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康托尔的集合论导言康托尔的集合论是一个重要的数学分支，它对于理解集合、无限、大小和无穷等概念起到了重要的作用。
本文将深入探讨康托尔的集合论，并从不同角度、不同层次对其进行详细阐述。
康托尔的生平及其贡献-集合的无穷性康托尔的生平•康托尔（Georg Cantor）是19世纪末20世纪初的德国数学家，生于1845年，逝于1918年。
•他是现代集合论的奠基人，被誉为”无穷的数学家”。
•受到当时一些著名数学家的质疑和反对，康托尔的一生充满了挫折和痛苦。
集合的无穷性康托尔的集合论最大的贡献之一是解决了无穷的问题。
在康托尔之前，无穷常常是一个模糊的概念，康托尔通过创造性的思考和构建数学体系，给出了严格的定义和推理，奠定了集合论的基础。
康托尔证明了不同无穷集的”大小”可以有差异，他引入了”基数”的概念，用于度量集合的大小。
康托尔的实质性无穷概念对于数学的发展产生了深远的影响，也挑战了当时数学家们对于无穷的传统看法。
康托尔的集合论体系集合和元素集合论的基础是对”集合”和”元素”的概念的明确定义。
集合是由一些对象组成的整体，而元素则是集合的组成成分。
康托尔提出了集合的比较、相等和包含等概念，他认为两个集合相等当且仅当它们具有相同的元素。
而一个集合包含另一个集合当且仅当前者的所有元素都属于后者。
基数和大小康托尔引入了”基数”的概念来度量集合的大小。
基数是一个整数，用于表示集合中元素的个数。
例如，一个集合的基数为0表示这个集合是空集，没有任何元素；基数为1表示集合中有一个元素，依此类推。
康托尔的集合论认可了两个集合的基数可以相等，也可以不等。
例如，有理数集合和自然数集合的基数是相等的，而实数集合的基数则比自然数集合要大。
具有不同大小的无穷集康托尔的集合论最重要的一个发现是存在不同大小的无穷集。
他通过引入”可数无穷”和”不可数无穷”的概念，对无穷集的大小进行了分类。
可数无穷集的基数和自然数集的基数相等，因此可以通过一一对应的方式进行计数。
Canter 集及Canter 函数Canter 集的构造：将闭区间[]01，三等分，去掉中间的开区间1233⎛⎫⎪⎝⎭，，剩下的两个闭区间120133⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，，，，又把这两个闭区间各三等分，去掉中间的两个开区间，即12789999⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，一般地，当进行到第n 次时，一共去掉12n -个开区间，剩下2n个长度为3n-的互相隔离的闭区间，而在第1n +次时，再将这2n个闭区间各三等分，并去掉中间的一个开区间，如此继续下去，就从[]01，去掉了可数个互不相交的开区间，剩下的必是一个闭集，它成为康托尔集，记为C 。
示图如下：Canter 集的性质：Ⅰ.Canter 集C 是非空有界闭集 证明：n 1C F n ∞==，其中n F 是n 2个长度为13n 的互不相交的闭区间的并集，因而每个n F 都是非空有界闭集，故C 是有界闭集，而n F 中每个闭区间的端点都没有被移去即每个分割点都在Canter 集中，它们是C 中的点，故C 为非空集。
即证。
Ⅱ.Canter 集无内点证明：令[]G=01\C ，,容易看出[]G 01=，，从而C =∅。
，那么Canter 就没有内点。
Ⅲ.canter 集中所有的点都是聚点，故是完备集证明：即证'C=C ，令x C ∈，则对,n n x F ∀∈，即对每个,n x 属于长度为13n 的某个区间中。
0n δ∀>∃，，满足13n δ<，使得n F 中包含x 的区间含于()x x δδ-+，，此时闭区间的两个端点是C 的点，且总有一个不是x ，这说明x 是C 的极限点，故'C C ⊃，故又因为C 是有界闭集，'C C ⊂，那么即证'C=C 。
Ⅳ.canter 集是疏朗集证明：任取开区间()αβ，，若()αβ，不含C 中的点，则不必讨论，显然证明Canter 是疏朗集。
若()αβ，中含有C 中的点x ，令{}m i n ,x x δαβ=--，则0δ>，故只需证明0n 充分大，便有13n δ<，既然x 是永远去不掉的点，x 也应该属于玩掉0n 之后余下的某一个闭区间中，设这个区间为[]00αβ，，则[]()00αβαβ⊂，，，再将[]00αβ，三等分是，所挖去的中间的开区间，设它为()''I ,αβ=，则()()'',αβαβ⊂，，且()'',C αβ⋂=∅，所以C 是疏朗集。
康托集（Cantor set）是由德国数学家Georg Cantor在1874年提出的一种具有非常特殊性质的集合。
它的构造过程如下：
1. 首先，从0到1的闭区间开始。
2. 将该区间分成三等分，去除中间的1/3区间，即保留0到1/3和2/3到1两个不相交的闭区间。
3. 对于保留下来的两个区间，分别再次进行同样的操作，将每个区间分成三等分，去除中间的1/3区间。
4. 重复上述步骤，不断迭代，每次迭代后的集合是前一次迭代的两倍长。
最终得到的康托集是一个闭集，它的特征如下：
1. 康托集是一个完全不可数的集合，即它的元素个数与实数轴上的点的个数相同。
2. 康托集是一个紧致的集合，即它是一个有界闭集。
3. 康托集是一个零测度集，即它的长度为零。
尽管康托集的长度为零，但它的势 （cardinality）与实数轴上的势相同。
4. 康托集是一个无内点的集合，即它不包含任何开区间。
5. 康托集是一个完美集 （perfect set），即它是其自身的极限点集。
对于任何一个点，它的邻域内都含有康托集的其他点。
康托集在数学中具有重要的地位，它展示了非常奇特的性质，涉及到集合论、拓扑学和分形几何等领域的研究。
Cantor三分集在数学⽅⾯，Cantor三分集是由德国数学家康托(G.Cantor)于1883年引⼊的（但在1875年就由Henry John Stephen Smith发现了），它是⼀个取⾃简单直线段上的点集，它有若⼲⾮凡⽽⼜深刻的性质。
