【复变函数】-清华大学史上最全ppt-下
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复变函数第4讲PPT课件
§2.1 解析函数的概念
1.复变函数的导数
1)导数概念：
设函数f (z)在点z0及其邻域内有定义,如果极限
lim f (z0 z) f (z0 )
z 0
z
存在, 那么就说f (z)在点z0可导. 这个极限值称
为f (z)在点z0的导数.
记作
f
'(z0 )
dw dz
z z0
lim
z 0
f
( z0
u e x cos y, x v e x si n y, x
u e x si ny u v
y v
e x cos y
x y v u
y
x y
故 f (z) e x (cos y i siny)在 全 平 面 可 导 ， 解 析 。
f '(z) u i v e x cos y ie x si ny f (z). x x
条件是 u(x, y) 和 v(x, y)在D内可微，且
满足Cauchy-Rieman方程
u v ,
v
u .
x y x y
并且在解析的条件下
f (z) ux ivx vy iuy
第18页/共26页
例1 判定下列函数在何处可导，在何处解析：
(1) f (z) ex (cosy i siny)； 解：(1) u e x cos y, v e x siny，
第7页/共26页
例如
f
(z)
1 z2
z
,则当z
0,
1时 ，f
'(z)
2z 1 (z2 z)2
.
思考题
实 函 数 中, f ( x) x 2 在( , )内 可 导;
1.复变函数的导数
1)导数概念：
设函数f (z)在点z0及其邻域内有定义,如果极限
lim f (z0 z) f (z0 )
z 0
z
存在, 那么就说f (z)在点z0可导. 这个极限值称
为f (z)在点z0的导数.
记作
f
'(z0 )
dw dz
z z0
lim
z 0
f
( z0
u e x cos y, x v e x si n y, x
u e x si ny u v
y v
e x cos y
x y v u
y
x y
故 f (z) e x (cos y i siny)在 全 平 面 可 导 ， 解 析 。
f '(z) u i v e x cos y ie x si ny f (z). x x
条件是 u(x, y) 和 v(x, y)在D内可微，且
满足Cauchy-Rieman方程
u v ,
v
u .
x y x y
并且在解析的条件下
f (z) ux ivx vy iuy
第18页/共26页
例1 判定下列函数在何处可导，在何处解析：
(1) f (z) ex (cosy i siny)； 解：(1) u e x cos y, v e x siny，
第7页/共26页
例如
f
(z)
1 z2
z
,则当z
0,
1时 ，f
'(z)
2z 1 (z2 z)2
.
思考题
实 函 数 中, f ( x) x 2 在( , )内 可 导;
复变函数 全套课件
w1
8
2cos
9 16
i
sin
9 16
,
23
w2
8
2
cos
17 16
i sin 1176,
w3
8
2cos
25 16
i sin 2156.
y
w1
这四个根是内接于中
心在原点半径为8 2 的 圆的正方形的四个顶点.
w2
o
w0 x
w3
24
三、典型例题
例1 对于映射 w z 1 , 求圆周 z 2的象. z
3
三角表示法
利用直角坐标与极坐标的关系
x y
r r
cos , sin ,
复数可以表示成 z r(cos i sin )
指数表示法
利用欧拉公式 ei cos i sin ,
复数可以表示成 z rei 称为复数 z 的指数表示式.
4
方根
w
n
z
r
1 n
cos
2kπ
i sin
2kπ
n
n
6
2cos
12
i
sin
12 ,
w1
6
2cos
7 12
i sin 712,
w2
6
2cos
5 4
i
sin
5 4
.
22
例 计算 4 1 i 的值.
