圆的切线垂直于过切点的半径反证法

圆初中数学知识点总结圆初中数学知识点总结总结是在某一时期、某一项目或某些工作告一段落或者全部完成后进行回顾检查、分析评价，从而得出教训和一些规律性认识的一种书面材料，通过它可以全面地、系统地了解以往的学习和工作情况，因此，让我们写一份总结吧。

那么总结有什么格式呢？以下是小编为大家整理的圆初中数学知识点总结，仅供参考，大家一起来看看吧。

圆初中数学知识点总结1一、圆1、圆的有关性质在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫圆，固定的端点O叫圆心，线段OA 叫半径。

由圆的意义可知：圆上各点到定点（圆心O）的距离等于定长的点都在圆上。

就是说：圆是到定点的距离等于定长的点的集合，圆的内部可以看作是到圆。

心的距离小于半径的点的集合。

圆的外部可以看作是到圆心的距离大于半径的点的集合。

连结圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫直径。

圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧。

圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫半圆，大于半圆的弧叫优弧；小于半圆的弧叫劣弧。

由弦及其所对的弧组成的圆形叫弓形。

圆心相同，半径不相等的两个圆叫同心圆。

能够重合的两个圆叫等圆。

同圆或等圆的半径相等。

在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫等弧。

二、过三点的圆l、过三点的圆过三点的圆的作法：利用中垂线找圆心定理不在同一直线上的三个点确定一个圆。

经过三角形各顶点的圆叫三角形的外接圆，外接圆的圆心叫外心，这个三角形叫圆的内接三角形。

2、反证法反证法的三个步骤：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾得出假设不正确，从而肯定命题的结论正确。

例如：求证三角形中最多只有一个角是钝角。

证明：设有两个以上是钝角则两个钝角之和＞180°与三角形内角和等于180°矛盾。

∴不可能有二个以上是钝角。

即最多只能有一个是钝角。

三、垂直于弦的直径圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。

为什么圆的切线与半径垂直
答:此题不太严谨，应改为:为什么圆的切线与过切点的半径垂直因为切线与过切点的半经组成了弦切角。

(把半径延长成直径，直径也是弦。

)，弦切角的度数等于它夹弧度数的一半。

这时它夹弧是半圆为180度，那么弦切角为90度。

所以圆的切线与过切点的半径垂直。

为什么圆的切线与半径垂直
因为切线被定义为与圆只有一个交点的直线，通过半径的外端并垂直于这个半径。

直线和圆有三种位置关系。

第一个位置关系是直线脱离圆。

这个时候直线和圆没有交集。

第二种情况是直线与圆相切。

有交集。

并且垂直于交叉点的半径。

第三种情况是相贯线和圆有两个交点。

为什么圆的切线与半径垂直
用圆的参数方程，以圆心为原点o建立坐标系，设切点
P(r*cosa，r*sina)，其中r是半径，a是以x轴正方向为始边，逆时针旋转的角度，用距离公式可求过切点且到o点距离为r的直线为cosa*x+sina*y=r，斜率为-cota，而op斜率是tana，所以斜率相乘=-1，所以垂直
用反证法，设圆o的一条半径oa，直线l于圆切于a。

假设直线l不垂直于oa，过o做om垂直于m，因为直线l不垂直于oa，所以三角巷oma是直角三角形所以oa&gtom（直角三角形斜边大于直角边）即圆心到直线l的距离小于圆半径，即直线l与圆o相交，与假设矛盾，所以oa垂直于l，即圆的切线垂直于圆的半径。

