[公开课优质课课件]解析椭圆的离心率求法

[公开课优质课课件]详解椭圆曲线的离心
率求解
简介
本课程将详细解释椭圆曲线的离心率求解方法。

通过本课程，您将了解离心率的概念、计算方法，以及椭圆曲线上离心率的意义和应用。

椭圆曲线和离心率
椭圆曲线是平面上一组满足特定数学方程的点的集合。

离心率是描述椭圆曲线形状的一个重要参数，它衡量了椭圆曲线的扁平程度。

离心率的取值范围是0到1，离心率越接近0，椭圆曲线越接近圆形；离心率越接近1，椭圆曲线越扁平。

离心率的计算方法
离心率的计算方法可通过椭圆曲线的半长轴和半短轴长度进行求解。

我们可以使用以下公式计算离心率：
离心率 = sqrt(半长轴^2 - 半短轴^2) / 半长轴
其中，sqrt表示计算平方根。

离心率的结果是一个在0到1之间的实数。

离心率的意义和应用
离心率对于椭圆曲线的几何特征和性质具有重要影响。

离心率越大，曲线越扁平，其特征点和形状会有所改变。

离心率的值还可以用来判断椭圆曲线是否为圆形、椭圆或双曲线，并对密码学等领域的算法和保密性产生重要影响。

感谢您参加本次公开课，希望通过本课程的学习，您能更好地理解椭圆曲线的离心率求解方法及其应用。

离心率的五种求法椭圆的商心率0<0<1,双曲线的商心率丘>1,抛物线的离心率e = \. 一、直接求出“、J 求解《巳知圆锥曲线的标准方程或4、e 易求时，可利用率心率公式0 =上来解决。

a例1:已知双曲线^y-y 2 =1 (d>0)的一条淮线与抛物线y 2 =-6x 的准线重合, 则该双曲线的离心率为()A •迺B. 22 2Q 2 解：抛物线y 2 =-6x 的准线是X = -,即双曲线的右准线X =—2c2c 2 — 3c — 2 = 0 > 解得 c = 2 , a = -x/3，e =—=——,故选 r> a 3变式练习1：若椭圆通过原点，且核心为仟(1,0)、竹(3,0),则其商心率为()A. -B. -C. -D.丄43 24解：由片(1,0)、F 2(3,0)知 2c = 3 —1, • • c = 1 ,又T 椭圆过原点,■•a_c = l, a + c = 3 > • • a = 2 , c = 1 ,所以离心率e = — = — •故选C ・a 2变式练习2:若是双曲线的实半轴长为2,焦距为6,那么双曲线的离心率为()A. —B. —C. - D 22 2 2c 3解：由题设a = 2, 2C = 69则c = 3, ^ =-=-,因此选Ca 2变式练习3：点P (-3, 1)在椭圆亠+二=1 (a >b>0)的左准线上，过点P 且方向 a 2b 2为a =(2,-5)的光线，经直线$ = -2反射后通过椭圆的左核心，则这个椭圆的离心率为()Di 2解：由题意知，入射光线为y-l=--(x + 3),关于y = —2的反射光线(对称关系)为 2 尤“c J3c解得 a = \[3 9 c = 1,则 e = — = •故选A云+ 5 = 0"3二、构造"、。

的齐次式，解出fV 6 TB !35x-2y+ 5 = 0,贝ij<按照题设条件，借助〃、b、C之间的关系，构造"、e的关系（特别是齐二次式），进而取得关于0的一元方程，从而解得离心率2 2例2：已知片、化是双曲线二一匚=1 （。

离心率的五种求法椭圆的离心率10<<e ，双曲线的离心率1>e ，抛物线的离心率1=e ． 一、直接求出a 、c ，求解e已知圆锥曲线的标准方程或a 、c 易求时，可利用率心率公式ac e =来解决。

例1：已知双曲线1222=-y ax （0>a ）的一条准线与抛物线x y 62-=的准线重合，则该双曲线的离心率为（）A.23 B. 23 C. 26D.332 解：抛物线x y 62-=的准线是23=x ，即双曲线的右准线23122=-==c c c a x ，则02322=--c c ，解得2=c ，3=a ，332==a c e ，故选D变式练习1：若椭圆经过原点，且焦点为()0,11F 、()0,32F ，则其离心率为（）A. 43B. 32C. 21D. 41解：由()0,11F 、()0,32F 知132-=c ，∴1=c ，又∵椭圆过原点，∴1=-c a ，3=+c a ，∴2=a ，1=c ，所以离心率21==a c e .故选C. 变式练习2：如果双曲线的实半轴长为2，焦距为6，那么双曲线的离心率为（）A.23B. 26C. 23 D 2解：由题设2=a ，62=c ，则3=c ，23==a c e ，因此选C 变式练习3：点P （-3，1）在椭圆12222=+by a x （0>>b a ）的左准线上，过点P 且方向为()5,2-=的光线，经直线2-=y 反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为（）A33 B 31 C 22D 21 解：由题意知，入射光线为()3251+-=-x y ，关于2-=y 的反射光线（对称关系）为0525=+-y x ，则⎪⎩⎪⎨⎧=+-=05532c ca 解得3=a ，1=c ，则33==a c e ，故选A 二、构造a 、c 的齐次式，解出e 根据题设条件，借助a 、b 、c 之间的关系，构造a 、c 的关系（特别是齐二次式），进而得到关于e 的一元方程，从而解得离心率e 。

第一篇圆锥曲线专题05离心率的求法一、求离心率值的问题求离心率的值需要构造一个含有,,a b c 或数字的等式，而等式关系如何构造，只能依照题目中给出的条件结合几何形状见招拆招，没套路可言。

1、基本方法：从定义出发，特别注意第一定义中的焦点三角形问题，以椭圆为例，在焦点三角形中三条边中蕴含了,a c 的关系，因此如果能找出三条边的关系也就可以求出离心率的值。

例1：如图，12,F F 是椭圆221:14x C y +=和双曲线2C 的公共焦点，若四边形12AF BF 为矩形，则双曲线的离心率为____________.【解析】关于共焦点的问题，c 相等，在椭圆里面1224AF AF a +==在12RT AF F ∆中满足2221212+=AF AF F F ，解得12AF AF则在双曲线中a c ==62e =例2：设椭圆的两个焦点分别是12,F F ，过2F 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若12F PF ∆为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为_________.2、几何法，几何方法不是方法，而是分析几何图形的能力，根据题目中给出的或隐含的条件找出等量关系即可，比如题目中给出的等腰，中垂线，垂直等条件都可能是破解题目的入手点。

例3：已知,A B 为双曲线E 的左右顶点，点M 在E 上，ABM ∆为等腰三角形且顶角为120︒，则E 的离心率为_________.上图中A,B 两点不是焦点，2AB a =,且条件中没有b 和c 的量，因此无法构成等量关系，但是注意双曲线的方程本身就是包含,a b 的等式，因此题目的关键不是构造等式而是求出点M 的坐标，代入到双曲线的方程中即可求出离心率。

【解析】从M 点作x 轴的垂线，垂足为C ，因为2,60BM a MBC ︒=∠=所以,BC a MC ==，所以点M 的坐标为(2)a 代入到双曲线中得2222(2)(3)1a a b -=整理得e =例4：设12,F F 分别是椭圆2222:1x y E a b+=的左右焦点，过点1F 的直线交椭圆E 于A,B 两点，11||3||AF BF =，若23cos 5AF B ∠=，求椭圆E 的离心率。