解
1i
2cos
4
i
sin
4
4
1
i
8
2cos 4
2k 4
i sin
4
2k
4
即
w0
8
复变函数论第三版PPT课件
导数的性质
导数具有线性、可加性、可乘性和链式法则等性质。这些性质在计算复杂函数 的导数时非常有用。
导数的计算方法
基本初等函数的导数
隐函数的导数
对于常数、幂函数、指数函数、三角 函数等基本初等函数，其导数都有固 定的公式可以查询和使用。
如果一个函数$F(x, y) = 0$，我们可 以通过对$F$求关于$x$或$y$的偏导 数来找到隐函数的导数。
傅里叶级数与傅里叶变换
傅里叶级数
将周期函数表示为无穷级数，通过正 弦和余弦函数的线性组合来逼近原函 数。
傅里叶变换
将函数从时间域转换到频率域，通过 积分形式实现。
傅里叶变换的性质与应用
线性性质
若 $f(t)$ 和 $g(t)$ 是 可傅里叶变换的，$a, b$ 是常数，则 $af(t) + bg(t)$ 也可进行傅里叶 变换。
复数的几何意义
复数可以用平面上的点来 表示，实部为横坐标，虚 部为纵坐标。
复数的运算
复数可以进行加法、减法、 乘法和除法等运算，满足 交换律、结合律和分配律。
02 复数与复变函数
复数及其运算
复数
由实部和虚部构成的数， 表示为 a + bi，其中 a 和 b 是实数，i 是虚数单位。
复数的运算
加法、减法、乘法和除法 等。
共轭复数
如果一个复数的虚部变号， 则得到该复数的共轭复数。
复变函数及其定义域
复变函数
从复平面到复平面的映射。
定义域
复变函数的输入值的集合。
单值函数和多值函数
根据定义域和值域的关系进行分类。
复变函数的极限与连续性
极限
描述函数值随自变量变化的行为。
连续性
函数在某一点处的极限值等于该 点的函数值。
导数具有线性、可加性、可乘性和链式法则等性质。这些性质在计算复杂函数 的导数时非常有用。
导数的计算方法
基本初等函数的导数
隐函数的导数
对于常数、幂函数、指数函数、三角 函数等基本初等函数，其导数都有固 定的公式可以查询和使用。
如果一个函数$F(x, y) = 0$，我们可 以通过对$F$求关于$x$或$y$的偏导 数来找到隐函数的导数。
傅里叶级数与傅里叶变换
傅里叶级数
将周期函数表示为无穷级数，通过正 弦和余弦函数的线性组合来逼近原函 数。
傅里叶变换
将函数从时间域转换到频率域，通过 积分形式实现。
傅里叶变换的性质与应用
线性性质
若 $f(t)$ 和 $g(t)$ 是 可傅里叶变换的，$a, b$ 是常数，则 $af(t) + bg(t)$ 也可进行傅里叶 变换。
复数的几何意义
复数可以用平面上的点来 表示，实部为横坐标，虚 部为纵坐标。
复数的运算
复数可以进行加法、减法、 乘法和除法等运算，满足 交换律、结合律和分配律。
02 复数与复变函数
复数及其运算
复数
由实部和虚部构成的数， 表示为 a + bi，其中 a 和 b 是实数，i 是虚数单位。
复数的运算
加法、减法、乘法和除法 等。
共轭复数
如果一个复数的虚部变号， 则得到该复数的共轭复数。
复变函数及其定义域
复变函数
从复平面到复平面的映射。
定义域
复变函数的输入值的集合。
单值函数和多值函数
根据定义域和值域的关系进行分类。
复变函数的极限与连续性
极限
描述函数值随自变量变化的行为。
连续性
函数在某一点处的极限值等于该 点的函数值。
复变函数PPT第三章
2
x
1 例10 求 dz , C 为含 a 的任一简单闭路 , n C (z a) n 为整数.
1 例10 求 dz , C 为含 a 的任一简单闭路 , n C (z a) n 为整数.
解 因为 a 在曲线C 内部, 故可取很小的正数 ,
使 C1 : z a 含在 C 内部. 1 此结论非常重要，用起来很 在以 C C1 为边界的复连通域 ( 方便，因为C不必是圆， a z a )n 也不必是圆的圆心，只要a 内处处解析, 由闭路变形原理, 在简单闭曲线C内即可. 2 i , n 1 1 1 ( z a )n dz C ( z a )n dz 0, n 1. C
1 1 在C内作两个正向圆周 1 : z , C 2 : z 1 . C 4 4 y 根据复合闭路定理，
2z 1 2z 1 2z 1 C z 2 z dz C1 z 2 z dz C2 z 2 z dz
C1
C2
1 1 1 1 dz dz dz dz z 1 z z 1 z C1 C1 C2 C2
e dz. 2 z 5z 6
z
z i 1
z 5z 6
2
dz 0 .
例5 解
求 zdz 的值.
z0
z1
1 2 因为 z 是解析函数, 它的原函数是 z , 2 z1 z1 1 2 1 2 2 zd z z ( z1 z0 ). z0 2 z0 2
i 0
§3.1 复积分的概念
一、复积分的定义
二、积分存在的条件及其计算法 三、积分的性质
例1 计算 C zdz , C : 从原点到点 3 4i 的直线段.
x
1 例10 求 dz , C 为含 a 的任一简单闭路 , n C (z a) n 为整数.
1 例10 求 dz , C 为含 a 的任一简单闭路 , n C (z a) n 为整数.
解 因为 a 在曲线C 内部, 故可取很小的正数 ,
使 C1 : z a 含在 C 内部. 1 此结论非常重要，用起来很 在以 C C1 为边界的复连通域 ( 方便，因为C不必是圆， a z a )n 也不必是圆的圆心，只要a 内处处解析, 由闭路变形原理, 在简单闭曲线C内即可. 2 i , n 1 1 1 ( z a )n dz C ( z a )n dz 0, n 1. C
1 1 在C内作两个正向圆周 1 : z , C 2 : z 1 . C 4 4 y 根据复合闭路定理，
2z 1 2z 1 2z 1 C z 2 z dz C1 z 2 z dz C2 z 2 z dz
C1
C2
1 1 1 1 dz dz dz dz z 1 z z 1 z C1 C1 C2 C2
e dz. 2 z 5z 6
z
z i 1
z 5z 6
2
dz 0 .
