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5.2求导法则

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§2 求导法则教学章节：第五章 导数与微分——§2 求导法则教学目标：熟悉导数的运算性质和求导法则,牢记基本初等函数的导数公式,并熟练进行初等函数的导数运算.教学要求：熟练掌握导数的四则运算法则,复合函数的求导法则;会求反函数的导数,并在熟记基本初等函数导数公式的基础上综合运用这些法则与方法熟练准确地求出初等函数的导数.教学重点：导数的四则运算法则、复合函数求导法则、反函数求导法; 教学难点：复合函数求导法则及复合函数导数的计算. 教学方法：以问题教学法为主,结合课堂练习. 教学过程： 引言上一节我们讲述了导数的相关知识,要求大家：深刻理解导数概念,能准确表达其定义;明确其物理、几何意义,会求曲线上一点的切线方程;能够从定义出发求某些函数的导数;知道导数与导函数的区别和联系;明确导数与单侧导数,可导与连续的关系.特别要注意,要学会从导数定义出发求某些导数的导数.例如,我们上节课已计算出左边所列的导函数,并且我们知道,计算函数在一点的导数或某区间上的导函数归结为极限的计算.因此,从理论上来讲,给了一个函数（不管它是简单函数,还是复杂函数）,总可用定义求其导数（只要极限存在）.但从我们计算左边几个函数的经验知道,用定义计算函数的导数是比较繁琐的.试想对基本初等函数的导数计算（用定义求导）都如此繁琐,对一般的初等函数更是不可想象.因此,我们不能满足于只用导数定义求导数,而应去寻找一些求导数的一般方法,以便能较方便地求出初等函数的导数.在给出较一般的方法之前,先看以下函数如何求导数：x x x f cos sin )(1+= x x g 2sin )(1= x x x f cos sin )(2⋅= )sin()(2ax x g =xxx f a log cos )(3=x x g arcsin )(3= x c x f sin )(4= x x g arccos )(4=一、导数的四则运算问题1 设x x x f cos sin )(±=,求)('x f .分析 利用导数的定义及极限的四则运算知,)'(cos )'(sin sin cos )('x x x x x f ±== .即)'(cos )'(sin )'cos (sin x x x x ±=±一般地,有如下和的导法则：定理1（和的导数） 设)(x f ,)(x g 在x 点可导,则 )()(])()([x g x f x g x f '±'='± （求导是线性运算）证明 令 )()()(x g x f x y +=。

时当0)()()()()()()]()([)]()([→∆'+'→∆-∆++∆-∆+=∆+-∆++∆+=∆∆x x g x f xx g x x g x x f x x f xx g x f x x g x x f x y问题2 设x a x x f ⋅=sin )(,则a a x a x x f x x ln cos )'()'(sin )('⋅⋅=⋅=对吗？ 分析 一般地,有如下乘积的求导法则： 定理2（积的导数）设)(x f ,)(x g 在x 点可导,则)()()()(])()([x g x f x g x f x g x f '⋅+⋅'='⋅（它导它不导,它不导它导,然后加起来）证明 令 )()()(x g x f x y ⋅=。

时当分子0)()()()()()()()()()())()()()(()()()()(→∆'⋅+⋅'→∆-∆++∆+⋅∆-∆+=∆+⋅+∆+⋅-∆⋅-∆+⋅∆+=∆∆x x g x f x g x f xx g x x g x f x x g x x f x x f x x g x f x x g x f xx g x f x x g x x f x y 推论1 )(')()()()(')()()()(')())'()()((0000000000x w x v x u x w x v x u x w x v x u x x w x v x u ++=. 推论2 若函数)(x v 在0x 知可导,C 为常数,则)('))'(cos(00x v C x x x ⋅==.问题3 设x a x f a xlog )(=,求)('x f .分析： .一般地,存如下商的运算法则：定理3（商的导数） 设)(x f ,)(x g 在x 点可导,则)()()()()()()(2x g x g x f x g x f x g x f '⋅-⋅'='⎥⎦⎤⎢⎣⎡.证明 令)(1)(x g x y =。

时当0)()()()(1)()()(1)(112→∆'-→∆+⋅∆-∆+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∆+⋅∆=∆∆x x g x g x g x x g x x g x x g x g x x g x x y)(1)()()(x g x f x g x f ⋅= 给出（3）. 推论 (1) )(])([x f c x f c '='.(2) ∑∑=='='⎥⎦⎤⎢⎣⎡ni i n i i x f x f 11)()(.(3) )()()()(,)()(111x f x f x f x K x K x f n k k nk k n j i '=='⎪⎪⎭⎫⎝⎛∑∏==.∆.利用导数的四则运算法则举例.例1 π+-+=x x x x f 95)(23,求)('x f ,)0('f . 例2 x x y ln cos =,求π=x y '.例3 证明：1)'(----=n n nx x ,+∈N n . 例4 证明：x x 2sec )'(tan =,x x 2csc )'(cot =. 例5 证明：x x x tan sec )'(sec =,x x x cot csc )'(csc -=.∆.利用导数的四则运算法则求导数举例：1． x x x f sin )(2+=; 2． x x x x f cos sin )(3+-=; 3． 22)(x x f =; 4． x x x f cos )(2=;5．x x x x f 7sin )(+=; 6．x x x x x f cos )(32++=; 7．xtgxx x x x f +⋅=ln sin )(2; 8．xtgxx x f 3sin 5)(+=; 9．x x tgx xe y x ln 1sin 2++=.二、反函数的导数问题1 设x x f arcsin )(=,求)('x f . 分析.一般地,存如下结果：定理 4 设)(y x ϕ=在区间),(d c 上连续,严格上升,在),(0d c y ∈点可导,且0)(0≠'y ϕ,)(00y x ϕ=.则反函数)(x f y =在0x 点可导,且)]([1)(1)(000x f y x f ϕϕ'='='.注 若)(y x ϕ=在),(d c 可导,导数)0(0<>或,则反函数)(x f y =存在,且)()(1)]([1)(1)(x f y y x f y x f ='='='='ϕϕϕ .这里导数)0(0<>或可推出)(y ϕ严格上升（下降）,反函数之导数公式也可写成dy dxdxdy 1=.定理的证明 要证0)()(limx x x f x f x x --→存在,注意到这个比式是函数)()()(00y y y y y g ϕϕ--=与 )(x f y =的复合,由定理条件知)(10)0()(1lim )()()()(lim00000y y y y y y y x f x f y y y y ϕϕϕϕϕ'=--=--→→.再由反函数连续性,0x x →时,0y y →,由复合函数求极限定理得)(1)(lim )]([lim )()(lim000000y y g x f g x x x f x f y y x x x x ϕ'===--→→→.例6 )1,0(≠>=a a a y x,求y '.解 y x a log =,ax a xa y eyx a y y a a a x ln log )(log 1)(===='=',反过来,如果)('x a 已知,也可求y e a a y a x a x a x x a log ln 1log )(1)(log ==='='.例7 αx y =,求y '.解 xey ln α=,1ln -⋅=='ααααx xe xy .例8 x y arcsin =,求y '. 解 y x sin =,。

