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常系数非齐次线性微分方程二阶常系数非齐次线性微分方程()e ()xm f x P x λ=[]()e ()cos ()sin x l n f x P x x Q x x λωω=+型型二阶常系数非齐次线性微分方程二阶常系数非齐次线性微分方程的一般形式为)(x f qy y p y =+'+'' 其中p ,q 是常数0 y py qy '''++= 特解，*y通解，Y二阶常系数非齐次线性微分方程的通解 *y Y y =+)(x f 的两种常见形式是：(1) ()e ()xm f x P x λ=, 其中λ是常数, )(x P m 是m 次多项式： m m m m m a x a xa x a x P ++++=--1110)( (2) []()e ()cos ()sin x l n f x P x x Q x x λωω=+，其中λ,ω 0ω≠， ()l P x 、()n Q x 分别是l 次、n 次多是常数， 项式，且仅有一个可为零.这里介绍的方法的特点是不用积分就可求出*y来，实际上是先确定解的形式,再把形式解代入方程定出解中包含的常数的值.这种方法称为待定系数法.型()e ()xm f x P x λ=e ()xm y py qy P x λ'''++= 我们推测， *()e x y R x λ=（其中()R x 是某个多项式） 可能是方程的特解.因此,将 *()e x y R x λ=, ()*e ()x y R x R x λλ''=+⎡⎤⎣⎦()()*2e ()2x y R x R x R x λλλ'''''⎡⎤=++⎣⎦代入方程, 并消去e x λ, 得到①若λ不是对应的特征方程的根, 即20p q λλ++≠, 则由上式知, ()()()2R x p R x λ'''++()()()2m p q R x P x λλ+++=得到所求的特解为 *()e .xm y R x λ=代入原方程, 可确定 01,,,.m b b b 并比较等式两端的系数, e ()x m y py qy P x λ'''++=1011()()m m m m m R x R x b x b x b x b --==++++②若λ是特征方程所对应的单根, 即20p q λλ++=, 但20p λ+≠, 则()R x '必须是m 次多项式. 可令 并用同样的方法确定()m R x 的系数. 得到所求的特解为 *()e .x m y xR x λ=()1011()()m m m m m R x xR x x b x b x b x b --==++++③若λ是特征方程的二重根,即20p q λλ++=, 且20p λ+=, 则()R x ''必须是m 次多项式.可令 并用同样的方法来确定()m R x 的系数.得到所求的特解为 *2()e .xm y x R x λ=()22111()()mm m m m R x x R x xb xb xb x b --==++++由此我们有以下的结论:方程 e ()xm y py qy P x λ'''++= 具有形如*()e k xm y x R x λ=()m R x 是与)(x P m 同次的多项式,的特解, λ不是特征方程的根 λ是特征方程的单根λ是特征方程的二重根k ⎧⎪=⎨⎪⎩012再将*()e kx m y x R x λ=,*y '及*y ''代入原二阶常系数非齐次线性微分方程， 确定*()ek xm y x R x λ=中的1m +个系数, 就得到原方程的特解.例 求方程1332+=-'-''x y y y 的一个特解.解 0λ= ()31m P x x =+, 与所给方程对应的齐次方程为 230y y y '''--= 特征方程为 2230r r --=特征根为11r =-,23r =不是特征方程的根, 设特解为*01y b x b =+*()e0,1,2k xm y x R x k λ==1m =把*01y b x b =+,*0y b '=,*0y ''= 代入方程,得 00132331b x b b x ---=+00133231b b b -=⎧⎨--=⎩ 解得 01113b b =-⎧⎪⎨=⎪⎩所求特解为*13y x =-+2331y y y x '''--=+例 求方程256exy y y x '''-+=的通解.解 与所给方程对应的齐次方程为560y y y '''-+=,特征方程2560r r -+=, 特征根为12r =,23r =.