专题1.1 如何破解集合间的关系类问题-备战2019年高考高三数学一轮热点难点一网打尽(解析版)

名师揭秘2019年高考数学（文理）命题热点全覆盖（33份）专题01 集合的解题技巧一、集合的解题技巧及注意事项1.元素与集合，集合与集合关系混淆问题；2.造成集合中元素重复问题；3.隐含条件问题；4.代表元变化问题；5.分类讨论问题；6．子集中忽视空集问题；7.新定义问题；8.任意、存在问题中的最值问题；9.集合的运算问题；10.集合的综合问题。

二．知识点【学习目标】1．了解集合的含义、元素与集合的“属于”关系，能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)来描述不同的具体问题，理解集合中元素的互异性；2．理解集合之间包含和相等的含义，能识别给定集合的子集，了解在具体情境中全集与空集的含义；3．理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集，理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；4．能使用韦恩(Venn)图表达集合间的关系与运算．【知识要点】1．集合的含义与表示(1)一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合，简称集．(2)集合中的元素的三个特征：确定性、互异性、无序性(3)集合的表示方法有：描述法、列举法、区间法、图示法(4)集合中元素与集合的关系分为属于与不属于两种，分别用“∈”或“∉”来表示．(5)常用的数集：自然数集N；正整数集N*(或N＋)；整数集Z；有理数集Q；实数集R.2．集合之间的关系(1)一般地，对于两个集合A ，B .如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A 为集合B 的子集，记作A B ⊆；若A ⊆B ，且A ≠B ，则A B ⊂，我们就说A 是B 的真子集．(2)不含任何元素的集合叫做空集，记作Φ，它是任何集合的子集，即∅⊆A ． 3．集合的基本运算(1)并集：A ∪B ＝{x |x ∈A 或x ∈B }； (2)交集：A ∩B ＝{x |x ∈A 且x ∈B }； (3)补集：∁U A ＝．4．集合的运算性质(1)A ∩B ＝A ⇔A ⊆B ，A ∩A ＝A ，A ∩∅＝∅；(2)A ∪B ＝A ⇔A ⊇B ，A ∪A ＝A ，A ∪∅＝A ； (3)A ⊆B ，B ⊆C ，则A ⊆C ；【点评】：注意两个集合代表元的条件，容易忽视集合中元素属于整数的条件.练习2．【江西省九江市2019届高三第一次联考】已知集合，集合,则图中的阴影部分表示的集合是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】图中阴影部分表示的集合为，所以先求出集合A,B 后可得结论．【解析】由题意得，所以，即图中阴影部分表示的集合为．故选C ．【点评】本题考查集合的元素、韦恩图和集合的补集运算，解题的关键是认清图中阴影部分表示的集合以及所给集合中元素的特征，属于基础题．（四）代表元变化问题【内蒙古鄂尔多斯市一中2018-2019模拟】已知A＝{y|y＝log2x，x>1}，B=,则（) 例4．A．B．C．D．【答案】C【分析】利用对数性质和交集定义求解．【解析】∵A={y|y=log2x，x>1}={y|y>0}，B=，∴A∩B={x|0x≤1}= ．故选C．【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要注意对数函数的性质的灵活运用．练习1.【华东师范大学附中2018-2019学年试题】集合，的元素只有1个，则的取值范围是__________.【答案】【分析】由中有且仅有一个元素，可知两个方程联立得到方程是一次方程或二次方程有两个相等的根；利用分类讨论思想，可求出的范围.【解析】联立即，是单元素集，分两种情况考虑:，方程有两个相等的实数根，即，可得,解得，方程只有一个根，符合题意，综上,的范围为故答案为.【点评】本题主要考查集合交集的定义与性质以及一元二次方程根与系数的关系，意在考查综合应用所学知识解答问题的能力，属于中档题.练习2.同时满足：①M ⊆{1，2，3，4，5}；②a∈M且6－a∈M的非空集合M有()A．9个B．8个C．7个D．6个【答案】C共有7个集合满足条件，故选C.【点评】本题主要考查了元素与集合的关系，以及集合与集合的关系的判定与应用，其中熟记元素与集合的关系，以及集合与集合的包含关系是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.（五）分类讨论问题例5. 【九江市2019届高三第一次十校联考】（1）求解高次不等式的解集A；（2）若的值域为B,A B=B求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）【分析】（1）利用讨论的方法求得不等式的解集A；（2）根据函数的单调性求出值域B，由得，转化为不式等组求解，可得所求范围．【解析】（1）①当时，原不等式成立．②当时，原不等式等价于，解得.，综上可得原不等式的解集为，∴．（2）由题意得函数在区间上单调递减，∴，∴，∴．∵，∴，∴，解得，∴实数的取值范围是．【点评】解答本题时注意转化思想方法的运用，已知集合的包含关系求参数的取值范围时，可根据数轴将问题转化为不等式（组）求解，转化时要注意不等式中的等号能否成立，解题的关键是深刻理解集合包含关系的含义．练习1.设集合，，若，求实数a的取值范围；若，求实数a的取值范围．【答案】（1）（2）【分析】（1）由题意得，，根据可得，从而可解出的取值范围；（2）先求出，根据可得到，解出的取值范围即可．【解析】由题意得，；（1）∵，∴，解得，又，∴，∴实数的取值范围为．（2）由题意得，∵，∴，解得．∴实数的取值范围为．【点评】本题考查集合表示中描述法的定义，一元二次不等式的解法，子集的概念，以及交集的运算．根据集合间的包含关系求参数的取值范围时，注意转化方法的运用，特别要注意不等式中的等号能否成立．（六）子集中忽视空集问题例6【云南省2018-2019学年期中考试】已知集合，若，则的取值集合是（）A．B．C．D．【分析】本题考查集合间的包含关系，先将集合，化简，然后再根据分类讨论．【解析】∵集合∴若，即时，满足条件；若，则.∵∴或∴或综上，或或.故选C.【点评】本题主要考查利用集合子集关系确定参数问题，易错点是化简集合时没有注意时的特殊情况．练习1.已知集合，．（1）若，求;（2）若，求实数的取值范围．【答案】(1) (2) 或【点评】由集合间的关系求参数时，常借助数轴来建立不等关系求解，此时应注意端点处是实点还是虚点（七）新定义问题例7．【清华附属中2018-2019学年试题】集合A，B的并集A∪B＝｛1，2｝，当且仅当A≠B时，（A，B）与（B，A）视为不同的对，则这样的（A，B）对的个数有__________.【分析】根据条件列举，即得结果.【解析】由题意得满足题意的（A，B）为：A=，B＝｛1，2｝；A=｛1｝，B＝｛2｝；A=｛1｝，B＝｛1，2｝；A=｛2｝，B＝｛1｝；A=｛2｝，B＝｛1，2｝；A=｛1，2｝，B＝；A=｛1，2｝，B＝｛1｝；A=｛1，2｝，B＝｛2｝；共8个.【点评】本题考查集合子集与并集，考查基本分析求解能力.练习1．【华东师范大学附中2019届高三数学试卷】已知集合M=，集合M的所有非空子集依次记为：M1，M2，...,M15，设m1，m2，...，m15分别是上述每一个子集内元素的乘积，规定：如果子集中只有一个元素，乘积即为该元素本身，则m1+m2+...+m15=_____【答案】【分析】根据二项式定理的推导过程构造出函数，当时，函数的值就是所有子集的乘积。

