八年级上册数学——分式

八年级上册数学分式计算题
一、分式化简求值
1. 化简并求值：公式，其中公式。

解析：
- 首先对分子分母进行因式分解：
- 对于分子公式；
- 对于分母公式。

- 然后将原式进行化简：
- 原式公式
- 约分后得到：公式。

- 当公式时，代入化简后的式子：
- 把公式代入公式，得到公式。

2. 化简求值：公式，其中公式。

解析：
- 先对分子分母因式分解：
- 分子公式；
- 分母公式。

- 然后化简式子：
- 原式公式。

- 当公式时：
- 代入化简后的式子得：公式。

二、分式的加减运算
1. 计算：公式。

解析：
- 先通分，找到两个分式分母的最简公分母为公式。

- 对两个分式进行通分变形：
- 公式；
- 公式。

- 然后进行减法运算：
- 原式公式。

2. 计算：公式。

解析：
- 先对分母进行因式分解，公式。

- 通分，最简公分母为公式。

- 公式；
- 公式。

- 进行加法运算：
- 原式公式。

三、分式的乘除运算
1. 计算：公式。

解析：
- 先对分子分母因式分解：
- 分子公式； - 分母公式。

- 然后将除法转化为乘法：
- 原式公式。

- 约分得到：
- 原式公式。

2. 计算：公式。

解析：
- 对分子分母因式分解：
- 分子公式； - 分母公式。

- 然后进行乘法运算：
- 原式公式。

内容 基本要求略高要求较高要求分式的概念 了解分式的概念，能确定分式有意义的条件能确定使分式的值为零的条件分式的性质 理解分式的基本性质，并能进行简单的变型能用分式的性质进行通分和约分分式的运算 理解分式的加、减、乘、除运算法则会进行简单的分式加、减、乘、除运算，会运用适当的方法解决与分式有关的问题一、比例的性质： ⑴ 比例的基本性质：a cad bc b d=⇔=，比例的两外项之积等于两内项之积. ⑵ 更比性（交换比例的内项或外项）： ( ) ( ) ( )a bc d a c d cb d b a d bc a ⎧=⎪⎪⎪=⇒=⎨⎪⎪=⎪⎩交换内项 交换外项 同时交换内外项⑶ 反比性（把比例的前项、后项交换）：a c b db d a c=⇒=⑷ 合比性：a c a b c d b d b d ±±=⇒=，推广：a c a kb c kdb d b d±±=⇒=（k 为任意实数） ⑸ 等比性：如果....a c m b d n ===，那么......a c m ab d n b+++=+++（...0b d n +++≠）二、基本运算分式的乘法：a c a cb d b d⋅⋅=⋅分式的除法：a c a d a db d bc b c⋅÷=⨯=⋅乘方：()n nn nn a a aa a aa ab b bb b bb b ⋅=⋅=⋅个个n 个＝(n 为正整数) 整数指数幂运算性质：⑴m n m n a a a +⋅=(m 、n 为整数) ⑵()m n mn a a =(m 、n 为整数) ⑶()n n n ab a b =(n 为整数)知识点睛中考要求分式的化简求值（1）⑷m n m n a a a -÷=(0a ≠，m 、n 为整数) 负整指数幂：一般地，当n 是正整数时，1n n a a-=(0a ≠)，即n a -(0a ≠)是n a 的倒数 分式的加减法法则：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减，a b a bc c c+±=异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式再加减，a c ad bc ad bcb d bd bd bd±±=±=分式的混合运算的运算顺序：先算乘方，再算乘除，后算加减，如有括号，括号内先算．结果以最简形式存在.一、化简后直接代入求值【例1】 先化简再求值：2111x x x---，其中2x = 【考点】化简后直接代入求值 【难度】2星 【题型】解答【关键词】2010年，湖南郴州【解析】原式()()111x x x x x =---()111x x x x-==-当2x =时，原式112x ==【答案】12【例2】 已知：2221()111a a a a a a a ---÷⋅-++，其中3a =【考点】化简后直接代入求值 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】【解析】222221(1)()4111(1)a a a a a a a a a ---+÷⋅=-=--++-【答案】4-【巩固】先化简，再求值：22144(1)1a a a a a-+-÷--，其中1a =- 【考点】化简后直接代入求值 【难度】2星 【题型】解答【关键词】2010年，安徽省中考例题精讲【解析】()2221144211122a a a a a a a a a a a a --+-⎛⎫-÷=⋅= ⎪----⎝⎭- 当1a =-时，原式112123a a -===---【答案】13【例3】 先化简，再求值：211(1)(2)11x x x -÷+-+-，其中x =【考点】化简后直接代入求值 【难度】2星 【题型】解答【关键词】2010年，湖北省十堰市中考试题【解析】原式()()()111121x x x x x +-=⋅+-+-+ ()()12x x x =-+-22x =-当x 时，原式224=-=．【答案】4【例4】 先化简，后求值：22121(1)24x x x x -++÷--，其中5x =-． 【考点】化简后直接代入求值 【难度】2星 【题型】解答【关键词】2010年，广东省肇庆市中考试题【解析】22121(1)24x x x x -++÷--=221(1)2(2)(2)x x x x x -+-÷-+- =21(2)(2)2(1)x x x x x -+-⋅-- =21x x +- 当5-=x 时，原式21x x =+-521512+-=-=-. 【答案】12【巩固】先化简，再计算：231124a a a +⎛⎫+÷ ⎪--⎝⎭，其中3a =． 【考点】化简后直接代入求值 【难度】2星 【题型】解答【关键词】2010年，湖南省岳阳市中考试题【解析】原式2223221a a a a a a +--⎛⎫=+⨯⎪--+⎝⎭()()22121a a a a a +-+=⨯-+ 2a =+【答案】2a +【例5】 当12x =-时，求代数式22226124111x x x x x x x x ⎛⎫++-+-+÷ ⎪--+⎝⎭的值 【考点】化简后直接代入求值【难度】3星 【题型】解答 【关键词】【解析】原式2224(1)1(1)(1)2413x x x x x x x x x x -++=⨯==+--+- 【答案】13【例6】 先化简分式22222936931a a a a a a a a a ---÷-+-+-，然后在0，1，2，3中选一个你认为合适的a 值，代入求值．【考点】化简后直接代入求值 【难度】2星 【题型】解答【关键词】2010年，广东省深圳市中考试题【解析】原式()()()()223332313a a a a a a a a a a a a +-+-=⋅-=+=--+ 当0123a =，，，时，原式0246=，，， 【答案】0，2，4，6【巩固】先化简：22222a b ab b a a ab a⎛⎫-+÷+ ⎪-⎝⎭，当1b =-时，再从22a -<<的范围内选取一个合适的整数a 代入求值．【考点】化简后直接代入求值 【难度】2星 【题型】解答【关键词】2010年，贵州省贵阳市中考试题【解析】原式()()()()22221a b a b a ab b a b a a a b a a a ba b +-+++=÷=⋅=-++在22a -<<中，a 可取的整数为101-，，，而当1b =-时，①若1a =-，分式222a b a ab--无意义；②若0a =，分式22ab b a +无意义；③若1a =，分式1a b+无意义． 所以a 在规定的范围内取整数，原式均无意义（或所求值不存在）【答案】a 在规定的范围内取整数，原式均无意义（或所求值不存在）【巩固】已知212242xA B C x x x ===--+，，将它们组合成()A B C -÷或A B C -÷的形式，请你从中任选一种进行计算，先化简，再求值其中3=x ． 【考点】化简后直接代入求值 【难度】3星 【题型】解答【关键词】2010年，河南省中考试题【解析】选一：()()()21221242222x x x A B C x x x x x x x +⎛⎫-÷=-÷=⨯= ⎪--++--⎝⎭ 当3x =时，原式1132==- 选二：()21212124222x A B C x x x x x x x -÷=-÷=-=--+--，当3x =时，原式13=【答案】选一：当3x =时，原式1132==- 选二：当3x =时，原式13=【例7】 先化简，再求值:224125(2)2[2()](34)(2)a a a a a a a a +++÷--÷-+，其中4a =【考点】化简后直接代入求值【难度】3星 【题型】解答 【关键词】【解析】原式2224(3)5(2)(2)[2](34)(2)a a a a a a a a +++=÷--÷-+4(3)(2)(2)5(34)(2)2a a a a a a +-+-=÷-++ 4(3)2(34)(2)(3)(3)a a a a a a ++=⋅-+-+4(34)(3)a a =-- 当4a =时，原式441(34)(3)(344)(43)2a a ===--⨯--本题含分式乘方、加、减、乘、除混合运算；与分式四则混合运算类似，分式的四则混合运算 的顺序是:先算乘方，再算乘除，后算加减，如有括号，括号内先算． 【答案】12【例8】 已知22a b ==a bb a-的值． 【考点】化简后直接代入求值 【难度】2星 【题型】解答【关键词】2010年，湖北荆门市中考试题【解析】∵22a b =+=∴4a b +=，a b -=，1ab =而a b b a -22()()a b a b a b ab ab -+-==∴a b b a -=()()a b a b ab+-==【答案】【例9】 先化简，再求值：()()x yy x y x x y -++，其中11x y ==，． 【考点】化简后直接代入求值 【难度】2星 【题型】解答【关键词】2010年，湖南湘潭市中考试题【解析】原式()()22x y xy x y xy x y =-++ ()22x y xy x y -=+()()()x y x y xy x y -+=+x y xy-=当 11x y ==，时，11221x yxy--=== 【答案】2【例10】 化简，再求值：11-a b b a ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭ab a b ÷+.其中1a =, b =. 【考点】化简后直接代入求值 【难度】3星 【题型】解答【关键词】2010年，黄石市中考试题【解析】原式()()()()()2b a a b a b a b b a ab a b b++-+=⋅=-+-∵1a b ==，∴原式1b ==，∴=【巩固】先化简，再求值：22112b a b a b a ab b⎛⎫-÷ ⎪-+-+⎝⎭，其中11a b ==-【考点】化简后直接代入求值 【难度】3星 【题型】解答【关键词】2010年，宣武一模试题【解析】原式()()()()()()22a b a b a b a b a b a b b a b+----=⋅=-++当11a b ==-==【答案】【例11】 先化简，再求值：22211x yx y x y x y ⎛⎫+÷ ⎪-+-⎝⎭，其中11x y ==， 【考点】化简后直接代入求值 【难度】3星 【题型】解答【关键词】2010年，广西桂林中考试题 【解析】原式2222222x y x y x yx y x y x y ⎛⎫+-=+÷ ⎪---⎝⎭ 22222x y x y x y x y x y++--=⨯- 222x x y xy==当11x y ==，原式22131xy====-【答案】1【例12】 求代数式()()22222222222a b c a b c ab ac a a ab ab a b a b -----+⋅÷-++-的值，其中1a =，12b =-，23c =- 【考点】化简后直接代入求值 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】【解析】()()22222222222a b ca b c ab ac a a ab ab a b a b -----+⋅÷-++-()()()()2a b c a a b c a b c a b a b a a b a b c a b c a b -+-+--+-=⋅⋅-+--++a b ca b --=+． ∴当1a =，12b =-，23c =-时，原式12123112++=-1313263=⨯=． 【答案】133二、条件等式化简求值1. 直接换元求值【例13】 已知：2244a b ab +=（0ab ≠），求22225369a b a b ba b a ab b a b--÷-++++的值． 【考点】直接换元求值（分式） 【难度】3星 【题型】解答【关键词】2010年，石景山二模【解析】由2244a b ab +=得2b a =原式2a ba b-=+当2b a =时，原式42a aa a-=+1=-【答案】1-【例14】 已知：34x y =，求2222222x y xy y x xy y x xy -+÷-+-的值【考点】直接换元求值（分式）【难度】3星 【题型】解答 【关键词】【解析】2222222()()()32()()4x y xy y x y x y y x y x x xy y x xy x y x x y y -++-+÷=÷==-+--- 【答案】34【巩固】已知x y z ，，满足235x y z z x ==-+，则52x yy z-+的值为（ ） A.1 B.13C.13-D.12【考点】直接换元求值（分式） 【难度】4星 【题型】选择【关键词】2007年，全国初中数学联赛试题【解析】B ；由235x y z z x ==-+得332y x z x ==，，∴55312333x y x x y z x x --==++ 【答案】13【例15】 已知12=x y ，求2222222-⋅+-++-x x y y x xy y x y x y 的值． 【考点】直接换元求值（分式）【难度】2星 【题型】解答【关键词】2010年，海淀一模【解析】y x y y x y x y xy x x-++-⋅+-2222222 22()()2()x x y x y yx y x y x y -+=⋅++--22()x y x y x y =+--2()()x y x y +=-．当21=y x 时，x y 2=. 原式2(2)6(2)x x x x +==--.【答案】6-【例16】 已知221547280x xy y -+=，求xy的值. 【考点】直接换元求值（分式） 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】【解析】221547280x xy y -+=，∴(37)(54)0x y x y ++=，∴370x y +=或540x y +=，由题意可知:0y ≠，73x y =-或45x y =-. 【答案】45-【巩固】已知22690x xy y -+=，求代数式 2235(2)4x yx y x y+⋅+-的值. 【考点】直接换元求值（分式） 【难度】3星 【题型】解答【关键词】2010年，海淀二模【解析】22690x xy y -+=，2(3)0x y -=．∴ 3x y =． ∴原式35(2)(2)(2)x yx y x y x y +=⋅++-352x yx y +=-3(3)52(3)y yy y+=-145=． 【答案】145【例17】 已知x =，求351x x x ++的值．【考点】条件等式化简求值 【难度】4星 【题型】解答【关键词】降次，整体置换【解析】21x -=21x x =+，0x ≠．则()233245555111x x x x x x x x x x x++++=====【例18】 已知123a b c a c ==++，求ca b+的值． 【考点】直接换元求值（分式） 【难度】4星 【题型】解答【关键词】第8届，华罗庚金杯复赛【解析】23b c a a c a +=⎧⎨+=⎩22b c a c a +=⎧⇒⎨=⎩02b c a =⎧⇒⎨=⎩，所以220c aa b a ==++．【答案】2【例19】 已知22(3)0x y a b -+-=，求32223322232332a x ab y b xya x ab y b xy++++的值．【考点】直接换元求值（分式）【难度】3星【题型】解答【关键词】第9届，华罗庚金杯总决赛1试【解析】由已知可得：2y x =，3a b =，故原式7297=. 【答案】7297【巩固】已知2232a b ab -=，0a >，0b >，求证：252a b a b +=- 【考点】直接换元求值（分式）【难度】4星【题型】解答【关键词】【解析】由已知可得22230a ab b --=，则(3)()0a b a b -+=，所以3a b =或a b =-∵0a >,0b >，∴3a b =，则23255322a hb b b a b b b b ++===-- 【答案】52【巩固】已知分式1x y xy+-的值是m ，如果用x ，y 的相反数代入这个分式，那么所得的值为n ，则m 、n 是什么关系？【考点】直接换元求值（分式）【难度】3星【题型】解答【关键词】 【解析】由题可知：()()()1.1x y m xy x y n x y +⎧=⎪-⎪⎨-+-⎪=⎪---⎩，①② 由②得：11x y x y n m xy xy--+==-=---． ∴m n =-，∴0m n +=．所以m n ，的关系为互为相反数．【答案】m n ，的关系为互为相反数【例20】 已知：233mx y +=，且()22201nx y x y -=≠≠-，．试用x y ，表示m n． 【考点】直接换元求值（分式）【难度】4星【题型】解答【关键词】【解析】∵0x ≠，∴由233mx y +=，得：()()231133y y y m x x +--==．由222nx y -=，得：222122y y n x x ++==． ∵1y ≠-，∴0n ≠， ∴()()()231121y y y m n x x +-+=÷()()()231121y y x x y +-=⋅+()312x y -=． 【答案】()312x y -【例21】 已知：230a b c -+=，3260a b c --=，且0abc ≠，求3332223273a b c ab bc a c-++-的值. 【考点】直接换元求值（分式）【难度】4星【题型】解答【关键词】【解析】由题意可知：2303260a b c a b c -+=⎧⎨--=⎩，解得43a c b c =⎧⎨=⎩，333322233215173453a b c c ab bc a c c -+-==-+- 【答案】13-【巩固】已知方程组:230230x y z x y z -+=⎧⎨-+=⎩(0xyz ≠)，求：::x y z 【考点】直接换元求值（分式）【难度】3星【题型】解答【关键词】【解析】把z 看作已知数，解关于x 、y 的方程组，解得5y z =，7x z =，所以::7:5:1x y z =.【答案】::7:5:1x y z =【例22】 设自然数x 、y 、m 、n 满足条件58x y m y m n ===，求的x y m n +++最小值． 【考点】直接换元求值（分式）【难度】5星【题型】解答【关键词】黄冈市初中数学竞赛 【解析】58x y =，58y m =，85m y =，864525n m y ==，从而y 是825200⨯=的倍数，当200y = 586412520032051211578525x y m n y y y y +++=+++=+++= 【答案】1157【例23】 设有理数a b c ，，都不为0，且0a b c ++=， 则222222222111b c a c a b a b c +++-+-+-的值为___________。

