高三第二学期综合练习(一)数学(理工农医类)

2021年高三下学期（3月）统一练习（一）理科数学含答案一、选择题1.复数z=在复平面内对应的点位于(A) 第一象限 (B) 第二象限 (C) 第三象限 (D) 第四象限2. 设为等比数列的前项和，，则(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 53. 执行右边的程序框图，输出k的值是(A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 64．已知变量满足约束条件，则的最大值是(A) (B) (C) 1 (D)5.已知命题p:；命题q:,则下列命题为真命题的是(A) (B)(C) (D)6. 已知关于x的一元二次不等式的解集中有且仅有3个整数，则所有符合条件的a的值之和是(A) 13 (B) 18 (C) 21 (D) 267. 如果函数y=f(x)图像上任意一点的坐标（x,y）都满足方程，那么正确的选项是(A) y=f(x)是区间（0，）上的减函数，且x+y(B) y=f(x)是区间（1，）上的增函数，且x+y(C) y=f(x)是区间（1，）上的减函数，且x+y(D) y=f(x)是区间（1，）上的减函数，且x+y8．动圆C经过点F(1,0)，并且与直线x=-1相切，若动圆C与直线总有公共点，则圆C的面积(A) 有最大值8 (B) 有最小值2(C) 有最小值3 (D) 有最小值4二填空题OPDFE9.在平面直角坐标系中，已知直线C:（是参数）被圆C:截得的弦长为 ；10. 某校从高一年级学生中随机抽取100名学生，将他们期中考试的数学成绩（均为整数）分成六段：[40,50)，[50,60)，…，[90,100]后得到频率分布直方图（如图所示）．则分数在[70,80)内的人数是________。

11．如图，已知直线PD 切⊙O 于点D ，直线PO 交⊙O 于点E,F.若，则⊙O 的半径为 ； .12.在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠A=90°，AB=AD=1，BC=2，E 是CD 的中点， 则 .13.某四面体的三视图如图所示，则该四面体的四个面中，直角三角形的面积和是_______.14. 已知M 是集合的非空子集，且当时，有.记满足条件的集合M 的个数为，则 ； 。

朝阳区2022——2022学年第二学期高三综合练习〔一〕数学〔理工农医类〕2022．4本试卷分第一卷〔选择题〕和第二卷〔非选择题〕两局部.第一卷1至2页.第二卷3至8页.共150分,测试时间120分钟.第一卷〔选择题,共50分〕考前须知：1．答第一卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、测试科目用铅笔涂写在做题卡上. 2．每题选出答案后,用铅笔把做题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用像皮擦干净后,再选涂其它答案,不能答在试题卷上.3．测试结束,监考人将本试卷和做题卡一并收回. 参考公式：三角函数的和差化积公式2cos2sin2sin sin βαβαβα-+=+2sin2cos 2sin sin βαβαβα-+=- 2cos2cos 2cos cos βαβαβα-+=+ 2sin2sin 2cos cos βαβαβα-+-=- 正棱台、圆台的侧面积公式l c c S )(21+'=台侧 其中c ′、c 分别表示上、下底面周长,l 表示斜高或母线长台体的体积公式h S S S S V )(31+'+'=台体其中S ′、S 分别表示上、下底面面积,h 表示高一、选择题：本大题共10小题,每题5分,共50分.在每题给出的四个选项中,只有一项为哪一项符合题目要求的.〔1〕复数i215+的共轭复数是 〔A 〕1+2i 〔B 〕)21(55i + 〔C 〕1-2i 〔D 〕)21(55i -〔2〕假设a>b>0,集合}2|{ba xb x M +<<=,}|{a x ab x N <<=,那么N M 表示的集合为〔A 〕}|{ab x b x <<〔B 〕}|{a x b x <<〔C 〕}2|{b a x ab x +<<〔D 〕}2|{a x ba x <<+ 〔3〕函数f(x)是以π为周期的奇函数,且1)4(-=-πf ,那么)49(πf 等于 〔A 〕4π〔B 〕4π-〔C 〕1〔D 〕-1〔4〕设a 、b 、c 为三条不同的直线,α、β、γ为三个不同的平面,下面四个命题中真命题的个数是①假设α⊥β,β⊥γ,那么α∥β. ②假设a ⊥b,b ⊥c,那么a ∥c 或a ⊥c.③假设α⊂a ,b 、β⊂c ,a ⊥b,a ⊥c,那么α⊥β. ④假设a ⊥α,β⊂b ,a ∥b,那么α⊥β. 〔A 〕1个〔B 〕2个 〔C 〕3个〔D 〕4个〔5〕直线1l ：032=+-y x ,2l ：0542=--y x ,在直角坐标平面上, 集合},0)542(32:|{R y x y x l l ∈=--++-λλ表示 〔A 〕过1l 和2l 交点的直线集合〔B 〕过1l 和2l 交点的直线集合,但不包括直线2l 〔C 〕平行直线1l 的集合 〔D 〕平行直线2l 的集合〔6〕如图y=arcsin 〔sinx 〕的图象是〔7〕圆周上有12个不同的点,过其中任意两点作弦,这些弦在圆内的交点个数最多是 〔A 〕412P 〔B 〕212P 212P 〔C 〕212212C C 〔D 〕412C〔8〕椭圆⎩⎨⎧==θθsin 2cos 3y x 〔θ为参数〕,点P 是6πθ=时对应的点,那么直线OP 的倾斜角为〔O 为坐标原点〕〔A 〕932arctg〔B 〕6π〔C 〕223arctg〔D 〕31313arctg 〔9〕过点〔0,2〕的直线l 与双曲线c ：622=-y x 的左支交于不同的两点,那么直线l 的斜率的取值范围是〔A 〕)315,315(-〔B 〕),1()1,(+∞--∞ 〔C 〕)1,315(--〔D 〕)315,1(〔10〕假设函数x a x a x f 2cos )2(2sin )(2-+=的图象关于直线8π-=x 对称,那么a的值等于〔〕〔A 〕2或2-〔B 〕1或-1〔C 〕1或-2〔D 〕-1或2第二卷〔非选择题,共100分〕考前须知：1．第二卷共6页,用钢笔或圆珠笔直接答在试卷中. 2．答卷前将密封线内的工程填写清楚.二、填空题：本大题共4小题,每题4分,共16分.把答案填在题中横线上. 〔11〕函数422)(2++-=a ax x x f 的定义域为R,值域为),1[+∞,那么a 的值为________________.〔12〕直线ax+by+1=0被圆2522=+y x 截得的弦长为8,那么22b a +的值为____________________.〔13〕要制造一个底面半径为4cm,母线长为6cm 的圆锥,用一块长方形材料做它的侧面,这样的长方形的长与宽的最小值分别是_____________.〔14〕抽象函数是由特殊的、具体的函数抽象而得到的.如正比例函数)0()(≠=k kx x f ,11)(kx x f =,22)(kx x f =,)()()()(21212121x f x f kx kx x x k x x f +=+=+=+可抽象为)()()(y f x f y x f +=+.写出以下抽象函数是由什么特殊函数抽象而成的〔填入一个三、解做题：本大题共6小题,共84分.解容许写出文字说明,证实过程或演算步骤. 〔15〕〔本小题总分值14分〕 解不等式1log 1)1(log 122+<-x x〔16〕〔本小题总分值14分〕函数212sin225sin)(-=x xx f 〔Ⅰ〕将f(x)表示成cosx 的整式；〔Ⅱ〕假设y=f(x)与3cos )cos 1(cos )(2--++==x x a x x g y 的图象在),0(π内至少有一个公共点,试求a 的取值范围.〔17〕〔本小题总分值14分〕如图,AB 是圆台上底面⊙1O 的直径,C 是⊙1O 上不同于A 、B 的一点,D 是下底面⊙2O 上的一点,过D 、A 、C 的截面垂直于下底面,M 为DC 的中点,AC=AD=2,∠DAC=120°,∠BDC=30°.〔Ⅰ〕求证：AM ⊥平面DBC ；〔Ⅱ〕求二面角A —DB —C 的正切值； 〔Ⅲ〕求三棱锥D —ABC 的体积.〔18〕〔本小题总分值14分〕某加油站需要制造一个容积为320m π的圆柱形储油罐,用来制作底面的铁板每平方米价格为40元,用来制作侧面的铁板每平方米价格为32元,假设不计制作损耗.〔Ⅰ〕问储油罐底面半径和高各为多少时,制作的储油罐的材料本钱价最低？〔Ⅱ〕假设制作的储油罐底面铁板半径不能超过1.8m,那么储油罐底面半径的长为多少时,可使制作储油罐的材料本钱价最低？〔19〕〔本小题总分值14分〕函数)0)(12(2)(≥++=x x x x f . 〔Ⅰ〕求f 〔x 〕的反函数,并指出其定义域；〔Ⅱ〕设数列}{n a )0(>n a 的前n 项和为)(N n S n ∈,假设对于所有大于1的自然数n 都有)(1-=n n S f S ,且21=a ,求数列}{n a 的通项公式；〔Ⅲ〕令)(2)(121N n a a a a b n n n n n ∈-=++,求：)(lim 21n n b b b +++∞→〔20〕〔本小题总分值14分〕：如图,过椭圆c ：12222=+by a x 〔a>b>0〕的左焦点F 〔-c,0〕作垂直于长轴21A A 的直线与椭圆c 交于P 、Q 两点,l 为左准线.〔Ⅰ〕求证：直线2PA 、Q A 1、l 共点；〔Ⅱ〕假设过椭圆c 左焦点F 〔-c,0〕的直线斜率为k,与椭圆c 交于P 、Q 两点,直线2PA 、Q A 1、l 是否共点,假设共点请证实,假设不共点请说明理由.朝阳区2022-2022学年第二学期高三综合练习〔一〕数学〔理工农医类〕参考答案及评分标准2022．41 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B C C ADBDADC11121314a = -1 或a = 391 12cm,9cm幂函数∂=x x f )(指数函数xa x f =)(〔a>0且a ≠1〕 对数函数x x f a log )(=〔a>0且a ≠1〕 正切函数f (x) = tgx三、解做题15．解：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≠+>+≠->-,11,01,11,01x x x x ……………………………………………………………………2分解得：x > 1且x ≠2.……………………………………………………………………4分〔1〕当1< x <2时,有0 < x –1 <1.……………………………………………………6分 ∴0)1(log 2<-x ,01log 2>+x .∴原不等式显然成立,解为1 < x < 2.……………………………………………8分 〔2〕当x > 2时,有x –1>1.…………………………………………………………10分 ∴0)1(log 2<-x ,01log 2>+x .∴原不等式变为)1(log 1log 22-<+x x .即⎩⎨⎧-<+>.11,2x x x 解得x > 3.……………………………………………………12分 ∴原不等式解集为{x |1<x<2或x > 3}.………………………………………………14分16．〔I 〕解：2sin22sin25sin 212sin 225sin)(x xx x x x f -=-=…………………………………2分 2sin2sin 23cos 2x xx=……………………………………………………4分 2sin22cos2sin 223cos 2x x x x =………………………………………6分 2cos 23cos 2xx ==cos2x+cosx ………………………………………………………8分 =1cos cos 22-+x x .……………………………………………10分 〔II 〕解：令g (x) = f (x)1cos cos 23cos )cos 1(cos 22-+=--++x x x x a x 2cos 2cos )cos 1(2++=+x x x a 1)cos 1()cos 1(2++=+x x a∵x ∈〔0,π〕,∴0<1+cosx<2.xx a cos 11cos 1+++=.……………………………………………………12分xx a cos 11)cos 1(2+⋅+≥,a ≥ 2.当且仅当x x cos 11cos 1+++,cosx=0,即当2π=x 时,等号成立.当a ≥2时,y = f (x)与y = g (x)的图象在〔0,π〕内至少有一个公共点.…………………………………………………………………………………………14分 17．〔I 〕证实：在△ADC 中,AC=AD,M 是DC 的中点∴AM ⊥DC.………………………………………………2分∵平面DAC ⊥平面ABC,C 为圆1O 上异于A,B 的一点,那么有BC ⊥AC, ∴BC ⊥平面DAC,故BC ⊥AM.……………………………………4分 ∴AM ⊥平面DBC.………………………………………………………6分 ▲〔II 〕解：作MN ⊥DB 于N,连接AN,由三垂线定理可知AN ⊥DB.∠MNA 是二面角A —DB —C 的平面角.…………………………………8分 在△ADC 中,AC=AD=2,∠DAC=120° ∴32=DC ,AM=1.由BC ⊥平面 DAC,可知BC ⊥DC.在Rt △DCB 中,32=DC ,∠BDC=30°,可得BC=2,从而23=MN . ∴332231===∠MN AM MNA tg . ∴二面角A —DB —C 的正切值为332.………………………………10分 〔III 〕解：BCD A ABC D V V --=三棱锥三棱锥 3321322213131=⨯⨯⨯⨯=⋅=∆AM S BCD .……………………14分 18．〔I 〕解：设圆柱形储油罐的底面半径为x 米,高为h 米,材料本钱价为y 元. 依题意有：ππ202=h x ,那么222020x x h ==ππ. ∴3224022⋅⋅+⋅=h x x y ππ……………………………………………………2分)16(802x x +=π)88(802x x x ++=π…………………………………………………………4分3288380x x x ⋅⋅⋅⋅≥π………………………………………………………6分= 960π〔元〕. 当且仅当xx 82=,即x = 2,h = 5时取等号. 答：当储油罐的底面半径为2米,高为5米,材料本钱价最低.………………8分 〔II 〕解：由〔I 〕知,)16(80)(2xx x f y +==π.当x = 2时,y 取最小值960π元. 当x 不超过1.8米时,即0 < x ≤1.8. 下面探讨函数)16(80)(2xx x f +=π在〔0,1.8]的单调性.……………………10分 设8.1021≤<<x x ,)16(80)16(80)()(12122212x x xx x f x f +-+=-ππ2121211216)()(80x x x x x x x x -+-=π…………………………………12分∵28.1021<≤<<x x , ∴012>-x x ,016)(212121<-+x x x x x x∴0)()(12<-x f x f ,)()(12x f x f <. 函数)16(80)(2xx x f +=π在〔0,1.8]内为减函数. 答：当储油罐底面铁板半径为1.8米,材料本钱价最低.…………………………14分19．解：〔I 〕设y = f (x),222)2()2(22)(+=++=x x x y ,〔x ≥0〕.……………………………………………………………………………………………2分 ∵x ≥0, ∴y ≥2. ∴2+=x y .∴2)2(-=y x . ∴f (x) 的反函数为21)2()(-=-x x f,〔x ≥2〕.…………………………4分〔II 〕∵21)2(+=-n n S S ,)0(>n a , ∴0>n S ,21+=-n n S S . 即21=--n n S S .数列}{n S 是等差数列,公差为2,211==a S .∴)1(22-+=n S n .即22n S n =〔n ∈N 〕.……………………………………………………8分当n ≥2时,24)1(22221-=--=-=-n n n S S a n n n ,当n = 1时,21=a ,满足24-=n a n∴24-=n a n 〔n ∈N 〕.………………………………………………10分〔III 〕∵121121)12)(12(2)24)(24(2)2424(2)(2121+--=+-=+-+-+=-=++n n n n n n n n a a a a b n n n n n , ∴1211)121121()5131()311(21+-=+--++-+-=+++n n n b b b n . ……………………………………………………………………………12分 ∴1]1211[lim )(lim 21=+-=+++∞→∞→n b b b n n n .………………………………14分 20．解：〔I 〕由方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=.1,2222b y a x c x 解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=.,2a b y c x 或⎪⎩⎪⎨⎧-=-=.,2a b y c x▲那么点],[2a b c P -,],[2a b c Q --.………………………………2分直线2PA 的方程为)()(2a x c a ab y -+-=, 直线Q A 1的方程为)()(2a x a c ab y +-=………………………………………4分由方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=-+-=).()(),()(22a x a c ab y a xc a a b y 解得ca x 2-=.…………………………………………………………………………6分 由于左准线l 的方程为ca x 2-=,所以直线2PA 与Q A 1在交点在l 上. 故直线2PA ,Q A 1,l 相交于一点.……………………………………………………8分 〔II 〕设点P 、Q 的坐标分别为),(11y x ,〔22,y x 〕,不妨设21x x >.▲直线2PA ,Q A 1的斜率分别为1k ,2k ,那么ax y k -=111,a x y k +=222, 直线2PA 的方程为)(1a x k y -=,直线Q A 1的方程为)(2a x k y +=.⎩⎨⎧+=-=).(),(21a x k y a x k y 解得交点的横坐标为2121)(k k k k a x -+=, 即a y y a y x y x y y a y x y x x ⋅+++--++=)()(211221211221 …………………………………………………………10分直线PQ 的方程为y =(x + c).⎩⎨⎧=++=.),(222222b a y a x b c x k y 消去y.得02)(22222222222=-+++b a k c a cx k a x k a b 〔*〕设222k a b M +=,方程〔*〕的二根为1x ,2x ,由韦达定理得：M c k a x x 22212-=+,M b a k c a x x 2222221-=.………………12分 ∵点P,Q 在直线 PQ 上,∴)(11c x k y +=,)(22c x k y +=. ∴Mck b y y 2212=+, MabkN y y 221=-,其中22222k c k a b N -+=, Mk b a y x y x 2212212-=+, MabckN y x y x 21221-=+-. ∴c a a Mck b a M abckN M abkN a M k b a x 22222222-=⋅⋅+-⋅+-=, 由于左准线l 的方程为c a x 2-=,所以直线2PA 与Q A 1的交点在l 上. 故直线2PA ,Q A 1,l 相交于一点.………………………………………………14分。