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专题1.1 如何破解集合间的关系类问题考纲要求：1.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.2.在具体情境中,了解全集与空集的含义。

基础知识回顾：集合与集合之间的关系1．集合间的基本关系表示关系文字语言符号语言集合间的基本关系相等集合A与集合B中的所有元素都相同A＝B 子集A中任意一个元素均为B中的元素A⊆B真子集A中任意一个元素均为B中的元素，且B中至少有一个元素不是A中的元素A B 空集空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集2.集合的基本运算集合的并集集合的交集集合的补集图形语言符号语言A∪B＝｛x｜x∈A，或x∈B｝A∩B＝｛x｜x∈A，且x∈B｝∁U A＝｛x|x∈U，且x∉A｝3.并集的性质：A∪∅＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A;A∪B＝A⇔B⊆A．交集的性质:A∩∅＝∅；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A⇔A⊆B．补集的性质:A∪（∁U A)＝U；A∩(∁U A)＝∅；∁U(∁U A）＝A．应用举例:招数一、韦恩图:一般地，若给定的集合元素离散或者是抽象集合，则用Venn图求解．【例1】【青海省西宁市2018届高三下学期复习检测二】已知全集，集合，则图中阴影部分所表示的集合为（）A。

—————————— 新学期 新成绩 新目标 新方向 ——————————专题01 利用数轴解决集合运算问题【热点聚焦与扩展】数形结合是解决高中数学问题的常用手段，其优点在于通过图形能够直观的观察到某些结果，与代数的精确性结合，能够快速解决一些较麻烦的问题.在集合的运算中，涉及到单变量的取值范围，数轴就是一个非常好用的工具，本专题以一些题目为例，来介绍如何使用数轴快速的进行集合的交集、并集及补集等运算. 1、集合运算在数轴中的体现：:A B 在数轴上表示为,A B 表示区域的公共部分. :AB 在数轴上表示为,A B 表示区域的总和.:U C A 在数轴上表示为U 中除去A 剩下的部分（要注意边界值能否取到）.2、问题处理时的方法与技巧：（1）涉及到单变量的范围问题，均可考虑利用数轴来进行数形结合，尤其是对于含有参数的问题时，由于数轴左边小于右边，所以能够以此建立含参数的不等关系.（2）在同一数轴上作多个集合表示的区间时，可用不同颜色或不同高度来区分各个集合的区域.（3）涉及到多个集合交并运算时，数轴也是得力的工具，从图上可清楚的看出公共部分和集合包含区域.交集即为公共部分，而并集为覆盖的所有区域.（4）在解决含参数问题时，作图可先从常系数的集合（或表达式）入手，然后根据条件放置参数即可. 3、作图时要注意的问题：（1）在数轴上作图时，若边界点不能取到，则用空心点表示；若边界点能够取到，则用实心点进行表示，这些细节要在数轴上体现出来以便于观察.（2）处理含参数的问题时，要检验参数与边界点重合时是否符合题意.【经典例题】例1【2017课标1，理1】已知集合A={x|x<1}，B={x|31x<}，则（ ）A ．{|0}AB x x =<B ．A B =RC ．{|1}AB x x =>D ．AB =∅【答案】A 【解析】由31x <可得033x <，则0x <，即{|0}B x x =<，所以，结合数轴得{|1}{|0}{|0}A B x x x x x x =<<=<，{|1}{|0}{|1}A B x x x x x x =<<=<，故选A.例2【2019届河北省衡水中学高三上学期七调】 设集合{|2}A x x =<， {}B x x a =，全集U R =，若U A B ⊆ð，则有（ ）A. 0a =B. 2a ≤C. 2a ≥D. 2a < 【答案】C【解析】(){}2,2,U A C B x a =-=≤,结合数轴得2a ≤,故选C.例3【2019届河北省武邑中学高三下学期开学】设常数a R ∈，集合()(){}|120A x x x =--≥， {}|B x x a =≥，若A B R ⋃=，则a 的取值范围为（ ）A. (),1-∞B. (],1-∞C. ()2,+∞D. [)2,+∞ 【答案】B【解析】由题得{|21}A x x x =≥≤或，因为A B R ⋃=，所以通过画数轴分析得到1a ≤，（注意一定要取等），故选B.【名师点睛】：（1）含有参数的问题时，可考虑参数所起到的作用，在本题中参数决定区间的端点； （2）含有参数的问题作图时可先考虑做出常系数集合的图象，再按要求放置含参的集合； （3）注意考虑端点处是否可以重合.例4【2019届河北省衡水中学高三上学期九模】已知集合{}A x x a =<， {}2320B x x x =-+<，若A B B ⋂=，则实数a 的取值范围是（ ）A. 1a <B. 1a ≤C. 2a >D. 2a ≥ 【答案】D例5.已知函数()221,02()1,,20x x g x ax f x x x ⎧-≤≤⎪=+=⎨--≤<⎪⎩，对[][]122,2,2,2x x ∀∈-∃∈-，使得()()12g x f x =成立，则实数a 的取值范围是__________ 【答案】【解析】思路：任取[]12,2x ∈-，则()1g x 取到()g x 值域中的每一个元素，依题意，存在2x 使得()()12g x f x =，意味着()g x 值域中的每一个元素都在()f x 的值域中，即()g x 的值域为()f x 的值域的子集，分别求出两个函数值域，再利用子集关系求出a 的范围解：[]20,2x ∈时，()[]20,3f x ∈ [)22,0x ∈-时，()[)24,0f x ∈-()[]24,3f x ∴∈-[)1,0a ∴∈-综上所述：[]1,1a ∈- 答案：[]1,1a ∈-.例6.已知集合{}{}|21,|A x x x B x a x b =><-=≤≤或，若(],2,4A B R A B ==，则ba=________ 【答案】4-【解析】本题主要考察如何根据所给条件，在数轴上标好集合B 的范围.从而确定出,a b 的值， 1,4a b =-=，所以4ba=-.例7. 已知集合{}{}0)12(,31122<+++-=≤++-=m m x m x x B x x x A ，若A B ≠∅，则实数m 的取值范围为 【答案】53(,)22-【解析】先解出,A B 的解集，A B ⋂≠∅意味着,A B 有公共部分，利用数轴可标注集合B 两端点的位置，进而求出m 的范围22(21)0x m x m m -+++<()()()10x m x m ∴-+-< 1m x m ∴<<+ A B ≠∅312m ∴+>-且32m <53,22m ⎛⎫∴∈- ⎪⎝⎭.例8：在R 上定义运算:2xx y y⊗⊗=-，若关于x 的不等式(1)0x x a ⊗+->的解集是{|22,}x x x R -≤≤∈的子集，则实数a 的取值范围是（ ）A ．22a -≤≤B ．12a -≤≤C ．31a -≤<-或11a -<≤D ．31a -≤≤ 【答案】D【解析】首先将(1)0x x a ⊗+->变为传统不等式：()()1001xx x a x a ⊗+->⇒<-+，不等式含有参数a ，考虑根据条件对a 进行分类讨论。