211)cos(arcsin 1arcsin )(sin 1)(arcsin x x xy y x -==='='例9 x y arccos =,求y '. 解。

211)sin(arccos 1arccos )(cos 1)(arccos x x xy y x --=-=='='例10 x arctg y =,求y '. 解。

2211)(sec 1)(1)(xx arctg x arctg y y tg x arctg +==='='同理可得211)(x x arcctg +-='.三、复合函数的导数问题 1 设x x f 2sin )(=,求)('x f ;2）. 设)sin()(x a x f =,求)('x f ;3）. 设αx x f =)(,求)('x f .定理5 设)(0u f '与)(0x g '存在,)(00x g u =,则复合函数)]([)(x g f x F =在0x 点可导,且)()]([)(000x g x g f x F '⋅'='.注 若)(u f 的定义域包含)(x g u =的值域,两函数在各自的定义域上可导,则复合函数)]([)(x g f x F =在)(x g 的定义域上可导,且)()]([)(x g x g f x F '⋅'='（怀中抱月）或 x u x u y y '⋅'=', dx du du dy dx dy ⋅=.定理的证明 定义函数⎪⎩⎪⎨⎧='≠--=。

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最新人教版高二数学选择性必修第二册第五章 5.2.2导数的四则运算法则5.2.3简单复合函数的导数

最新人教版高二数学选择性必修第二册第五章 5.2.2导数的四则运算法则5.2.3简单复合函数的导数


所以f′(2)＝a＋b4 ＝47 .②
4a－b＝1， 由①②得
4a＋b＝7，
a＝1， 解得
b＝3.
故f(x)＝x－x3
.
(2)设P(x0，y0)为曲线上任一点，由f′(x)＝1＋
3 x2
知，曲线在点P(x0，y0)处的切线
方程为y－y0＝1＋x320
(x－x0)，
即y－x0－x30
＝1＋x320
【拓展延伸】导数运算法则的推广 (1)导数的和(差)运算法则对三个或三个以上的函数求导数仍然成立．两个函数和 (差)的导数运算法则可以推广到有限个函数的情况，即[f1(x)±f2(x)±f3(x)±…±fn(x)]′ ＝f1′(x)±f2′(x)±f3′(x)±…±fn′(x). (2)积的导数公式的拓展，若 y＝f1(x)f2(x)…fn(x)，则有 y′＝f1′(x)f2(x)…fn(x)＋ f1(x)f2′(x)…fn(x)＋…＋f1(x)f2(x)…fn′(x).
y′x＝y′u·u′x＝eu·(－ax2＋bx)′ ＝eu·(－2ax＋b)＝(－2ax＋b)·e－ax2＋bx .
(2)①f(x)＋f′(x)＝cos ( 3 x＋φ)－sin ( 3 x＋φ)( 3 x＋φ)′
＝cos (
3 x＋φ)－
3 sin (
3
x＋φ)＝2sin
3x＋φ＋56π .
因为 0＜φ＜π，f(x)＋f′(x)是奇函数，所以 φ＝π6 .
′＝
（1－x）2
cos x－sin x＋x sin x
＝
（1－x）2
.
【补偿训练】
x2＋a2 当函数y＝ x (a＞0)在x＝x0处的导数为0时，那么x0等于( )
A．a
5.2.2 导数的运算法则(解析版)

5.2.2 导数的运算法则(解析版)

