北京市东城区高三第二学期综合练习一数学理

东城区2021-2016 学年度第二学期高三综合练习（一）数学（理科）本试卷共5 页，共150 分．考试时长120 分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷 上作答无效．考试终止后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷（选择题共40 分）一、选择题（本大题共8 小题，每题5 分，共40 分．在每题列出的四个选项中，选出 符合题目要求的一项）1．已知复数(1)i ai +为纯虚数，那么实数a 的值为A ．－1B ．0C ．1D ．22．集合{}|A x x a =≤，{}2|50B x x x =-<，若AB B =，那么a 的取值范围是 A ．a ≥5 B ．a ≥4C ．a ＜ 5D ．a ＜43．某单位共有职工150 名，某中高级职称45 人，中级职称90 人，低级职称15 人，现采纳 分层抽样方式从中抽取容量为30 的样本，那么各职称人数别离为A ．9，18，3B ．10，15，5C ．10，17，3D ．9，16，54．执行如下图的程序框图，输出的S 值为A ．12B ．1C ．2D ．45．在极坐标系中，直线sin cos 1ρθρθ-=被曲线ρ=1截得的线段长为A ．12B ．22C ．1D ．26．一个几何体的三视图如下图，那么该几何体的最长棱长为A ．2B ．22C ．3D．10 7．已知三点P （5，2），F 1（－6，0），F 2 （6，0 ），那么以F 1，F 2 为核心且过点P 的椭圆的短轴长为A ．3B ．6C ．9D ．128．已知e 1，e 2为平面上的单位向量， e 1与e 2的起点均为坐标原点O ，e 1与e 2的夹角为3π， 平面区域D 由所有知足12OP e e λμ=+的点P 组成，其中100λμλμ+≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩，那么平面区域D 的面积为A ．12B ．3C ．32D ．34 第II 卷（非选择题共110 分）二、填空题（本大题共6 小题，每题5 分，共30 分）9．在51(2)4x x+的展开式中，x 3项的系数为 （用数字作答） 10．已知等比数列{}n a 中，2342,32a a a ==，那么a 8的值为 ．11．如图，圆O 的半径为1， A ， B ，C 是圆周上的三点，过点A 作圆O 的切线与OC 的 延长线交于点P ．假设CP ＝AC ，那么∠COA ＝ ； AP ＝ ．12．假设sin ()4πα-＝35，且(0,)4πα∈，那么sin 2α的值为 ． 13．某货运员拟输送甲、乙两种货物，每件货物的体积、重量、可获利润和运输限制如 下表：在最合理的安排下，取得的最大利润的值为 ．14．已知函数 f (x ) ＝｜ln x ｜，关于x 的不等式f (x ) －f (x 0 )≥c (x －x 0)的解集为(0，＋∞)，c 为 常数．当x 0＝1时，c 的取值范围是 ；当x 0＝12时， c 的值是 ． 三、解答题（本大题共6 小题，共80 分．解许诺写出文字说明，演算步骤或证明进程）15．（本小题共13 分）在△ABC 中，BC ＝22，AC ＝2，且cos( A＋B) ＝－22。

高三数学（理）（东城） 第 1 页（共 14 页）北京市东城区2018-2019学年度第二学期高三综合练习（一） 2019.4数学 （理科）本试卷共5页，共150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将答题卡交回。

第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知集合2{20},{210},A x x x B x x =+>=+>则AB =（A ）12x x ⎧⎫>-⎨⎬⎩⎭（B ）12x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭（C ）{0}x x > （D ）R（2）在复平面内，若复数(2i)z -对应的点在第二象限，则z 可以为 （A ）2 （B ）1- （C ）i （D ）2+i（3）在平面直角坐标系xOy 中，角α以Ox 为始边，终边经过点(1,)(0)P m m -≠，则下列各值一定为负的是(A)sin cos αα+ (B) sin cos αα- (C) sin cos αα (D)sin tan αα（4）正方体被一个平面截去一部分后，所得几何体的三视图如图所示，则该截面图形的形状为（A ）等腰三角形 （B ）直角三角形 （C ）平行四边形 （D ）梯形高三数学（理）（东城） 第 2 页（共 14 页）（5）若,x y 满足010,26,x y y y x +⎧⎪+⎨⎪-⎩≥，≤≥则x y -的最大值为（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）4（6）已知直线l 过抛物线28y x =的焦点F ，与抛物线交于A ，B 两点，交其准线于点C .若点F 是AC 的中点，则线段BC 的长为(A)83(B) 3 (C)163(D)6 （7）南北朝时期的数学家祖暅提出一个原理：“幂势既同，则积不容异”.其含义是：夹在两个平行平面间的两个几何体（如图），被平行于这两个平行平面的任何平面所截，如果截得两个截面的面积12,S S 总相等，那么这两个几何体的体积12,V V 相等.已知12:,p V V 相等，12:,q S S 总相等，则p ⌝是q ⌝的(A) 充分而不必要条件 (B) 必要而不充分条件 (C) 充分必要条件 (D) 既不充分也不必要条件（8）数列{}n a 中，已知1(0)a a a =>，11()2n n na a n a *+=+∈N ，则下列关于{}n a 的判断正确的是 （A ）存在n *∈N ，使得0n a <（B ）当1a =时，总有1()n n a a n *+>∈N（C ）存在a ，以及正整数m ，使得()n m n a a n *+=∈N 成立 （D ）对任意的a，n a >(1)n n *∈>N ，总成立高三数学（理）（东城） 第 3 页（共 14 页）第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

北京市东城区2017-2018学年度第二学期高三综合练习（一）数学（理科） 2018. 4本试卷共4页，共150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

(1)若集合{}31A x x =-,{}12B x x x =-或，则A B =(A) {}32x x - (B) {}31x x --(C) {}11x x - (D) {}11x x -(2）复数1i z i=-在复平面上对应的点位于 (A)第一象限 (B) 第二象限 (C) 第三象限 (D) 第四象限(3)已知,a b R ∈，且a b ，则下列不等式一定成立的是(A) 220a b - (B) cos cos 0a b -(C) 110a b - (D) 0a be e ---(4)在平面直角坐标系xOy中，角θ以Ox 为始边，终边与单位圆交于点（35，45），则tan()θπ+的值为(A)43(B)34(C)43-(D) 34-(5)设抛物线24y x=上一点P到y轴的距离是2，则P到该抛物线焦点的距离是(A)1 (B) 2 (C)3 (D)4(6)故宫博物院五一期间同时举办“戏曲文化展”、“明代御窖瓷器展”、“历代青绿山水画展”、“赵孟頫书画展”四个展览．某同学决定在五一当天的上、下午各参观其中的一个，且至少参观一个画展，则不同的参观方案共有(A)6种（B) 8种（C) 10种（D) 12种(7)设{}na是公差为d的等差数列，n S为其前n项和，则“d>0”是“{}nS为递增数列”的(A）充分而不必要条件（B)必要而不充分条件(C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件(8)某次数学测试共有4道题目，若某考生答对的题大于全部题的一半，则称他为“学习能手”，对于某个题目，如果答对该题的“学习能手”不到全部“学习能手”的一半，则称该题为“难题”．已知这次测试共有5个“学习能手”，则“难题”的个数最多为(A)4 (B) 3 (C)2 (D)1第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