解密01 集合考点1 集合的含义及集合间的基本关系题组一 集合的含义调研1 集合{}1,2,3A =，若，，则集合B 中的元素个数为A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】C☆技巧点拨☆解决集合概念问题的一般思路（1）研究集合问题时，首先要明确构成集合的元素是什么，即弄清该集合是数集、点集，还是其他集合，然后再看集合的构成元素满足的限制条件是什么，从而准确把握集合的意义． 常见的集合的意义如下表：（2）利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中的元素的个数时，要注意检验集合是否满足元素的互异性.题组二 求集合的子集调研2 设全集U ＝{1，2，3，4，5}，A ＝{1，3，5}，则U A ð的所有非空子集的个数为 A ．4 B ．3 C ．2 D ．1【答案】B【解析】∵U A ð＝{2，4}，∴非空子集有22−1＝3个，故选B ．题组三 由集合关系求参数的取值范围调研3 已知全集为R ，集合M ＝{x ∈R |−2＜x ＜2}，P ＝{x |x ≥a }，并且M P ⊆R ð，则实数a 的取值范围是________． 【答案】a ≥2【解析】由题意得M ＝{x |−2＜x ＜2}，P R ð＝{x |x ＜a }．∵M ⊆P R ð，∴由数轴知a ≥2.☆技巧点拨☆集合间的基本关系在高考中时有出现，常考查求子集、真子集的个数及利用集合关系求参数的取值范围问题，主要以选择题的形式出现，且主要有以下两种命题角度：(1)求集合的子集：若集合A 中含有n 个元素，则其子集个数为2n 个，真子集个数为21n -个，非空真子集个数为22n -个.17．（【全国百强校】江苏省清江中学2019届高三第二次教学质量调研数学试题）设且，R ，集合A ＝{，}，B ＝{﹣1，0，}．若AB ，则＝_______．【答案】【解析】因为A B ，所以=，=−1，所以b =−2,a =.故答案为.【名师点睛】本题主要考查集合的关系，考查对数指数方程的解法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.1．（2018新课标全国Ⅱ文科）已知集合，，则A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】，,故选C.【名师点睛】集合题也是每年高考的必考内容，一般以客观题形式出现，一般解决此类问题时要先将参与运算的集合化为最简形式，如果是“离散型”集合可采用Venn 图法解决，若是“连续型”集合则可借助不等式进行运算.2．（2018新课标全国Ⅰ文科）已知集合{}02A =，，，则AB =A ．{}02，B ．{}12，C ．{}0D ．【答案】A【解析】根据集合的交集中元素的特征，可以求得，故选A.【名师点睛】该题考查的是有关集合的运算问题，在解题的过程中，需要明确交集中元素的特征，从而求得结果.3．（2018新课标全国Ⅲ文科）已知集合，{0,1,2}B =，则A B =A ．{0}B ．{1}C ．{1,2}D ．{0,1,2}【答案】C 【解析】易得集合,所以，故选C.4．（2017新课标全国Ⅰ文科）已知集合A ={}|2x x <，B ={}|320x x ->，则 A ．A B B ．A B =∅ C ．ABD ．AB=R【答案】A【解析】由320x ->得，所以，选A ．【名师点睛】对于集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图处理． 5．（2017新课标全国Ⅱ文科）设集合，则AB =A ．{}123,4，， B ．{}123，， C ．{}234，， D ．{}134，， 【答案】A 【解析】由题意，故选A ．【名师点睛】集合的基本运算的关注点：（1）看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提． （2）有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决． （3）注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn 图． 6．（2017新课标全国Ⅲ文科）已知集合A ={1，2，3，4}，B ={2，4，6，8}，则A B 中元素的个数为A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】由题意可得，故A B 中元素的个数为2，所以选B ．7．（2016新课标全国I 文科）设集合，，则AB =A ．{1，3}B ．{3，5}C ．{5，7}D ．{1，7}【答案】B8．（2016新课标全国Ⅱ文科）已知集合{123}A =，，，，则A B =A ．B ．C ．{123},,D ．{12},【答案】D【解析】由29x <得33x -<<，所以，又{1,2,3}A =，所以，故本题选D ．【名师点睛】对于集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图处理. 9．（2016新课标全国Ⅲ文科）设集合，则A B ð＝A ．{48},B ．{026},,C ．{02610},,,D ．{0246810},,,,,【答案】C【解析】由补集的概念，得，故选C ． 【技巧点拨】研究集合的关系，处理集合的交、并、补的运算问题，常用韦恩图、数轴等几何工具辅助解题．一般地，对离散的数集、抽象的集合间的关系及运算，可借助韦恩图，而对连续的集合间的运算及关系，可借助数轴的直观性，进行合理转化． 10．（2015新课标全国I 文科）已知集合，则集合AB 中的元素个数为A．5 B．4C．3 D．2【答案】D【解析】由条件知，当n=2时，3n+2=8；当n=4时，3n+2=14，故A B={8，14}，故选D．【名师点睛】对于集合运算问题，首先要确定集合的给出形式，其次确定集合中元素的特征，若集合中的元素是离散的，则紧扣集合运算的定义求解；若集合是连续数集，常结合数轴进行集合运算；若集合是抽象集合，常用Venn图法.。

专题01 集合的解题技巧一、集合的解题技巧及注意事项1.元素与集合，集合与集合关系混淆问题；2.造成集合中元素重复问题；3.隐含条件问题；4.代表元变化问题；5.分类讨论问题；6．子集中忽视空集问题；7.新定义问题；8.任意、存在问题中的最值问题；9.集合的运算问题；10.集合的综合问题。

