第1课时平面向量的概念及线性运算1．了解向量的实际背景．2．理解平面向量的概念和向量相等的含义．3．理解向量的几何表示．4．掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义．5．掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义．6．了解向量线性运算的性质及其几何意义．1．向量的有关概念及表示方法2.3.向量共线的判定定理和性质定理(1)判定定理：a 是一个非零向量，若存在一个实数λ，使得b ＝λa ，则向量b 与非零向量a 共线． (2)性质定理：若向量b 与非零向量a 共线，则存在一个实数λ，使得b ＝λa . [基础自测]1．设a 0，b 0分别是与a ，b 同向的单位向量，则下列结论中正确的是( ) A ．a 0＝b 0 B ．a 0·b 0＝1 C ．|a 0|＋|b 0|＝2D ．|a 0＋b 0|＝2解析：因为a 0，b 0是单位向量，所以|a 0|＝|b 0|＝1. 答案：C2．下列命题中正确的是( )A.OA →－OB →＝AB →B.AB →＋BA →＝0 C ．0·AB →＝0D.AB →＋BC →＋CD →＝AD →解析：OA →－OB →＝BA →；AB →、BA →是一对相反向量，它们的和应该为零向量，即AB →＋BA →＝0；零向量与任意向量的数量积都为0，故选D. 答案：D3．判断下列四个命题：①若a ∥b ，则a ＝b ；②若|a |＝|b |，则a ＝b ；③若|a |＝|b |，则a ∥b ；④若a ＝b ，则|a |＝|b |. 正确的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：只有④正确． 答案：A4．(教材改编题)在平行四边形ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，AN →＝3NC →，M 为BC 的中点，则MN →＝________.(用a ，b 表示) 解析：∵AC →＝a ＋b ， ∴CN →＝－14(a ＋b )，∴MN →＝MC →＋CN →＝12b －14(a ＋b )＝14(b －a )．答案：14(b －a )5．设a 与b 是两个不共线向量，且向量a ＋λb 与2a －b 共线，则λ＝________. 解析：由题意知：a ＋λb ＝k (2a －b )，则有⎩⎪⎨⎪⎧1＝2k ，λ＝－k ，∴k ＝12，λ＝－12.答案：－12考点一 平面向量的概念[例1] 给出下列六个命题①向量AB →的长度与向量BA →的长度相等；②向量a 与b 平行，则a 与b 的方向相同或相反； ③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同； ④两个有公共终点的向量，一定是共线向量；⑤向量AB →与向量CD →是共线向量，则点A 、B 、C 、D 必在同一条直线上； ⑥有向线段就是向量，向量就是有向线段． 其中假命题的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5审题视点 理解向量基本概念的内涵，按照定义逐个判定，注意到特殊情况，否定某个命题只要举出一个反例即可．解析 ①真命题；②假命题，若a 与b 中有一个为零向量时，其方向是不确定的；③真命题；④假命题，终点相同并不能说明这两个向量的方向相同或相反；⑤假命题，共线向量所在直线可以重合，也可以平行；⑥假命题，向量可用有向线段来表示，但并不是有向线段．答案 C解决这类与平面向量的概念有关的命题真假判定问题，其关键在于透彻理解平面向量的概念，还应注意零向量的特殊性，以及两个向量相等必须满足；(1)模相等；(2)方向相同．1．给出下列命题：①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量； ②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小； ③λa ＝0(λ为实数)，则λ必为零；④λ，μ为实数，若λa ＝μb ，则a 与b 共线． 其中错误的命题的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：①错误，两向量共线要看其方向而不是起点与终点．②正确．因为向量既有大小，又有方向，故它们不能比较大小，但它们的模均为实数，故可以比较大小． ③错误，当a ＝0时，不论λ为何值，λa ＝0.④错误，当λ＝μ＝0时， λa ＝μb ＝0，此时，a 与b 可以是任意向量． 答案：C2．给出下列命题：①若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB →＝DC →是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件； ②若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ；③a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b ；④若a 与b 均为非零向量，则|a ＋b |与|a |＋|b |一定相等． 其中正确命题的序号是________． 解析：①②正确，③④错误． 答案：①②考点二 平面向量的线性运算[例2] (1) 如图，已知AB 是圆O 的直径，点C 、D 是半圆弧的两个三等分点，AB →＝a ，AC →＝b ，则AD →＝( ) A ．a －12bB.12a －b C ．a ＋12bD.12a ＋b(2)(2016·烟台模拟)若O 是△ABC 所在平面内一点，D 为BC 边的中点，且2OA →＋OB →＋OC →＝0，那么( ) A.AO →＝OD → B.AO →＝2OD →C.AO →＝3OD →D ．2AO →＝OD →审题视点 (1)用平行四边形法则求解． (2)利用三角形性质及向量的运算法则求解．解析 (1)连接OC 、OD 、CD ，由点C 、D 是半圆弧的三等分点，有∠AOC ＝∠COD ＝∠BOD ＝60°，且OA ＝OC ＝OD ，则△OAC 与△OCD 均为边长等于圆O 的半径的等边三角形，所以四边形OACD 为菱形，所以AD →＝AO →＋AC →＝12AB →＋AC →＝12a ＋b .(2) 如图，OB →＋OC →＝2OD →， 又∵2OA →＋OB →＋OC →＝0， ∴OB →＋OC →＝－2OA →. ∴2OD →＝－2OA →，∴OD →＝AO →.答案 (1)D (2)A1．平面向量的线性运算法则的应用三角形法则和平行四边形法则是向量线性运算的主要方法，共起点的向量和用平行四边形法则，差用三角形法则． 2．两个重要结论(1)向量的中线公式：若P 为线段AB 中点， 则OP →＝12(OA →＋OB →)．(2)向量加法的多边形法则 A 1A 2→＋A 2A 3→＋A 3A 4→＋…＋A n －1A n ＝A 1A n →.1．(2016·衡水中学质检)若点M 是△ABC 所在平面内的一点，且满足|3 AM →－AB →－AC →|＝0，G 为BC 的中点，则△ABM 与△ABC 的面积之比等于( )A.34B.14C.13D.12解析：如图，G 为BC 的中点，则AB →＋AC →＝2 AG →， ∵|3 AM →－AB →－AC →|＝0，∴3 AM →－AB →－AC →＝0， ∴3 AM →＝AB →＋AC →＝2 AG →，∴|AM →||AG →|＝23，∴S △ABM S △ABG ＝23，又S △ABG ＝12S △ABC ， ∴△ABM 与△ABC 的面积之比等于12×23＝13，故选C.答案：C2．(2016·大连高三检测)如图，在△ABC 中，AB ＝2，BC ＝3，∠ABC ＝60°，AH ⊥BC 于点H ，M 为AH 的中点．若AM →＝λAB →＋μBC →，则λ＋μ＝________.解析：因为AB ＝2，∠ABC ＝60°，AH ⊥BC ，所以BH ＝1.因为点M 为AH 的中点，所以AM →＝12AH →＝12(AB →＋BH →)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →＋13BC →＝12AB →＋16BC →，又AM →＝λAB →＋μBC →，所以λ＝12，μ＝16，所以λ＋μ＝23.答案：23考点三 共线向量定理及其应用[例3] 已知a 、b 不共线，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，OD →＝d ，OE →＝e ，设t ∈R ，如果3a ＝c,2b ＝d ，e ＝t (a ＋b )，是否存在实数t 使C ，D ，E 三点在一条直线上？若存在，求出实数t 的值，若不存在，请说明理由．审题视点 先假设存在，再利用a ，b 表示目标向量，最后判断是否有CE →＝kCD →成立即可．解 由题设知，CD →＝d －c ＝2b －3a ，CE →＝e －c ＝(t －3)a ＋t b ，C ，D ，E 三点在一条直线上的充要条件是存在实数k ，使得CE →＝kCD →，即(t －3)a ＋t b ＝－3k a ＋2k b ， 整理得(t －3＋3k )a ＝(2k －t )b .因为a ，b 不共线，所以有⎩⎪⎨⎪⎧t －3＋3k ＝0，t －2k ＝0，解之得t ＝65.故存在实数t ＝65使C ，D ，E 三点在一条直线上．(1)向量共线的充要条件中要注意当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，要注意待定系数法的运用和方程思想． (2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决．但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且存在公共点时，才能得出三点共线．1．(2016·四川资阳模拟)已知向量AB →＝a ＋3b ，BC →＝5a ＋3b ，CD →＝－3a ＋3b ，则( ) A ．A ，B ，C 三点共线 B ．A ，B ，D 三点共线 C ．A ，C ，D 三点共线D ．B ，C ，D 三点共线解析：∵BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋6b ＝2(a ＋3b )＝2AB →，∴A ，B ，D 三点共线．故选B. 答案：B2．(2015·高考课标卷Ⅱ)设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ＝__________. 解析：依据共线向量定理列方程组求解. ∵λa ＋b 与a ＋2b 平行， ∴λa ＋b ＝t (a ＋2b )，即λa ＋b ＝t a ＋2t b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝t ，1＝2t ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝12，t ＝12.答案：12以向量为背景的新定义问题[典例] 设A 1、A 2、A 3、A 4是平面直角坐标系中两两不同的四点，若A 1A 3→＝λA 1A 2→(λ∈R )，A 1A 4→＝μA 1A 2→(μ∈R )，且1λ＋1μ＝2，则称A 3，A 4调和分割点A 1，A 2，已知平面上的点C ，D 调和分割点A ，B 则下面说法正确的是( )A ．C 可能是线段AB 的中点 B ．D 可能是线段AB 的中点C ．C ，D 可能同时在线段AB 上D ．C ，D 不可能同时在线段AB 的延长线上解题指南 本题为信息题，由A 1A 3→＝λA 1A 2→(λ∈R )，A 1A 4→＝μA 1A 2→(μ∈R )知：A 1，A 2，A 3，A 4四点共线，且不重合．因为C ，D 调和分割点A ，B ，所以A ，B ，C ，D 四点在同一直线上，设AC →＝cAB →，AD →＝dAB →，则1c ＋1d＝2，然后逐项代入验证．解析 由A 1A 3→＝λA 1A 2→(λ∈R )，A 1A 4→＝μA 1A 2→(μ∈R )知：四点A 1，A 2，A 3，A 4在同一条直线上，且不重合．因为C ，D 调和分割点A ，B ，所以A ，B ，C ，D 四点在同一直线上，设AC →＝cAB →，AD →＝dAB →，则1c ＋1d ＝2，选项A 中c ＝12，此时d 不存在，故选项A 不正确；同理选项B 也不正确；选项C 中，0<c <1,0<d <1，1c ＋1d>2，也不正确，故选D.答案 D阅卷点评 本小题考查了对向量共线的理解及应用、利用所学知识分析解决问题的能力以及推理论证能力，求解时应明确，若点C 在线段AB 上，则当AC →＝λAB →时，0<λ<1，而当点C 在线段AB 的延长线上时，若AC →＝λAB →，则有λ>1，求解本题时还要注意不等式性质及反证法思想的应用．难度适中．创新点评 本题有以下创新点：(1)命题背景新颖，本题为新定义题目，用新定义考查阅读能力与知识迁移能力；(2)考查内容创新：以共线向量为背景，结合不等式，通过创新情境，考查化归与转化的数学思想方法和分析问题、解决问题的能力． 备考建议 (1)可通过特例、验证等方法理解新定义问题；(2)化生为熟、化新为旧，设法把新定义问题转化为熟悉的问题来解决； (3)“按规则办事”，新定义问题怎么规定，就怎么办．◆一条规律一般地，首尾顺次连接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量． ◆向量平行与直线平行的区别向量平行包括向量共线和重合的情况，而直线平行不包括共线的情况．因而要利用向量平行证明向量所在直线平行，必须说明这两条直线不重合．课时规范训练 [A 级 基础演练]1．(2016·吉林省实验中学一模)已知向量e 1，e 2是两个不共线的向量，若a ＝2e 1－e 2与b ＝e 1＋λe 2共线，则λ＝( ) A ．2 B ．－2 C ．－12D.12解析：若a ＝2e 1－e 2与b ＝e 1＋λe 2共线，则有2e 1－e 2＝k (e 1＋λe 2)＝k e 1＋λk e 2，得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2，λk ＝－1，解得λ＝－12，故选C.答案：C2．(2016·四川泸州检测)已知D 为△ABC 的边BC 的中点，△ABC 所在平面内有一点P ，满足PA →＝PB →＋PC →，则|PD →||AD →|的值为( )A ．