2019届四川省自贡市高三第一次诊断考试数学(理)试卷答案

得c-a=0，得c=a，
则f（x）=ax2-a=a（x2-1），
若f（x）在（0，+∞）单调递减，
则a＜0，
由f（1-x）＜0得a[（1-x）2-1）]＜0，即（1-x）2-1＞0，
选D .．
11.若长方体 的顶点都在体积为 的球 的球面上，则长方体 的表面积的最大值等于（）
其表示的区域为图中阴影部分，它的面积是 ，
∴使得△ABP与△ADP的面积都小于4的概率为： ；
故选：A．
6.如图所示的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的 分别为63，36，则输出的 （）
A. 3 B. 6 C. 9 D. 18
【答案】C
【解析】
7.已知数列 ，则 是数列 是递增数列的（）条件
A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要
【答案】B
【解析】
【分析】
根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【详解】若“a1＜a2＜a3”，则“数列{an}是递增数列”，不一定，充分性不成立，若“数列{an}是递增数列”，则“a1＜a2＜a3”成立，即必要性成立，故“a1＜a2＜a3”是“数列{an}是递增数列”的必要条件．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
本题是一个几何概型的概率，以AB为底边，要使面积小于4，则三角形的高要 ，得到两个三角形的高即为P点到AB和AD的距离，得到对应区域，利用面积比求概率
【详解】 由题意知本题是一个几何概型的概率，
以AB为底边，要使面积小于4，由于 ，
则三角形的高要 ，同样，P点到AD的距离要小于 ，满足条件的P的区域如图，
【答案】B

四川省自贡市普通高中2019届高三第一次诊断性考试数学（文）试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知A={x|x>1}，B={x|x2−2x−3<0}，则A∩B=()A. {x|1<x<3}B. {x|x<−1或x≥1C. {x|x>3}D. {x|x>1}【答案】A【解析】解：∵B={x|−1<x<3}，∴A∩B={x|1<x<3}．故选：A．求解一元二次不等式化简集合B，然后直接利用交集运算得答案．本题考查了交集及其运算，考查了一元二次不等式的解法，是基础题．2.若z=−2+3ii(其中i为虚数单位)，则复数z的虚部是()A. 2iB. −2iC. −2D. 2【答案】C【解析】解：∵z=−2+3ii =(−2+3i)(−i)−i2=3+2i，∴复数z的虚部是2．故选：C．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.等差数列{a n}的前n项和为S n，若a7=11，则S13=()A. 66B. 99C. 110D. 143【答案】D【解析】解：S13=13(a1+a13)2=13×2a72=13a7=143．故选：D．等差数列的前n项和公式结合等差中项可得．本题考查了等差数列的前n项和，是基础题．4.若sin(x−π4)=13，则sin2x=()A. 79B. −79C. 13D. −13【答案】A【解析】解：由sin(x−π4)=13，得sin2x=cos(π2−2x)=cos2(π4−x)=1−2sin2(π4−x)=1−2sin2(x−π4)=1−2×19=79．故选：A．由sin2x=cos(π2−2x)=cos2(π4−x)，展开倍角公式，结合已知条件求解．本题考查三角函数的化简求值，考查诱导公式及倍角公式的应用，是基础题．5.在矩形ABCD中，AB=8，AD=6，若向该矩形内随机投一点P，那么使△ABP与△ADP的面积都小于4的概率为()A. 136B. 112C. 19D. 49【答案】A【解析】解：由题意知本题是一个几何概型的概率，以AB为底边，要使面积都小于4，由于S△ABP=12AB×ℎ=4ℎ<4，则点P到AB的距离ℎ<1，同样，S△ABP=12AD×d=3d<4，∴P点到AD的距离要小于43，满足条件的P的区域如图，其表示的区域为图中阴影部分，它的面积是1×43=43．∴使得△ABP与△ADP的面积都小于4概率为：p=438×6=136．故选：A．本题是一个几何概型的概率，以AB为底边，由△ABP与△ADP的面积都小于4，得到两个三角形的高即为P点到AB和AD的距离，得到对应区域，利用面积比求概率．本题考查概率的求法，考查几何概型、面积比求概率等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．