二．知识点【学习目标】1．了解集合的含义、元素与集合的“属于”关系，能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)来描述不同的具体问题，理解集合中元素的互异性；2．理解集合之间包含和相等的含义，能识别给定集合的子集，了解在具体情境中全集与空集的含义；3．理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集，理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；4．能使用韦恩(Venn)图表达集合间的关系与运算．【知识要点】1．集合的含义与表示(1)一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合，简称集．(2)集合中的元素的三个特征：确定性、互异性、无序性(3)集合的表示方法有：描述法、列举法、区间法、图示法(4)集合中元素与集合的关系分为属于与不属于两种，分别用“∈”或“∉”来表示．(5)常用的数集：自然数集N；正整数集N*(或N＋)；整数集Z；有理数集Q；实数集R.2．集合之间的关系(1)一般地，对于两个集合A，B.如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A 为集合B 的子集，记作A B ⊆；若A ⊆B ，且A ≠B ，则A B ⊂，我们就说A 是B 的真子集．(2)不含任何元素的集合叫做空集，记作Φ，它是任何集合的子集，即∅⊆A ． 3．集合的基本运算(1)并集：A ∪B ＝{x |x ∈A 或x ∈B }； (2)交集：A ∩B ＝{x |x ∈A 且x ∈B }； (3)补集：∁U A ＝．4．集合的运算性质(1)A ∩B ＝A ⇔A ⊆B ，A ∩A ＝A ，A ∩∅＝∅； (2)A ∪B ＝A ⇔A ⊇B ，A ∪A ＝A ，A ∪∅＝A ； (3)A ⊆B ，B ⊆C ，则A ⊆C ；(4)∁U (A ∩B )＝∁U A ∪∁U B ，∁U (A ∪B )＝∁U A ∩∁U B ，A ∩∁U A ＝∅，A ∪∁U A ＝U ，∁U (∁U A )＝A ； (5)A ⊆B ，B ⊆A ，则A ＝B . 三．典例分析及变式训练（一）元素与集合，集合与集合关系 例1. 已知{0,1}M =,则 A.M N ∈ B.N M ∈ C.N M ⊆ D.M N ⊆【答案】A 【解析】{0,1}M =，M N ∴∈练习1【广西百色市高三年级2019届摸底调研考试】已知集合，，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】求出A 中x 的范围确定出A ，求出B 中不等式的解集确定出B ，求出两集合的交集即可． 【解析】由A 中y=log 2（x+1），得到x+1＞0，即x ＞-1，∴A=（-1，+∞），由B 中不等式变形得：（x ﹣3）（x+2）≤0且x解得：﹣2≤x<3，又，，则A∩B=，故选：A．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．练习2．【湖南省长郡中学2019届高三第三次调研】已知集合，集合，全集为U＝R，则为A．B．C．D．【答案】D【分析】化简集合A，B，然后求出A的补集，最后求交集即可得到结果.【详解】∵，∴又∴故选：D【点评】求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解；在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍．（二）集合中元素重复陷阱例2. 【华南师范大学附中2018-2019测试题】．设整数,集合.令集合，且三条件恰有一个成立},若和都在中,则下列选项正确的是( )A．B．C．D．【答案】B【分析】采用特殊值排除法，取x=2，y=3，z=4，w=1，可排除错误选项.【解析】取x=2，y=3，z=4，w=1，显然满足（x，y，z）和（z，w，x）都在S中，此时（y，z，w）=（3，4，1）∈S，（x，y，w）=（2，3，1）∈S，故A、C、D错误, 故选B【点评】本题考查了元素与集合的关系，集合中元素具有确定性，互异性和无序性.练习1. ,a b 是实数，集合A={a,,1}ba，，若A B =，求20152016a b ＋.【答案】1－【点评】：对于两个集合相等或子集问题，涉及元素问题，必须要保证集合元素的互异性.练习2. 【上海市2018-2019期中考试】如图，为全集，、、是的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】先根据图中的阴影部分是M∩P 的子集，但不属于集合S ，属于集合S 的补集，然后用关系式表示出来即可．【解析】图中的阴影部分是： M∩P 的子集，不属于集合S ，属于集合S 的补集即是C I S 的子集则阴影部分所表示的集合是（M∩P ）∩∁I S 故选：C ．【点评】本题主要考查了Venn 图表达集合的关系及运算，同时考查了识图能力，属于基础题． （三）隐含条件陷阱 例3. 集合，则集合A 与集合B 之间的关系（ ）A. A B ⊆B. B A ⊆C. B A ÖD. A B Ö 【答案】A【解析】设a A ∈，则，说明集合A 的元素一定是集合B 的元素，则A B ⊆，选A. 练习1已知集合，则A B ⋂=（ ）A. {}1,0-B. {}0,1C. {}1,0,1-D. {}1,2- 【答案】A【解析】，，则，选B.（2）由题意得函数在区间上单调递减，∴， ∴，∴．∵，∴，∴，解得，∴实数的取值范围是．【点评】解答本题时注意转化思想方法的运用，已知集合的包含关系求参数的取值范围时，可根据数轴将问题转化为不等式（组）求解，转化时要注意不等式中的等号能否成立，解题的关键是深刻理解集合包含关系的含义． 练习1.设集合，，若，求实数a 的取值范围；若，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）（2）【分析】（1）由题意得，，根据可得，从而可解出的取值范围；（2）先求出，根据可得到，解出的取值范围即可． 【解析】由题意得，；（1）∵，∴，解得，又，∴，∴实数的取值范围为．（2）由题意得，∵，∴，解得．∴实数的取值范围为．【点评】本题考查集合表示中描述法的定义，一元二次不等式的解法，子集的概念，以及交集的运算．根据集合间的包含关系求参数的取值范围时，注意转化方法的运用，特别要注意不等式中的等号能否成立．（六）子集中忽视空集问题例6【云南省2018-2019学年期中考试】已知集合，若，则的取值集合是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】本题考查集合间的包含关系，先将集合，化简，然后再根据分类讨论．【解析】∵集合∴若，即时，满足条件；若，则.∵∴或∴或综上，或或.故选C.【点评】本题主要考查利用集合子集关系确定参数问题，易错点是化简集合时没有注意时的特殊情况．练习1.已知集合，．（1）若，求;（2）若，求实数的取值范围．【答案】(1) (2) 或【点评】由集合间的关系求参数时，常借助数轴来建立不等关系求解，此时应注意端点处是实点还是虚点（七）新定义问题例7．【清华附属中2018-2019学年试题】集合A，B的并集A∪B＝｛1，2｝，当且仅当A≠B时，（A，B）与（B，A）视为不同的对，则这样的（A，B）对的个数有__________.【答案】8【分析】根据条件列举，即得结果.【解析】由题意得满足题意的（A，B）为：A=，B＝｛1，2｝；A=｛1｝，B＝｛2｝；A=｛1｝，B＝｛1，2｝；A=｛2｝，B＝｛1｝；A=｛2｝，B＝｛1，2｝；A=｛1，2｝，B＝；A=｛1，2｝，B＝｛1｝；A=｛1，2｝，B＝｛2｝；共8个.【点评】本题考查集合子集与并集，考查基本分析求解能力.练习1．【华东师范大学附中2019届高三数学试卷】已知集合M=，集合M的所有非空子集依次记为：M1，M2，...,M15，设m1，m2，...，m15分别是上述每一个子集内元素的乘积，规定：如果子集中只有一个元素，乘积即为该元素本身，则m1+m2+...+m15=_____【答案】【分析】根据二项式定理的推导过程构造出函数，当时，函数的值就是所有子集的乘积。

名师揭秘2019年高考数学（文理）命题热点全覆盖（33份）专题01 集合的解题技巧一、集合的解题技巧及注意事项1.元素与集合，集合与集合关系混淆问题；2.造成集合中元素重复问题；3.隐含条件问题；4.代表元变化问题；5.分类讨论问题；6．子集中忽视空集问题；7.新定义问题；8.任意、存在问题中的最值问题；9.集合的运算问题；10.集合的综合问题。

