高职高等数学课件第十二章单元测试

高等数学(上册)第12章(1)习题答案_吴赣昌_人民大学出版社_高数_第十二章微分方程内容概要§12.1微分方程的基本概念内容概要课后习题全解1．指出下列微分方程的阶数：知识点：微分方程阶的定义★（1）某(y)24yy3某y0；解：出现的未知函数y的最高阶导数的阶数为1，∴方程的阶数为1。

注：通常会有同学误解成未知函数y的幂或y的导数的幂。

例：（错解）方程的阶数为2。

((y))★（2）2某y2y某2y0；解：出现的未知函数y的最高阶导数的阶数为2，∴方程的阶数为2。

★（3）某y5y2某y0；解：出现的未知函数y的最高阶导数的阶数为3，∴方程的阶数为3。

★（4）(7某6y)d某(某y)dy0。

(n)思路：先化成形如F(某,y,y,,y解：化简得)0的形式，可根据题意选某或y作为因变量。

dy6y7某，出现的未知函数y的最高阶导数的阶数为1，∴方程的阶数为1。

d某某y2指出下列各题中的函数是否为所给微分方程的解：知识点：微分方程的解的定义思路：将所给函数及其相应阶导数代入方程验证方程是否成立。

★（1）某y2y，y5某2；2解：将y10某，y5某代入原方程得左边所以某10某25某22y右边，y5某2是所给微分方程的解。

y2y0,yC1co某C2in某；解：yC1in某C2co某，将y2C1co某2C2in某，yC1co某C2in某，代入原方程得：左边所以★（3）y2y2C1co某2C2in某2(C1co某C2in某)右边，yC1co某C2in某是所给微分方程的解。

y22yy20,yC1某C2某2；某某2解：将yC1某C2某，yC12C2某，y2C2，代入原方程得：2C14C2某2(C1某C2某2)22y左边=yy22C20右边2某某某某所以yC1某C2某2是所给微分方程的解。

y(12)y12y0yC1e1某C2e2某；1某解：将yC1eC2e2某，yC11e1某C22e2某，yC112e1某C222e2某，代入原方程得：左边y(12)y12y22C11e1某C22e2某(12)(C11e1某C22e2某)12(C1e1某C2e2某) 0所以右边，yC1e1某C2e2某是所给微分方程的解。

的 项 然 于 数 它 各 显 小 级 1 1 1 1 1 1 1+( p + p ) +( p +⋯ p ) +( p +⋯ p ) +⋯ + + 2 2 4 4 8 8 1 1 2 1 3 =1+ p−1 +( p−1) +( p−1) +⋯ 2 2 2
应 各 , 所 级 是 比 数 公 为 对 的 项 而 得 数 等 级 ,其 比 ∞ 1 1 q = p−1 <1 故 敛 于 当p >1 ,级 ∑ p 收 . , 收 , 是 敛 时 数 2 n= n 1
∞
证 我 利 定 分 几 意 加 证 . 们 用 积 的 何 义 以 明 n 1 调 级 部 和 n =∑ ， 图 示 考 曲 和 数 分 S 如 所 . 察 线 k= k 1 1 y = , x =1 x = n+1和y =0所 y , x 围 的 边 形 面 成 曲 梯 的 积 S 1 与 影 示 阶 形 积A 阴 表 的 梯 面 n 1/2 之 的 系 间 关 ，
子 式 + u ∑u ＝ +u +u +… u +…
n= 1 n 1 2 3
n
∞
为 数 无 级 ， 称 项 数 其 第 称 常 项 穷 数 简 数 级 ， 中 n项 un 称 一 项 通 ． 为 般 或 项
例① 算 级 术 数 a +(a2 +d) +(a +2d) +… （ 1 +(n−1 d) + … ) ＋ a 1 1
②等 级 （ 何 数 比 数 几 级 ） 2 a +aq+aq + +a qn−1 +… ， … 1 1 1 1

12
例 1 讨论 P-级数
1
1 2p
1 3p
1 4p
1 np
的收敛性.(
p
0)
解
设 p 1,
1 np
1, n
则P 级数发散.
y
设 p 1,由图可知
1
np
n dx x n1 p
sn
1
1 2p
1 3p
1 np
y
1 xp
(
p
1)
1
2 1
dx xp
n dx x n1 p
o 1234
x
13
级数收敛
lim
n
un
0.
证明 s un 则 un sn sn1 ,
n1
lim
n
un
lim
n
sn
lim
n
sn1
s
s
0.
8
注意
1.如果级数的一般项不趋于零,则级数发散;
例如 1 2 3 (1)n1 n 发散
234
n1
2.必要条件不充分.
例如调和级数 1 1 1 1
23
2! 3!
n0 n!
(5) sin x x x3 x5
3! 5!
(1)n
1 (2n1)!
x 2n1
,
x
(,
)
n0
(6) cos x 1 x2 x4
2! 4!
n320
(1)n
1 (2n)!
x2n ,
x
(, )
注意： 把函数展开为幂级数的间接展开法实际上就是转化
函数 转化 展开式已知的新函数
n
有
lim

记作B A
易知：A B, 即事件A与B为互逆事件
高等数学
6. 事件的运算律
1、交换律：A B＝B A，AB＝BA 2、结合律：(A B) C＝A (B C)
(AB)C＝A(BC) 3、分配律：(A B)C＝(AC) (BC)，
(AB) C＝(A C)(B C) 4、对偶(De Morgan)律：
A U B A I B, AB A U B
推广：U Ak I Ak , I U Ak Ak .
k
k
k
k
高等数学
例 甲、乙两人各向目标射击一次，设：
A=甲击中目标，B 乙击中目标
试用A、B的运算关系表示下列事件 ：
A1 目标被击中： A U B A2 两人恰有一人击中目标： AB U AB A3 目标未被击中： AB A4 两人都击中目标： AB
P(A | B) 1 3
高等数学
条件概率计算
P( A | B) P( AB) P(B)
P(B | A) P( AB) P( A)
高等数学
概率的乘法公式
两个事件 ： P( AB) P( A)P(B | A) P(B)P( A | B)
三个事件 ：
P( A1 A2 A3 ) P( A1 )P( A2 | A1 )P( A3 | A2 A1 )
高等数学
概率的性质
1） 对于任一事件 A，有 0 剟P(A) 1
2） 0P() 1， P() 0
3） 若 0AB, 则Æ
0P(A U B) P(A) P(B)
推论： 对于任一事件 ，A有 0P(A) 1 P(A)
推广： n个事件A1，A2，L ，An是互不相容的事件组，有