高中数学必修5数列学案7,8

m n a a d n a a d d n a a d m n a a d n a a d a a mnn n m n n n n --=--=--=-+=-+==-+1;)1()()1(1111变式：推广：通项公式：递推关系：必修5 数列二、等差数列 知识要点1．数列的通项n a 与前n 项和n S 的关系∑==++++=ni i n n a a a a a S 1321 ⎩⎨⎧≥-==-2111n S S n S a n n n 2．递推关系与通项公式()1(),(),,n n a dn a d a f n kn b k b =+-==+特征：即：为常数(),,n a kn b k b =+为常数⇔数列{}n a 成等差数列．3．等差中项：若c b a ,,成等差数列，则b 叫做c a 与的等差中项，且2ca b +=；c b a ,,是等差数列⇔c a b +=2． 4．前n 项和公式：2)(1n a a S n n +=； 2)1(1dn n na S n -+= 221(),()22n n d dS n a n S f n An Bn =+-==+特征：即2,(,)n S An Bn A B =+为常数⇔数列{}n a 成等差数列．5．等差数列{}n a 的基本性质),,,(*∈N q p n m 其中⑴q p n m a a a a q p n m +=++=+，则若，反之不成立； ⑵d m n a a m n )(-=-； ⑶m n m n n a a a +-+=2；⑷n n n n n S S S S S 232,,--仍成等差数列． 6．判断或证明一个数列是等差数列的方法： ①定义法：()()1n n a a d n N*+-=∈常数 ⇒{}na 是等差数列②中项法：()122n n n a a a n N *++=+∈⇒{}na 是等差数列③通项公式法：(),n a kn bk b =+为常数⇒{}na 是等差数列④前n 项和公式法：()2,n S An BnA B =+为常数⇒{}na 是等差数列【应用一】1．若a ≠ b ，数列a ，x 1，x 2，b 和数列a ，y 1，y 2，y 3，b 都是等差数列，则 =--1212y y x x ( )A ．32B ．43C ．1D ．342. 等差数列{a n }中，若a 3+a 4+a 5+a 6+a 7=450 ，则前9项和S 9= ( ) A.1620 B.810 C.900 D.6753. 在－1和8之间插入两个数a ，b ，使这四个数成等差数列，则 ( )A. a =2，b =5B. a =－2，b =5C. a =2，b =－5D. a =－2，b =－54. 首项为24-的等差数列，从第10项开始为正数，则公差d 的取值范围是 ( ) A.d ＞83 B.d ＞3 C.83≤d ＜3 D.83＜d ≤3 5．等差数列}{n a 共有n 2项，其中奇数项的和为90，偶数项的和为72，且3312-=-a a n ，则该数列的公差为 ( )A ．3B ．－3C ．－2D ．－16. 等差数列{a n }中，a 1=－5，它的前11项的平均值是5，若从中抽取1项，余下的10项的平均值是4，则抽取的是 ( ) A.a 11B.a 10C.a 9D.a 87. 设函数f (x )满足f (n +1)=2)(2n n f +(n ∈N *)且f (1)=2，则f (20)为 ( ) A. 95B. 97C. 105D. 1928．已知无穷等差数列{a n }，前n 项和S n 中，S 6 <S 7 ，且S 7 >S 8 ，则 ( ) A ．在数列{a n }中a 7 最大B ．在数列{a n }中，a 3 或a 4 最大C ．前三项之和S 3 必与前11项之和S 11 相等D ．当n ≥8时，a n <0 9. 集合{}*6,,且60M m m n n N m ==∈<中所有元素的和等于_________.10、在等差数列{}n a 中，37104118,14.a a a a a +-=-=- 记123n n S a a a a =++++，则13S =_____．11、已知等差数列{}n a 中，79416,1a a a +==，则16a 的值是 ． 12. (1)在等差数列{}n a 中，71,83d a =-=，求n a 和n S ； (2)等差数列{}n a 中，4a =14，前10项和18510=S ．求n a ；13. 一个首项为正数的等差数列{a n }，如果它的前三项之和与前11项之和相等，那么该数列的前多少项和最大?14. 数列{a n }中，18a =，42a =，且满足2120n n n a a a ++-+=， (1)求数列的通项公式；(2)设12||||||n n S a a a =+++，求n S ．15. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n +2S n ·S n －1=0(n ≥2)，a 1=21. (1)求证：{nS 1}是等差数列；(2)求a n 的表达式； (3)若b n =2(1－n )a n (n ≥2)，求证：b 22+b 32+…+b n 2<1.【应用二】1．等差数列{}n a 中，()46810129111120,3a a a a a a a ++++=-则的值为A ．14B ．15C ．16D ．172．等差数列{}n a 中，12910S S a =>，，则前 项的和最大．3．已知等差数列{}n a 的前10项和为100，前100项和为10，则前110项和为 ． 4．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知001213123<>=S S a ，，．①求出公差d 的范围；②指出1221S S S ，，， 中哪一个值最大，并说明理由．5、已知等差数列{}n a 中，79412161a a a a +==，，则等于( )A ．15B ．30C ．31D ．646、设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，971043014S S S S ，则，=-== ．