15.3分式方程专题一 解分式方程 1．方程32x 31-x 1+=的解是 ． 2．解分式方程：3x 911x 3x 32-=-+．3．解分式方程：32x ++1x ＝242x x+．专题二 分式方程无解4．关于x 的分式方程211x m x x -=--无解，则m 的值是（ ）A ．1B ．0C ．2D ．–25．若关于x 的方程2222x m x x ++=--无解，则m 的值是______． 6．若关于x 的分式方程2233x m x x -=--无解，则m 的值为__________． 专题三 列分式方程解应用题7．甲、乙两班学生参加植树造林．已知甲班每天比乙班少植2棵树，甲班植60棵树所用天数与乙班植70棵树所用天数相等．若设甲班每天植树x 棵，则根据题意列出方程正确的是（ ）A ．60702x x=+ B ．60702x x =+Ｃ．60702x x =- Ｄ．60702x x =-8．为了改善生态环境，防止水土流失，某村计划在荒坡上种480棵树，由于青年志愿者的支援，每日比原计划多种1，结果提前4天完成任务.原计划每天种多少棵树？39．某校为了进一步开展“阳光体育”活动，计划用2000元购买乒乓球拍，用2800元购买羽毛球拍．已知一副羽毛球拍比一副乒乓球拍贵14元．该校购买的乒乓球拍与羽毛球拍的数量能相同吗？请说明理由．状元笔记【知识要点】1．分式方程分母中含未知数的方程叫做分式方程．2．解分式方程的一般步骤【温馨提示】1．用分式方程中各项的最简公分母乘方程的两边，从而约去分母．但要注意用最简公分母乘方程两边各项时，切勿漏项．2．解分式方程可能产生使分式方程无解的情况，那么检验就是解分式方程的必要步骤．参考答案:1．x=6 解析：去分母，得2x+3＝3(x－1)，解得x＝6，经检验x＝6是原方程的解．所以，原分式方程无解．3．解：方程两边乘x(x+2)，得3x+x+2=4，解得x=21．经检验：x=21是原方程的解．4．A 解析：方程两边成x －1，得x －2（x －1）=m ，解得x=2－m ．∵当x=1时分母为0，方程无解，∴2－m=1，即m=1时，方程无解．故选A ．7．B 解析：设甲班每天植树x 棵，则乙班每天植树（x+2）棵，甲班植60棵树所用的天数为x ，乙班植70棵树所用的天数270+x ，可列方程为x 60=270+x ．故选B ． 8．解：设原计划每天种x 棵树，实际每天种树113x ⎛⎫+⎪⎝⎭棵，根据题意，得 4804804113x x -=⎛⎫+ ⎪⎝⎭．解这个方程，得x=30．经检验x=30是原方程的解且符合题意．答：原计划每天种树30棵．9．解：不能相同．理由如下：设该校购买的乒乓球拍每副x 元，羽毛球拍每副（x ＋14）元，若购买的乒乓球拍与羽毛球拍的数量相同，则1428002000+=x x ，解得x ＝35．经检验x ＝35是原方程的解．但当x ＝35时，74001428002000=+=x x ，不是整数，不合题意． 所以购买的乒乓球拍与羽毛球拍的数量不能相同．别浪费一分一秒——如何利用零散时间学人们常说,时间是公平的,每个人的一天只有24个小时,所以应该珍惜时间去充实自己。