圆切线反证法圆是我们日常生活中经常遇到的一种几何图形。

圆与直线是几何学上两种不同的图形，但是在某些情况下，直线也会与圆相交，这时我们就会遇到圆切线的概念。

圆切线是指恰好与圆相交一次的直线，也就是说，它通过圆上的一个点，并且与圆的切线垂直。

在本文中，我们将介绍圆切线的反证法。

在数学中，反证法是证明方法之一，它是通过假设要证明的命题不成立，然后推导出一个矛盾的结论来证明要证明的命题成立。

接下来我们将用反证法证明圆切线的性质。

首先，设直线AB与圆O相交于点C，如图所示。

我们要证明的是，如果AB是圆O的切线，那么该直线与圆的切点C相重合。

即，如果AB不经过C点，则它不是圆O的切线。

假设AB不经过C点，那么它就不能与圆O的切线垂直。

因此，我们可以连接点C和圆心O，将这条线段记为CO，如下图所示。

因为CO是半径，所以它与AB垂直。

因此，我们可以将AB视为另一条直线DE，其与CO垂直，如下图所示。

由于AB和DE是垂直的，且它们在点C处相交，所以它们形成了一个直角三角形，即△ABC和△CDE。

根据勾股定理，我们可以得到：AC² = AO² - OC²CE² = CO² - OE²因为O是圆心，所以OA = OB = OC = OD = OE。

因此，我们可以将方程简化为：同时，由于AB是不经过点C的直线，所以AB与CR（R为圆O上与点C相对的点）交于点P，如下图所示。

由此，我们可以得到三角形△APC和△CPR是相似的，因此可以得到以下方程：CR/CP = CP/ACAC × CP = CP × CR将AC² = OA² - OC² 和AC × CP = CP × CR进行代入整理，可以得到：上述方程式是等式两边相等的形式，如果我们令右边的两式相减，得到：CP × CR = CE²由于左边为两点距离的乘积，因此右边也必须是两点距离的乘积。

什么是切线切线的性质 切线指的是⼀条刚好触碰到曲线上某⼀点的直线。

那么你对切线了解多少呢?以下是由店铺整理关于什么是切线的内容，希望⼤家喜欢! 切线的性质和定理 切线的性质定理 圆的切线垂直于过其切点的半径;经过半径的⾮圆⼼⼀端，并且垂直于这条半径的直线，就是这个圆的⼀条切线。

切线判定定理 ⼀直线若与⼀圆有交点，且连接交点与圆⼼的直线与该直线垂直，那么这条直线就是圆的切线。

⼀般可⽤： 1、作垂直证半径 2、作半径证垂直 圆的切线 切线的性质定理 圆的切线垂直于经过切点的半径. 推论1：经过圆⼼且垂直于切线的直线必经过切点. 推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆⼼. 切线的主要性质 线段DA垂直于直线AB(AD为直径) 线段DA垂直于直线AB(AD为直径) (1)切线和圆只有⼀个公共点; (2)切线和圆⼼的距离等于圆的半径; (3)切线垂直于经过切点的半径; (4)经过圆⼼垂直于切线的直线必过切点; (5)经过切点垂直于切线的直线必过圆⼼; (6)从圆外⼀点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的⽐例中项 其中(1)是由切线的定义得到的，(2)是由直线和圆的位置关系定理得到的,(6)是由相似三⾓形推得的，也就是切割线定理。

切线的判定和性质 切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

圆的切线垂直于这个圆过切点的半径。

⼏何语⾔：∵l⊥OA，点A在⊙O上 ∴直线l是⊙O的切线(切线判定定理) 切线的性质定理圆的切线垂直于经过切点半径 ⼏何语⾔：∵OA是⊙O的半径，直线l切⊙O于点A ∴l ⊥OA(切线性质定理) 推论1 经过圆⼼且垂直于切线的直径必经过切点 推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆⼼ 切线长定理 定理从圆外⼀点可引出圆的两条切线，它们的切线长相等，圆⼼和这⼀点的连线平分两条切线的夹⾓ ⼏何语⾔：∵弦PB、PD切⊙O于A、C两点 ∴PA=PC，∠APO=∠CPO(切线长定理) 弦切⾓ 弦切⾓定理弦切⾓等于它所夹的弧对的圆周⾓ ⼏何语⾔：∵∠BCN所夹的是，∠A所对的是 ∴∠BCN=∠A 推论如果两个弦切⾓所夹的弧相等，那么这两个弦切⾓也相等 ⼏何语⾔：∵∠BCN所夹的是，∠ACM所对的是， = ∴∠BCN=∠ACM 弦切⾓概念：顶点在圆上，⼀边和圆相交、另⼀边和圆相切的⾓叫做弦切⾓.它是继圆⼼⾓、圆周⾓之后第三种与圆有关的⾓.这种⾓必须满⾜三个条件： (1)顶点在圆上，即⾓的顶点是圆的⼀条切线的切点; (2)⾓的⼀边和圆相交，即⾓的⼀边是过切点的⼀条弦所在的射线; (3)⾓的另⼀边和圆相切，即⾓的另⼀边是切线上以切点为端点的⼀条射线. 它们是判断⼀个⾓是否为弦切⾓的标准，三者缺⼀不可，⽐如下图中，均不是弦切⾓. (4)弦切⾓可以认为是圆周⾓的⼀个特例，即圆周⾓的⼀边绕顶点旋转到与圆相切时所成的⾓.正因为如此，弦切⾓具有与圆周⾓类似的性质. 弦切⾓定理：弦切⾓等于它所夹的弧对的圆周⾓.它是圆中证明⾓相等的重要定理之⼀. 切割线定理：从圆外⼀点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的⽐例中项。