北京市东城区高三综合练习（一）数学试题（理科）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分.共150.考试时间120分钟.考试结束，将本试卷和答题卡一并交回.第I 卷（选择题，共40分）注意事项：1．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上.2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应的题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.不能答在试卷上.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1．若将复数i i +2表示为abi b a bi a 则的形式是虚数单位,),,(R ∈+的值为 （ ）A ．－2B ．－21C ．2D ．212．命题甲“βαsin sin >”，命题乙“βα>”，那么甲是乙成立的（ ）A ．充分不必在条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．设A 、B 为x 轴上两点，点P 的横坐标为2，且|PA|=|PB|，若直线PA 的方程x -y+1=0，则直线PB 的方程为 （ ） A ．2x +y -7=0 B ．2x -y -1=0 C ．x -2y +4=0 D ．x +y -5=04．若非零向量a 、b 满足|a +b |=|b |，则下列不等式关系一定成立的是 （ ） A ．|2a |>|2a +b | B ．|2a |<|2a +b | C ．|2b |>|a +2b | D ．|2b |<|a +2b |5．已知函数kx x x f +=2)(的图像在点A （1，f （1））处的切线与直线3x-y+2=0平行，数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧)(1n f 的前n 项和为S n ，则S 2009的值为 （ ）A ．20082007B ．20092008C ．20102009D ．201120106．数列{a n }共有6项，其中三项是1，两项为2，一项是3，则满足上述条件的数列共有（ ） A ．24个 B ．60个 C ．72个 D ．120个 7．已知命题：“若x ⊥y ，y//z ，则x ⊥z ”成立，那么字母x 、y 、z 在空间所表示的几何图形不能 （ ） A ．都是直线 B ．都是平面 C ．x 、y 是直线，z 是平面 D ．x 、z 是平面，y 是直线 8．函数)(x f y =的图象是圆心在原点的单位圆的两段弧（如图），则不等式x x f x f 2)()(+-<的解集为（ ）A ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<<<-122022|x x x 或B ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<-<≤-122221|x x x 或C ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-<≤-220221|x x x 或D ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧≠<<-02222|x x x 且 第Ⅱ卷（共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中的横线上. 9．若11lim21-=++→x ax x ，则a = . 10．若二项式nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+22的展开式共7项，则展开式中的常数项为 .11．如图，已知ABCDEF 为正六边形，若以G 、F 为焦点的双曲线恰好经过A ，B ，D ，E 四点，则该双曲线的离心 率为 . 12．关于函数21)sin (cos sin )(+-=x x x x f 给出下列三个命题： （1）函数)(x f 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡85,2ππ上是减函数；（2）直线8π=x 是函数)(x f 的图象的一条对称轴；（3）函数)(x f 的图象可以由函数x y 2sin 22=的图象向左平移4π而得到.其中正确的命题序号是 .（将你认为正确命题序号都填上）13．已知正三棱锥P —ABC 的四个顶点都在同一球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，若正三棱锥高为1，则球的半径为 ，P 、A 两点的球面积距离为 . 14．已知)(x f 是奇数，且对定义域内任意自变量x 满足),()2(x f x f =-当(]1,0∈x 时，[)=-∈=)(,0,1ln )(x f x x x f 时，则当 ；当(]Z k k k x ∈+∈,14,4时，f （x ）= . 三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（本小题满分13分）已知递增的等比数列{a n }满足a 2+a 3+a 4=28，且a 3+2是a 2，a 4的等差中项. （I ）求数列{a n }的通项公式；（II ）若b n =log 2a n +1，S n 是数列}{n b 的前n 项和，求使n S n 442+>成立的n 最小值. 16．（本小题满分13分）在1413cos ,1411cos ,==∆B A ABC 中. （I ）求cosC 的值；（II ）若.||,19||AB CB CA 求=+.17．（本小题满分14分）如图，ABCD 是边长为2a 的正方形，ABEF是矩形，且二面角C —AB —F 是直二面角， AF=a ，G 是EF 的中点.（I ）求证：平面AGC ⊥平面BGC ；（II ）求CB 与平面AGC 所成角的大小； （III ）求二面角B —AC —G 的大小.18．（本小题满分13分）甲、乙两运动员进行射击训练，已知他们击中的环数都稳定在7，8，9，10环，且每次射击成绩互不影响，根据以往的统计数据，甲、乙射击环数的频率分布条形图如下：若将频率视为概率，回答下列问题：（I ）若甲运动员在3次射击中至少有1次击中9环以上（含9环）的概率；（II ）若甲、乙两运动员各自射击1次，ξ表示这2次射击中击中9环以上（含9环）的次数，求ξ的分布列及数学期望E ξ.19．（本小题满分14分） 如图，已知定圆,4)3(:22=-+y x C 定直线m ：x +3y +6=0，过A （-1，0）的一条动直线l 与直线m 相交于N ，与圆C 相交于P 、Q 两点，M 是PQ 中点. （I ）当e 与m 垂直时，求证：l 过圆心C ； （II ）当|PQ|=;,32的方程求直线时l （III ）设t ⋅=，试问t 是否为定 值，若为定值，请求出t 的值；若不为定值，请说明理由.20．（本小题满分13分）设x 1、x 2是函数)0,,(213)(23>∈+-+=a R b a x x b x a x f 的两个极值点，的导函数是)()('x f x f .（I ）如果x 1<2<x 2<4,求)2('-f 的取值范围； （II ）如果0<x 1<2,x 2-x 1=2,求证：41<b ； （III ）如果2≥a ，且)(2)(')(,),(221x x x f x g x x x -+-=∈函数时的最大值为h （a ），求h （a ）的最小值.参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1—4 ADDC 5—8 CBCA二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 9．—3 10．60 11．13+ 12．（1）（2） 13．1，2π14．Z k k x x ∈---),4ln(),ln(注：两个空的填空题第一个空填对得2分，第二个空填对得3分. 三、解答题（本大题共6小题，共80分） 15．（本小题满分13分）解：（I ）设等比例数列{a n }的公比为q ，依题意有2（a 3+2）=a 2+a 4，（1）分所以分故是递增的又分或解得分于是有所以代入得将又8.27.2,2,}{621,32,2,23,8,2020,8)1(,2811121311423432 n n n a q a a q a q a q a q a q a a a a a a a ===⎪⎩⎪⎨⎧==⎩⎨⎧==⎪⎩⎪⎨⎧==+=+==++（II ）12log 12+==+n b n n 232nn S n +=………………10分 故由题意可得分又或解得12,712,442232 *∈-<>+>+N n n n n nn 所以满足条件的n 的最小值为13. ………………………… 13分 16．（本小题满分13分）解：（I ）由π<<==B A B A ,0,1413cos ,1411cos 且， 所以.1433sin ,1435sin ==B A ………………4分 于是.21cos cos sin sin )cos(cos -=-=+-=B A B A B A C …………7分 （II ）由正弦定理可知.73,75,2314331435AB AC AB BC AB AC BC ====所以……10分 由.19219||22=⋅++=+得 ………………11分 即,19)21()75()73(2)73()75(22=-⋅⋅⋅++AB AB AB AB 解得.7||,7==AB AB 即 ………………13分 17．（本小题满分14分）解法一：（I ）.,AB CB ABCD ⊥∴正方形 又二面角C —AB —F 是直二面角.分平面故平面平面而平面又的中点是是矩形又平面平面5.,,,,2,2,,,,2222BGC AGC AGC AG BGCAG B BG CB BG AC BG AG AB a AB a BG AC EF G ABEF a AF a AD AGCB ABEF AG ABEF CB ⊥⊂⊥∴=⋂⊥∴+====∴==⊥∴⊂⊥∴（II ）如图，由（I ）知平面AGC ⊥平面BGC ，且交于GC ，在平面BGC 内用BH ⊥GC ，垂足为H ，则BH ⊥平面AGC.222tan ,2,===∴=∆∴∠∴aaBG CB BGH a BG CBG Rt 。