5.2.2导数的运算法则导学案【学习目标】1.理解函数的和、差、积、商的求导法则2.掌握求导法则的证明过程，能够综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数3.能运用复合函数的求导法则进行复合函数的求导【自主学习】知识点1导数的运算法则知识点2复合函数的导数【合作探究】探究一 导数运算法则的应用例1求下列函数的导数：(1)y ＝15x 5＋23x 3；(2)y ＝lg x －e x ；(3)y ＝1x ·cos x ；(4)y ＝x －sin x 2·cos x2.解 (1)y ′＝⎝⎛⎭⎫15x 5＋23x 3′＝⎝⎛⎭⎫15x 5′＋⎝⎛⎭⎫23x 3′＝x 4＋2x 2.(2)y ′＝(lg x －e x )′＝(lg x )′－(e x )′＝1x ln 10－e x .(3)方法一 y ′＝⎝⎛⎭⎫1x ·cos x ′＝⎝⎛⎭⎫1x ′cos x ＋1x (cos x )′＝12()x -'cos x －1x sin x ＝－1232x -cos x －1x sin x ＝－cos x2x 3－1x sin x ＝－cos x2x x －1x sin x ＝－cos x ＋2x sin x2x x . 方法二 y ′＝⎝⎛⎭⎫1x ·cos x ′＝⎝⎛⎭⎫cos xx ′＝(cos x )′x －cos x (x )′(x )2＝121sin cos 2x x x x --⋅＝－x sin x ＋cos x2x x ＝－cos x ＋2x sin x2x x .(4)∵y ＝x －sin x2·cos x2＝x －12sin x ，∴y ′＝⎝⎛⎭⎫x －12sin x ′＝1－12cos x .归纳总结：可以先化简，再求导练习1求下列函数的导数：(1)y ＝x 4－3x 2－5x ＋6；(2)y ＝x ·tan x ；(3)y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)；(4)y ＝x －1x ＋1. 解 (1)y ′＝(x 4－3x 2－5x ＋6)′＝(x 4)′－(3x 2)′－(5x )′＋6′＝4x 3－6x －5.(2)y ′＝(x ·tan x )′＝⎝⎛⎭⎫x sin x cos x ′＝(x sin x )′cos x －x sin x (cos x )′cos 2 x＝(sin x ＋x cos x )cos x ＋x sin 2 x cos 2 x＝sin x cos x ＋x cos 2 x. (3)方法一 y ′＝[(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)]′＝[(x ＋1)(x ＋2)]′(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)′＝[(x ＋1)′(x ＋2)＋(x ＋1)(x ＋2)′](x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2)＝(x ＋2＋x ＋1)(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2)＝(2x ＋3)(x ＋3)＋x 2＋3x ＋2＝3x 2＋12x ＋11.方法二 ∵(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)＝(x 2＋3x ＋2)(x ＋3)＝x 3＋6x 2＋11x ＋6，∴y ′＝[(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)]′＝(x 3＋6x 2＋11x ＋6)′＝3x 2＋12x ＋11.(4)方法一 y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x ＋1′＝(x －1)′(x ＋1)－(x －1)(x ＋1)′(x ＋1)2＝x ＋1－(x －1)(x ＋1)2＝2(x ＋1)2.方法二 ∵y ＝x －1x ＋1＝x ＋1－2x ＋1＝1－2x ＋1，∴y ′＝⎝⎛⎭⎫1－2x ＋1′＝⎝⎛⎭⎫－2x ＋1′＝－2′(x ＋1)－2(x ＋1)′(x ＋1)2＝2(x ＋1)2.探究二 复合函数求导法则的应用例2求下列函数的导数：(1)y ＝(1＋cos 2x )3；(2)y ＝sin 2 1x ；(3)y ＝11－2x 2；(4)y ＝(2x 2－3)1＋x 2.解 (1)y ＝(1＋cos 2x )3＝(2cos 2x )3＝8cos 6xy ′＝48cos 5x ·(cos x )′＝48cos 5x ·(－sin x )，＝－48sin x cos 5x .(2)令y ＝u 2，u ＝sin 1x ，再令u ＝sin v ，v ＝1x ，∴y ′x ＝y ′u ·u ′v ·v ′x ＝(u 2)′·(sin v )′·⎝⎛⎭⎫1x ′＝2u ·cos v ·0－1x 2＝2sin 1x ·cos 1x ·－1x 2＝－1x 2·sin 2x .(3)设y ＝12u -，u ＝1－2x 2，则y ′＝12()u -' (1－2x 2)′＝321()2u--·(－4x)＝3221(12)2x---(－4x)＝322 2(12)x x--.(4)令y＝u v，u＝2x2－3，v＝1＋x2，令v＝w，w＝1＋x2.v′x＝v′w·w′x＝(w)′(1＋x2)′＝1212 2x-⋅w＝2x21＋x2＝x1＋x2，∴y′＝(u v)′＝u′v＋u v′＝(2x2－3)′·1＋x2＋(2x2－3)·x1＋x2＝4x1＋x2＋2x3－3x1＋x2＝6x3＋x1＋x2.归纳总结：1.分层2.分别求导3.相乘4.带回变量练习2求下列函数的导数：(1)y＝(2x＋1)5；(2)y＝1(1－3x)4；(3)y ＝31－3x ；(4)y ＝x ·2x －1；(5)y ＝lg(2x 2＋3x ＋1)；(6)y ＝)32(sin 2π+x .解 (1)设u ＝2x ＋1，则y ＝u 5，∴y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝(u 5)′·(2x ＋1)′＝5u 4·2＝10u 4＝10(2x ＋1)4.(2)设u ＝1－3x ，则y ＝u －4，∴y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝(u －4)′·(1－3x )′＝－4u －5·(－3)＝12u －5＝12(1－3x )－5＝12(1－3x )5.(3)设u ＝1－3x ，则y ＝13u ，∴y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝13·23u -·(1－3x )′＝13·13(1－3x )2·(－3)＝－13(1－3x )2.(4)y ′＝x ′·2x －1＋x ·(2x －1)′.设t ＝2x －1，u ＝2x －1，则t ＝12u ，t ′x ＝t ′u ·u ′x ＝12·12u -·(2x －1)′＝12×12x －1×2＝12x －1.∴y ′＝2x －1＋x 2x －1＝3x －12x －1.(5)设u ＝2x 2＋3x ＋1，则y ＝lg u ，∴y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝1u ln 10×(2x 2＋3x ＋1)′ ＝4x ＋3(2x 2＋3x ＋1)ln 10. (6)设u ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，v ＝2x ＋π3， 则y ＝u 2，u ＝sin v ，∴y ′x ＝y ′u ·u ′v ·v ′x ＝2u ·cos v ·⎝⎛⎭⎫2x ＋π3′ ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3·cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3·2 ＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝2sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋2π3.