通过对它的思考，康托和其他助⼿奠定了现代⼀般拓扑学基础。
虽然康托⾃⼰⽤抽象的⽅法定义了这个集合，但⼀般⽽⾔，现代最流⾏的构造是康托三分集，它是通过将⼀条线段的中间部分去掉⽽获得的。
康托⾃⼰只是顺便提及了三重构造，作为⽆处稠密的完备集的⼀般例⼦。
三分集的构造 康托三分集是由重复删除直线段中间的三分之⼀开区间⽽创造出来的。
先从区间[0，1]中间删除开区间(1/3, 2/3)，留下两边线段：[0, 1/3] ∪ [2/3, 1]。
下⼀步，删除留下的线段的各⾃的三分之⼀中间段，剩下四条直线段：[0, 1/9] ∪ [2/9, 1/3] ∪ [2/3, 7/9] ∪ [8/9, 1]。
⽆限重复这⼀过程，则第n个集合是合是：康托三分集包含区间[0, 1]内在每⼀步没被删除的所有的点。
计算表明康托集不包括任何⾮零的长度。
事实上，令⼈惊讶的是，它可能在所有中间被扣掉的部分之和就等于它的最初的长度。
然⽽，仔细观察这个过程却有很重要的东西被剩下，因为重复地消除只是中间的1/3开集（这个集合不包含它的端点）。
从最初的[0，1]线段中除去(1/3, 2/3)，⽽两个端点1/3和 2/3被留下。
随后的操作，不移动这些端点，因为被移除的部分总是在剩余部分的内部。
所以康托集是⾮空的，⽽事实上，它包括⽆限多个点。
Cantor三分集的Lebesgue测度为0，通俗点说长度为零。
康托三分集具有1）⾃相似性；2）精细结构；3）⽆穷操作或迭代过程；4）传统⼏何学陷⼊危机。
⽤传统的⼏何学术语难以描述，它既不满⾜某些简单条件如点的轨迹，也不是任何简单⽅程的解集。
其局部也同样难于描述。
因为每⼀点附近都有⼤量被各种不同间隔分开的其它点存在。
Cantor集、连续延拓定理Cantor集对[0,1]区间三等分, 去掉中间⼀个开区间, 然后对留下的两个闭区间继续三等分,去掉中间的开区间, 不断做下去, 最后留下来的点集称为Cantor 三分集, 记为C.它的性质(1) 分割点⼀定在Cantor集中,(2) C的"长度"为0，去掉的区间长度和$$\sum{\infty}_{n=1}\frac{1}{3n}\cdot 2^{n-1}=\frac{\frac{1}{3}}{1-\frac{2}{3}}=1.$$(3) C没有内点证明：对任意x∈C, x必被含于在第n次时留下的2n个长为1/3n的互不相交的某个闭区间I(n)i中,∀ε>0,1/3n<ε,I(n)i⊂B(x,ε),但由Cantor集的做法，要继续三等分去掉中间的⼀个开区间, 从⽽B(x,ε)内⾄少有⼀点不属于C, 所以x不可能是C的内点.(4) C中的点都是聚点, 从⽽没有孤⽴点.数的进制⼗进制⼩数：相应于对[0,1]⼗等分⼆进制⼩数：相应于对[0,1]⼆等分说明：对应于[0,1]⼗等分的端点有两种表⽰，如0.2000000..., 0.1999999...(⼗进制⼩数)(5) C的基数为ℵ,(利⽤三进制证明)证明思路：把[0,1]区间中的点都写成三进制⼩数, 则Cantor集的做法中去掉的点为⼩数位出现1的数的全体, 从⽽Cantor集为⼩数位只是0，2的点的全体，做对应X∈P→x=∞∑k=1a k3k(ak=0,2).说明：三等分的端点有必要特殊考虑, 因为它有两种表⽰,0.100000...=0.022222..., 0.200000...=0.122222...对x∈C, 令A={k|a k=0},则A⊂N+.对应关系x→A构成了C到P(N+)的⼀⼀映射.第⼀章集合与点集第六节点集间的距离定义1.16 设E⊂R n, f是定义在E上的实值函数, x0∈E, 若∀ε>0,∃δ>0,使得x∈E∩B(x0,δ)时候，|f(x)−f(x0)|<ε.称为f在x0点处连续.注：若f在E上连续, ⽽E0⊂E, 则f在E0连续.定理1.22 若E1,E2是闭集, f定义于E1∪E2上, 且分别在E1,E2上连续, 则f相对于E1∪E2也⼀定连续.证明：若x∈E1∪E2. 不妨设它为聚点, 因为E1,E2为闭集, 则E1∪E2内任⼀以x0为极限的点列{y k}只能有两种情况:其⼀, 从某⼀项起, 全部y k属于E1或E2(相应x0∈E1或x0∈E2.)容易证明.其⼆, {y k}由两个分别属于E1,E2的⽆穷⼦列组成, 此时, x0∈E1∪E2, 因为lim因此\lim\limits_{k\to\infty} f(y_k)=f(x_0).定理1.23 设f是\mathbb{R}^n中有界闭集E上的连续函数, 则(1) f在E上有界(2) f在E上取得最⼤值和最⼩值(3) f在E上⼀致连续定理1.24 设E\subset\mathbb{R}^n, f_1,f_2,\cdots是E上的连续函数列, 且k\to\infty时, \{f_k\}在E上⼀致收敛到函数f, 则f在E上连续.例20 对于任意的x_0\in\mathbb{R}^n, E\subset\mathbb{R}^n, 定义x_0到E的距离为d(x_0,E)=\inf\{d(x_0,y)|y\in E\}.证明：(1)若E是闭集, 则存在y_0\in E, 使得d(x_0,y_0)=d(x_0,E).对于任意点集A, B, 定义A, B之间的距离为d(A,B)=\inf\{d(x,y)|x\in A,y\in B\}.证明：(2)若A和B都是闭集, 其中⾄少有⼀个有界, 则存在x_0\in A, y_0\in B, 使得d(x_0,y_0)=d(A,B).集合的简单写法：{x\in E|f(x)>a}:=E(f>a).定理1.25 若函数f在E上连续, 则对任意的实数a, 存在开集G_a\subset\mathbb{R}^n, 使得E(f>a)=G_a\cap E.也存在开集H_a\subset\mathbb{R}^n, 使得E(f<a)=H_a\cap E.证明：对任意x\in E(f>a), 由于f在E上的点x连续, 必存在\delta=\delta(x,a)>0,使得y\in E\cap B(x,\delta)时, f(y)>a.