2.2函数的求导法则

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同济大学高等数学2.2求导法则与导数公式

3cos2 x2 (sin x2)(x2)
3cos2 x2 (sin x2) 2x 6xsin x2 cos2 x2
（2） y ln( x 1 x2 )
解： y [ln(x 1 x2 )]
1
(x 1 x2 )
x 1 x2
1 (1 1 (1 x2 )) x 1 x2 2 1 x2
例 1．求下列函数的导数
（1） y x5 x 13x cos x ；
x3
解：
y
x2
x
5 2
x
3
3x
cosx
，
y
(
x2
)
(x
5 2
)(
x3
)(3x
)co
sx
3x
(cosx)
2x
5
7
x2
3x
4
3x
ln3cosx
3x
sin
x
。
2
（2） y x3 sin x(ln x 1 )
x
解： y[x3 sin x(ln x 1 )] x
解： f (e) 2 ，
∵ f (x) 在x e 的某邻域内是严格单调增加的连续函数，
且
f
(e)
(1 x
3x2 e3
)
xe
4 e
0
，
∴ ( f 1)(2) 1 e 。 f (e) 4
例 7．（1）求 y arcsin x ，x (1, 1) 的导数。
解：∵ y arcsin x 在(1, 1) 内严格单调增加且连续，
§2.2 求导法则与导数公式
2.2.1 若干基本初等函数的导数
1.(C)0 ；
2.(x ) x1 (R) ；

函数的求导法则

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复合函数的求导法则: dy = f ′(u)⋅ g′(x) 或 dy = dy ⋅ du . dx dx du dx
求 dy . 例10 y = ln sin x, dx
解 dy =(ln sin x)′= 1 ⋅(sin x)′ = 1 ⋅cosx=cot x . dx sin x sin x dy 3 2 , 求例11 y = 1−2x ． . dx 1 dy −4x 1 (1−2x2)− 2 ⋅(1−2x2)′ = 2)3 ]′ = 解 3 =[( −2x 1 . 3 ( −2x2)2 dx 3 3 1 复合函数的求导法则可以推广到多个中间变量的情形. 例如, 设y=f(u), u=ϕ(v), v=ψ(x), 则
详细证明首页上页返回下页结束铃
复合函数的求导法则: dy = f ′(u)⋅ g′(x) 或 dy = dy ⋅ du . dx dx du dx 例8 y=ex3 , 求 dy . 9 dx 解函数 y=ex3可看作是由y=e u, u=x3复合而成的, 因此
dy dy du u 2 = ⋅ =e ⋅3x =3x2ex3 . dx du dx dy 例9 y =sin 2x2 , 求 . 10 1+ x dx 解函数 y =sin 2x 是由 y=sin u , u = 2x 复合而成的, 1+ x2 1+ x2 dy dy du 2(1+ x2) −(2x)2 2(1− x2) = ⋅ =cosu⋅ = ⋅cos 2x2 . 因此 dx du dx (1+ x2)2 (1+ x2)2 1+ x
u(x) u′(x)v(x) −u(x)v′(x) >>> [ ]′ = . 2(x) v(x) v

2.2导数计算

推广
设 y = f ( u ), u = ϕ ( v ), v = ψ ( x ),
y = f {ϕ [ψ ( x )]} 的导数为则复合函数 dy dy du dv = ⋅ ⋅ . dx du dv dx
例1 求函数 y = ln sin x 的导数 . 解
∵ y = ln u, u = sin x .
和、差、积、商的求导法则
求导法导数的运算则注意: 注意: [u( x) ⋅ v( x)]′ ≠ u′( x) + v′( x);
u( x) u′( x) [ ]′ ≠ . v( x ) v′( x)
分段函数求导时分段函数求导时, 分界点导数用左右导求导时, 数求. 数求.
例题分析例1 求 y = x3 − 2x2 + sin x 的导数 . 解
1 ⋅ cos x = sin x
u
= cot x
例2 求函数 y = ( x 2 + 1)10 的导数 . 解 ∵ y = u10 , u = x 2 + 1
dy dy du ∴ = ⋅ dx du dx
9
d ( u10 ) d ( x 2 + 1) = ⋅ du dx
= 10u ⋅ 2x = 10( x 2 + 1)9 ⋅ 2 x
第二章
导数与微分
导数计算
第二、三、四节第二、
主要内容：主要内容：运算法则及基本方法初等函数的导数
导数的定义
导数的概念
f ( x + ∆x) − f ( x) ∆y dy df ( x) = lim = lim y′, f ′( x), 或 ∆x dx dx ∆x →0 ∆x ∆x→0