6.如图所示的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的a，b分别为63，36，则输出的a=()A. 3B. 6C. 9D. 18【答案】C【解析】解：由a=63，b=36，满足a>b，则a=63−36=27，由a<b，则b=36−27=9，由a>b，则a=27−9=18，由a>b，则a=18−9=9，由a=b，则退出循环，输出a=9．故选：C．由循环结构的特点，先判断，再执行，分别计算出当前的a，b的值，即可得到结论．本题考查了算法和程序框图，主要是对循环结构的理解和运用，以及赋值语句的运用问题，是基础题．7.已知数列{a n}，则a1<a2<a3是数列{a n}是递增数列的()条件A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分也不必要【答案】B【解析】解： 数列{a n}是递增数列，例a1/a2/a3/a4是1，2，3，1，数列{a n}不为递增数列，即a1<a2<a3是数列{a n}是递增数列的不充分条件当数列{a n}是递增数列，则a(n+1)>a n恒成立，即a1<a2<a3，即a1<a2<a3是数列{a n}是递增数列的必要条件故a1<a2<a3是数列{a n}是递增数列的必要不充分条件，故选：B．由数列{a n}是递增数列，当数列{a n}是递增数列，则a n+1>a n恒成立，即a1<a2<a3,数列本题考查了等差数列的概念，特殊与一般的思想方法，属简单易错题．8.将函数f(x)=sin2x向右平移π个单位后得到函数g(x)，则g(x)具有性质()4A. 在(0,π4)上单调递增，为偶函数 B. 最大值为1，图象关于直线x =3π4对称C. 在(−3π8,π8)上单调递增，为奇函数D. 周期为π，图象关于点(3π8,0)对称【答案】A【解析】解：函数f(x)=sin2x 向右平移π4个单位后得到函数g(x)=sin(2x −π2)=−cos2x ， 当x =3π4时，函数的值为0，故：B 错误． 函数g(x)为偶函数． 故：C 错误． 当x =3π8时，g(3π8)=√22≠0， 故：D 错误． 故选：A ．首先求出函数g(x)的关系式，进一步利用函数的g(x)的性质求出结果．本题考查的知识要点：正弦型函数性质的应用，函数的图象的平移变换和伸缩变换的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．9. 在四边形ABCD 中，AC =2，BD =1，则(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=( ) A. 5B. −5C. −3D. 3【答案】C【解析】解：不妨用特例法完成，如图，在菱形ABCD 中，BD =1，AC =2， 则AB =BC =√52，∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =CE⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=2BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅2BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =4×√52×√52cos∠EBF =5cos∠EBF ，在△ABC 中，求得cos∠ABC =−35， ∴(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=−3， 故选：C ．作为选择题，此题更适合用特例法，让AC ，BD 互相垂直平分，得到菱形ABCD ，易得边长，再进一步变换式中向量，用数量积求解．此题考查了特例法解选择题，向量相等，向量加法，数量积等，难度适中．10. 已知函数f(x)=(x −1)(ax +c)(a,c 为实数)为偶函数，且在(0,+∞)单调递减，则f(1−x)<0的解集为( )A. (0,2)B. (−2,0)C. (−∞,−2)∪(0,+∞)D. (−∞,0)∪(2,+∞)【答案】D【解析】解：根据题意，函数f(x)=(x −1)(ax +c)，则f(1)=0， 又由f(x)为偶函数且在(0,+∞)单调递减，则f(1−x)<0⇒f(1−x)<f(1)⇒f(|1−x|)<f(1)⇒|1−x|>1， 解可得：x <0或x >2，即不等式的解集为(−∞,0)∪(2,+∞)； 故选：D ．