔A 〕． 〔1〕假设A={0，1，2}，求S 〔A 〕，T 〔A 〕；〔2〕假设集合A 有n 个元素，证明：“d〔S 〔A 〕〕=2n-1”的充要条件是“集合A 中的所有元素能组成公差不为0的等差数列〞；〔3〕假设A ⊆{1，2，3，4，5，6，7，8}且{1，2，3，…，25，26}⊆T 〔T 〔A 〕〕，求元素个数最少的集合A ．【答案】〔1〕{}()()0,1,2,3,4S A T A ==；〔2〕见解析；〔3〕{}1,5,8 【解析】 【分析】〔1〕根据定义直接进行计算即可〔2〕根据充分条件和必要条件的定义结合等差数列的性质进行证明 〔3〕首先证明：1∈A，然后根据条件分别判断A 中元素情况即可得到结论． 【详解】〔1〕假设集合A ={0，1，2}，那么S 〔A 〕=T 〔A 〕={0，1，2，3，4}． 〔2〕令{}12,,n A x x x =．不妨设12n x x x <<<．充分性：设{}k x 是公差为()d d ≠0的等差数列． 那么111(1)(1)2(2),(1,)i j x x x i d x j d x i j d i j n +=+-++-=++-≤≤且22i j n +．所以i j x x +共有2n -1个不同的值．即d 〔S 〔A 〕〕=2n -1．必要性：假设d 〔S 〔A 〕〕=2n -1． 因为1122,(1,2,,1)ii i i x x x x j n ++<+<=-．所以S 〔A 〕中有2n -1个不同的元素：12122312,2,,2,,,,n n n x x x x x x x x x -⋯++⋯+任意i j x x +〔1≤i ，j ≤n 〕 的值都与上述某一项相等．又1212ii i i i i x x x x x x ++++++<+<，且11122,(1,2,,2)i i i i i x x x x x j n ++++++<<=-．所以212ii i x x x +++=，所以{}k x 是等差数列，且公差不为0．〔3〕首先证明：1∈A ．假设1∉A ，A 中的元素均大于1，从而1∉S 〔A 〕，因此1∉T 〔A 〕，1∉S 〔T 〔A 〕〕，故1∉T 〔T 〔A 〕〕，与{1，2，3，…，25，26}⊆T 〔T 〔A 〕〕矛盾，因此1∈A ．设A 的元素个数为n ，S 〔A 〕的元素个数至多为C 2n +n ，从而T 〔A 〕的元素个数至多为C 2n +n +n =()32n n +．假设n =2，那么T 〔A 〕元素个数至多为5，从而T 〔T 〔A 〕〕的元素个数至多为582⨯=20， 而T 〔T 〔A 〕〕中元素至少为26，因此n ≥3． 假设A 有三个元素，设{}231,,A a a =，且2318a a <<，那么1，2，3223,1,,1a a a a ++，32232,,2()a a a a T A +∈，从而1，2，3，4∈T 〔T 〔A 〕〕．假设25a >，T 〔T 〔A 〕〕中比4大的最小数为2a ，那么5∉T 〔T 〔A 〕〕，与题意矛盾，故2a ≤5．集合T 〔T 〔A 〕〕．中最大数为34a ，由于26∈T 〔T 〔A 〕〕，故34a ≥26，从而3a ≥7，〔i 〕假设A ={1，a 2，7}，且2a ≤5．此时1，2，2a ，2a +1，7，8，22a ，7+2a ，14∈T 〔A 〕，那么有8+14=22，2×14=28∈T 〔T 〔A 〕〕，在22与28之间可能的数为14+22a ，21+2a ． 此时23，24，25，26不能全在T 〔T 〔A 〕〕．中，不满足题意．〔ii 〕假设A ={1，2a ，8}，且2a ≤5．此时1，2，2a ，2a +1，8，9，22a ，8+2a ，16∈T 〔A 〕，那么有16+9=25∈T 〔T 〔A 〕〕，假设26∈T 〔T 〔A 〕〕，那么16+22a =26或16+〔8+2a 〕=26， 解得2a =5或2a =2．当A ={1，2，8}时，15，21，23∉T 〔T 〔A 〕〕．不满足题意． 当A ={1，2，8}时，T 〔T 〔A 〕〕={1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16，17，18，19，20，21，22，23，24，25，26，29，32}，满足题意． 故元素个数最少的集合A 为{1，5，8}【点睛】此题主要考查集合元素性质以及充分条件和必要条件的应用，综合性强，难度比较大．不太好理解．。

