02 第二节 函数的求导法则

第二节 函数的求导法则要发明，就要挑选恰当的符号，要做到这一点，就要用含义简明的少量符号来表达和比较忠实地描绘事物的内在本质，从而最大限度地减少人的思维活动.-------F. 莱布尼茨求函数的变化率——导数，是理论研究和实践应用中经常遇到的一个普遍问题. 但根据定义求导往往非常繁难，有时甚至是不可行的. 能否找到求导的一般法则或常用函数的求导公式，使求导的运算变得更为简单易行呢？从微积分诞生之日起，数学家们就在探求这一途径. 牛顿和莱布尼茨都做了大量的工作. 特别是博学多才的数学符号大师莱布尼茨对此作出了不朽的贡献. 今天我们所学的微积分学中的法则、公式，特别是所采用的符号，大体上是由莱布尼茨完成的.分布图示★ 引言 ★ 和、差、积、商的求导法则★ 例1- 2 ★ 例3- 4 ★ 例5★ 反函数的导数 ★ 例6 ★ 例7★ 复合函数的求导法则 ★ 初等函数的求导法则★ 例8 ★ 例9 ★ 例10 ★ 例11★ 例12 ★ 例13 ★ 例14 ★ 例15★ 例16 ★ 例17 ★ 例18 ★ 例19★ 例20－21 ★ 例22★ 双曲函数与反双曲函数的导数 ★ 例23★ 内容小结 ★ 课堂练习★ 习题 2- 2★ 返回内容要点一、导数的四则运算法则二、反函数的导数：反函数的导数等于直接函数导数的倒数.三、复合函数的求导法则定理3 若函数)(x g u =在点x 处可导, 而)(u f y =在点)(x g u =处可导, 则复合函数)]([x g f y =在点x 处可导, 且其导数为)()(x g u f dxdy '⋅'= 或dxdu du dy dx dy ⋅= 注: 复合函数的求导法则可叙述为：复合函数的导数，等于函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数. 这一法则又称为链式法则.复合函数求导既是重点又是难点. 在求复合函数的导数时, 首先要分清函数的复合层次，然后从外向里, 逐层推进求导， 不要遗漏, 也不要重复. 在求导的过程中，始终要明确所求的导数是哪个函数对哪个变量(不管是自变量还是中间变量)的导数. 在开始时可以先设中间变量, 一步一步去做. 熟练之后，中间变量可以省略不写，只把中间变量看在眼里，记在心上，直接把表示中间变量的部分写出来，整个过程一气呵成.四、初等函数的求导法则：函数的和、差、积、商的求导法则 反函数的求导法则 复合函数的求导法则五、双曲函数与反双曲函数的导数例题选讲导数的四则运算法则的应用例1 (E01) 求x x x y sin 223+-=的导数.解 )(s i n )2()(23'+'-'='x x x y .c o s432x x x +-=例2 (E02) 求x x y sin 2=的导数.解 )s i n (2)s i n 2('='='x x x x y ])(s i n )s i n )[(2'+''=x x x x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=x x x x c o s s i n 212 .cos 2sin 1x x x x +=例3 (E03) 求x y tan =的导数;解 '⎪⎭⎫ ⎝⎛='='x x x y c o ss i n )(t a n ,c o s )(c o s s i n c o s )(s i n 2x x x x x '-'= ,sec cos 1cos sin cos 22222x xx x x ==+= 即 .s e c )(t a n 2x x =' 同理可得 .c s c )(c o t 2x x -='例4 (E04) 求x y sec =的导数;解 x x x x y 2c o s )(c o s c o s 1)(s e c '-='⎪⎭⎫ ⎝⎛='='.t a n s e c c o s s i n 2x x x x == 同理可得.cot csc )(csc x x x -='例5 求x x y ln 2sin ⋅=的导数.解 因为,ln cos sin 2x x x y ⋅⋅=所以x x x x x x y ln )(cos sin 2ln cos )sin 2(⋅'⋅+⋅⋅'=')(ln cos sin 2'⋅⋅+x x xx x x x x x ln )sin (sin 2ln cos cos 2⋅-⋅+⋅⋅=xx x 1cos sin 2⋅⋅+ .2sin 1ln 2cos 2x xx x += 注: 此题如果利用后面讲到的复合函数的求导法则则计算过程更为简单.那时，不必按本题那样拆开为两项来计算 .反函数的导数例6 (E05) 求函数x y arcsin =的导数.