第十章排列组合 10.2

第81 页第十章排列组合现实生活中到处需要记数，用一个一个地去数的办法在稍微复杂一点的情形就数不过来了，因此需要研究怎样计数. 这一章我们来介绍计数的基本原理和两类基本的计数问题（排列问题，组合问题），以及它们在推导二项式中的应用.§10.1分类计数原理、分步计数原理分类计数原理如果计数的对象可以分成若干类，使得每两类没有公共元素. 则分别对每一类里的元素计数，然后把各类的元素数目相加，便得出所要计数的对象的总数.例1 两个袋子里分别装有40个红球，60个白球，从中任取一个球，有多少种取法？解取一个球的方法可以分成两类：一类是从装红球的袋子里取一个球，这有40种取法；另一类是从装白球的袋子里取一个球，这有60种取法.因此取法种数共有40+60=100（种）分步计数原理如果计数的对象可以分成若干步骤来完成，并且对于前面几步的每一种完成方式，下一步有相同数目的做法，则依次计算第一步的做法数目，第二步的做法数目，…，最后一步的做法数目，然后把各步的做法数目相乘，便得出所要计数的对象的总数.图10-1例 2 两个袋子里分别装有40个红球与60个白球，从中任取一个红球和一个白球，有多少种取法？解：取一个红球和白球可以分成两步来完成：第一步从装红球的袋子里取一个球，这有40种取法；对于这每一种取法，第二部从装白球的袋子里取一个球，都有60种取法. 因此取一个红球和一个白球的方法共有40 60=2400（种）把例2与例1比较，想一想：什么情形下计数的对象可以分类；什么情形下计数的对象可以分步完成. 识别这两种情况是解决计数问题的关键.例3 某城市的电话号码有8位数字组成，其中从左边算起的第一位只用6或8，其余7位可以从前10个自然数0，1，…，9中任意取. 允许数字重复. 试问：该城市最多可装电话多少门？解装一门电话需要指定一个电话号码，由于第1位只用6或8，因此电话号码可以分成两类：第一位用6的是第一类，第1位用8的是第二类.第 82 页第一类电话号码还剩下7位. 此时指定一个电话号码可以分成7步来完成：第一步确定第二位的数字，这有10种取法；对于这每一种取法，第二步确定第3位的数字，这有10种取法（因为允许数字重复）；对于第一、第二步已取好的每一对数字，第三步确定第4位数字，又有10种取法；…；对于第一至第六步已经取好的每一组数字，第七步确定第8位的数字，又有10种取法. 因此第一类电话号码共有71010101010101010=⨯⨯⨯⨯⨯⨯（个）同理，第二类电话号码也有710个.根据分类计数原理得，该城市所用的电话号码一共有710+710=7102⨯个. 从而最多可装电话7102⨯门，即两千万门. 从例3可以看到，有些计数问题，既要用分类计数原理又要用分步计数原理，通常是先把计数的对象分类，然后对每一类里的对象用分步计数原理练 习1.某学校高二年级有两个班, 高二（1）班、高二（2）班分别有10人、14人会下象棋. 想从这个年级中选派一位学生去参加学校的象棋比赛，共有多少中选法？2.在100件产品中，有97件合格品，3件次品，从中抽取一件来检查，共有多少种抽取方法？3.某学校高二（1）班、高二（2）班分别有10人、14人会下象棋. 如果这两个班之间举行象棋比赛，要求高二（1）班的每名棋手与高二（2）班的每名棋手都比赛一场，一共要比赛多少场？4.有数字1，2，3，4，5可以组成多少个四位数（各位上的数字允许重复）？5.某城市的电话号码由7位数字组成，其中从左边算起的第1位只用8，其余6位可以从10个数字0，1，2，…,9中任意取。