切线的判定1．切线的性质：垂直于过切点的半径．（连半径，得垂直）l2．切线的判定：（1）定义法：和圆只有一个交点的直线是圆的切线；（2）距离法：到圆心距离等于半径的直线是圆的切线；l证明d=r即可，常用于已知数据的计算，比如动圆相切问题．（3）判定定理：经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．换个说法：⎧⎨⎩有交点：连半径,证垂直无交点：作垂直,证半径，多用于几何证明．多为有交点，重点考虑如何证垂直：①证明和已知垂线平行；②证明夹角为直角．3．常见相切图（1）角分+等腰得平行：点C在以AB为直径的圆O上，AH⊥CH，且AC平分∠HAB．连接OC，则OC=OA，∴∠OCA=∠OAC，又∠OAC=∠HAC，∴∠OCA=∠HAC，∴OC∥AH，∴OC⊥CH，∴CH是圆O的切线．（2）证明和已知直角相等．证明△PCO≌△P AO，可得∠PCO=∠P AO=90°．B（3）证明夹角为直角．（弦切角定理）如图，若∠BAC=∠D，则AB是圆O切线．B如图，连接AO并延长交圆O于点P，则∠P=∠D=∠BAC，∵∠P+∠P AC=90°，∴∠BAC+∠P AC=90°，即AB⊥AP，∴AB是圆O的切线．B1．（2018·滨州）如图，AB 为O 的直径，点C 在O 上，AD CD ⊥于点D ，且AC 平分DAB ∠，求证：（1）直线DC 是O 的切线；（2）22AC AD AO =⋅．【分析】（1）连接OC ，∵OA =OC ，∴∠OAC =∠OCA ，又AC 平分∠DAB ，∴∠DAC =∠OAC ， ∴∠OCA =∠DAC ，∴AD ∥OC ， ∵AD ⊥CD ，∴OC ⊥CD ， ∴DC 是圆O 的切线．（2）连接BC ，过点C 作CH ⊥AN 交AB 于H 点，则2AC AH AB =⋅，∵AH =AD ，AB =2AO ， ∴22AC AD AO =⋅．2．（2018·泰州）如图，AB 为O 的直径，C 为O 上一点，ABC ∠的平分线交O 于点D ，DE BC ⊥于点E ．（1）试判断DE 与O 的位置关系，并说明理由；（2）过点D 作DF AB ⊥于点F，若BE =3DF =，求图中阴影部分的面积．B【分析】 （1）相切．连接OD ，∵BD 平分∠ABE ，∴∠ABD =∠EBD ， ∵OB =OD ，∴∠OBD =∠ODB ， ∴∠EBD =∠ODB ，∴OD ∥BE ， ∵DE ⊥BE ，∴OD ⊥DE ， ∴DE 与圆O 相切．（2）易证△BED ≌△BFD，∴BF =BE =DF =3，∴∠ABD =30°，连接OD ，则∠AOD =60°，易证OD =∴(2113262S ππ=⋅-=， 故阴影部分面积为2π-．【角分+等腰得平行】3．（2018·锦州）如图，在ABC∆中，90C∠=︒，AE平分BAC∠交BC于点E，O是AB 上一点，经过A，E两点的O交AB于点D，连接DE，作DEA∠的平分线EF交O 于点F，连接AF．（1）求证：BC是O的切线．（2）若4sin5EFA∠=，AF=AC的长．【分析】（1）连接EO，则OA=OE，∴∠OAE=∠OEA，又AE平分∠BAC，∴∠OAE=∠CAE，∴∠OEA=∠CAE，∴OE∥AC，∵AC⊥BC，∴OE⊥BC，∴BC是圆O的切线．