例5 解
求 zdz 的值.
z0
z1
1 2 因为 z 是解析函数, 它的原函数是 z , 2 z1 z1 1 2 1 2 2 zd z z ( z1 z0 ). z0 2 z0 2
i 0
§3.1 复积分的概念
一、复积分的定义
二、积分存在的条件及其计算法 三、积分的性质
例1 计算 C zdz , C : 从原点到点 3 4i 的直线段.
复变函数 ppt课件
z x iy
其中 i 为虚数单位，满足 i2 1
记号： x Re z , y Im z
若 x 0 ，则称 z iy 为纯虚数。
称复数 x iy 为复数 z x iy 的共轭复数,
记为 z x iy
注：１）两个复数相等，是指二者实部、虚部分别相等； ２）两个复数之间无法比较大小，除非都是实数。
为arg z，这样，我们有：
Arg z arg z 2k
2020/12/27
15
arg z 与 arctan y 关系如下 x
arctan
y x
,
2
,
当x 0时 当x 0, y 0时
arg
z
2
,
当x 0, y 0时
arctan
y x
＋
,
当x
0,
y
0时
arctan
2020/12/27
4
x
arctan x
1
dx
1
x
(
1
1
)dx
0 1 x2
2i 0 i x i x
[ 1 2i
ln
i i
x x
]0x
1 2i
ln
i i
x x
1 2i
ln1
1 ln i x 2i i x
这样取X =1，得
arctan1 1 ln i 1
4
2i i 1
1 ln( i 1)2 4i i 1
除 法： z z1 z2
z2 z z1 (z2 0)
运算：
2020/12/27
z1 z1z2 z2 z2 z2
(z2 0)
10
容易证明，复数的运算满足分配律、交换律、结合律。 此外，共轭复数具有下列性质：
【复变函数】-清华大学史上最全-下
(2)在实数域中
1 1 x2
1
x2
x4
(1)n x2n
为什么它的收敛半径R 1,在实数域中的不容易
看清楚,在复数域中容易看出 1 有两个奇点 1 z2
z i, R 1
定理
(1) 函 数f (z)在 点z0解 析 f (z)在z0的
某一邻域内可展成幂级数 cn (z z0 )n . n0
z (
z0 z0
)2
z (
z0 z0
)n
(2)
故 f
( )
z
f ( ) n0 z0
(z
(
z0 )n z0 )n
n0 (
f
(
z0
) )n1
(z
z0
)n
---(*)得证！
证明 设k : z0 r,{ z0 r} D,
(2)由幂级数逐项求导性质得：
1
(1 z)2
d dz
1
1
z
d dz
1
z z2
(1)n1 zn
1 2z 3z2 (1)n1 nzn1 z 1
(3)在收敛圆z 1内任意取一条从0 z( z 1) 的 路 径c, 将(1)的 展 开 式 两 边 沿c逐 项 积 分 得:
)2
z0
z0 z0 z0
( z z0 )n ] (3)
z0
(不讲)
两 端 乘 以f ( ) ,沿 着k逐 项 积 分 得, 2i
复变函数课件
7
学习方法
• 复变函数论作为一门学科，它不仅在内 容上与实变函数微积分有许多类似之处， 而且在研究问题的方面与逻辑结构方面 也非常类似 .但也有其自身的特点和研究 方法与研究工具，在学习过程中，应注 意与微积分理论的比较，从而加深理解， 同时也须注意复变函数本身的特点，并 掌握它自身所固有的理论和方法，抓住 要点，融会贯通.
(a , b) (c , d ) (ac bd , bc ad )
ac bd bc ad 2 2 ( a , b) ( c , d ) ( 2 2 , 2 2 ) , c d 0 c d c d
27
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铃
2 复平面
2.1 复平面的定义
复数 z x iy 与有序实数对 ( x , y ) 成一一 对应. 因此, 一个建立了直角坐标系的平面可以 用来表示复数, 通常把横轴叫实轴或x 轴, 纵轴 叫虚轴或 y 轴. 这种用来表示复数的平面叫复平 面.