分式计算题分类训练（5种类型50道）【答案】（1）23x ；（2）5ac −【分析】（1）根据分式乘法法则，可得答案；（2）根据分式的除法，除以一个分式等于乘以这个分式的倒数，可得答案；【详解】解：（1）3324423263x y xy y xx y x ⋅==； （2）32233222222254422425105ab a b ab cd ab cd bd ccd c a b a b c ac −÷=⋅=−=−−． 【点睛】本题考查了分式的乘除法，根据法则计算是解题关键． 2442a a a a −++【答案】（1）12；（2）a【分析】（1）由分式的除法运算法则进行计算，即可得到答案； （2）由分式的乘法运算法则进行计算，即可得到答案．【详解】解：（1）原式=21x x +14x x +=12；（2）原式=()22a a a +−()222a a −+=2a a −； 【点睛】本题考查了分式的乘法、除法运算法则，解题的关键是掌握运算法则，正确的进行化简．【答案】（1）2152()ab a b +；（2）2(2)x x y x y +−+ 【分析】（1）先对分子、分母分解因式，再约分，即可求解；（2）先对分子、分母分解因式，再把除法化为乘法，然后约分即可求解．【详解】解：（1）原式=()()()2332510a b a b ab a b a b −⋅−+ =2352ab a b ⋅+ =2152()ab a b +；（2）原式=()()()()22222y x y x x yx x y x y +−−÷++=()()()()22222y x y x x x y x y x y +−+⋅−+ =2(2)x x y x y +−+． 【点睛】本题主要考查分式的乘除法，掌握因式分解以及约分是解题的关键．【答案】（1）2(1)(2)a a a −−+；（2）7m m −+【分析】（1）先把分式的分子分母因式分解，再约分化简即可；（2）先把分式的分子分母因式分解，再除法变乘法，最后约分化简即可．【详解】（1）222441214a a a a a a −+−⋅−+−22(2)1(1)(2)(2)a a a a a −−=⋅−−+ 22(2)(1)(1)(2)(2)a a a a a −−=−−+2(1)(2)a a a −=−+；（2）2211497m m m ÷−−()221(7)749(7)(7)m m m m m m m −=−⋅−=−−+−7mm =−+．【点睛】本题考查分式的乘除运算，一般都是先把分子分母因式分解，最后约分化简．【答案】(1)224a ab+(2)22239x x x --+【分析】（1）根据分式的乘法运算法则进行计算即可；（2）根据除以一个数等于乘以这个数的相反数进行计算即可．【详解】（1）解：22234246a b a b a b ab −⋅− =3a 2b2（a −2b ）∙(a +2b)(a −2b)6ab (2)4a a b += 224a ab =+；（2）2222133218412x x x x x x −+−÷−−2(1)4(3)2(3)(3)3(1)x x x x x x --=×+-- 2(1)3(3)x x x -=+22239x x x --+=．【点睛】本题考查了分式的乘法运算以及除法运算，熟练掌握相关运算法则是解本题的关键．【答案】(1)22b(2)2−【分析】（1）直接根据分式的乘除运算法则解答即可；（2）分式的分子、分母先分解因式，把除法转化为乘法，再约分即可得到答案.【详解】（1）原式2222245353422a b c d d cd ab abc b =⋅⋅=；（2）原式()()()()()2992332993a a a a a a a +−++=⋅⋅=−−−++.【点睛】本题考查了分式的乘除，熟练掌握分式的乘除运算法则是解题的关键.【答案】(1)234a c −；(2)21−−ab b ． 【分析】分式相乘的法则是：用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，并将乘积化为既约分式或整式，作分式乘法时，也可先约分后计算．【详解】（1）解：原式2232162b a a bc a b ⎛⎫− ⎪⎝=⋅⎭⋅ 3221216a b ab c =−234a c =−（2）解：原式()22122()a b ab ab b a −=−⋅⋅−()2222()ab a b b a ab −=−−()1b a b =−−21ab b =−− 【点睛】本题考查分式的乘除运算．分式的除法运算实质上是乘法运算．掌握分式的乘法运算法则是解题关键．【答案】(1)()()()()3242x x x x −++−(2)22aa −+【分析】根据分式的乘除混合计算法则求解即可．【详解】（1）解：原式()()()()()()2232444322x x x x x x x x −+−=⋅⋅+−−+−()()()()3242x x x x −+=+−；（2）解：原式()()()()()211221112a a a a a a a −++−=⋅⋅+−+22aa −=+．【点睛】本题主要考查了分式的乘除混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键．【答案】(1)2a −(2)12x x ++【分析】（1）根据平方差公式，十字相乘法，完全平方公式等进行分解因式，再计算；（2）根据平方差公式，十字相乘法，完全平方公式等进行分解因式，再计算．【详解】（1）原式()()()()()244214222a a a a a a a +−−=⋅⋅+−−−42a a −=−．（2）原式()()()()()()()()2314444322x x x x x x x x x x −−++−=⋅⋅+−−+−12x x +=+． 【点睛】本题考查了分式的乘除混合运算，正确分解因式是关键，属于基础题．【答案】(1)42b a -(2)-2【分析】（1）先将除法转化为乘法，再约分即可得出答案；（2）先利用完全平方公式整理，将除法化为乘法，最后约分即可得出答案．【详解】（2）原式()()()()()2992332993a a a a a a a +−++=⋅⋅=−−−++.【点睛】本题考查了分式的乘除，熟练掌握运算法则是解题的关键．【答案】(1)a b +(2)x y −【分析】（1）根据同分母分式的运算法则计算即可；（2）根据同分母分式的运算法则计算即可．【详解】（1）解：原式()()a b a b a b a b +−==+−．（2）解：原式222x y xy x y x y +=−−− 222x y y x y x −+=−()2x y x y −=−x y =−．【点睛】本题考查了同分母分式的加减法以及平方差公式，熟练掌握同分母分式的加减法法则是解题的关键．【答案】(1)1x +(2)12x y +【分析】（1（2）先将异分母分式化为同分母分式，再进行同分母分式加减运算即可；【详解】（1）原式2221311x x x x x +−=+−−22131x x x x ++−=−22121x x x +−=−()()()2111x x x +=−−11x x −=+； （2）原式()()2222422x y x y x y x y x −++−−+=2224y xy x −−=12x y =+． 【点睛】本题考查了异分母分式相加减的运算，熟练掌握运算法则并你能将异分母分式互为同分母分式是解题的关键．【答案】(1)21m m −(2)224x x −【分析】（1）根据分式与整式的加法进行计算即可求解；（2）根据异分母的加法进行计算即可求解．【详解】（1）解：111m m ++−()()11111m m m m +−=+−−2111m m +−=−21m m =−； （2）解：2242x x x x −−− ()()()2222x x x x x −+=+−22224x x x x −−=−224x x =−．【点睛】本题考查了分式的加减计算，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键．【答案】(1)3a +(2)221212a a a a −−++【分析】（1）先将分子分母能因式分解的进行因式分解，再通分计算即可；（2）先将分子分母能因式分解的进行因式分解，再通分计算即可．【详解】（1）解：22193a a a −−−()()21333a a a a =−+−− ()()()()233333a a a a a a +=−+−+− ()()2333a a a a −−=+− ()()333a a a −=+− 13a =+；（2）解：221121a a a a a a −−++++()()21111a a a a a −−=+++ ()()()()()2211111a a a a a a −−+=+++()()()21211a a a −+=+221212a a a a =−−++．【点睛】本题主要考查了分式的混合运算，解题的关键是掌握分式混合运算的运算顺序和运算法则．【答案】（1）221x −−；（2）2x x −+【分析】（1）根据异分母分式相加减法则，异分母分式相加减，先通分，分母都变为()()11x x +−，变为同分母分式，再加减计算即可；（2）根据异分母分式相加减法则，异分母分式相加减，先通分，使前两项分数的分母都变为()()22x x +−，变为同分母分式，再加减计算，约分化简，再把1−这项写成同分母的形式22x x +−+，再加减计算即可．【详解】（1）原式()()()()111111x x x x x x −+=−+−+−()()()1111x x x x −−+=+−221x −=−；（2）原式()()()()()22412222x x x x x x +=−−+−−+()()()22122x x x −=−+−2222x x x +=−++2x x =−+． 【点睛】本题考查了异分母分式相加减，熟练掌握异分母分式相加减法则是解题的关键．【答案】(1)a b +(2)21m m +【分析】（1）先通分计算括号内，再根据分式的除法法则进行计算即可；（2）先算除法，再通分进行加法运算即可．【详解】（1）解：原式()2222a ab b ab a b a b ab −+=⋅−+()()2a b ab ab b a a b −=⋅+−a ba b −=+；（2）原式()()()()23313321m m m m m m −+=−+⋅+−+111m m =−++ 2111m m −+=+21m m =+．【点睛】本题考查分式的混合运算，解题的关键是掌握分式的混合运算法则，正确的计算．【答案】(1)26m +(2)11x −【分析】（1）通分计算加减法，再约分计算乘除法即可求解； （2）通分计算加减法，再约分计算乘除法即可求解．【详解】（1）解：原式()22224523m m m m m ⎛⎫−=−⋅ ⎪−−−−⎝⎭ ()222923m m m m −−=⋅−−()()()332223m m m m m +−−=⋅−−26m =+；（2）解：原式22121x x x x x x ⎛⎫++=÷− ⎪⎝⎭211x x x x +−=÷()()111x x x x x +=⋅+−11x =− 【点睛】本题考查分式的混合运算．异分母分式的加减运算关键是通分，分式的乘除运算关键是将分子分母因式分解后进行约分．【答案】3x − 【分析】先将括号内的两个式子通分并化简，然后将除法改为乘法，分子分母调换位置，最后再约分，可得最终化简结果．【详解】解：2569122x x x x −+⎛⎫−÷ ⎪++⎝⎭ 22569222x x x x x x +−+⎛⎫=−÷ ⎪+++⎝⎭()23322x x x x −−=÷++()23223x x x x −+=+−g13x =−．【点睛】本题考查了用公式法因式分解、约分、通分、分式的化简等知识点．熟知分式的化简步骤是解题的关键，同时要将结果化为最简分式或整式．【答案】232a a −++【分析】根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，即可求解．【详解】解：22231211a a a a a a −⎛⎫÷−+ ⎪+++⎝⎭ ()()22231111a a a a a a −⎛⎫−=÷− ⎪+++⎝⎭()()()()221221a a a a a a −+=⋅+−+()()12a a a =−++ 232aa a =−++．【点睛】本题主要考查分式的化简，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．