2021-2022年高三下学期统一练习（一）数学理试题含答案一.选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.已知全集，集合，，那么集合等于（ ） （A ） （B ）（C ）（D ）{}|2134x x x 或-<<-<<2．在下列函数中，是偶函数,且在内单调递增的是 （A ） （B ）（C ） （D ）3.对高速公路某段上汽车行驶速度进行抽样调查，画出如下频率分布直方图.根据直方图估计在此路段上汽车行驶速度的众数和行驶速度超过80km/h 的概率（A ） 75，0.25 （B ）80,0.35 （C ）77.5,0.25 （D ）77.5,0.354. 若数列满足*12(0,)N nn na a a n，且与的等差中项是5，则 等于（A ） （B ） （C ） （D ） 5. 已知直线m ,n 和平面，若⊥，则“⊂”是“⊥”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 6. 有三对师徒共6个人，站成一排照相，每对师徒相邻的站法共有 （A ） 72 （B ）54 （C ） 48 （D ） 87.如图，已知三棱锥的底面是等腰直角三角形，且∠ACB =90O，侧面PAB ⊥底面ABC ，AB=PA=PB=4.则这个三棱锥的三视图中标注的尺寸x,y,z分别是（A）,2,2（B）4,2,（C）,，2（D）,2,8. 经济学家在研究供求关系时，一般用纵轴表示产品价格(自变量)，而用横轴来表示产品数量（因变量）.某类产品的市场供求关系在不受外界因素（如政府限制最高价格等）的影响下，市场会自发调解供求关系：当产品价格P1低于均衡价格P0时，需求量大于供应量，价格会上升为P2；当产品价格P2高于均衡价格P0时，供应量大于需求量，价格又会下降，价格如此波动下去，产品价格将会逐渐靠进均衡价格P0.能正确表示上述供求关系的图形是（A）（B）（C）（D）一、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9.已知双曲线的一条渐近线为，那么双曲线的离心率为C侧视图zyyxABPC21单价需求曲线供应曲线21单价需求曲线供应曲线_________.10. 如图，BC 为⊙O 的直径，且BC =6，延长CB 与⊙O 在点D 处的切线交于点A ，若AD =4，则AB =________.11. 在中角，，的对边分别是，，，若3sin cos cos b A c A a C =+，则________． 12. 在梯形ABCD 中，,，E 为BC 中点，若,则x +y =_______.13. 已知满足0,,.x y x x y k ≥⎧⎪≤⎨⎪+≤⎩（k 为常数），若最大值为8，则=________.14.已知函数若，则的取值范围是______.二、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15.（本小题共13分）已知函数(=cos (cos )f x x x x ）+ . (Ⅰ)求的最小正周期；(Ⅱ)当 时，求函数的单调递减区间.16.（本小题共13分）从某病毒爆发的疫区返回本市若干人，为了迅速甄别是否有人感染病毒，对这些人抽血，并将血样分成4组，每组血样混合在一起进行化验. （Ⅰ）若这些人中有1人感染了病毒.①求恰好化验2次时,能够查出含有病毒血样组的概率； ②设确定出含有病毒血样组的化验次数为X ，求E （X ）.(Ⅱ)如果这些人中有2人携带病毒，设确定出全部含有病毒血样组的次数Y 的均值E(Y)，请指出（Ⅰ）②中E（X）与E(Y)的大小关系.（只写结论,不需说明理由）17.（本小题共13分）如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD为菱形，且BAD=60°，对角线AC与BD 相交于O；OF⊥平面ABCD，BC=CE=DE=2EF=2.(Ⅱ)求直线DE与平面BCFE所成角的正弦值.18.（本小题共14分）已知函数.（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）求证：；（Ⅲ）若在区间上恒成立，求的最小值.19.（本小题共14分）已知椭圆G：的离心率为，短半轴长为1.（Ⅰ）求椭圆G的方程；（Ⅱ）设椭圆G的短轴端点分别为，点是椭圆G上异于点的一动点，直线分别与直线于两点，以线段MN为直径作圆.①当点在轴左侧时，求圆半径的最小值；②问：是否存在一个圆心在轴上的定圆与圆相切？若存在，指出该定圆的圆心和半径，并证明你的结论；若不存在，说明理由.20.（本小题共13分）已知数列是无穷数列，（是正整数），11111(1),=(1)n nn n n n n nn a a a a a a aa a --+--⎧>⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩.（Ⅰ）若，写出的值；（Ⅱ）已知数列中，求证：数列中有无穷项为1；（Ⅲ）已知数列中任何一项都不等于1，记212=max{,}(1,2,3,;n n n b a a n -=为较大者）.求证：数列是单调递减数列.丰台区xx 高三年级第二学期数学统一练习（一）数 学（理科）参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9. 10. 11. 12. 13. 14.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．解：(Ⅰ) 2(cos cos f x x x x +1cos2(=sin 222xf x x ）++1cos2(2)22x f x x ）++的最小正周期为. ----------------------------------7分(Ⅱ)当3222,262k x k k Z πππππ+≤+≤+∈ 时，函数单调递减, 即的递减区间为：, 由2[0,][,]263k k πππππ++=, 所以的递减区间为：. ------------------------------------13分 16. 解：（Ⅰ）①恰好化验2次时,就能够查出含有病毒血样的组为事件A.恰好化验2次时,就能够查出含有病毒血样的组的概率为.-----4分②确定出含有病毒血样组的次数为X,则X 的可能取值为1，2，3.,，. 则X 的分布列为：所以：E （X ）=--------------------------------------------11分 (Ⅱ) ------------------------------------------------------------------13分 17. 解：(Ⅰ)因为四边形为菱形 所以∥，且面，面所以∥面且面面所以∥. ----------------------------------------------------------6分 (Ⅱ)因为面 所以， 又因为以为坐标原点，，，分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，取的中点，连. 易证EM ⊥平面ABCD .又因为22BC CE DE EF ====，得出以下各点坐标：1(0,1,0),((0,1,0),(22B C D F E ---向量，向量，向量 设面的法向量为： 得到 令时设与所成角为，直线与面所成角为.1|((1)1|⨯-+=直线EF 与平面BCEF 所成角的正弦值为.----------------------------------------13分 18.设函数.（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程； （Ⅱ）求证：；（Ⅲ）若在区间上恒成立，求的最小值. 解：（Ⅰ）设切线的斜率为因为，切点为.切线方程为，化简得：.----------------------------4分 （Ⅱ）要证：只需证明：在恒成立，当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增；当时min ()(1)1ln1110g x g ==⋅-+=在恒成立所以.--------------------------------------------------------------------------10分 （Ⅲ）要使：在区间在恒成立， 等价于：在恒成立， 等价于：在恒成立因为== ①当时，，不满足题意 ②当时，令，则或（舍）. 所以时，在上单调递减；时，在上单调递增；当时min 11()()ln()12h x h a a=-=-++当时，满足题意所以，得到的最小值为 -----------------------------------14分 19. 解：（Ⅰ）因为的离心率为，短半轴长为1.所以2221,b ca abc =⎧⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎩得到21,a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩ 所以椭圆的方程为.-----------------------------------------------------------3分（Ⅱ）① 设，所以直线的方程为： 令，得到同理得到，得到 所以，圆半径当时，圆半径的最小值为3. --------------------------------------9分② 当在左端点时，圆的方程为： 当在右端点时，设， 所以直线的方程为： 令，得到同理得到， 圆的方程为：，易知与定圆相切, 半径由前一问知圆C 的半径0000041,204|1|41,02x x r x x x ⎧--≤<⎪⎪=-=⎨⎪-<≤⎪⎩ 因为，，圆的圆心坐标为圆心距000004,2044||,02x x x x x ⎧--≤<⎪⎪=⎨⎪<≤⎪⎩ 0044(1)1r R x x ，此时定圆与圆内切； 044(1)1r R x x ，此时定圆与圆外切； 存在一个圆心在轴上的定圆与圆相切，该定圆的圆心为和半径.(注: 存在另一个圆心在轴上的定圆与圆相切，该定圆的圆心为和半径.得分相同) ------------------------------------------------------------------------------------14分20..解：（Ⅰ）；-----------------------------------------------------2分（Ⅱ），假设①当时，依题意有②当时，依题意有，③当时，依题意有，，，，由以上过程可知：若，在无穷数列中，第项后总存在数值为1 的项，以此类推，数列中有无穷项为1. --------------------------------------------------6分（Ⅲ）证明：由条件可知，因为中任何一项不等于1，所以.①若，则.因为，所以.若，则，于是；若，则22222+222212121212n n nn n n nn n nna a aa a a aa a aa----===⋅<<，于是；若，则，于题意不符；所以，即.②若，则.因为，所以；因为，所以；所以，即.综上所述，对于一切正整数，总有，所以数列是单调递减数列.-------------------------------------------------------------------------------13分23538 5BF2 寲]z21667 54A3 咣22283 570B 國MQ34701 878D 融"30236 761C 瘜32384 7E80 纀c35594 8B0A 謊34616 8738 蜸。