1 B.13 C.12D ．2解析：因为PA →＝PB →＋PC →，所以PA 必为以PB ，PC 为邻边的平行四边形的对角线，因为D 为边BC 的中点，所以D 为边PA 的中点，|PD →||AD →|的值为1，故选A.答案：A3．(2016·贵阳检测)已知向量a ，b ，c 中任意两个都不共线，但a ＋b 与c 共线，且b ＋c 与a 共线，则向量a ＋b ＋c ＝( ) A ．a B ．b C ．cD ．0解析：依题意，设a ＋b ＝m c ，b ＋c ＝n a ，则有(a ＋b )－(b ＋c )＝m c －n a ，即a －c ＝m c －n a .又a 与c 不共线，于是有m ＝－1，n ＝－1，a ＋b ＝－c ，a ＋b ＋c ＝0.答案：D4．(2016·郑州模拟)已知向量a ，b 不共线，且c ＝λa ＋b ，d ＝a ＋(2λ－1)b ，若c 与d 同向，则实数λ的值为________． 解析：由于c 与d 同向，所以c ＝k d (k ＞0)， 于是λa ＋b ＝k [a ＋(2λ－1)b ]， 整理得λa ＋b ＝k a ＋(2λk －k )b .由于a ，b 不共线，所以有⎩⎪⎨⎪⎧λ＝k ，2λk －k ＝1，整理得2λ2－λ－1＝0，所以λ＝1或λ＝－12.又因为k ＞0，所以λ＞0，故λ＝1. 答案：15．若点O 是△ABC 所在平面内的一点，且满足|OB →－OC →|＝|OB →＋OC →－2OA →|，则△ABC 的形状为________． 解析：OB →＋OC →－2OA →＝OB →－OA →＋OC →－OA →＝AB →＋AC →， OB →－OC →＝CB →＝AB →－AC →， ∴|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，故A 、B 、C 为矩形的三个顶点，△ABC 为直角三角形． 答案：直角三角形6．在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，AB →＋AD →＝λAO →，则λ＝________. 解析：由向量加法的平行四边形法则，得AB →＋AD →＝AC →. 又O 是AC 的中点， ∴AC ＝2AO ，∴AC →＝2AO →， ∴AB →＋AD →＝2AO →.又AB →＋AD →＝λAO →，∴λ＝2. 答案：27．设a ，b 是两个不共线的非零向量，若a 与b 起点相同，t ∈R ，t 为何值时，a 、t b 、13(a ＋b )三向量的终点在一条直线上？解：设a －t b ＝λ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a －13a ＋b (λ∈R )，化简整理得⎝ ⎛⎭⎪⎫23λ－1a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫t －13λb ＝0，∵a 与b 不共线，∴由平面向量基本定理有 ⎩⎪⎨⎪⎧ 23λ－1＝0，t －λ3＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝32，t ＝12.故t ＝12时，a 、t b 、13(a ＋b )的终点在一条直线上．8．如图所示，在△ABC 中，在AC 上取点N ，使得AN ＝13AC ，在AB 上取点M ，使得AM ＝13AB ，在BN 的延长线上取一点P ，使得NP ＝12BN ，在CM 的延长线上取一点Q ，使得MQ ＝λCM 时，AP →＝QA →，试确定λ的值．解：∵AP →＝NP →－NA →＝12(BN →＋NC →)＝12BC →，QA →＝MA →－MQ →＝12BM →＋λMC →，又∵AP →＝QA →， ∴12BM →＋λMC →＝12BC →， 即λMC →＝12(BC →－BM →)＝12MC →∴λ＝12.[B 级 能力突破]1．(2016·山师大附中模拟)已知平面内一点P 及△ABC ，若PA →＋PB →＋PC →＝AB →，则点P 与△ABC 的位置关系是( ) A ．点P 在线段AB 上 B ．点P 在线段BC 上 C ．点P 在线段AC 上D ．点P 在△ABC 外部解析：由PA →＋PB →＋PC →＝AB →得PA →＋PC →＝AB →－PB →＝AP →，即PC →＝AP →－PA →＝2 AP →，所以点P 在线段AC 上．答案：C2．(2016·威海模拟)已知a ，b 是不共线的向量，AB →＝λa ＋b ，AC →＝a ＋μb (λ、μ∈R )，那么A 、B 、C 三点共线的充要条件是( ) A ．λ＋μ＝2 B ．λ－μ＝1 C ．λμ＝－1D ．λμ＝1解析：由AB →＝λa ＋b ， AC →＝a ＋μb (λ、μ∈R )及A 、B 、C 三点共线得：AB →＝tAC →，所以λa ＋b ＝t (a ＋μb )＝t a ＋t μb ，即可得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝t ，1＝t μ，所以λμ＝1.故选D.答案：D3．(2016·孝感模拟)如图所示，向量OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，A 、B 、C 在一条直线上，且AC →＝－3CB →，则( )A ．c ＝－12a ＋32bB ．c ＝32a －12bC ．c ＝－a ＋2bD ．c ＝a ＋2b解析：∵OC →＝OA →＋AC →＝OA →＋3BC →＝OA →＋3(OC →－OB →)＝3OC →＋OA →－3OB → ∴2OC →＝－OA →＋3OB → ∴c ＝OC →＝－12a ＋32b .答案：A4．设O 在△ABC 的内部，且有OA →＋2OB →＋3OC →＝0，则△ABC 的面积与△AOC 的面积之比为__________．解析：设AC ，BC 的中点分别为M ，N ，则已知条件可化为(OA →＋OC →)＋2(OB →＋OC →)＝0，即2OM →＋4ON →＝0，所以OM →＝－2ON →，说明M ，O ，N 三点共线，即O 为中位线MN 上的一个三等分点，S △AOC ＝23S △ANC ＝23·12S △ABC ＝13S △ABC ，所以S △ABCS △AOC＝3.答案：35．如图，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起，若AD →＝xAB →＋yAC →，则x ＝________，y ＝________.解析：过点D 作DF ⊥AB 的延长线于点F ，设AB ＝1，则AC ＝1，BC ＝2，ED ＝2，BD ＝62，∴DF ＝32，BF ＝32. ∴AD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋32AB →＋32AC →.∴x ＝1＋32，y ＝32. 答案：1＋32 326．(2016·山西四校第三次联考)在△ABC 中，点D 在线段BC 的延长线上，且BC →＝3CD →，点O 在线段CD 上(与点C 、D 不重合)，若AO →＝xAB →＋(1－x )AC ，则x 的取值范围是________．解析：∵AO →＝xAB →＋AC →－xAC →，∴AO →－AC →＝x (AB →－AC →)，即CO →＝xCB →＝－3xCD →， ∵O 在线段CD 上(不含C 、D 两点)运动， ∴0<－3x <1，∴－13<x <0.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，07．如图，过△OAB 的重心G 的直线与OA 、OB 分别交于P 、Q ，设OP →＝hOA →，OQ →＝kOB →，求证：1h ＋1k是常数．证明：OG →＝λ1OP →＋(1－λ1)OQ →(λ1∈R )，OM →＝12OA →＋12OB →，且O 、G 、M 三点共线，G 为重心，故OG →＝23OM →，即λ1OP →＋(1－λ1)OQ →＝23×12(OA →＋OB →)．又∵OP →＝hOA →，OQ →＝kOB →，∴λ1(hOA →)＋(1－λ1)(kOB →)＝13(OA →＋OB →)．而OA →与OB →为三角形两邻边，∴OA →、OB →不共线．∴⎩⎪⎨⎪⎧λ1h ＝13，－λ1k ＝13.消去λ1得13h ＝3k －13k ，即1h ＋1k＝3.第2课时 平面向量基本定理及其坐标表示1．了解平面向量的基本定理及其意义． 2．掌握平面向量的正交分解及其坐标表示． 3．会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算． 4．理解用坐标表示的平面向量共线的条件．1．平面向量基本定理如果e 1，e 2是同一平面内的两个不平行向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2，其中不共线的向量e 1，e 2叫表示这一平面内所有向量的一组基底．2．平面向量的坐标表示(1)在平面直角坐标系中，分别取与x 轴，y 轴方向相同的两个单位向量i ，j 作为基底，a 为坐标平面内的任意向量，以坐标原点O 为起点作OP →＝a .由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x ，y ，使得OP →＝x i ＋y j .因此a ＝x i ＋y j .我们把实数对(x ，y )叫作向量a 的坐标．记作a ＝(x ，y )．(2)设OA →＝x i ＋y j ，则向量OA →的坐标(x ，y )就是点A 的坐标，即若OA →＝(x ，y )，则A 点坐标为(x ，y )，反之亦成立．(O 为坐标原点) 3．平面向量坐标运算(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λa ＝(λx 1，λy 1)，|a |＝x 21＋y 21. (2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标． ②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，|AB →|＝x 2－x 12＋y 2－y 12.4．平面向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0，则a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0. [基础自测]1．下列各组向量：①e 1＝(－1,2)，e 2＝(5,7)；②e 1＝(3,5)，e 2＝(6,10)；③e 1＝(2，－3)，e 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－34，能作为表示它们所在平面内所有向量基底的是( )A ．①B ．①③C ．②③D ．①②③解析：②③中e 1与e 2均共线． 答案：A2．已知平面向量a ＝(x,1)，b ＝(－x ，x 2)，则向量a ＋b ( ) A ．平行于x 轴B ．平行于第一、三象限的角平分线C ．平行于y 轴D ．平行于第二、四象限的角平分线 解析：∵a ＋b ＝(0,1＋x 2)，∴平行于y 轴． 答案：C3．已知向量a ＝(1,1)，b ＝(2，x )，若a ＋b 与4b －2a 平行，则实数x 的值是( ) A ．－2 B ．0 C ．1D ．2解析：a ＋b ＝(3,1＋x )，4b －2a ＝(6,4x －2)，由a ＋b 与4b －2a 平行得3×(4x －2)－6×(1＋x )＝0解得x ＝2. 答案：D4．(教材改编题)若点O (0,0)，A (1,2)，B (－1,3)，且OA ′→＝2OA →，OB ′→＝3OB →，则点A ′的坐标为________，点B ′的坐标为__________，向量A ′B ′→的坐标为________．解析：∵O (0,0)，A (1,2)，B (－1,3)，∴OA →＝(1,2)，OB →＝(－1,3)，OA ′→＝2×(1,2)＝(2,4)，OB ′→＝3×(－1,3)＝(－3,9)． ∴A ′(2,4)，B ′(－3,9)，A ′B ′→＝(－3－2,9－4)＝(－5,5)．答案：(2,4) (－3,9) (－5,5)5．e 1，e 2是不共线向量，且a ＝－e 1＋3e 2，b ＝4e 1＋2e 2，c ＝－3e 1＋12e 1，若b ，c 为一组基底，则a ＝________. 解析：设a ＝λ1b ＋λ2c ，则－e 1＋3e 2＝λ1(4e 1＋2e 2)＋λ2(－3e 1＋12e 2) 即－e 1＋3e 2＝(4λ1－3λ2)e 1＋(2λ1＋12λ2)e 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧4λ1－3λ2＝－12λ1＋12λ2＝3解得⎩⎪⎨⎪⎧λ1＝－118，λ2＝727∴a ＝－118b ＋727c .答案：－118b ＋727c考点一 平面向量基本定理的应用[例1] (1)如图(1)所示，P 点是其阴影部分任意一点(其中OM ∥AB )，且OP →＝xOA →＋yOB →，则x 、y 应满足的条件是________．(1) (2)(2)如图(2)所示，在△ABC 中，H 为BC 上异于B ，C 的任一点，M 为AH 的中点，若AM →＝λAB →＋μAC →，则λ＋μ＝________. 审题视点 (1)先由平面向量基本定理设出OP →＝mOB →＋nAB →，再由向量共线的条件列方程求解． (2)由B ，H ，C 三点共线，可用向量AB →，AC →来表示AH →.解析 (1)设OP →＝mOB →＋nAB →，由图可知，OP →＝OB ′→＋OM ′→，∴OB ′→＝mOB →，OM ′→＝nAB →，∴0≤m ≤1且n ≥0.又OP →＝mOB →＋n (OB →－OA →)＝(m ＋n )OB →－nOA →＝xOA →＋yOB →，而OA →与OB →不共线，∴x ＝－n ≤0，y ＝m ＋n ，即m ＝x ＋y .故应填：x ≤0且0≤x ＋y ≤1.(2)由B ，H ，C 三点共线，可令AH →＝xAB →＋(1－x )AC →，又M 是AH 的中点，所以AM →＝12AH →＝12xAB →＋12(1－x )AC →，又AM →＝λAB →＋μAC →，所以λ＋μ＝12x ＋12(1－x )＝12.答案 (1)x ≤0且0≤x ＋y ≤1 (2)121．