7、已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若=+++=118521221a a a a S ，则 ．8．甲、乙两物体分别从相距70m 的两处同时相向运动，甲第一分钟走2m ，以后每分钟比前一分钟多走1m ，乙每分钟走5m ，①甲、乙开始运动后几分钟相遇? ②如果甲、乙到对方起点后立即折返，甲继续每分钟比前一分钟多走1m ，乙继续每分钟走5m ，那么，开始运动几分钟后第二次相遇?9．已知数列{}n a 中，，31=a 前n 项和1)1)(1(21-++=n n a n S ． ①求证：数列{}n a 是等差数列； ②求数列{}n a 的通项公式；③设数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+11n n a a 的前n 项和为n T ，是否存在实数M ，使得M T n ≤对一切正整数n 都成立?若存在，求M 的最小值，若不存在，试说明理由．三、等比数列 知识要点1. 定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，记为()0q q ≠，．2. 递推关系与通项公式mn m n n n n n q a a q a a qa a --+⋅=⋅==推广：通项公式：递推关系：111 3. 等比中项：若三个数c b a ,,成等比数列，则称b 为a 与c的等比中项，且b =2b ac =注：是c b a ,,成等比数列的必要不充分条件．4. 前n 项和公式)1(11)1()1(111≠⎪⎩⎪⎨⎧--=--==q q qa a q q a q na S n n n5. 等比数列的基本性质，),,,(*∈N q p n m 其中①q p n m a a a a q p n m ⋅=⋅+=+，则若，反之不成立！ ②)(2*+--∈⋅==N n a a a a a qm n m n n mn mn ， ③{}n a 为等比数列，则下标成等差数列的对应项成等比数列． ④若项数为()*2n n N∈，则S q S=偶奇．⑤nn m n m S S q S +=+⋅．⑥ ，，，时，n n n n n S S S S S q 2321---≠仍成等比数列． 6. 等差数列与等比数列的转化①{}n a 是等差数列⇔{})10(≠>c c cna ，是等比数列；②{}n a 是正项等比数列⇔{})10(log ≠>c c a n c ，是等差数列；③{}n a 既是等差数列又是等比数列⇔{}n a 是各项不为零的常数列． 7. 等比数列的判定法 ①定义法：()1n na q a +=⇒常数{}n a 为等比数列； ②中项法：()2120n n n n a a a a ++=⋅≠⇒{}n a 为等比数列；③通项公式法：(),nn a k qk q =⋅⇒为常数{}na 为等比数列；④前n 项和法：()()1,nn S k q k q =-⇒为常数{}na 为等比数列．【性质运用】1．4710310()22222n f n +=+++++设 ()()()n N f n *∈，则等于1342222(81)(81)(81)(81)7777n n n n A B C D +++----．．．．2．已知数列{}n a 是等比数列，且===m m m S S S 323010，则， ． 3．在等比数列{}n a 中，143613233+>==+n n a a a a a a ，，． ①求n a ，②若n n n T a a a T 求,lg lg lg 21+++= ．4．{a n }是等比数列，下面四个命题中真命题的个数为 ( )①{a n 2}也是等比数列；②{ca n }(c ≠0)也是等比数列；③{na 1}也是等比数列；④{ln a n }也是等比数列． A ．4 B ．3 C ．2D ．15．等比数列{a n }中，已知a 9 =－2，则此数列前17项之积为 ( ) A ．216B ．－216C ．217D ．－2176．在等比数列{a n }中，如果a 6=6，a 9=9，那么a 3等于 ( )A ．4B ．23 C ．916 D ．27．若两数的等差中项为6，等比中项为5，则以这两数为两根的一元二次方程为 ( )A ．x 2－6x ＋25=0B ．x 2＋12x ＋25=0 C ．x 2＋6x －25=0 D ．x 2－12x ＋25=08．某工厂去年总产a ，计划今后5年内每一年比上一年增长10%，这5年的最后一年该厂的总产值是 ( )A ．1.1 4a B ．1.1 5a C ．1.1 6a D ．(1＋1.1 5)a9．已知各项为正的等比数列的前5项之和为3，前15项之和为39，则该数列的前10项之和为( )A ．32B ．313C ．12D ．1510．某厂2001年12月份产值计划为当年1月份产值的n 倍，则该厂2001年度产值的月平均增长率为 ( )A ．11nB ．11nC ．112-nD ．111-n11．等比数列的前n 项和S n =k ·3n＋1，则k 的值为 ( )A ．全体实数B ．－1C ．1D ．312．在等比数列{a n }中，已知a 1=23，a 4=12，则q =_____ ____，a n =____ ____． 13．在等比数列{a n }中，a n ＞0，且a n ＋2=a n ＋a n ＋1，则该数列的公比q = ___． 14．已知数列满足a 1=1，a n ＋1=2a n ＋1 (n ∈N *)．(1)求证数列{a n ＋1}是等比数列；(2)求{a n }的通项公式．15．在等比数列｛a n｝中，已知对n∈N*，a1＋a2＋…＋a n＝2n－1，求a12＋a22＋…＋a n2．16．在等比数列｛a n｝中，已知S n＝48，S2n＝60，求S3n．17．求和：S n＝1＋3x＋5x2＋7x3＋…＋(2n－1)x n－1 (x≠0)．18．在等比数列｛a n｝中，a1＋a n=66，a2·a n－1=128，且前n项和S n=126，求n及公比q．。