（2）EF平分∠AED，则点F是半圆AD中点，连接OF，则△AOF是等腰直角三角形，∴5OA AF===，∴AD=10，4sin sin5EDA EFA∠=∠=，∴AE=8，DE=6，∵AE平分∠BAC，∴4 cos cos5CAE EAD∠=∠=，即45ACAE=，∴44328555AC AE==⨯=，故AC的长为325．4．（2018·毕节市）如图，在△ABC中，以BC为直径的圆C交AC于点E，过点E作AB的垂线交AB于点F，交CB的延长线于点G，且∠ABG=2∠C．（1）求证：EG是圆O的切线；（2）若1tan2C=，AC=8，求圆O的半径．【分析】（1）连接OE，则OE=OC，∴∠OEC=∠OCE，∴∠EOG=2∠C，又∠ABG=2∠C，∴∠EOG=∠ABG，∴OE∥AB，∵EG⊥AB，∴EG⊥OE，∴EG是圆O的切线．（2）连接BE，则BE⊥AC，∵OE∥AB，∴△ABC是等腰三角形，∴E是AC中点，∵AC=8，∴142CE AC==，∵1tan2C=，∴122BE CE==，∴BC=r=OB，故圆O．【有交点，证垂直，全等证明夹角为直角】5．（2019·天水）如图，AB、AC分别是O的直径和弦，OD AC⊥于点D．过点A作O 的切线与OD的延长线交于点P，PC、AB的延长线交于点F．（1）求证：PC是O的切线；（2）若60ABC∠=︒，10AB=，求线段CF的长．【分析】（1）连接OC，∵OP⊥AC，∴OP平分AC，∴OP是AC的垂直平分线，∴P A=PC，易证△POA≌△POC，∴∠PCO=∠P AO=90°，∴OC⊥PC，∴PC是圆O的切线．（2）若∠ABC=60°则△OBC是等边三角形，∴∠BOC=60°，OC=OB=5，在Rt△OCF中，CF=故CF的长为6．（2016·郴州）如图，OA ，OD 是O 半径，过A 作O 的切线，交AOD ∠的平分线于点C ，连接CD ，延长AO 交O 于点E ，交CD 的延长线于点B （1）求证：直线CD 是O 的切线；（2）如果D 点是BC 的中点，O 的半径为3cm ，求DE 的长度（结果保留)πB【分析】（1）易证△COA ≌△COD ，∴∠ODC =∠OAC =90°，即OD ⊥CD ，∴CD 是圆O 的切线．（2）若点D 是BC 的中点，则△BOC 是等腰三角形，∴∠OBC =∠OCB ，又∠OCB =∠OCA ，∴设∠OBC =∠OCB =∠OCA =α， ∴390α=︒，30α=︒，∴∠BOD =60°，∴1236DE ππ=⋅⋅=cm ，故DE 的长度是πcm ．7．（2018·丹东）如图，直线AD 经过O 上的点A ，ABC ∆为O 的内接三角形，并且CAD B ∠=∠．（1）判断直线AD 与O 的位置关系，并说明理由；（2）若30CAD ∠=︒，O 的半径为1，求图中阴影部分的面积．（结果保留)πD【分析】 （1）相切．连接AO 并延长交圆O 于点P ，连接CP ，则∠P =∠B ，又∵∠B =∠CAD ，∴∠P =∠CAD ， ∵∠P +∠P AC =90°，∴∠CAD +∠P AC =90°， ∴P A ⊥AD ，∴AD 是圆O 的切线．（2）连接OC ，则∠AOC =2∠APC =2∠CAD =60°，21166S ππ=⋅⋅=扇AOC，21AOCS=∴6S π=阴，故阴影部分的面积为6π-【有交点证垂直，证明夹角为直角】8．