2019届北京市东城区高三第二学期综合练习（一）数学（理）试题一、单选题1．在复平面内，复数(2i)z -对应的点位于第二象限，则复数z 可取（ ） A ．2 B ．-1C ．iD ．2i +【答案】B【解析】由题意首先分析复数z 的实部和虚部的关系，然后考查所给的选项即可确定z 的值. 【详解】不妨设(),z a bi a b R =+∈，则()()()()()2222i z i a bi a b b a i -=-+=++-，结合题意可知：20,20a b b a +<->，逐一考查所给的选项： 对于选项A ：24,22a b b a +=-=-，不合题意； 对于选项B ：22,21a b b a +=--=，符合题意； 对于选项C ：21,22a b b a +=-=，不合题意； 对于选项D ：25,20a b b a +=-=，不合题意； 故选：B . 【点睛】本题主要考查复数的运算法则，各个象限内复数的特征等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2．正方体被一个平面截去一部分后，所得几何体的三视图如图所示，则截面图形的形状为A ．等腰三角形B ．直角三角形C．平行四边形D．梯形【答案】A【解析】首先确定几何体的空间结构特征，然后确定截面的形状即可.【详解】如图所示，由三视图可得，该几何体是正方体被一个平面截去一个三棱锥所得的几何体，很明显三棱锥的两条侧棱相等，故截面是等腰三角形.故选：A.【点睛】本题主要考查由三视图还原几何体的问题，截面问题的处理方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3．若,x y满足0,10,26,x yyy x+≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩则x y-的最大值为A．0B．1C．2D．4【答案】D【解析】首先画出可行域，然后结合目标函数的几何意义求解目标函数的最大值即可. 【详解】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，目标函数即：z x y =-=其中z 取得最大值时，其几何意义表示可行域内的点到直线0x y -=倍最大，据此可知目标函数在点A 处取得最大值， 联立直线方程：026x y y x +=⎧⎨=-⎩，可得点的坐标为：()2,2A -，据此可知目标函数的最大值为：()max 224z =--=. 故选：D . 【点睛】(1)本题是线性规划的综合应用，考查的是非线性目标函数的最值的求法．(2)解决这类问题的关键是利用数形结合的思想方法，给目标函数赋于一定的几何意义． 4．已知直线l 过抛物线28y x =的焦点F ，与抛物线交于A ，B 两点，与其准线交于点C .若点F 是AC 的中点，则线段BC 的长为（ ) A ．83B ．3C ．163D ．6【答案】C【解析】由题意结合抛物线的定义和性质首先求得直线AB 的方程，然后联立直线方程与抛物线方程可得点B 的坐标，进一步整理计算即可求得最终结果. 【详解】如图，A 在准线上的射影为E ，B 在准线上的射影为H ，由抛物线y 2=8x ，得焦点F （2，0），∵点F 是的AC 中点，∴AE =2p =8，则AF =8，∴A 点横坐标为6，代入抛物线方程，可得(6,A .AF k ∴==AF 所在直线方程为)2y x =-.联立方程：)228y x y x⎧=-⎪⎨=⎪⎩可得：2320120x x -+=， 264,3B B x x ∴==，则28233BF BH ==+=. 故816833BC CF BF AF BF =-=-=-=. 故选：C . 【点睛】本题主要考查抛物线的标准方程，抛物线的几何性质及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.5．南北朝时代的伟大数学家祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础提出祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.其含义是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.如图，夹在两个平行平面之间的两个几何体的体积分别为12,,V V 被平行于这两个平面的任意平面截得的两个截面的面积分别为12,,S S 则“12,V V 相等”是“12,S S 总相等”的（ )A ．而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由题意结合祖暅原理和空间几何体的几何特征考查充分性和必要性是否成立即可求得最终结果. 【详解】由祖暅原理知,若12,S S 总相等,则12,V V 相等成立，即必要性成立，若12,V V 相等,不妨设几何体为图中长方体1111ABCD A B C D -内的的三棱锥111A A B D -和1B BCD -，此时满足“12,V V 相等”,但是不满足“12,S S 总相等”，即充分性不成立， 综上可得：“12,V V 相等”是“12,S S 总相等”的必要而不充分条件. 故选：B . 【点睛】本题主要考查空间几何体的结构特征，充分性与必要性的判定等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.6．已知数列{}n a 满足：1a a =，11()2n n na a n a *+=+∈N ，则下列关于{}n a 的判断正确的是（ )A ．0,2,a n ∀>∃≥使得n a B ．0,2,a n ∃>∃≥使得1n n a a +<C ．0,,a m *∀>∃∈N 总有()m n a a m n <≠D ．0,,a m *∃>∃∈N 总有m n n a a += 【答案】D【解析】由题意结合均值不等式的结论、数列的单调性、函数的单调性和特殊数列的性质确定题中的说法是否正确即可. 【详解】对于选项A ，由于0a >，故0n a >恒成立，则112n n n a a a +=+≥=，故不存在n a 的项，选项A 说法错误；对于选项B ，由于12112n n n a a a +=+，结合选项A可知n a ≥，故121112n n na a a +=+<，即1n n a a +<，选项B 说法错误； 对于选项C，构造函数(1()2x f x x x =+≥，则()211'02f x x=-≥，则函数()f x在区间)+∞上单调递增，则不存在m N *∈满足m n a a <，选项C 说法错误；对于选项D，令1a121112a a a a =+===，此时数列{}n a 为常数列，故0,,a m *∃>∃∈N 总有m n n a a +=，选项D 说法正确.故选：D . 【点睛】本题主要考查数列的单调性，数列中的最值问题，递推关系的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.二、填空题7．在6)x 的展开式中，2x 的系数是_____________.（用数字作答） 【答案】60【解析】由题意结合二项式展开式的通项公式可得2x 的系数. 【详解】由二项式展开式的通项公式可得6)x 的展开式为：()()661661kkk kk k k k T C x C x --+=⨯⨯-=-，令2k =可得2x 的系数是()62226160C--=.【点睛】二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n 和r 的隐含条件，即n ，r 均为非负整数，且n ≥r ，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．8．在ABC ∆中，若cos sin 0b C c B +=，则C ∠=___________. 【答案】34π 【解析】由题意结合正弦定理和特殊角的三角函数值可得∠C 的大小. 【详解】由题意结合正弦定理可得：sin cos sin sin 0B C C B +=， 由于sin 0B ≠，故cos sin 0C C +=，则sin 3tan 1,cos 4C C C C π==-=. 【点睛】本题主要考查正弦定理的应用，特殊角的三角函数值等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 9．若曲线:C cos ,2sin x a y θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数）关于直线:l 1,22x t y t=+⎧⎨=-+⎩(t 为参数)对称，则a =___________；此时原点O 到曲线C 上点的距离的最大值为___________.【答案】3【解析】首先把参数方程化为普通方程，然后求解a 的值和原点O 到曲线C 上点的距离的最大值即可. 【详解】 消去参数可得：曲线C 的普通方程为：()()2221x a y -+-=，直线l 的普通方程为：24y x =-， 由题意可知直线l 过圆心(),2a ，故：224a =-，解得：3a =，O 到曲线C 上点的距离的最大值1. 【点睛】本题主要考查参数方程化为普通方程的方法，直线与圆的位置关系及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.10．已知向量(1,3)a =，向量b 为单位向量，且1a b ⋅=，则2b a -与2b 夹角为__________. 【答案】60【解析】首先求得向量,a b 的夹角，然后求解向量2b a -与2b 的夹角即可. 【详解】很明显132a =+=，设向量,a b 的夹角为θ， 则：21cos 1a b θ⋅=⨯⨯=，1cos ,23πθθ∴==， 据此有：()()22422224b a a b b b -⋅=-⋅=-=， 且()22242,22b a b a b ===-=--，向量2b a -与2b 的夹角为β，则21cos ,60222ββ===⨯， 综上可得：2b a -与2b 夹角为60. 