以平面内任意两个不共线的向量为一组基底，该平面内的任意一个向量都可以表示成这组基底的线性组合，基底不同，表示也不同． 2．利用已知向量表示未知向量，实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减运算或数乘运算．1．(2015·高考课标卷Ⅰ)设D 为△ABC 所在平面内一点，BC →＝3CD →，则( ) A.AD →＝－13AB →＋43AC →B.AD →＝13AB →－43AC →C.AD →＝43AB →＋13AC →D.AD →＝43AB →－13AC →解析：AD →＝AC →＋CD →＝AC →＋13BC →＝AC →＋13(AC →－AB →)＝43AC →－13AB →＝－13AB →＋43AC →.故选A.答案：A2．(2015·高考北京卷)在△ABC 中，点M ，N 满足AM →＝2MC →，BN →＝NC →.若MN →＝xAB →＋yAC →，则x ＝________；y ＝________. 解析：∵AM →＝2MC →，∴AM →＝23AC →.∵BN →＝NC →，∴AN →＝12(AB →＋AC →)，∴MN →＝AN →－AM →＝12(AB →＋AC →)－23AC →＝12AB →－16AC →.又MN →＝xAB →＋yAC →，∴x ＝12，y ＝－16. 答案：12 －16考点二 平面向量的坐标运算[例2] 若向量BA →＝(2,3)，CA →＝(4,7)，则BC →＝( ) A ．(－2，－4) B ．(2,4) C ．(6,10)D ．(6，－10)审题视点 利用向量加法的坐标运算．解析 ∵CA →＝(4,7)， ∴AC →＝(－4，－7) ∵BC →＝BA →＋AC →∴BC →＝(2,3)＋(－4，－7)＝(－2，－4) 答案 A向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行．若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则．1．(2015·高考课标卷Ⅰ)已知点A (0,1)，B (3,2)，向量AC →＝(－4，－3)，则向量BC →＝( ) A ．(－7，－4) B ．(7,4) C ．(－1,4)D ．(1,4)解析：法一：设C (x ，y )，则AC →＝(x ，y －1)＝(－4，－3)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4，y ＝－2，从而BC →＝(－4，－2)－(3,2)＝(－7，－4)．故选A.法二：AB →＝(3,2)－(0,1)＝(3,1)，BC →＝AC →－AB →＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)． 故选A. 答案：A2．已知平面向量a ＝(2m ＋1,3)，b ＝(2，m )，且a 与b 反向，则|b |等于( ) A.1027B.52或2 2 C.52D ．2 2解析：因为a 与b 反向，所以a 与b 共线，所以m (2m ＋1)－2×3＝0，解得m ＝－2或m ＝32.当m ＝－2时，a ＝(－3,3)，b ＝(2，－2)，a与b 反向，此时|b |＝22；当m ＝32时，a ＝(4,3)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，32，a 与b 同向，应舍去，故选D. 答案：D考点三 平面向量共线的坐标运算[例3] 平面内给定三个向量a ＝(3,2)，b ＝(－1,2)，c ＝(4,1)，请解答下列问题： (1)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n ； (2)若(a ＋k c )∥(2b －a )，求实数k ；(3)若d 满足(d －c )∥(a ＋b )，且|d －c |＝5，求d . 审题视点 利用平行关系，建立含字母参数的实数方程求解． 解 (1)由题意得(3,2)＝m (－1,2)＋n (4,1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧－m ＋4n ＝32m ＋n ＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝59，n ＝89.(2)a ＋k c ＝(3＋4k,2＋k )，2b －a ＝(－5,2)， ∵(a ＋k c )∥(2b －a )，∴2×(3＋4k )－(－5)(2＋k )＝0，∴k ＝－1613.(3)设d ＝(x ，y )，d －c ＝(x －4，y －1)，a ＋b ＝(2,4)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x －－y －＝0，x －2＋y －2＝5.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝3.∴d ＝(3，－1)或d ＝(5,3)．(1)一般地，在求与一个已知向量a 共线的向量时，可设所求向量为λa (λ∈R )，然后结合其他条件列出关于λ的方程，求出λ的值后代入λa 即可得到所求的向量．(2)如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，则利用“若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件是x 1y 2＝x 2y 1”解题比较方便．1．(2015·高考四川卷)设向量a ＝(2,4)与向量b ＝(x,6)共线，则实数x ＝( )A ．2B ．3C ．4D ．6解析：∵a ∥b ，∴2×6－4x ＝0，解得x ＝3. 答案：B2．已知a ＝(1,0)，b ＝(2,1)，(1)当k 为何值时，k a －b 与a ＋2b 共线；(2)若AB →＝2a ＋3b ，BC →＝a ＋m b 且A 、B 、C 三点共线，求m 的值． 解：(1)k a －b ＝k (1,0)－(2,1)＝(k －2，－1)．a ＋2b ＝(1,0)＋2(2,1)＝(5,2)．∵k a －b 与a ＋2b 共线，∴2(k －2)－(－1)×5＝0， 即2k －4＋5＝0，得k ＝－12.(2)方法一：∵A 、B 、C 三点共线，∴AB →＝λBC →.即2a ＋3b ＝λ(a ＋m b )，∴⎩⎪⎨⎪⎧2＝λ，3＝m λ，解得m ＝32.方法二：AB →＝2a ＋3b ＝2(1,0)＋3(2,1)＝(8,3)， BC →＝a ＋m b ＝(1,0)＋m (2,1)＝(2m ＋1，m )，∵A 、B 、C 三点共线，∴AB →∥BC →，∴8m －3(2m ＋1)＝0，即2m －3＝0，∴m ＝32.忽视向量平行的充要条件致误[典例] 设向量a ，b 满足|a |＝2 5，b ＝(2,1)，且a 与b 的方向相反，则a 的坐标为________． 解题指南 设a ＝λb (λ<0)，利用|a |＝25列出关于λ的方程求解即可． 解析 ∵a 与b 方向相反，∴可设a ＝λb (λ<0)， ∴a ＝λ(2,1)＝(2λ，λ)．由|a |＝5λ2＝25，解得λ＝－2，或λ＝2(舍)，故a ＝(－4，－2)． 答案 (－4，－2)易错分析 易误认为“a 与b 的方向相反⇔a ∥b ”致使设a ＝λb 出现增解(4,2)． 失分警示 (1)向量共线的条件掌握不准导致错解或无法解题． (2)混淆向量共线与向量垂直的充要条件．备考建议 (1)熟记向量共线的表示方法，同时要强化理解零向量与任意向量都共线这一特殊情况．(2)将已知向量分解的关键是如何确定基底，然后可根据平面几何中的有关知识来确定待定系数．◆一个区别向量坐标与点的坐标的区别在平面直角坐标系中，以原点为起点的向量OA →＝a ，点A 的位置被向量a 唯一确定，此时点A 的坐标与a 的坐标统一为(x ，y )，但应注意其表示形式的区别，如点A (x ，y )，向量a ＝OA →＝(x ，y )．当平面向量OA →平行移动到O 1A 1→时，向量不变即O 1A 1→＝OA →＝(x ，y )，但O 1A 1→的起点O 1和终点A 1的坐标都发生了变化． ◆两点防范(1)平面向量基本定理是建立向量坐标的基础，它保证了向量与坐标是一一对应的，在应用时，构成两个基底的向量不共线．(2)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件不能表示成x 1x 2＝y 1y 2，因为x 2，y 2有可能等于0，应表示为x 1y 2－x 2y 1＝0.同时，a ∥b 的充要条件也不能错记为x 1x 2－y 1y 2＝0，x 1y 1－x 2y 2＝0等．课时规范训练 [A 级 基础演练]1．(2014·高考福建卷)在下列向量组中，可以把向量a ＝(3,2)表示出来的是( )A ．e 1＝(0,0)，e 2＝(1,2)B ．e 1＝(－1,2)，e 2＝(5，－2)C ．e 1＝(3,5)，e 2＝(6,10)D ．e 1＝(2，－3)，e 2＝(－2,3)解析：由题意知，A 选项中e 1＝0，C 、D 选项中两向量均共线，都不符合基底条件，故选B(事实上，a ＝(3,2)＝2e 1＋e 2)． 答案：B2．e 1，e 2是平面内一组基底，那么( )A ．若实数λ1，λ2使λ1e 1＋λ2e 2＝0，则λ1＝λ2＝0B ．空间内任一向量a 可以表示为a ＝λ1e 1＋λ2e 2(λ1，λ2为实数)C ．对实数λ1，λ2，λ1e 1＋λ2e 2不一定在该平面内D ．对平面内任一向量a ，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2的实数λ1，λ2有无数对解析： 对于A ，∵e 1，e 2不共线，故λ1＝λ2＝0正确；对于B ，空间向量a 应改为与e 1，e 2共面的向量才可以；C 中，λ1e 1＋λ2e 2一定与e 1，e 2共面；D 中，根据平面向量基本定理，λ1，λ2应是惟一一对．答案：A3．(2016·郑州质检)已知△ABC 中，平面内一点P 满足CP →＝23CA →＋13CB →，若|PB →|＝t |PA →|，则t 的值为( )A ．3 B.13 C ．2D.12解析：由题意可知PB →＝CB →－CP →＝CB →－⎝ ⎛⎭⎪⎫23CA →＋13CB →＝23(CB →－CA →)＝23AB →，同理可得PA →＝－13AB →，∴|PB →|＝2|PA →|，即t ＝2.答案：C4．(2015·高考江苏卷)已知向量a ＝(2,1)，b ＝(1，－2)，若m a ＋n b ＝(9，－8)(m ，n ∈R )，则m －n 的值为________． 解析：∵m a ＋n b ＝(2m ＋n ，m －2n )＝(9，－8)，∴⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋n ＝9，m －2n ＝－8，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝5，∴m －n ＝2－5＝－3. 答案：－35．(2016·荆州模拟)已知向量OA →＝(k,12)，OB →＝(4,5)，OC →＝(－k,10)，且A ，B ，C 三点共线，则k ＝________. 解析：AB →＝(4－k ，－7)，AC →＝(－2k ，－2)，∵A ，B ，C 三点共线，∴－2(4－k )－14k ＝0，解得k ＝－23.答案：－236．(2016·江西南昌模拟)已知向量a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，c ＝(2cos α，2sin α)(α∈R )，实数m ，n 满足m a ＋n b ＝c ，则(m －3)2＋n 2的最大值为__________．解析：由m a ＋n b ＝c ，可得⎩⎨⎧m ＋n ＝2cos α，m －n ＝2sin α，故(m ＋n )2＋(m －n )2＝2，即m 2＋n 2＝1，故点M (m ，n )在单位圆上，则点P (3,0)到点M的距离的最大值为|OP |＋1＝3＋1＝4，故(m －3)2＋n 2的最大值为42＝16.答案：167．已知A (1,1)、B (3，－1)、C (a ，b )．(1)若A 、B 、C 三点共线，求a 、b 的关系式； (2)若AC →＝2AB →，求点C 的坐标．解：(1)由已知得AB →＝(2，－2)，AC →＝(a －1，B －*4/5)， ∵A 、B 、C 三点共线，∴AB →∥AC →， ∴2(B －*4/5)＋2(a －1)＝0，即a ＋b ＝2. (2)∵AC →＝2AB →，∴(a －1，B －*4/5)＝2(2，－2)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a －1＝4，B －*4/5＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝－3，∴点C 的坐标为(5，－3)．8．已知点O 为坐标原点，A (0,2)，B (4,6)，OM →＝t 1OA →＋t 2AB →. (1)求点M 在第二或第三象限的充要条件；(2)求证：当t 1＝1时，不论t 2为何实数，A ，B ，M 三点共线． 解：(1)OM →＝t 1OA →＋t 2AB →＝t 1(0,2)＋t 2(4,4)＝(4t 2,2t 1＋4t 2)． 当点M 在第二或第三象限时，有⎩⎪⎨⎪⎧4t 2<0，2t 1＋4t 2≠0，故所求的充要条件为t 2<0且t 1＋2t 2≠0. (2)证明：当t 1＝1时， 由(1)知OM →＝(4t 2,4t 2＋2)， ∵AB →＝OB →－OA →＝(4,4)， AM →＝OM →－OA →＝(4t 2,4t 2)＝t 2(4,4)＝t 2AB →， ∴A ，B ，M 三点共线．[B 级 能力突破]1．(2015·高考湖南卷)已知点A ，B ，C 在圆x 2＋y 2＝1上运动，且AB ⊥BC .若点P 的坐标为(2,0)，则|PA →＋PB →＋PC →|的最大值为( )A ．6B ．7C ．8D ．9解析：法一：AC 为Rt △ABC 的斜边，则AC 为圆x 2＋y 2＝1的一条直径，故AC 必经过原点，如图，则PA →＋PC →＝2PO →，|PA →＋PB →＋PC →|＝|2 PO →＋PB →|≤2 |PO →|＋|PB →|，当P ，O ，B 三点共线时取等号，即当B 落在点(－1,0)处时|PA →＋PB →＋PC →|取得最大值，此时，PO →＝(－2,0)，PB →＝(－3,0)，2 |PO →|＋|PB →|＝2×2＋3＝7，故|PA →＋PB →＋PC →|的最大值为7.