二．知识点【学习目标】1．了解集合的含义、元素与集合的“属于”关系，能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)来描述不同的具体问题，理解集合中元素的互异性；2．理解集合之间包含和相等的含义，能识别给定集合的子集，了解在具体情境中全集与空集的含义；3．理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集，理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；4．能使用韦恩(Venn)图表达集合间的关系与运算．【知识要点】1．集合的含义与表示(1)一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合，简称集．(2)集合中的元素的三个特征：确定性、互异性、无序性(3)集合的表示方法有：描述法、列举法、区间法、图示法(4)集合中元素与集合的关系分为属于与不属于两种，分别用“∈”或“∉”来表示．(5)常用的数集：自然数集N；正整数集N*(或N＋)；整数集Z；有理数集Q；实数集R.2．集合之间的关系(1)一般地，对于两个集合A ，B .如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A 为集合B 的子集，记作A B ⊆；若A ⊆B ，且A ≠B ，则A B ⊂，我们就说A 是B 的真子集．(2)不含任何元素的集合叫做空集，记作Φ，它是任何集合的子集，即∅⊆A ． 3．集合的基本运算(1)并集：A ∪B ＝{x |x ∈A 或x ∈B }； (2)交集：A ∩B ＝{x |x ∈A 且x ∈B }； (3)补集：∁U A ＝．4．集合的运算性质(1)A ∩B ＝A ⇔A ⊆B ，A ∩A ＝A ，A ∩∅＝∅；(2)A ∪B ＝A ⇔A ⊇B ，A ∪A ＝A ，A ∪∅＝A ； (3)A ⊆B ，B ⊆C ，则A ⊆C ；【点评】：注意两个集合代表元的条件，容易忽视集合中元素属于整数的条件.练习2．【江西省九江市2019届高三第一次联考】已知集合，集合,则图中的阴影部分表示的集合是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】图中阴影部分表示的集合为，所以先求出集合A,B 后可得结论．【解析】由题意得，所以，即图中阴影部分表示的集合为．故选C ．【点评】本题考查集合的元素、韦恩图和集合的补集运算，解题的关键是认清图中阴影部分表示的集合以及所给集合中元素的特征，属于基础题． （四）代表元变化问题例4．【内蒙古鄂尔多斯市一中2018-2019模拟】已知A＝{y|y＝log2x，x>1}，B=,则（)A．B．C．D．【答案】C【分析】利用对数性质和交集定义求解．【解析】∵A={y|y=log2x，x>1}={y|y>0}，B=，∴A∩B={x|0x≤1}= ．故选C．【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要注意对数函数的性质的灵活运用．练习1.【华东师范大学附中2018-2019学年试题】集合，的元素只有1个，则的取值范围是__________.【答案】【分析】由中有且仅有一个元素，可知两个方程联立得到方程是一次方程或二次方程有两个相等的根；利用分类讨论思想，可求出的范围.【解析】联立即，是单元素集，分两种情况考虑:，方程有两个相等的实数根，即，可得,解得，方程只有一个根，符合题意，综上,的范围为故答案为.【点评】本题主要考查集合交集的定义与性质以及一元二次方程根与系数的关系，意在考查综合应用所学知识解答问题的能力，属于中档题.练习2.同时满足：①M ⊆{1，2，3，4，5}；②a∈M且6－a∈M的非空集合M有()A．9个B．8个C．7个D．6个【答案】C共有7个集合满足条件，故选C.【点评】本题主要考查了元素与集合的关系，以及集合与集合的关系的判定与应用，其中熟记元素与集合的关系，以及集合与集合的包含关系是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.（五）分类讨论问题例5. 【九江市2019届高三第一次十校联考】（1）求解高次不等式的解集A；（2）若的值域为B,A B=B求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）【分析】（1）利用讨论的方法求得不等式的解集A；（2）根据函数的单调性求出值域B，由得，转化为不式等组求解，可得所求范围．【解析】（1）①当时，原不等式成立．②当时，原不等式等价于，解得.，综上可得原不等式的解集为，∴．（2）由题意得函数在区间上单调递减，∴，∴，∴．∵，∴，∴，解得，∴实数的取值范围是．【点评】解答本题时注意转化思想方法的运用，已知集合的包含关系求参数的取值范围时，可根据数轴将问题转化为不等式（组）求解，转化时要注意不等式中的等号能否成立，解题的关键是深刻理解集合包含关系的含义．练习1.设集合，，若，求实数a的取值范围；若，求实数a的取值范围．【答案】（1）（2）【分析】（1）由题意得，，根据可得，从而可解出的取值范围；（2）先求出，根据可得到，解出的取值范围即可．【解析】由题意得，；（1）∵，∴，解得，又，∴，∴实数的取值范围为．（2）由题意得，∵，∴，解得．∴实数的取值范围为．【点评】本题考查集合表示中描述法的定义，一元二次不等式的解法，子集的概念，以及交集的运算．根据集合间的包含关系求参数的取值范围时，注意转化方法的运用，特别要注意不等式中的等号能否成立．（六）子集中忽视空集问题例6【云南省2018-2019学年期中考试】已知集合，若，则的取值集合是（）A．B．C．D．【分析】本题考查集合间的包含关系，先将集合，化简，然后再根据分类讨论．【解析】∵集合∴若，即时，满足条件；若，则.∵∴或∴或综上，或或.故选C.【点评】本题主要考查利用集合子集关系确定参数问题，易错点是化简集合时没有注意时的特殊情况．练习1.已知集合，．（1）若，求;（2）若，求实数的取值范围．【答案】(1) (2) 或【点评】由集合间的关系求参数时，常借助数轴来建立不等关系求解，此时应注意端点处是实点还是虚点（七）新定义问题例7．【清华附属中2018-2019学年试题】集合A，B的并集A∪B＝｛1，2｝，当且仅当A≠B时，（A，B）与（B，A）视为不同的对，则这样的（A，B）对的个数有__________.【分析】根据条件列举，即得结果.【解析】由题意得满足题意的（A，B）为：A=，B＝｛1，2｝；A=｛1｝，B＝｛2｝；A=｛1｝，B＝｛1，2｝；A=｛2｝，B＝｛1｝；A=｛2｝，B＝｛1，2｝；A=｛1，2｝，B＝；A=｛1，2｝，B＝｛1｝；A=｛1，2｝，B＝｛2｝；共8个.【点评】本题考查集合子集与并集，考查基本分析求解能力.练习1．【华东师范大学附中2019届高三数学试卷】已知集合M=，集合M的所有非空子集依次记为：M1，M2，...,M15，设m1，m2，...，m15分别是上述每一个子集内元素的乘积，规定：如果子集中只有一个元素，乘积即为该元素本身，则m1+m2+...+m15=_____【答案】【分析】根据二项式定理的推导过程构造出函数，当时，函数的值就是所有子集的乘积。