探究三 导数几何意义的应用例3 (1)曲线y ＝x (3ln x ＋1)在点(1,1)处的切线方程是 .(2)已知函数f (x )＝k ＋ln x e x(k 为常数，e ＝2.718 28…是自然对数的底数)，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与x 轴平行，则k 的值为 .答案 (1)4x －y －3＝0 (2)1解析 (1)利用求导法则与求导公式可得y ′＝(3ln x ＋1)＋x ×3x＝3ln x ＋4. ∴k 切＝y ′|x ＝1＝4，∴切线方程为y －1＝4(x －1)，即4x －y －3＝0.(2)由f (x )＝ln x ＋k e x，得f ′(x )＝1－kx －x ln x x e x，x ∈(0，＋∞). 由于曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与x 轴平行，所以f ′(1)＝0，因此k ＝1.归纳总结：涉及导数几何意义的问题，可根据导数公式和运算法则，快速求得函数的导数，代入曲线切点处横坐标即可求得曲线在该点处的切线斜率，这样比利用导数定义要快捷得多.练习3(1)若曲线y ＝x 3＋ax 在(0,0)处的切线方程为2x －y ＝0，则实数a 的值为 .(2)若函数f (x )＝e x x在x ＝a 处的导数值与函数值互为相反数，则a 的值为 . 答案 (1)2 (2)12解析 (1)曲线y ＝x 3＋ax 的切线斜率k ＝y ′＝3x 2＋a ，又曲线在坐标原点处的切线方程为2x －y ＝0，∴3×02＋a ＝2，故a ＝2.(2)∵f (x )＝e x x ，∴f (a )＝e a a. 又∵f ′(x )＝⎝⎛⎭⎫e x x ′＝e x ·x －e x x 2，∴f ′(a )＝e a ·a －e aa 2. 由题意知f (a )＋f ′(a )＝0，∴e a a ＋e a ·a －e a a 2＝0，∴2a －1＝0，∴a ＝12.课后作业A 组 基础题一、选择题1.曲线y ＝x e x －1在点(1,1)处切线的斜率等于( )A.2eB.eC.2D.1答案 C解析 y ′＝e x －1＋x e x －1＝(x ＋1)e x －1，故曲线在点(1,1)处的切线斜率为y ′|x ＝1＝2. 2.当函数y ＝x 2＋a 2x (a >0)在x ＝x 0处的导数为0时，那么x 0等于( )A.aB.±aC.－aD.a 2 答案 B解析 y ′＝⎝⎛⎭⎫x 2＋a 2x ′＝2x ·x －(x 2＋a 2)x 2＝x 2－a 2x 2，由x 20－a 2＝0得x 0＝±a .3.设曲线y ＝x ＋1x －1在点(3,2)处的切线与直线ax ＋y ＋1＝0垂直，则a 等于() A.2 B.12C.－12D.－2答案 D解析 ∵y ＝x ＋1x －1＝1＋2x －1，∴y ′＝－2(x －1)2.∴y ′|x ＝3＝－12. ∴－a ＝2，即a ＝－2.4.已知f (x )＝ax 3＋3x 2＋2，若f ′(－1)＝4，则a 的值为( )A.193B.103C.133D.163答案 B解析 因f ′(x )＝3ax 2＋6x ，且f ′(－1)＝3a －6＝4，解得a ＝103，故选B. 5.函数y ＝12(e x ＋e －x )的导数是( ) A.12(e x －e －x ) B.12(e x ＋e －x ) C.e x －e －xD.e x ＋e －x 答案 A解析 y ′＝⎣⎡⎦⎤12(e x ＋e －x )′＝12(e x －e －x )，故选A. 6.设f (x )＝ln(x ＋1)＋x ＋1＋ax ＋b (a ，b ∈R 且为常数)，曲线y ＝f (x )与直线y ＝32x 在点(0,0)相切，则a ＋b 的值为( )A.－1B.1C.0D.2答案 A解析 由y ＝f (x )过点(0,0)得b ＝－1，∴f (x )＝ln(x ＋1)＋x ＋1＋ax －1，∴f ′(x )＝1x ＋1＋12x ＋1＋a ， 又∵曲线y ＝f (x )与直线y ＝32x 在点(0,0)相切，即曲线y ＝f (x )在点(0,0)处切线的斜率为32，∴f ′(0)＝32，即1＋12＋a ＝32， ∴a ＝0，故a ＋b ＝－1，选A.二、填空题7.下列各函数的导数：①(x )′＝12x －12；②(a x )′＝a x ln x ；③(sin 2x )′＝cos 2x ；④(x x ＋1)′＝1(x ＋1)2.其中正确的有 . 答案 ①④解析 (x )′＝12()x '＝1212x -，①正确；(a x )′＝a x ln a ，②错误；(sin 2x )′＝cos 2x ·(2x )′＝2cos 2x ，③错误；(x x ＋1)′＝x ′·(x ＋1)－x ·(x ＋1)′(x ＋1)2＝x ＋1－x (x ＋1)2＝1(x ＋1)2，④正确. 8.若曲线y ＝e －x 上点P 处的切线平行于直线2x ＋y ＋1＝0，则点P 的坐标是 . 答案 (－ln 2,2)解析 设P (x 0，y 0)，∵y ＝e －x ，∴y ′＝－e －x ，∴点P 处的切线斜率为k ＝－e －x 0＝－2，∴－x 0＝ln 2，∴x 0＝－ln 2，∴y 0＝e ln 2＝2，∴点P 的坐标为(－ln 2,2).9.曲线y ＝e －5x ＋2在点(0,3)处的切线方程为 .答案 5x ＋y －3＝0解析 因为y ′＝e －5x (－5x )′＝－5e －5x ，所以y ′|x ＝0＝－5，故切线方程为y －3＝－5(x －0)，即5x ＋y －3＝0.10.已知曲线y ＝x ＋ln x 在点(1,1)处的切线与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，则a ＝ .答案 8解析 因y ＝x ＋ln x ，故y ′＝1＋1x ，y ′|x ＝1＝2.∴曲线y ＝x ＋ln x 在点(1,1)处的切线方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1.∵直线y ＝2x －1与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，∴a ≠0(当a ＝0时，曲线变为直线y ＝2x ＋1，与已知直线平行).由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1，y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1，消去y 得ax 2＋ax ＋2＝0. 由Δ＝a 2－8a ＝0，解得a ＝8.三、解答题11.求下列函数的导数：(1)y ＝(2x －1)4； (2)y ＝11－2x ； (3)y ＝sin(－2x ＋π3)； (4)y ＝102x ＋3.解 (1)原函数可看作y ＝u 4，u ＝2x －1的复合函数，则y x ′＝y u ′·u x ′＝(u 4)′·(2x －1)′＝4u 3·2＝8(2x －1)3.(2)y ＝11－2x ＝12(12)x --可看作y ＝12u -，u ＝1－2x 的复合函数，则y x ′＝y u ′·u x ′＝(－12)32u -·(－2)＝32(12)x --＝1(1－2x )1－2x . (3)原函数可看作y ＝sin u ，u ＝－2x ＋π3的复合函数，则y x ′＝y u ′·u x ′＝cos u ·(－2)＝－2cos(－2x ＋π3)＝－2cos(2x －π3).(4)原函数可看作y ＝10u ，u ＝2x ＋3的复合函数，则y x ′＝y u ′·u x ′＝102x ＋3·ln 10·2＝(ln 100)102x ＋3.12.设函数f (x )＝ax －b x，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0. (1)求f (x )的解析式；(2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，并求此定值.