2021年高三下学期综合测试（一）数学（理）试题一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

A)B=( )1、已知集合A={x∈R|x<5-}，B={1，2，3，4)，则(CRA．{1，2，3，4} B．{2，3，4} C．{3，4} D．{4}2、已知函数①y=sinx+cosx，②y=sin xcosx，则下列结论正确的是( )A．两个函数的图象均关于点(-，0)成中心对称B．两个函数的图象均关于直线x=-成轴对称C．两个函数在区间(-)上都是单调递增函数D．两个函数的最小正周期相同3、设f(x)=,则的值为( )A． B． C． D．4、一个三棱柱的底面是正三角形，侧棱垂直于底面，它的三视图及其尺寸如下(单位cm)，则该三棱柱的表面积为( )A．(24+8)cm2 B．24cm2 C．cm2 D．cm25、下列四个命题中，正确的是( )A．已知服从正态分布N(0，2)，且P(-2≤≤0)=0.4，则P（>2）=0.2B．设回归直线方程为y=2-2.5x，当变量x增加一个单位时，y平均增加2个单位C．已知命题p：x∈R，tanx=1；命题q：x∈R，x2-x+1>0．则命题“p﹁q”是假命题D．已知直线l1：ax+3y-1=0,l2：x+by+1=0，则l1l2的充要条件是 =-36、给出30个数：1，2，4，7，11，……其规律是第一个数是1，第二个数比第一个数大1，第三个数比第二个数大2，第四个数比第三个数大3，……以此类推，要计算这30个数的和，现已给出了该问题的程序框图如右图所示，那么框图中判断框①处和执行框②处应分别填入( )A．i≤30?；p=p+i-1 B．i≤29?；p=p+i+1C．i≤31?：p=p+i D．i≤30?；p=p+i7、已知k∈=(k,1),=(2,4)，若≤,则△ABC是直角三角形的概率是( )A． B． C． D．8、设函数f(x)的定义域为R，若存在常数M>0使对一切实数x均成立，则称函数f(x)为F函数．现给出下列函数①f(x）=x2，②f(x)=③f(x)=x(1-2x)，④f(x)是定义在实数集R上的奇函数，且对一切x1x2均有．其中是F函数的序号为( )A.①②③B.②④C. ②③D.③④二、填空题：（本大题共7小题，第14、15小题任选一题作答，多选的按1题给分，共30分）（一）必做题（9～13题）9、i是虚数单位，的共轭．．复数的数是________10、若实数x，y满足，则s=y-x的最小值为________11、已知()n展开式的第4项为常数项，则展开式中各项系数的和为________12、已知数列{a n}的前n项和S n=n2-7n，且满足16<a k+a k+1<22，则正整数k=_______13、已知函数f(x)=-alnx(a∈R)，若函数f(x)在[1,2]为增函数，且f/(x)在[1，2]上存在零点(f/(x)为f(x)的导函数)，则a的值为___________(二)选做题(14、15题，考生只能从中选做一题)14、(极坐标与参数方程选做题)已知曲线C的极坐标方程是，直线l的参数方程是(t为参数).设直线l与x轴的交点是M，N是曲线C上一动点，则MN的最大值为____________15、(几何证明选讲选做题)如图，⊙O中，直径AB和弦DE互相垂直，C是DE延长线上一点，连结BC与圆0交于F，若∠CFE=()，则∠DEB___________三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。

丰台区高三年级第二学期综合练习（一）数学（理科）.03（本试卷满分共150分，考试时间120分钟）注意事项：1.答题前，考生务必先将答题卡上的学校、年级、班级、姓名、准考证号用黑色字迹签字笔填写清楚，并认真核对条形码上的准考证号、姓名，在答题卡的“条形码粘贴区”贴好条形码。

2.本次考试所有答题均在答题卡上完成。

选择题必须使用2B铅笔以正确填涂方式将各小题对应选项涂黑，如需改动，用橡皮擦除干净后再选涂其它选项。

非选择题必须使用标准黑色字迹签字笔书写，要求字体工整、字迹清楚。

3．请严格按照答题卡上题号在相应答题区内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试卷、草稿纸上答题无效。

4．请保持答题卡卡面清洁，不要装订、不要折叠、不要破损。

第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

(1)已知全集U={x I x < 5}，集合，则(A) (B) (C) (D)(2）已知命题p：x <1，，则为(A) x ≥1,(B)x <1,(C) x <1,(D) x ≥1,(3)设不等式组表示的平面区域为.则(A）原点O在内(B)的面积是1(C)内的点到y轴的距离有最大值(D)若点P(x0,y0) ，则x0+y0≠0(4)执行如图所示的程序框图，如果输出的a=2，那么判断框中填入的条件可以是(A) n≥5 (B) n≥6(C) n≥7(D) n≥8(5）在平面直角坐标系xO y中，曲线C的参数方程为（为参数）．若以射线Ox为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为(A)=sin(B)=2sin(C) =cos(D )=2cos(6)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为(A)(B)(C) 2(D)(7）某学校为了弘扬中华传统“孝”文化，共评选出2位男生和2位女生为校园“孝”之星，现将他们的照片展示在宣传栏中，要求同性别的同学不能相邻，不同的排法种数为(A)4(B)8 (C) 12(D) 24(8）设函数,若函数恰有三个零点x1, x2, x3 (x1 <x2 <x3)，则x1 + x2 + x3的取值范围是(A)(B)(C) (D)第二部分〔非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

东城区2021学年度第二学期高三综合数学（理科）练习题及答案北京市东城区____-____学年度第二学期高三综合练习（一）高三数学（理科）本试卷共4页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）若集合A?{_|?3?_?1}，B?{_|_??1或_?2}，则A（A）{_|?3?_?2} （C）{_|?1?_?1} （2）复数z?B?（B）{_|?3?_??1} （D）{_|1?_?2}i在复平面上对应的点位于 1?i（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限（3）已知a,b?R，且a?b，则下列不等式一定成立的是（A）a2?b2?0 （C）11??0 ab （B）cosa?cosb?0（D）e?a?e?b?0（4）在平面直角坐标系_Oy中，角?以O_为始边，终边与单位圆交于点(,)，则tan(???)的值为（A）4 323455433 （B）（C）? （D）?344（5）设抛物线y?4_上一点P到y轴的距离是2，则P到该抛物线焦点的距离是（A）1 （B）2 （C）3 （D） 4 （6）故宫博物院五一期间同时举办“戏曲文化展”、“明代御窑瓷器展”、“历代青绿山水画展”、“赵孟頫书画展”. 某同学决定在五一当天的上、下午各参观其中的一个，且至少参观一个画展，则不同的参观方案共有（A）6种（B）8种（C）10种（D）12种（7）设{an}是公差为d的等差数列，Sn为其前n项和，则“d?0”是“?Sn?为递增数列”的（A）充分而不必要条件（C）充分必要条件（8）某次数学测试共有4道题目，若某考生答对的题大于全部题的一半，则称他为“学习能手”，对于某个题目，如果答对该题的“学习能手”不到全部“学习能手”的一半，则称该题为“难题”.已知这次测试共有5个“学习能手”，则“难题”的个数最多为（A）4 （B）3 （C）2 （D）11（B）必要而不充分条件（D）既不充分也不必要条件第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