高三数学一轮复习专家讲坛三法破解会合运算和充要条件判断的问题理一、三法定乾坤——谈会合运算问题的三种方法会合的基本运算主要包含交集、并集、补集，会合是历年高考的必考内容，解决会合的基本运算问题，第一要明确会合中元素的性质，经过解不等式求出每个会合，而后弄清几个会合之间的关系，最后利用列举法、借助数轴或Venn 图等依据交集、并集、补集的定义进行基本运算，进而得出结果．1．列举法列举法就是经过列举会合中全部的元素，而后依据会合基本运算的定义求解的方法．此类方法合用于数集的有关运算以及会合的新定义运算问题．其基本的解题步骤是：[例 1] 设 P， Q为两个非空实数会合，定义会合P*Q＝{ z| z＝ a÷ b， a∈P， b∈ Q}，若P＝{－1,0,1} ， Q＝{－2,2}，则会合 P* Q中元素的个数是()A． 2 B． 3C．4 D ．5[分析] 当 a＝0时，不论 b 取何值， z＝ a÷b＝0；1当 a＝－1， b＝－2时， z＝(－1)÷(－2)＝2；1当 a＝－1， b＝2时， z＝(－1)÷2＝－；21当 a＝1， b＝－2时， z＝1÷(－2)＝－2；1当 a＝1， b＝2时， z＝1÷2＝2.1 1故 P* Q＝0，－2，2，该会合中共有 3 个元素．[答案] B[ 评论 ]求解两个会合之间的运算应当注意三个问题：一是会合中元素的形式，元素是数仍是有序数对，是函数的定义域仍是函数的值域等；二是注意会合中对应不等式端点值的办理，特别是求解会合补集的运算，必定要搞清端点值的弃取；三是求解会合的补集运算时，必定要先求出本来的会合，而后求其补集，不要直接转变条件而致使漏解犯错，如会合A＝x| log121x| log11x| log11，或 x≤0x≥的补集不是B＝x<，而是 B＝x<.222222．数形联合法数形联合法就是利用数轴或Venn 图表示出有关会合，而后依据图形求解会合的补集或者进行有关会合的交集、并集的基本运算．其求解的基本步骤是：[例 2] (2013 ·嘉兴模拟) 已知全集U＝R，会合A＝{ x|log 1 ( x－ 1)>0} ，B＝2x 2x－3<0 ，则∩(? U ) ＝( )x B AA．[0,1] B ． [0,1)C．(0,1) D ． (0,1][分析] 由 log 1 ( x－ 1)>0 ，得 0<x－ 1<1，即 1<x<2，2∴A＝(1,2)．2 －3 3由x<0，得x(2 x－ 3)<0 ，即 0<x<2，x3∴B＝0，2.以下图，在数轴上表示出会合A，B.则?U A＝( －∞， 1] ∪ [2 ，＋∞ ) ，∴ B∩(?U A)＝(0,1]．[答案] D[ 评论 ]数形联合法主假如利用图形的直观性来进行会合的基本运算，应注意利用数轴表示会合时，要依据端点值的弃取状况正确采用实心点或空心点标明对应会合，防止因区间端点值的弃取不妥造成增解或漏解．3．属性剖析法属性剖析法就是依据元素与会合之间确实定关系来进行会合基本运算的方法，主假如解决点集问题中某个会合与已知会合之间的关系问题．解决此类问题的基本步骤是：[ 例 3]已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7}，M＝{3,4,5}，N＝{1,3,6}，则会合{2,7}＝()A．M∩N B． ( ?U M) ∩(?U N)C．( ?U M)∪( ?U N) D ．M∪N[ 分析 ]明显2∈ U,2?M,2?N，因此 2∈ ?U M,2∈ ?U N，因此 2∈ ( ?U M) ∩(?U N) ；而 7∈U,7?M,7?N，因此 7∈ ?U M,7∈ ?U N，因此 7∈ ( ?U M) ∩(?U N) ．综上，易知 {2,7} ＝ ( ?U M) ∩(?U N) ．[答案] B[ 评论 ]属性剖析法的本质是利用会合中元素确实定性，即元素与会合之间的关系：属于与不属于．在推理过程中还要注意已知会合之间的关系，如a∈ U，a?A 且 A? U，则必有 a ∈?U A.二、三法破解充要条件的判断问题充要条件是历年高考的必考内容，主要包含两个方面：一是以函数、数列、不等式、立体几何中的线面关系等为背景考察充要条件的判断；二是依据充要条件求解参数的取值范围，这两类问题常以填空题的形式进行考察，试题难度不大．充要条件的判断问题要注意“p 是 q 的充足不用要条件”与“p 的一个充足不用要条件是 q”这两种表达方式的差别，先将问题转变为第一种基本的表达方式，而后再判断．利用充要条件之间的关系求解参数的取值范围可将其转变为两个会合之间的关系，而后结构相应的不等式进行办理．1．定义法定义法就是将充要条件的判断转变为两个命题——“若p，则 q”与“若 q，则 p”的判断，依据两个命题能否正确，来确立p 与 q 之间的充要关系．其基本步骤是：[例 1]设 0<x < 2 ，则“ x sin x <1”是“ x sin x <1”的 ________条件．π[分析]由于 0<x < 2 ，因此 0<sin x <1，不等式 x sinx <1 两边同乘 sin x ，可得 x sin 2x <sin x ，因此有 x sin 2x <sinx <1. 即 x sinx <1? x sin 2x <1；不等式 x sin 2 <1 两边同除以 sin x ，可得 x sinx < 1 ，而由 0<sin x <1，知 1 >1，xsin x sin x故 x sin x <1 不必定建立，即x sin 2x <1? / x sin x <1.综上，可知“ x sin 2x <1”是“ x sin x <1”的必需不充足条件．[答案] 必需不充足[评论]判断 p 、 q 之间的关系，只要判断两个命题A ：“若 p ，则 q ”和B ：“若 q ，则 ”的真假．两命题的真假与 p 、 q 之间的关系以下表所示：p命题 A 命题 Bp 、 q 之间的关系真 真 p 为 q 的充足必需条件 真 假 p 为 q 的充足不用要条件 假 真 p 为 q 的必需不充足条件假假p 为 q 的既不充足又不用要条件2. 等价转变法等价转变法就是在判断含有逻辑联络词“否”的有关条件之间的充要关系时，依据原命 题与其逆否命题的等价性转变为形式较为简单的两个条件之间的关系进行判断． 其基本步骤为：[例 2]已知条件 ：4≤－ 1，条件 q ： x 2－ < 2－ ，且綈 q 的一个充足不用要条件p x － 1 x a a是綈 p ，则 a 的取值范围是 ________．4[ 分析 ]解 x － 1≤－ 1，得－ 3≤ x <1.由 x 2－ x <a 2－ a ，即 ( x － a )[ x ＋( a － 1)]<0 ，1当 a >1－ a ，即 a >2时，不等式的解为 1－ a <x <a ；1当 a ＝1－ a ，即 a ＝ 2时，不等式的解为 ?；当 a <1－ a ，即 a <2时，不等式的解为a <x <1－ a .由綈 q 的一个充足不用要条件是綈，可知綈p 是綈 q 的充足不用要条件，即 p 为 q 的p一个必需不充足条件，即条件q 对应的 x 取值会合是条件 p 对应的 x 取值会合的真子集．1 时，由 { x |1 － a <x <a } { x | －3≤ x <1} ，得－3≤1－ a ，1当 a >解得 <a ≤1；21≥ ，2a1当 a ＝ 2时，由于空集是随意一个非空会合的真子集，因此知足条件；当 a 1时，由 { | < <1－ } { x | －3≤ <1} ，得 －3≤ a ， a 1<解得 0≤ < .2 x a x a x 1≥1－ a ， 2综上， a 的取值范围是 [0,1] ． [答案] [0,1][评论]判断两个命题綈 p 和綈 q 之间的关系， 一般是直接利用定义法， 找寻二者之间的关系，或利用会合的方法找寻与之对应的两个会合之间的关系，当两种方法都较难判断时，可转变为 p 、 q 之间的关系，再利用互为逆否命题的等价性进行判断．它们之间的对应关系以下表所示：p 、 q 之间的关系 綈 p 和綈 q 之间的关系 p 是 q 的充足不用要条件 綈 p 是綈 q 的必需不充足条件 p 是 q 的必需不充足条件綈 p 是綈 q 的充足不用要条件p 是 q 的充要条件綈 p 是綈 q 的充要条件p 是 q 的既不充足也不用要条件綈 p 是綈 q 的既不充足也不用要条件3. 会合法会合法就是利用知足两个条件的参数取值会合之间的关系来判断充要关系的方法．主要解决两个相像的条件难以进行划分或判断的问题．其解决的一般步骤是：[例 3]若 A ：log 2a <1，B ： x 的二次方程 x 2＋ ( a ＋ 1) x ＋ a － 2＝ 0 的一个根大于零，另一根小于零，则 A 是 B 的 ________条件．[分析]由 log 2a <1，解得 0<a <2，因此知足条件 A 的参数 a 的取值会合为 M ＝ { a |0< a <2} ；而方程 x 2＋ ( a ＋ 1) x ＋ a －2＝ 0 的一根大于零，另一根小于零的充要条件是 f (0)<0 ，即 a －2<0，解得 <2，即知足条件的参数 的取值会合为 ＝ { | <2} ，明显，因此是5的充足不用要条件．[ 答案 ]充足不用要[ 评论 ]设 p 、q 对应的会合分别记为 A 、B . 则 p 、q 之间的关系可转变为与之相应的两个会合之间的关系．它们之间的关系以下表所示：A 、B 之间的关系p 、 q 之间的关系＝B p 为 q 的充足必需条件AA B p 为 q 的充足不用要条件 A Bp 为 q 的必需不充足条件 A ? B 且B ?Ap 为 q 的既不充足又不用要条件。