法二：同解法一，得|PA →＋PB →＋PC →|＝|2 PO →＋PB →|. 又PB →＝OB →－OP →，∴|PA →＋PB →＋PC →|＝|2 PO →＋OB →－OP →|＝|OB →－3 OP →| ＝OB →2＋9 OP →2－6 OB →·OP →＝ 12＋9×22－6×1×2cos∠POB ＝37－12cos ∠POB ≤37＋12＝7，当且仅当∠POB ＝180°时取“等号”，故|PA →＋PB →＋PC →|的最大值为7. 法三：同法一，得|PA →＋PB →＋PC →|＝|2 PO →＋PB →|.设B (cos α，sin α)，则|2 PO →＋PB →|＝|2(－2,0)＋(cos α－2，sin α)|＝|(－6＋cos α，sin α)|＝－6＋cos α2＋sin 2α＝37－12cos α≤37＋12＝7(当cos α＝－1，即B 落在点(－1,0)处时取等号)． 故|PA →＋PB →＋PC →|的最大值为7. 答案：B2．(2016·保定模拟)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，设向量p ＝(a ＋c ，b )，q ＝(b －a ，c －a )，若p ∥q ，则角C 的大小为( )A ．30°B ．60°C ．90°D ．120°解析：由p ∥q 得(a ＋c )(c －a )＝b (b －a )，整理得b 2＋a 2－c 2＝ab ，由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，∴C ＝60°.答案：B3．(2016·河北邯郸一模)已知向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，若(m a ＋n b )∥(a －2b )，则m n等于( ) A ．－2 B ．2 C ．－12D.12解析：由题意得m a ＋n b ＝(2m －n,3m ＋2n )，a －2b ＝(4，－1)，∵(m a ＋n b )∥(a －2b )，∴－(2m －n )－4(3m ＋2n )＝0，∴m n ＝－12，故选C.答案：C4．已知两点A (1,0)，B (1,1)，O 为坐标原点，点C 在第二象限，且∠AOC ＝135°，设OC →＝－OA →＋λOB →(λ∈R )，则λ的值为________．解析：由∠AOC ＝135°知，点C 在射线y ＝－x (x <0)上，设点C 的坐标为(a ，－a )，a <0，则有(a ，－a )＝(－1＋λ，λ)，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1＋λ，－a ＝λ，消去a 得λ＝12.答案：125．如图，在△ABC 中，设AB →＝a ，AC →＝b ，AP 的中点为Q ，BQ 的中点为R ，CR 的中点恰好为P ，则AP →＝________.(用a ，b 表示)解析：如图，连接BP ，则AP →＝AC →＋CP →＝b ＋PR →①AP →＝AB →＋BP →＝a ＋RP →－RB →② ①＋②得，2AP →＝a ＋b －RB →③ 又RB →＝12QB →＝12(AB →－AQ →)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a －12AP →④ 将④代入③得， 2AP →＝a ＋b －12(a －12AP →)，解得AP →＝27a ＋47b .答案：27a ＋47b .6．(2014·高考湖南卷)在平面直角坐标系中，O 为原点，A (－1,0)，B (0，3)，C (3,0)，动点D 满足|CD →|＝1，则|OA →＋OB →＋OD →|的最大值是________．解析：设D (x ，y )，由CD →＝(x －3，y )及|CD →|＝1知(x －3)2＋y 2＝1，即动点D 的轨迹为以点C 为圆心的单位圆． 又OA →＋OB →＋OD →＝(－1,0)＋(0，3)＋(x ，y )＝(x －1，y ＋3)．∴|OA →＋OB →＋OC →|＝x －2＋y ＋32.问题转化为圆(x －3)2＋y 2＝1上的点与点P (1，－3)间距离的最大值． ∵圆心C (3,0)与点P (1，－3)之间的距离为－2＋＋32＝7，故x －2＋y ＋32的最大值为7＋1.答案：7＋17．已知向量u ＝(x ，y )与向量v ＝(y,2y －x )的对应关系用v ＝f (u )表示． (1)设a ＝(1,1)，b ＝(1,0)，求向量f (a )与f (b )的坐标； (2)求使f (c )＝(p ，q )(p 、q 为常数)的向量c 的坐标；(3)证明：对任意的向量a 、b 及常数m 、n ，恒有f (m a ＋n b )＝mf (a )＋nf (b )成立． 解：(1)∵a ＝(1,1)，∴f (a )＝(1,2×1－1)＝(1,1)． 又∵b ＝(1,0)，∴f (b )＝(0,2×0－1)＝(0，－1)．(2)设c ＝(x ，y )，则f (c )＝(y,2y －x )＝(p ，q )，∴⎩⎪⎨⎪⎧y ＝p ，2y －x ＝q ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2p －q ，y ＝p ，∴c ＝(2p －q ，p )．(3)证明：设a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)， 则m a ＋n b ＝(ma 1＋nb 1，ma 2＋nb 2)，∴f (m a ＋n b )＝(ma 2＋nb 2,2ma 2＋2nb 2－ma 1－nb 1)．∵mf(a)＝m(a2,2a2－a1)，nf(b)＝n(b2,2b2－b1)，∴mf(a)＋nf(b)＝(ma2＋nb2,2ma2＋2nb2－ma1－nb1)，∴f(m a＋n b)＝mf(a)＋nf(b)成立．第3课时平面向量的数量积及平面向量的应用1．理解平面向量数量积的含义及其物理意义．2．了解平面向量的数量积与向量投影的关系．3．掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算．4．能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．5．会用向量方法解决某些简单的平面几何问题．6．会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题．1．两个向量的夹角(1)夹角的定义(2)射影的定义设θ是a与b的夹角，则|b|cos θ叫作b在a方向上的射影．|a|cos θ叫作a在b方向上的射影．射影是一个实数，不是线段的长度，也不是向量．当θ∈[0°，90°)时，它是正值；当θ∈(90°，180°]时，它是负值；当θ＝90°时，它是0.2．平面向量的数量积(1)向量的数量积的定义已知两个向量a 和b ，它们的夹角为θ，把|a ||b |cos θ叫作a 与b 的数量积(或内积)，记作a ·b ，即a ·b ＝|a ||b |cos θ. (2)向量数量积的性质①若e 是单位向量，则e ·a ＝a ·e ＝|a |cos θ.②若a ⊥b ，则a ·b ＝0；反之，若a ·b ＝0，则a ⊥b ，记作a ⊥b ⇔a ·b ＝0. ③|a |＝a ·a .④cos θ＝a ·b|a ||b |(|a ||b |≠0)．⑤对任意两个向量a 、b ，有|a ·b |≤|a ||b |，当且仅当a ∥b 时等号成立． (3)向量数量积的运算律 给定向量a ，b ，c 和实数λ，有 ①a ·b ＝b ·a ；(交换律)②(λa )·b ＝λ(a ·b )＝a ·(λb )；(数乘结合律) ③a ·(b ＋c )＝a ·b ＋a ·c (分配律)． 3．平面向量数量积的坐标运算 (1)平面向量数量积的坐标表示已知两个非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2.即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和． (2)向量模的坐标表示若A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，则|AB →|＝x 2－x 12＋y 2－y 12(两点间距离公式)．若a ＝(x ，y )，则|a |2＝x 2＋y 2，|a |＝x 2＋y 2. (3)两向量夹角的余弦公式设a 、b 是非零向量，a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ是a 与b 的夹角，则有cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22. (4)两个向量垂直的充要条件设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0. (5)直线的方向向量把与直线l 共线的向量m 称为直线l 的方向向量，设直线方程为y ＝kx ＋b ，则其方向向量为m ＝(1，k )．设直线方程为Ax ＋By ＋C ＝0，则其方向向量为m ＝(－B ，A )，利用直线的方向向量可以表示过定点的直线方程、求两直线的夹角等，这给我们处理解析几何问题增加了一条新途径．[基础自测]1．(教材改编题)已知a ＝(－1,2)，b ＝(2，－1)，则(a ＋b )·(a －b )的值为( ) A ．0 B ．10 C ．－10 D ．5解析：∵a ＋b ＝(1,1)，a －b ＝(－3,3)，∴(a ＋b )·(a －b )＝1×(－3)＋1×3＝0. 答案：A2．已知|a |＝3，|b |＝2，若a ·b ＝－3，则a 与b 的夹角为( ) A.π3 B.π4 C.2π3D.3π4解析：设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝－33×2＝－12， ∴θ＝2π3.答案：C3．已知|a |＝4，|b |＝3，a 与b 的夹角为120°，则b 在a 方向上的射影为( ) A ．2 B.32 C ．－2D ．－32解析：∵|b |cos 120°＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－32，∴b 在a 方向上的射影为－32. 答案：D4．若向量a ＝(1,1)，b ＝(x,2)互相垂直，则x ＝________. 解析：∵a ⊥b ，∴x ＋2＝0，∴x ＝－2. 答案：－25．已知向量a ＝(2，－1)，b ＝(x ，－2)，c ＝(3，y )，若a ∥b ，(a ＋b )⊥(b －c )，M (x ，y )，N (y ，x )，则向量MN →的模为____． 解析：∵a ∥b ，∴2×(－2)－(－1)x ＝0即x ＝4.∵(a ＋b )⊥(b －c )，∴(2＋x )×(x －3)＋(－3)×(－y －2)＝0，解得y ＝－4. ∴|MN →|＝＋2＋－4－2＝8 2.答案：8 2考点一 求两平面向量的数量积[例1] (1)在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝4，若点P 为△ABC 的外心，则AP →·BC →的值为( ) A ．2 B ．4 C ．6D ．8(2)在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝1，E 为BC 的中点，若F 为该矩形内(含边界)任意一点，则AE →·AF →的最大值为________． 审题视点 (1)因AB 、AC 已知，故把BC →写为BC →＝AC →－AB →，利用AP ＝BP ＝CP 和数量积定义化简． (2)建立坐标系，设F (x ，y )，用坐标计算AE →·AF →. 解析 (1)∵BC →＝AC →－AB →， ∴AP →·BC →＝AP →·AC →－AP →·AB →.又cos ∠BAP ＝AB 2＋AP 2－BP 22·AB ·AP ＝AB 22·AB ·AP，∴AB →·AP →＝AB 22，同理AC →·AP →＝AC 22，∴AP →·BC →＝AC 22－AB 22＝162－42＝6.(2)以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，则E ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12，设F (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤20≤y ≤1，AE →·AF →＝2x ＋12y ，令z ＝2x ＋12y ，当z ＝2x ＋12y 过点(2,1)时，AE →·AF →取最大值92.答案 (1)C (2)92(1)已知向量a 、b 的模及夹角θ，利用公式a·b ＝|a ||b |cos θ求解； (2)已知向量a 、b 的坐标，利用数量积的坐标形式求解．1．(2016·南昌市高三模拟)已知向量e 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π4，sin π6，e 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2sin π4，4cos π3，则e 1·e 2＝________. 解析：由向量数量积公式得e 1·e 2＝cos π4×2sin π4＋sin π6×4cos π3＝22×2＋12×2＝2. 答案：22．(2016·河北邢台模拟)在△ABC 中，AB ＝AC ＝3，∠BAC ＝30°，CD 是边AB 上的高，则CD →·CB →＝( ) A ．－94B.94C.274D ．－274解析：在△ABC 中，AB ＝AC ＝3，∠BAC ＝30°，CD 是边AB 上的高，则有CD ＝AC ·sin 30°＝32.∴CD →·CB →＝|CD →|·|CB →|·cos ∠BCD ＝CD→2＝94.故选B.考点二 利用数量积求向量夹角和模[例2] (1)在△ABC 中，若∠A ＝120°，AB →·AC →＝－1，则|BC →|的最小值是( ) A. 2 B ．2 C. 6D ．6(2)已知e 1，e 2是两个单位向量，其夹角为θ，若向量m ＝2e 1＋3e 2，则|m |＝1的充要条件是( )A ．θ＝πB ．θ＝π2C ．θ＝π3D ．θ＝2π3审题视点 (1)BC →＝AC →－AB →，先求|BC →|2的最小值． (2)利用m 2＝1，求e 1·e 2便得θ. 解析 (1)∵AB →·AC →＝－1， ∴|AB →|·|AC →|cos 120°＝－1， 即|AB →|·|AC →|＝2，∴|BC →|2＝|AC →－AB →|2＝AC →2－2AB →·AC →＋AB →2≥ 2|AB →|·|AC →|－2AB →·AC →＝6， ∴|BC →|min ＝ 6.(2)由|m |＝1，得m 2＝1，即(2e 1＋3e 2)2＝1.展开得，4e 21＋9e 22＋12e 1·e 2＝1，即4＋9＋12cos θ＝1，所以cos θ＝－1.又θ∈[0，π]，∴θ＝π.答案 (1)C (2)A(1)在数量积的基本运算中，经常用到数量积的定义、模、夹角等公式，尤其对|a |＝a·a 要引起足够重视，是求模常用的公式． (2)利用向量数量积的定义，知cos θ＝a·b|a ||b |，其中两向量夹角的范围为0°≤θ≤180°，求解时应求出三个量：a·b ，|a |，|b |或者找出这三个量之间的关系．1．(2015·高考重庆卷)若非零向量a ，b 满足|a |＝223|b |，且(a －b )⊥(3a ＋2b )，则a 与b 的夹角为( )A.π4B.π2C.3π4D ．π。