初中数学排列组合教案设计参考第一章：排列组合基本概念1.1 排列教学目标：让学生理解排列的定义和排列数公式。

培养学生运用排列知识解决实际问题的能力。

教学内容：排列的定义：排列是指从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有可能的顺序排列。

排列数公式：An = n! / (n-m)!，其中n!表示n的阶乘。

教学活动：引入实例，让学生感受排列的意义。

引导学生通过列举法得出排列数公式。

练习运用排列数公式解决实际问题。

1.2 组合教学目标：让学生理解组合的定义和组合数公式。

培养学生运用组合知识解决实际问题的能力。

教学内容：组合的定义：组合是指从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有可能的组合。

组合数公式：Cn = n! / [m!(n-m)!]，其中n!表示n的阶乘。

教学活动：引入实例，让学生感受组合的意义。

引导学生通过列举法得出组合数公式。

练习运用组合数公式解决实际问题。

第二章：排列组合的应用2.1 排列组合的综合应用教学目标：让学生掌握排列组合的综合应用方法。

培养学生运用排列组合知识解决复杂问题的能力。

教学内容：排列组合的综合应用方法：根据问题的实际情况，选择合适的排列组合公式进行计算。

教学活动：练习运用排列组合的综合应用方法解决实际问题。

2.2 排列组合在实际问题中的应用教学目标：让学生学会运用排列组合知识解决实际问题。

培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。

教学内容：实际问题中的排列组合应用：如人员安排、活动组织等。

教学活动：引入实际问题，让学生感受排列组合在实际中的应用。

第三章：排列组合的扩展3.1 多重排列教学目标：让学生理解多重排列的定义和多重排列数公式。

培养学生运用多重排列知识解决实际问题的能力。

教学内容：多重排列的定义：多重排列是指在排列中允许元素重复的情况。

多重排列数公式：对于k个相同的元素，其排列数为k^m，其中m为元素个数。

教学活动：引入实例，让学生感受多重排列的意义。

引导学生通过列举法得出多重排列数公式。

排列组合问题(教案)第一章：排列组合基础1.1 排列组合概念：排列、组合的定义及其区别1.2 排列组合的基本公式：排列数公式、组合数公式1.3 排列组合的应用：简单的排列组合问题求解第二章：排列组合的性质与方法2.1 排列组合的性质：交换律、结合律、分配律等2.2 排列组合的方法：直接法、排除法、插空法等2.3 排列组合的实例分析：解决实际问题第三章：排列组合的拓展3.1 排列组合的递推关系：Fibonacci数列与排列组合3.2 排列组合的极限问题：鸽巢原理、包含-排除原理3.3 排列组合与其他数学领域的联系：组合数学与图论、概率论等第四章：排列组合在实际问题中的应用4.1 排列组合在组合优化问题中的应用：旅行商问题、装箱问题等4.2 排列组合在信息科学中的应用：编码理论、密码学等4.3 排列组合在生物学中的应用：遗传组合、进化论等第五章：排列组合问题的解题技巧与策略5.1 排列组合的分类讨论：按照元素属性、按照排列顺序等5.2 排列组合的简化方法：图论方法、recurrence relation 等5.3 排列组合的思维策略：逻辑思维、创新思维等第六章：排列组合的综合应用题6.1 排列组合与概率论的结合：计算事件的概率6.2 排列组合与图论的结合：解决图论中的问题6.3 排列组合与数论的结合：组合数与素数的关系等第七章：排列组合与其他数学问题的联系7.1 排列组合与组合优化：线性规划、整数规划等7.2 排列组合与算法：动态规划、回溯算法等7.3 排列组合与数学竞赛：排列组合在数学竞赛中的应用第八章：现代排列组合方法与工具8.1 计算机算法：排列组合问题的计算机算法实现8.2 数学软件：使用数学软件解决排列组合问题8.3 组合设计：拉丁方、Steiner系统等组合设计理论第九章：排列组合在生活中的应用9.1 排列组合在日常生活中的应用：如彩票、概率游戏等9.2 排列组合在社会科学中的应用：如人口统计、社会调查等9.3 排列组合在艺术中的应用：如密码、图案设计等第十章：排列组合问题的研究前沿与展望10.1 排列组合问题的新模型：如网络流模型、组合优化模型等10.2 排列组合问题的新方法：如图论方法、代数方法等10.3 排列组合问题的未来发展趋势：如与、大数据的结合等重点和难点解析重点环节一：排列组合概念的区分学生需要理解排列和组合的定义，并能够区分它们的应用场景。