【答案】1 【分析】通分，计算括号内，再将除法变成乘法，约分即可．【详解】解：原式()()2a ab a b a a b −−=⋅−1=．【点睛】本题考查分式的混合运算．熟练掌握相关运算法则，是解题的关键．【答案】2241x xx ++【分析】再括号外的分式2乘法运算即可化简原式．【详解】解：231111x x x x x x ⎛⎫⋅ ⎭−⎝−−++⎪ ()()()()()()31111111x x x x x x x x x +−−−+=⋅−++22331x x x x x +−+=+2241x x x +=+．【点睛】本题考查分式的混合运算，熟练掌握分式的混合运算法则并正确求解是解答的关键．【答案】1aa −【分析】先计算括号里边的式子，通分化成同分母的分式相加，再计算除法运算即可． 【详解】解：+⎛⎫+÷ ⎪−−−+⎝⎭2a 11a a 1a 1a 2a 1=（a +1a −1+1(a −1)2）÷a a −1=a 2(a−1)2÷a a−1 =a 2(a−1)2×a−1a 1aa =−．【点睛】此题考查学生分式运算，以及完全平方公式、平方差公式的运用，解答此题的关键是把分式化到最简．【答案】26x + 【分析】先通分括号内的式子，然后将括号外的除法转化为乘法，再约分即可．【详解】解：532224x x x x −⎛⎫+−÷ ⎪−−⎝⎭ ()()()2252223x x x x x +−−−=⋅−− ()222923x x x x −−=⋅−− ()()()332223x x x x x +−−=⋅−− ()23x =+ 26x =+．【点睛】本题考查分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．【答案】2x +，1．【分析】首先把括号内的分式进行通分、相减，把除法转化为乘法，即可化简，最后代入数值计算即可．【详解】解：原式()22121x x x x +−=⨯+− 2x =+，当=1x −时，原式121=−+=．【点睛】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式混合运算顺序和运算法则．【答案】1x −，4 【分析】先计算括号内加法，再计算除法即可得到化简结果，再把字母的值代入计算即可．【详解】解：22121124x x x x −+⎛⎫+÷ ⎪−−⎝⎭ 222121224x x x x x x −−+⎛⎫=+÷ ⎪−−−⎝⎭()()()211222x x x x x −−=÷−+− ()()()222121x x x x x +−−=⋅−− 21x x +=− 当3x =−时， 原式32113144−+−===−−− 【点睛】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键．【答案】1x −，2−(答案不唯一) 【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后从1−，0，1和2中选一个使得原分式有意义的值代入化简后的式子，即可解答本题．【详解】解： 原式211(2)(2)1(2)x x x x x −−+−=⋅−−2212x x x x −+=⋅−−21x x +=−，∵1x ≠，2x ≠±∴当0x =时，原式02201+==−−(答案不唯一)．【点睛】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是掌握分式混合运算法则．【答案】2，当2m =时，值为12−【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选取合适的m 的值代入进行计算即可．【详解】解：22221369m m m m −⎛⎫+÷ ⎪−−+⎝⎭()()2323321m m m m −+−=⋅−−()()231321m m m m −−=⋅−−32m −=， 3010m m −≠−≠，，31m m ∴≠≠，，∴当2m =时，原式23122−==−【点睛】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键．【答案】3a b −+，11− 【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再求出a 、b 的值代入进行计算即可．【详解】解：原式()()()()2232251=222a b a b a b b a a b a b a b a ⎡⎤−+−÷−−⎢⎥−−−⎣⎦ ()()()2222531=224a b a b a a b a b a b −−−÷−−−()()222321=29a b a b a a b a b a −−−−⋅−()()()()23321=32a b a b a a b a b a b a −−+−−−⋅()31=3a b a a b a −−+ ()()()=3333b a b a a b a b a a +−++− 23a b =−+， 解方程组51a b a b +=⎧⎨−=−⎩得23a b =⎧⎨=⎩，当2,3a b ==时，原式有意义，∴原式2223311=−=−+⨯．【点睛】本题考查了分式的化简求值，掌握分式混合运算的法则是解题的关键．【答案】4【分析】根据2222244x y x y A x xy y x y −+=⋅+++，即可化简求值． 【详解】解：∵2222244x y x y A x xy y x y −+÷=+++ ∴()()()22222224422x y x y x y x y x y x y A x xy y x y x y x y x y +−−++−=⋅=⋅=++++++ 当2,1x y ==时，2112214A −==+⨯ 【点睛】本题考查分式的化简求值．将分子分母正确的进行因式分解是解题关键．【答案】2a +，5【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后从2−，2，3中选取一个使得原分式有意义的值代入化简后的式子即可． 【详解】解：22224a a a a a ⎛⎫−÷ ⎪−−⎝⎭ ()()22222222a a a a a a a a +−⎛⎫−=−⨯ ⎪−−⎝⎭()()22222a a a a a +−=⋅−2a =+，∵要使分式有意义，a 不能取0和2±，∴当3a =时，原式325=+=．【点睛】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式除法和减法的运算法则．【答案】26x −−；6− 【分析】直接将括号里面通分运算，再利用分式的混合运算法则化简得出答案．【详解】解：233139x x x +⎛⎫+÷ ⎪−−⎝⎭ ()()333333x x x x x ++−=÷−+− ()()33363x x x +−=−⋅− ()23x =−+26x =−−，当()()330x x +−=，即3x =或3x =−时，分式没有意义，当0x =时，原式266x =−−=−．【点睛】此题主要考查了分式的化简求值，正确掌握分式的混合运算是解题关键．【答案】()122x −；14042【分析】先根据分式混合运算法则进行化简，然后再代入数据求值即可． 【详解】解：2142422x x x x x +⎛⎫+÷ ⎪+−+⎝⎭ ()2142222x x x x x ⎡⎤++÷⎢⎥+−+⎣⎦=()()()()()()224222222222x x x x x x x x x ⎡⎤−++÷⎢⎥+−+−⎣⎦++= ()()22422224x x x x x ++=⋅+−+()122x =−，当2023x =时，原式()112202324042==⨯−．【点睛】本题主要考查了分式化简求值，解题的关键是熟练掌握分式混合运算法则，准确计算．【答案】3a +【分析】先根据分式的加法法则进行计算，再根据分式的除法法则把除法变成乘法，算乘法，最后代入求出答案即可．【详解】解：()()()()23333233231339323323a a a a a a a a a a a a a a a a −+−+−+−−⎛⎫+÷=⋅=⋅=+ ⎪−−−−−−⎝⎭，当3=a 时，原式33=+=【点睛】本题考查了分式的化简求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键．【答案】(1)无解(2)无解【分析】（1）去分母，化为整式方程求解，注意检验；（2）去分母，化为整式方程求解，注意检验；【详解】（1）解：2216124x x x ++=−−−，两边同时乘以2(4)−x ，得22(2)16(4)x x −++=−−， 44164x −−+=，2x =，2x =时，240x −=∴原方程无解．（2）解：两边同时乘以2(9)x −，得32(3)12x x −++=，39x =，3x =，3x =时，290x -=∴原方程无解．【点睛】本题考查分式方程的求解；掌握分式方程的求解步骤，注意检验是解题的关键．【答案】(1) 1.5x =(2)无解【分析】（1）先去分母变分式方程为整式方程，然后解整式方程，最后对方程的解进行检验即可；（2）先去分母变分式方程为整式方程，然后解整式方程，最后对方程的解进行检验即可．【详解】（1）解：2111x x x +=−−， 去分母得：12x x +−=，移项合并同类项得：23x =，系数化为1得： 1.5x =，检验：把 1.5x =代入1x −得：1.510.50−=≠，∴ 1.5x =是原方程的解．（2）解：2216124x x x −−=+−，去分母得：()222164x x −−=−，去括号得：2244164x x x −+−=−，移项合并同类项得：48x −=，系数化为1得：2x =−，检验：把2x =−代入得：()2240−−=，∴2x =−是原方程的增根，∴原方程无解． 【点睛】本题主要考查了解分式方程，解题的关键是熟练掌握解分式方程的一般步骤，准确计算，注意最后要对方程的解进行检验．【答案】(1)4x =；(2)原分式方程无解．【分析】（1）方程两边乘以最简公分母()22x x −，把分式方程转化成整式方程求解即可； （2）方程两边乘以最简公分母()()22x x +−，把分式方程转化成整式方程求解即可．【详解】（1）解：()21522x x x x +=−， 方程两边同乘()22x x −，得482510x x −+=−，解得：4x =，检验：当4x =时，()22160x x −=≠，4x ∴=是原方程的解，∴原方程的解为4x =；（2）解：2224162424x x x x x −++=+−−，()()()()2221622222x x x x x x +−−=+−+−，()()22162222x x x x x x −+−=+−+−，方程两边都乘()()22x x +−，得：()()222216x x −−+=，解得：2x =−，检验：当2x =−时，()()220x x +−=，∴2x =−是增根，即原分式方程无解．【点睛】本题考查解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法是解题的关键． ） ）．【答案】见解析【详解】解：（1），去分母，方程两边同时乘以x （x ﹣1），得：x2﹣2（x ﹣1）=x （x ﹣1），x2﹣2x+2=x2﹣x ，﹣x=﹣2，x=2，经检验：x=2是原分式方程的解；（2）去分母，方程两边同时乘以x2﹣1，得：（x+1）2﹣4=x2﹣1，x2+2x+1﹣4=x2﹣1，2x=2，x=1，经检验：x=1不是原分式方程的解，原分式方程无解．【点评】本题是解分式方程，明确解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论；注意去分母时，要同时乘以所有分母的最简公分母，解分式方程时，一定要检验．【答案】(1)1x =(2)2x =【分析】（1）两分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解；（2）两分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．【详解】（1）去分母，得32x x +−−，解，得1x =，经检验知1x =是分式方程的解；（2）原方程变形得()()23111111x x x x +=+−+− 去分母，得()()213111x x −++=， 解，得2x =，经检验知2x =是原方程的解．【点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．。