第Ⅰ卷(选择题共50分)一、选择题:本大题共10小题.每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.复数iaiz -=3(i 为虚数单位且0a <)在复平面内对应的点位于() A.第一象限B.第二象限C.第三象限 D.第四象限2.已知集合{}1M x x a =<<,{}13N x x =<<,则“3a =”是“M N ⊆”的() A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.若0cos 2cos tt xdx =-⎰,其中(0,)t π∈,则t =()A.6π B.2π C.56πD.π4.函数xx y 2⋅=的部分图象如下,其中正确的是()5.已知32n a n =+,n ∈N ※,如果执行右边的程序框图,那么输出的s 等于()A.18.5B.37C.185D.3706.已知函数2()ln(1)f x x =+的值域为}{0,1,2,则满足这样条件的函数的个数有()个.A.8B.9C.26D.27【解析】7.设F 1、F 2分别为双曲线C:)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点,A 为双曲线的左顶点,以F 1F 2为直径的圆交双曲线的某条渐近线于M 、N 两点,且满足∠MAN=120o,则该双曲线的离心率为()A.337 B.37C.321D.3198.设已知,,a b m 均为整数(0m >),若a 和b 被m 除所得的余数相同,则称a 和b 对模m 同余,记为(mod )a b m ≡,若4040402240140040222⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅+=C C C C a ,且(mod10)a b ≡,则b 的值可以是() A.2011 B.2012 C.2013 D.20149.如图,己知3||,5||==,∠AOB 为锐角,OM 平分∠AOB,点N 为线段AB 的中点,OP xOA yOB =+u u u r u u u r u u u r,若点P在阴影部分(含边界)内,则在下列给出的关于x、y的式子中,①x≥0,y≥0;②x－y≥0;③x－y≤0;④5x－3y≥0;⑤3x－5y≥0.满足题设条件的为()A.①②④B.①③④C.①③⑤D.②⑤10.在密码理论中,“一次一密”的密码体系是理论上安全性最高的.某部队执行特殊任务使用四个不同的口令,,,a b c d,每次只能使用其中的一种,且每次都是从上次未使用的三个口令中等可能地随机选用一种.设第１次使用a口令,那么第5次也使用a口令的概率是()A.727B.61243C.1108D.1243第Ⅱ卷(非选择题共100分)二、填空题:本大题共5小题,每小题4分,共20分.把答案填在答题卡的相应位置.11.在集合⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧≥-≥+≤-+0,0,032|),(y x y x y x y x 所表示的平面区域内任取一点M,则点M 恰好取自x 轴上方的概率为___ _____.考点：1.集合的含义.2.线性规划.3.三角形面积的计算.12.在△ABC 中,AB ＝2,D 为BC 的中点,若AD BC ⋅u u u r u u u r =32-,则AC ＝_____ __．13.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体内切球的体积为 .14.若函数ln ()ln(1)2kxf x x =-+不存在零点,则实数k 的取值范围是 ．15.已知()f x 为定义在(0,+∞)上的可导函数,且()'()f x xf x >恒成立,则不等式0)()1(2>-x f xf x 的解集为______ _____．三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤.16.(本小题满分13分)每年的三月十二日,是中国的植树节,林管部门在植树前,为保证树苗的质量,都会在植树前对树苗进行检测.现从甲、乙两种树苗中各抽测了10株树苗的高度,规定高于128厘米的树苗为“良种树苗”,测得高度如下(单位:厘米):甲:137,121,131,120,129,119,132,123,125,133;乙:110,130,147,127,146,114,126,110,144,146.(Ⅰ)根据抽测结果,画出甲、乙两种树苗高度的茎叶图,并根据你填写的茎叶图,对甲、乙两种树苗的高度作比较,写出对两种树苗高度的统计结论;(Ⅱ)设抽测的10株甲种树苗高度平均值为x,将这10株树苗的高度依次输入按程序框图进行运算(如图),问输出的S大小为多少？并说明S的统计学意义;(Ⅲ)若小王在甲种树苗中随机领取了5株进行种植,用样本的频率分布估计总体分布,求小王领取到的“良种树苗”的株数X的分布列.②甲种树苗比乙种树苗长得更整齐;17.(本小题满分13分)在ABC ∆中,,,A B C 的对边分别是,,a b c ,已知1a =,平面向量(sin(),cos )m C C π=-u r ,(sin(),sin )2n B B π=+r ,且sin 2m n A ⋅=u r r .(Ⅰ)求△ABC 外接圆的面积;(Ⅱ)已知O 为△ABC 的外心,由O 向边BC 、CA 、AB 引垂线,垂足分别为D 、E 、F,求COF B OE A OD cos ||cos ||cos ||++的值.18.(本小题满分13分)如图长方体1111ABCD A B C D -中,底面ABCD 是边长为1的正方形,E 为1BB 延长线上的一点且满足111BB B E ⋅=u u u r u u u r.(Ⅰ)求证:1D E ⊥平面1AD C ; (Ⅱ)当11B E BB 为何值时,二面角1E ACD --的大小为4π.19.(本小题满分13分)已知椭圆C:22221x y a b +=(0a b >>)的离心率为21,点(1,32)在椭圆C 上.(Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅱ)若椭圆C 的两条切线交于点M(4,t ),其中t R ∈,切点分别是A 、B,试利用结论:在椭圆22221x y a b+=上的点(00,x y )处的椭圆切线方程是00221x x y ya b+=,证明直线AB 恒过椭圆的右焦点2F ;(Ⅲ)试探究2211||||AF BF的值是否恒为常数,若是,求出此常数;若不是,请说明理由.20.(本题满分14分)已知函数ln ()xx kf x e +=(其中k R ∈),)('x f 为f (x )的导函数. (Ⅰ)求证:曲线y=()f x 在点(1,(1)f )处的切线不过点(2,0);(Ⅱ)若在区间]1,0(中存在0x ,使得'0()0f x =,求k 的取值范围;(Ⅲ)若0)1('=f ,试证明:对任意0x >,2'21()e f x x x-+<+恒成立.然后研究函数1ln y x x x =--，通过求导求出函数的最大值.研究函数(1)xy e x =-+，通过求导得出函数考点：1.导函数的几何意义.2.函数的极值.3.导数应用.4.通过不等式的传递性证明不等式.21.(本题满分14分)(1)二阶矩阵A ,B 对应的变换对圆的区域作用结果如图所示.(Ⅰ)请写出一个满足条件的矩阵A ,B ;(Ⅱ)利用(Ⅰ)的结果,计算C=BA ,并求出曲线10x y --=在矩阵C 对应的变换作用下的曲线方程.设曲线10x y --=上任意一点为(,)m n ,变换后的点坐标为(,)x y10210x m y n ⎛⎫-⎛⎫⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭Q ,12x n y m⎧=-⎪∴⎨⎪=⎩，10m n --=Q 210x y ∴+-=故所求的曲线方程为210x y +-=…………7分考点：1.图形表示矩阵的变换.2.矩阵的运算.(2)已知曲线1C 的极坐标方程是4cos ρθ=,以极点为原点,极轴为x 轴正方向建立平面直角坐标系,直线l 的参数方程是2cos 1sin x t y t θθ=+⎧⎨=+⎩(t 为参数).(Ⅰ)求曲线1C 的直角坐标方程;(Ⅱ)设直线l 与曲线1C 交于A 、B 两点,点M 的直角坐标为(2,1),若3AB MB =u u u r u u u r,求直线l 的普通方程.6sin 4θ=,10cos 4θ=±(3)已知函数()|1|f x x =-.(Ⅰ)解不等式:()(1)2f x f x +-≤；(Ⅱ)当0a >时,不等式23()()a f ax af x -≥-恒成立,求实数a 的取值范围.所以23|1|a a -≥-2a ∴≥……………7分考点：1.绝对值不等式.2.恒成立问题.3.分类的数学思想.。