【点睛】本题主要考查平面向量数量积的运算法则，向量夹角的计算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.11．已知函数3()4f x x x =-，若1212,[,],,x x a b x x ∀∈≠都有12122()(2)(2)f x x f x f x +>+成立，则满足条件的一个区间是________.【答案】(0,1) (答案不唯一)【解析】将原问题进行等价转化，然后结合二阶导函数的解析式可得满足题意的一个区间. 【详解】12122()(2)(2)f x x f x f x +>+即()()121222f x f x x x f ++⎛⎫< ⎪⎝⎭，定义函数y =()f x 为上凸函数，故原问题等价于函数()f x 在区间内满足()''0f x ≤在给定的区间内恒成立， 由函数的解析式可得：()2'43f x x =-，()''6f x x =-，故可给定区间()0,1，函数在该区间内即满足()''0f x ≤， 综上可得，满足条件的一个区间是(0,1)(答案不唯一). 【点睛】本题主要考查导函数研究函数的凹凸性，等价转化的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.12．设A B ，是R 的两个子集，对任意x R ∈，定义：01x A m x A ∉⎧=⎨∈⎩，，，，01.x B n x B ，，，∉⎧=⎨∈⎩①若A B ⊆，则对任意x R ∈，(1)m n -= _____； ②若对任意x R ∈，1m n +=，则A B ，的关系为__________. 【答案】0 R A B =ð【解析】由题意分类讨论x ∉A 和x ∈A 两种情况即可求得(1)m n -的值，结合题中的定义和m ,n 的关系即可确定A ,B 之间的关系. 【详解】①∵A ⊆B .则x ∉A 时,m =0,m (1−n )=0. x ∈A 时,必有x ∈B ,∴m =n =1,m (1−n )=0. 综上可得：m (1−n )=0.②对任意x ∈R ，m +n =1，则m ，n 的值一个为0，另一个为1， 即x ∈A 时，必有x ∉B ，或x ∈B 时，必有x ∉A ， ∴A ,B 的关系为R A B =ð. 【点睛】本题主要考查新定义知识的应用，集合之间的基本关系等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.三、解答题13．已知函数()4cos sin()6f x a x x π=-，且()13f π=.(Ⅰ) 求a 的值及()f x 的最小正周期；(Ⅱ) 若()f x 在区间[0,]m 上单调递增，求m 的最大值. 【答案】（Ⅰ）1a =,最小正周期为π；（Ⅱ）3π. 【解析】(Ⅰ)由题意首先确定a 的值，然后整理函数的解析式为()()sin f x A x b ωϕ=++的形式即可确定函数的最小正周期；(Ⅱ)结合题中所给的区间[0,]m 和(Ⅰ)中确定的函数解析式得到关于m 的不等式，求解不等式即可确定m 的最大值. 【详解】（Ⅰ）由已知()13f π=，得114122a ⨯⨯=，解得1a =. ()4cos sin()6f x x x π=-14cos cos )22x x x =-2cos 2cos x x x =-2cos21x x =--2sin(2)16x π=--所以()2sin(2)16f x x π=--的最小正周期为π.（Ⅱ）由（Ⅰ）知()2sin(2) 1.6f x x π=--当[0,]x m ∈时，2[,2],666x m πππ-∈--若()f x 在区间[0,]m 上单调递增， 则有262m ππ-≤，即3m π≤. 所以m 的最大值为3π. 【点睛】本题主要考查三角函数解析式的化简，三角函数的单调性，三角函数最小正周期的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.14．改革开放40年来，体育产业蓬勃发展反映了“健康中国”理念的普及．下图是我国2006年至2016年体育产业年增加值及年增速图．其中条形图为体育产业年增加值（单位：亿元），折线图为体育产业年增长率（％）．（Ⅰ）从2007年至2016年随机选择1年，求该年体育产业年增加值比前一年的体育产业年增加值多500亿元以上的概率；（Ⅱ）从2007年至2016年随机选择3年，设X 是选出的三年中体育产业年增长率超过20%的年数，求X 的分布列与数学期望；（Ⅲ）由图判断，从哪年开始连续三年的体育产业年增长率方差最大？从哪年开始连续三年的体育产业年增加值方差最大？（结论不要求证明） 【答案】（Ⅰ）25；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）从2008年或2009年开始连续三年的体育产业年增长率方差最大．从2014年开始连续三年的体育产业年增加值方差最大． 【解析】(Ⅰ)由题意利用古典概型计算公式可得满足题意的概率值；(Ⅱ)由题意首先确定X 可能的取值，然后结合超几何概型计算公式得到分布列，然后求解其数学期望即可；(Ⅲ)由题意结合方差的性质和所给的图形确定方差的最大值即可. 【详解】（Ⅰ）设A 表示事件“从2007年至2016年随机选出1年，该年体育产业年增加值比前一年的体育产业年增加值多500亿元以上”．由题意可知，2009年，2011年，2015年，2016年满足要求， 故42()105P A ==． （Ⅱ）由题意可知，X 的所有可能取值为0,1,2，3，且36310C 1(0)=C 6P X ==；1246310C C 1(1)=C 2P X ==；2146310C C 3(2)=C 10P X ==；34310C 1(3)=C 30P X ==.所以X 的分布列为：故X 的期望11316()01236210305E X =⨯+⨯+⨯+⨯=． （Ⅲ）从2008年或2009年开始连续三年的体育产业年增长率方差最大．从2014年开始连续三年的体育产业年增加值方差最大． 【点睛】本题主要考查统计图表的识别，超几何概型计算公式，离散型随机变量的分布列与期望的计算，古典概型计算公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 15．如图，在棱长均为2的三棱柱111ABC A B C -中，点C在平面11A ABB 内的射影O 为1AB 与1A B 的交点，,E F 分别为11,BC A C 的中点．（Ⅰ）求证：四边形11A ABB 为正方形；（Ⅱ）求直线EF 与平面11A ACC 所成角的正弦值；（Ⅲ）在线段1AB 上存在一点D ，使得直线EF 与平面1A CD 没有公共点，求1ADDB 的值.【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ；（Ⅲ）12.【解析】(Ⅰ)由题意结合几何体的空间结构特征证得1111D C B A 的对角线相等即可证得题中的结论；(Ⅱ)建立空间直角坐标系，分别求得直线的方向向量和平面的法向量，然后由夹角公式可得线面角的正弦值；(Ⅲ)由题意利用线面垂直的充要条件得到点D 的坐标，据此整理计算即可确定1ADDB 的值. 【详解】 （Ⅰ）连结CO ．因为C 在平面11A ABB 内的射影O 为与1A B 的交点，所以CO ⊥平面11A ABB ．由已知三棱柱111ABC A B C -各棱长均相等， 所以AC BC =，且11A ABB 为菱形. 由勾股定理得OA OB =，即11AB A B =. 所以四边形11A ABB 为正方形.（Ⅱ）由（Ⅰ）知CO ⊥平面11,A ABB 1,.CO OA CO OA ⊥⊥ 在正方形11A ABB 中，1OA OA ⊥． 如图建立空间直角坐标系O xyz -．由题意得11(0,0,0),(O A A B C C ，(E F ．所以1(2,2,0),(0,A A AC =-=- 设平面11A ACC 的法向量为(,,),m x y z =则10,0.m AA m AC ⎧⋅=⎨⋅=⎩即0,0.⎧=⎪⎨=⎪⎩ 令1,x =则1, 1.y z == 于是(1,1,1)m =．又因为3(EF =， 设直线EF 与平面11A ACC 所成角为θ，则30sin |cos |m EF m ,EF m EFθ⋅=〈〉==所以直线EF 与平面1A AC 所成角的正弦值为15. （Ⅲ）直线EF 与平面1A CD 没有公共点，即EF ∥平面1A CD． 设D 点坐标为0(0,,0)y ，D 与O 重合时不合题意，所以00y≠．因为10(,0)A D y =，1(AC =．设111(,,)n x y z =为平面1A CD 的法向量，则110,0.n A D n A C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即101110,0.y y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩ 令11x =，则1y =，11z =. 于是02(1,,1)n y =. 若EF ∥平面1ACD ，0n EF ⋅=.又3(EF=，=，解得0y =． 此时EF不属于平面1A CD ， 所以AD =1DB =所以112AD DB =． 【点睛】本题的核心在考查空间向量的应用，需要注意以下问题：(1)求解本题要注意两点：一是两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，二是利用方程思想进行向量运算，要认真细心，准确计算．(2)设,m n 分别为平面α，β的法向量，则二面角θ与,m n 互补或相等.求解时一定要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角． 16．设函数2()(2)ln f x ax a x x =+--的极小值点为0x .（I ）若01x =，求a 的值()f x 的单调区间；（II ）若001x <<，在曲线()y f x =上是否存在点P ，使得点P 位于x 轴的下方？