因此若令G_a=\bigcup_{x\in E(f>a)} B(x,\delta), 则G_a是开集, 并且E(f>a)=G_a\cap E.同理可证, H_a.推论1 若函数f在E上连续, 则对任意的实数a, 存在闭集F_a\subset\mathbb{R}^n, 使得E(f\geq a)=F_a\cap E.也存在开集K_a\subset\mathbb{R}^n, 使得E(f\leq a)=K_a\cap E.推论2 若f在开集E连续, 则对于任意实数a, E(f>a)和E(f<a)是开集, 若函数f在闭集E上连续, 则对于任意实数a, E(f\geq a), E(f\leq a)是闭集.定理1.26 若f是\mathbb{R}^n的函数, 则对于任意实数a, E(f>a), E(f<a)总是开集, 则f在\mathbb{R}^n上连续. (开集与开集的交是开集，闭集与闭集的交为闭集）连续延拓定理引理：若F_1,F_2是\mathbb{R}^n中的两个不交的⾮空闭集, 则有连续函数f(x), 使得(1) 0\leq f(x)\leq 1(x\in\mathbb{R}^n);(2) F_1=\{x: f(x)=1\}, F_2=\{x: f(x)=0\}.证明：构造函数f(x)=\frac{d(x,F_2)}{d(x,F_1)+d(x,F_2)}, x\in\mathbb{R}^n.定理1.27 连续延拓定理：若F是\mathbb{R}^n中的闭集, f(x)是F上的连续函数, 且|f(x)|\leq M(x\in F),则存在\mathbb{R}^n上的连续函数g(x)满⾜|g(x)|\leq M, g(x)=f(x), x\in F.证明：把F分成三个点集：A=\{x\in F:M/3\leq f(x)\leq M\},B=\{x\in F:-M\leq f(x)\leq -M/3\},C=\{x\in F:其他\}.并作函数g_1(x)=\frac{M}{3}\cdot\frac{d(x,B)-d(x,A)}{d(x,B)+d(x,A)},x\in\mathbb{R}^n.Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/BasicLatin.js。
Cantor定理的证明引言Cantor定理是由德国数学家Georg Cantor在19世纪末提出的重要定理，它揭示了无穷集合的特殊性质。
本文将详细介绍Cantor定理的证明过程，以便读者更好地理解这一定理的背后原理和数学推导过程。
Cantor定理的表述Cantor定理的表述如下：对于任意集合A，集合A的幂集的势大于集合A的势。
换句话说，不存在一个从A到A的满射函数，即不存在一个将A的每个元素映射到A 中的每个元素的函数。
证明思路为了证明Cantor定理，我们将采用反证法的思路。
假设存在一个从集合A到自身的满射函数f，我们将通过构造一个不属于f的元素来推导出矛盾，从而证明Cantor定理。
证明过程1.假设存在一个从集合A到自身的满射函数f。
2.我们构造一个集合B，B的元素由A的所有元素组成，但是每个元素的对应关系与f不同。
具体地，对于A中的任意元素a，我们定义B中对应的元素b为：如果a不属于f(a)，则b=a；如果a属于f(a)，则b不属于f(a)。
3.由于f是一个满射函数，所以对于A中的任意元素a，必然存在一个元素b使得f(b)=a。
4.我们来考虑元素b。
如果b不属于f(b)，根据我们对B的定义，b应该属于f(b)，这与假设矛盾。
5.反之，如果b属于f(b)，根据我们对B的定义，b不应该属于f(b)，同样与假设矛盾。
6.由于无论b是否属于f(b)，都会导致矛盾，因此我们的假设不成立。
7.因此，不存在一个从集合A到自身的满射函数，即Cantor定理成立。
结论根据我们的证明过程，我们可以得出结论：对于任意集合A，不存在一个从A到A 的满射函数。
这意味着集合A的幂集的势大于集合A的势，即Cantor定理成立。
Cantor定理的证明过程相对简单明了，但却揭示了无穷集合的特殊性质。
它深刻地影响了数学的发展，并且在集合论、数论等领域中有着广泛的应用。
通过理解Cantor定理，我们可以更好地理解无穷集合的结构和性质，进一步拓展数学的边界。
康托尔集的性质及应用1 Cantor集的概念及性质1.1 Cantor集的概念我们先来回忆一下康托尔集的作法。
12将闭区间三等分，去掉中间的开区间，剩下两个闭区间[0,1](,)3312。
又把这两个闭区间各三等分，去掉中间的两个开区间，即[0,],[,1]33 1278n,1n。
一般地，当进行到第n次时，一共去掉个开区间，剩下个22(,),(,)9999n,n长度是的相互隔离的闭区间，而在第n+1次时，再将这2个闭区间各三等分，3并去掉中间的一个开区间，如此继续下去，就从去掉了可数个互不相交(而[0,1]且没有公共端点)的开区间。
剩下的集合称为康托尔集，记为P。
Cantor集是一个完全集,为具有连续基数的点集和不可数的零测度集,其性质在对许多问题的讨论中都起着很大的作用,也常是构造反例的基础,其特殊的构造过程和算术结构使它有许多奇特的性质.1.2 集合的性质Cantor集具有如下性质:非空有界闭集;具有连续基数,其基数为c;完备集,亦即为无孤立点的闭集,被挖去的开集G没有相邻接的构成区间;疏朗集;可测集且异常的公式结尾函数Lebesgue可积且积分值为零;P上的任何函数均是可测函数,零测度集上的任何函数均是可测函数。
下面我们从康托尔集合的做法中讨论一下它的性质，仅供读者学习实变函数论之参考。
2 Cantor集性质的应用2. 1 研究集合的有关性质为了推广区间长度的概念,对一般点集建立一种能反映集合的“容量”与长度概念相当的度量,这种度量既要发展长度的概念,又必须保留长度概念的某些最基本的性质,也就是集合的“测度”,测度理论是建立新型积分理论的基础.,定理1 对任何非负数,,,可作[,]ab的一个完备疏朗集E,0,,,llba,,使。