高三数学综合练习本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

第Ⅰ卷1至2页。

第Ⅱ卷3至8页。

共150分。

考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题共50分）注意事项：1． 答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。

2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上。

3．考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回。

参考公式：三角函数的和差化积公式2cos 2sin2sin sin βαβαβα-+=+2sin2cos2sin sin βαβαβα-+=-2cos2cos2cos cos βαβαβα-+=+2sin 2sin2cos cos βαβαβα-+-=-正棱台、圆台的侧面积公式l c c S )'(21+=台侧 其中c ′、c 分别表示上、下底面周长，l 表示斜高或母线长台体的体积公式h S S S S V )''(31++=台体其中S ′、S 分别表示上、下底面面积，h 表示高一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）集合M={（x ，y ）|x+yi|=1，x ∈R ，y ∈R}，集合N={（x ，y ）|x+y=1}，则M ∩N 的真子集的个数为（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4（2）|x|≤2的必要但不充分条件是 （A ）|x+1|≤3 （B ）|x+1|≤2 （C ）|x+1|≤1 （D ）|x-1|≤1（3）函数y=f （x ）的图象和)4sin(π+=x y 图象关于直线4π=x 对称，则f （x ）解析式为（A ）)4cos()(π+-=x x f （B ）)4cos()(π-=x x f （C ）)4cos()(π+=x x f （D ）)4cos()(π--=x x f（4）已知函数y=f （x ）的反函数112)(+-=x x f，则f （1）等于（A ）0 （B ）1 （C ）-1 （D ）4（5）若定义在区间（-1，0）内的函数)1(log )(2+=x x f a 满足f （x ）>0 ，则a 的取值范围是（A ）)21,0( （B ）]21,0( （C ）),21(+∞ （D ）（0，+∞）（6）若方程022=++k y kx 表示双曲线，则双曲线的准线方程为 （A ）k k k y --±=11 （B ）kkk y --±=11（C ）k k y -±=1 （D ）kkx -±=1（7）“五一”节期间，某商场为吸引顾客，实行“买100送20的连环送”活动，即顾客购物每满100元（不满100元部分忽略不计），就可以获赠商场购物券20元，并且购物可以用现金，也可以用购物券，如果你有680元现金，在活动期间到该商场购物，最多可以获赠购物券累计（A ）120元 （B ）136元 （C ）140元 （D ）160元（8）已知α、β、γ、δ为平面，a 、b 为直线，P 为点，则下列命题中正确的是 （A ）若a 、b 是异面直线，且a P ∉、b P ∉，则过P 有且只有一个平面与a 、b 都平行（B ）若a 、b 是异面直线，则存在α、β使α⊂a ，β⊂b ，且α⊥β （C ）若α∩β=a ，b//a ，则b//α且b //β （D ）若α∩β=a ，γ∩δ=b ，且α⊥γβ⊥δ则a//b（9）已知|a|>|b|，且nnn n n n n n a b a a b a +<++∞→-∞→11lim lim ，那么a 的取值范围是（A ）a<-1 （B ）-1<a<0 （C ）a>1 （D ）a>1或-1<a<0（10）设f （x ）=xsinx ，若1x 、]2,2[2ππ-∈x ，且)()(21x f x f >，则下列不等式恒成立的是（A ）21x x > （B ）21x x <（C ）021>+x x （D ）2221x x >第Ⅱ卷（非选择题共100分）注意事项：1．第Ⅱ卷共6页，用钢笔或圆珠笔直接答在试卷中。