分 式一、概念：定义1：整式A 除以整式B ，可以表示成BA的形式。

如果除式．．B ．中含有分母．．．．．，那么称BA为分式。

（对于任何一个分式，分母不为0。

如果除式B 中含有分母，那么这个就是分式，对于任何一个分式，分母不为0。

分式：分母中含有字母。

整式：分母中没有字母。

而代数式则包含分式和整式。

）定义2：把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分。

定义3：分子和分母没有公因式的分式称为最简分式。

（化简分式时，通常要使结果成为最简分式或者整式。

）定义4：化异分母分式为同分母分式的过程称为分式的通分。

定义5：分母中含有未知数的方程叫做分式方程 定义6：在将分式方程变形为整式方程时，方程两边同乘一个含有未知数的整式，并约去了分母，有时可能产生不适合原分式方程的解（或根），这种解通常称为增根。

二、基本性质：分式的基本性质：分式的分子与分母都．乘以（或除以）同．一个不等于零．．．．的整式，分式的值不变。

三、运算法则：1、分式的乘法的法则:两个分式相乘,把分子相乘的积作为积的分子,把分母相乘的积作为积的分母;（用符号语言表示：b a ﹒d c =bdac）2、分式的除法的法则：两个分式相除,把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘.（用符号语言表示：b a ÷dc =b a ﹒cd =bcad） 分式乘除法的运算步骤：当分式的分子与分母都是单项式时： (1)乘法运算步骤是：①用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母；②把分式积中的分子与分母分别写成分子与分母的分因式与另一个因式的乘积形式，如果分子(或分母)的符号是负号，应把负号提到分式的前面；③约分。

(2)除法的运算步骤是：把除式中的分子与分母颠倒位置后，与被除式相乘，其它与乘法运算步骤相同。

当分式的分子、分母中有多项式，①先分解因式；②如果分子与分母有公因式，先约分再计算.③如果分式的分子(或分母)的符号是负号时，应把负号提到分式的前面. 最后的计算结果必须是最简分式或整式. 3、同分母分式加减法则是：同分母的分式相加减。