(1)解 由7x －4y －12＝0得y ＝74x －3. 当x ＝2时，y ＝12，∴f (2)＝12，① 又f ′(x )＝a ＋b x2，∴f ′(2)＝74，② 由①②得⎩⎨⎧ 2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3.故f (x )＝x －3x . (2)证明 设P (x 0，y 0)为曲线上任一点，由y ′＝1＋3x2知 曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝⎝⎛⎭⎫1＋3x 20(x －x 0)， 即y －⎝⎛⎭⎫x 0－3x 0＝⎝⎛⎭⎫1＋3x 20(x －x 0). 令x ＝0得y ＝－6x 0，从而得切线与直线x ＝0的交点坐标为⎝⎛⎭⎫0，－6x 0. 令y ＝x 得y ＝x ＝2x 0，从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0).所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形面积为12⎪⎪⎪⎪－6x 0||2x 0＝6. 故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.B 组 能力提升一、选择题1．已知函数2ln ()x f x ax x =-，若曲线y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线与直线2x -y +1＝0平行，则a ＝（ ）A ．12-B ．12C ．1D ．2【答案】A 【解析】函数2ln ()x f x ax x =-的导数为21ln ()2x f x ax x '-=-， 可得曲线y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线的斜率为()112k f a '==-，由切线与直线2x -y +1＝0平行，可得1-2a ＝2，解得12a =-．2．记函数()cos2f x x =的导函数为()f x '，则函数()()()g x x f x '=+在[0,]x π∈内的单调递增区间是（ ）A ．0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．511,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．5,12ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】C【解析】()cos2f x x =，()'2sin 2f x x ∴=-，2()2sin 24sin 23g x x x x π⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭，令2222232k x k πππππ-+≤+≤+， 解得71212k x k ππππ-+≤≤-+， ()g x ∴在[]0,π内的递增区间为511,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 3．已知函数22(1)sin ()1x x f x x ++=+，其中()f x '为函数()f x 的导数，则(2018)(2018)(2019)(2019)f f f f ''+-+--=（ ）A ．2B ．2019C ．2018D ．0【答案】A 【解析】22222(1)sin 21sin 2sin ()1111x x x x x x x f x x x x ++++++===++++ 令()22sin 1x x g x x +=+，则有()()()1,()f x g x f x g x ''=+= 因为()g x 的定义域是R ，()()22sin 1x x g x g x x ---==-+ 所以()g x 是奇函数，所以()g x '是偶函数所以(2018)(2018)0g g +-=，()()201920190g g ''--=所以(2018)(2018)(2019)(2019)f f f f ''+-+--()()()()2018120182019201921g g g g =++-++''--=4．曲线()axy x a e =+在点()0,a 处的切线与直线230x y ++=垂直，则a =（ ） A ．1-B ．±1C ．1D ．1-或2 【答案】B【解析】因为()21'=++ax y ax a e ，所以201x y a ==+'，因为曲线()e =+ax y x a 在点(0,)a 处的切线与直线230x y ++=垂直， 所以()21112⎛⎫+⨯-=- ⎪⎝⎭a ，即21a =，解得1a =±. 5．如图，()y f x =是可导函数，直线:2l y kx =+是曲线()y f x =在3x =处的切线，令()()g x xf x =，'()g x 是()g x 的导函数，则'(3)g =（ ）．A ．－1B ．0C ．2D ．4【答案】B 【解析】将点()3,1代入直线2y kx =+的方程得321k +=，得13k =-，所以，()133f k '==-， 由于点()3,1在函数()y f x =的图象上，则()31f =，对函数()()g x xf x =求导得()()()g x f x xf x ''=+，()()()133331303g f f ⎛⎫''∴=+=+⨯-= ⎪⎝⎭，故选B ． 6.已知点P 在曲线y ＝4e x ＋1上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是( ) A.[0，π4) B.[π4，π2)C.(π2，3π4] D.[3π4，π) 答案 D 解析 y ′＝－4e x (e x ＋1)2＝－4e x e 2x ＋2e x ＋1，设t ＝e x ∈(0，＋∞)，则y ′＝－4t t 2＋2t ＋1＝－4t ＋1t＋2，∵t ＋1t ≥2，∴y ′∈[－1,0)，α∈[3π4，π). 7．()f x 与()g x 是定义在R 上的可导函数，若()f x ，()g x 满足()()f x g x ''=，(()'f x 为()f x 的导函数，()'g x 为()g x 的导函数)，则()f x 与()g x 满足（ ）A ．()()f x g x =B ．()()f x g x =C ．()()f x g x -为常函数D ．()()f x g x +为常函数【答案】C 【解析】由()()f x g x ''=，即()()0f x g x ''-=所以[]()()0f x g x '-=，所以()()y f x g x =-为常数函数因为()()y f x g x =-为常数函数，设()()f x g x c -=（c 为常数）所以C 正确由于c 不一定为0，所以A 不正确. 则()()f x g x ，不一定相等，所以B 不正确. 显然()()f x g x +为常数的判定不正确，所以D 不正确.8.（多选）给出定义：若函数()f x 在D 上可导，即()f x '存在，且导函数()f x '在D 上也可导，则称()f x 在D 上存在二阶导函数，记()()()f x f x '''=，若()0f x ''<在D 上恒成立，则称()f x 在D 上为凸函数.以下四个函数在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上是凸函数的是（ ） A ．() sin cos f x x x =+ B ．()ln 2f x x x =- C ．()321f x x x =-+- D ．