一、选择题（每题5分，共50分）1. 已知函数f(x) = x^2 - 2x + 1，则f(3)的值为：A. 2B. 4C. 6D. 82. 下列各式中，能表示平面α上的点M(x, y, z)到原点O的距离的是：A. x^2 + y^2 + z^2B. x^2 - y^2 - z^2C. x^2 + y^2 - z^2D. x^2 - y^2 + z^23. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1 + a2 + a3 = 12，a1 + a2 + a3 + a4 = 20，则数列{an}的公差d为：A. 2B. 3C. 4D. 54. 下列命题中，正确的是：A. 对于任意实数x，都有x^2 ≥ 0B. 函数y = |x|在R上单调递增C. 平面α与平面β相交，则直线l在平面α和平面β上D. 任意两个不共线的向量都存在唯一的实数λ使得λa + b = 05. 已知函数f(x) = x^3 - 3x + 2，则f(x)的对称中心为：A. (0, 2)B. (1, 0)C. (0, 0)D. (1, 2)6. 下列各式中，能表示平面α与平面β的夹角θ的余弦值的是：A. cosθ = |cosα - cosβ| / √(1 + cos^2α + cos^2β)B. cosθ = (cosα + cosβ) / √(1 + cos^2α + cos^2β)C. cosθ = (cosα - cosβ) / √(1 + cos^2α + cos^2β)D. cosθ = (cosα + cosβ) / √(1 - cos^2α - cos^2β)7. 已知等比数列{bn}的公比为q，且b1 + b2 + b3 = 27，b1 + b2 + b3 + b4 = 81，则q的值为：A. 2B. 3C. 4D. 58. 下列函数中，为奇函数的是：A. y = x^2B. y = x^3C. y = x^4D. y = x^59. 已知函数f(x) = (x - 1)(x - 2)(x - 3)，则f(x)的零点个数为：A. 2B. 3C. 4D. 510. 下列各式中，能表示空间直线l与平面α所成角θ的正弦值的是：A. sinθ = |cosα - c osβ| / √(1 + cos^2α + cos^2β)B. sinθ = (cosα + cosβ) / √(1 + cos^2α + cos^2β)C. sinθ = (cosα - cosβ) / √(1 + cos^2α + cos^2β)D. sinθ = (cosα + cosβ) / √(1 - cos^2α - cos^2β)二、填空题（每题5分，共50分）1. 函数f(x) = (x - 1)^2 - 4在x=2时的值为______。

2021年高三数学午间小练29 苏教版
1.已知复数z=﹣1+i（为虚数单位），计算：=
2.根据如图所示的算法，可知输出的结果为．
3．已知双曲线的一条渐近线的斜率为，
且右焦点与抛物线的焦点重合，则该双曲线的方程为．
4．设等比数列的各项均为正数，其前项和为．若，，，则_____．
5．已知，且，则的值为________．
6．已知函数若，使得成立，
则实数的取值范围是．
7．四棱锥的五个顶点都在一个球面上，且底面ABCD是边长为1的正方形，，，则该球的体积为．
8．在中，已知，，，为线段
上的点，且，则的最大值为．
9.设各项均为正实数的数列的前项和为，且满足（）．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设数列的通项公式为（），若，，（）成等差数列，求和的值；r31231 79FF 秿27744 6C60 池33910 8476 葶cS&32656 7F90 羐20962 51E2 凢6•I26320 66D0 曐25342 62FE 拾36143 8D2F 贯。

2021-2022年高三第二次（5月）统一练习数学理试题含答案数学试卷（理科）考生须知：1．本试卷共6页，分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分。