根据题意，由函数的解析式可得f(1)=0，结合函数的奇偶性与单调性可得f(1−x)<0⇒f(1−x)<f(1)⇒f(|1−x|)<f(1)⇒|1−x|>1，解可得x 的取值范围，即可得答案．本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，涉及二次函数的性质，注意特殊值的应用，属于基础题．11. 若长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的顶点都在体积为288π的球O 的球面上，则长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的表面积的最大值等于( )A. 576B. 288C. 144D. 72【答案】B【解析】解：设长方体的三度为：a ，b ，c ，球的直径就是长方体的对角线的长， 再设球的半径为R ，则由43πR 3=288π，得R =6． ∴a 2+b 2+c 2=122=144，长方体的表面积为：2ab +2ac +2bc ≤2a 2+2b 2+2c 2=288． 当a =b =c 时取得最大值，也就是长方体为正方体时表面积最大． 故选：B ．设出长方体的三度，由球的体积求出长方体的对角线的长，得到长方体的表面积的表达式，然后利用基本不等式求最大值．本题考查长方体的外接球的知识，长方体的表面积的最大值的求法，基本不等式的应用，考查计算能力，是中档题．12.对于实数a，b，m，下列说法：①若a>b，则am2>bm2；②若a>b，则a|a|>b|b|；③若b>a>0，m>0，则a+mb+m >ab；④若a>b>0，且|lna|=|lnb|，则2a+b∈[2√2,+∞)，其中正确的命题的个数()A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】解：于实数a，b，m，①若a>b，如果m=0，则am2>bm2不成立，故①错误；②若a>b，由y=x|x|为奇函数，且x>0时函数为增函数，可得函数y在R上为增函数，则a|a|>b|b|，故②正确；③若b>a>0，m>0，a+mb+m −ab=m(b−a)b(b+m)>0，则a+mb+m>ab，故③正确；④若a>b>0，且|lna|=|lnb|，可得lna+lnb=0，即ab=1，由a>b，可得a>1，则2a+b=2a+1a在a>1递增，即有2a+b∈∈(3,+∞)，故④错误．故选：B．由a>b，m=0可判断①；考虑函数y=x|x|的单调性，可判断②；由作差法和不等式的性质，可判断③；由条件可得ab=1，a>1，结合对勾函数的单调性可判断④．本题考查命题的真假判断，注意运用反例法和函数的单调性、作差法，考查化简运算能力，属于基础题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.sin(−675∘)=______．【答案】√22【解析】解：sin(−675∘)=sin(−720∘+45∘)=sin45∘=√22．故答案为：√22．直接利用三角函数的诱导公式化简求值．本题考查三角函数的化简求值，考查诱导公式的应用，是基础题．14.设变量x，y满足约束条件{2x−y−2≤02x+y−4≥0y≤2，则u=x+2y的最小值为______．【答案】72【解析】解：由变量x ，y 满足约束条件{2x −y −2≤02x +y −4≥0y ≤2作出可行域如图，令z =x +2y ，化为y =−12x +z2，由图可知，当直线y =−12x +z2过点A 时，直线在y 轴上的截距最小，由{2x +y −4=02x−y−2=0，解得A(32,1) z 有最小值为：72． 故答案为：72．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．15. 满分为100分的试卷，60分为及格线，若满分为100分的测试卷，100人参加测试，将这100人的卷面分数按照[24,36)，[36,48)，…，[84,96]分组后绘制的频率分布直方图如图所示，由于及格人数较少，某老师准备将每位学生的卷面得分采用“开方乘以10取整”的方法进行换算以提高及格率(实数a 的取整等于不超过a 的最大整数)，如：某位学生卷面49分，则换算成70分作为他的最终考试成绩则按照这种方式，这次测试的不及格的人数变为______．【答案】18【解析】解：由题意卷面36分及36分以上的学生都及格，由频率分直方图得卷面36分以下的学生的频率为：0.015×12=0.18， 所以，按照这种方式，这次测试的不及格的人数变为：100×0.18=18． 故答案为：18．由题意卷面36分及36分以上的学生都及格，由频率分直方图得卷面36分以下的学生的频率为：0.015×12=0.18，由此能求出这次测试的不及格的人数．