解 y x s i n = 在⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2,2ππy I 内单调、可导,且,0cos )(sin >='y y ∴ 在对应区间)1,1(-=x I 内有y y x cos 1)(sin 1)(arcsin ='='.11sin 1122xy -=-= 同理可得 ,11)(a r c c o s 2x x --=' ,11)(a r c t a n 2x x +=' .11)c o t (2x x a r c +-='例7 (E06) 求函数x y a log =的导数.解 y a x = 在),(+∞-∞=y I 内单调、可导，且,0ln )(≠='a a a y y∴在对应区间),0(+∞=x I 内有.ln 1ln 1)(1)(log ax a a a x y y a =='=' 特别地.1)(ln x x ='复合函数的求导法则例8 (E07) 求函数x y sin ln =的导数.解 设,ln u y =.sin x u =则dx du du dy dx dy ⋅=x u c o s 1⋅=xx s i n c o s =.c o t x =例9 (E08) 求函数102)1(+=x y 的导数.解 设.1,210+==x u u y 则 x u dxdu du dy dx dy 2109⋅=⋅=.)1(202)1(109292+=⋅+=x x x x 注：复合函数求导既是重点又是难点. 在求复合函数)]}([{x f y ψϕ=的导数时，要从外层, 逐层推进.先求f 对大括号内的变量u 的导数)]),([(x u ψϕ=再求ϕ对中括号内的变量v 的导数)),((x v ψ=最后求ψ对小括号内的变量x 的导数. 在这里，首先要始终明确所求的导数是哪个函数对哪个变量(不管是自变量还是中间变量)的导数;其次,在逐层求导时,不要遗漏, 也不要重复. 熟练之后可以不设中间变量的字母, 心中记住,一气呵成.例10 (E10) 求函数32)sin (x x y +=的导数.解 ])s i n [(32'+='x x y )s i n ()s i n (3222'++=x x x x ])(s i n s i n 21[)s i n (322'⋅++=x x x x ).2sin 1()sin (322x x x ++=例11求函数)1(sin 2x e y -=的导数.解一 设中间变量, 令.1,sin ,,2x w w v v u e y u -====于是x w v u x w v u y y '⋅'⋅'⋅'=')1()(sin )()(2'-⋅'⋅'⋅'=x w v e u )1(cos 2-⋅⋅⋅=w v e u)1cos()1sin(2)1(sin 2x x e x --⋅-=-.)1(2sin )1(sin 2x e x -⋅--=解二 不设中间变量.)1()1cos()1sin(2)1(sin2-⋅-⋅-⋅='-x x e y x .)1(2sin )1(sin 2x e x -⋅--=例12 (E09) 求函数)2(21ln 32>-+=x x x y 的导数.解 ),2ln(31)1ln(212--+=x x y )2(2131)1(112122'-⋅-⋅-'+⋅+⋅='∴x x x x y )2(31211212--⋅+⋅=x x x .)2(3112--+=x x x例13 求函数 )0(arcsin 22222>+-=a ax a x a x y 的导数. 解'⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+'⎪⎭⎫ ⎝⎛-='a x a x a x y a r c s i n 22222'⎪⎭⎫ ⎝⎛+'-+-⋅'⎪⎭⎫ ⎝⎛=a x a x a x x a x a r c s i n 2)(2222222 2222222212)(21221⎪⎭⎫ ⎝⎛-'⎪⎭⎫ ⎝⎛+-'-⋅+-=a x a x a x a x a x x a2222222222121x a a x a x x a -+---= .22x a -=例14 求函数x x x y ++=的导数.解 )(21'++++='x x x x x x y ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'+++++=)(21121x x x x x x x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++=)211(21121x x x x x x .812422x x x x x x x x x x +⋅+++++=例15 求导数 x y x sin log =).1,0(≠>x x解 在函数表达式中,考虑到对数的底是变量,可用对数换底公式,将其变形为.ln sin ln xx y = 这时x x x x x y 2ln sin ln 