2．答题前考生务必将答题卡上的学校、班级、姓名、考试编号用黑色字迹的签字笔填写。

3．答题卡上第I卷(选择题)必须用2B铅笔作答，第II卷(非选择题)必须用黑色字迹的签字笔作答，作图时可以使用2B铅笔。

请按照题号顺序在各题目的答题区内作答，未在对应的答题区域内作答或超出答题区域作答的均不得分。

4．修改时，选择题部分用塑料橡皮擦涂干净，不得使用涂改液。

保持答题卡整洁，不要折叠、折皱、破损。

不得在答题卡上做任何标记。

5．考试结束后，考生务必将答题卡交监考老师收回，试卷自己妥善保存。

第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．)（1）复数A．B．C．D．（2）已知双曲线的一个焦点为，实轴长为6，则双曲线的渐近线方程为A． B. C. D.C(3) 若满足2,10,20,x x y x y ≤⎧⎪-+≥⎨⎪+-≥⎩则的最小值为A ． B. C. D.（4）设是两个不同的平面，是直线且“”是“”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 （5）如图，过点和圆心的直线交于两点()，与切于点，于，则的长度为A. 1B.C. 2D.（6）执行如图所示的程序框图， 如果输出的值为3，则判断框 内应填入的判断条件为A. B. C ． D ．（7）已知函数f (x ) 是定义在上的奇函数， 当时，f (x ) 的图象如图所示，那么满足不等式 的的取值范围是俯视图侧（左）视图111正（主）视图11DCAe 2e 1BAOA. B. C. D.（8）将一圆的八个等分点分成相间的两组，连接每组的四个点得到两个正方形.去掉两个正方形内部的八条线段后可以形成一正八角星，如图所示.设正八角星的中心为，并且 若将点到正八角星16个顶点的向量，都写成为的形式，则的最大值为A ． B. 2 C. D.第Ⅱ卷（非选择题 共110分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）（9）已知是等比数列()的前项和，若，公比 ，则数列的通项公式 . （10）在极坐标系中，为极点，点为直线上一点，则 的最小值为________.(11) 如图，点是的边上一点，7,2,1,45.AB AD BD ACB ︒===∠=那么___________;____________.(12) 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱 锥中最长棱的棱长为_________.（13）xx 3月12日，第四届北京农业嘉年华在昌平拉开帷幕.活动设置了“三馆两园一带一谷”七大板块.“三馆”即精品农业馆、创意农业馆、智慧农业馆；“两园”即主题狂欢乐园、农事体验乐园；“一带”即草莓休闲体验带；“一谷”即延寿生态观光谷.某校学生准备去参观，由于时间有限，他们准备选择其中的“一馆一园一带一谷”进行参观，那么他们参观的不同路线最多有______种. （用数字作答）（14）已知数列中，*11,1,().3,(1),2n n n n n a a a n a a +->⎧⎪=∈⎨-+≤⎪⎩N ①若则_________；②记则____________.三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．) （15）（本小题满分13分）已知函数()sin()(0,0,||)2f x A x A ωϕωϕπ=+>><的部分图象如图所示. （Ⅰ）写出函数的解析式及的值； （Ⅱ）求函数在区间上的最大值与最小值.（16）（本小题满分13分）为了解高一新生数学基础，甲、乙两校对高一新生进行了数学测试. 现从两校各随机抽取10名新生的成绩作为样本，他们的测试成绩的茎叶图如下：（I ） 比较甲、乙两校新生的数学测试样本成绩的平均值及方差的大小；（只需要写出结论）（II ） 如果将数学基础采用A 、B 、C 等级制，各等级对应的测试成绩标准如下表：（满分100分，所有学生成绩均在60分以上）测试成绩 基础等级ABC甲校 乙校5 1 9 1 1 24 3 3 8 4 77 4 3 2 7 7 88 6 5 7 8C 1B 1A 1F EDCBA事件发生的概率.从甲、乙两校新生中各随机抽取一名新生，求甲校新生的数学基础等级高于乙校新生的数学基础等级的概率.（17）（本小题满分14分） 如图，三棱柱中，垂直 于正方形所在平面，，为中点，为线段上的一点（端点除外）， 平面与交于点.（I ）若不是的中点，求证：;（II ）若是的中点，求与平面所成角的正弦值; （III ）在线段上是否存在点，使得若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.（18）（本小题满分13分）已知函数，2()(,,)g x x bx c a b c =-++∈R ，且曲线与曲线在它们的交点处具有公共切线. 设. （I ）求的值，及的关系式； （II ）求函数的单调区间；（III ）设，若对于任意，都有，求的取值范围．（19）（本小题满分13分）已知椭圆：的焦距为，点在椭圆上，过原点作直线交椭圆于、两点，且点不是椭圆的顶点，过点作轴的垂线，垂足为，点是线段的中点，直线交椭圆于点，连接．（Ⅰ）求椭圆的方程及离心率； （Ⅱ）求证：.（20）（本小题满分14分）定义表示中的最大值. 已知数列，，，其中，， .记. （I ）求；（II ）当时，求的最小值； （III ），求的最小值.昌平区 xx 高三年级第二次统一练习数学试卷参考答案及评分标准 （理科） xx.5一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） （9） （10） （11） ; （12） （13）144 （14）三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)（15）（本小题满分13分）解：（I ）023()2sin(2),.324f x x x ππ=+=…………………7分 （II ）由ππππ5π[, ],2[, ]44366x x ∈-+∈-， ……………………9分当时，即，当时，即， ……………………13分（16）（本小题满分13分）解： （I ）两校新生的数学测试样本成绩的平均值相同；甲校新生的数学测试样本成绩的方差小于乙校新生的数学测试样本成绩的方差. ……………………6分（II ）设事件=“从甲、乙两校新生中各随机抽取一名新生，甲校新生的数学基础等级高于乙校新生的数学基础等级”.设事件=“从甲校新生中随机抽取一名新生，其数学基础等级为A ”， 设事件=“从甲校新生中随机抽取一名新生，其数学基础等级为B ”， 设事件=“从乙校新生中随机抽取一名新生，其数学基础等级为B ”， 设事件=“从乙校新生中随机抽取一名新生，其数学基础等级为C ”， 根据题意，所以111222111222()()()()()()()()()()P D P E F P E F P E F P E P F P E P F P E P F =++=++131373335105101010100=⨯+⨯+⨯=. 因此，从甲、乙两校新生中各随机抽取一名新生，甲校新生的数学基础等级高于乙校新生的数学基础等级的概率为 ……………………13分（17）（本小题满分14分）（I ）证明：连接，交于点，连接.在三棱柱中， 为中点, 且为中点，所以.因为,所以. ………………2分 由已知，平面与交于点， 所以从而， 又，所以11BC DAB EF EF =平面平面,所以. ……………………4分(II) 建立空间直角坐标系 如图所示.11(2,2,0),(2,0,0),(0,2,0),(0,0,0),1(0,2,1),(0,0,1),(0,1,),(1,2,0).2A A C CB B E D 1 111(2,1,),(0,2,1),(1,2,0)2AE C B C D =--==.设平面的法向量为 由得,令,得. ……………………6分421cos ,63||||AE n AE n AE n <>== ……………………8分所以，与平面所成角的正弦值为. ……………………9分 (III) 在线段上存在点，使得且.理由如下：假设在线段上存在点，使得设,.则,1111(0,2,1)(0,,)y z y z λ--=--.112,11,1y z λλ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩. ………………11分 ，. ,解得: . ………………13分 所以，在线段上存在点，使得且.………………14分 （18）(本小题满分13分） 解：（I ）因为函数，，所以函数，.又因为曲线与曲线在它们的交点处具有公共切线，所以，即 ………………4分 （II ）由已知，2()()()e 1axh x f x g x x ax =-=+--. 所以.设()'()e 2axF x h x a x a ==+-，所以， R ，，所以在上为单调递增函数. ……………6分 由（I ）得，所以，即0是的零点.所以，函数的导函数有且只有一个零点0．…………………………7分 所以及符号变化如下，（III ）由（II ）知当 时，是增函数. 对于任意，都有等价于max min ()()(1)(0)e e 1a h x h x h h a -=-=-≤-，等价于当时，，因为，所以在上是增函数，又，所以. ……………13分（19）（本小题满分13分） 解：（I ）由题意知，则，所以椭圆的方程为，椭圆的离心率为. ……………5分 （II ）设，则由点在椭圆上，所以① ② 点不是椭圆的顶点，②-①得 .法一：又01001000332,,24PB BCy y y yk k x x x x +===+且点三点共线， 所以, 即 所以，2201010101022010*******()4()43()1,3()3()34AB PAy y y y y y y y y k k x x x x x x x x x -+--====⨯-=--+-- 即 . ……………13分法二：由已知与的斜率都存在，2210101022101010PA PB y y y y y y k k x x x x x x -+-==-+-221022103()344x x x x --==--又得则，即 . ……………13分（20）（本小题满分14分）解：（I ）由题意，{}10002000max max n n a ,b ,n kn ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭， 因为1000200010002--=(k )n kn kn， 所以，当时，，则，当时，，则， 当时，，则. ……………4分（II ）当时，{}{}10001500max max max 2003n n n n n n d a ,b ,c a ,c ,n n ⎧⎫===⎨⎬-⎩⎭， 因为数列为单调递减数列，数列为单调递增数列， 所以当时，取得最小值，此时. 又因为，而{}44444444250max 11d a ,c a ===，，有. 所以的最小值为. ……………8分（III ）由(II)可知，当时，的最小值为. 当时，{}{}2000750max max max 100n n n n n n d a ,b ,c b ,c ,n n ⎧⎫===⎨⎬-⎩⎭.因为数列为单调递减数列，数列为单调递增数列， 所以当时，取得最小值，此时. 又因为， 而，.此时的最小值为. ⑵当时，150********200(1)200450≥=-+--k n n n，，所以{}{}1000375max max max 50n n n n n n d a ,b ,c a ,c ,n n ⎧⎫==≥⎨⎬-⎩⎭.设，因为数列为单调递减数列，数列为单调递增数列， 所以当时，取得最小值，此时. 又因为， 而，.此时的最小值为. 综上，的最小值为. ……………14分39454 9A1E 騞25251 62A3 抣28376 6ED8 滘356058B15 謕v` 39901 9BDD 鯝| XZ3 36775 8FA7 辧。