与所给方程对应的齐次方程的通解为 2312ee xxY C C =+2=λ是特征方程的单根, ()m P x x =, 1m =设*201()e xy x b x b =+, 把*y ,*y ',*y '' 代入方程,得00122b x b b x -+-=, 00121,20b b b -=⎧⎨-=⎩,011,12b b =-=- 一个特解为*y 21(1)e 2x x x =--, *()e0,1,2k xm y x R x k λ==256e xy y y x '''-+=所求的通解为 2322121e e (2)e 2x x xy C C x x =+-+2312e e x xY C C =+[]()e()cos ()sin xl n f x P x x Q x x λωω=+型[]()e ()cos ()sin xl n f x P x x Q x x λωω=+应用欧拉公式 ()i i 1cos e e 2θθθ-=+， ()i i 1sine e 2iθθθ-=- ()i i i ie e e e e ()22i x x x x xl n P x Q x ωωωωλ--⎡⎤+-=+⎢⎥⎣⎦()()()()()()i i e e22i 22i x x l n l n P x Q x P x Q x λωλω+-⎡⎤⎡⎤=++-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦其中互为共轭的m 次多项式, max{,}m l n =()()()()i i eexxP x P x λωλω+-=+()()()()()i22i 22l n l n P x Q x P x Q x P x =+=-()()()()()i22i 22l n l n P x Q x P x Q x P x =-=+有特解 (i)1()ek xm y x R x λω*+=i ()()exy py qy P x λω-'''++= 用()m R x 表示与()m R x 成共轭的m 次多项式.i ()2()ek xm y x R x λω*-=特解 ()()i exy py qy P x λω+'''++=i λω+不是特征方程的根i λω+是特征方程的单根k ⎧=⎨⎩01[]e()cos ()sin xl n y py qy P x x Q x x λωω'''++=+具有特解 ()()()()i i *eexxkkm m y x R x x R x λωλω+-=+()()i ie e e k xx x m m x R x R x λωω-⎡⎤=+⎣⎦()()e [cos isin k xm x R x x x λωω=+()()cos isin ]m R x x x ωω+-()()*(1)(2)e cos sin k xmmy x R x x R x x λωω⎡⎤=+⎣⎦综上所述, 我们有如下的结论方程[]e()cos ()sin xl n y py qy P x x Q x x λωω'''++=+具有形如 的特解, 其中(1)()mR x 、(2)()mRx 是m 次多项式, ()()*(1)(2)ecos sin k xmmy x R x x R x x λωω⎡⎤=+⎣⎦max{,}m l n =i λω+不是特征方程的根 i λω+是特征方程的单根k ⎧=⎨⎩010λ=,2ω=, 例 求微分方程x x y y 2cos =+''的一个特解. 解 1m =，0y y ''+=, 210r +=, 特征根为1,2i r =±，()()*(1)(2)e cos sin k xmmy x R x x R x x λωω⎡⎤=+⎣⎦i=2i λω+不是特征方程的根，设特解为*()cos 2()sin 2y ax b x cx d x =+++()l P x x =,()0n Q x =,把*()cos 2()sin 2y ax b x cx d x =+++及*y ',*y ''代入方程，得 (334)cos 2(334)sin 2cos 2ax b c x cx d a x x x --+-++= 31,340,30,340,a b c c d a -=⎧⎪-+=⎪⎨-=⎪⎪--=⎩ 1,30,0,49a b c d ⎧=-⎪⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎪⎩特解为 cos 2y y x x ''+=解得 *14cos 2sin 239y x x x =-+例 求微分方程e cos 2xy y x ''-=的一个特解.解 0y y ''-=, 210r -=， 特征根为1,21r =± 1λ=,2ω=, i=1+2i λω+不是特征方程的根()()*(1)(2)e cos sin k xmmy x R x x R x x λωω⎡⎤=+⎣⎦()1l P x =,()0n Q x =, 0m =设特解为()*ecos 2sin 2xy a x b x =+把()*e cos 2sin 2xy a x b x =+及*y ',*y ''代入方程，得[]4()cos 2()sin 2cos 2a b x a b x x -+-+=1,40,a b a b ⎧-+=⎪⎨⎪+=⎩ 1,81.8a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩特解为 e cos 2x y y x ''-=解得 ()*1e sin 2cos 28x y x x =-。
