高考数学一轮总复习 第4讲 函数的概念、解析式及定义域考点集训 理 新人教A版

2.1 函数的概念
2024届高考数学一轮复习课件
考点知识梳理
1.函数的概念
一般地，设A，B是非空的 实数集 ，如果对于集合A中的 任意 一个数x，
按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有 唯一确定 的数y和它对应，
那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.
2.函数的三要素
(1)函数的三要素： 定义域 、 对应关系 、 值域 .
(2)如果两个函数的 定义域 相同，并且 对应关系 完全一致，则这两个
函数为同一个函数.
考点知识梳理
3.函数的表示法
表示函数的常用方法有 解析法 、图象法和 列表法 .
4.分段函数
若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不
同的式子来表示，这种函数称为分段函数.
考向典题讲解
题型三：给出函数解析式求解定义域
【例3】(2023·北京·高三专题练习)函数 ( ) =
−1
的定义域为________．
2 +1
【答案】 ≥ 1
−1
【解析】令 2 +1 ≥ 0，可得 − 1 ≥ 0，解得 ≥ 1．
故函数 ( ) =
−1
的定义域为
【例1】(2023·山东潍坊·统考一模)存在函数 满足：对任意 ∈ 都有( )
A． = 3 B． sin = 2
C． 2 + 2 =
D． = 2 + 1
【答案】D
【解析】对于A，当 = 1时， 1
当 = −1时， −1
= (1) = 1；
按 = − 2 ，在 的范围中必有唯一的值与之对应，
2 ∈ [0,4]，则− 2 ∈ [−4,0]，则 的范围要包含[−4,0]，故选：A．

考点集训(四) 第4讲 函数的概念、解析式及定义域1．函数f (x )＝1log 2x －1的定义域为A ．(0，2)B ．(0，2]C ．(2，＋∞)D ．[2，＋∞)2．若函数y ＝f (x )的定义域为[0，2]，则函数g (x )＝f （2x ）x －1的定义域是 A ．[0，1] B ．[0，1)C ．[0，1)∪(1，4]D ．(0，1)3．已知f ：x →－sin x 是集合A (A ⊆[0，2π])到集合B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，12的一个映射，则集合A 中的元素个数最多有A ．4个B ．5个C ．6个D ．7个4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a·2x，x ≥0，2－x，x ＜0(a ∈R )，若f [f (－1)]＝1，则a ＝A.14B.12 C ．1 D ．25．若f (x )对于任意实数x 恒有2f (x )－f (－x )＝3x ＋1，则f (x )＝ A ．x －1 B ．x ＋1 C ．2x ＋1 D ．3x ＋36．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －1，x ＜1，x 13，x ≥1，则使得f (x )≤2成立的x 的取值范围是__________．7．二次函数f (x )满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1.(1)求f (x )的解析式； (2)解不等式f (x )＞2x ＋5.8．函数f (x )对一切函数x 、y 均有f (x ＋y )－f (y )＝x (x ＋2y ＋1)成立，且f (1)＝0， (1)求f (0)的值；(2)试确定函数f (x )的解析式．9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cx ＋1，（0<x <c ），2－x c 2＋1，（c ≤x <1）满足f (c 2)＝98. (1)求常数c 的值； (2)解不等式f (x )＞28＋1.第4讲 函数的概念、解析式及定义域【考点集训】1．C 2.B 3.B 4.A 5.B 6.(－∞，8]7．【解析】(1)设二次函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)． ∵f(0)＝1，∴c ＝1.把f(x)的表达式代入f(x ＋1)－f(x)＝2x ，有a(x ＋1)2＋b(x ＋1)＋1－(ax 2＋bx ＋1)＝2x. ∴2ax ＋a ＋b ＝2x.∴a ＝1，b ＝－1.∴f(x)＝x 2－x ＋1.(2)由x 2－x ＋1＞2x ＋5，即x 2－3x －4＞0， 解得x ＞4或x ＜－1.故原不等式解集为{x|x ＞4或x ＜－1}． 8．【解析】(1)令x ＝1，y ＝0，得f(1)－f(0)＝2. 又∵f(1)＝0，∴f(0)＝－2.(2)令y ＝0，则f(x)－f(0)＝x(x ＋1)，由(1)知，f(x)＝x(x ＋1)＋f(0)＝x(x ＋1)－2＝x 2＋x －2.9．【解析】(1)因为0＜c ＜1，所以c 2＜c ，由f(c 2)＝98，即c 3＋1＝98，c ＝12.(2)由(1)得f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧12x ＋1，⎝⎛⎭⎪⎫0＜x ＜12，2－4x＋1，⎝ ⎛⎭⎪⎫12≤x ＜1.由f(x)＞28＋1得，当0＜x ＜12时， 解得24＜x ＜12， 当12≤x ＜1时，解得12≤x ＜58， 所以f(x)＞28＋1的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x|24＜x ＜58.。

