2-2 求导法则

3(x sin2 x)2 (1 sin 2x)
12
一、复合函数的求导法则
第二章 一元函数微分学及其应用
例２ 求 y 1 x 的导数. 1 x
解
y
2
1 1 x
1 1
x x
'
2
1 1
x
1 x 1 1 x2
x
1
1
x 1
x2
1 x
1 x
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一、复合函数的求导法则
第二章 一元函数微分学及其应用
如果 y f u 在点 u 处可导，u g x 在点 x 处可导，则复合函数
y f g x 在点 x 处可导，且有
dy dy du（即yx f u gx）
dx du dx
由 u 在g 点x 处连续x (可导⇒连续)知，
当 x 时，0
u g x x g x 0， 故 lim ，li因m 此，0
x0
u0
dy dx
lim y x0 x
lim
x0
f
u
u x
u x
f u gx
即
dy dx
dy du du dx
7
一、复合函数的求导法则
第二章 一元函数微分学及其应用
复合函数的求导法则也称为链式法则，它可推广到有限个函数复合的情形.
比如，若 y f u，u g v 和 v h x 可导，则 y f {g[h(x)]}
例如， y sin2 x 由 u sin x 和 y u2 复合而成，
y
ln
x2 x2
1 1
由
u
x2 x2
1 1
和 y ln u复合而成.
2
课前导读

解: [(xsi2nx)3]
(12sinx
3(xsi2nx)2
cosx)
=3(x+sin2x)2(1+sin2x)
例9. 设
ylncoesx)(,求 d y . dx来自解:dy dx

1 cos( e
x
)
(sine(x))

ex
extanex()
例10. 设 y ln x2 1 , 求 d y . dx
例6. 设 y(x211),0求 y
解: 令 u = x2 + 1, 则 y = u 10， y (u10)u ux 10u9 (x2 1)x 10(x21)92x 20x(x2 1)9.
例7. 设 yesinx ,求y.
解: 令 u = sin x, 则 y = e u，

1
sin2
x

csc2
x.
证: (tanx)csionsxx
(sixn )coxssixn(cx o)s

cos2 x

cos2 xsin2x cos2 x

1 cos 2
x

sec2
x.
2.2.2、反函数的求导法则
定理2.2.2. 设 yf(x)为 xf1(y)的反,f函 1(y)在 数
推论:
1) 2)
(Cu)C u ( C为常数
(1) v
1v 1v v2

)

v v2
例1. y5x33lnx4ex ,求 y .
解:
y 53x2 3 1 x
4ex.
例2. yx(x 3 4 co x ss1 i)n ,求 y及 yx1.

4. (log x ) 1
a
x ln a
5. sin x cos x
esp. (ln x ) 1 x
6. cos x sin x
7. tan x 1
cos2 x
9. arcsin x 1
1 x2
11. arctan x 1
点(3,3)的切线方 , 并程证明曲 C在线该点的法 22
线通过原 . 点
解 方程两边 x求对导 , 3 x 2 3 y 2 y 3 y 3 x y
y
33 (,) 22
yx2 y2 x
(3,3) 1. 22
所求切线方程为 y3(x3) 即 xy30.
2
2
法线方 y3 程 x为 3即yx, 显然通过原点. 22
推论
n
n
(1) [fi(x)]fi(x);
i1
i1
( 2 )[ C (x ) ] f C f(x );
(3)
n
[
fi (x)]
f1(x) f2(x)fn(x)
i1
f1(x) f2(x)fn(x)
nn
fi(x) fk(x);
i1k1 ki
2
2a 2 x 2 2a 2 x 2
a2x2.
例8 求函 y数 ln3xx2 21(x2)的导 . 数
解 y1ln x2(1)1ln x (2),
2
3
y1 2x2112x3(x12)x2x13(x12)
例9 求函y数 esin1x的导.数
解
解 d y1(0 x21)9(x21)
dx 1(0 x21)92x2x 0(x21)9.
例7 求函 yx数 a2x2a2arc x的 sin 导 . 数

1. 定义 如果函数f ( x)的导数f ( x)在点x处可导, 即 f ( x x) f ( x) ( f ( x)) lim x 0 x 存在,则称( f ( x))为函数f ( x)在点x处的二阶导数.
记作 f ( x), y,
d3y . 二阶导数的导数称为三阶导数, 记f ( x), y, 3 dx 4 d y 三阶导数的导数称为四阶导数,记f ( 4) ( x), y ( 4) , . 4 dx
d y d f ( x) 或 . 2 2 dx dx
2
2
一般地, 函数f ( x)的 n 1 阶导数的导数称为 函数f ( x)的n阶导数,记作
n n d y d f ( x) (n) (n) f ( x ), y , 或 . n n dx dx
二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数.
2. 高阶导数求法举例
dx cos t t sin t dt (1 sin t ) t cos t
x a cos t 例9.求椭圆 在 t 处的切线方程. y b sin t 4
解：当 t

4
椭圆上对应点M0的坐标为 ，
2 2 b x0 a cos a; y0 b sin 4 2 4 2 dy dy / dt b cos t b b 而 cot t , y | t dx dx / dt a sin t a a 4

故椭圆在t 化简得
处的切线方程： b 2 2 a) y b (x
4
2
a 2
bx ay 2ab 0
四、高阶导数
问题:变速直线运动的加速度.
设 s f (t ), 则瞬时速度为 v(t ) f (t )