mE,,证明按下面的步骤完成E的构造:,,lG[,]ab第1步:在的中心处挖去的长度为的开区间,该开区间记为; 13l,,1第2步:在余下的两个闭区间中分别挖去其中心处的长度为,的开区33 G间,这些开区间的并记为; 2………l,,1n,1n,12第n步:在余下的个闭区间中,分别挖去其中心处的长度为的开,()33n,1G2区间,记这个互不相交的开区间之并为。
晋中学院XX学院本科毕业论文(设计)题目cantor集合的构造及推广院系XX学院专业XXXXXX姓名XXX学号XXXXXXX学习年限20XX 年XX 月至201XX 年XX月指导教师XXX 职称讲师申请学位学士学位年月日Cantor集的构造及其推广学生姓名:X X（XX级XX班）指导教师:XXX摘要：Cantor集是实变函数课程中一个重要的例子，它的非同寻常和神奇，不但表现在它的构造的特殊性，而且在于它有许多奇特的性质.本文首先从一维空间Cantor集的构造出发，讨论了它的性质，并给出了其一些简单的应用.同时，阐述了Cantor函数的定义；其次，从不同方面、不同角度探讨了一维空间中推广的Cantor集的构造，另外，还给出了一类疏朗完备集在区间[]b a,中的构造方法；最后，简单论述了二维空间的类Cantor集的构造．关键词：Cantor集；性质；应用；疏朗集；推广Construction and Generalization of Cantor setStudent: X XXInstructor: X XXAbstract:The Cantor set is an important example in the course of real variable function，it unusual and mysterious，not only in its structure is special，moreover lies in its unique properties．This paper first from one dimensional Cantor sets out，discussed its properties，and gives some simple applications. At the same time，elaborated the Cantor function is defined；Secondly，from different aspects，different angles of the one-dimensional space of generalized Cantor set construction，in addition，a construction method of nondense set in closed interval []b a,is given in this paper；Finally，discusses the two-dimensional space of class Cantor sets simply．Key words: Cantor set；properties；application；nondense set；generalization目 录引言 ..........................................................................................1 1． 集合论的产生背景与历史意义 (1)2. 一维空间中的Cantor 集............................................................2 2. 2 Cantor 集的构造..................................................................2 2. 2 Cantor 集的重要性质............................................................2 2. 3 Cantor 集的应用 (5)3． Cantor 函数的定义及性质...................................................8 4. 一维空间中推广的Cantor 集 (10)4．1 一维空间中推广的Cantor 集的构造....................................10 4．2 []b a n P ,的重要性质 (11)5． 二维空间的类Cantor 集...................................................12 参考文献 (14)引言集合论是19世纪末20世纪初德国伟大的数学家康托尔创立的，是现代数学中的基础理论，同时也被誉为“数学大厦的基石”.它的概念和方法已经渗透到分析、代数及拓扑学等众多数学分支以及物理学等一些学科中，并为这些学科提供了理论基础，推动了它们的发展.Cantor集也是实变函数中的一类重要的集合，其特殊的构造过程和算术结构，使它拥有许多奇特的性质，康托尔三分集就是Cantor集合中最常见的构造.本文阐述了Cantor集在一维空间中的构造、性质、应用以及Cantor函数的定义，叙述了一维空间中推广的Cantor集的构造及其重要性质，最后简单的说明了二维空间的类Cantor集.1. 集合论的产生背景与历史意义集合论在19世纪诞生的基本原因，来自数学分析基础的批判运动.数学分析的发展必然涉及到无穷过程，无穷小和无穷大这些无穷概念.在18世纪，由于无穷概念没有精确的定义，使微积分理论不仅遇到严重的逻辑困难，而且还使无穷概念在数学中信誉扫地.19世纪上半叶，柯西给出了极限概念的精确描述.在这基础上建立起连续、导数、微分、积分以及无穷级数的理论.正是这19世纪发展起来的极限理论相当完美的解决了微积分理论所遇到的逻辑困难.但是，柯西并没有彻底完成微积分的严密化.柯西思想有一定的模糊性，甚至产生逻辑矛盾.19世纪后期的数学家们发现使柯西产生逻辑矛盾的问题的原因在奠定微积分基础的极限概念上.严格地说柯西的极限概念并没有真正地摆脱几何直观，确实地建立在纯粹严密的算术的基础上.于是，许多受分析基础危机影响的数学家致力于分析的严格化.