2-2函数的求导法则

3(x sin2 x)2 (1 sin 2x)
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一、复合函数的求导法则
第二章 一元函数微分学及其应用
例２ 求 y 1 x 的导数. 1 x
解
y
2
1 1 x
1 1
x x
'
2
1 1
x
1 x 1 1 x2
x
1
1
x 1
x2
1 x
1 x
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一、复合函数的求导法则
第二章 一元函数微分学及其应用
如果 y f u 在点 u 处可导，u g x 在点 x 处可导，则复合函数
y f g x 在点 x 处可导，且有
dy dy du（即yx f u gx）
dx du dx
由 u 在g 点x 处连续x (可导⇒连续)知，
当 x 时，0
u g x x g x 0， 故 lim ，li因m 此，0
x0
u0
dy dx
lim y x0 x
lim
x0
f
u
u x
u x
f u gx
即
dy dx
dy du du dx
7
一、复合函数的求导法则
第二章 一元函数微分学及其应用
复合函数的求导法则也称为链式法则，它可推广到有限个函数复合的情形.
比如，若 y f u，u g v 和 v h x 可导，则 y f {g[h(x)]}
例如， y sin2 x 由 u sin x 和 y u2 复合而成，
y
ln
x2 x2
1 1
由
u
x2 x2
1 1
和 y ln u复合而成.
2
课前导读

th x sh x ch x
a x e x ln a
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例5. 设 y ln cos(ex ) , 求 dy . dx
解:
dy dx
1 cos(e x
)
( sin(ex
))
ex
ex tan(ex )
思索: 若 f (u) 存在 , 怎样求 f (ln cos(ex )) 旳导数?
x
证明中利用了 两个主要极限
求导法则
其他基本初等 函数求导公式
初等函数求导问题
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一、四则运算求导法则
定理1. 函数 u u(x) 及 v v(x) 都在点 x 可导 u(x) 及 v(x) 旳和、差、积、商 (除分母
为 0旳点外) 都在点 x 可导, 且
(1) [u(x) v(x)] u(x) v(x)
x ( x3 4 cos x sin1)
1 ( x3 4 cos x sin1) x (3 x2 4sin x ) 2x
y x1
1 2
(1 4 cos1 sin1)
(3 4sin1)
7 7 sin1 2 cos1 22
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(3)
u v
uv u v v2
u( x) u(x)
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内容小结
求导公式及求导法则
注意: 1)
(uv) uv,
u v
u v
2) 搞清复合函数构造 , 由外向内逐层求导 .
思索与练习
1 x
x
1 x
3
4
3 4
1 x
1 4
对吗?
3 4

解: [(xsi2nx)3]
(12sinx
3(xsi2nx)2
cosx)
=3(x+sin2x)2(1+sin2x)
例9. 设
ylncoesx)(,求 d y . dx来自解:dy dx

1 cos( e
x
)
(sine(x))

ex
extanex()
例10. 设 y ln x2 1 , 求 d y . dx
例6. 设 y(x211),0求 y
解: 令 u = x2 + 1, 则 y = u 10， y (u10)u ux 10u9 (x2 1)x 10(x21)92x 20x(x2 1)9.
例7. 设 yesinx ,求y.
解: 令 u = sin x, 则 y = e u，

1
sin2
x

csc2
x.
证: (tanx)csionsxx
(sixn )coxssixn(cx o)s

cos2 x

cos2 xsin2x cos2 x

1 cos 2
x

sec2
x.
2.2.2、反函数的求导法则
定理2.2.2. 设 yf(x)为 xf1(y)的反,f函 1(y)在 数
推论:
1) 2)
(Cu)C u ( C为常数
(1) v
1v 1v v2

)

v v2
例1. y5x33lnx4ex ,求 y .
解:
y 53x2 3 1 x
4ex.
例2. yx(x 3 4 co x ss1 i)n ,求 y及 yx1.

导数的运算法则【知识梳理】1．导数的四则运算法则（1)条件：f（x），g(x)是可导的．(2）结论：①f（x)±g（x)]′＝f′(x）±g′(x）．②f(x）g(x)］′＝f′(x)g(x)＋f（x)g′（x)．③错误!′＝错误!(g(x）≠0）．2．复合函数的求导公式（1）复合函数的定义：①一般形式是y＝f(g（x)）．②可分解为y＝f(u）与u＝g（x)，其中u称为中间变量．（2)求导法则：复合函数y＝f（g(x））的导数和函数y＝f(u），u ＝g(x)的导数间的关系为：y x′＝y u′·u x′.【常考题型】题型一、利用导数四则运算法则求导典例］求下列函数的导数：（1）y＝x2＋log3x;（2)y＝x3·e x；(3)y＝错误!。

解] (1）y′＝（x2＋log3x）′＝（x2)′＋（log3x)′＝2x＋错误!.（2）y′＝（x3·e x）′＝（x3)′·e x＋x3·（e x）′＝3x2·e x＋x3·e x＝e x（x3＋3x2）．（3)y′＝错误!′＝错误!＝错误!＝－错误!。

【类题通法】求函数的导数的策略（1）先区分函数的运算特点,即函数的和、差、积、商，再根据导数的运算法则求导数．(2)对于三个以上函数的积、商的导数，依次转化为“两个”函数的积、商的导数计算．【对点训练】求下列函数的导数：（1）y＝sin x－2x2；(2)y＝cos x·ln x；（3)y＝e x sin x。

解：(1）y′＝（sin x－2x2)′＝(sin x)′－（2x2）′＝cos x－4x。

（2）y′＝（cos x·ln x)′＝(cos x）′·ln x＋cos x·（ln x)′＝－sin x·ln x＋错误!.（3）y′＝错误!′＝错误!＝错误!＝错误!题型二、复合函数的导数运算典例］求下列函数的导数：（1）y＝错误!；(2）y＝e sin（ax＋b)；（3）y＝sin2错误!;(4)y＝5log2(2x＋1)．解] （1)设y＝u－错误!，u＝1－2x2，则y′＝（u－12）′ （1－2x2）′＝错误!·(－4x）＝－错误!（1－2x2)－错误!(－4x）＝2x(1－2x2）－错误!。