（2019·盐城）如图，在Rt△ABC中，90ACB∠=︒，CD是斜边AB上的中线，以CD为直径的O分别交AC、BC于点M、N，过点N作NE AB⊥，垂足为E．（1）若O的半径为52，6AC=，求BN的长；（2）求证：NE与O相切．【分析】（1）∵52r=，∴CD=5，∴AB=10，∴BC=8，连接DN，则DN⊥BC，∴DN∥AC，∴点N是BC中点，∴118422BN BC==⨯=．故BN的长为4．（2）连接NO，∵N、O分别是BC、CD中点，∴NO∥BD，∵NE⊥BD，∴NE⊥NO，∴NE与圆O相切．9．（2018·本溪）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点O，D分别为AB，BC的中点，连接OD，作⊙O与AC相切于点E，在AC边上取一点F，使DF＝DO，连接DF．（1）判断直线DF与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）当∠A＝30°，CF时，求⊙O的半径．【分析】（1）相切．连接OE，则OE⊥AC，∴点E是AC边中点，连接OF，过点O作OH⊥DF交DF于H点，∵DO∥AC，∴∠DOF=∠OF A，又DO=DF，∴∠DOF=∠DFO，∴∠OF A=∠OFD，易证△OFE≌△OFH，∴OH=OE，∴DF是圆O的切线．（2）设半径为r，则CD=r，DF=DO，∴CF=，又CF，∴r=1，10．（2018·江西）如图，在△ABC 中，O 为AC 上一点，以点O 为圆心，OC 为半径做圆，与BC 相切于点C ，过点A 作AD ⊥BO 交BO 的延长线于点D ，且∠AOD ＝∠BAD ． （1）求证：AB 为⊙O 的切线； （2）若BC ＝6，tan ∠ABC ＝43，求AD 的长．【分析】（1）∵∠AOD +∠DAO =90°，∠ABD +∠BAD =90°，且∠AOD =∠BAD ，∴∠DAO =∠ABD ，又∠DAO =∠OBC ， ∴∠ABD =∠OBC ，过点O 作OH ⊥AB 交AB 于H 点，易证△BOH ≌△BOC ，∴OH =OC ，∴AB 是圆O 的切线． （2）∵BC =6，4tan 3ABC ∠=，∴AC =8，AB =10， BH =BC =6，AH =4，OH =3，OA =5，∴5OD ===2AD OD ==．故AD 的长为【圆中等腰三角形】11．（2018·鄂尔多斯）如图，O 是ABC ∆的外接圆，AC 是直径，弦BD BA =，EB DC ⊥，交DC 的延长线于点E ． （1）求证：BE 是O 的切线； （2）当3sin 4BCE ∠=，3AB =时，求AD 的长．【分析】（1）连接BO 并延长，分别交AD 、圆O 于点H 、Q ，易证△BDQ ≌△BAQ ，∴DQ =AQ ，又AB =DB ， ∴BQ 是AD 的垂直平分线， ∴BQ ⊥AD ，∵AC 是直径，∴∠ADC =90°，又∠E =90°，∴AD ∥BE ， ∴BQ ⊥BE ，∴BE 是圆O 的切线．（2）∵∠BAC =∠CBE ，∴∠ACB =∠BCE ，∴3sin 4ACB ∠=，∵AB=3，∴AC =4，BC∵3sin 4BE BCE BC ∠===，∴BE =， ∴HD BE ==，∴AD =2HD ．故AD。