专题01 集合的解题技巧一、集合的解题技巧及注意事项1.元素与集合，集合与集合关系混淆问题；2.造成集合中元素重复问题；3.隐含条件问题；4.代表元变化问题；5.分类讨论问题；6．子集中忽视空集问题；7.新定义问题；8.任意、存在问题中的最值问题；9.集合的运算问题；10.集合的综合问题。

二．知识点【学习目标】1．了解集合的含义、元素与集合的“属于”关系，能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)来描述不同的具体问题，理解集合中元素的互异性；2．理解集合之间包含和相等的含义，能识别给定集合的子集，了解在具体情境中全集与空集的含义；3．理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集，理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；4．能使用韦恩(Venn)图表达集合间的关系与运算．【知识要点】1．集合的含义与表示(1)一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合，简称集．(2)集合中的元素的三个特征：确定性、互异性、无序性(3)集合的表示方法有：描述法、列举法、区间法、图示法(4)集合中元素与集合的关系分为属于与不属于两种，分别用“”或“”来表示．(5)常用的数集：自然数集N；正整数集N*(或N＋)；整数集Z；有理数集Q；实数集R.2．集合之间的关系(1)一般地，对于两个集合A，B.如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A B；若A?B，且A≠B，则A B，我们就说A是B的真子集．(2)不含任何元素的集合叫做空集，记作，它是任何集合的子集，即??A．3．集合的基本运算(1)并集：A∪B＝{x|x∈A或x∈B}；(2)交集：A∩B＝{x|x∈A且x∈B}；(3)补集：?U A＝．4．集合的运算性质(1)A∩B＝A?A?B，A∩A＝A，A∩?＝?；(2)A∪B＝A?A?B，A∪A＝A，A∪?＝A；(3)A?B，B?C，则A?C；【点评】：注意两个集合代表元的条件，容易忽视集合中元素属于整数的条件.练习2．【江西省九江市2019届高三第一次联考】已知集合，集合,则图中的阴影部分表示的集合是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】图中阴影部分表示的集合为，所以先求出集合A,B后可得结论．【解析】由题意得，所以，即图中阴影部分表示的集合为．故选C．【点评】本题考查集合的元素、韦恩图和集合的补集运算，解题的关键是认清图中阴影部分表示的集合以及所给集合中元素的特征，属于基础题．（四）代表元变化问题例4．【内蒙古鄂尔多斯市一中2018-2019模拟】已知A＝{y|y＝log2x，x>1}，B=,则（) A．B．C．D．【答案】C【分析】利用对数性质和交集定义求解．【解析】∵A={y|y=log2x，x>1}={y|y>0}，B=，∴A∩B={x|0x≤1}= ．故选C．【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要注意对数函数的性质的灵活运用．练习1.【华东师范大学附中2018-2019学年试题】集合，的元素只有1个，则的取值范围是__________.【答案】【分析】由中有且仅有一个元素，可知两个方程联立得到方程是一次方程或二次方程有两个相等的根；利用分类讨论思想，可求出的范围.【解析】联立即，是单元素集，分两种情况考虑:，方程有两个相等的实数根，即，可得,解得，方程只有一个根，符合题意，综上,的范围为故答案为.【点评】本题主要考查集合交集的定义与性质以及一元二次方程根与系数的关系，意在考查综合应用所学知识解答问题的能力，属于中档题.练习2.同时满足：①M ?{1，2，3，4，5}；②a∈M且6－a∈M的非空集合M有()A．9个B．8个C．7个D．6个【答案】C共有7个集合满足条件，故选 C.【点评】本题主要考查了元素与集合的关系，以及集合与集合的关系的判定与应用，其中熟记元素与集合的关系，以及集合与集合的包含关系是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.（五）分类讨论问题例5. 【九江市2019届高三第一次十校联考】（1）求解高次不等式的解集A；（2）若的值域为B,A B=B求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）【分析】（1）利用讨论的方法求得不等式的解集A；（2）根据函数的单调性求出值域B，由得，转化为不式等组求解，可得所求范围．【解析】（1）①当时，原不等式成立．②当时，原不等式等价于，解得.，综上可得原不等式的解集为，∴．（2）由题意得函数在区间上单调递减，∴，∴，∴．∵，∴，∴，解得，∴实数的取值范围是．【点评】解答本题时注意转化思想方法的运用，已知集合的包含关系求参数的取值范围时，可根据数轴将问题转化为不等式（组）求解，转化时要注意不等式中的等号能否成立，解题的关键是深刻理解集合包含关系的含义．练习1.设集合，，若，求实数a的取值范围；若，求实数a的取值范围．【答案】（1）（2）【分析】（1）由题意得，，根据可得，从而可解出的取值范围；（2）先求出，根据可得到，解出的取值范围即可．【解析】由题意得，；（1）∵，∴，解得，又，∴，∴实数的取值范围为．（2）由题意得，∵，∴，解得．∴实数的取值范围为．【点评】本题考查集合表示中描述法的定义，一元二次不等式的解法，子集的概念，以及交集的运算．根据集合间的包含关系求参数的取值范围时，注意转化方法的运用，特别要注意不等式中的等号能否成立．（六）子集中忽视空集问题例6【云南省2018-2019学年期中考试】已知集合，若，则的取值集合是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】本题考查集合间的包含关系，先将集合，化简，然后再根据分类讨论．【解析】∵集合∴若，即时，满足条件；若，则.∵∴或∴或综上，或或.故选C.【点评】本题主要考查利用集合子集关系确定参数问题，易错点是化简集合时没有注意时的特殊情况．练习1.已知集合，．（1）若，求;（2）若，求实数的取值范围．【答案】(1) (2) 或【点评】由集合间的关系求参数时，常借助数轴来建立不等关系求解，此时应注意端点处是实点还是虚点（七）新定义问题例7．【清华附属中2018-2019学年试题】集合A，B的并集A∪B＝｛1，2｝，当且仅当A≠Ｂ时，（A，B）与（B，A）视为不同的对，则这样的（A，B）对的个数有__________.【答案】8【分析】根据条件列举，即得结果.【解析】由题意得满足题意的（A，B）为：A=，B＝｛1，2｝；A=｛1｝，B＝｛2｝；A=｛1｝，B＝｛1，2｝；A=｛2｝，B＝｛1｝；A=｛2｝，B＝｛1，2｝；A=｛1，2｝，B＝；A=｛1，2｝，B＝｛1｝；A=｛1，2｝，B＝｛2｝；共8个.【点评】本题考查集合子集与并集，考查基本分析求解能力.练习1．【华东师范大学附中2019届高三数学试卷】已知集合M=，集合M的所有非空子集依次记为：M1，M2，...,M15，设m1，m2，...，m15分别是上述每一个子集内元素的乘积，规定：如果子集中只有一个元素，乘积即为该元素本身，则m1+m2+...+m15=_____【答案】【分析】根据二项式定理的推导过程构造出函数，当时，函数的值就是所有子集的乘积。