北京市东城区2023~2024学年度第二学期高三综合练习（一）数学本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 如图所示，U 是全集，,A B 是U 的子集，则阴影部分所表示的集合是（ ）A. A B ⋂B. A B ⋃C. ()U A B ⋂ðD. ()U A B ⋃ð2. 已知,R,0a b ab ∈≠，且a b <，则（ ） A.11a b> B. 2ab b < C. 33a b <D. lg lg a b <3. 已知双曲线221x my -=的离心率为2，则m =（ ） A 3B.13C. 3-D. 13-4. 设函数()11ln f x x=+，则（ ） A. ()12f x f x ⎛⎫+=⎪⎝⎭ B. ()12f x f x ⎛⎫-=⎪⎝⎭C. ()12f x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭D. ()12f x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭.5. 已知函数()sin cos (0,0)f x t x x t ωωω=+>>的最小正周期为π，则函数()f x 的图象（ ）A. 关于直线π4x =-对称B. 关于点π,04⎛⎫-⎪⎝⎭对称 C. 关于直线π8x =对称 D. 关于点π,08⎛⎫⎪⎝⎭对称 6. 已知443243210()x m a x a x a x a x a +=++++，若0123481++++=a a a a a ，则m 的取值可以为（ ） A. 2B. 1C. 1-D. 2-7. 《天工开物》是我国明代科学家宋应星所著的一部综合性科学技术著作，书中记载了一种制造瓦片的方法.某校高一年级计划实践这种方法，为同学们准备了制瓦用的粘土和圆柱形的木质圆桶，圆桶底面外圆的直径为20cm ，高为20cm .首先，在圆桶的外侧面均匀包上一层厚度为2cm 的粘土，然后，沿圆桶母线方向将粘土层分割成四等份（如图），等粘土干后，即可得到大小相同的四片瓦.每位同学制作四片瓦，全年级共500人，需要准备的粘土量（不计损耗）与下列哪个数字最接近.（参考数据：π 3.14≈）（ ）A 30.8mB. 31.4mC. 31.8mD. 32.2m8. 设等差数列{}n a 公差为d ，则“10a d <<”是“{}na n为递增数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件9. 如图1，正三角形ABD 与以BD 为直径的半圆拼在一起，C 是弧BD的中点，O 为ABD △的中心.现将ABD △沿BD 翻折为1A BD ，记1A BD 的中心为1O ，如图2.设直线1CO 与平面BCD所成的角为.的θ，则sin θ的最大值为（ ）A.13B.12C.D.10. 已知()f x 是定义在R 上的函数，其图象是一条连续不断的曲线，设函数()()()()a f x f a g x a x a-=∈-R ，下列说法正确的是（）A. 若()f x 在R 上单调递增，则存在实数a ，使得()a g x 在(),a ∞+上单调递增B. 对于任意实数a ，若()a g x 在(),a ∞+上单调递增，则()f x 在R 上单调递增C. 对于任意实数a ，若存在实数10M >，使得()1f x M <，则存在实数20M >，使得()2a g x M <D. 若函数()a g x 满足：当(),x a ∞∈+时，()0a g x ≥，当(),x a ∞∈-时，()0a g x ≤，则()f a 为()f x 的最小值第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11. 若复数1i iz +=，则z =_________.12. 设向量()()1,,3,4a m b ==- ，且a b a b ⋅=，则m =______. 13. 已知角,αβ的终边关于直线y x =对称，且()1sin 2αβ-=，则,αβ的一组取值可以是α=______，β=______.14. 已知抛物线21:4C y x =的焦点为1F ，则1F 的坐标为______；抛物线22:8C y x =的焦点为2F ，若直线()0y m m =≠分别与12,C C 交于,P Q 两点；且121PF QF -=，则PQ =______.15. 已知数列{}n a 的各项均为正数，满足21n n n a ca a +=+，其中常数c ∈R .给出下列四个判断：①若11,0a c =<，则()121n a n n <≥+； ②若1c =-，则()121n a n n <≥+； ③若()1,2n c a n n =>≥，则11a >； ④11a =，存实数c ，使得()2n a n n >≥. 其中所有正确判断的序号是______.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16. 在ABC中，cos cos cos a C c A B +=. （1）求B ∠；（2）若12,a D =为BC 边的中点，且3AD =，求b 的值.17. 某中学为了解本校高二年级学生阅读水平现状，从该年级学生中随机抽取100人进行一般现代文阅读速度的测试，以每位学生平均每分钟阅读的字数作为该学生的阅读速度，将测试结果整理得到如下频率分布直方图：（1）若该校高二年级有1500人，试估计阅读速度达到620字/分钟及以上的人数；（2）用频率估计概率，从该校高二学生中随机抽取3人，设这3人中阅读速度达到540字/分钟及以上的人数为X ，求X 的分布列与数学期望()E X ；（3）若某班有10名学生参加测试，他们的阅读速度如下：506，516，553，592，617，632，667，693，723，776，从这10名学生中随机抽取3人，设这3人中阅读速度达到540字/分钟及以上的人数为Y ，试在判断数学期望()E Y 与（2）中的()E X 的大小.（结论不要求证明） 18. 如图，在五面体ABCDEF 中，底面ABCD 为正方形，4,1AB EF ==.（1）求证：//AB EF ；（2）若H 为CD 的中点，M 为BH的中点，,EM BH EM ⊥=，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线CF 与平面ADE 所成角的正弦值. 条件①：ED EA =； 条件②：5AE =.注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分 19. 已知函数()()ln 1f x x x =-.（1）求曲线()y f x =在2x =处的切线方程； （2）设()()g x f x '=，求函数()g x 的最小值；（3）若()2f x x a>-，求实数a 的值. 20. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>短轴长为e =（1）求椭圆C 的方程；（2）设O 为坐标原点，直线l 是圆221x y +=的一条切线，且直线l 与椭圆C 交于,M N 两点，若平行四边形OMPN 的顶点P 恰好在椭圆C 上，求平行四边形OMPN 的面积.21. 有穷数列12,,,(2)n a a a n > 中，令()()*1,1,,p p q S p q a a a p q n p q +=+++≤≤≤∈N ，（1）已知数列3213,,,--，写出所有的有序数对(),p q ，且p q <，使得(),0S p q >；（2）已知整数列12,,,,n a a a n 为偶数，若(),11,2,,2n S i n i i ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，满足：当i 为奇数时，的(),10S i n i -+>；当i 为偶数时，(),10S i n i -+<.求12n a a a +++ 的最小值；（3）已知数列12,,,n a a a 满足()1,0S n >，定义集合(){}1,0,1,2,,1A i S i n i n =+>=- .若{}()*12,,,k A i i i k =∈N 且为非空集合，求证：()121,k i i i S n a a a >+++ .参考答案一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 如图所示，U 是全集，,A B 是U 的子集，则阴影部分所表示的集合是（ ）A. A B ⋂B. A B ⋃C. ()U A B ⋂ðD. ()U A B ⋃ð【答案】D 【解析】【分析】由给定的韦恩图分析出阴影部分所表示的集合中元素满足的条件，再根据集合运算的定义即可得解.【详解】由韦恩图可知阴影部分所表示的集合是()U A B ð. 故选：D.2. 已知,R,0a b ab ∈≠，且a b <，则（ ） A.11a b> B. 2ab b < C. 33a b <D. lg lg a b <【答案】C 【解析】【分析】举出反例即可判断ABD ，利用作差法即可判断C. 【详解】当2,1a b =-=时，11,lg >lg a b a b<，故AD 错误； 当2,1a b =-=-时，221ab b =>=，故B 错误；对于C ，因a b <，所以0a b -<，因为0ab ≠，所以0a ≠且0b ≠，为则()()()3322213024a b a b a ab ba b a b b ⎡⎤⎛⎫-=-++=-++< ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 所以33a b <，故C 正确. 故选：C.3. 已知双曲线221x my -=的离心率为2，则m =（ ） A. 3 B.13C. 3-D. 13-【答案】B 【解析】【详解】由双曲线221x my -=可得：2211,a b m==，2c e a ====，所以13m =，故选：B . 4. 设函数()11ln f x x=+，则（ ） A. ()12f x f x ⎛⎫+=⎪⎝⎭ B. ()12f x f x ⎛⎫-=⎪⎝⎭ C. ()12f x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭D. ()12f x f x ⎛⎫=⎪⎝⎭【答案】A 【解析】【分析】根据函数解析式，分别计算即可得解.【详解】函数()11ln f x x=+的定义域为()()0,11,+∞ ， 对于A ，()1111111221ln ln ln lnf x f x x x x x⎛⎫+=+++=++= ⎪-⎝⎭，故A 正确； 对于B ，()111112111ln ln ln ln lnf x f x x x x x x⎛⎫-=+--=--=⎪-⎝⎭，故B 错误； 对于CD ，当e x =时，()11112,1011f x f x ⎛⎫=+==+= ⎪-⎝⎭，故CD 错误. 故选：A.5. 已知函数()sin cos (0,0)f x t x x t ωωω=+>>的最小正周期为π，则函数()f x 的图象（ ）A. 关于直线π4x =-对称B. 关于点π,04⎛⎫-⎪⎝⎭对称 C. 关于直线π8x =对称 D. 关于点π,08⎛⎫⎪⎝⎭对称 【答案】C 【解析】【分析】先利用辅助角公式化一，再根据周期性求出ω，根据最值求出t ，再根据正弦函数的对称性逐一判断即可.【详解】()()sin cos f x t x x x ωωωϕ=+=+，其中1tan tϕ=，因为函数的最小正周期为π， 所以2ππω=，解得2ω=，，=1t =（1t =-舍去），所以()πsin 2cos 224x x x f x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，因为ππ144f ⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以函数图象不关于直线π4x =-对称，也不关于点π,04⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，故AB 错误；因为ππ82f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以函数图象关于直线π8x =对称，不关于点π,08⎛⎫⎪⎝⎭对称，故C 正确，D 错误.故选：C .6. 已知443243210()x m a x a x a x a x a +=++++，若0123481++++=a a a a a ，则m 取值可以为（ ） A. 2 B. 1 C. 1- D. 2-【答案】A 【解析】【分析】借助赋值法计算即可得.【详解】令1x =，有()443210118m a a a a a ++++==+， 即2m =或4m =-. 故选：A.7. 《天工开物》是我国明代科学家宋应星所著的一部综合性科学技术著作，书中记载了一种制造瓦片的方法.某校高一年级计划实践这种方法，为同学们准备了制瓦用的粘土和圆柱形的木质圆桶，圆桶底面外圆的直径为20cm ，高为20cm .首先，在圆桶的外侧面均匀包上一层厚度为2cm 的粘土，然后，沿圆桶母线方向将粘土层分割成四等份（如图），等粘土干后，即可得到大小相同的四片瓦.每位同学制作四片瓦，全年级共500人，需要准备的粘土量（不计损耗）与下列哪个数字最接近.（参考数据：π 3.14≈）（ ）A. 30.8mB. 31.4mC. 31.8mD. 32.2m【答案】B 【解析】【分析】结合圆柱体积公式求出四片瓦体积，再求需准备的粘土量.【详解】由条件可得四片瓦的体积22π1220π1020880πV =⨯⨯-⨯⨯=（3cm ） 所以500名学生，每人制作4片瓦共需粘土的体积为500880π440000π⨯=（3cm ）， 又π 3.14≈，的的所以共需粘土的体积为约为31.3816m ， 故选：B.8. 设等差数列{}n a 的公差为d ，则“10a d <<”是“{}na n为递增数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】利用等差数列通项公式求出na n，再利用单调数列的定义，结合充分条件、必要条件的意义判断即得.【详解】由等差数列{}n a 的公差为d ，得1n a a d nd =-+，则1n a a d d n n-=+， 当10a d <<时，10a d -<，而111n n >+，则111a d a d n n --<+，因此11n n a a n n +<+，{}n a n为递增数列；当{}n a n为递增数列时，则11n n a a n n +<+，即有111a d a dn n --<+，整理得1a d <，不能推出10a d <<，所以“10a d <<”是“{}n an为递增数列”的充分不必要条件.故选：A9. 如图1，正三角形ABD 与以BD 为直径的半圆拼在一起，C 是弧BD的中点，O 为ABD △的中心.现将ABD △沿BD 翻折为1A BD ，记1A BD 的中心为1O ，如图2.