本题考查及格率求法，考查频率分直方图等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．16.已知f(x)=ax3+3x2−1存在唯一的零点x0，且x0<0，则实数a的取值范围是______．【答案】(−∞,−2)【解析】解：(i)当a=0时，f(x)=−3x2+1，令f(x)=0，解得x=±√33，函数f(x)有两个零点，舍去．(ii)当a≠0时，f′(x)=3ax2+6x=3ax(x+2a )，令f′(x)=0，解得x=0或−2a．①当a<0时，−2a >0，当x>−2a或x<0，f′(x)<0，此时函数f(x)单调递减；当0<x<−2a时，f′(x)>0，此时函数f(x)单调递增．∴故x=−2a是函数f(x)的极大值点，0是函数f(x)的极小值点．∵函数f(x)=ax3+3x2−1存在唯一的零点x0，且x0<0，则f(−2a )=−8a2+12a2−1=4a2−1<0，即a2>4得a>2(舍)或a<−2．②当a>0时，−2a <0，当x<−2a或x>0时，f′(x)>0，此时函数f(x)单调递增；当−2a<x<0时，f′(x)<0，此时函数f(x)单调递减．∴x=−2a是函数f(x)的极大值点，0是函数f(x)的极小值点．∵f(0)=−1<0，∴函数f(x)在(0,+∞)上存在一个零点，此时不满足条件．综上可得：实数a的取值范围是(−∞,−2)．故答案为：(−∞,−2)．讨论a 的取值范围，求函数的导数判断函数的极值，根据函数极值和单调性之间的关系进行求解即可．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、函数的零点，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题（本大题共7小题）17. 已知向量m ⃗⃗⃗ =(−cosx,1),n ⃗ =(√3,2sinx)(1)当m ⃗⃗⃗ ⊥n ⃗ 时，求√3cosxsinx 1+cos 2x的值；(2)已知钝角△ABC 中，角B 为钝角，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，且c =2bsin(A +B)，若函数f(x)=4m ⃗⃗⃗ 2−n ⃗ 2，求f(B)的值．【答案】解：(1)∵向量m ⃗⃗⃗ =(−cosx,1),n ⃗ =(√3,2sinx)，m ⃗⃗⃗ ⊥n ⃗ ， ∴√3cosx =2sinx ，即tanx =√32， ∴√3cosxsinx 1+cos 2x=√3tanx 2+tan 2x=611．(2)∵c =2bsin(A +B)， ∴sinC =2sinBsinC ， ∵sinC ≠0， ∴sinB =12， 由角B 为钝角知：B =5π6，∵f(x)=4m ⃗⃗⃗ 2−n ⃗ 2=4cos2x +1， ∴f(B)=4cos 53π+1=3．【解析】(1)利用平面向量垂直的性质，同角三角函数基本关系式可求tanx 的值，化简所求即可计算得解．(2)利用正弦定理化简已知等式，结合sinC ≠0，可求sinB =12，结合角B 为钝角知：B =5π6，化简函数利用特殊角的三角函数值即可计算得解．本题主要考查了平面向量垂直的性质，同角三角函数基本关系式，正弦定理，特殊角的三角函数值的综合应用考查了计算能力和转化思想，属于中档题．18. 某调查机构对某校学生做了一个是否同意生“二孩”抽样调查，该调查机构从该校随机抽查了100名不同性别的学生，调查统计他们是同意父母生“二孩”还是反对父母生“二孩”，现已得知100人中同意父母生“二孩”占60%，统计情况如表：(1)求，的值；(2)根据以上数据，能否有97.5%的把握认为是否同意父母生“二孩”与性别有关？请说明理由；附：K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)【答案】解：(1)因为100人中同意父母生“二孩”占60%， 所以a =60−40=20，d =40−5=35； (2)由列联表可得K 2=100×(20×35−40×5)260×40×25×75=509>5.024，而P(K 2>5.024)=2.5%，所以有97.5%的把握认为是否同意父母生“二孩”与“性别”有关． 【解析】(1)根据题意计算列联表中数据a 、d 的值； (2)由列联表中数据计算观测值，对照临界值得出结论． 本题考查了列联表与独立性检验的应用问题，是基础题．19. 若数列{a n }的前n 项和为S n ，首项a 1>0，且2S n −a n =a n 2(n ∈N ∗)(1)求数列{a n }的通项公式； (2)若a n >0，令b n =1an a n+1(n ∈N ∗)，求数列{b n }的前n 项和T n ．