课 题： 10．2排列 (二)教学目的： 1进一步理解排列和排列数的概念，理解阶乘的意义，会求正整数的阶乘；2.掌握排列数的另一个计算公式，并能熟练应用公式解决排列数的化简、证明等问题教学重点：排列数公式的应用教学难点：排列数公式的应用授课类型：新授课课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪内容分析：学生易于辨别组合、全排列问题，而排列问题就是先组合后全排列.在求解排列、组合问题时，可引导学生找出两定义的关系后，按以下两步思考：首先要考虑如何选出符合题意要求的元素来，选出元素后再去考虑是否要对元素进行排队，即第一步仅从组合的角度考虑，第二步则考虑元素是否需全排列，如果不需要，是组合问题；否则是排列问题.排列、组合问题大都来源于同学们生活和学习中所熟悉的情景，解题思路通常是依据具体做事的过程，用数学的原理和语言加以表述.也可以说解排列、组合题就是从生活经验、知识经验、具体情景的出发，正确领会问题的实质，抽象出“按部就班”的处理问题的过程.据笔者观察，有些同学之所以学习中感到抽象，不知如何思考，并不是因为数学知识跟不上，而是因为平时做事、考虑问题就缺乏条理性，或解题思路是自己主观想象的做法（很可能是有悖于常理或常规的做法）.要解决这个问题，需要师生一道在分析问题时要根据实际情况，怎么做事就怎么分析，若能借助适当的工具，模拟做事的过程，则更能说明问题.久而久之，学生的逻辑思维能力将会大大提高.排列、组合问题解题方法比较灵活，问题思考的角度不同，就会得到不同的解法.若选择的切入角度得当，则问题求解简便，否则会变得复杂难解.教学中既要注意比较不同解法的优劣，更要注意提醒学生体会如何对一个问题进行认识思考，才能得到最优方法.教学过程：一、复习引入：1 分类计数原理：做一件事情，完成它可以有n 类办法，在第一类办法中有1m 种不同的方法，在第二类办法中有2m 种不同的方法，……，在第n 类办法中有n m 种不同的方法那么完成这件事共有 12n N m m m =+++种不同的方法2.分步计数原理：做一件事情，完成它需要分成n 个步骤，做第一步有1m 种不同的方法，做第二步有2m 种不同的方法，……，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事有12n N m m m =⨯⨯⨯ 种不同的方法3．排列的概念：从n 个不同元素中，任取m （m n ≤）个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的顺序．．．．．排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．．．．说明：（1）排列的定义包括两个方面：①取出元素，②按一定的顺序排列；（2）两个排列相同的条件：①元素完全相同，②元素的排列顺序也相同4．排列数的定义：从n 个不同元素中，任取m （m n ≤）个元素的所有排列的个数叫做从n 个元素中取出m 元素的排列数，用符号mn A 表示 注意区别排列和排列数的不同：“一个排列”是指：从n 个不同元素中，任取m 个元素按照一定的顺序．．．．．排成一列，不是数；“排列数”是指从n 个不同元素中，任取m （m n ≤所以符号m n A 只表示排列数，而不表示具体的排列5．排列数公式：(1)(2)(1)m n A n n n n m =---+（,,m n N m n *∈≤）说明：（1）公式特征：第一个因数是n ，后面每一个因数比它前面一个 少1，最后一个因数是1n m -+，共有m 个因数；（2）全排列：当n m =时即n 个不同元素全部取出的一个排列全排列数：(1)(2)21!n n A n n n n =--⋅=（叫做n 的阶乘）二、讲解新课：1 阶乘的概念：n 个不同元素全部取出的一个排列，叫做n 个不同元素的一个全排列，这时(1)(2)321n n A n n n =--⋅⋅；把正整数1到n 的连乘积，叫做n的阶乘表示：!n ， 即n n A =n 规定0!1=．2．排列数的另一个计算公式：(1)(2)(1)m n A n n n n m =---+ (1)(2)(1)()321()(1)321n n n n m n m n m n m ---+-⋅⋅=---⋅⋅=!