数学八年级上册分式方程
数学八年级上册通常会涉及分式方程的相关内容，分式方程是
关于分数的方程，涉及到分数的加减乘除以及方程的解法。

在八年
级上册中，学生通常会学习如何解一元一次分式方程，以及如何应
用分式方程解决实际问题。

这个话题涵盖了分式的性质、分式方程
的基本概念、解分式方程的方法等内容。

在学习分式方程时，学生首先会复习分式的加减乘除运算，包
括同分母分式的加减法、异分母分式的加减法，以及分式的乘除法。

接着，学生会学习如何解一元一次分式方程，包括清分、去分母、
求解等步骤。

在这个过程中，学生需要掌握如何找到方程的最简形式，如何通过乘法消去分母等技巧。

此外，学生还会学习如何应用分式方程解决实际问题，例如利
用分式方程解决关于人工、速度、工程问题等。

这部分内容要求学
生能够将实际问题转化为分式方程，并通过解方程找到问题的答案。

总的来说，八年级上册的分式方程是一个重要且复杂的数学内容，学生需要掌握分式的基本运算规则，掌握解一元一次分式方程
的方法，以及能够灵活运用分式方程解决实际问题。

这些知识和能
力对于学生打下数学基础，提高解决实际问题的能力都具有重要意义。

八年级数学上册分式知识点在八年级数学上册中，学生将开始学习分式的概念和相关知识。

分式在数学中起着重要的作用，并广泛应用于各种实际问题的解决中。

下面将详细介绍八年级数学上册中与分式相关的知识点。

一、分式的定义和表示方式分式是指用横线将两个数连接起来形成的表达式，上面的数被称为分子，下面的数被称为分母。

分式的形式通常表示为a/b，其中a为整数，b为非零整数。

例如，2/3、5/4等都是分式的表示形式。

在分式中，分子和分母之间用分数线表示，分子位于分数线的上方，分母位于分数线的下方。

二、分式的基本性质1. 分式的值：分式所表示的值等于分子除以分母的结果。

例如，对于分式2/3，它的值为2除以3，即2/3。

2. 分式的约分与通分：分子和分母可以同时除以一个相同的非零数，使得分子和分母没有公约数，这个过程称为约分。

通分是指将两个或多个分式的分母变为相同的方式。

例如，分式1/4和1/2的通分结果为1/4和2/4，它们的分母相同。

3. 分式的乘法和除法：两个分式相乘时，分子乘以分子，分母乘以分母，得到的结果为新的分式。

例如，计算1/4乘以2/3，得到的结果为1/6。

当进行两个分式的除法运算时，将除法运算转化为乘法运算，将除法运算转化为乘法运算的倒数。

例如，计算1/4除以2/3，可以转化为1/4乘以3/2，结果为1/8。

4. 分式的加法和减法：两个分式相加时，需要找到它们的通分形式，然后将分子相加，分母保持不变。

例如，计算1/4加上1/2，通分得到2/8加上4/8，结果为6/8，可以约分为3/4。

当进行两个分式的减法运算时，同样需要找到它们的通分形式，然后将分子相减，分母保持不变。

例如，计算1/2减去1/4，通分得到2/4减去1/4，结果为1/4。

三、分式在实际问题中的应用分式在解决实际问题中起着重要的作用，在日常生活和学习中都有广泛的应用。

1. 分享物品：当多个人要平分一件物品时，可以使用分式来表示每个人得到的份额。

专题10 分式章末重难点题型【举一反三】【人教版】【考点1 分式及最简分式的概念】 【方法点拨】1.分式：形如AB，A B 、是整式，B 中含有字母且B 不等于0的整式叫做分式.其中A 叫做分式的分子，B 叫做分式的分母.2. 最简分式:若分式的分子和分母没有公因式，这个分式称为最简分式，约分时，一般将一个分式化为最简 分式.【例1】（2019秋•泰安期中）下列各式2a b -，3x x +，5y π+，a b a b +-，1()x y m -，xyx中，分式的个数共有( )A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【分析】一般地，如果A ，B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子叫做分式． 【答案】解：由题可得，是分式的有：，，（x ﹣y ），，共4个，故选：C ．【点睛】本题主要考查了分式的定义，分式的分母必须含有字母，而分子可以含字母，也可以不含字母．【变式1-1】（2018春•沈北校级期中）代数式2232212124513,(2),,,,2,,,3123213x x x x a x x a a x m t x x b x x aπ-+++-++---中分式的个数为( ) A ．6个B ．5个C ．1个D ．3个【分析】根据分式的定义，可得答案． 【答案】解：代数式、、、、、的分母中含有字母，属于分式，共有6个． 故选：A ．【点睛】本题考查了分式的定义，分母中含有字母的式子是分式，注意π是常数不是字母．【变式1-2】（2019春•温江区期末）下列分式2410xyx ，22a b a b ++，22x y x y -+，221a a a +-最简分式的个数有( )A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个【分析】直接利用分式的基本性质化简得出答案． 【答案】解：＝，，＝x ﹣y ，＝＝，故只有是最简分式．故选：D ．【点睛】此题主要考查了最简分式，正确化简分式是解题关键．【变式1-3】（2018秋•任城区期中）下列分式23bcab c-，2242x x x --，2222x xy xy y +-，211m m ++中，最简分式有( ) A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【分析】根据最简分式的定义，逐个判断即可得结论． 【答案】解：∵＝，故A 不是最简分式；＝＝，故B 不是最简分式；＝，故C 是最简分式；分式的分子分母没有公因式，故D 最是简分式．故选：B ．【点睛】本题考查了最简分式的判断，掌握最简分式的定义是解决本题的关键．【考点2 分式有意义条件】【方法点拨】分式有意义的条件：分母不等于0.【例2】（2019秋•夏津县校级月考）x取何值时，下列分式有意义：（1）2 23 xx+-（2）6(3) ||12 xx+-（3）26 1x x ++．【分析】（1）根据分式的分母不为零分式有意义，可得答案；（2）根据分式的分母不为零分式有意义，可得答案；（3）根据分式的分母不为零分式有意义，可得答案．【答案】解：（1）要使有意义，得2x﹣3≠0．解得x≠，当x≠时，有意义；（2）要使有意义，得|x|﹣12≠0．解得x≠±12，当x≠±12时，有意义；（3）要使有意义，得x2+1≠0．x为任意实数，有意义．【点睛】本题考查了分式有意义，分式的分母不为零分式有意义．【变式2-1】下列分式中的字母满足什么条件时，分式有意义．（1）21mm+-；（2）123xx+-；（3）211xx--；（4）293xx--．【分析】（1）利用分式有意义的条件是分母不等于零，进而求出即可；（2）利用分式有意义的条件是分母不等于零，进而求出即可；（3）利用分式有意义的条件是分母不等于零，进而求出即可；（4）利用分式有意义的条件是分母不等于零，进而求出即可．【答案】解：（1）m﹣1≠0时，分式有意义，故m≠1；（2）2﹣3x≠0时，分式有意义，故x≠；（3）x﹣1≠0时，分式有意义，故x≠1；（4）x﹣3≠0时，分式有意义，故x≠3．【点睛】此题主要考查了分式有意义的条件，利用分母不等于零求出是解题关键．【变式2-2】（2019秋•夏津县校级月考）若分式1324x xx x++÷++有意义，求x的取值范围．【分析】先把除法化为乘法，再根据分式有意义的条件即可得到结果．【答案】解：∵，∴x+2≠0且x+4≠0且x+3≠0解得x≠﹣2、﹣3、﹣4．【点睛】本题主要考查了分式有意义的条件，关键是注意分式所有的分母部分均不能为0，分式才有意义．【变式2-3】（2018秋•宜都市期末）若式子2131xy+-无意义，求代数式2()()y x y x x+-+的值．【分析】根据式子无意义可确定y的值，再化简代数式（y+x）（y﹣x）+x2，最后代入求值．【答案】解：∵式子无意义，∴3y﹣1＝0，解得y＝，原式＝y2﹣x2+x2＝y2＝（）2 ＝．【点睛】本题考查了分式无意义的条件和多项式的化简求值．当分母等于0时，分式无意义． 【考点3 分式值为0的条件】【方法点拨】满足分式的值为0的条件：分子为0分母不为0.【例3】（2018秋•大荔县期末）如果分式2122x x -+的值为0，求x 的值是多少？【分析】根据分式值．为0的条件：分子为0，分母不为0，求出x 的值即可 【答案】解：依题意得：x 2﹣1＝0且2x +2≠0， 解得x ＝1， 即分式的值为0时，x 的值是1．【点睛】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，以及分式值为零的条件，做题时注意分母不为0的条件．【变式3-1】（2019秋•东莞市校级期中）当a 取何值时，分式3||62a a-+的值为零． 【分析】分式的值为0的条件是：（1）分子为0；（2）分母不为0．两个条件需同时具备，缺一不可．据此可以解答本题． 【答案】解：由分式的值为零，得3﹣|a |＝0，且6+2a ≠0． 解得a ＝3， 当a ＝3时，分式的值为零．【点睛】此题主要考查了分式值为零的条件，关键是掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．注意：“分母不为零”这个条件不能少．【变式3-2】（2019秋•北湖区校级月考）当x 取何值时，分式2(3)(2)9x x x +--（1）有意义；（2）分式的值为0．【分析】（1）分式有意义，分母不为零；（2）分式的值为零时，分子为零，但是分母不为零． 【答案】解：（1）根据题意，得 x 2﹣9≠0，解得，x ≠±3， 即当x ≠±3时，分式有意义；（2）根据题意，得（x +3）（x ﹣2）＝0，且x 2﹣9≠0， 解得，x ＝2， 即当x ＝2时，分式的值为零． 【点睛】本题考查了分式的值为零的条件、分式有意义的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可． 【变式3-3】对于分式23x a ba b x++-+，当1x =时，分式的值为零，当2x =-时，分式无意义，试求a 、b 的值．【分析】根据分式的值为零的条件为0的条件可得1+a +b ＝0且a ﹣2b +3≠0，根据分式无意义的条件可得a ﹣2b ﹣6＝0，两者联立可求a 、b 的值． 【答案】解：∵分式，当x ＝1时，分式的值为零，∴1+a +b ＝0且a ﹣2b +3≠0， 当x ＝﹣2时，分式无意义， ∴a ﹣2b ﹣6＝0， 联立可得，解得．故a 的值是、b 的值是﹣．【点睛】此题主要考查了分式无意义的条件和分式值为零的条件，关键是掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．注意：“分母不为零”这个条件不能少． 【考点4 分式的基本性质】【方法点拨】分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值 不变.【例4】（2019春•稷山县期末）若A ，B 为不等于0的整式，则下列各式成立的是( )A ．(A A E E B B E=g g 为整式） B ．(A A E E B B E+=+为整式）C ．22(1)(1)A A x B B x +=+g gD ．22(1)(1)A A xB B x +=+g g【分析】分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变． 【答案】解：A ．E 可能为0，故不成立； B ．不符合分式性质，故错误； C ．（x +1）2≥0，故错误； D ．