1ln cot -⋅='.ln sin sin ln sin ln cos 2xx x x x x x x ⋅⋅⋅-⋅=例16 求导数 .log /1x x x e y +=解 .ln 1ln ln log xx e e x == )()(log /1'+'='∴x x x e y '⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+'⎪⎭⎫ ⎝⎛=x x e x ln 1ln 1'⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=x x e x x x x ln 1ln 1ln 12 .ln 1ln 1212⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=x x x x x x 例17 求导数).0(>++=a a a x y x a a a x a解 )(ln )(ln 1'⋅⋅+'⋅+='-x a a x aa a a a x a a x a y x a a .ln ln 211a a a a a ax x a xa a a x x a a a ⋅++=--例18 设,0),1ln(0,)(⎩⎨⎧≥+<=x x x x x f 求).(x f ' 解 当0<x 时, ;1)(='x f 当0>x 时, ])1[ln()('+='x x f ;11)1(11xx x +='+⋅+= 当0=x 时, ,1)01ln(0lim )0(0=+-+='-→-h h f h ,1)01l n ()]0(1ln[lim )0(0=+-++='+→+hh f h 即.1)0(='f 所以.0,110,1)(⎪⎩⎪⎨⎧>+≤='x xx x f例19(E11) 求函数⎩⎨⎧<<+≤<=21,110,2)(2x x x x x f 的导数. 解 求分段函数的导数时，在每一段内的导数可按一般求导法则求之，但在分段点处的导数要用左右导数的定义求之.当10<<x 时, ,2)2()(='='x x f 当21<<x 时, ,2)1()(2x x x f ='+='当1=x 时, 2122lim 1)1()(lim )1(11=--=--='--→→-x x x f x f f x x 121lim 1)1()(lim )1(211--+=--='++→→+x x x f x f f x x 2)1(lim 11lim 121=+=--=++→→x x x x x由2)1()1(='='-+f f 知, .2)1(='f 所以.21,210,2)(⎩⎨⎧<<≤<='x x x x f例20 已知)(u f 可导，求函数)(sec x f y =的导数.解 )(s e c )(s e c ])(s e c ['⋅'='='x x f xf y x x x f t a n s e c )(s e c ⋅⋅'= 注: 求此类含抽象函数的导数时，应特别注意记号表示的真实含义，此例中, )(sec x f '表示对x sec 求导，而])(sec ['x f 表示对x 求导.例21 求导数)],(tan[)(tan x f x f y +=且)(x f 可导.解 ).()]([sec )(tan sec 22x f x f x f x y '⋅+'='例22 求导数: ),ln cos ln (sin x x f y +=且)(x f 可导.解 )ln cos ln (sin )ln cos ln (sin '+⋅+'='x x x x f y)ln cos ln (sin x x f +'=])(ln ln sin )(ln ln [cos '-'⋅x x x x.ln sin ln cos )ln cos ln (sin x xx x x f -⋅+'=双曲函数与反双曲函数的导数例23 (E12) 求函数)arctan(thx y =的导数.解 )(112'⋅+='thx x th y x ch x th 22111⋅+=x ch xch x sh 222111⋅+=x sh x ch 221+=.2112xsh +=课堂练习1. 求下列函数的导数:;ln 41tan 2)1(2x x xy ++=).0,0,,(,)2(>>⎪⎭⎫⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛=b a b a a x b a y bx 且为常数.1111ln )3(22++-+=x x y2. 若)(u f 在0u 不可导, )(x g u =在0x 可导, 且),(00x g u = 则)]([x g f 在0x 处（）. (1) 必可导; (2) 必不可导; (3) 不一定可导.3. 幂函数在其定义域内（ ）.(1) 必可导; (2) 必不可导; (3) 不一定可导.。