()x f x xe =【答案】ABC【解析】对于A 选项，()sin cos ,()cos sin f x x x f x x x =+'=-， 则()sin cos f x x x ''=--， 当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，恒有()0f x ''<，是凸函数；对于B 选项，()1ln 2,()2f x x x f x x =-'=-，则()21f x x ''=-，当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上，恒有()0f x ''<，是凸函数；对于C 选项，若()3221,()32f x x x f x x =-+-'=-+，则()60f x x ''=-<在0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上恒成立，是凸函数；对于D 选项，若(),()(1)x x f x xe f x x e ='=+，则()()2x f x x e ''=+，则()0f x ''>在0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上恒成立，故不是凸函数.故选：ABC.二、填空题9．若函数2()'(1)x f x x e f x =⋅+⋅，则'(1)f =__________． 【答案】2e -【解析】∵函数()()2'1xf x x e f x =⋅+⋅∴()2(1)x xf x e x e f x =+⋅'+'∴(1)2(1)f e e f +''=+，即(1)2f e '=-. 故答案为2e -.10．设曲线ax y e =在点()0,1处的切线与直线210x y ++=垂直，则cos 3a π的值为__________． 【答案】12-【解析】直线210x y ++=的斜率为12-，所以曲线axy e =在点()0,1处的切线的斜率为2.'ax y ae =，'0|x y a ==，所以'0|2x y a ===，所以cos3a π=21cos 32π=-. 故答案为：12-11．己知a ，b 为正实数，直线y =x －a 与曲线y =ln(x +b )相切于点(x 0，y 0)，则11a b+的最小值是_______________. 【答案】4【解析】对()ln y x b =+求导得1y x b'=+， 因为直线y =x －a 与曲线y =ln(x +b )相切于点(x 0，y 0)，所以011x b=+即01x b =-， 所以()()00ln ln 10y x b b b =+=-+=，所以切点为()1,0b -， 由切点()1,0b -在切线y =x －a 上可得10b a --=即1b a +=，所以()1111224b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+⎝= ⎪⎭， 当且仅当12b a ==时，等号成立. 所以11a b+的最小值是4. 12．已知()()()()12f x x x x n =+++（n N ∈，2n ≥），其导函数为()f x '，设()()20n f a f -'=，则10a =_____________.【答案】190-【解析】∵函数f （x ）=（x+1）（x+2）（x+3）…（x+n ），（n≥2，n∈N），则 其导函数f′（x ）=（x+2）（x+3）…（x+n）+）x+1））x+3）…）x+n）+…+）x+1））x+2）…）x+n）1）） ）f′））2）=0+））1）×1×…×）n）2）+0+…+0=））n）2）!）f）0）=n!）当a n =()()'20f f -时，有a 10=8!10!-=）190） 故答案为﹣190） 13．若函数32()(0)h x ax bx cx d a =+++≠图象的对称中心为00(,())M x h x ，记函数()h x的导函数为()g x ，则有0'()0g x =，设函数32()32f x x x =-+,则1240324033...2017201720172017f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭________． 【答案】 0【解析】由题意得，()()2'360g x f x x x ==-=，()'660g x x =-=解得1x =，且()10f =，即函数()f x 的图象关于点()1,0对称，因为()()110f x f x ++-=，则114032403314033...201720172017201720172017f f f f f f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++=++⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦()2403220162018...102017201720172017f f f f f ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦，故答案为0． 14.已知函数f (x )＝a sin x ＋bx 3＋4(a ∈R ，b ∈R )，f ′(x )为f (x )的导函数，则f (2 014)＋f (－2 014)＋f ′(2 015)－f ′(－2 015)的值为 . 答案 8解析 f ′(x )＝a cos x ＋3bx 2，∴f ′(－x )＝a cos (－x )＋3b (－x )2＝f ′(x ). ∴f ′(x )为偶函数.∴f ′(2 015)－f ′(－2 015)＝0.f (2 014)＋f (－2 014)＝a sin 2 014＋b ·2 0143＋4＋a sin(－2 014)＋b ·(－2 014)3＋4＝8. ∴f (2 014)＋f (－2 014)＋f ′(2 015)－f ′(－2 015)＝8. 三、解答题15．已知(),()f x g x 都是定义在R 上的函数，()0g x ≠）()()()()f x g x f x g x ''>，且()()x f x a g x =(0a >，且1)a ≠）(1)(1)5(1)(1)2f f g g -+=-．若数列(){}()f ng n 的前n 项和大于62，求n 的最小值. 【答案】6【解析】）()()xf x ag x =））()()x f x a g x =））()()()()f x g x f x g x >''））()()()()()()()()''2ln 0x x f x f x g x f x g x a a a g x g x ''⎛⎫-===> ⎪ ⎪⎝⎭，即ln 0x a a >））1a >） ）()()()()115112f f g g -+=-））152a a -+=））2a =））()()2x f x g x =））()()2n f n g n =） ∴数列()()f n g n ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭为等比数列，∴()1212226212nn n S +-==->-））16n +>）即5n >，所以n 的最小值为6.16．设函数f （x ）=ae xlnx+1x be x-，（1）求导函数f′（x ）（2）若曲线y=f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程为y=e （x ﹣1）+2,求a ，b ． 【答案】(1)见解析（2）a=1,b=2【解析】（1）由f （x ）=ae xlnx+1x be x-，）()()111''2ln ()ln x x x x xxbe ae be x be f x ae x ae x x x x ----=+=++'; （2）由于切点既在函数曲线上，又在切线上， 将x=1代入切线方程得：y=2． 将x=1代入函数f （x ）得：f （1）=b ．∴b=2．将x=1代入导函数，则f'（1）=ae=e．∴a=1．C 组 挑战压轴题一、选择题1．已知()f x '是函数()f x 的导函数，对任意x ∈R ，都有()()()21xf x f x e x '=+-，且()01f =，则不等式()3xf x e <的解集为（ ）A ．()2,1--B ．()2,1-C ．()1,1-D ．