在这一过程中，都涉及到对微积分的基本研究对象─连续函数的描述.在数与连续性的定义中，有涉及关于无限的理论.因此，无限集合在数学上的存在问题又被提出来了.这自然也就导致寻求无限集合的理论基础的工作.总之，为寻求微积分彻底严密的算术化倾向，成了集合论产生的一个重要原因.如果没有集合论的观点，很难对现代数学获得一个深刻的理解.所以康托尔对集合论的创立，不仅对数学基础的研究有重要的意义，而且对现代数学的发展、哲学、逻辑学的学习也有深远的的影响.因此康托尔成为世纪之交的最伟大的数学家之一.2. 一维空间中Cantor集2.1Cantor集的构造Cantor 集的构造主要是指Cantor 三分集的构造. 将直线上的基本空间[]0,1用分点13和23三等分，去掉中间的开区间，记为()1112,33I ⎛⎫= ⎪⎝⎭.把剩下两个闭区间10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦，2,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦分别再三等分，然后各去掉中间的开区间，记为()2112,99I ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()2278,99I ⎛⎫= ⎪⎝⎭.余下4个闭区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡231,0，⎥⎦⎤⎢⎣⎡2233,32 ， ⎥⎦⎤⎢⎣⎡2237,36，⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,382，又分别把这些闭区间三等分，并各去掉中间的开区间，记为()⎪⎭⎫⎝⎛=233132,31I ，()⎪⎭⎫ ⎝⎛=233238,37I ，()⎪⎭⎫ ⎝⎛=2333320,319I ，()⎪⎭⎫ ⎝⎛=2334326,325I .如此方法进行下去，第n 次时，去掉的开区间（称为第n 级区间，每个区间的长度为n 31，计有12-n 个）：()112,33n n n I ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()278,33n n n I ⎛⎫= ⎪⎝⎭，，()223231,33n n n n n n I -⎛⎫--= ⎪⎝⎭，记 kn n k I G ,0=，() ,2,1;2,,3,2,11==-n k n 这是开集，所以[]001,0G P -=是闭级，称0P 为Cantor 集.2.2 Cantor 集的重要性质1. 0P 是非空闭集.这是显然的，在0P 的构造中0G 是任意个开集的并，所以0G 仍是开集，0P 是0G 的补集，所以0P 是闭集.同时被去掉的开区间的端点及0，1都不会被除去而留在0P 内，所以0P 是非空的.所以0P 是非空闭集.2. 0P 是完备集.由性质1可知， 0P 是一个非空闭集.欲证明0P 是完备集，只须证明0P 中无孤立点，若不然，假设0P 有一个孤立点0x ，易知端点0与1是0P 的聚点，故00x ≠或 1.在()0,1中存在构成区间()00,x α与()00,x β，其中均无0P 的点，即()00,x α0G ⊂且()00,x β0G ⊂，但0x 0G ∉.()00,x α，()00,x β将分别包含在的两个构成区间()0,x α与()0,x β中，也即0x 为0G 的某个构成区间的公共端点，而据0G 的构造可知，这是不可能的.所以,0P 是无孤立点的非空闭集.0P 是完备集.3. 0P 没有内点且为疏朗集.事实上，在0P 的作法中讲过，“去掉”过程进行到第n 次为止时，剩下2n 个长度是3n -的互相隔离的闭区间，因此任何一点00P x ∈必含在这2n 个闭区间的某一个里面.从而在0x 的任一邻域()0,3n x -内至少有一点不属于0P，但()30n n -→→∞，故0x 不可能是0P 的内点.0P 既然是没有内点的闭集，那么在直线上任一开区间I 内必至少含有开集0P 的一点，从而I 内必至少有一子开区间，其中不含0P 的点.凡是一个点集E (不限于1R 中)，如果具有性质:空间任一邻域内至少包含某点的一个邻域，其中不含E 的点，则称E 为疏朗集合，或无处稠密集合(E 是疏朗集合的特征是E 没有内点).因此0P 是一个疏朗集合.4. 0P 有连续基数.先用三进位有限小数来表示0P 的余区间的端点.则有()()110.1,0.2,I =()()210.01,0.02,I =()()220.21,0.22,I =()()310.001,0.002,I =()()320.021,0.022,I = ()()330.201,0.202,I = ()()340.221,0.222I =.可以看出第n 级余区间()()11,2,,2n n k I k -=形如()1211210.1,0.2n n αααααα--，其中121,,.n ααα-都是0或2.因此，0P 的余区间中的点有形式 112110+-n n αααα.即[]G -1,0中的数展成三进制小数时，其中至少有一位是1.我们考察形如122333nnx ααα=++++的小数，其中每个系数n α都是0或者2，这种小数全体记为A .由于[]0,1A ⊂而[]01,0G -中的数展开成三进制小数中n α至少有一位是1，所以[]01,0G -中没有A 的数，因而有0P A ⊂.令B 是[]0,1的二进制小数表示全体(也采用二进制有理小数的有限位小数表示).作A 到B 的映射ϕ，111:322nnnn n n x ααϕ∞∞===→⋅∑∑其中0n α=或2，这个映射是一一映射，但B 的基数是ℵ，所以A 的基数也是ℵ.由0P A ⊂得ℵ≥0P ，又ℵ≤0P ，所以ℵ=0P .5. 0P 是不可列集.若不然，假设0P 是可列的，将0P 中点编号成点列 ,,,,21k x x x ，也就是说，0P 中任一点必在上述点列中出现.显然，⎥⎦⎤⎢⎣⎡31,0与⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,32中应有一个不含有1x ，用1I 表示这个闭区间.