【答案】解：(1)∵a 1>0，且2S n −a n =a n 2(n ∈N ∗) ∴2S 1−a 1=a 12，即a 1(a 1−1)=0，∴a 1=1 n ≥2时，2S n −2S n−1−(a n −a n−1)=a n 2−a n−12∴(a n +a n−1)=(a n −a n−1)(a n +a n−1)∴a n −a n−1=1或a n +a n−1=0 ∴a n =n 或a n =(−1)n−1 (2)∵a n >0，∴a n =n ，∴b n =1n(n +1)=1n −1n +1∴T n =(1−12)+(12−13)+(13−14)+⋯+(1n −1n +1)=1−1n+1=nn+1．【解析】(1))由a 1>0，且2S n −a n =a n 2(n ∈N ∗)得2S n −2S n−1−(a n −a n−1)=a n 2−a n−12，得a n −a n−1=1或a n +a n−1=0， 得a n =n 或a n =(−1)n−1；(2))由a n >0，得a n =n ，得b n =1n(n+1)=1n −1n+1，由裂项求和法可得．第 11 页 共 14 页本题考查了等差数列与等比数列的通项公式，“裂项求和”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20. 如图，四棱锥P −ABCD 中，侧面PAD 为等边三角形，且平面PAD ⊥底面ABCD ，AB =BC =12AD =1，∠BAD =∠ABC =90∘． (1)证明：PD ⊥AB ；(2)点M 在棱PC 上，且CM =λCP ，若三棱锥D −ACM 的体积为13，求实数λ的值．【答案】(1)证明：取AD 的中点O ，连OC ，OP ， ∵△PAD 为等边三角形，且O 是边AD 的中点， ∴PO ⊥AD ，∵平面PAD ⊥底面ABCD ，且它们的交线为AD ， ∴PO ⊥平面ABCD ，则AB ⊥PO ， ∵AB ⊥AD ，且AD ∩PO =O ， ∴AB ⊥平面PAD ， ∴PD ⊥AB ；(2)解：设点M 到平面ACD 的距离为h ．∵V D−ACM =V M−ACD =13，∴13S △ACD ⋅ℎ=13，则ℎ=1．∵CM CP=ℎOP =1√3=√33，且CM =λCP ，∴λ=CM CP=√33． 【解析】(1)取AD 的中点O ，连OC ，OP ，可得PO ⊥AD ，再由平面PAD ⊥底面ABCD ，且它们的交线为AD ，得到PO ⊥平面ABCD ，则AB ⊥PO ，结合AB ⊥AD ，可得AB ⊥平面PAD ，则PD ⊥AB ；(2)设点M 到平面ACD 的距离为h ，由已知三棱锥的体积借助于等积法求h ，再由平行线截线段成比例求解实数λ的值．本题考查空间中直线与直线，直线与平面位置关系的判定及应用，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题．21. 已知函数f(x)=lnx −12ax 2+(1−a)x +1．(1)若a =12，求f(x)的单调区间；第 12 页 共 14 页(2)若f(x)有极值，对任意的x 1，x 2，当0<x 1<x 2，存在x 0使f′(x 0)=f(x 2)−f(x 1)x 2−x 1，试比较与f(x 1+x 22)的大小．【答案】解：(1)f(x)的定义域为(0,+∞)， f′(x)1x −12x +12=−(x+1)(x−2)2x．当x ∈(0,2)时，f′(x)>0，f(x)单调递增． 当x ∈(2,+∞)时，f′(x)<0，f(x)单调递减． (2)由(1)知，当a >0时，f(x)存在极值． 由题设得f′(x 0)=f(x 2)−f(x 1)x 2−x 1=lnx 2−lnx 1−a 2(x 22−x 12)+(1−a)(x 2−x 1)x 2−x 1=lnx 2−lnx 1x 2−x 1−12a(x 1+x 2)+(1+a)．又f′(x 1+x 22)=2x1+x 2−a ⋅x 1+x 22+(1−a)，∴f′(x 0)−f′(x 1+x 22)=lnx 2−lnx 1x 2−x 1−2x 1+x 2=1x 2−x 1[(lnx 2−lnx 1)−2(x 2−x 1)x 2+x 1]=1x 2−x 1[lnx 2x 1−2(x 2x 1−1)x 2x 1+1]．设x2x 1=t ． 则ln x 2x 1−2(x 2x 1−1)x 2x 1+1=lnt −2(t−1)t+1(t >1)．令g(t)=lnt −2(t−1)t+1(t >1)，则g′(t)=1t −2[(t+1)−(t−1)](t+1)2=(t−1)2t(t+1)2>0．