()1,2-【答案】D【解析】令()()xf xg x e=，则()()()x f x f x g x e '-'=， 因为()()()21xf x f x ex '=+-，所以()21g x x '=-，设2g xx x c ，因为()01f =，所以001f g c e ，()21g x x x =-+，因为()3xf x e <，所以()3xf x e<， 即213g x x x ，()()210x x -+<，解得12x -<<，故选：D.2．已知函数()f x 满足()()1'x f x f x e+=，且()01f =，则函数()()()2132g x f x f x =-⎡⎤⎣⎦零点的个数为（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．0个【答案】B【解析】()()()()1''1x xx f x f x e f x e f x e+=⇔+=()'1x e f x ⎡⎤⇔=⎣⎦，∴()x e f x x c =+，()x x c f x e +=，∵()01f =代入，得1c =，∴()1xx f x e+=. ()()()()213002g x f x f x f x =-=⇒=⎡⎤⎣⎦或()16f x =， ()1001x x f x x e +=⇒=⇒=-；()()1116166x x x f x e x e +=⇒=⇒=+， 如图所示，函数xy e =与函数()61y x =+的图像交点个数为2个，所以()16f x =的解得个数为2个；综上，零点个数为3个，3．函数()f x 满足：1()'()x f x f x e+=，且(0)1f =，则关于x 的方程2[()]()0f x mf x n ++=的以下叙述中，正确的个数为（ ）①12m =-，0n =时，方程有三个不等的实根； ②1m n +=-时，方程必有一根为0；③0n <且1m n +>-时，方程有三个不等实根. A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【答案】D 【解析】分析：()()1'x f x f x e+=，得()()'xe f x =1，然后把()f x 看成整体转化二次方程根的问题即()xe f x x c =+详解：()()1'xf x f x e+=，得()()'xe f x =1 即()xe f x x c =+()xx cf x e += ，由()01f =，，得c=1 ()'xx f x e -=， ()f x 在（-∞，0）上单增，在（0，+∞）上单减，且()10f -=，大致草图为12m =-，0n =，有3个不等实根；1m n +=-时，()1f x =，即x=0恒满足方程；0n <且1m n +>-时，方程有三个不等实根.二、填空题4．函数()y f x =图象上不同两点11(,)A x y ，22(,)B x y 处的切线的斜率分别是,A B k k ，规定2||(,)||A B k k A B AB ϕ-=叫做曲线()y f x =在点A 、B 之间的“平方弯曲度”．设曲线x y e x =+上不同两点11(,)A x y ，22(,)B x y ，且121x x -=，则(,)A B ϕ的取值范围是____．【答案】 【解析】因为1xy e '=+，所以121,1x x A B k e k e =+=+，由题意可得12xx A B k k e e-=-，AB =121x x -=，所以AB =，故2(,)0||A B k k A B AB ϕ-==>，令1212x x x x u e ee e =-=-，则21(,)2222u A B u u u uϕ==++++，因为2u u+≥，所以1(,)22A B u uϕ=≤=++． 5．已知()tan f x x =，数列{}n a 满足：对任意*n N ∈，n 0,2a π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且13a π=，()n 1f a +=，则使得121sin sin sin 10k a a a ⋅<成立的最小正整数k 为 ________. 【答案】298【解析】()21cos f x x='，由()1n f a +=111tan cos cos n n na a a +===2121tan cos n n a a +∴= 222sin cos cos n n n a a a += 21tan n a =+，又13a π=，21tan 3a ∴=. {}2tan n a ∴是以3为首项，1为公差的等差数列，()2tan 312n a n n ∴=+-=+，又tan 0n a >，tan n a ∴=sin n a =12sin sin sin k a a a ∴⋅253k k +=+=110<得297k >，又*k N ∈，故k 的最小值为298.6．设三次函数3211()32f x ax bx cx =++，（a ,b ,c 为实数且0a ≠）的导数为()'f x ，记()()g x f x ''=，若对任意x ∈R ，不等式()()f x g x '恒成立，则222b a c+的最大值为____________ 【答案】2【解析】因为3211()32f x ax bx cx =++，所以2(),()2f x ax bx c f x ax b '''=++=+，即()2g x ax b =+.因为对任意x ∈R ，不等式()()f x g x '恒成立，所以22ax bx c ax b +++恒成立，即2(2)0ax b a x c b +-+-恒成立，所以2(2)4()0b a a c b ∆=---且0a >，即2244b ac a -，所以2440ac a -，所以0c a >，所以1c a，令ct a =，则1t .①当1t =时，222,0,0b a c b a c ===+；②当1t >时，22222222244444(1)4(1)422221(1)2(1)2222(1)21(1)c b ac a t t a a c a c t t t c t t a ----====-+++-+-++⎛⎫-+++ ⎪-⎝⎭当且仅当1t =时，取得最大值为2.故答案为2三、解答题7．已知函数()sin x f x e x =.设函数()()cos x F x f x e x =+） 20152017,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，过点1,02M π-⎛⎫ ⎪⎝⎭作函数()F x 的图象的所有切线，令各切点的横坐标按从小到大构成数列{}n x ，求数列{}n x 的所有项之和的值.【答案】1008S π=【解析】把()f x 的解析式代入()()cos xF x f x e x =+ ,求出函数()F x 的导函数,设出切点坐标,求出函数在切点处的导数,由点斜式写出切线方程,把M 的坐标代入切线方程,得到关于切点横坐标的三角方程,利用函数图象交点分析得到切点的横坐标关于2π对称成对出现,最后由给出的自变量的范围得到数列{}n x 的所有项之和S 的值. ()()()cos sin cos x x F x f x e x e x x =+=+()2cos x F x e x ∴='设切点坐标为()()0000,sin cos x x e x x +，则切线斜率为()0002cos x F x e x '= 从而切线方程为()()000000sin cos 2cos x x y e x x e x x x -+=- ()0000001sin cos 2cos 2x x e x x e x x π-⎛⎫∴-+=- ⎪⎝⎭ 00tan 22x x π⎛⎫⇔=- ⎪⎝⎭ 令1tan y x =，222y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，这两个函数的图象均关于点,02π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，则它们交点的横坐标也关于2x π=对称，从而所作的所有切线的切点的横坐标构成数列{}n x 的项也关于2x π=成对出现，又在20152017,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦共有1008对，每对和为π.1008S π∴=.。