将1I 三等分后所得的左与右两个闭区间中，应有一个不含2x ，用2I 表示它.然后用3\I 表示三等分2I 时不含3x 的左或右的那个闭区间，如此等等.这样，根据归纳法，得到一个闭区间列{}N k k I ∈.由所述取法知， ⊃⊃⊃⊃k I I I 21，k k I x ∉，N k ∈; 同时，易见k I 的长为()∞→→k k 031.于是根据数学分析中区间套定理，存在点k I ∈ξ，N k ∈.可是ξ是k I 等的端点集的聚点，从而是闭集0P 的聚点，故0P ∈ξ.由于上面已指出k k I x ∉，N k ∈，故k x ≠ξ，N k ∈.这是一个矛盾.故0P 不可列.6.0P 的测度为零.为了证明0P 的测度为零，只需证明被挖去的区间(){}()11,2,,2n n k I k -=的长度之和为1.事实上，第n 级区间()n k I 的长度是13n ，但第n 级区间共有12n -个，所以被挖去的区间(){}n kI 的总长度为11213n n n -∞==∑.则[]()[]01132111,01,011,0=-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=-=∑∞--n n n k n n k m I m mG m G m mP . 所以0P 是一个测度为零的不可列集.7. 0P 上的任何函数均是可测函数.零测度集上的任何子集都是可测的.8. 0P 上的任何函数勒贝格可积.零测度集上的任何函数勒贝格可积，且积分值为零.2.3 Cantor 集的应用例1 试作一闭集[]1,0⊆F ，使F 中不含任何开区间，且41=F μ. 解 仿照Cantor 集的作法步骤完成F 的构造： 第一步：在[]1,0的中央去掉长为41的开区间⎪⎭⎫ ⎝⎛=85,831G ； 第二步：在余下的两个闭区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡83,0和⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,85中分别去掉中央处长为4131⨯的开区间，它们的并是⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=4841,48374811,4872 G ；…………第n 步：在余下的12-n 个闭区间中，分别去掉其中央处长为41311⨯⎪⎭⎫⎝⎛-n 的开区间，记这12-n 个互不相交的开区间之并为n G . …………令G 为开集，且[]G F -=1,0与Cantor 集具有类似的性质；从而F 为可测集，且433241111=⎪⎭⎫⎝⎛==-∞=∞=∑∑n n n n G G μμ. 故[]414311,0=-=-=G F μμμ. 例 2 在[]1,0上定义()x f ：在Cantor 集0P 中的点x ，有()0=x f ；在0P 的邻区间()n n βα,中点2nn x βα+=，有()1=x f ；⎥⎦⎤⎝⎛+⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∈n n n nnn x ββαβαα,22, 时()x f 是线性的.试计算()dx x f ⎰1.解 将[]1,0分成两两不相交的集之并：[]()()() n n P βαβαβα,,,1,022110=由Cantor 集的构造知，()111,βα=G 是一个长为31的区间，()()33222,,βαβα =G 是12个长为231的区间的并，()()77443,,βαβα =G 是22个长为331的区间的并……nG是12-n 个长为n 31的区间的并，由积分的完全可加性得： ()()()∑⎰⎰⎰∞=+=11n P dx x f dx x f dx x f nnβα由Cantor 集的性质8有()00=⎰P dx x f ，又由于()x f 在()n n βα,上黎曼可积，因此()()()()dx x f R dx x f L nnn n⎰⎰=βαβα等于相应三角形面积()23111=⎰βαdx x f ，()()231233221==⎰⎰dx x f dx x f βαβα， ()()()()231377665544====⎰⎰⎰⎰dx x f dx x f dx x f dx x f βαβαβαβα， ……………求和得：()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++++=-⎰n n dx x f 323232312113221⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++=- 12323232161n21=. 例3 设E 是康托尔三分集的补集中构成区间的中点所成的集，求E '.证明 若0G x ∈，则x 必属于0G 的某一构成区间(),i i αβ.由于在x 的邻域(),i i αβ中，只有一点2i iE αβ+∈，故x 不可能是E 的聚点.若0P x ∈，由康托尔集的构造知，x 的任一邻域(),x ε必含有0G 的某个构成区间(),i i αβ，于是必有E 的点(),2i ix αβε+∈，故x 为的E 聚点.综上便得E E ='.例4 设()x f 在Cantor 集0P 上为0，而在0P 的补集0G 中长为n 31的构成区间上()x f 为()n n 1+，求积分()dx x f ⎰10.解 令n G 为0G 中长为n 31的各区间之并，则nG 有12-n 个长为n31的开区间，且n n n G 3121⋅=-μ，由题意知 ()()()⎩⎨⎧=∈+∈= ,3,2,1;,1,00n G x n n P x x f n由积分的完全可加性及Cantor 集的性质8可知：()()()⎰⎰⎰+=01G P dx x f dx x f dx x f()ndx n dx n nG P ⎰⎰∑++=∞=1010()∑⎰∞=+=11n G nndx n∑∞=⋅=1n n G n μ()1132131-∞=⎪⎭⎫⎝⎛⋅+=∑n n n n令()()111-∞=⋅+=∑n n x n n x h ，则由幂级数的求和运算得：()()312x x h -=，从而()1832311=⎪⎭⎫⎝⎛⋅=⎰h dx x f . 