若存在，求出一个P 点坐标，若不存在，说明理由. 【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）答案见解析.【解析】(Ⅰ)首先确定函数的定义域，然后求解导函数的解析式，利用导函数与极值的关系得到关于a 的方程，解方程确定a 的值即可求解函数的单调区间和a 的值； (Ⅱ)由导函数的解析式分类讨论求解函数的最小值可得满足题意的点P 不存在. 【详解】（Ⅰ）()f x 定义域为(0,)+∞.212(2)1(21)(1)'()2(2)ax a x x ax f x ax a x x x+--+-=+--==. 由已知，得()01f '=，解得1a =. 当1a =时，(21)(1)'(),x x f x x+-=当01x <<时，()0f x '<；当1x >时，()0f x '>. 所以()f x 的递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1,).+∞ 所以1a =时函数()f x 在1x =处取得极小值. 即()f x '的极小值点为1时a 的值为1.（II ）当001x <<时，曲线()y f x =上不存在点P 位于x 轴的下方，理由如下： 由（I ）知(21)(1)'(),x ax f x x+-=当0a ≤时，'()0f x <，所以()f x 在(0,)+∞单调递减，()f x 不存在极小值点；当0a >时，令(21)(1)'()0x ax f x x +-==，得1x a=.当1(0,)x a ∈时，()0f x '<，()f x 在区间1(0,)a 上单调递减； 当1(,)x a ∈+∞时，()0f x '>，()f x 在区间1(,)a +∞上单调递增.所以11()ln 1f a a a=+-是()f x 在(0,)+∞上的最小值.由已知，若001x <<，则有101a <<，即1a >.当1a >时，ln 0a >，且101a<<，110a ->.所以1()0.f a>当001x <<时，曲线()y f x =上所有的点均位于x 轴的上方. 故当001x <<时，曲线()y f x =上不存在点P 位于x 轴的下方. 【点睛】本题主要考查由函数的极值求参数的方法，导函数研究函数的单调性，导函数研究函数的最值，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.17．已知椭圆22:1(0)4x y C m m m+=>与x 轴交于两点12,A A ，与y 轴的一个交点为B ，△12BA A 的面积为2.（Ⅰ）求椭圆C 的方程及离心率；（Ⅱ）在y 轴右侧且平行于y 轴的直线l 与椭圆C 交于不同的两点12,P P ，直线11A P 与直线22A P 交于点P .以原点O 为圆心，以1A B 为半径的圆与x 轴交于,M N 两点（点M 在点N 的左侧），求PM PN -的值.【答案】（Ⅰ）2214x y +=，离心率为；（Ⅱ）4. 【解析】(Ⅰ)由题意结合三角形的面积求得m 的值即可确定椭圆方程，然后求解离心率即可；(Ⅱ)由题意首先求得点P 的轨迹方程，然后结合双曲线的定义和几何性质可得PM PN -的值.【详解】（Ⅰ）因为0,m >由椭圆方程知：224,,a m b m a b ====，1212222BA A S ab m ∆=⨯===，所以 1.m =所以椭圆C 的方程为2214x y +=.由2,1a b ==，222a b c =+，得c =所以椭圆C 的离心率为（Ⅱ）设点(,)P P P x y ,1002000(,),(,)(0),P x y P x y x ->不妨设12(2,0),(2,0),AA - 设()0110:22y P A y x x =++，()0220:22yP A y x x -=--， 由()()00002222y y x x y y x x ⎧=+⎪+⎪⎨-⎪=-⎪-⎩，得0004,2.P Px x y y x ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 即0004,42=.22PPp P P P x x y x x y y y x ⎧=⎪⎪⎪⎨⎪⎪==⎪⎩又220014xy +=，得2224()414P P P x y x +=， 化简得221(0).4P P P x y x -=>因为1(2,0),(0,1)A B -，所以1A B =，即(M N所以点P 的轨迹为双曲线2214x y -=的右支，,M N 两点恰为其焦点，12,A A 为双曲线的顶点，且124A A =，所以4PM PN -=. 【点睛】本题主要考查椭圆方程的求解，平面轨迹方程的确定，双曲线的性质与应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.18．已知L *∈N ，数列12:n A a a a L ，，，中的项均为不大于L 的正整数.k c 表示12,,,n a a a 中k 的个数(1)k L =L ，2，，.定义变换T ，T 将数列A 变成数列()T A 12:(),(),,()n t a t a t a 其中12()kc c c t k L n+++=⋅L .（Ⅰ）若4L =，对数列A ：1，1，2，3，3，4，写出i c 4)i ≤≤(1的值； （Ⅱ）已知对任意的(1,2,,)k k n =，存在A 中的项m a ，使得m a k =.求证：i it a a =（）(1,2,,)i n =的充分必要条件为(12)i j c c i j L ==，，，，；L（Ⅲ）若l n =，对于数列12:,,,n A a a a L ，令12(()):,,,n T T A b b b L ，求证：()i i b t a =(1,2,,).i n =【答案】（Ⅰ）1=2c ，2=1c ，3=2c ，4=1c ；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）详见解析. 【解析】(Ⅰ)由题意结合所给的定义确定i c 4)i ≤≤(1的值即可； (Ⅱ)由题意分别证明充分性和必要性成立即可证得题中的结论；(Ⅲ)由题意结合变换L 的定义首先对数列进行合理排序，求解()T A 的值，结合变换的性质进一步计算可得()()T T A 的值，从而证得题中的结论. 【详解】（Ⅰ）考查数列的项中1,2,3,4的个数可得：1=2c ，2=1c ，3=2c ，4=1.c（Ⅱ）由于对任意的正整数(1)k k L ≤≤，存在A 中的项m a ，使得m a k =.所以12L c c c L ，，，均不为零.必要性：若()i i t a a =(1)i n ≤≤，由于12()kc c c t k L n+++=⋅L ，所以有1(1)1c t L n =⋅=；12(2)2c ct L n +=⋅=；123(3)3c c c t L n++=⋅=；；12()Lc c c t L L n+++=⋅L .通过解此方程组，可得(12)i j c c i j L ==L ，，，，成立. 充分性：若(12)i j c c i j L ==L ，，，，成立，不妨设(12)i j h c c i j L ===L ，，，，，可以得到h L n ⋅=.所以有：(1)1h t L n =⋅=；2(2)2h t L n =⋅=；3(3)3ht L n=⋅=；；()Lht L L L n=⋅=. 所以()i i t a a =(1)i n ≤≤成立.（Ⅲ）设12:n A a a a L ，，，的所有不同取值为12m u u u L ，，，，且满足：12m u u u <<<L . 不妨设12111212122212:,mr r m m mr A u u u u u u u u u L L L L ，，，，，，，，，，，， 其中111121r u u u ==L =；221222r u u u ===L ；；12mm m mr u u u ==L =.又因为L n =，根据变换T 有：111112111()()()()u r c t u t u t u t u L r n=====⋅=L ；12221222212()()()()u u r c c t u t u t u t u L r r n+=====⋅=+L ；;L121212()()()()mm u u u m m mr m m c c c t u t u t u t u L r r r L n+++=====⋅=+++=L L L ；所以12111222():(),(),,()(),(),,()(),(),,().m m m m r r r T A t u t u t u t u t u t u t u t u t u 个个个，，即12111121212():,,,,,,,,,.m r r r T A r r r r r r r r r L L L +++个个个，，，所以12111121212(()):(),(),,(),(),(),,()(),(),,().m r r r T T A t r t r t r t r r t r r t r r t L t L t L +++个个个，，因为11212,m r r r r r r <+<<+++所以有11121212(),(),,()m t r r t r r r r t r r r L =+=++++=.因此，112121211112,,,r r r r r b b b r b b b r r +++========+1211211212m m r r r r r r n m b b b r r r L --++++++++====+++=即(()):T T A 12111121212,,,,,,,,,.m r r r r r r r r r r r r L L L +++个个个，，，从而()(1,2,,)i i b t a i n ==.因此结论成立. 【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.。