设直线1CO 与平面BCD 所成的角为θ，则sin θ的最大值为（ ）A.13B.12C.D.【答案】C 【解析】【分析】结合题意，可得1EO EC =1CO 在平面BCD 的投影为直线CE，借助正弦定理计算可得tan θ=tan θ的最大值即可得sin θ的最大值.【详解】取BD 中点E ，连接CE ，1A E ，由三角形ABD 为正三角形，故1O 在线段1A E 上，且1113EO A E BD ===，即1EO EC =， 由题意可得BD EC ⊥，1BD A E ⊥，1A E 、EC ⊂平面1ECO ，1A E EC E = ， 故BD ⊥平面1ECO ，又1CO ⊂平面1ECO ，故直线1CO 在平面BCD 的投影为直线CE ， 即1ECO θ=∠，则有()111sin sin sin sin πEO EC CO E O EC θθθ===∠--∠，整理可得tan θ=()10,πO EC ∠∈，令()()0,πf x x =∈，()f x =='，故当cos x ⎛∈- ⎝时，()0fx '<，当cos x ⎫∈⎪⎪⎭时，()0f x '>，令()00,πx ∈，且0cos x =，则0sin x ==， 则()f x 在()00,x 上单调递增，在()0,πx 上单调递减，即()f x 有最大值()0f x ===即tan θ，则sin θ=故选：C.【点睛】关键点点睛：本题关键点在于借助正弦定理表示出θ与1O EC ∠的关系，通过导数计算出tan θ的最大值从而得到sin θ的最大值.10. 已知()f x 是定义在R 上的函数，其图象是一条连续不断的曲线，设函数()()()()a f x f a g x a x a-=∈-R ，下列说法正确的是（）A. 若()f x 在R 上单调递增，则存在实数a ，使得()a g x 在(),a ∞+上单调递增B. 对于任意实数a ，若()a g x 在(),a ∞+上单调递增，则()f x 在R 上单调递增C. 对于任意实数a ，若存在实数10M >，使得()1f x M <，则存在实数20M >，使得()2a g x M <D. 若函数()a g x 满足：当(),x a ∞∈+时，()0a g x ≥，当(),x a ∞∈-时，()0a g x ≤，则()f a 为()f x 的最小值【答案】D 【解析】【分析】首先理解函数()a g x 表达的是函数()f x 图像上两点割线的斜率，当x a →时，表示的为切线斜率，然后举反例设()f x x =可判断A 错误；设()2f x x =可得B 错误；设()sin f x x =可得C 错误；由函数单调性的定义可以判断D 正确. 【详解】函数()()()()a f x f a g x a x a-=∈-R 表达的是函数()f x 图象上两点割线的斜率，当x a →时，表示的为切线斜率；所以对于A ：因为()f x 是定义在R 上的函数，其图象是一条连续不断的曲线，且()f x 在R 上单调递增， 所以设()f x x =，则()f a a =，此时()()()()1a f x f a x ag x a x ax a--===∈--R 为常数，即任意两点的割线的斜率为常数，故A 错误； 对于B ：设()2f x x =，由图象可知，当x ∈R 时，随x 增大，点()(),x f x 与点()(),a f a 连线的割线斜率越来越大，即单调递增，但()f x 在R 不是单调函数，故B 错误；对于C ：因为对于任意实数a 存在实数10M >，使得()1f x M <，说明()f x 为有界函数，所以设()sin f x x =，但割线的斜率不一定有界，如图当0x +→时，割线的斜率趋于正无穷，故C 错误；对于D ：因为函数()a g x 满足：当(),x a ∞∈+时，()0a g x ≥， 即()()()()()()()00,a f x f a g x f x f a x a x a x a-⎡⎤=≥⇒--≥≠⎣⎦-，因为x a >，0x a ->，所以()()f x f a ≥； 同理，当(),x a ∞∈-时，()0a g x ≤， 即()()()()()()()00,a f x f a g x f x f a x a x a x a-⎡⎤=≤⇒--≤≠⎣⎦-，因为x a <，0x a -<，所以()()f x f a ≥； 所以()f a 为()f x 的最小值，故D 正确；故选：D.【点睛】关键点点睛：本题关键在于理解函数()a g x 表达的是函数()f x 图像上两点割线的斜率，当x a →时，表示的为切线斜率，然后通过熟悉的函数可逐项判断.第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11. 若复数1i iz +=，则z =_________.【解析】 【分析】利用复数的除法法则将复数表示为一般形式，然后利用复数的模长公式可计算出z 的值.【详解】()()21111i i i z i i i i i++===-+=- ，因此，z ==..【点睛】本题考查复数模的计算，同时也考查了复数的除法运算，考查计算能力，属于基础题.12. 设向量()()1,,3,4a m b ==- ，且a b a b ⋅=，则m =______.【答案】43-##113- 【解析】【分析】根据数量积的定义，向量共线的坐标表示，结合已知条件，求解即可. 【详解】设,a b的夹角为θ，cos a b a b a b θ⋅== ，故cos 1θ=，又[]0,πθ∈，故0θ=，,a b方向相同， 又()()1,,3,4a m b ==- ，则43m -=，解得43m =-，满足题意.故答案为：43-.13. 已知角,αβ的终边关于直线y x =对称，且()1sin 2αβ-=，则,αβ的一组取值可以是α=______，β=______.【答案】 ①.π3（答案不唯一，符合题意即可） ②. π6（答案不唯一，符合题意即可） 【解析】【分析】由角,αβ的终边关于直线y x =对称，可得π2π2k αβ+=+，再由()1sin 2αβ-=可得ππ6k β=+或ππ6k β=-+，即可求出答案. 【详解】因为角,αβ的终边关于直线y x =对称， 则π2π2k αβ+=+，Z k ∈，则π2π2k αβ=-+， 因为()1sin 2αβ-=，所以ππ1sin 2πsin 22πcos 2222k k ββββ⎛⎫⎛⎫-+-=-+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所有π22π3k β=+或π22π3k β=-+，Z k ∈， 解得：ππ6k β=+或ππ6k β=-+，Z k ∈，取0k =，β的一个值可以为π6，α的一个值可以为π3.故答案为：π3（答案不唯一，符合题意即可）；π6（答案不唯一，符合题意即可）.14. 已知抛物线21:4C y x =的焦点为1F ，则1F 的坐标为______；抛物线22:8C y x =的焦点为2F ，若直线()0y m m =≠分别与12,C C 交于,P Q 两点；且121PF QF -=，则PQ =______.【答案】 ①. ()1,0 ②. 2【解析】【分析】根据抛物线的方程即可得出焦点坐标，根据抛物线的定义求出12,PF QF ，进而可得出PQ . 【详解】由抛物线21:4C y x =，可得()11,0F ，设()()1122,,,P x y Q x y ， 则11221,2PF x QF x =+=+，故121211PF QF x x -=--=，所以122x x -=， 所以122PQ x x =-=.故答案为：()1,0；2.15. 已知数列{}n a 的各项均为正数，满足21n n n a ca a +=+，其中常数c ∈R .给出下列四个判断：①若11,0a c =<，则()121n a n n <≥+； ②若1c =-，则()121n a n n <≥+； ③若()1,2n c a n n =>≥，则11a >； ④11a =，存在实数c ，使得()2n a n n >≥. 其中所有正确判断的序号是______. 【答案】②③④ 【解析】【分析】①直接取13c =-找矛盾；②通过21111111n n nn n n a a a a a a ++⇒=--=>-+，利用累加法求n a 的范围；③假设11a ≤找矛盾；④取2c =，根据函数单调性来确定其成立.【详解】对于①：若11,0a c =<，则21211ca c a a =+=+，当13c =-时，223a =，与213a <矛盾，①错误；对于②：若1c =-，则210n n n a a a +=-+>，所以01n a <<，又2112a a a =-+，若12113a a <-+，该不等式恒成立，即2013a <<， 由()2111111*********n n n n n n n nn n n n a a a a a a a a a a a a ++++⇒=⇒=+⇒-=--=--+由于01n a <<，所以111na >-， 所以1111n n a a +->，所以3n ≥时，11232111111111nn n n a a a a a a ---⎧->⎪⎪⎪->⎪⎨⎪⎪⎪->⎪⎩ ，累加得2112n n a a ->-， 所以2112231n n n n a a >-+>-+=+，所以()131n a n n <≥+， 综合得()121n a n n <≥+，②正确； 对于③：若()1,2n c a n n =>≥，21n n n a a a +=+，假设11a ≤，则21122a a a =+≤，与22a >矛盾，故11a >，③正确；对于④：当11a =时，若2c =，则212n n n a a a +=+，此时2121232a a a =+=>，根据二次函数22y x x =+可得其在()0,∞+上单调递增，并增加得越来越快，但是函数y x =在()0,∞+上单调递增，但增加速度恒定，故在22a >的情况下，n a n >必成立，即存在实数c ，使得()2n a n n >≥，④正确，故答案为：②③④.【点睛】方法点睛：对于数列判断题，我们可以通过赋值，举例的方法对选项进行确认和排除.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16. 在ABC中，cos cos cos a C c A B +=. （1）求B ∠；（2）若12,a D =为BC 边的中点，且3AD =，求b 的值. 【答案】（1）π6； （2）【解析】【分析】（1）由正弦定理可得sin()cos A C B B +=，结合三角和为π及诱导公式可得cos B =，即可得答案；（2）在ABD △中，由正弦定理可求得π2BAD ∠=，从而可得AB =ABC 中，利用余弦定理求解即可. 【小问1详解】解：因为cos cos cos a C c A B +=，由正弦定理可得sin cos sin cos cos A C C A B B +=，即sin()cos A C B B +=，sin(π)sin cos B B B B -==， 又因为sin 0B ≠，所以1B =，解得cos B =，又因为(0,π)B ∈， 所以π6B =； 【小问2详解】解：因为D 为BC 边的中点，12a =， 所以6BD CD ==, 设BAD θ∠=,在ABD △中，由正弦定理可得sin sin BD ADBθ=， 即6361sin 2θ==，解得sin 1θ=， 又因为(0,π)θ∈，所以π2θ=，在Rt △ABD 中，AB ===在ABC 中，π12,6AB BC B ===，由余弦定理可得：2222cos 1442721263AC AB BC AB AC B =+-⋅⋅=+-⨯⨯=，所以AC =即b =17. 某中学为了解本校高二年级学生阅读水平现状，从该年级学生中随机抽取100人进行一般现代文阅读速度的测试，以每位学生平均每分钟阅读的字数作为该学生的阅读速度，将测试结果整理得到如下频率分布直方图：（1）若该校高二年级有1500人，试估计阅读速度达到620字/分钟及以上的人数；（2）用频率估计概率，从该校高二学生中随机抽取3人，设这3人中阅读速度达到540字/分钟及以上的人数为X ，求X 的分布列与数学期望()E X ；（3）若某班有10名学生参加测试，他们的阅读速度如下：506，516，553，592，617，632，667，693，723，776，从这10名学生中随机抽取3人，设这3人中阅读速度达到540字/分钟及以上的人数为Y ，试判断数学期望()E Y 与（2）中的()E X 的大小.（结论不要求证明） 【答案】（1）600（2）分布列见解析，() 2.4E X =（3）()()E X E Y =【解析】【分析】（1）借助频率分布直方图计算即可得；（2）借助频率分布直方图可得阅读速度达到540字/分钟及以上的概率，得到X 的可能取值及其对应概率即可得，再计算期望即可； （3）借助期望计算公式计算即可得. 【小问1详解】()15000.003750.0010.0002580600⨯++⨯=，故可估计阅读速度达到620字/分钟及以上的人数为600人； 【小问2详解】从中任取一人，其阅读速度达到540字/分钟及以上的概率为：()0.0050.003750.0010.00025800.8+++⨯=，X 的可能取值为0、1、2、3，()0330C 0.20.008P X ==⨯=， ()1231C 0.80.20.096P X ==⨯⨯=， ()2232C 0.80.20.384P X ==⨯⨯=， ()0333C 0.80.512P X ==⨯=，则其分布列为：X12 3P0.008 0.0960.384 0.512其期望为：()30.8 2.4E X =⨯=； 【小问3详解】()()E X E Y =，理由如下：这10名学生中，阅读速度达到540字/分钟及以上的人数为8人，Y 的可能取值为1、2、3，()1282310C C 811C 12015P Y ====，()2182310C C 5672C 12015P X ====，()3082310C C 5673C 12015P X ====，则()177123 2.4151515E Y =⨯+⨯+⨯=， 故()()E X E Y =.18. 如图，在五面体ABCDEF 中，底面ABCD 为正方形，4,1AB EF ==.（1）求证：//AB EF ；（2）若H 为CD 的中点，M 为BH的中点，,EM BH EM ⊥=，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线CF 与平面ADE 所成角的正弦值. 条件①：ED EA =； 条件②：5AE =.注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分 【答案】（1）证明见解析（2【解析】【分析】（1）先证明//AB 平面EFCD ，再利用线面平行的性质证明//AB EF ；（2）选①②：证明 EM ⊥平面ABCD ，建立以M 为原点的空间坐标系，求出平面ADE 的法向量，利用线面角公式求解 【小问1详解】证明：底面ABCD 为正方形,则//AB CD ，又AB ⊄平面EFCD ，CD ⊂平面EFCD ， 则//AB 平面EFCD ，又平面EFCD 平面EFBA EF =，AB ⊂平面EFBA ，故//AB EF . 