9
参考书目：
• [4] 余家荣，复变函数，高等教育出版社. 北京：高等教育出版社，2000.3 • [5] 庞学诚、梁金荣、柴俊编著，复变函 数，科学出版社，2003.9 • [6] 盖云英、邢宇明编，复变函数与积分 变换（中文版、英文版），北京：科学 出版社，2007.8
10
第一章 复数与复变函数
Ch 0 引言 复变函数课程简介
1
研究对象
• 复变函数就是自变量为复数的函数.复变 函数论是分析学的一个分支，故又称复 分析. • 其主要研究对象是解析函数 .
2
研究的主要内容
• 本课程主要讲授：单复变函数的一些基本知识， 以解析函数为研究对象，分别从导数、积分、 级数、残数、映射五个方面来刻画解析函数的 性质及其应用. • 首先从复数域开始，引入复变函数，再给出解 析函数的概念，再以它为研究对象，介绍解析 函数的导数、积分、解析函数的幂级数表示法， 解析函数的罗朗展式与孤立奇点，残数理论及 其应用.
复变函数-清华大学精品PPT课件
z1+z2=z2+z1； z1z2=z2z1； (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)； z1(z2z3)=(z1z2)z3； z1(z2+z3)=z1z2+z1z3 .
.
10
3.共轭复数
定义 若z=x+iy , 称z=x-iy 为z 的共轭复数.
•共轭复数的性质
(conjugate)
(1) (z1z2)z1z2 (2) z z
拉斯变换等
.
3
学习方法 复变函数中许多概念、理论、和
方法是实变函数在复数域内的推 广和发展，它们之间有许多相似 之处. 但又有不同之处，在学习 中要善于比较、区别、特别要注 意复数域上特有的性质与结果
.
4
背景
•十六世纪,在解代数方程时引进复数 •为使负数开方有意义，需要扩大数系，使实数域扩 大到复数域
计算
argz(z≠0) 的公式
arg
z
arctan y x
2
arctan
y x
x 0, y R
x 0, y 0
x 0, y 0 x 0, y 0
.
16
当z落于一,四象限时，不变.
当z落于第二象限时，加 . 当z落于第三象限时，减 .
arctayn
2
x2
.
17
.
.
27
.
28
.
29
.
30
§3 复数的乘幂与方根
1. 复数的乘积与商 2. 复数的乘幂 3.复数的方根
.
31
1. 乘积与商
定理1 两个复数乘积的模等于它们的模相乘， 两个复数乘积的辐角等于它们的辐角相加.
.
10
3.共轭复数
定义 若z=x+iy , 称z=x-iy 为z 的共轭复数.
•共轭复数的性质
(conjugate)
(1) (z1z2)z1z2 (2) z z
拉斯变换等
.
3
学习方法 复变函数中许多概念、理论、和
方法是实变函数在复数域内的推 广和发展，它们之间有许多相似 之处. 但又有不同之处，在学习 中要善于比较、区别、特别要注 意复数域上特有的性质与结果
.
4
背景
•十六世纪,在解代数方程时引进复数 •为使负数开方有意义，需要扩大数系，使实数域扩 大到复数域
计算
argz(z≠0) 的公式
arg
z
arctan y x
2
arctan
y x
x 0, y R
x 0, y 0
x 0, y 0 x 0, y 0
.
16
当z落于一,四象限时，不变.
当z落于第二象限时，加 . 当z落于第三象限时，减 .
arctayn
2
x2
.
17
.
.
27
.
28
.
29
.
30
§3 复数的乘幂与方根
1. 复数的乘积与商 2. 复数的乘幂 3.复数的方根
.
31
1. 乘积与商
定理1 两个复数乘积的模等于它们的模相乘， 两个复数乘积的辐角等于它们的辐角相加.