北京市东城区2012-2013学年度第二学期综合练习（一）高三数学 （理科）学校_____________班级_______________姓名______________考号___________ 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页，共150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知全集{1,2,3,4}U =，集合{1,2}A =，那么集合U A ð为（A ）{3} （B ） {3,4} （C ）{1,2} （D ）{2,3} 【答案】B【解析】因为{1,2}A =，所以={3,4}U A ð，选B.（2）已知ABCD 为平行四边形，若向量AB =a ，AC =b ，则向量BC 为 （A ）-a b （B ）a +b（C ）-b a （D ）--a b 【答案】C【解析】因为=BC AC AB -，所以=BC b a -，选C.（3）已知圆的方程为22(1)(2)4x y -+-=，那么该圆圆心到直线3,1x t y t =+⎧⎨=+⎩（t 为参数）的距离为（A ）2 （B （C ）2 （D 【答案】C【解析】圆心坐标为(1,2)，半径2r =，直线方程为20x y --=，所以圆心到直线的距离为2d ===，选 C.（4）某游戏规则如下：随机地往半径为1的圆内投掷飞标，若飞标到圆心的距离大于12，则成绩为及格；若飞标到圆心的距离小于14，则成绩为优秀；若飞标到圆心的距离大于14且小于12，则成绩为良好，那么在所有投掷到圆内的飞标中得到成绩为良好的概率为 （A ）316 （B ）14 （C ）34 （D ）116【答案】A【解析】到圆心的距离大于14且小于12的圆环面积为22113()()2416πππ-=，所以所有投掷到圆内的飞标中得到成绩为良好的概率为331616ππ=，选A.（5）已知数列{}n a 中，12a =，120n n a a +-=，2log n n b a =，那么数列{}n b 的前10项和等于（A ）130 （B ）120 （C ）55 （D ）50 【答案】C【解析】由120n n a a +-=得12n n a a +=，所以数列{}n a 为公比数列，公比2q =，所以111222n n n n a a q --==⨯=，所以22log log 2n n n b a n ===，为等差数列。