第四章平面向量第四章平面向量第一节平面向量的基本概念及线性运算[考情展望] 1.在平面几何图形中考查向量运算的平行四边形法则及三角形法则.2.以四种命题及充分必要条件为知识载体，考查向量的有关概念.3.借助共线向量定理探求点线关系或求参数的值．一、向量的有关概念1．向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或模)．2．零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．3．单位向量：长度等于1个单位的向量．4．平行向量：方向相同或相反的非零向量．平行向量又叫共线向量．规定：0与任一向量平行．5．相等向量：长度相等且方向相同的向量．6．相反向量：长度相等且方向相反的向量．二、向量的线性运算向量加减法运算的两个关键点：加法的三角形法则关键是“首尾相接，指向终点”，并可推广为多个向量相加的“多边形法则”；减法的三角形法则关键是“起点重合，指向被减向量”．三、平面向量共线定理向量b 与a (a ≠0)共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b ＝λa .巧用系数判共线 OA →＝λOB →＋μOC →(λ，μ∈R )，若A ，B ，C 三点共线，则λ＋μ＝1；反之，也成立．1．化简OP →－QP →＋MS →＋QM →的结果为( ) A.OM → B.SM → C.PS → D.OS → 【答案】 D2．下列给出的命题正确的是( ) A ．零向量是唯一没有方向的向量 B ．平面内的单位向量有且仅有一个C ．a 与b 是共线向量，b 与c 是平行向量，则a 与c 是方向相同的向量D ．相等的向量必是共线向量 【答案】 D3．设a ，b 为不共线向量，AB →＝a ＋2b ，BC →＝－4a －b ，CD →＝－5a －3b ，则下列关系式中正确的是( )A.AD →＝BC →B.AD →＝2BC →C.AD →＝－BC →D.AD →＝－2BC →【答案】 B4．(2014·福建高考)设M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形ABCD 所在平面内任意一点，则OA →＋OB →＋OC →＋OD →等于( )A.OM → B ．2OM → C ．3OM → D ．4OM → 【答案】 D5．设a 、b 都是非零向量，下列四个条件中，使a |a |＝b|b |成立的充分条件是( )A ．a ＝－bB ．a ∥bC ．a ＝2bD ．a ∥b 且|a |＝|b |【答案】 C6．(2013·四川高考)在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，AB →＋AD →＝λAO →，则λ＝ .【答案】 2考向一 [071] 平面向量的有关概念给出下列四个命题：①若|a |＝|b |，则a ＝b 或a ＝－b ； ②若AB →＝DC →，则四边形ABCD 为平行四边形； ③若a 与b 同向，且|a |＞|b |，则a ＞b ； ④λ，μ为实数，若λa ＝μb ，则a 与b 共线． 其中假命题的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】 D规律方法1 1.(1)易忽视零向量这一特殊向量，误认为④是正确的；(2)充分利用反例进行否定是对向量的有关概念题进行判定的行之有效的方法．2．准确理解向量的基本概念是解决这类题目的关键：(1)相等向量具有传递性，非零向量平行也具有传递性；(2)共线向量(平行向量)和相等向量均与向量的起点无关．3．“向量”和“有向线段”是两个不同的概念，向量只有两个要素：大小、方向；而有向线段有三个要素：起点、方向、长度．对点训练 给出下列四个命题：①两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同； ②若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ； ③若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ；④a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b . 其中假命题的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】 C考向二 [072] 平面向量的线性运算(1)在△ABC 中，若D 是AB 边上一点，且AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，则λ＝( )A.23B.13 C ．－13 D ．－23(2)若O 是△ABC 所在平面内一点，D 为BC 边中点，且2OA →＋OB →＋OC →＝0，那么( ) A.AO →＝OD → B.AO →＝2OD → C.AO →＝3OD →D ．2AO →＝OD →【答案】 (1)A (2)A规律方法2 1.解答本例(1)的关键是利用向量的加法与减法把CD →用CA →、CB →表示出来．解答本例(2)的关键是OB →＋OC →＝2OD →.2．进行向量的线性运算时，要尽可能转化到三角形或平行四边形中，选用从同一顶点出发的基本向量或首尾相连的向量，运用向量加、减法运算及数乘运算来解．对点训练 (1)(2014·课标全国卷Ⅰ)设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则EB →＋FC →＝( )A.BC →B.12AD →C.AD →D.12BC →(2)(2015·南京质检)已知D 为三角形ABC 边BC 的中点，点P 满足PA →＋BP →＋CP →＝0，AP →＝λPD →，则实数λ的值为 ．【答案】 (1)C (2)－2考向三 [073] 共线向量定理的应用设两个非零向量e 1和e 2不共线．(1)如果AB →＝e 1－e 2，BC →＝3e 1＋2e 2，CD →＝－8e 1－2e 2，求证：A 、C 、D 三点共线． (2)如果AB →＝e 1＋e 2，BC →＝2e 1－3e 2，AF →＝3e 1－k e 2，且A 、C 、F 三点共线，求k 的值． 【尝试解答】 (1)AB →＝e 1－e 2，BC →＝3e 1＋2e 2，∴AC →＝AB →＋BC →＝4e 1＋e 2， 又CD →＝－8e 1－2e 2，所以CD →＝－2AC →，∴AC →与CD →共线， 又∵AC →与CD →有公共点C ， ∴A 、C 、D 三点共线．(2)∵AB →＝e 1＋e 2，BC →＝2e 1－3e 2， ∴AC →＝AB →＋BC →＝3e 1－2e 2. ∵A 、C 、F 三点共线，∴AC →∥AF →，从而存在实数λ，使得AC →＝λAF →. ∴3e 1－2e 2＝3λe 1－λk e 2， 又e 1，e 2是不共线的非零向量，∴⎩⎪⎨⎪⎧3＝3λ，－2＝－λk ，因此k ＝2.所以实数k 的值为2.规律方法3 1.向量b 与非零向量a 共线的充要条件是存在唯一实数λ，使b ＝λa .要注意通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，要注意待定系数法和方程思想的运用．2．证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．对点训练 (1)已知向量a ，b 不共线，c ＝k a ＋b (k ∈R )，d ＝a －b .如果c ∥d ，那么( ) A ．k ＝1且c 与d 同向 B ．k ＝1且c 与d 反向 C ．k ＝－1且c 与d 同向D ．k ＝－1且c 与d 反向(2)对于非零向量a 、b ，“a ＋b ＝0”是“a ∥b ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】 (1)D (2)A易错易误之八 忽视零向量的特殊性致误 —————————— [1个示范例] ——————下列命题正确的是( )A ．向量a 、b 共线的充要条件是有且仅有一个实数λ，使b ＝λaB ．在△ABC 中，AB →＋BC →＋CA →＝0C ．不等式||a |－|b ||≤|a ＋b |≤|a |＋|b |中两个等号不可能同时成立D ．向量a 、b 不共线，则向量a ＋b 与向量a －b 必不共线【解析】 A 不正确，当a ＝b ＝0时，有无数个实数λ满足b ＝λa . 此处在求解时，常因忽视“共线向量定理中的条件a ≠0”而致误． B 不正确，在△ABC 中，AB →＋BC →＋CA →＝0.此处在求解时，常因混淆向量与数量的关系致误，0是向量，其模为0，而0是数量，没有方向．C 不正确，当b ＝0时，不等式|a |≤|a |≤|a |显然成立．此处在求解时，常受代数不等式||a |－|b ||≤|a ＋b |≤|a |＋|b |的影响，而忽略了向量中0的作用导致错误．D 正确．∵向量a 与b 不共线，∴a ，b ，a ＋b 与a －b 均不为零向量． 若a ＋b 与a －b 平行，则存在实数λ，使a ＋b ＝λ(a －b )， 即(λ－1)a ＝(1＋λ)b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ－1＝0，1＋λ＝0，λ无解，故假设不成立，即a ＋b 与a －b 不平行，故选D.【防范措施】 (1)共线向量定理中，b ＝λa 要求a ≠0，否则λ值可能不存在． (2)向量的加减及数乘运算的结果，仍然是一个向量，而不是一个数． (3)应熟练掌握向量不等式||a |－|b ||≤|a ＋b |≤|a |＋|b |等号成立的条件．———————— [1个防错练] ———————下列说法不正确的有 ．①若a ∥b ，则a 与b 的方向相同或相反； ②若λa ＝0，则λ＝0； ③相反向量必不相等；④若a ＝e 1＋λe 2，b ＝2e 1，λ∈R ，且λ≠0，则a ∥b 的充要条件是e 2＝0. 【解析】 ①不正确，如a ＝0. ②不正确，λa ＝0，则λ＝0或a ＝0. ③不正确，0＝－0.④不正确，当e 1∥e 2时该命题也成立． 【答案】 ①②③④课时限时检测(二十五) 平面向量的基本概念及线性运算(时间：60分钟 满分：80分)一、选择题(每小题5分，共30分)1．若a ＋c 与b 都是非零向量，则“a ＋b ＋c ＝0”是“b ∥(a ＋c )”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】 A2．已知两个非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |，则下面结论正确的是( ) A ．a ∥b B ．a ⊥b C ．|a |＝|b | D ．a ＋b ＝a －b 【答案】 B3．如图4－1－1，正六边形ABCDEF 中，BA →＋CD →＋EF →＝( )图4－1－1A ．0 B.BE → C.AD → D.CF →【答案】 D4．设a ，b 都是非零向量，下列四个条件中，一定能使a |a |＋b|b |＝0成立的是( )A ．a ＝－13bB ．a∥bC ．a ＝2bD ．a⊥b【答案】 A5．设a ，b 是两个非零向量( ) A ．若|a ＋b |＝|a |－|b |，则a ⊥b B ．若a ⊥b ，则|a ＋b |＝|a |－|b |C ．若|a ＋b |＝|a |－|b |，则存在实数λ，使得b ＝λaD ．若存在实数λ，使得b ＝λa ，则|a ＋b |＝|a |－|b | 【答案】 C6．已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0.若存在实数m 使得AB →＋AC →＝mAM →成立，则m ＝( )A ．2B ．3C ．4D ．5 【答案】 B二、填空题(每小题5分，共15分)7．如图4－1－2所示，向量a －b ＝ (用e 1，e 2表示)．图4－1－2【答案】 e 1－3e 28．若|AB →|＝8，|AC →|＝5，则|BC →|的取值范围是 ． 【答案】 [3,13]9．已知向量a ，b 是两个非零向量，则在下列四个条件中，能使a 、b 共线的条件是 (将正确的序号填在横线上)．①2a －3b ＝4e ，且a ＋2b ＝－3e ；②存在相异实数λ、μ，使λa ＋μb ＝0； ③x a ＋y b ＝0(实数x ，y 满足x ＋y ＝0)．【答案】 ①②三、解答题(本大题共3小题，共35分) 10．(10分)设a ，b 是不共线的两个非零向量．(1)若OA →＝2a －b ，OB →＝3a ＋b ，OC →＝a －3b ，求证：A 、B 、C 三点共线． (2)若8a ＋k b 与k a ＋2b 共线，求实数k 的值．(3)若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a －3b ，CD →＝2a －k b ，且A 、C 、D 三点共线，求k 的值． 