∴g(t)在(1,+∞)上是增函数，则g(t)>g(1)=0． 又0<x 1<x 2，∴x 2−x 1>0， 因此f′(x 0)−f′(x 1+x 22)>0，即f ( \dfrac {x _{1}+x _{2}}{2})'/>．【解析】(1)f(x)的定义域为(0,+∞)，求出原函数的导函数，由导函数的符号确定f(x)的单调区间；(2)由(1)知，当a >0时，f(x)存在极值，由题设把f′(x 0)与f′(x 1+x 22)用含有x 1，x 2的代数式表示，作差可得f′(x 0)−f′(x 1+x 22)=lnx 2−lnx 1x 2−x 1−2x 1+x 2=1x 2−x 1[ln x 2x 1−2(x 2x 1−1)x 2x 1+1]，令x2x 1=t(t >1).构造函数g(t)=lnt −2(t−1)t+1(t >1)，利用导数求其最小值得答案．本题考查利用导数研究函数的单调性，考查了函数构造法，训练了利用导数求最值，属难题．22. 在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为：{y =1+tsinϕx=1+tcosϕ(t 为参数，ϕ∈[0,π))，以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为：ρ=4cos(θ−π3)．(1)求圆C的直角坐标方程；(2)设点P(1,1)，若直线l与圆C交于A，B两点，求|PA||PB|的值．【答案】(1)圆C的极坐标方程为：ρ=4cos(θ−π3)．转换为直角坐标方程为：x2+y2=2x+2√3y，所以：x2+y2−2x−2√3y=0(2)将线l的参数方程为：{y=1+tsinϕx=1+tcosϕ(t为参数)，代入x2+y2−2x−2√3y=0，所以：t2−(2√3sinφ−2sinφ)t−2√3=0，设点A、B所对应的参数为t1和t2，则：t1⋅t2=−2√3，∴|PA||PB|=2√3．【解析】(1)直接利用转换关系，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换．(2)利用一元二次方程根和系数的关系求出结果．本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．23.设函数f(x)=|ax+1|+|x−1|(x∈R)．(1)当a=1时，求不等式f(x)>2的解集；(2)对任意实数x∈[2,3]，都有f(x)≥2x−3成立，求实数a的取值范围．【答案】解：(1)当a=1时，f(x)=|x+1|+|x−1|>2，当x≥1时，x+1+x−1>2，即x>1，可得x>1；当−1≤x<1时，x+1+1−x>2，即有x∈⌀；当x<−1时，−x−1+1−x>2，即x<−1，可得x<−1．综上可得原不等式的解集为(−∞,−1)∪(1,+∞)；(2)对任意实数x∈[2,3]，都有f(x)≥2x−3成立，即x∈[2,3]，|ax+1|+(x−1)≥2x−3恒成立，x∈[2,3]，|ax+1|≥x−2恒成立，即有ax+1≥x−2或ax+1≤2−x，即为a≥1−3x 或a≤1x−1恒成立，由1−3x在[2,3]递增，可得最大值为0，可得a≥0；1 x −1在[2,3]递减，可得最小值为13−1=−23，可知a≥0或a≤−23．【解析】(1)求得f(x)的解析式，去绝对值讨论x的范围，解不等式，求并集可得所求解集；(2)由题意可得x∈[2,3]，|ax+1|+(x−1)≥2x−3恒成立，x∈[2,3]，|ax+1|≥x−2恒成立，即有ax+1≥x−2或ax+1≤2−x，即为a≥1−3x 或a≤1x−1恒成立，运用第 13 页共 14 页单调性可得最值，即可得到所求a的范围．本题考查绝对值不等式的解法和不等式恒成立问题解法，注意运用分类讨论思想方法和分离参数法，考查化简运算能力，属于中档题．第 14 页共 14 页。

四川省自贡市普高2019届第一次诊断性考试数学试题(理工类)一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知，，则（）A. B. 或C. D.【答案】A【解析】【分析】求出B中不等式的解集确定出B，求出A与B的交集即可．【详解】，由B中不等式变形得：，解得：，即，∴A∩B=，故选：A．【点睛】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2.若（其中为虚数单位），则复数的虚部是（）A. B. C. D. 2【答案】D【解析】【分析】计算出，即可求出复数z的虚部．【详解】复数的虚部是2故选D.