北京市东城区2016—2017学年度第二学期高三综合练习（一）数学 （理科）学校_____________班级_______________姓名______________考号___________本试卷共5页,150分.考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

(1）已知集合2{|20}A x x x =--<，{|13}B x x =<<，则A B =（A){|13}x x -<< （B ）{|11}x x -<< （C){|12}x x << (D ）{|23}x x << （2）已知命题:,2n p n n ∀∈>N ,则p ⌝是（A ）,2n n n ∀∈≤N （B ）,2n n n ∀∈<N （C),2n n n ∃∈≤N （D ）,2n n n ∃∈>N（3）已知圆的参数方程为12cos ,2sin x y θθ⎧=-+⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），则圆心到直线3y x =+的距离为（A)1 （B ）2 （C ）2 （D)22 （4）已知m 是直线，,αβ是两个互相垂直的平面，则“m ∥α”是“m β⊥ ”的（A ）充分而不必要条件 （B)必要而不充分条件 （C)充分必要条件(D ）既不充分也不必要条件（5）已知向量,a b 满足2+=0a b ，2⋅=-a b ，则(3+)()⋅-=a b a b（A ）1 （B)3 （C ）4 （D)5211正（主）视图侧（左）视图2俯视图（6）某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为（A ）13（B ）23(C ）1（D ）43（7）将函数sin(2)6y x π=+的图象向左平移(0)m m >个单位长度，得到函数()yf x 图象在区间[,]1212π5π-上单调递减，则m 的最小值为 (A ）12π （B ）6π （C)4π （D ）3π （8）甲抛掷均匀硬币2017次,乙抛掷均匀硬币2016次，下列四个随机事件的概率是0.5的是①甲抛出正面次数比乙抛出正面次数多. ②甲抛出反面次数比乙抛出正面次数少. ③甲抛出反面次数比甲抛出正面次数多. ④乙抛出正面次数与乙抛出反面次数一样多. （A ）①②（B)①③ （C ）②③（D ）②④第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.（9)已知复数z 满足(1i)2z +=,则||z =______． (10)在2532()x x+的展开式中，常数项为______．(用数字作答）. （11）已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和．若312S =,244a a +=,则6S =_______． (12)天干地支纪年法,源于中国．中国自古便有十天干与十二地支．十天干即：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即:子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后,天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年为“甲子”，第二年为“乙丑"，第三年为“丙寅”，，以此类推．排列到“癸酉"后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”,，以此类推．已知2017年为丁酉年，那么到新中国成立100年时,即2049年为______年．（13)双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线为等边三角形OAB 的边,OA OB 所在直线，直线AB 过双曲线的焦点，且||2AB =，则a = _______．（14）已知函数11,0,21()1,1,20,01x f x x x x ⎧≤<⎪⎪⎪=-≤<⎨⎪⎪<≥⎪⎩或和1,01,()0,01x g x x x 或,≤<⎧=⎨<≥⎩ 则(2)g x =______ ；若,m n ∈Z ，且()()()m g n x g x f x ⋅⋅-=，则m n +=_____ 。