【解】 (1)证明 AB →＝OB →－OA →＝a ＋2b ， AC →＝OC →－OA →＝－a －2b .所以AC →＝－AB →，又因为A 为公共点， 所以A 、B 、C 三点共线． (2)设8a ＋k b ＝λ(k a ＋2b )，则⎩⎪⎨⎪⎧8＝λk ，k ＝2λ⇒⎩⎪⎨⎪⎧k ＝4，λ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－4，λ＝－2，所以实数k 的值为±4.(3)AC →＝AB →＋BC →＝(a ＋b )＋(2a －3b )＝3a －2b ， 因为A 、C 、D 三点共线，所以AC →与CD →共线．从而存在实数λ使AC →＝λCD →，即3a －2b ＝λ(2a －k b )，得⎩⎪⎨⎪⎧3＝2λ，－2＝－λk ，解得λ＝32，k ＝43，所以k ＝43.11．(12分)如图4－1－3所示，在△ABC 中，AN →＝13NC →，P 是BN 上的一点，若AP →＝mAB →＋211AC →，求实数m 的值．图4－1－3【解】 如题图所示，AP →＝AB →＋BP →， ∵P 为BN 上一点，则BP →＝kBN →， ∴AP →＝AB →＋kBN →＝AB →＋k (AN →－AB →) 又AN →＝13NC →，即AN →＝14AC →，因此AP →＝(1－k )AB →＋k 4AC →，所以1－k ＝m ，且k 4＝211，解得k ＝811，则m ＝1－k ＝311.12．(13分)设O 是平面上一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三点，动点P 满足OP →＝OA →＋λ(AB →|AB →|＋AC→|AC →|)，λ∈[0，＋∞)．求点P 的轨迹，并判断点P 的轨迹通过下述哪一个定点：①△ABC 的外心；②△ABC 的内心；③△ABC 的重心； ④△ABC 的垂心．【解】 如图，记AM →＝AB →|AB →|，AN →＝AC→|AC →|，则AM →，AN →都是单位向量，∴|AM →|＝|AN →|，AQ →＝AM →＋AN →，则四边形AMQN 是菱形，∴AQ 平分∠BAC ，∵OP →＝OA →＋AP →，由条件知OP →＝OA →＋λAQ →，∴AP →＝λAQ →(λ∈[0，＋∞))，∴点P 的轨迹是射线AQ ，且AQ 通过△ABC 的内心．第二节 平面向量基本定理及坐标表示[考情展望] 1.考查用平面向量的坐标运算进行向量的线性运算.2.考查应用平面向量基本定理进行向量的线性运算.3.以向量的坐标运算及共线向量定理为载体，考查学生分析问题和解决问题的能力．一、平面向量基本定理如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于该平面内任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2，其中e 1，e 2是一组基底．二、平面向量的坐标运算及向量平行的坐标表示 1．平面向量的坐标运算(1)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)(b ≠0)，则a ±b ＝(x 1±x 2，y 1±y 2)． (2)若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)， |AB →|＝x 2－x 12＋y 2－y 12|.(3)若a ＝(x ，y )，λ∈R ，则λa ＝(λx ，λy )． 2．向量平行的坐标表示(1)如果a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件为x 1y 2－x 2y 1＝0.(2)三点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)共线的充要条件为(x 2－x 1)(y 3－y 1)－(x 3－x 1)(y 2－y 1)＝0.共线向量的坐标表示若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件不能表示成x 1x 2＝y 1y 2，因为x 2，y 2有可能等于0，所以应表示为x 1y 2－x 2y 1＝0.1．下列各组向量：①e 1＝(－1,2)，e 2＝(5,7)；②e 1＝(3,5)，e 2＝(6,10)；③e 1＝(2，－3)，e 2＝(12，－34)，能作为表示它们所在平面内所有向量基底的是( )A ．①B ．①③C ．②③D ．①②③ 【答案】 A2．若a ＝(3,2)，b ＝(0，－1)，则2b －a 的坐标是( ) A ．(3，－4) B ．(－3,4) C ．(3,4) D ．(－3，－4)【答案】 D3．已知a ＝(4,5)，b ＝(8，y )且a ∥b ，则y 等于( ) A ．5 B ．10 C.325D ．15 【答案】 B4．(2014·福建高考)在下列向量组中，可以把向量a ＝(3,2)表示出来的是( ) A ．e 1＝(0,0)，e 2＝(1,2) B ．e 1＝(－1,2)，e 2＝(5，－2) C ．e 1＝(3,5)，e 2＝(6,10) D ．e 1＝(2，－3)，e 2＝(－2,3) 【答案】 B5．(2013·广东高考)设a 是已知的平面向量且a ≠0.关于向量a 的分解，有如下四个命题：①给定向量b ，总存在向量c ，使a ＝b ＋c ；②给定向量b 和c ，总存在实数λ和μ，使a ＝λb ＋μ c ；③给定单位向量b 和正数μ，总存在单位向量c 和实数λ，使a ＝λb ＋μ c ； ④给定正数λ和μ，总存在单位向量b 和单位向量c ，使a ＝λb ＋μ c .上述命题中的向量b ，c 和a 在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】 B6．(2013·北京高考)向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图4－2－1所示，若c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R )，则λμ＝ .【答案】 4考向一 [074] 平面向量基本定理及其应用(1)在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点．若AC →＝λAE→＋μAF →，其中λ，μ∈R ，则λ＋μ＝ .图4－2－2(2)如图4－2－2，在四边形ABCD 中，AC 和BD 相交于点O ，设AD →＝a ，AB →＝b ，若AB →＝2DC →，则AO →＝ (用向量a 和b 表示)．【答案】 (1)43 (2)23a ＋13b规律方法1 1.解答本例(1)的关键是根据平面向量基本定理列出关于λ，μ的方程组． 2．(1)利用平面向量基本定理表示向量时，要选择一组恰当的基底来表示其他向量，即用特殊向量表示一般向量．常与待定系数法、方程思想紧密联系在一起解决问题．(2)利用已知向量表示未知向量，实质就是利用三角形法则进行向量的加减运算，在解题时，注意方程思想的运用．对点训练 (2013·江苏高考)设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE＝23BC .若DE →＝λ1AB →＋λ2AC →(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为 ． 【答案】 12考向二 [075] 平面向量的坐标运算已知O (0,0)，A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)．设AB →＝a ，BC →＝b ，CA →＝c ，且CM →＝3c ，CN →＝－2b ， (1)求3a ＋b －3c ；(2)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n ； (3)求M 、N 的坐标及向量MN →的坐标．【尝试解答】 a ＝AB →＝(3－(－2)，－1－4)＝(5，－5)， b ＝BC →＝(－3－3，－4－(－1))＝(－6，－3)， c ＝CA →＝(－2－(－3)，4－(－4))＝(1,8)． (1)3a ＋b －3c ＝(15，－15)＋(－6，－3)－(3,24) ＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．(2)由a ＝m b ＋n c ，得(5，－5)＝(－6m ，－3m )＋(n,8n ) ＝(－6m ＋n ，－3m ＋8n )．∴⎩⎪⎨⎪⎧－6m ＋n ＝5，－3m ＋8n ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝－1.(3)∵CM →＝OM →－OC →＝3c ，∴OM →＝3c ＋OC →＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)． ∴M (0,20)．又∵CN →＝ON →－OC →＝－2b ，∴ON →＝－2b ＋OC →＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)， ∴N (9,2)． ∴MN →＝(9，－18)．规律方法2 1.向量的坐标运算主要是利用向量加减、数乘运算的法则进行．若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标，注意方程思想的应用．2．平面向量的坐标运算的引入为向量提供了新的语言——“坐标语言”，实质是“形”化为“数”．向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可用坐标来进行，实现了向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来．对点训练(1)(2014·广东高考)已知向量a＝(1,2)，b＝(3,1)，则b－a＝( ) A．(－2,1) B．(2，－1)C．(2,0) D．(4,3)(2)(2014·北京高考)已知向量a＝(2,4)，b＝(－1,1)，则2a－b＝( )A．(5,7) B．(5,9)C．(3,7) D．(3,9)【答案】(1)B (2)A考向三 [076] 平面向量共线的坐标表示(1)设向量a ，b 满足|a |＝25，b ＝(2,1)，且a 与b 的方向相反，则a的坐标为 ．(2)向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13，tan α，b ＝(cos α，1)，且a∥b ，则cos 2α＝( ) A ．－13 B.13 C ．－79 D.79【答案】 (1)(－4，－2) (2)D规律方法3 1.两平面向量共线的充要条件有两种形式：(1)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件是x 1y 2－x 2y 1＝0；(2)若a ∥b (a ≠0)，则b ＝λa .2．向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数．当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例来求解．对点训练 (1)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(1,0)，c ＝(3,4)．若λ为实数，(a ＋λb )∥c ，则λ＝( )A.14B.12C ．1D ．2 (2)已知向量OA →＝(3，－4)，OB →＝(6，－3)，OC →＝(5－m ，－3－m )，若点A 、B 、C 能构成三角形，则实数m 满足的条件是 ．【答案】 (1)B (2)m ≠12思想方法之十二 待定系数法在向量运算中的应用根据向量之间的关系，利用待定系数法列出一个含有待定系数的恒等式，然后根据恒等式的性质求出各待定系数的值或消去这些待定系数，找出原来那些系数之间的关系，从而使问题得到解决．—————————— [1个示范例] ——————如图4－2－3所示，在△OAB 中，OC →＝14OA →，图4－2－3OD →＝12OB →，AD 与BC 交于点M ，设OA →＝a ，OB →＝b ，利用a 和b 表示向量OM →.【解】 设OM →＝m a ＋n b ，则AM →＝OM →－OA →＝m a ＋n b －a ＝(m －1)a ＋n b . AD →＝OD →－OA →＝12OB →－OA →＝12b －a .因为A 、M 、D 三点共线，所以存在实数λ，使AM →＝λAD →，即(m －1)a ＋n b ＝－λa ＋λ2b .所以⎩⎪⎨⎪⎧m －1＝－λ，n ＝λ2，消去λ，得m ＋2n ＝1，①同理CM →＝OM →－OC →＝m a ＋n b －14a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m －14a ＋n b ，CB →＝OB →－OC →＝b －14a ，因为C 、M 、B 三点共线，所以存在实数t ，使CM →＝tCB →，即⎝ ⎛⎭⎪⎫m －14a ＋n b ＝t ⎝ ⎛⎭⎪⎫b －14a . 所以⎩⎪⎨⎪⎧m －14＝－14t ，n ＝t ，消去t ，得4m ＋n ＝1，②联立①②，得m ＝17，n ＝37，所以OM →＝17a ＋37b .,———————— [1个对点练] ———————如图4－2－4所示，M 是△ABC 内一点，且满足条件AM →＋2BM →＋3CM →＝0，延长CM 交AB 于N ，令CM →＝a ，试用a 表示CN →.图4－2－4【解】 因为AM →＝AN →＋NM →，BM →＝BN →＋NM →， 所以由AM →＋2BM →＋3CM →＝0，得 (AN →＋NM →)＋2(BN →＋NM →)＋3CM →＝0， 所以AN →＋3NM →＋2BN →＋3CM →＝0.又因为A ，N ，B 三点共线，C ，M ，N 三点共线， 由平面向量基本定理，设AN →＝λBN →，CM →＝μNM →， 所以λBN →＋3NM →＋2BN →＋3μNM →＝0. 所以(λ＋2)BN →＋(3＋3μ)NM →＝0.由于BN →和NM →不共线，由平面向量基本定理，得⎩⎪⎨⎪⎧λ＋2＝0，3＋3μ＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－2，μ＝－1.