【点睛】本题考查了复数的除法运算，其关键是熟练掌握其运算法则．3.等差数列的前项和为，若，则（）A. 66B. 99C. 110D. 143【答案】D【解析】【分析】由，则由等差数列的前n项和公式可求.【详解】，则则故选D.【点睛】本题考查等差数列的性质及等差数列的前n项和公式.属基础题.4.在矩形中，，，若向该矩形内随机投一点，那么使与的面积都小于4的概率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题是一个几何概型的概率，以AB为底边，要使面积小于4，则三角形的高要，得到两个三角形的高即为P点到AB和AD的距离，得到对应区域，利用面积比求概率【详解】由题意知本题是一个几何概型的概率，以AB为底边，要使面积小于4，由于，则三角形的高要，同样，P点到AD的距离要小于，满足条件的P 的区域如图，其表示的区域为图中阴影部分，它的面积是，∴使得△ABP与△ADP的面积都小于4的概率为：；故选：A．【点睛】本题考查几何概型，明确满足条件的区域，利用面积比求概率是关键．5.从1，3，5三个数中选两个数字，从0，2两个数中选一个数字，组成没有重复数字的三位数，其中奇数的个数为（）A. 6B. 12C. 18D. 24【答案】C【解析】【分析】由于组成的数是奇数，那么对于此三位数可以分成两种情况：奇偶奇，偶奇奇，根据分类计数原理可得.【详解】由于题目要求是奇数，那么对于此三位数可以分成两种情况: 奇偶奇，偶奇奇，因此总共有种.故选C.【点睛】本题主要考查了分类计数原理，排列，属于中档题.6.将函数向右平移个单位后得到函数，则具有性质（）A. 在上单调递增，为偶函数B. 最大值为1，图象关于直线对称C. 在上单调递增，为奇函数D. 周期为，图象关于点对称【答案】A【解析】【分析】由条件根据诱导公式、函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求得g（x）的解析式，再利用正弦函数的图象性质得出结论．【详解】将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，故当x∈时，2x∈，故函数g（x）在上单调递增，为偶函数，故选A．【点睛】本题主要考查诱导公式的应用，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，余弦函数的图象性质，属于基础题．7.已知数列，则是数列是递增数列的（）条件A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分也不必要【答案】B【解析】【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】若“a1＜a2＜a3”，则“数列{an}是递增数列”，不一定，充分性不成立，若“数列{a n}是递增数列”，则“a1＜a2＜a3”成立，即必要性成立，故“a1＜a2＜a3”是“数列{an}是递增数列”的必要条件．故选B.【点睛】本题考查充分条件和必要条件的判断，属基础题.8.如图所示的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的分别为63，36，则输出的（）A. 3B. 6C. 9D. 18【答案】C【解析】【分析】由循环结构的特点，先判断，再执行，分别计算出当前的a，b的值，即可得到结论．【详解】由a=63，b=36，满足a＞b，则a变为63-36=27，由a＜b，则b变为36-27=9，由b＜a，则a =27-9=18，由b＜a，则，b=18-9=9，由a=b=9，退出循环，则输出的a的值为9．故选：C．【点睛】本题考查算法和程序框图，主要考查循环结构的理解和运用，以及赋值语句的运用，属于基础题．9.在四边形中，，，则（）A. 5B.C.D. 3【答案】C【解析】【分析】利用向量的线性运算化简.利用向量数量积的运算性质即可得到结论.【详解】【点睛】本题考查向量的线性运算和向量数量积的运算性质，属基础题10.若长方体的顶点都在体积为的球的球面上，则长方体的表面积的最大值等于（）A. 576B. 288C. 144D. 72【答案】B【解析】【分析】求出球的半径，设出长方体的三度，求出长方体的对角线的长就是球的直径，推出长方体的表面积的表达式，然后求出最大值．【详解】由球的体积为，可得设长方体的三边为：a，b，c，球的直径就是长方体的对角线的长，由题意可知，长方体的表面积为：；当a=b=c 时取得最大值，也就是长方体为正方体时表面积最大．故选B.．【点睛】本题考查长方体的外接球的知识，长方体的表面积的最大值的求法，基本不等式的应用，考查计算能力；注意利用基本不等式求最值时，正、定、等的条件的应用．