专题01 集合的解题技巧一、集合的解题技巧及注意事项 1.元素与集合,集合与集合关系混淆问题； 2.造成集合中元素重复问题； 3.隐含条件问题；4.代表元变化问题；5.分类讨论问题； 6．子集中忽视空集问题； 7.新定义问题；8.任意、存在问题中的最值问题； 9.集合的运算问题； 10.集合的综合问题。

二．知识点 【学习目标】1．了解集合的含义、元素与集合的“属于”关系,能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)来描述不同的具体问题,理解集合中元素的互异性；2．理解集合之间包含和相等的含义,能识别给定集合的子集,了解在具体情境中全集与空集的含义； 3．理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集,理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集；4．能使用韦恩(Venn )图表达集合间的关系与运算． 【知识要点】 1．集合的含义与表示(1)一般地,我们把研究对象统称为元素,把一些元素组成的总体叫集合,简称集． (2)集合中的元素的三个特征：确定性、互异性、无序性 (3)集合的表示方法有：描述法、列举法、区间法、图示法(4)集合中元素与集合的关系分为属于与不属于两种,分别用“∈”或“∉”来表示． (5)常用的数集：自然数集N ；正整数集N *(或N ＋)；整数集Z ；有理数集Q ；实数集R. 2．集合之间的关系(1)一般地,对于两个集合A ,B .如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素,我们就说这两个集合有包含关系,称集合A 为集合B 的子集,记作A B ⊆；若A ⊆B ,且A ≠B ,则A B ⊂,我们就说A 是B 的真子集． (2)不含任何元素的集合叫做空集,记作Φ,它是任何集合的子集,即∅⊆A ． 3．集合的基本运算(1)并集：A ∪B ＝{x |x ∈A 或x ∈B }； (2)交集：A ∩B ＝{x |x ∈A 且x ∈B }； (3)补集：∁U A ＝．4．集合的运算性质(1)A∩B＝A⇔A⊆B,A∩A＝A,A∩∅＝∅；(2)A∪B＝A⇔A⊇B,A∪A＝A,A∪∅＝A；(3)A⊆B,B⊆C,则A⊆C；【点评】：注意两个集合代表元的条件,容易忽视集合中元素属于整数的条件.练习2．【江西省九江市2019届高三第一次联考】已知集合,集合,则图中的阴影部分表示的集合是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】图中阴影部分表示的集合为,所以先求出集合A,B后可得结论．【解析】由题意得,所以,即图中阴影部分表示的集合为．故选C．【点评】本题考查集合的元素、韦恩图和集合的补集运算,解题的关键是认清图中阴影部分表示的集合以及所给集合中元素的特征,属于基础题．（四）代表元变化问题例4．【内蒙古鄂尔多斯市一中2018-2019模拟】已知A＝{y|y＝log2x,x>1},B=,则（) A．B．C．D．【答案】C【分析】利用对数性质和交集定义求解．【解析】∵A={y|y=log2x,x>1}={y|y>0},B=,∴A∩B={x|0x≤1}= ．故选C．【点评】本题考查交集的求法,是基础题,解题时要注意对数函数的性质的灵活运用．练习1.【华东师范大学附中2018-2019学年试题】集合,的元素只有1个,则的取值范围是__________.【答案】【分析】由中有且仅有一个元素,可知两个方程联立得到方程是一次方程或二次方程有两个相等的根；利用分类讨论思想,可求出的范围.【解析】联立即,是单元素集,分两种情况考虑:,方程有两个相等的实数根,即,可得,解得,方程只有一个根,符合题意,综上,的范围为故答案为.【点评】本题主要考查集合交集的定义与性质以及一元二次方程根与系数的关系,意在考查综合应用所学知识解答问题的能力,属于中档题.练习2.同时满足：①M ⊆{1,2,3,4,5}；②a∈M且6－a∈M的非空集合M有()A．9个B．8个C．7个D．6个【答案】C共有7个集合满足条件,故选C.【点评】本题主要考查了元素与集合的关系,以及集合与集合的关系的判定与应用,其中熟记元素与集合的关系,以及集合与集合的包含关系是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.（五）分类讨论问题例5. 【九江市2019届高三第一次十校联考】（1）求解高次不等式的解集A；（2）若的值域为B,A B=B求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）【分析】（1）利用讨论的方法求得不等式的解集A；（2）根据函数的单调性求出值域B,由得,转化为不式等组求解,可得所求范围．【解析】（1）①当时,原不等式成立．②当时,原不等式等价于,解得.,综上可得原不等式的解集为,∴．（2）由题意得函数在区间上单调递减,∴,∴,∴．∵,∴,∴,解得,∴实数的取值范围是．【点评】解答本题时注意转化思想方法的运用,已知集合的包含关系求参数的取值范围时,可根据数轴将问题转化为不等式（组）求解,转化时要注意不等式中的等号能否成立,解题的关键是深刻理解集合包含关系的含义．练习1.设集合,,若,求实数a的取值范围；若,求实数a的取值范围．【答案】（1）（2）【分析】（1）由题意得,,根据可得,从而可解出的取值范围；（2）先求出,根据可得到,解出的取值范围即可．【解析】由题意得,；（1）∵,∴,解得,又,∴,∴实数的取值范围为．（2）由题意得,∵,∴,解得．∴实数的取值范围为．【点评】本题考查集合表示中描述法的定义,一元二次不等式的解法,子集的概念,以及交集的运算．根据集合间的包含关系求参数的取值范围时,注意转化方法的运用,特别要注意不等式中的等号能否成立．（六）子集中忽视空集问题例6【云南省2018-2019学年期中考试】已知集合,若,则的取值集合是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】本题考查集合间的包含关系,先将集合,化简,然后再根据分类讨论．【解析】∵集合∴若,即时,满足条件；若,则.∵∴或∴或综上,或或.故选C.【点评】本题主要考查利用集合子集关系确定参数问题,易错点是化简集合时没有注意时的特殊情况．练习1.已知集合,．（1）若,求;（2）若,求实数的取值范围．【答案】(1) (2) 或【点评】由集合间的关系求参数时,常借助数轴来建立不等关系求解,此时应注意端点处是实点还是虚点（七）新定义问题例7．【清华附属中2018-2019学年试题】集合A,B的并集A∪B＝｛1,2｝,当且仅当A≠B时,（A,B）与（B,A）视为不同的对,则这样的（A,B）对的个数有__________.【答案】8【分析】根据条件列举,即得结果.【解析】由题意得满足题意的（A,B）为：A=,B＝｛1,2｝；A=｛1｝,B＝｛2｝；A=｛1｝,B＝｛1,2｝；A=｛2｝,B ＝｛1｝；A=｛2｝,B＝｛1,2｝；A=｛1,2｝,B＝；A=｛1,2｝,B＝｛1｝；A=｛1,2｝,B＝｛2｝；共8个.【点评】本题考查集合子集与并集,考查基本分析求解能力.练习1．【华东师范大学附中2019届高三数学试卷】已知集合M=,集合M的所有非空子集依次记为：M1,M2,...,M15,设m1,m2,...,m15分别是上述每一个子集内元素的乘积,规定：如果子集中只有一个元素,乘积即为该元素本身,则m1+m2+...+m15=_____【答案】【分析】根据二项式定理的推导过程构造出函数,当时,函数的值就是所有子集的乘积。