所以CM →＝－NM →＝MN →，CN →＝CM →＋MN →＝2CM →＝2a .课时限时检测(二十六) 平面向量基本定理及坐标表示(时间：60分钟 满分：80分)一、选择题(每小题5分，共30分)1．若向量BA →＝(2,3)，CA →＝(4,7)，则BC →＝( ) A ．(－2，－4) B ．(2,4) C ．(6,10) D ．(－6，－10)【答案】 A2．(2013·陕西高考)已知向量a ＝(1，m )，b ＝(m,2)，若a ∥b ，则实数m 等于( )A ．－ 2 B. 2 C ．－2或 2 D ．0【答案】 C3．已知向量m ＝(2,0)，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32.在△ABC 中，AB →＝2m ＋2n ，AC →＝2m －6n ，D 是BC边的中点，则|AD →|等于( )A ．2B ．4C ．6D ．8 【答案】 A4．在△ABC 中，点D 在线段BC 的延长线上，且BC →＝CD →，点O 在线段CD 上(与点C ，D 不重合)，若AO →＝xAB →＋(1－x )AC →，则x 的取值范围( )A ．(0,1) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13 C ．(－1,0) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0 【答案】 C5．设向量a ＝(1，－3)，b ＝(－2,4)，若表示向量4a 、3b －2a 、c 的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量c 为( )A ．(1，－1)B ．(－1,1)C ．(－4,6)D ．(4，－6) 【答案】 D6．△ABC 的三内角A 、B 、C 所对边的长分别为a ，b ，c ，设向量p ＝(a ＋c ，b )，q ＝(b －a ，c －a )，若p ∥q ，则角C 的大小为( )A.π6B.π3 C.π2 D.2π3【答案】 B二、填空题(每小题5分，共15分)7．若三点A (2,2)，B (a,0)，C (0，b )(ab ≠0)共线，则1a ＋1b的值为 ．【答案】 128．在△ABC 中，若点D 是边AB 上靠近点B 的三等分点，若CB →＝a ，CA →＝b ，则CD →等于 ．【答案】 23a ＋13b9．已知A (－3,0)，B (0，3)，O 为坐标原点，C 在第二象限，且∠AOC ＝30°，OC →＝λOA →＋OB →，则实数λ的值为 ．【答案】 1三、解答题(本大题共3小题，共35分)10．(10分)设坐标平面上有三点A ，B ，C ，i ，j 分别是坐标平面上x 轴、y 轴正方向上的单位向量，若向量AB →＝i －2j ，BC →＝i ＋m j ，那么是否存在实数m ，使A ，B ，C 三点共线．【解】 法一 假设满足条件的m 存在，由A ，B ，C 三点共线，得AB →∥BC →， ∴存在实数λ，使AB →＝λBC →，即i －2j ＝λ(i ＋m j )，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝1，λm ＝－2，∴m ＝－2.∴当m ＝－2时，A ，B ，C 三点共线．法二 假设满足条件的m 存在，根据题意可知i ＝(1,0)，j ＝(0,1)．∴AB →＝(1,0)－2(0,1)＝(1，－2)，BC →＝(1,0)＋m (0,1)＝(1，m )，由A ，B ，C 三点共线，得AB →∥BC →，故1·m －1·(－2)＝0， 解得m ＝－2.∴当m ＝－2时，A ，B ，C 三点共线．11．(12分)已知点O (0,0)，A (1,2)，B (4,5)，且OP →＝OA →＋tAB →(t ∈R )，问： (1)t 为何值时，点P 在x 轴上？点P 在二、四象限角平分线上？(2)四边形OABP 能否成为平行四边形？若能，求出相应的t 值；若不能，请说明理由． 【解】 (1)∵O (0,0)，A (1,2)，B (4,5)， ∴OA →＝(1,2)，AB →＝(3,3)， OP →＝OA →＋tAB →＝(1＋3t,2＋3t )． 若P 在x 轴上，只需2＋3t ＝0，t ＝－23；若P 在第二、四象限角平分线上，则 1＋3t ＝－(2＋3t )，t ＝－12.(2)OA →＝(1,2)，PB →＝(3－3t,3－3t )， 若OABP 是平行四边形， 则OA →＝PB →，即⎩⎪⎨⎪⎧3－3t ＝1，3－3t ＝2，此方程组无解．所以四边形OABP 不可能为平行四边形．12．(13分)如图4－2－5，G 是△OAB 的重心，P ，Q 分别是边OA 、OB 上的动点，且P ，G ，Q 三点共线．图4－2－5(1)设PG →＝λPQ →，将OG →用λ，OP →，OQ →表示； (2)设OP →＝xOA →，OQ →＝yOB →，证明：1x ＋1y是定值．【解】 (1)OG →＝OP →＋PG →＝OP →＋λPQ →＝OP →＋λ(OQ →－OP →)＝(1－λ)OP →＋λOQ →. (2)证明 一方面，由(1)，得 OG →＝(1－λ)OP →＋λOQ →＝(1－λ)xOA →＋λyOB →；① 另一方面，∵G 是△OAB 的重心， ∴OG →＝23OM →＝23×12(OA →＋OB →)＝13OA →＋13OB →.②而OA →，OB →不共线，∴由①②，得⎩⎪⎨⎪⎧－λx ＝13，λy ＝13.解得⎩⎪⎨⎪⎧1x ＝3－3λ，1y ＝3λ.∴1x ＋1y＝3(定值)．第三节 平面向量的数量积[考情展望] 1.以客观题的形式考查平面向量数量积的计算，向量垂直条件与数量积的性质.2.以平面向量数量积为工具，与平面几何、三角函数、解析几何等知识交汇命题，主要考查运算能力及数形结合思想．一、平面向量的数量积1．数量积的定义：已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为θ，则向量a 与b 的数量积是数量|a ||b |cos θ，记作a ·b ，即a ·b ＝|a ||b |cos θ.规定：零向量与任一向量的数量积为0.2．向量的投影：设θ为a 与b 的夹角，则向量a 在b 方向上的投影是|a |cos θ；向量b 在a 方向上的投影是|b |cos θ.3．数量积的几何意义：数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积．二、平面向量数量积的运算律 1．交换律：a ·b ＝b ·a ；2．数乘结合律：(λa )·b ＝λ(a ·b )＝a ·(λb )； 3．分配律：a ·(b ＋c )＝a ·b ＋a ·c . 三、平面向量数量积的性质及其坐标表示已知非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ为向量a ，b 的夹角．1．已知a ＝(1，－3)，b ＝(4,6)，c ＝(2,3)，则(b ·c )a 等于( )A ．(26，－78)B ．(－28，－42)C ．－52D ．－78 【答案】 A2．已知向量a 、b 满足|a |＝1，|b |＝4，且a ·b ＝2，则a 与b 的夹角为( ) A.π6 B.π4 C.π3D.π2【答案】 C3．已知向量a ，b 和实数λ，下列选项中错误的是( ) A ．|a |＝a ·a B ．|a ·b |＝|a |·|b | C ．λ(a ·b )＝λa ·b D ．|a ·b |≤|a |·|b |【答案】 B4．已知向量a ，b 满足a·b ＝0，|a |＝1，|b |＝2，则|2a －b |＝( ) A ．0 B ．2 2 C ．4 D ．8【答案】 B5．(2013·湖北高考)已知点A (－1,1)，B (1,2)，C (－2，－1)，D (3,4)，则向量AB →在CD →方向上的投影为( )A.322B.3152C ．－322D ．－3152【答案】 A6．(2013·课标全国卷Ⅰ)已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c ＝t a ＋(1－t )b ，若b ·c ＝0，则t ＝ .【答案】 2考向一 [077] 平面向量数量积的运算(1)(2012·浙江高考)在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝3，BC ＝10，则AB →·AC →＝ .(2)已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE →·CB →的值为 ；DE →·DC →的最大值为 ．【答案】 (1)－16 (2)1 1规律方法1 1.平面向量的数量积的运算有两种形式，一是依据长度与夹角，二是利用坐标来计算．2．要有“基底”意识，关键用基向量表示题目中所求相关向量，如本例(1)中用AM →、MB →表示AB →、AC →等．注意向量夹角的大小，以及夹角θ＝0°，90°，180°三种特殊情形．对点训练 (1)(2013·江西高考)设e 1，e 2为单位向量， 且e 1，e 2的夹角为π3，若a ＝e 1＋3e 2，b ＝2e 1，则向量a 在b 方向上的投影为 ．(2)在边长为1的正三角形ABC 中，设BC →＝2BD →，CA →＝3CE →，则AD →·BE →＝ . 【答案】 (1)52 (2)－14考向二 [078] 平面向量的夹角与垂直(1)(2013·安徽高考)若非零向量a ，b 满足|a |＝3|b |＝|a ＋2b |，则a与b 夹角的余弦值为 ．(2)(2013·山东高考)已知向量AB →与AC →的夹角为120°，且|AB →|＝3，|AC →|＝2.若AP →＝λAB →＋AC →，且AP →⊥BC →，则实数λ的值为 ．【答案】 (1)－13 (2)712规律方法2 1.当a ，b 以非坐标形式给出时，求〈a ，b 〉的关键是借助已知条件求出|a |、|b |与a·b 的关系．2．(1)非零向量垂直的充要条件：a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔|a ＋b |＝|a －b |⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.(2)本例(2)中常见的错误是不会借助向量减法法则把BC →表示成AC →－AB →，导致求解受阻．对点训练 (1)(2014·重庆高考)已知向量a ＝(k,3)，b ＝(1,4)，c ＝(2,1)，且(2a －3b )⊥c ，则实数k ＝( )A ．－92B ．0C ．3 D.152(2)(2015·青岛质检)已知向量AB →与AC →的夹角为120°，且|AB →|＝3，|AC →|＝2.若AP →＝λAB →＋AC →，且AP →⊥BC →，则实数λ的值是 ．【答案】 (1)C (2)712考向三 [079] 平面向量的模及其应用(1)设x ，y ∈R ，向量a ＝(x,1)，b ＝(1，y )，c ＝(2，－4)，且a ⊥c ，b∥c ，则|a ＋b |＝( )A. 5B.10 C ．2 5 D ．10 【答案】 B(2)已知OP →＝(cos θ，sin θ)，OQ →＝(1＋sin θ，1＋cos θ)，其中0≤θ≤π，求|PQ →|的取值范围及|PQ →|取得最大值时θ的值．【尝试解答】 ∵PQ →＝OQ →－OP →＝(1＋sin θ－cos θ，1＋cos θ－sin θ)，∴|P Q →|2＝(1＋sin θ－cos θ)2＋(1＋cos θ－sin θ)2＝4－4sin θcos θ＝4－2sin 2θ. ∵0≤θ≤π，∴－1≤sin 2θ≤1， ∴|PQ →|2∈[2,6]，∴|PQ →|∈[2，6]．当sin 2θ＝－1，即θ＝3π4时，|PQ →|取得最大值．规律方法3 1.x 1y 2－x 2y 1＝0与x 1x 2＋y 1y 2＝0不同，前者是a ＝(x 1，y 1，z 1)，b ＝(x 2，y 2，z 2)共线的充要条件，而后者是它们垂直的充要条件．2．求解向量的长度问题一般可以从两个方面考虑：(1)利用向量的几何意义，即利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法求解；(2)利用公式|a |＝a·a 及(a ±b )2＝|a |2±2a·b ＋|b |2把长度问题转化为数量积的运算问题解决．对点训练 (1)(2014·江西高考)已知单位向量e 1，e 2的夹角为α，且cos α＝13，若向量a ＝3e 1－2e 2，则|a |＝ .(2)(2014·四川高考)平面向量a ＝(1,2)，b ＝(4,2)，c ＝m a ＋b (m ∈R )，且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m ＝( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2 【答案】 (1)3 (2)D易错易误之九 忽略向量共线条件致误—————————— [1个示范例] ——————(2014·广州模拟)已知a ＝(1,2)，b ＝(1,1)，且a 与a ＋λb 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围为 ．【解析】 ∵a 与a ＋λb 均为非零向量，且夹角为锐角， ∴a ·(a ＋λb )＞0，即(1,2)·(1＋λ，2＋λ)＞0， ∴(1＋λ)＋2(2＋λ)＞0，∴λ＞－53，当a 与 a ＋λb 共线时，存在实数m ，使a ＋λb ＝m a ，此处在求解时，常因忽略“a 与a ＋λb 共线”的情形致误，出现错误的原因是误认为a·b ＞0与〈a ，b 〉为锐角等价．即(1＋λ，2＋λ)＝m (1,2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋λ＝m 2＋λ＝2m，∴λ＝0，即当λ＝0时，a 与a ＋λb 共线．综上可知，λ的取值范围为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫λ⎪⎪⎪λ＞－53且λ≠0 【防范措施】 1.a ，b 的夹角为锐角并不等价于a·b ＞0，a·b ＞0等价于a 与b 夹角为锐角或0°.2．依据两向量的夹角θ求向量坐标中的参数时，要注意θ＝0°或180°的情形．