x 2+1＞0，故正确． 故选：D ．【点睛】本题考查了分式的性质，正确理解分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变是解题的关键，【变式4-1】（2019秋•龙口市期中）下列各式从左到右变形正确的是( ) A ．0.220.22a b a ba b a b++=++B ．231843214332x yx y x y x y ++=--C ．n n am m a -=- D ．221a b a b a b+=++ 【分析】根据分式的基本性质，依次分析各个选项，选出正确的选项即可． 【答案】解：A ．分式的分子和分母同时乘以10，应得，即A 不正确，B .，故选项B 正确，C ．分式的分子和分母同时减去一个数，与原分式不相等，即C 项不合题意，D .不能化简，故选项D 不正确．故选：B ．【点睛】本题考查了分式的基本性质，正确掌握分式的基本性质是解题的关键． 【变式4-2】（2019秋•大名县期中）下列各式中，正确的是( )A ．3355x xy y--=- B ．a b a bc c+-+-=C ．a b a bc c---=D ．a ab a a b-=-- 【分析】根据分式的基本性质即可求出答案． 【答案】解：（A ）原式＝，故选项A 错误；（B ）原式＝，故选项B 错误； （C ）原式＝，故选项C 错误；故选：D ．【点睛】本题考查分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质，本题属于基础题型． 【变式4-3】（2018秋•奉贤区期末）若分式22xyx y+中的x ，y 的值同时扩大到原来的2倍，则此分式的值( )A ．扩大到原来的4倍B ．扩大到原来的2倍C ．不变D ．缩小到原来的12【分析】根据分式的基本性质即可求出答案． 【答案】解：＝，故选：C ．【点睛】本题考查分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质，本题属于基础题型． 【考点5 利用分数的基本性质求值】 【例5】若a 、b 都是正实数，且112a b a b-=+，求22ab a b -的值． 【分析】已知等式左边通分并利用同分母分式的减法法则计算，整理后得到一个关系式，代入所求式子中计算即可求出值． 【答案】解：∵﹣＝＝，∴﹣（a ﹣b ）（a +b ）＝2ab ，即a 2﹣b 2＝﹣2ab ， 则＝＝﹣．【点睛】此题考查了分式的化简求值，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母；分式的乘除运算关键是约分，约分的关键是找公因式，约分时分式的分子分母出现多项式，应将多项式分解因式后再约分．【变式5-1】（2019春•禅城区校级月考）已知：0234x y z==≠，求代数式2x y z x y z +-++的值． 【分析】设t ＝，则x 、y 、z 可以用同一个字母来表示，然后将其代入代数式，然后将代数式化简即可． 【答案】解：设t ＝，则x ＝2t ① y ＝3t ② z ＝4t ③将①②③代入代数式，得 ＝＝， 所以，代数式的值是．【点睛】本题体现了转化思想，将未知数x 、y 、z 转化为含有相同字母的量，然后代入所求代数式，只要将代数式化简即可．【变式5-2】（2019秋•高唐县期末）已知113a b-=，求分式232a ab ba ab b +---的值．（提示：分式的分子与分母同除以)ab ．【分析】根据分式的基本性质，分式的分子分母都除以ab ，分式的值不变，再把换成3计算即可．【答案】解：分式的分子分母都除以ab ，得＝＝，∵＝3， ∴＝﹣3，所以原式＝＝．【点睛】本题利用分式的基本性质，分子分母都除以ab ，巧妙运用已知条件是解本题的关键，也是解本题的突破口．【变式5-3】已知实数a 满足2310a a -+=，求下列各式的值： （1）21()a a+的值；（2）221a a +； （3）441a a +的值； （4）225121a a a a ++-+的值．【分析】（1）已知等式两边除以a ，求出a +的值，即可确定出原式的值； （2）原式利用完全平方公式变形，把a +的值代入计算即可求出值； （3）原式利用完全平方公式变形，把（2）结论代入计算即可求出值； （4）把已知等式变形后代入计算即可求出值． 【答案】解：（1）已知等式变形得：a +＝3， 则原式＝9；（2）原式＝（a +）2﹣2＝9﹣2＝7； （3）原式＝（a 2+）2﹣2＝49﹣2＝47；（4）由a 2﹣3a +1＝0，得到a 2＝3a ﹣1， 则原式＝＝8．【点睛】此题考查了分式方程混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【考点6 分式的化简求值】【例6】（2019春•潜山市期末）先化简，再求值：2292(3)693x x x x x x -+--+++，其中1x =-．【分析】根据分式的加法和减法可以化简题目中的式子，然后将x ＝﹣1代入化简后的式子即可解答本题． 【答案】解：+（x ﹣3﹣）＝＝＝＝＝＝x ﹣4， 当x ＝﹣1时，原式＝﹣1﹣4＝﹣5．【点睛】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．【变式6-1】（2019春•合肥期末）先化简，再求值：3(2)(1)2m m m ++÷+-．其中﹣2≤m ≤2且m 为整数，请你从中选取一个喜欢的数代入求值．【分析】根据分式的加法和除法可以化简题目中的式子，然后从﹣2≤m ≤2且m 为整数中选取一个使得原分式有意义的整数代入化简后的式子即可解答本题．【答案】解：（m +2+）÷（m +1） ＝＝＝＝， ∵﹣2≤m ≤2且m 为整数，∴当m ＝0时，原式＝＝．【点睛】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．【变式6-2】（2019春•卫辉市期末）先化简：223626699a a a a a a +-+++-g ，然后从﹣3≤a ≤3的范围内选取一个合适的整数作为a 的值代入求值．【分析】根据分式的运算法则进行化简，然后根据分式有意义的条件找出a 的值代入原式即可求出答案．【答案】解：•+ ＝×… ＝＝∵a≠±3，0∴取a＝1，原式＝＝2【点睛】本题考查分式，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于中等题型．【变式6-3】（2018秋•长安区校级月考）（1）先化简：2344(1)11a aaa a-+-+÷++，并从0，1-，2中选一个合适的数，作为a的值代入求值．（2）先化简后求值：2221412211a aa a a a--÷+-+-g，其中a满足20a a-=．【分析】（1）根据分式的混合计算的法则进行计算，先算括号内的，除以一个数等于乘以这个数的倒数，分式乘法先约分，再相乘，x只能取0，而不能取﹣1，2，应注意．（2）先将各自的分子、分母进行因式分解，再转化为乘法，约分后，整体代入即可求出结果．【答案】解：（1）＝（﹣）×＝×＝；∵x≠﹣1，x≠2，∴x＝0，当x＝0时，原式＝＝1．（2）＝××＝（a﹣2）（a+1）＝a2﹣a﹣2；当a2﹣a＝0时，原式＝﹣2．【点睛】本题考查了分式的混合运算，掌握计算法则、熟练进行分解因式是解题的关键．【考点7 解分式方程】【方法点拨】分式方程的解法:①去分母(方程两边同时乘以最简公分母，将分式方程化为整式方程);②按解整式方程的步骤求出未知数的值;③检验(求出未知数的值后必须验根，因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根).【例7】（2019秋•武冈市期中）解方程：（1）3222x x x --=-- （2）22510111x x x -+=+-- 【分析】（1）根据解分式方程的过程进行计算即可；（2）先确定公分母，再进行计算即可．【答案】解：（1）3﹣2（x ﹣2）＝﹣x解得x ＝7经检验：x ＝7是原方程的根∴原方程的解是x ＝7．（2）2（1﹣x ）+5（1+x ）＝10解得x ＝1检验：把x ＝1代入到（x +1）（x ﹣1）中，得：（1+1）×（1﹣1）＝0∴原分式方程无解．【点睛】本题考查了解分式方程，解决本题的关键是解分式方程要进行验根．【变式7-1】（2019秋•临淄区期中）解分式方程（1）22411x x =-- （2）2113222x x x x+=++ 【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解；（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．【答案】解：（1）去分母得：2x +2＝4，解得：x ＝1，经检验x ＝1是增根，分式方程无解；（2）去分母得：x +x +2＝32，经检验x ＝15是分式方程的解．【点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．【变式7-2】（2019秋•岱岳区期中）解方程：（1）31144x x x --=-- （2）213242x x x=+-- 【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解；（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．【答案】解：（1）去分母得：3﹣x +1＝x ﹣4，解得：x ＝4，经检验x ＝4是增根，分式方程无解；（2）去分母得：4x ＝6x ﹣12﹣1，解得：x ＝6.5，经检验x ＝6.5是分式方程的解．【点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．【变式7-3】（2019秋•泰安期中）解下列分式方程：（1）2214111x x x +=+-- （2）29472393x x x x +-=+-- 【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解；（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．【答案】解：（1）方程两边同乘（x +1）（x ﹣1）得：2（x ﹣1）﹣（x +1）＝4，去括号得：2x ﹣2﹣x ﹣1＝4，解得：x ＝7，检验：当x ＝7时，（x +1）（x ﹣1）≠0，∴x ＝7是原方程的解；（2）方程两边同乘3（x ﹣3）得：2x +9＝3（4x ﹣7）+6（x ﹣3）检验：当x ＝3时，3（x ﹣3）＝0，∴x ＝3是原方程的增根∴原方程无解．【点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．【考点8 分式方程的增根】【例8】（2019•大城县一模）小华想复习分式方程，由于印刷问题，有一个数“？”看不清楚：?1322x x+=--． （1）她把这个数“？”猜成5，请你帮小华解这个分式方程；（2）小华的妈妈说：“我看到标准答案是：方程的增根是2x =，原分式方程无解”，请你求出原分式方程中“？”代表的数是多少？【分析】（1）把？＝5代入方程，进而利用解分式方程的方法解答即可；（2）设？为m ，利用分式方程的增根解答即可．【答案】解：（1）方程两边同时乘以（x ﹣2）得5+3（x ﹣2）＝﹣1解得x ＝0经检验，x ＝0是原分式方程的解．（2）设？为m ，方程两边同时乘以（x ﹣2）得m +3（x ﹣2）＝﹣1由于x ＝2是原分式方程的增根，所以把x ＝2代入上面的等式得m +3（2﹣2）＝﹣1，m ＝﹣1所以，原分式方程中“？”代表的数是﹣1．