2021年高三5月综合练习（二）数学理试卷 Word版含答案选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.已知集合2=∈-<<=∈-<，那么=A x xB x x x{R|21},{R|20}（A）（B）（C）（D）2.极坐标方程ρ=2cosθ表示的圆的半径是（A）（B）（C）2 （D）13. “”是“”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件4.已知向量，，，则等于_________ .（A）（B）（C）1（D）-15.如图，设不等式组表示的平面区域为长方形ABCD，长方形ABCD内的曲线为抛物线的一部分，若在长方形ABCD内随机取一个点，则此点取自阴影部分的概率等于（A）（B）Array（C）（D）6.要得到的图象，只需将函数的图象（A）向上平移1个单位（B）向下平移1个单位（C）向左平移1个单位（D）向右平移1个单位7.已知等比数列的前项和为，则下列结论中一定成立的（A）若，则（B）若，则（C）若，则（D）若，则8. 如图,已知一个八面体的各条棱长均为1,四边形ABCD为正方形，给出下列命题：①不平行的两条棱所在的直线所成的角是60o或90o；②四边形AECF是正方形；③点A到平面BCE的距离为1.其中正确的命题有（A）0个（B）1个（C）2个（D）3个第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9.在复平面内，点A对应的复数是2+i.若点A关于实轴的对称点为点B，则点B对应的复数为___________.结果A等于______11.已知点在抛物线上,抛物线的焦点为F，那么|PF|=____________.12.已知等差数列的公差不为零，且，则 ______.13. 安排6志愿者去做3项不同的工作，每项工作需要2人，由于工作需要，A，B二人必须做同一项工作，C，D二人不能做同一项工作，那么不同的安排方案有_________种.14.已知是函数两个相邻的两个极值点，且在处的导数，则________；三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15.（本小题共13分）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若，,求的值.16.（本小题共13分）某地区人民法院每年要审理大量案件，去年审理的四类案件情况如下表所示：（Ⅰ）在编号为1、2、3的收案案件中随机取1件，求该件是结案案件的概率； （Ⅱ）在编号为2的结案案件中随机取1件，求该件是判决案件的概率；（Ⅲ）在编号为1、2、3的三类案件中，判决案件数的平均数为,方差为，如果表中，表中全部（4类）案件的判决案件数的方差为，试判断与的大小关系，并写出你的结论（结论不要求证明）. 17.（本小题共14分）如图1，已知四边形BCDE 为直角梯形，∠B =90O, BE ∥CD ,且BE =2 CD =2BC =2，A 为BE 的中点.将△EDA 沿AD 折到△PDA 位置(如图2)，连结PC ，PB 构成一个四棱锥P-ABCD .（Ⅰ）求证AD ⊥PB ； （Ⅱ）若P A ⊥平面ABCD . ①求二面角B-PC-D 的大小；②在棱PC 上存在点M ，满足，使得直线AM 与平面PBC 所成的角为45O，求的值.18.（本小题共13分） 设函数.（Ⅰ）当时，求函数在区间内的最大值；（Ⅱ）若函数在区间内有两个零点，求实数的取值范围. 19.（本小题共13分）已知椭圆C ：.（Ⅰ）求椭圆C 的离心率；（Ⅱ）若椭圆C 与直线交于M ，N 两点，且|MN|=，求m 的值；（Ⅲ）若点与点在椭圆C 上，且点A 在第一象限，点P 在第二象限，点与点关于原点对称，求证：当时，三角形△P AB 的面积为定值. 20.（本小题共13分）对于数对序列，，，，，记，10,1,2,3,,()max {()}(0,1)k k k k k k k x mf y b x f y a x y k n -==+-≥≤≤，其中图2图1为不超过的最大整数.(注：表示当取0,1,2,3，…,m时，中的最大数）已知数对序列，回答下列问题：（Ⅰ）写出的值；（Ⅱ）求的值，以及此时的的值；（Ⅲ）求得的值时，得到，试写出的取值范围.（只需写出结论,不用说明理由）.注：下面的内容不在试卷上，共讲评时参考（1）8题原来命制的如下：已知一个八面体（如图），它们的各条棱长均为a,ABCD为正方形。