其中cos 0°＝1＞0，cos 180°＝－1＜0.———————— [1个防错练] ———————已知a ＝(2，－1)，b ＝(λ，3)，若a 与b 的夹角为钝角，则λ的取值范围是 ． 【解析】 由a·b ＜0，即2λ－3＜0，解得λ＜32.又当a∥b 时，λ＝－6，故所求λ的范围为λ＜32且λ≠－6.【答案】 ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫λ⎪⎪⎪λ＜32且λ≠－6 课时限时检测(二十七) 平面向量的数量积(时间：60分钟 满分：80分)一、选择题(每小题5分，共30分)1．(2013·辽宁高考)已知点A (1,3)，B (4，－1)，则与向量AB →同方向的单位向量为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－45B.⎝ ⎛⎭⎪⎫45，－35C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，45D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，35 【答案】 A2．(2013·大纲全国卷)已知向量m ＝(λ＋1,1)，n ＝(λ＋2,2)，若(m ＋n )⊥(m －n )，则λ＝( )A ．－4B ．－3C ．－2D ．－1【答案】 B3．若向量a, b ，c 满足a ∥b 且a ⊥c ，则c ·(a ＋2b )＝( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．0【答案】 D4．已知|a |＝1，|b |＝2，〈a ，b 〉＝60°，则|2a －b |＝( ) A ．2 B ．4 C ．2 2 D ．8 【答案】 A5．已知△ABC 为等边三角形，AB ＝2.设点P ，Q 满足AP →＝λAB →，AQ →＝(1－λ)AC →，λ∈R .若BQ →·CP →＝－32，则λ＝( )A.12B.1±22 C.1±102D.－3±222 【答案】 A6．已知平面向量|a |＝2，|b |＝1，且(a ＋b )⊥⎝ ⎛⎭⎪⎫a －52b ，则a 与b 的夹角为( ) A.π3 B.π4 C.π5 D.π6【答案】 A二、填空题(每小题5分，共15分)7．已知向量a ＝(1,0)，b ＝(1,1)，则向量b －3a 与向量a 夹角的余弦值为 ． 【答案】 －2558．已知|a |＝1，|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，则a ＋b 在a 方向上的投影为 ． 【答案】 29．设i 、j 是平面直角坐标系(坐标原点为O )内分别与x 轴、y 轴正方向相同的两个单位向量，且OA →＝－2i ＋j ，OB →＝4i ＋3j ，则△OAB 的面积等于 ．【答案】 5三、解答题(本大题共3小题，共35分)10．(10分)已知a ＝(1,2)，b ＝(x,1)， (1)若(2a ＋b )∥(a －b )，求x 的值；(2)若2a ＋b 与a －b 的夹角是锐角，求x 的取值范围． 【解】 (1)∵a ＝(1,2)，b ＝(x,1)， ∴2a ＋b ＝(2＋x,5)，a －b ＝(1－x,1)．由(2a ＋b )∥(a －b )可知 2＋x ＝5－5x . 解得x ＝12.(2)由题意可知(2a ＋b )·(a －b )＞0且2a ＋b 与a －b 不共线， ∴⎩⎪⎨⎪⎧＋x －x ＋5＞0，x ≠12，∴－1－292＜x ＜－1＋292且x ≠12. 即所求x 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－292，12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－1＋292.11．(12分)在平面直角坐标系xOy 中，已知四边形OABC 是等腰梯形，A (6,0)，C (1，3)，点M 满足OM →＝12OA →，点P 在线段BC 上运动(包括端点)，如图．图4－3－1(1)求∠OCM 的余弦值；(2)是否存在实数λ，使(OA →－λOP →)⊥CM →，若存在，求出满足条件的实数λ的取值范围，若不存在，请说明理由．【解】 (1)由题意可得OA →＝(6,0)，OC →＝(1，3)，OM →＝12OA →＝(3,0)，CM →＝(2，－3)，CO →＝(－1，－3)．∴cos ∠OCM ＝cos 〈CO →，CM →〉＝CO →·CM →|CO →||CM →|＝714.(2)设P (t ，3)，其中1≤t ≤5，λOP →＝(λt ，3λ)， OA →－λOP →＝(6－λt ，－3λ)，CM →＝(2，－3)， 若(OA →－λOP →)⊥CM →，则(OA →－λOP →)·CM →＝0，即12－2λt ＋3λ＝0⇒(2t －3)λ＝12，若t ＝32，则λ不存在，若t ≠32，则λ＝122t －3，∵t ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，32∪⎝ ⎛⎦⎥⎤32，5，故λ∈(－∞，－12)∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫127，＋∞. 12．(13分)已知点A (1,0)，B (0,1)，C (2sin θ，cos θ)．(1)若|AC →|＝|BC →|，求sin θ＋2cos θsin θ－cos θ的值；(2)若(OA →＋2OB →)·OC →＝1，其中O 为坐标原点，求sin θ·cos θ的值． 【解】 ∵A (1,0)，B (0,1)，C (2sin θ，cos θ)， ∴AC →＝(2sin θ－1，cos θ)，BC →＝(2sin θ，cos θ－1)． (1)|AC →|＝|BC →|， ∴θ－2＋cos 2θ＝θ2＋θ－2，化简得2sin θ＝cos θ，所以tan θ＝12，∴sin θ＋2cos θsin θ－cos θ＝tan θ＋2tan θ－1＝12＋212－1＝－5.(2)OA →＝(1,0)，OB →＝(0,1)，OC →＝(2sin θ，cos θ)， ∴OA →＋2OB →＝(1,2)，∵(OA →＋2OB →)·OC →＝1，∴2sin θ＋2cos θ＝1. ∴(sin θ＋cos θ)2＝14，∴1＋2sin θcos θ＝14，∴sin θ·cos θ＝－38.第四节 平面向量应用举例[考情展望] 1.用向量的方法解决某些简单的平面几何证明问题.2.与三角函数、解析几何等知识交汇命题，体现向量运算的工具性．一、向量在平面几何中的应用1．平面向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算及数量积解决平面几何中的平行、垂直、平移、全等、相似、长度、夹角等问题．2．用向量解决常见平面几何问题的技巧1．向量的加法、减法在力的分解与合成中的应用． 2．向量在速度的分解与合成中的应用．3．向量的数量积在合力做功问题中的应用：W ＝f ·s .1．已知三个力f 1，f 2，f 3作用于物体同一点，使物体处于平衡状态，若f 1＝(2,2)，f 2＝(－2,3)，则|f 3|为( )A ．2.5B ．4 2C ．2 2D ．5 【答案】 D2．已知O 是△ABC 所在平面上一点，若OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA →，则O 是△ABC 的( ) A ．内心 B ．重心 C ．外心 D ．垂心 【答案】 D3．若AB →·BC →＋AB →2＝0，则△ABC 为( ) A ．钝角三角形 B ．锐角三角形 C ．等腰直角三角形 D ．直角三角形【答案】 D4．已知两个力F 1、F 2的夹角为90°，它们的合力F 的大小为10 N ，合力与F 1的夹角为60°，那么F 1的大小为 ．【答案】 5 N5．在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝3，AB →·BC →＝1，则BC ＝( ) A. 3 B.7 C ．2 2 D.23 【答案】 A6．(2014·山东高考)在△ABC 中，已知AB →·AC →＝tan A ，当A ＝π6时，△ABC 的面积为 ．【答案】 16考向一 [080] 向量在平面几何中的应用(1)在△ABC中，已知向量AB →与AC →满足⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0，且AB→|AB →|·AC→|AC →|＝12，则△ABC 为( ) A ．等边三角形 B ．直角三角形C ．等腰非等边三角形D ．三边均不相等的三角形(2)设a ，b ，c 为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且a 与b 不共线，a⊥c ，|a|＝|c |，则|b·c |的值一定等于( )A ．以a ，b 为邻边的平行四边形的面积B ．以b ，c 为两边的三角形面积C ．以a ，b 为两边的三角形面积D ．以b ，c 为邻边的平行四边形的面积(3)已知△ABC 的三边长AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，P 为AB 边上任意一点，则CP →·(BA →－BC →)的最大值为 ．【答案】 (1)A (2)D (3)9规律方法1 1.向量在平面几何中的三大应用：一是借助运算判断图形的形状；二是借助模、数量积等分析几何图形的面积；三是借助向量探寻函数的最值表达式，进而求最值．2．平面几何问题的向量解法 (1)坐标法把几何图形放在适当的坐标系中，就赋予了有关点与向量具体的坐标，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决．(2)基向量法适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量共线构造关于设定未知量的方程来进行求解．对点训练 (1)已知点O ，N ，P 在△ABC 所在平面内，且|OA →|＝|OB →|＝|OC →|，NA →＋NB →＋NC→＝0，PA →·PB →＝PB →·PC →＝PC →·PA →，则点O ，N ，P 依次是△ABC 的( )A ．重心、外心、垂心B ．重心、外心、内心C ．外心、重心、垂心D ．外心、重心、内心(注：三角形的三条高线交于一点，此点称为三角形的垂心)(2)(2013·课标全国卷Ⅱ)已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AE →·BD →＝ .【答案】 (1)C (2)2考向二 [081] 平面向量在解析几何中的应用(2015·苏州模拟)已知平面上一定点C (2,0)和直线l ：x ＝8，P 为该平面上一动点，作PQ ⊥l ，垂足为Q ，且⎝⎛⎭⎪⎫PC →＋12PQ →·⎝ ⎛⎭⎪⎫PC →－12PQ →＝0.(1)求动点P 的轨迹方程；(2)若EF 为圆N ：x 2＋(y －1)2＝1的任一条直径，求PE →·PF →的最大值．【尝试解答】 (1)设P (x ，y )，则Q (8，y )．由⎝⎛⎭⎪⎫PC →＋12PQ →·⎝ ⎛⎭⎪⎫PC →－12PQ →＝0，得|PC →|2－14|PQ →|2＝0，即(x －2)2＋y 2－14(x －8)2＝0，化简得x 216＋y 212＝1.所以点P 在椭圆上，其方程为x 216＋y 212＝1.(2)因PE →·PF →＝(NE →－NP →)·(NF →－NP →) ＝(－NF →－NP →)·(NF →－NP →) ＝(－NP →)2－NF →2＝NP →2－1，P 是椭圆x 216＋y 212＝1上的任一点，设P (x 0，y 0)，则有x 2016＋y 2012＝1，即x 2＝16－4y 23，又N (0,1)，所以NP →2＝x 20＋(y 0－1)2＝－13y 20－2y 0＋17＝－13(y 0＋3)2＋20.因为y 0∈[－23，23]，所以当y 0＝－3时，NP →2取得最大值20，故PE →·PF →的最大值为19.规律方法2 1.平面向量与解析几何交汇的题目，向量多用于“包装”，解决此类问题的关键是利用向量的意义、运算脱去“向量外衣”，导出曲线上点的坐标之间的关系，从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题．2．向量工具作用：利用a ⊥b ⇔a·b ＝0(a ，b 为非零向量)，a ∥b ⇔a ＝λb (b ≠0)，可解决垂直、平行问题，特别地，向量垂直、平行的坐标表示对于解决解析几何中的垂直、平行问题是一种比较优越的方法．对点训练 (2014·安徽高考)在平面直角坐标系xOy 中，已知向量a ，b ，|a |＝|b |＝1，a ·b ＝0，点Q 满足OQ →＝2(a ＋b )．曲线C ＝{P |OP →＝a cos θ＋b sin θ，0≤θ<2π}，区域Ω＝{P |0<r ≤|PQ →|≤R ，r <R }．若C ∩Ω为两段分离的曲线，则( )A ．1<r <R <3B ．1<r <3≤RC ．r ≤1<R <3D ．1<r <3<R【答案】 A考向三 [082] 向量在三角函数中的应用(2013·辽宁高考)设向量a ＝(3sin x ，sin x )，b ＝(cos x ，sin x )，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.(1)若|a|＝|b|，求x 的值；(2)设函数f (x )＝a ·b ，求f (x )的最大值．【尝试解答】 (1)由|a |2＝(3sin x )2＋sin 2x ＝4sin 2x ， |b |2＝cos 2x ＋sin 2x ＝1， 及|a |＝|b |，得4sin 2x ＝1.又x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，从而sin x ＝12，所以x ＝π6.(2)f (x )＝a ·b ＝3sin x ·cos x ＋sin 2x ＝32sin 2x －12cos 2x ＋12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋12，当x ＝π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6取最大值1.。