()!n n m -即 m n A =!()!n n m - 三、讲解范例：例1．计算：①66248108!A A A +-；② 11(1)!()!n m m A m n ----． 解：①原式876543216543218710987⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯=⨯-⨯⨯⨯ =5765432513056(89)623⨯⨯⨯⨯⨯=-⨯-； ②原式(1)!1(1)!()!()!m m m n m n -==---． 例2．解方程：3322126x x x A A A +=+．解：由排列数公式得：3(1)(2)2(1)6(1)x x x x x x x --=++-，∵3x ≥，∴ 3(1)(2)2(1)6(1)x x x x --=++-，即2317100x x -+=， 解得 5x =或23x =，∵3x ≥，且x N *∈，∴原方程的解为5x =． 例3．解不等式：2996x x A A ->． 解：原不等式即9!9!6(9)!(11)!x x >⋅--， 也就是16(9)!(11)(10)(9)!x x x x >--⋅-⋅-，化简得：2211040x x -+>， 解得8x <或13x >，又∵29x ≤≤，且x N *∈，所以，原不等式的解集为{}2,3,4,5,6,7．例4．求证：（1）n m n m n n n m A A A --=⋅；（2）(2)!135(21)2!n n n n =⋅⋅-⋅．证明：（1）!()!!()!m n m n n m n A A n m n n m --⋅=-=-n n A =，∴原式成立（2）(2)!2(21)(22)43212!2!n n n n n n n n ⋅-⋅-⋅⋅⋅=⋅⋅ 2(1)21(21)(23)312!n n n n n n n ⋅-⋅⋅--⋅=⋅!13(23)(21)!n n n n ⋅⋅--==135(21)n ⋅⋅-=右边 ∴原式成立 说明：（1）解含排列数的方程和不等式时要注意排列数m n A 中，,m n N *∈且m n ≤这些限制条件，要注意含排列数的方程和不等式中未知数的取值范围；（2）公式(1)(2)(1)m n A n n n n m =---+常用来求值，特别是,m n 均为已知时，公式m n A =!()!n n m -，常用来证明或化简 例5．化简：⑴12312!3!4!!n n -++++；⑵11!22!33!!n n ⨯+⨯+⨯++⨯ ⑴解：原式11111111!2!2!3!3!4!(1)!!n n =-+-+-++-=-11!n - ⑵提示：由()()1!1!!!n n n n n n +=+=⨯+，得()!1!!n n n n ⨯=+-， 原式()1!1n =+- 说明：111!(1)!!n n n n -=--． 四、课堂练习：1．若!3!n x =，则x = （ ） ()A 3n A ()B 3n n A - ()C 3n A ()D 33n A -2．与37107A A ⋅不等的是 （ ）()A 910A ()B 8881A ()C 9910A ()D 1010A 3．若532m m A A =，则m 的值为 （ ）()A 5 ()B 3 ()C 6 ()D 74．计算：5699610239!A A A +=- ； 11(1)!()!n m m A m n ---=⋅- ． 5．若11(1)!242m m m A --+<≤，则m 的解集是 ． 6．（1）已知101095m A =⨯⨯⨯，那么m = ；（2）已知9!362880=，那么79A = ；（3）已知256n A =，那么n = ；（4）已知2247n n A A -=，那么n = ．7．一个火车站有8股岔道，停放4列不同的火车，有多少种不同的停放方法（假定每股岔道只能停放1列火车）？8．一部纪录影片在4个单位轮映，每一单位放映1场，有多少种轮映次序？ 答案：1. B 2. B 3. A 4. 1,1 5. {}2,3,4,5,66. (1) 6 (2) 181440 (3) 8 (4) 57. 16808. 24五、小结 ：排列数公式的两种形式及其应用六、课后作业：七、板书设计（略）八、课后记：。