北京市东城区2017-2018学年度第二学期高三综合练习（一）数学（理科） 2018. 4本试卷共4页，共150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

(1)若集合{}31A x x =-,{}12B x xx=-或，则A B =(A) {}32x x- (B) {}31x x -- (C) {}11x x -(D){}11x x-(2）复数1iz i=-在复平面上对应的点位于 (A)第一象限 (B) 第二象限 (C) 第三象限 (D) 第四象限 (3)已知,a b R ∈，且a b ，则下列不等式一定成立的是(A) 220a b - (B) cos cos 0a b -(C)110a b- (D) 0a be e ---(4)在平面直角坐标系xOy 中，角θ以Ox 为始边，终边与单位圆交于点（35，45），则 tan()θπ+的值为(A)43 (B) 34(C) 43- (D) 34-(5)设抛物线24y x =上一点P 到y 轴的距离是2，则P 到该抛物线焦点的距离是(A)1 (B) 2 (C)3 (D)4(6)故宫博物院五一期间同时举办“戏曲文化展”、“明代御窖瓷器展”、“历代青绿山水画展”、 “赵孟頫书画展”四个展览．某同学决定在五一当天的上、下午各参观其中的一个，且至少参观一个画展，则不同的参观方案共有 (A)6种（B) 8种（C) 10种（D) 12种(7)设{}n a 是公差为d 的等差数列，n S 为其前n 项和，则“d>0”是“{}n S 为递增数列”的 (A ）充分而不必要条件（B)必要而不充分条件 (C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件(8)某次数学测试共有4道题目，若某考生答对的题大于全部题的一半，则称他为“学习能手”，对于某个题目，如果答对该题的“学习能手”不到全部“学习能手”的一半，则称该题为“难题”．已知这次测试共有5个“学习能手”，则“难题”的个数最多为 (A)4 (B) 3 (C)2 (D)1第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

东城区2015-2016 学年度第二学期高三综合练习（一）数学（理科）本试卷共5 页，共150 分．考试时长120 分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷 上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷（选择题共40 分）一、选择题（本大题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题列出的四个选项中，选出 符合题目要求的一项）1．已知复数(1)i ai +为纯虚数，那么实数a 的值为A ．－1B ．0C ．1D ．22．集合{}|A x x a =≤，{}2|50B x x x =-<，若A B B =，则a 的取值范围是A ．a ≥5B ．a ≥4C ．a ＜ 5D ．a ＜43．某单位共有职工150 名，某中高级职称45 人，中级职称90 人，初级职称15 人，现采用 分层抽样方法从中抽取容量为30 的样本，则各职称人数分别为A ．9，18，3B ．10，15，5C ．10，17，3D ．9，16，54．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为A ．12B ．1C ．2D ．45．在极坐标系中，直线sin cos 1ρθρθ-=被曲线ρ=1截得的线段长为A ．12B ．2C ．1D 6．一个几何体的三视图如图所示，那么该几何体的最长棱长为A ．2B ．C ．3D 7．已知三点P （5，2），F 1（－6，0），F 2 （6，0 ），那么以F 1，F 2 为焦点且过点P 的椭圆的短轴长为A ．3B ．6C ．9D ．128．已知e 1，e 2为平面上的单位向量， e 1与e 2的起点均为坐标原点O ，e 1与e 2的夹角为3π， 平面区域D 由所有满足12OP e e λμ=+的点P 组成，其中100λμλμ+≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩，那么平面区域D 的面积为A ．12 BCD第II 卷（非选择题共110 分）二、填空题（本大题共6 小题，每小题5 分，共30 分）9．在51(2)4x x+的展开式中，x 3项的系数为 （用数字作答） 10．已知等比数列{}n a 中，2342,32a a a ==，那么a 8的值为 ．11．如图，圆O 的半径为1， A ， B ，C 是圆周上的三点，过点A 作圆O 的切线与OC 的 延长线交于点P ．若CP ＝AC ，则∠COA ＝ ； AP ＝ ．12．若sin ()4πα-＝35，且(0,)4πα∈，则sin 2α的值为 ． 13．某货运员拟运送甲、乙两种货物，每件货物的体积、重量、可获利润以及运输限制如 下表：在最合理的安排下，获得的最大利润的值为 ．14．已知函数 f (x ) ＝｜ln x ｜，关于x 的不等式f (x ) －f (x 0 )≥c (x －x 0)的解集为(0，＋∞)，c 为常数．当x 0＝1时，c 的取值范围是 ；当x 0＝12时， c 的值是 ． 三、解答题（本大题共6 小题，共80 分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）15．（本小题共13 分）在△ABC 中，BC ＝AC ＝2，且 cos( A ＋B)＝－2。

高三数学（理）（东城） 第 1 页（共 12 页）北京市东城区2018-2019学年度第二学期高三综合练习（一） 2019.4数学 （理科）本试卷共5页，共150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将答题卡交回。

第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知集合2{20},{210},A x x x B x x =+>=+>则A B =（A ）12x x ⎧⎫>-⎨⎬⎩⎭（B ）12x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭（C ）{0}x x > （D ）R（2）在复平面内，若复数(2i)z -对应的点在第二象限，则z 可以为 （A ）2 （B ）1- （C ）i （D ）2+i（3）在平面直角坐标系xOy 中，角α以Ox 为始边，终边经过点(1,)(0)P m m -≠，则下列各式的值一定为负的是(A)sin cos αα+ (B) sin cos αα- (C) sin cos αα (D)sin tan αα（4）正方体被一个平面截去一部分后，所得几何体的三视图如图所示，则该截面图形的形状为（A ）等腰三角形 （B ）直角三角形 （C ）平行四边形 （D ）梯形高三数学（理）（东城） 第 2 页（共 12 页）（5）若,x y 满足010,26,x y y y x +⎧⎪+⎨⎪-⎩≥，≤≥则x y -的最大值为（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）4（6）已知直线l 过抛物线28y x =的焦点F ，与抛物线交于A ，B 两点，与其准线交于点C .若点F 是AC的中点，则线段BC 的长为(A)83(B) 3 (C)163(D)6 （7）南北朝时代的伟大数学家祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础提出祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.其含义是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.如图，夹在两个平行平面之间的两个几何体的体积分别为12,,V V 被平行于这两个平面的任意平面截得的两个截面的面积分别为12,,S S 则“12,V V 相等”是“12,S S 总相等”的(A) 充分而不必要条件 (B) 必要而不充分条件 (C) 充分必要条件 (D) 既不充分也不必要条件（8）已知数列{}n a 满足：1a a =，11()2n n na a n a *+=+∈N ，则下列关于{}n a 的判断正确的是 （A ）0,2,a n ∀>∃≥使得n a < （B ）0,2,a n ∃>∃≥使得1n n a a +<（C ）0,,a m *∀>∃∈N 总有()m n a a m n <≠ （D ）0,,a m *∃>∃∈N 总有m n n a a +=高三数学（理）（东城） 第 3 页（共 12 页）第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。