复变函数解读课件
幂级数展开式的应用
幂级数展开式在数学、物理、工程等 领域有广泛的应用，如求解微分方程、
研究函数的奇点和极点等。
洛朗兹级数展开式
洛朗兹级数展开式的定义
01
将复变函数表示为洛朗兹函数的无穷级数形式，可以用于研究
函数的局部行为和性质。
洛朗兹级数展开式的收敛性
02
洛朗兹级数展开式在一定条件下收敛，收敛条件决定了函数的
解析函数的性 质
在解析区域内，解析函数具有无限次 可微性，且满足柯西-黎曼条件。
全纯函数的性质
全纯函数
如果一个复数函数在某个区域内有定义，并且在该区域内可微，则称该函数为全纯函数。
全纯函数的性质
全纯函数具有零点孤立性、增长性、最大值最小值定理等性质。
共轭函数与解析函数的判别
共轭函数
如果一个复数函数的共轭复数也满足解析函 数的条件，则称该函数为共轭函数。
复数的性质
复数具有加法、减法、乘法和除法等 运算性质，满足交换律、结合律和分 配律等基本运算规则。
复数的几何意 义
1 2
3
复平面
复数可以用几何图形表示，通常在直角坐标系中，实部表示 为横轴，虚部表示为纵轴，形成一个二维平面称为复平面。
点的表示
每个复数$z=a+bi$在复平面上对应一个点$(a,b)$。
连续性的性质
连续性具有传递性、局部性等性质，并且满足中值定理。
一致连续与一致收敛
一致连续是指函数在整个定义域上具有连续性，而一致收敛则是 指函数序列在无穷远点处的极限存在。
一致连续与一致收敛
01
一致连续的定义
如果对于任意给定的正数$varepsilon$，存在正数$delta$，使得当两
复变函数ppt课件
1
(7) f (z) e z1
(z 1)2(z 2)2
(8) f (z) sinz3
§5.2 留数(Residue)
1. 留数的定义 2. 留数定理 3. 留数的计算规则
1. 留数的定义
0
f (z)在c所围成的区域内解析
c f (z)dz 未必为0 c所围成的区域内含有f (z)的奇点
由留数定义, Res [f (z), z0]= c–1
(1)
故
1
Re s[ f (z), z0 ] c1 2i
f (z)dz
c
(2)
2. 留数定理
定理 设c是一条简单闭曲线, 函数f (z)在c内有 有限个孤立奇点z1 , z2 ,, zn , 除此以外, f (z) 在c内及c上解析, 则
lim z z0
1 0,令 f (z)
1 f (z0 )
0，则z0是
1 的m级零点. f (z)
“”若z0是
1 的m级零点,则 f (z)
f
1 (z)
(z
z0
)m
(z)
(z) 在z0解析,且 (z0 ) 0
.
当z
z0时，f
(z)
(z
1 z0 )m
1
(z)
(z
1 z0 )m
(z)
f (z) cn (z z0 )n ( cm 0, m 1 )
nm
1
lim z z0
f (z)
f (z)
(z z0 )m
g(z)
其 中: g(z) cm cm1(z z0 ) cm2 (z z0 )2 ,
g(z)在 z z0 内是解析函数且g(z0 ) 0.
例如：
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例如，P127 f (z) 1 在z 0, z 1都不解析, 但在
z(1 z)
圆环域: 0 z 1及0 z 1 1内处处解析.
当0 z 1时,
f (z)
1 z(1 z)
1 z
1
1
z
z
1
1 z
1
z z2
zn
当0 z 1 1时,
f (z)
1 z(1
z)
1 1 z
收敛圆周上.
2. 展开式的唯一性
利用泰勒级数可把解析函数展开成幂级数，这样 的展开式是否唯一？
结论 解析函数展开成幂级数是唯一的，就是它
的Taylor级数.
事实上，设f (z)用另外的方法展开为幂级数:
f (z) a0 a1(z z0 ) a2 (z z0 )2 an (z z0 )n
当z0 0时,Taylor级数为：
f (z) f (0) f '(0)z f ''(0) z2 f (n)(0) zn
2!
n!
函数展开成Taylor级数的方法：
• 代公式 ---直接法 • 由展开式的唯一性，运用级数的代数运算、分
析运算和 已知函数的展开式来展开 ---间接法
3. 简单初等函数的泰勒展开式
e zi
e zi 2i
1 (zi )n
2i
n0
n!
n0
(zi )n n!
1 2i 2k 1z 2k 1 (1)k1 z 2k1
2i k1 (2k 1)!! k1 (2k 1)!!
z 3 z5 z7
(1)k 1 z 2k 1
sin z z
3! 5! 7!
k1 (2k 1)!!
(1)另一方面，因ln(1+z)在从z=-1向左沿负 实轴剪开的平面内解析， ln(1+z)离原点最近的一 个奇点是-1,它的展开式的收敛范围为z<1.
(2)在实数域中
1 1 x2
1
x2
x4
(1)n x 2n
为什么它的收敛半径R 1,在实数域中的不容易
看清楚,在
复数域中容易看出
1
1 z
2
有两个奇点
例1 求f (z) e z , sin z, cos z在z 0的Talor
展开式. (P120)
解 (e z )(n) e z 1 (n 0,1,2, )
z0
z0
ez 1 z z2 z3 zn
2! 3!
n!
ez在复平面上解析
该 级 数 的 收 敛 半 径R .
sinz
且 满 足C R方 程 。 (3) f (z)在 点z0的 某 一 邻 域 内 连 续 且 沿邻 域 内 的 任 一 条
正 向 封 闭 路 线 的 积 分 为0。 (4) f (z)在 点z0的 某 一 邻 域 内 可 展 成 幂级 数 。
第十次课 11月26日
R cR
?
§4 罗朗(Laurent)级数
以下定理给出了肯定回答： 任何解析函数都一定能用幂级数表示.