导数的四则运算法则

导数的四则运算法则


法二：∵y＝(2x2－1)(3x＋1)＝6x3＋2x2－3x－1，
∴y′＝(6x3＋2x2－3x－1)′＝(6x3)′＋(2x2)′－(3x)′－(1)′＝18x2＋4x－3.
题型二 由导数值求参数 [学透用活]
[典例 2] 设 f(x)＝a·ex＋bln x，且 f′(1)＝e，f′(－1)＝1e，求 a，b 的值． [解] f′(x)＝(a·ex)′＋(bln x)′＝a·ex＋bx，
法二：设直线 l 的方程为 y＝kx，切点为(x0，y0)，则 k＝xy00－－00＝x30＋xx00－16. 又∵k＝f′(x0)＝3x20＋1，∴x30＋xx00－16＝3x20＋1，解得 x0＝－2. ∴y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，k＝3×(－2)2＋1＝13. ∴直线 l 的方程为 y＝13x，切点坐标为(－2，－26)．
应 求在某点处的切线方程，已知切线的方程或斜率求切点，以 用 及涉及切线问题的综合应用
先求出函数的导数，若已知切点，则求出切线斜率、切线方 方 程；若切点未知，则先设出切点，用切点表示切线斜率，再 法 根据条件求切点坐标．总之，切点在解决此类问题时起着至
关重要的作用
[对点练清]
1．若过函数f(x)＝ln x＋ax上的点P的切线与直线2x－y＝0平行，则实数a的取值
[对点练清] 求下列函数的导数： (1)y＝x2＋xln x；(2)y＝lnx2x； (3)y＝exx；(4)y＝(2x2－1)(3x＋1)．
解：(1)y′＝(x2＋xln x)′＝(x2)′＋(xln x)′
＝2x＋(x)′ln x＋x(ln x)′＝2x＋ln x＋x·1x＝2x＋ln x＋1.
()
3．已知函数 f(x)＝ax2＋c，且 f′(1)＝2，则 a 的值为
数学人教A版选择性必修第二册5.2.2导数的四则运算法则

数学人教A版选择性必修第二册5.2.2导数的四则运算法则

所以 f(1)＋f′(1)＝3a＋1.
②因为曲线 y＝f(x)存在垂直于 y 轴的切线，
故此时切线斜率为 0，
2
1
问题转化为在 x∈(0，＋∞)内导函数 f′(x)＝2ax＋x存在零点，
1
即 f′(x)＝0，所以 2ax＋x＝0 有正实数解，
即 2ax2＝－1 有正实数解，故有 a<0，所以实数 a 的取值范围是(－∞，0)．
纯净度为 x%所需费用（单位：元）为
5284
c( x)
100 x
80 x 100 .
求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率：
(1)90%；
98%．
典例解析
解：净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数.
5284 5284 100 x 5284 100 x
′
′() 2
= 1，
=
= 2.
′()
1
新知探究
已知 = 2 ， = 。′ = 2，′ = 1.

′
′
=
3
′

=
2
3 ，
′
= 2 ⋅ 1 = 2，
所以[ ()]′ ≠
′ ′(). Nhomakorabea新知探究
2.导数的运算法则2:
关于函数导数的应用及其解决方法
(1)应用：导数应用主要有：求在某点处的切线方程，已知切
线的方程或斜率求切点，以及涉及切线问题的综合应用；
(2)方法：先求出函数的导数，若已知切点则求出切线斜率、
切线方程；若切点未知，则先设出切点，用切点表示切线斜率，
再根据条件求切点坐标．总之，切点在解决此类问题时起着至关