x→2x 表示把集合 M 中的元素 x 映射到集合 N 中为 2x， 则 a ＋ b＝ ( C ) A．－2 B．0 C．2 D．± 2 b 【解析】由于 M 中元素a只能对应 0，1 只能对应 2b a.所以 a ＝0，a＝2，即 b＝0，a＝2，因此 a＋b＝2，故 选 C.
2．下列各组函数是同一函数的是( C ) ①f(x)＝ －2x3与 g(x)＝x －2x； ②f(x)＝|x|与 g(x)＝ x2； ③f(x)＝x0 与 g(x)＝1； ④f(x)＝x2－2x－1 与 g(t)＝t2－2t－1. A．①② B．①③ C．②④ D．③④
4．分段函数
若函数在定义域的不同子集上对应法则不同， 可用几个式子表示函数，这种形式的函数叫
分段函数 ．注意：不要把分段函数误认为是 多个函数，它是一个整体，分段处理后，最后 写成一个函数表达式．分段函数的定义域等于 各段函数的定义域的 并集 ，其值域等于各段 函数的值域的 并集 ．分段函数虽由几个部 一 个函数． 分组成，但它表示的是____
【解析】∵y＝－x2＋2x， ∴y∈(－∞，1]． 由二次函数图象可知： 当 k<1 时， 直线 y＝k 与 y＝－x2＋2x 有两个不同的 交点； 当 k＝1 时，直线 y＝1 与 y＝－x2＋2x 有且仅有一 个交点； 当 k>1 时，直线 y＝k 与 y＝－x2＋2x 无交点． 故应填 k∈(－∞，1)．
【解析】①两函数的定义域相同，对应关系不同， ①不符合；②两函数的定义域和对应关系均相同，②符 合；③两函数的定义域不同，③不符合；④两函数定义 域和对应关系均相同，④符合．故选 C.
3． 若 f(x)＝
1 A.－2，0 1 C.－2，＋∞
， 则 f(x)的定义域为( A ) 1 log （2x＋1） 2 1 B.－2，0 D．(0，＋∞)

2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中 k∈Z)
函数
y＝sin x
y＝cos x
图象
y＝tan x
定义域
值域 周期性
R _[_－__1_，__1_]__
2π
R _[_－__1_，__1_]__
__2_π_
x|x∈R，且 x≠kπ＋
π 2
__R__
π
函数 奇偶性 递增区间
递减区间 对称中心 对称轴方程
()
A．23π或53π
B．π3或43π
C．56π或116π
D．π6或76π
解析：因为曲线 y＝sin (4x＋φ)(0<φ<2π)关于点(1π2，0)对称，所以 4×1π2＋φ＝kπ，k
∈Z，即 φ＝kπ－π3，k∈Z.又 0<φ<2π，所以 φ＝23π或 φ＝53π.
答案：A
[变式] 本例(3)条件变为“若 y＝sin (4x＋φ)(0<φ<2π)是偶函数”，问题不变． 解：由 y＝sin (4x＋φ)是偶函数，得 φ＝kπ＋π2(k∈Z)且 0<φ<2π， ∴φ＝π2或32π.
答案：AB
考点 3 三角函数的单调性
【典例引领】
求三角函数的单调区间
[例 2](一题多法)(2022·北京高考)已知函数 f(x)＝cos2x－sin2x，则( )
A．f(x)在(－π2，－π6)上单调递减
B．f(x)在(－π4，1π2)上单调递增
C．f(x)在(0，π3)上单调递减
D．f(x)在(π4，71π2)上单调递增
答案：5 34π＋2kπ(k∈Z)
备考第 2 步——突破核心考点，提升关键能力 考点 1 三角函数的定义域和值域