定理（泰勒展开定理）
设f (z)在 区 域D内 解 析, z0 D, R为z0到D的 边 界 上 各 点 的 最 短 距 离 当 z z0 R时,
f (z) cn(z z0 )n
n0
(1)
f (z)在z0处 的Taylor级数
其 中: cn
又 cos z (sinz)'
1 z 2 z4 (1)n z 2n
2! 4!
(2n)!
sinz,cos z在全平面上解析，它们的半径R
上述求sinz, cosz展开式的方法即为间接法.
例2 把下列函数展开成 z 的幂级数:
1
1
(1) f (z) 1 z
(2) f (z) (1 z)2
(不讲)z为k内任一点,由Cauchy 积分公式 :
f (z) 1 f ( ) d z z0 q 1,
2i k z
z0
1
1
1
1
z z0 (z z0 ) z0 1 z z0
1
[1
z z0
( z z0
)2
z0
z0 z0 z0
( z z0 )n ] (3)
定义 形如
cn(z z0 )n cn(z z0 )n c1(z z0 )1
n
c0 c1(z z0 ) cn (z z0 )n (1)
其中z0及cn (n 0,1,2, )都是常数 ---双边幂级数 正幂项(包括常数项)部分：
cn (z z0 )n c0 c1(z z0 ) cn (z z0 )n (2)
区域即圆环域：R1 z z0 R2，此时，
称 cn(z z0 )n收敛,且和s(z) s(z) s(z)。
n
R2
R1
R1
z0
R2
z0
R1 R2 有公共收敛域
R1 R2 无公共收敛域
(1)当R1 R2时，称 cn(z z0 )n处处发散。 n
(2)在圆环域的边界z - z0=R1, z - z0=R2上,
证明 (不讲)
(1) 若f (z)有奇点, 那么f (z)在解析点 z0的Talor展开式的收敛半径R等于从z0到
f (z)的最近的一个奇点之间的距离,即, R z0
(2) 在收敛圆上,这是因为f (z)在收敛 圆 内 解 析, 所 以 奇 点不 可 能 在 收 敛 圆 内 . 又 奇点不可能在收敛圆外,不然的话, 收敛半径还可以扩大,因此,奇点只能在
§3 泰勒(Taylor)级数
1. 泰勒展开定理 2. 展开式的唯一性 3. 简单初等函数的泰勒展开式
1. 泰勒(Taylor)展开定理
由§2幂级数的性质知:一个幂级数的和函数在 它的收敛圆内部是一个解析函数.
现在研究与此相反的问题： 一个解析函数能否用幂级数表达? (或者说,一个解析函数能否展开成幂级数? 解析函 数在解析点能否用幂级数表示？）
则 f (z0 ) a0，再由幂级数的逐项求导性质得，
f '(z) a1 2a2 (z z0 ) nan (z z0 )n1 f '(z0 ) a1
, 依此 类推 得，an
1 n!
f
(n) (z0 )
n 0,1,2,
由此可见，任何解析函数展开成幂级数就是Talor 级数，因而是唯一的.
2i
k n0 (
f
(
z0
) )n1
(
z
z0
)n
d
1)
D
z0
z
k
又f
(z)
1
2i
k
f
( )
z
d
2)
比较1),2)有，f ( )
z
n0 (
f
(
z0
) )n1
(
z
z0
)n
(*)
z z0 q 1,
z0
注意到 1
1
1
1,
z z0 (z z0 ) z0 1 z z0
cn(z z0 )n可能有些点收敛，有些点发散。
n
可以
可以
(3)R1 0 R2 ，此时，
收敛域为：0 z z0
(4)级数 cn (z z0 )n在R1 z z0 R2内的 n
和函数是解析的而且可以逐项求积和逐项求导.
3. 函数展开成双边幂级数
定理 设f (z)在D : R1 z z0 R2内解析,则
(z
z0
)n
(4)
函 数f (z)在z0处 的Talor级 数
级 数(4)的 收 敛 范 围 是 以z0为 中 心 ，r为 半 径
的 圆 域 z0 r,圆k的 半 径r可 以 任 意 增 大,
只 要 圆k及 其 内 部 包 含 在D内 即 可, f (z)在 解 析 点z0处 的Taylor级 数 收 敛 半 径 至 少 等 于 从z0到D的 边 界 上 各 点 的 最 短 距离.证 毕!
c1(z z0 ) cn (z z0 )n
本节将讨论在以z 0为中心的圆环域内解析 的函数的级数表示法.它是后面将要研究的解 析函数在孤立奇点邻域内的性质以及定义留数 和计算留数的基础.