11.如果函数满足（），则的一个正周期为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据，可知,即可确定函数周期.【详解】根据，可知,令，则有，故可得周期,选A.【点睛】本题主要考查了函数的周期，属于中档题.12.下列四个命题：①；②；③；④，其中真命题的个数是（）（为自然对数的底数）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】根据所要比较大小的式子可以构造函数，利用其单调性即可求解.【详解】构造函数，，当时，，当时，，所以函数在时单调递增，在时单调递减，而，所以，化简得故①错误，而，所以，即，化简可得故②正确，因为，所以，化简可得，故③正确，因为当时取最大值，若④成立，可得，即，显然不成立，故错误，综上可知选B.【点睛】本题主要考查了利用函数的增减性比较大小，涉及构造函数，利用导数求函数的单调性，属于难题.二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）13._______．【答案】【解析】【分析】由条件利用诱导公式化简所给式子的值，可得结果．【详解】即答案为.【点睛】本题主要考查应用诱导公式化简三角函数式，要特别注意符号的选取，这是解题的易错点，属于基础题．14.在的二项展开式中，所有项的系数之和为1024，则展开式常数项的值等于_______．【答案】【解析】【分析】利用展开式所有项系数的和得n=5,再利用二项式展开式的通项公式，求得展开式中的常数项.【详解】因为的二项展开式中，所有项的系数之和为4n=1024, n=5,故的展开式的通项公式为T r+1=C·35-r,令,解得r=4,可得常数项为T5=C·3=15,故填15.【点睛】本题主要考查了二项式定理的应用、二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，属于中档题.15.通常，满分为分的试卷，分为及格线.若某次满分为分的测试卷，人参加测试，将这人的卷面分数按照，，…，分组后绘制的频率分布直方图如图所示.由于及格人数较少，某位老师准备将每位学生的卷面得分采用“开方乘以取整”的方法进行换算以提高及格率（实数的取整等于不超过的最大整数），如：某位学生卷面分，则换算成分作为他的最终考试成绩，则按照这种方式，这次测试的及格率将变为__________．（结果用小数表示）【答案】【解析】分析：结合题意可知低于36分的为不及格，从而算出及格率详解：由题意可知低于36分的为不及格，若某位学生卷面36分，则换算成60分作为最终成绩，由频率直方图可得组的频率为，所以这次测试的及格率为点睛：本题考查了频率分布直方图，频率的计算方法为：频率，结合题目要求的转化分数即可算出结果。

1 ,求实数 l 的值. 3
21.(本题满分 12 分)已知函数 f ( x ) = Inx (1)若 a =
1 ,求 f ( x ) 的单调区间; 2
1 2 ax + (1- a ) x +1 2

(2) 若 f ( x ) 有极值 , 对任意的 x1 , x2 当 0 < x1 < x2 时 , 存在 x0 使 f ( x0 ) =
������ 即������~������ �4, � , ������(������ = ������ ) = ������4 �5� �5� 5 3 3 ������ 2 4−������ 5
= ，
5 3
3
1
(������ = 0,1,2,3,4)从而 X 的分布列为
X
0
1
2
3
4
X 的数学期望为������ (������) = 4 × =
'
f ( x2 ) - f ( x1 ) ' , 试比较 f ( x0 ) 与 x2 - x1
f '(
x1 + x2 ) 的大小. 2
(二)选考题:共 10 分 22.(本题满分 10 分) 在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为 : ï í
ì x = 1 + t cos j ï , t为参数,j Î [0, p ) ,以坐标原点为极点,以 x ï ï î y = 1 + t sin j p 3
8.将函数 f ( x ) = sin 2 x 向右平移 A. 5 B. -5 C. -3 D. 3 10.已知函数 f ( x ) = ( x -1)(ax + c )(a, c 为实数) 为偶函数,且在 (0, +¥) 单调递减,则 f (1- x ) < 0 的解集 为( ) B. (-2, 0) C. (-¥, -2) U (0, +¥) D. (-¥, 0) U (2, +¥)