【小问2详解】选①，取AD 中点G ,连接,EG MG ，因为ED EA =，所以EG AD ⊥， 易知GM 为梯形ABHD 的中位线，则MG AD ⊥，又,,MG EG G MG EG ⋂=⊂平面EGM ，故AD ⊥平面EGM ，EM ⊂平面EGM ，则,,AD EM EM BH ⊥⊥,AD BH ⊂平面ABCD ，且,AD BH 必相交，故EM ⊥平面ABCD ， 延长GM 交BC 于P ,则P 为中点，易得//,EF MP EF MP =，故EFPM 为矩形.以M 为原点，EM 所在直线为z 轴，MG 所在直线为x 轴，过M 作CB 平行线为y 轴，建立空间直角坐标系如图：则()()()((3,2,0,3,2,0,1,2,0,0,0,0,1,A D C E F ----，，则()0,4,0AD =-，(3,2,AE =--，(1,1,CF = ，设平面ADE 的法向量为(),,m x y z =，则00m AD m AE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即40320y x y -=⎧⎪⎨--+=⎪⎩，令x =()m = ， 设直线CF 与平面ADE所成角为,sin cos ,m CF θθ===选②：取AD 中点G , 连接GM ，易知GM 为梯形ABHD 的中位线，3GM =，则AM =5AE =，EM =，则222AE EM AM =+，故,EM AM ⊥ 又,,,EM BH AM BH M AM BH ⊥⋂=⊂平面ABCD ，故EM ⊥平面ABCD ， 延长GM 交BC 于P ,则P 为中点，易得//,EF MP EF MP =，故EFPM 为矩形.以M 为原点，EM 所在直线为z 轴，MG 所在直线为x 轴，过M 作CB 平行线为y 轴，建立空间直角坐标系如图：则()()()((3,2,0,3,2,0,1,2,0,0,0,0,1,A D C E F ----，，则()0,4,0AD =-，(3,2,AE =--，(1,1,CF = ，设平面ADE 的法向量为(),,m x y z =，则00m AD m AE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即40320y x y -=⎧⎪⎨--+=⎪⎩，令x =()m = ， 设直线CF 与平面ADE所成角为,sin cos ,m CF θθ===19. 已知函数()()ln 1f x x x =-.（1）求曲线()y f x =在2x =处的切线方程； （2）设()()g x f x '=，求函数()g x 的最小值；（3）若()2f x x a>-，求实数a 的值. 【答案】（1）24y x =-（2）2（3）2a = 【解析】【分析】（1）求导，再根据导数的几何意义即可得解；（2）利用导数求出函数()g x 的单调区间，进而可求出最小值；（3）分1a ≤和1a >两种情况讨论，在1a >时，再分x a >和1x a <<两种情况讨论，分离参数，构造函数并求出其最值，即可得解. 【小问1详解】()()()ln 111xf x x x x '=-+>-， 则()()22,20f f '==，所以曲线()y f x =在2x =处的切线方程为()22y x =-，即24y x =-； 【小问2详解】()()()()ln 111xg x f x x x x '==-+>-， ()()()22112111x x x g x x x x ---'=+=---， 当12x <<时，()0g x '<，当2x >时，()0g x '>，所以函数()g x ()1,2上单调递减，在()2,+∞上单调递增， 所以()()min 22g x g ==； 【小问3详解】函数()f x 的定义域为()1,+∞， 当1a ≤时，0x a ->， 则()2f x x a>-，即()()2f x x a >-， 即()22a f x x -<-， 由（2）得()2f x '≥，令()()2h x f x x =-，则()()()201h x f x x ''=-≥>， 所以()h x 在()1,+∞上单调递增， 又当1x →时，()h x →-∞， 因为1a ≤，所以22a -≥-，此时()22a f x x -<-不恒成立，故1a ≤不符题意； 当1a >时，若x a >，则0x a ->， 则()2f x x a>-，即()()2f x x a >-，即()22a f x x -<-， 由上可知函数()()2h x f x x =-在(),a +∞上单调递增， 所以()()()()ln 12h x h a a a a x a >=-->，在所以()2ln 12a a a a -≤--，解得2a ≥①，若1x a <<，则()2f x x a>-，即()()2f x x a <-，即()22a f x x ->-， 由上可知函数()()2h x f x x =-在()1,a 上单调递增， 所以()()()()ln 1211h x h a a a a a <=--<<， 所以()2ln 12a a a a -≥--，解得2a ≤②， 由①②可得2a =， 综上所述，2a =.【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：（1）通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； （2）利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．（3）根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．20. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的短轴长为e =（1）求椭圆C 的方程；（2）设O 为坐标原点，直线l 是圆221x y +=的一条切线，且直线l 与椭圆C 交于,M N 两点，若平行四边形OMPN 的顶点P 恰好在椭圆C 上，求平行四边形OMPN 的面积.【答案】（1）22163x y +=（2 【解析】【分析】（1）根据题意求出,a b ，即可得解；（2）分切线斜率是否存在两种情况讨论，当切线的斜率存在时，设切线方程为y kx m =+，先求出,k m 的关系，设()()1122,,,M x y N x y ，联立直线与椭圆的方程，利用韦达定理求出1212,x x x x +，进而可求得线段MN 的中点坐标，从而可求得点P 的坐标，再根据点P 在椭圆上，即可求得,k m ，再利用弦长公式求出MN ，即可得解.【小问1详解】由题意可得2222b ca ab c⎧=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，解得222633a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，所以椭圆C 的方程为22163x y +=； 【小问2详解】当圆的切线斜率不存在时，切线方程为1x =±， 当切线方程为1x =时，由椭圆的对称性可得()2,0P ， 因为4021633+=<，所以点()2,0P 不在椭圆上，不符题意， 当切线方程为=1x -时，由椭圆的对称性可得()2,0P -， 因为4021633+=<，所以点()2,0P -不在椭圆上，不符题意， 所以切线的斜率存在，设切线方程为y kx m =+，1=，所以221m k =+①，联立22163y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得()222214260k x kmx m +++-=，则()()()()()22222222Δ16421261614212160k m k m k kk k ⎡⎤=-+-=+-++->⎣⎦，解得R k ∈，设()()1122,,,M x y N x y ，则2121222426,2121km m x x x x k k -+=-=++， 故()()221212222221422212121m k k m m y y k x x m k k k ++=++=-+=+++，所以线段MN 的中点坐标为222,2121km m k k ⎛⎫-⎪++⎝⎭， 因为四边形OMPN 为平行四边形，所以2242,2121km m P k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭， 又因为点P 在椭圆C 上， 所以()()22222221641621321k m m k k +=++②，将①代入②得()()()()222222281411321321k k kk k+++=++，解得k =，所以m =所以MN =====，所以12212OMPN OMN S S ==⨯=. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()11,x y 、()22,x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，必要时计算∆； （3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x （或12y y +、12y y ）的形式； （5）代入韦达定理求解.21. 有穷数列12,,,(2)n a a a n > 中，令()()*1,1,,p p q S p q a a a p q n p q +=+++≤≤≤∈N ，（1）已知数列3213,,,--，写出所有的有序数对(),p q ，且p q <，使得(),0S p q >； （2）已知整数列12,,,,n a a a n 为偶数，若(),11,2,,2n S i n i i ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，满足：当i 为奇数时，(),10S i n i -+>；当i 为偶数时，(),10S i n i -+<.求12n a a a +++ 的最小值；（3）已知数列12,,,n a a a 满足()1,0S n >，定义集合(){}1,0,1,2,,1A i S i n i n =+>=- .若{}()*12,,,k A i i i k =∈N 且为非空集合，求证：()121,k i i i S n a a a >+++ .【答案】（1）()1,4、()2,3、()2,4、()3,4（2）n 1-（3）证明见解析 【解析】【分析】（1）结合题意，逐个计算即可得；（2）由题意可得()1,0S n >，()2,10S n -<，可得当2n i ≠时，有12i n i a a -++≥，当2ni =时，1221n na a ++≥，结合11i n i i n i a a a a -+-++≥+，即可得解；（3）将()()121,k i i i S n a a a -+++ 展开，从而得到证明m i a 与1m i a +之间的项之和，1121i a a a -+++ ，112k k i i n a a a -+++++ 都为正数，即可得证.【小问1详解】(),p q ()1,4时，()(),321310S p q =-++-+=>， (),p q 为()2,3时，()(),2110S p q =+-=>， (),p q 为()2,4时，()(),21340S p q =+-+=>， (),p q 为()3,4时，()(),1320S p q =-+=>，故p q <，且使得(),0S p q >的有序数对有()1,4、()2,3、()2,4、()3,4； 【小问2详解】由题意可得()1,0S n >，()2,10S n -<，为又n a 为整数，故()1,1S n ≥，()2,11S n -≤-， 则()()11,2,12n S n S n a a --=+≥，同理可得()()212,13,22n S n S n a a ----=+≤-， 即有212n a a -+≥， 同理可得，当2ni ≠时，有12i n i a a -++≥， 即当2ni ≠时，有112i n i i n i a a a a -+-++≥+≥， 当2n i =时，122,1122n n n n S a a +⎛⎫+=+≥ ⎪⎝⎭，故()()12121122n n n n na a a a a a a a a -+⎛⎫+++=++++++ ⎪ ⎪⎝⎭()()121122n n n na a a a a a -+⎛⎫++++++ ⎪ ⎪⎝⎭≥ 22112n n -⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭；【小问3详解】{}()*12,,,k A i i i k =∈N 时，当11i ≠时，()()()()2112111211211,k i i i i i i i S n a a a a a a a a a -++--+++=+++++++()()()22111312112112k k k k k i i i i i i i i n a a a a a a a a a ---++-++-+++++++++++++++ ，令m i A ∈且1m i A -∉，则有()1,0m S i n +>，(),0m S i n ≤， 又()1,0S n >，故()()1211,,0m m i S n S i n a a a --=+++> ， 即有11210i a a a -+++> ，1120k k i i n a a a -+++++> ，令1m i A +∈且11m i A +-∉，则有()11,0m S i n ++>，()1,0m S i n +≤， 则()()111211,,0m m m i m m i i S i n S i n a a a ++++-+-=+++> ，即有()()()112212311211211210k k k i i i i i i i i i a a a a a a a a a --++-++-++-++++++++++++> ，故()()121,0k i i i S n a a a -+++> ，即()121,k i i i S n a a a >+++ ， 当11i =时，()()()121211211,k i i i i i i S n a a a a a a ++--+++=+++()()()322111*********k k k k k i i i i i i i i n a a a a a a a a a ---++-++-+++++++++++++++> ，即()121,k i i i S n a a a >+++ 亦成立，即得证.【点睛】关键点点睛：本题最后一小问关键点在于将()()121,k i i i S n a a a -+++ 展开，从而得到证明m i a 与1m i a +之间的项之和，1121i a a a -+++ ，112k k i i n a a a -+++++ 都为正数，即可得证.。