1. 预备知识
Cauchy 积分公式的推广到复连通域 ---见第三章第18题P101
设f (z)在D : R1 z z0 R2内
1. 预备知识 2. 双边幂级数 3. 函数展开成双边幂级数 4. 展开式的唯一性
由§3 知, f (z) 在 z0 解析，则 f (z)总可以在z0 的某一个圆域 z - z0<R 内展开成 z - z0 的幂级数. 若 f (z) 在 z0 点不解析，在 z0的邻域中就不可能展开成 z - z0 的幂级数，但如果在圆环域 R1<z - z0<R2 内解析， 那么，f (z)能否用级数表示呢？
n0
负幂项部分：
cn(z z0 )n c1(z z0 )1 cn(z z0 )n (3)
n1
级数(2)是一幂级数，设收敛半径为R2 ， 则级数在 z - z0=R2 内收敛，且和为s(z)+; 在z - z0=R 2外发散.
对于级数(3), 若令 1 ,则
z z0
cn (z z0 )n cn n c1 c2 2 cn n (4)
(3) f (z) ln(1 z)
解 (1) 1 1 z z2 zn z 1 1 z
1 1 1 z (1)n zn z 1 1 z 1 (z)
(2)由幂级数逐项求导性质得：
1
(1 z)2
d dz
1
1
z
d dz
1
z z2
(1)n1 zn
z(1 z)
圆环域: 0 z 1及0 z 1 1内处处解析.
当0 z 1时,
f (z)
1 z(1 z)
1 z
1
1
z
z
1
1 z
1
z z2
zn
当0 z 1 1时,
f (z)
1 z(1
z)
1 1 z
收敛圆周上.
2. 展开式的唯一性
利用泰勒级数可把解析函数展开成幂级数，这样 的展开式是否唯一？
结论 解析函数展开成幂级数是唯一的，就是它
的Taylor级数.
事实上，设f (z)用另外的方法展开为幂级数:
f (z) a0 a1(z z0 ) a2 (z z0 )2 an (z z0 )n
当z0 0时,Taylor级数为：
f (z) f (0) f '(0)z f ''(0) z2 f (n)(0) zn
2!
n!
函数展开成Taylor级数的方法：
• 代公式 ---直接法 • 由展开式的唯一性，运用级数的代数运算、分
析运算和 已知函数的展开式来展开 ---间接法
3. 简单初等函数的泰勒展开式
e zi
e zi 2i
1 (zi )n
2i
n0
n!
n0
(zi )n n!
1 2i 2k 1z 2k 1 (1)k1 z 2k1
2i k1 (2k 1)!! k1 (2k 1)!!
z 3 z5 z7
(1)k 1 z 2k 1
sin z z
3! 5! 7!
k1 (2k 1)!!
(1)另一方面，因ln(1+z)在从z=-1向左沿负 实轴剪开的平面内解析， ln(1+z)离原点最近的一 个奇点是-1,它的展开式的收敛范围为z<1.
(2)在实数域中
1 1 x2
1
x2
x4
(1)n x 2n
为什么它的收敛半径R 1,在实数域中的不容易
看清楚,在
复数域中容易看出
1
1 z
2
有两个奇点
例1 求f (z) e z , sin z, cos z在z 0的Talor
展开式. (P120)
解 (e z )(n) e z 1 (n 0,1,2, )
z0
z0
ez 1 z z2 z3 zn
2! 3!
n!
ez在复平面上解析
该 级 数 的 收 敛 半 径R .
sinz
且 满 足C R方 程 。 (3) f (z)在 点z0的 某 一 邻 域 内 连 续 且 沿邻 域 内 的 任 一 条
正 向 封 闭 路 线 的 积 分 为0。 (4) f (z)在 点z0的 某 一 邻 域 内 可 展 成 幂级 数 。
第十次课 11月26日
R cR
?
§4 罗朗(Laurent)级数
以下定理给出了肯定回答： 任何解析函数都一定能用幂级数表示.
定理（泰勒展开定理）
设f (z)在 区 域D内 解 析, z0 D, R为z0到D的 边 界 上 各 点 的 最 短 距 离 当 z z0 R时,
f (z) cn(z z0 )n
n0
(1)
f (z)在z0处 的Taylor级数
其 中: cn
又 cos z (sinz)'
1 z 2 z4 (1)n z 2n
2! 4!
(2n)!
sinz,cos z在全平面上解析，它们的半径R
上述求sinz, cosz展开式的方法即为间接法.