【点睛】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．【变式8-1】（2018春•安岳县期末）关于x 的方程：12111ax x x+-=--． （1）当3a =时，求这个方程的解；（2）若这个方程有增根，求a 的值．【分析】（1）把a 的值代入分式方程，去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解；（2）由分式方程有增根，得到最简公分母为0，求出x 的值，代入整式方程即可求出a 的值．【答案】解：（1）当a ＝3时，原方程为﹣＝1，方程两边同时乘以（x ﹣1）得：3x +1+2＝x ﹣1，解这个整式方程得：x ＝﹣2，检验：将x ＝﹣2代入x ﹣1＝﹣2﹣1＝﹣3≠0，∴x ＝﹣2是原方程的解；（2）方程两边同时乘以（x ﹣1）得ax +1+2＝x ﹣1，若原方程有增根，则x ﹣1＝0，解得：x ＝1，将x ＝1代入整式方程得：a +1+2＝0，解得：a ＝﹣3．【点睛】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．【变式8-2】（2018春•洛宁县期中）m 为何值时，关于x 的方程223242mx x x x +=--+会产生增根？ 【分析】先去分母得2（x +2）+mx ＝3（x ﹣2），整理得（m ﹣1）x +10＝0，由于关于x 的方程+＝会产生增根，则（x +2）（x ﹣2）＝0，解得x ＝﹣2 或x ＝2，然后把x ＝﹣2 和x ＝2分别代入（m ﹣1）x +10＝0即可得到m 的值． 【答案】解：原方程化为+＝，方程两边同时乘以（x +2）（x ﹣2）得2（x +2）+mx ＝3（x ﹣2），整理得（m ﹣1）x +10＝0，∵关于x 的方程 +＝会产生增根，∴（x +2）（x ﹣2）＝0，∴x ＝﹣2 或x ＝2，∴当x ＝﹣2时，（m ﹣1）×（﹣2）+10＝0，解得m ＝6，当x ＝2时，（m ﹣1）×2+10＝0，解得m ＝﹣4，∴m ＝﹣4或m ＝6时，原方程会产生增根．【点睛】本题考查了分式方程的增根：先把分式方程转化为整式方程，解整式方程，若整式方程的解使分式方程的分母为0，则这个整式方程的解就是分式方程的增根．【变式8-3】（2018秋•克东县期末）若关于x的方程322133x mxx x---=---无解，求m的值．【分析】方程去分母转化为整式方程，根据分式方程无解可得m﹣1＝0或将x＝3代入整式方程，即可求出m的值．【答案】解：去分母得：3﹣2x+mx﹣2＝﹣x+3，整理得：（m﹣1）x＝2，当m﹣1＝0，即m＝1时，方程无解；当m﹣1≠0时，x﹣3＝0，即x＝3时，方程无解，此时＝3，即m＝，所以m＝1或m＝．【点睛】此题考查了分式方程的解，分式方程的解即为能使分式方程左右两边相等的未知数的值，且分式方程分母不为0．【考点9 分式方程的应用之行程问题】【例9】（2019秋•正定县期中）A市到B市的距离约为210km，小刘开着小轿车，小张开着大货车，都从A 市去B市．小刘比小张晚出发1小时，最后两车同时到达B市，已知小轿车的速度是大货车速度的1.5倍．（1）求小轿车和大货车的速度各是多少．（列方程解答）（2）当小刘出发时，求小张离B市还有多远．【分析】（1）设大货车的速度为x千米/小时，则小轿车的速度为1.5x千米/小时，根据时间＝路程÷速度结合小轿车比大货车少用1小时，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；（2）根据小张离B市的距离＝A，B两市间的距离﹣小张的速度×小张出发的时间，即可求出结论．【答案】解：（1）设大货车的速度为x千米/小时，则小轿车的速度为1.5x千米/小时，依题意，得：﹣＝1，解得：x＝70，经检验，x＝70是原方程的解，且符合题意，∴1.5x＝105．答：大货车的速度为70千米/小时，小轿车的速度为105千米/小时．（2）210﹣70×1＝140（千米）．答：当小刘出发时，小张离B市还有140千米．【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．【变式9-1】（2019•云南模拟）在“要致富先修路”的思想指导下，近几年云南的交通有了快速的变化，特别是“高铁网络”延伸到云南以后，许多地区的经济和旅游发生了翻天覆地的变化，高铁列车也成为人们外出旅行的重要交通工具．假期里小明和爸爸从昆明到某地去旅游，从昆明到该地乘汽车行驶的路程约为800km，高铁列车比汽车行驶的路程少50km，高铁列车比汽车行驶的时间少5h．已知高铁列车的平均时速是汽车平均时速的2.5倍，求高铁列车的平均时速．【分析】设汽车的平均时速为xkm/h，则高铁列车的平均时速为2.5xkm/h，根据时间＝路程÷速度结合高铁列车比汽车行驶的时间少5h，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．【答案】解：设汽车的平均时速为xkm/h，则高铁列车的平均时速为2.5xkm/h，依题意，得：﹣＝5，解得：x＝100，经检验，x＝100是原分式方程的解，且符合题意，∴2.5x＝250．答：高铁列车的平均时速为250km/h．【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．【变式9-2】（2019•宜宾）甲、乙两辆货车分别从A、B两城同时沿高速公路向C城运送货物．已知A、C 两城相距450千米，B、C两城的路程为440千米，甲车比乙车的速度快10千米/小时，甲车比乙车早半小时到达C城．求两车的速度．【分析】设乙车的速度为x千米/时，则甲车的速度为（x+10）千米/时，路程知道，且甲车比乙车早半小时到达C城，以时间做为等量关系列方程求解．【答案】解：设乙车的速度为x千米/时，则甲车的速度为（x+10）千米/时．根据题意，得：+＝，解得：x＝80，或x＝﹣110（舍去），∴x＝80，经检验，x＝80是原方程的解，且符合题意．当x＝80时，x+10＝90．答：甲车的速度为90千米/时，乙车的速度为80千米/时．【点睛】本题考查分式方程的应用、分式方程的解法，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．根据时间＝，列方程求解．【变式9-3】（2019•高淳区二模）甲、乙两同学的家与学校的距离均为3200米．甲同学先步行200米，然后乘公交车去学校，乙同学骑自行车去学校．已知甲步行速度是乙骑自行车速度的13，公交车的速度是乙骑自行车速度的3倍．甲、乙两同学同时从家出发去学校，结果甲同学比乙同学早到8分钟．（1）求乙骑自行车的速度；（2）当甲到达学校时，乙同学离学校还有多远？【分析】（1）设乙骑自行车的速度为xm/min，则公交车的速度是3xm/min，甲步行速度是xm/min，根据题意列方程即可得到结论；（2）8×200＝1600米即可得到结果．【答案】解：（1）设乙骑自行车的速度为xm/min，则公交车的速度是3xm/min，甲步行速度是xm/min，由题意得：﹣8＝+．解得x＝200．经检验x＝200原方程的解答：乙骑自行车的速度为200m/min．（2）当甲到达学校时，乙同学还要继续骑行8分钟，所以8×200＝1600（m）．答：乙同学离学校还有1600m．【点睛】此题主要考查了分式方程的应用，根据题意得到甲的运动速度是解题关键．【考点10 分式方程的应用之工程问题】【例10】（2019秋•滦州市期中）列方程解应用题某工程队修建一条1200m的道路，由于施工过程中采用了新技术，所以工作效率提高了50%，结果提前4天完成任务．（1）求这个工程队原计划每天修建道路多少米？（2）这项工程，如果要求工程队提前两天完成任务，那么实际的工作效率比原计划增加百分之几？【分析】（1）设这个工程队原计划每天修建道路x米，则实际每天修建道路（1+50%）x米，根据工作时间＝工作总量÷工作效率结合实际比原计划提前4天完成任务，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；（2）设实际的工作效率比原计划增加的百分比为y，根据工作时间＝工作总量÷工作效率结合实际比原计划提前2天完成任务，即可得出关于y的分式方程，解之经检验后即可得出结论．【答案】解：（1）设这个工程队原计划每天修建道路x米，则实际每天修建道路（1+50%）x米，依题意，得：﹣＝4，解得：x＝100，经检验，x＝100是原方程的解，且符合题意．答：这个工程队原计划每天修建道路100米．（2）设实际的工作效率比原计划增加的百分比为y，依题意，得：﹣＝2，解得：y＝0.2＝20%．经检验，y＝20%是原方程的解，且符合题意．答：实际的工作效率比原计划增加20%．【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键【变式10-1】（2018秋•徽县期末）某县为落实“精准扶贫惠民政策”，计划将某村的居民自来水管道进行改造．该工程若由甲队单独施工恰好在规定时间内完成：若乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的1.5倍．如果由甲、乙队先合作施工15天，那么余下的工程由甲队单独完成还需5天．（1）这项工程的规定时间是多少天？（2）为了缩短工期以减少对居民用水的影响，工程指挥部最终决定该工程由甲、乙两队合作完成．则甲乙两队合作完成该工程需要多少天？【分析】（1）设这项工程的规定时间是x天，则甲队单独施工需要x天完工，乙队单独施工需要1.5x天完工，根据甲队完成的工作量+乙队完成的工作量＝总工作量（单位1），即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；（2）由（1）可求出甲、乙单独施工所需天数，再利用两队合作完工所需时间＝总工作量÷（甲队一天完成的工作量+乙队一天完成的工作量），即可求出结论．【答案】解：（1）设这项工程的规定时间是x天，则甲队单独施工需要x天完工，乙队单独施工需要1.5x天完工，依题意，得：+＝1，解得：x＝30，经检验，x＝30是原方程的解，且符合题意．答：这项工程的规定时间是30天．（2）由（1）可知：甲队单独施工需要30天完工，乙队单独施工需要45天完工，1÷（+）＝18（天）．答：甲乙两队合作完成该工程需要18天．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．【变式10-2】（2018秋•江北区期末）在我市区某中学美化校园招标时，有甲、乙两个工程队投标，经测算：甲队单独完成这项工程需要30天，若由甲队先做10天，剩下的工程由甲、乙合做12天可完成．（1）乙队单独完成这项工程需要多少天？（2）甲队施工一天，需付工程款3.5万元，乙队施工一天，需付工程款2万元．若该工程计划在35天内完成，在不超过计划天数的前提下，是由甲队或乙队单独完成该工程省钱，还是由甲乙两队全程合作完成该工程省钱？【分析】（1）设乙队单独完成这项工程需要x天，根据甲完成的部分+乙完成的部分＝总工程量（单位1），即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可求出结论；（2）设甲、乙两队全程合作需要y天完成该工程，根据甲完成的部分+乙完成的部分＝总工程量（单位1），即可得出关于y的一元一次方程，解之即可得出y值，再分别求出甲队单独完成以及甲、乙两队全程合作完成该工程所需费用，比较后即可得出结论．【答案】解：（1）设乙队单独完成这项工程需要x天，依题意，得：+＝1，解得：x＝45，经检验，x＝45是所列分式方程的解，且符合题意．答：乙队单独完成这项工程需要45天．（2）设甲、乙两队全程合作需要y天完成该工程，依题意，得：+＝1，解得：y＝18．。