北京市丰台区高三年级第二学期统一练习（一）数 学 试 题（理）一、本大题共8小题，每小题5分共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1．如果aiaiz +-=11为纯虚数，则实数a 等于（ ）A ．0B ．-1C ．1D ．-1或12．设集合[)(]}1,0,log |{},,0,)21(|{2∈==+∞∈==x x y y N x y y M x ，则集合N M 是（ ）A ．[)+∞-∞,1)0,(B ．[)+∞,0C ．(]1,∞-D ．)1,0()0,( -∞ 3．若,)21(2210nn n x a x a x a a x ++++=- 则2a 的值是（ ）A ．84B ．-84C ．280D ．-2804．奇函数)0,()(-∞在x f 上单调递增，若,0)1(=-f 则不等式0)(<x f 的解集是（ ） A ．)1,0()1,(⋃--∞ B ．),1()1,(+∞⋃--∞C ．)1,0()0,1( -D ．),1()0,1(+∞⋃-5．从0，2，4中取一个数字，从1，3，5中取两个数字，组成无重复数字的三位数，则所有不同的三位数的个数是 （ ） A ．36 B ．48 C ．52 D ．54 6．在ABC ∆，|"||"""AC =⋅=⋅是的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 7．设,24,0,0=++>>ab b a b a 则（ ）A ．a+b 有最大值8B ．a+b 有最小值8C ．ab 有最大值8D ．ab 有最小值8 8．已知整数以按如下规律排成一列：（1，1）、（1，2）、（2，1）、（1，3）、（2，2），（3，1），（1，4），（2，3），（3，2），（4，1）……，则第60个数对是 （ ） A ．（10，1） B ．（2，10） C ．（5，7） D ．（7，5） 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.9．在平行四边形ABCD 中，点E 是边AB 的中点，DE 与AC 交于点F ，若AEF ∆的面积是1cm 2，则CDF ∆的面积是 cm 2.10．若一个正三棱柱的三视图及其尺寸如下图所示（单位：cm ），则该几何体的体积是cm 3.11．样本容量为1000的频率分布直方图如图所示.根据样本的频率分布直方图计算，x 的值为 ，样本数据落在[)14,6内的频数为 . 12．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧+==11t y x （参数R t ∈），圆C 的参数方程为⎩⎨⎧=+==θθsin 1cos y x （参数[)πθ2,0∈），则圆心到直线l 的距离是 .13．在右边的程序框图中，若输出i 的值是4，则输入x 的取值范围是 .14．函数)10(12≤≤+=x x y 图象上点P 处的切线与直线1,0,0===x x y 围成的梯形面积等于S ，则S 的最大值等于 ，此时点P 的坐标是 .三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15．（12分）已知函数x b x a x f cos sin )(+=的图象经过点).1,3(),0,6(ππ（I ）求实数a 、b 的值； （II ）若]2,0[π∈x ，求函数)(x f 的最大值及此时x 的值.16．（13分） 如图，在底面是正方形的四棱锥P —ABCD 中，PA ⊥面ABCD ，BD 交AC 于点E ，F 是PC 中点，G 为AC 上一点. （I ）求证：BD ⊥FG ；（II ）确定点G 在线段AC 上的位置，使FG//平面PBD ，并说明理由. （III ）当二面角B —PC —D 的大小为32π时，求PC 与底面ABCD 所成角的正切值. 17．（14分）某工厂师徒二人各加工相同型号的零件2个，是否加工出精品均互不影响.已知师父加工一个零件是精品的概率为32，师徒二人各加工2个零件都是精品的概率为.91 （I ）求徒弟加工2个零件都是精品的概率；（II ）求徒弟加工该零件的精品数多于师父的概率；（III ）设师徒二人加工出的4个零件中精品个数为ξ，求ξ的分布列与均值E ξ. 18．（13分）已知函数.ln )(xax x f += （I ）当a<0时，求函数)(x f 的单调区间； （II ）若函数f （x ）在[1，e]上的最小值是,23求a 的值. 19．（13分）在直角坐标系xOy 中，点M 到点)0,3(),0,3(21F F -的距离之和是4，点M 的轨迹是C 与x 轴的负半轴交于点A ，不过点A 的直线b kx y l +=:与轨迹C 交于不同的两点P 和Q.（I ）求轨迹C 的方程；（II ）当0=⋅时，求k 与b 的关系，并证明直线l 过定点.20．（14分）设集合W 由满足下列两个条件的数列}{n a 构成：①;212++<+n n n a a a ②存在实数M ，使.M a n ≤（n 为正整数）（I ）在只有5项的有限数列;5,4,3,2,1,}{},{54321=====a a a a a b a n n 其中中 1,4,5,4,154321=====b b b b b ；试判断数列}{},{n n b a 是否为集合W 的元素； （II ）设}{n c 是各项为正的等比数列，n S 是其前n 项和，,47,4133==S c 证明数列W S n ∈}{；并写出M 的取值范围；（III ）设数列,}{W d n ∈且对满足条件的M 的最小值M 0，都有)(*N n M d n n ∈≠.求证：数列}{n d 单调递增.参考答案一、选择题（每小题5分，共40分） BCAABCBC二、填空题（每小题5分，共30分） 9．4 10．324 11．0.09,680 12．2 13．(]4,2 14．)45,21(,45 三、解答题：（本大题共6小题，共80分） 15．（12分）解：（I ）∵函数x b x a x f cos sin )(+=的图象经过点)1,3(),0,6(ππ，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+∴1212302321b a b a …………4分解得：1,3==b a…………5分（II ）由（I ）知：)6sin(2cos sin 3)(π-=-=x x x x f…………8分 ],3,6[6],2,0[ππππ-∈-∴∈x x…………9分2,36πππ==-∴x x 即当时，)(x f 取得最大值.3…………12分16．（13分）证明：（I ）⊥PA 面ABCD ，四边形ABCD 是正方形， 其对角线BD ，AC 交于点E ， ∴PA ⊥BD ，AC ⊥BD. ∴BD ⊥平面APC ，⊂FG 平面PAC ，∴BD ⊥FG…………7分（II ）当G 为EC 中点，即AC AG 43=时， FG//平面PBD ， …………9分 理由如下：连接PE ，由F 为PC 中点，G 为EC 中点，知FG//PE ， 而FG ⊄平面PBD ，PB ⊂平面PBD ， 故FG//平面PBD. …………13分 （III ）作BH ⊥PC 于H ，连结DH ，∵PA ⊥面ABCD ，四边形ABCD 是正方形， ∴PB=PD ，又∵BC=DC ，PC=PC ， ∴△PCB ≌△PCD ，∴DH ⊥PC ，且DH=BH ，∴∠BHD 主是二面角B —PC —D 的平面角，…………11分即,32π=∠BHD ∵PA ⊥面ABCD ，∴∠PCA 就是PC 与底面ABCD 所成的角 …………12分连结EH ，则PC EH BHE BD EH ⊥=∠⊥,3,π,,3tan EC BE EHBEBHE ===∠∴而,33sin ,3==∠∴=∴EC EH PCA EH EC ,22tan =∠∴PCA ∴PC 与底面ABCD 所成角的正切值是22 …………14分解：以A 为原点，AB ，AD ，PA 所在的直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系如图所示，设正方形ABCD 的边长为1，则A （0，0，0），B （1，0，0），C （1，1，0）D （0，1，0），P （0，0，a ）（a>0）,)20)(0,,(),2,21,21(),0,21,21(<<m m m G aF E（I ）),2,21,21(),0,1,1(am m ---=-=002121=+-++=⋅m mFG BD ⊥∴ …………5分（II ）要使FG//平面PBD ，只需FG//EP ，而),21,21(a -=，由EP FG λ=可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=-λλa a m 22121，解得,1=λ,43=m…………7分,43),0,43,43(G =∴∴故当AC AG 43=时，FG//平面PBD…………9分设平面PBC 的一个法向量为),,,(z y x =则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00，而)0,1,0(),,1,1(=-=a ⎩⎨⎧==-+∴00y az y x ，取z=1，得)1,0,(a u =， 同理可得平面PBC 的一个法向量)1,,0(a v = 设,所成的角为0，则,21|32cos||cos |==πθ ,21111,2122=+⋅+∴=a a 1=∴a…………12分∵PA ⊥面ABCD ，∴∠PCA 就是PC 与底面ABCD 所成的角，2221tan ===∠∴AC PA PCA …………14分17．（14分）解：（I ）设徒弟加工1个零件是精品的概率为p 1，则,419132322121==⨯p p 得 所以徒弟加工2个零件都是精品的概率是41…………3分（II ）设徒弟加工零件的精品数多于师父的概率为p ，由（I ）知，211=p所以364949492=⨯+⨯+⨯=p…………9分（III ）ξ的分布列为…………13分 ξ的期望为373644361233613236613610=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯…………14分18．（13分）解：函数xax x f +=ln )(的定义域为),0(+∞ …………1分221)('xa x x a x x f -=-=…………3分（1）.0)(',0>∴<x f a故函数在其定义域),0(+∞上是单调递增的. …………5分（II ）在[1，e]上，发如下情况讨论：①当a<1时，,0)('>x f 函数)(x f 单调递增， 其最小值为,1)1(<=a f 这与函数在[1，e]上的最小值是23相矛盾； …………6分②当a=1时，函数(]e x f ,1)(在单调递增， 其最小值为,1)1(=f 同样与最小值是23相矛盾； …………7分③当e a <<1时，函数[)a x f ,1)(在上有0)('<x f ，单调递减， 在(]e a ,上有,0)('>x f 单调递增，所以， 函数)(x f 满足最小值为1ln )(+=a a f 由,,231ln e a a ==+得 …………9分④当a=e 时，函数[),0)(',1)(<x f e x f 上有在单调递减， 其最小值为,2)(=e f 还与最小值是23相矛盾； …………10分⑤当a>e 时，显然函数],1[)(e x f 在上单调递减， 其最小值为,21)(>+=eae f 仍与最小值是23相矛盾； …………12分 综上所述，a 的值为.e…………13分19．（13分）解：（1）)0,3(),0,3(-到点M 的距离之和是4，M ∴的轨迹C 是长轴为4，焦点在x 轴上焦中为32的椭圆，其方程为.1422=+y x …………3分（2）将b kx y +=，代入曲线C 的方程，整理得0428)41(22=+++kx x k…………5分因为直线l 与曲线C 交于不同的两点P 和Q ，所以.0)14(16)44)(41(464222222>+-=-+-=∆b k b k b k ① 设),,(),,(2211y x Q y x P ，则221221414,4128kx x k k x x +=+-=+ ② …………7分且.)()())((2212122121b x x kb x x k b kx b kx y y +++=++=⋅③ 显然，曲线C 与x 轴的负半轴交于点A （-2，0）， 所以),,2(),,2(2211y x AQ y x AP +=+= 由.0)2)(2(,02121=+++=⋅y y x x AQ AP 得 将②、③代入上式，整理得.05161222=+-b kb k …………10分所以,0)56()2(=-⋅-b k b k 即,562k b k b ==或经检验，都符合条件① 当b=2k 时，直线l 的方程为.2k kx y += 显然，此时直线l 经过定点（-2，0）点. 即直线l 经过点A ，与题意不符.当k b 56=时，直线l 的方程为).65(56+=+=x k k kx y 显然，此时直线l 经过定点)0,56(-点，且不过点A.综上，k 与b 的关系是：,56k b =且直线l 经过定点)0,56(-点…………13分20．（14分）解：（I ）对于数列}{n a ，取,22231a a a ==+显然不满足集合W 的条件，① 故}{n a 不是集合W 中的元素，…………2分对于数列}{n b ，当}5,4,3,2,1{∈n 时，不仅有,42,32342231b b b b b b <=+<=+ ,32433b b b <=+而且有5≤n b ， 显然满足集合W 的条件①②， 故}{n b 是集合W 中的元素.…………4分（II ）}{n c 是各项为正数的等比数列，n S 是其前n 项和，,47,4133==S c 设其公比为q>0，,473323=++∴c q c qc 整理得0162=--q q 1121,1,21-==∴=∴n n c c q 1212--=n n S…………7分对于,212212122,222*+++=-<--=+∈∀n n n n n n n S S S N 有 且,2<n S故W S n ∈}{，且[)+∞∈,2M…………9分（III ）证明：（反证）若数列}{n d 非单调递增，则一定存在正整数k ，使1+≥k k d d ，易证于任意的k n ≥，都有1+≥k k d d ，证明如下： 假设1,)(+≥≥=k k d d k m m n 时当n=m+1时，由,221212m m m m m m d d d d d d -<<+++++得第11页 共11页 而0)2(11121≥-=-->-+++++m m m m m m m d d d d d d d 所以,21++>m m d d所以，对于任意的,,1+≥≥m m d d k n 都有 显然k d d d ,,,21 这k 项中有一定存在一个最大值，不妨记为0n d ； 所以.),(0*00M d N n d d n n n =∈≥从而与这题矛盾. 所以假设不成立， 故命题得证.…………14分。