例2 把下列函数展开成 z 的幂级数:
1
1
(1) f (z) 1 z
(2) f (z) (1 z)2
(不讲)z为k内任一点,由Cauchy 积分公式 :
f (z) 1 f ( ) d z z0 q 1,
2i k z
z0
1
1
1
1
z z0 (z z0 ) z0 1 z z0
1
[1
z z0
( z z0
)2
z0
z0 z0 z0
( z z0 )n ] (3)
定义 形如
cn(z z0 )n cn(z z0 )n c1(z z0 )1
n
c0 c1(z z0 ) cn (z z0 )n (1)
其中z0及cn (n 0,1,2, )都是常数 ---双边幂级数 正幂项(包括常数项)部分：
cn (z z0 )n c0 c1(z z0 ) cn (z z0 )n (2)
区域即圆环域：R1 z z0 R2，此时，
称 cn(z z0 )n收敛,且和s(z) s(z) s(z)。
n
R2
R1
R1
z0
R2
z0
R1 R2 有公共收敛域
R1 R2 无公共收敛域
(1)当R1 R2时，称 cn(z z0 )n处处发散。 n
(2)在圆环域的边界z - z0=R1, z - z0=R2上,
证明 (不讲)
(1) 若f (z)有奇点, 那么f (z)在解析点 z0的Talor展开式的收敛半径R等于从z0到
f (z)的最近的一个奇点之间的距离,即, R z0
(2) 在收敛圆上,这是因为f (z)在收敛 圆 内 解 析, 所 以 奇 点不 可 能 在 收 敛 圆 内 . 又 奇点不可能在收敛圆外,不然的话, 收敛半径还可以扩大,因此,奇点只能在
§3 泰勒(Taylor)级数
1. 泰勒展开定理 2. 展开式的唯一性 3. 简单初等函数的泰勒展开式
1. 泰勒(Taylor)展开定理
由§2幂级数的性质知:一个幂级数的和函数在 它的收敛圆内部是一个解析函数.
现在研究与此相反的问题： 一个解析函数能否用幂级数表达? (或者说,一个解析函数能否展开成幂级数? 解析函 数在解析点能否用幂级数表示？）
则 f (z0 ) a0，再由幂级数的逐项求导性质得，
f '(z) a1 2a2 (z z0 ) nan (z z0 )n1 f '(z0 ) a1
, 依此 类推 得，an
1 n!
f
(n) (z0 )
n 0,1,2,
由此可见，任何解析函数展开成幂级数就是Talor 级数，因而是唯一的.
2i
k n0 (
f
(
z0
) )n1
(
z
z0
)n
d
1)
D
z0
z
k
又f
(z)
1
2i
k
f
( )
z
d
2)
比较1),2)有，f ( )
z
n0 (
f
(
z0
) )n1
(
z
z0
)n
(*)
z z0 q 1,
z0
注意到 1
1
1
1,
z z0 (z z0 ) z0 1 z z0
cn(z z0 )n可能有些点收敛，有些点发散。
n
可以
可以
(3)R1 0 R2 ，此时，
收敛域为：0 z z0
(4)级数 cn (z z0 )n在R1 z z0 R2内的 n
和函数是解析的而且可以逐项求积和逐项求导.
3. 函数展开成双边幂级数
定理 设f (z)在D : R1 z z0 R2内解析,则
(z
z0
)n
(4)
函 数f (z)在z0处 的Talor级 数
级 数(4)的 收 敛 范 围 是 以z0为 中 心 ，r为 半 径
的 圆 域 z0 r,圆k的 半 径r可 以 任 意 增 大,
只 要 圆k及 其 内 部 包 含 在D内 即 可, f (z)在 解 析 点z0处 的Taylor级 数 收 敛 半 径 至 少 等 于 从z0到D的 边 界 上 各 点 的 最 短 距离.证 毕!
c1(z z0 ) cn (z z0 )n
本节将讨论在以z 0为中心的圆环域内解析 的函数的级数表示法.它是后面将要研究的解 析函数在孤立奇点邻域内的性质以及定义留数 和计算留数的基础.
1. 预备知识
Cauchy 积分公式的推广到复连通域 ---见第三章第18题P101
设f (z)在D : R1 z z0 R2内
1. 预备知识 2. 双边幂级数 3. 函数展开成双边幂级数 4. 展开式的唯一性
由§3 知, f (z) 在 z0 解析，则 f (z)总可以在z0 的某一个圆域 z - z0<R 内展开成 z - z0 的幂级数. 若 f (z) 在 z0 点不解析，在 z0的邻域中就不可能展开成 z - z0 的幂级数，但如果在圆环域 R1<z - z0<R2 内解析， 那么，f (z)能否用级数表示呢？
n0
负幂项部分：
cn(z z0 )n c1(z z0 )1 cn(z z0 )n (3)
n1
级数(2)是一幂级数，设收敛半径为R2 ， 则级数在 z - z0=R2 内收敛，且和为s(z)+; 在z - z0=R 2外发散.
对于级数(3), 若令 1 ,则
z z0
cn (z z0 )n cn n c1 c2 2 cn n (4)
(3) f (z) ln(1 z)
解 (1) 1 1 z z2 zn z 1 1 z
1 1 1 z (1)n zn z 1 1 z 1 (z)
(2)由幂级数逐项求导性质得：
1
(1 z)2
d dz
1
1
z
d dz
1
z z2
(1)n1 zn