高三数学综合测试题一、选择题1、设会合U =1,2,3,4， M = x U x25x+ p = 0 ，若 C U M = 2,3，则实数 p 的值为 (B)A ．4B．4C．6 D ．62．条件p : x1, y1, 条件 q : x y2, xy1，则条件p是条件q的A. 充足不用要条件B. 必需不充足条件C. 充要条件D.既不充足也不用要条件B.{ 1,0,1,2}C.{ 1,0,2,3}D.{ 0,1,2,3}3. 设函数f (x) 1 e x的图象与x轴订交于点P,则曲线在点P的切线方程为( C )（ A ）y x1（B ）y x 1（C）y x（D ）y x114．设 a= 2，b= 2， c=lg0.7 ，则 (C)A ． c＜ b＜ a B． b＜ a＜ cC．c＜ a＜ b D．a＜ b＜ c5．函数 f (x)=e x- x- 2 的零点所在的区间为( C)A．(-1，0)B． (0， 1)C．(1， 2)D．(2， 3)6 、设函数f (x)( 1 )x7, x0，则实数 a 的取值范围是2，若 f (a) 1x , x0（C）A 、(,3)B、(1,)C、(3,1) D 、(,3) U (1,)7 f ( x)log a x,f (| x |1)的图象大概是(D)．已知对数函数是增函数则函数8．函数 y＝log a(x＋ 1)＋ x2－ 2(0＜a＜ 1)的零点的个数为 ()A ． 0B． 1C．2D．没法确立新课标第一网分析：选 C.令 log a(x＋ 1)＋ x2－ 2＝ 0，方程解的个数即为所求函数零点的个数．即考察图象1a22的交点个数y ＝ log(x＋ 1)与 y＝－ x ＋ 29．若函数 f (x)= - x3+bx 在区间 (0，1)上单一递加，且方程 f (x)=0 的根都在区间 [ - 2，2]上，则实数 b 的取值范围为(D)A．[0，4]B．3，C．[2，4]D．[3， 4]10．已知定义在R 上的奇函数 f ( x) 是，0 上的增函数，且 f (1)= 2， f ( - 2)= - 4，设P={ x|f (x+t)- 4<0} ，Q={ x|f (x)<- 2} ．若“ x∈P”是“ x∈ Q”的充足不用要条件，则实数t 的取值范围是（B）A ． t≤ - 1B． t>3C． t≥ 3 D ． t>- 1二、填空题11．命题“若x21，则1x 1 ”的逆否命题为________________ 4n n 212．已知偶函数 f (x)= x2(n∈ Z) 在(0 ，+∞ )上是增函数，则 n=2．13、已知函数f ( x)x3mx2(m 6) x 1 既存在极大值又存在极小值，则实数 m 的取值范围是 __、m 6 或 m3_____________14．若不等式 1 一 log a( 10a x ) ＜0有解，则实数a 的范围是；15．已知函数 f ( x)定义域为 [-1, 5], 部分对应值如表x-1045f ( x)1221f ( x) 的导函数 f ( x) 的图象如下图,以下对于函数 f (x) 的命题①函数 f ( x) 的值域为[1,2];②函数 f ( x) 在[0,2]上是减函数;③假如当 x[1, t] 时,f (x) 的最大值是2,那么 t 的最大值为4;④当 1 a 2时 ,函数 y f (x) a 有4个零点.此中真命题是②(只须填上序号 ).yy f(x)-1012345x16题三、解答题16．已知命题：“x x |1x1，使等式 x2x m 0 建立”是真命题，（1）务实数 m 的取值会合 M ；（2）设不等式( x a)( x a2)0 的解集为N，若x∈N是x∈M的必需条件，求 a 的取 范 ．答案 :(1)Mm1m 2 4(2) a9a1或 4417．（本 分12 分）已知二次函数 y= f (x)的 象 点 (1， - 4)，且不等式 f (x)<0 的解集是(0， 5)．（Ⅰ）求函数f (x)的分析式；（Ⅱ）g(x)=x 3- (4k- 10)x+5 ，若函数h(x)=2 f (x)+ g(x)在 [ - 4，- 2]上 增，在 [- 2，0]上 减，求y=h(x)在[ - 3， 1]上的最大 和最小 ．17． 解：（Ⅰ）由已知y= f (x) 是二次函数，且 f (x)<0 的解集是 (0，5) ， 可得 f (x)=0 的两根 0， 5，于是 二次函数f (x)=ax(x- 5)，代入点 (1，- 4)，得 - 4=a ×1×(1- 5) ，解得 a=1，∴ f (x)=x(x- 5) ． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4 分（Ⅱ） h(x)=2f (x)+g(x)=2 x(x- 5)+ x 3- (4k- 10)x+5= x 3 +2x 2- 4kx+5，于是 h (x) 3x 2 4 x 4k ，∵ h(x)在 [ - 4， - 2] 上 增，在 [- 2， 0]上 减， ∴ x=- 2 是h(x)的极大 点，∴ h ( 2) 3( 2)24 ( 2) 4k 0 ，解得 k=1．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分∴ h(x)=x 3+2x 2- 4x+5 ， 而得 h ( x) 3x 2 4x4 ．令 h ( x) 3x 24x 4 3(x2)( x 2)0 ， 得 x 12，x 22 ．33由下表：x(-3，-2)- 2 (-2， 2)2 (2，1)333h (x)+ 0- 0+ h(x)↗极大↘极小↗可知： h(- 2)=( - 2)3+2×(- 2)2- 4×(- 2)+5=13 ， h(1)=1 3+2×12 - 4×1+5=4，3 22 23 2 2 2 95 ， h( - 3)=( - 3) +2×(- 3) - 4×(- 3)+5=8 ，h()=()+2×( ) - 4× +5=3 33327∴ h(x)的最大 13，最小95．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12 分2718、（本 分12 分）x 1 0,a 1)已知函数 f ( x) log a(ax1（1）求 f ( x ) 的定 域，判断 f ( x ) 的奇偶性并 明；（2） 于 x [2,4] ， f ( x ) log am恒建立，求 m 的取 范 。