2024届铜仁市重点中学高三第二学期综合练习（一）数学试题请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。

写在试题卷、草稿纸上均无效。

2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．小王因上班繁忙，来不及做午饭，所以叫了外卖.假设小王和外卖小哥都在12：00~12：10之间随机到达小王所居住的楼下，则小王在楼下等候外卖小哥的时间不超过5分钟的概率是（ ） A ．12B ．45C ．38D ．342．如图，圆锥底面半径为2，体积为223π，AB 、CD 是底面圆O 的两条互相垂直的直径，E 是母线PB 的中点，已知过CD 与E 的平面与圆锥侧面的交线是以E 为顶点的抛物线的一部分，则该抛物线的焦点到圆锥顶点P 的距离等于（ ）A ．12B ．1C ．104D 5 3．设双曲线221x y a b+=的一条渐近线为2y x =-，且一个焦点与抛物线24x y =的焦点相同，则此双曲线的方程为（ ） A ．225514x y -= B ．225514y x -= C ．225514y x -= D ．225514x y -= 4．定义在[]22-,上的函数()f x 与其导函数()f x '的图象如图所示，设O 为坐标原点，A 、B 、C 、D 四点的横坐标依次为12-、16-、1、43，则函数()xf x y e=的单调递减区间是（ ）A ．14,63⎛⎫-⎪⎝⎭B ．1,12⎛⎫-⎪⎝⎭C ．11,26--⎛⎫⎪⎝⎭D ．()1,25．设直线l 的方程为20()x y m m -+=∈R ，圆的方程为22(1)(1)25x y -+-=，若直线l 被圆所截得的弦长为5实数m 的取值为 A ．9-或11 B ．7-或11C ．7-D ．9-6．复数12ii--的共轭复数对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限7．半径为2的球O 内有一个内接正三棱柱，则正三棱柱的侧面积的最大值为（ ） A ．3B ．123C ．3D ．1838．已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布()20,3N ，从中随机取一件，其长度误差落在区间（3,6）内的概率为（ ）（附：若随机变量ξ服从正态分布()2,N μσ，则()68.26%P μσξμσ-<<+=，()2295.44%P μσξμσ-<<+=．）A ．4.56%B ．13.59%C ．27.18%D ．31.74%9．若i 为虚数单位，则复数112iz i+=+在复平面上对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限10．已知双曲线22221(0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，过F 的直线l 交双曲线的渐近线于A B 、两点，且直线l 的倾斜角是渐近线OA 倾斜角的2倍，若2AF FB =，则该双曲线的离心率为（ ） A ．324B ．233C ．305D ．5211．中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”.“礼”，主要指德育；“乐”，主要指美育；“射”和“御”，就是体育和劳动；“书”，指各种历史文化知识；“数”，数学.某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，连排六节，一天课程讲座排课有如下要求：“乐”不排在第一节，“射”和“御”两门课程不相邻，则“六艺”课程讲座不同的排课顺序共有（ ）种. A ．408B ．120C ．156D ．24012．5G 网络是一种先进的高频传输技术，我国的5G 技术发展迅速，已位居世界前列.华为公司2019年8月初推出了一款5G 手机，现调查得到该款5G 手机上市时间x 和市场占有率y （单位：%）的几组相关对应数据.如图所示的折线图中，横轴1代表2019年8月，2代表2019年9月……，5代表2019年12月，根据数据得出y 关于x 的线性回归方程为0.042y x a =+.若用此方程分析并预测该款手机市场占有率的变化趋势，则最早何时该款5G 手机市场占有率能超过0.5%（精确到月）（ ）A ．2020年6月B ．2020年7月C ．2020年8月D ．2020年9月二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

高三数学（理）（东城） 第 1 页（共 12 页）北京市东城区2018-2019学年度第二学期高三综合练习（一） 2019.4数学 （理科）本试卷共5页，共150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将答题卡交回。

第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知集合2{20},{210},A x x x B x x =+>=+>则A B =（A ）12x x ⎧⎫>-⎨⎬⎩⎭（B ）12x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭（C ）{0}x x > （D ）R（2）在复平面内，若复数(2i)z -对应的点在第二象限，则z 可以为 （A ）2 （B ）1- （C ）i （D ）2+i（3）在平面直角坐标系xOy 中，角α以Ox 为始边，终边经过点(1,)(0)P m m -≠，则下列各式的值一定为负的是(A)sin cos αα+ (B) sin cos αα- (C) sin cos αα (D)sin tan αα（4）正方体被一个平面截去一部分后，所得几何体的三视图如图所示，则该截面图形的形状为（A ）等腰三角形 （B ）直角三角形 （C ）平行四边形 （D ）梯形高三数学（理）（东城） 第 2 页（共 12 页）（5）若,x y 满足010,26,x y y y x +⎧⎪+⎨⎪-⎩≥，≤≥则x y -的最大值为（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）4（6）已知直线l 过抛物线28y x =的焦点F ，与抛物线交于A ，B 两点，与其准线交于点C .若点F 是AC的中点，则线段BC 的长为(A)83(B) 3 (C)163(D)6 （7）南北朝时代的伟大数学家祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础提出祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.其含义是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.如图，夹在两个平行平面之间的两个几何体的体积分别为12,,V V 被平行于这两个平面的任意平面截得的两个截面的面积分别为12,,S S 则“12,V V 相等”是“12,S S 总相等”的(A) 充分而不必要条件 (B) 必要而不充分条件 (C) 充分必要条件 (D) 既不充分也不必要条件（8）已知数列{}n a 满足：1a a =，11()2n n na a n a *+=+∈N ，则下列关于{}n a 的判断正确的是 （A ）0,2,a n ∀>∃≥使得n a < （B ）0,2,a n ∃>∃≥使得1n n a a +<（C ）0,,a m *∀>∃∈N 总有()m n a a m n <≠ （D ）0,,a m *∃>∃∈N 总有m n n a a +=高三数学（理）（东城） 第 3 页（共 12 页）第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。