例5 设0P 为Cantor 集，E 为[]1,0中的不可数集，在[]1,0上定义函数()[]⎩⎨⎧-∈+∈+=EP x x EP x x x f 0201,0,4,2，判断()x f 在[]0,1上是否可测.解 由上面的性质6可知，00=mP ，又00P E P = ，由测度的单调性及非负性有()00=E P m ，即()42+=x x f ，从而()x f 在[]0,1上可测.上述我们仅从几个不同的侧面举例讨论Cantor 集的运用，研究和掌握Cantor 集的性质有助于研究直线上点集的性质.特别地，经常运用Cantor 集说明问题和构造反例. 3. Cantor 函数的定义及性质设C 是[]0,1中的Cantor 集，其中的点我们用三进位小数123iii x α∞==∑， 0,1i α=;1,2,i=来表示.(1)作定义在C 上的函数()x ϕ. 对于x C ∈，定义()11232i ii i i i x ααϕϕ∞∞==⎛⎫== ⎪⎝⎭∑∑,0,1i α=;1,2,i =.因为[]0,1中的点可以用二进小数表示，所以有()[]0,1C ϕ=. 下面证明()x ϕ是C 上的单调上升函数.设1212,,;,ααββ是取0或1的数，而且它们所表示的C 中的数有下述关系:112233iiiii i αβ∞∞==<∑∑.若记{}min |i i k i αβ=≠，则我们有110333i ik ki iikii i k βαβαβα∞∞==+---<=+∑∑11223133313k k k k k k i ki k βαβα∞+=+--≤+=+-∑ 13k k k βα-+=.从而得到(注意:k k αβ≠，则k k αβ<.由此知0,1k k αβ==)111123222k i i i i i i i i i i i i k ααααϕ∞∞-∞====⎛⎫==+ ⎪⎝⎭∑∑∑∑11111112222k k ii i i i k i i k i ββ-∞-==+=≤+=+∑∑∑1112223k i ii i i i i i k i βββϕ-∞∞===⎛⎫≤+= ⎪⎝⎭∑∑∑.(2)作定义在[]0,1上的函数()x Φ. 对于[]0,1x ∈，定义()(){}sup |,x y y C y x ϕΦ=∈≤.显然，()x Φ是[]0,1上的单调上升函数，因为[]()[]0,10,1Φ=，所以()x Φ是[]0,1上的连续函数.此外，在构造Cantor 集的过程中所移去的每个中央三分开区间n k I 上，都是常数.我们称()x Φ为Cantor 函数.1. Cantor 函数是[]1,0上的单增函数由其构造方法易得这个性质，在这里就不证明了 2. Cantor 函数是[]1,0上的连续函数引理：f 是[]b a ,上的单增实值函数，[]()b a f ,是区间()()[]b f a f ,的稠密子集，则f 连续.证明：首先证明f 在a x =连续，由假设知对于任意的ε>0，存在[]b a y ,∈，使得()()b f a f -<ε利用f 的单调性知道：当a <x <y 时ε>()()a f x f ->0这样f 在a x =连续，同理可证明f 在b x =连续. 现在取()b a x ,0∈我们只要证明：()()()+-==000x f x f x f明显：()()+-≤00x f x f ，假如二者不相等，则有()-0x f <()0x f 这样我们可以取数λ和0ε>0，使得()00ε+-x f <λ<()00ε-+x f这和[]()b a f ,在()()[]b f a f ,中的稠密矛盾：同理可以证明()()+=00x f x f 证明：由于：() ∞=-⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤-=1121:212n n n k k G f在[]1,0中稠密，因此[]()1,0f 是[]1,0的稠密子集.得到上述引理，f 是[]1,0上的连续函数. 4. 一维空间中推广的Cantor 集Cantor 集是在区间[]0,1上用十分奇特的方法构造出来的一个完备疏朗集.它不含任何区间，测度为0，是点集中的一个重要例子.现将其用灵活的方法，推广在区间[],a b 上. 4.1 一维空间中推广的Cantor 集的构造任何闭区间[],a b 内均含有一个完备疏朗集.闭区间[],a b 上去掉长度为b an-的开区间()()11,22n n a b a a b a n n -+⎛⎫+-+- ⎪⎝⎭，剩下两个长度为()()12n b a n --的闭区间，又分别在剩下的两个闭区间中间去掉长度为2b a n -的开区间，剩下22个长度为()()()2122n n b a n --⎡⎤⎣⎦-的闭区间.再分别在又剩下的四个闭区间中间去掉长度为3b an-的开区间，剩下32个长度为()()(){}231222b a n n n n -⋅---⎡⎤⎣⎦的闭区间.一般地，当进行第m 次时一共去掉12m -个开区间，剩下2m个长度为()()(){}{}22112222m m m b a n n n n n n --⎧⎫-----⎡⎤⎨⎬⎣⎦⎩⎭个的互相隔离的闭区间.而在第1m +次时，再在这剩下的2m 个闭区间中间，按照上述作法规律各去掉一个开区间，如此这样继续下去.就从[],a b 去掉了可数个互不相交的开区间.由于直线上的闭集或者是全直线，或者是从直线上挖掉有限个或可数个互不相交的开区间所得到的集.所以剩下的必是闭集.于是我们就得到一簇(n a b 、、取值不同，得到的集不同)闭集，记作[](),3n a b P n ≥. 4.2 [],n a b P 的重要性质1. [],n a b P 可测且测度由a b 、和n 的值确定. 证明 因为凡闭集皆可测，故[],n a b P 可测.将构造过程中去掉的开区间的并记为_n P .