圆的切线的证明方法天津四中杨建成平面内直线和圆存在着三种位置关系，即直线和圆相离、直线和圆相切、直线和圆相交，这三种位置关系中最重要的是直线和圆相切。

那么怎样证明直线和圆相切呢？证明直线是圆的切线大体上有三种方法：⑴和圆只有一个公共点的直线是圆的切线；⑵到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；⑶经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

其中⑴是切线的定义，它是从直线与圆的交点的角度来判断直线和圆的位置关系；⑵是从圆心到直线的距离d与圆的半径r的数量关系的角度来判断；⑶是根据切线的判定定理进行判断。

⑵和⑶都是由⑴推演出来的。

在几何证明中，常用的是最后一种方法，具体的证法有两种：①当直线与圆有一个公共点时，把圆心和这个公共点连结起来，证明直线垂直于这条半径，简称为“连半径，证垂直”；②当直线和圆的公共点没有明确时，可过圆心作直线的垂线，再证圆心到直线的距离等于半径，简称为“作垂直，证半径”。

例1.如图，已知AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，切点为B，OC平行于弦AD，求证CD是⊙O的切线。

［分析］：因直线CD与⊙O有公共点D，故应采用“连半径，证垂直”的方法。

［证明］：连结OD∵OC∥AD ∴∠COB=∠DAO，∠COD=∠ADO∵OA=OD ∴∠DAO=∠ADO∴∠COB=∠COD在△DOC和△BOC中∵OD=OB，∠COD=∠COBOC=OC∴△DOC≌△BOC∴∠CDO=∠CBO∵AB是⊙O的直径，BC是切线∴∠CBO=90°∴∠CDO=90°∵OD是⊙O的半径∴CD是⊙O的切线例2.如图，已知两个同心圆O中，大圆的弦AB、CD相等，且AB与小圆相切于点E，求证：CD是小圆的切线。

［分析］：因直线CD与⊙O无公共点，故应采用“作垂直，证半径”的方法。

［证明］：连结OE，过O点作OF⊥CD于F∵AB与小圆相切于点E∴OE⊥AB ∴AE=BE，CF=DF∵AB=CD ∴AE=CF在Rt△AEO和Rt△CFO中∵OA=OC，AE=CF∴Rt△AEO≌Rt△CFO∴OE=OF∴CD是小圆的切线例3.如图，已知在△ABC中，CD是AB上的高，且CD=1/2AB，E、F分别是AC、BC的中点，求证：以EF为直径的⊙O 与AB 相切。

圆的切线垂直于过切点的半径反证法一、引言在数学中，证明一个定理或命题的方法有多种，其中反证法是一种常用而且有效的证明方法。

本文将以圆的切线垂直于过切点的半径这一主题为例，深入探讨该定理的证明过程，并从简到繁地阐述这一数学概念。

二、基本概念在开始正式证明之前，让我们先了解一下圆的基本概念。

圆是平面几何中的一个基本图形，由平面内到圆心距离等于半径的所有点构成。

而切线则是与圆相切且只在切点处与圆相交的直线。

在这个基础上，我们将要证明的定理是：圆的切线垂直于过切点的半径。

三、定理证明1. 我们先来假设圆的切线并不垂直于过切点的半径，即存在一条切线与过切点的半径不垂直的情况。

2. 在这种情况下，根据几何知识，我们知道如果一条直线与另一条直线垂直，那么它们之间的夹角应该是90度。

3. 根据我们的假设，如果切线不垂直于过切点的半径，那么它与半径之间将存在一个夹角，而这是与我们熟知的几何性质相矛盾的。

4. 经过以上推理，我们得出了一个矛盾，即假设的切线与过切点的半径不垂直的情况与我们所知的几何性质相矛盾。

5. 我们可以推断出原先的假设是错误的，即圆的切线必须垂直于过切点的半径。

通过反证法的推理，我们成功地证明了圆的切线垂直于过切点的半径这一定理。

这种证明方法既简洁又能够很好地帮助我们理解数学定理的本质。

四、回顾与总结通过本文的讨论，我们重新审视了圆的切线垂直于过切点的半径这一数学概念，并采用了反证法的证明方法。

在证明过程中，我们从最基本的概念出发，逐步推导，最终得出了正确的结论。

通过这种方式，我们不仅加深了对该定理的理解，还提高了我们的数学推理能力。

五、个人观点作为一个数学爱好者，我深深地认识到数学证明的重要性。

通过不断地练习和思考，我们可以更深入地理解数学定理，并培养自己的逻辑推理能力。

在今后的学习和工作中，我将继续努力，不断提高自己的数学素养。

六、结语通过本文的撰写，我深入地探讨了圆的切线垂直于过切点的半径这一数学定理，并运用了反证法进行了证明。