一、选择题（每题5分，共50分）1. 下列各式中，正确的是（）A. $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$B. $\log_{10}100 = 1$C. $a^0 = 1$ （a≠0）D. $2^3 = 8$答案：A2. 函数$f(x) = x^2 - 4x + 4$的图像是（）A. 开口向上的抛物线，顶点在（2，0）B. 开口向下的抛物线，顶点在（2，0）C. 开口向上的抛物线，顶点在（0，4）D. 开口向下的抛物线，顶点在（0，4）答案：A3. 已知等差数列$\{a_n\}$的首项为$a_1$，公差为$d$，若$a_1 + a_2 + a_3 = 9$，$a_2 + a_3 + a_4 = 15$，则$a_1$的值为（）A. 1B. 3C. 5D. 7答案：B4. 在三角形ABC中，$a = 3$，$b = 4$，$c = 5$，则$\cos A$的值为（）A. $\frac{3}{5}$B. $\frac{4}{5}$C. $\frac{5}{4}$D. $\frac{4}{3}$答案：A5. 若复数$z = a + bi$（$a, b \in \mathbb{R}$）满足$|z - 1| = |z + 1|$，则$z$在复平面上的位置是（）A. 在实轴上B. 在虚轴上C. 在第一象限D. 在第二象限答案：A6. 下列函数中，在其定义域内连续的是（）A. $f(x) = |x|$，定义域为$\mathbb{R}$B. $f(x) = \frac{1}{x}$，定义域为$\mathbb{R} - \{0\}$C. $f(x) = \sqrt{x}$，定义域为$\mathbb{R}$D. $f(x) = \log_2x$，定义域为$\mathbb{R}^+$答案：A7. 已知函数$f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x - 1$，若$f'(x) = 0$，则$f(x)$的极值点是（）A. $x = 1$B. $x = 2$C. $x = 3$D. $x = -1$答案：B8. 下列各式中，正确的是（）A. $x^0 = 1$ （x≠0）B. $\log_{\frac{1}{2}}1 = 0$C. $\sin 90^\circ = 1$D. $\cos 90^\circ = 0$答案：C9. 已知等比数列$\{a_n\}$的首项为$a_1$，公比为$q$，若$a_1 + a_2 + a_3 = 9$，$a_2 + a_3 + a_4 = 27$，则$a_1$的值为（）A. 1B. 3C. 5D. 7答案：A10. 在直角坐标系中，点P（2，3）关于直线$x + y = 5$的对称点为（）A.（1，4）B.（3，2）C.（4，1）D.（5，0）答案：B二、填空题（每题5分，共50分）1. 函数$f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2}$的定义域为_________。