由可测集合的可数可加性有:_23234222n b a b a b a b am P n n n n ----=+⋅+⋅+⋅+1221b a b an n n ⎡⎤⎢⎥--==⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦所以，[][]()_,3,22n n a b b a n mP m a b m P b a b a n n --=-=--=---.2. [],n a b P 是完备集.由于[],n a b P 的邻接区间的作法，它们的任何两个之间根本不存在公共端点，故[],n a b P 是完备集. 3. [],n a b P 没有内点.在[],n a b P 的构造过程中“去掉”手续进行到第m 次为止时，剩下2m个长度为()()(){}{}22112222m m m b a n n n nn n --⎧⎫-----⎡⎤⎨⎬⎣⎦⎩⎭个的互相隔离的闭区间.因此任何一点[]0,n a b x P ∈必含在这2m 个闭区间的某一个里面，从而在0x 的任一邻域()()(){}{}2210,12222m m m b a x n n n n n n --⎛⎫⎧⎫-----⎡⎤ ⎪⎨⎬⎣⎦ ⎪⎩⎭⎝⎭个内至少有一点不属于[],n a b P ，但()()(){}{}221lim 122202m m m m b a n n n n n n --→∞⎧⎫-----=⎡⎤⎨⎬⎣⎦⎩⎭个，故0x 不可能是[],n a b P 的内点. 因为[][]_,,n a b n a b P P =，即[]_,n a b P 没有内点，所以[],n a b P 是疏朗集. 显然当3,0,1n a b ===时，[]30,1P 即Cantor 集合. 5. 二维空间的类Cantor 集可数个互不相交区间的长度的总和等于每个区间长度的和.于是[]0\1,0P 的长度总和为11231n nn ∞--==∑.我们还可以在[]0,1中做出总长度为δ(01δ<<是任意给定的数)的稠密开集.为此，取δδ21+=p ，并采用类似于Cantor 集的构造过程：第一步，我们移去长度为p1的同心开区间；第二步，在留存的两个闭区间的每一个中，又移去长度为21p的同心开区间；第三步，在留存的四个闭区间中再移去长度为31p 的同心区间；….继续此过程，可得一列移去的开区间，记其并集为G(开集)，则G 的总长度为111122nn n p p δ∞-=⎛⎫== ⎪-⎝⎭∑. 我们称[]0,1\p C G =为类Cantor 集（当3p =时，p C 就是Cantor （三分）集）.pC 也是非空完全集，且没有内点.由此还易知:若要在n R 的单位方体[][][]0,10,10,1⨯⨯⨯中构造具有类似性质的集合，则只需取C C C ⨯⨯⨯(C 是[]0,1中的类Cantor 集)即可.（类Cantor 集也称Harnack 集）Cantor 集推广到二维空间中若要在2R 的单位平面[][]0,10,1⨯上构造具有类似性质的集合，只需取C C ⨯(C 是[]0,1中的类Cantor 集)即可.例 将边长为1面积为4的正三角形S 用三条边的中点连线四等分，去掉中间的正三角形(开区间)记为()11I .把剩下的3正三角形(闭区间)分别再四等分，然后各去掉中间的正三角形(开区间)，记为()21I ，()22I ，()23I .余下9形(闭区间)，又分别把这些正三角形四等分，并各去掉中间的三角形(开区间)，记为()31I ，()32I ，()33I ，()34I ，()35I ，()36I ，()37I ，()38I ，()39I .余下27的正三角形(闭区间).依次类推，第n 次去掉中间的三角形(开区间)是()1n I ，()2nI ()13n nI -.令()()10,1,23,1,2n n k n kG I k n -===称0P S G=-为二维空间的康托尔集.1. 0P 的测度为零.由正三角形的分割方法可知，第1次去掉的开区间()11I 的面积为16.第2次去掉的开区间()21I ，()22I ，()23I的面积为64.第3次去掉的开区间()31I ，()32I ，()33I ，()34I ，()35I ，()36I ，()37I ，()38I ，()39I第n 次去掉的开区间()1n I ，()2nI ()13n nI -的面积为14n +.因此被挖掉的开区间{()n kI }的总面积为1n ∞==.则()000mP m S G mS mG =-=-()1,13044444n n k n n k n m I m -∞+=⎛⎛⎫=-=-=-=⎪ ⎝⎭⎝⎭∑. 所以0P 的测度为零.2. 0P 没有内点.根据0P 的构造方法可知:“去掉”手续进行到第n 次为止时，剩下3n的互相间隔的闭区间.因此，任何一点00x P ∈必含在这3n 个闭区间的某一个里面，从而在以0x 为中心面积为的圆邻域内至少有一点不属于0P ，但()04nn →→∞，故0x 不可能是0P 的内点.所以0P 没有内点.3. 0P 是疏朗集合.0P 既然是没有内点的闭集，那么在任一开区间I 内至少含有开集0P 的一点，从而I 内至少有一子开区间，其中不含0P 的点.根据疏朗集的定义可知，0P 是疏朗集合.4. 0P 是完全集.由0P 的构造过程知，0P 是一非空闭集，又因为集合中每点都是这个集合的聚点，故0P 是自密闭集，即完全集.参考文献［1］郑维行，王声望．实变函数与泛函分析概要[M].第四版．高等教育出版社，2010年．［2］吴卓人.实变函数论与泛函分析[M].第二版.北京:高等教育出版社，1981.［3］郑海云.关于康托尔集的推广[J].雁北师院学报，1997，13(2):3-4.［4］江泽坚，吴智泉.实变函数论[M].北京:高等教育出版社，1992.［5］程其襄，张奠宙.实变函数与泛函分析基础[M].第二版.北京:高等教育出版社，2003. ［6］张喜堂.实变函数论的典型问题与方法[M].武汉:华中师范大学出版社，2000.［5］魏国强，胡善文.实变函数简明教程[Z].上海:华东师范大学出版社，2001.。