学案（1）数列
1.理解数列及其有关概念；
2.了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；
3.对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的个通项公式.
1.函数的定义.
2.在学习函数的基础上，今天我们来学习数列的有关知识，首先我们来看一些例子：
观察这些例子，看它们有何共同特点？
1．数列：
2．数列的项：
3．数列的一般表示：
4．数列的通项公式：
5．有穷数列：
6．无穷数列： 例1 根据下面数列{}n a 的通项公式，写出前5项：
（1）1212--=n n a n ； (2) 2
sin πn a n =。

例2写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：
（1）1，3，5，7 （2）;2,0,2,0
（3）.63
8,356,154,32----
；
例3 已知函数x
x x f 1)(-=，设:))((+∈=N n n f a n （1） 求证：<n a 1；
（2） {n a }是递增数列还是递减数列？为什么？。

第二章 数列§2.1数列的概念与简单表示法●教学目标理解数列及其有关概念，了解数列和函数之间的关系；了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的个通项公式。

通过对一列数的观察、归纳，写出符合条件的一个通项公式，培养学生的观察能力和抽象概括能力．了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同；会根据数列的递推公式写出数列的前几项；理解数列的前n 项和与n a 的关系。

●教学重点数列及其有关概念，通项公式及其应用，根据数列的递推公式写出数列的前几项●教学难点根据一些数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式，理解递推公式与通项公式的关系●教学过程Ⅰ.课题导入三角形数：1，3，6，10，…正方形数：1，4，9，16，25，…观察这些例子，看它们有何共同特点？()1全体自然数：0、1、2、3、4… …()22精确到1，0.1，0.01，0.001 … …的不足近似值：1、1.4、1.41、1.414… ….过剩近似值：2、1.5、1.42、1.415 … …()3-1的1次幂，2次幂，3次幂… …：—1，1，—1，1，—1，1，….()4无穷多个2：2、2、2、2… …Ⅱ.讲授新课⒈ 数列的定义：按 的一列数叫做数列.注意：⑴⑵⒉ 数列的项：数列中的 都叫做这个数列的项.各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，…，第n 项，….⒊数列的一般形式： ,,,,,321n a a a a ，或简记为{}n a ，其中n a 是数列的第n 项⒋ 数列的通项公式：如果数列{}n a 的 与 之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.注意：⑴⑵⑶数列通项公式的作用：①②数列的通项公式具有双重身份，它表示了数列的第 项，又是这个数列中所有各项的一般表示．通项公式反映了一个数列项与项数的函数关系，给了数列的通项公式，这个数列便确定了，代入项数就可求出数列的每一项．5.数列与函数的关系数列可以看成以 为定义域的函数()n a f n =，当自变量 对应的一列函数值。

第二章第1节：数列的概念与简单表示法（一）班级： 姓名： 成绩：学习目标：1、理解数列及其有关概念，了解数列和函数之间的关系；了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；2、对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的个通项公式.通过对一列数的观察、归纳，写出符合条件的一个通项公式；3、培养学生的观察能力和抽象概括能力；学习重点：数列及其有关概念，通项公式及其应用；学习难点：根据一些数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式． 学习过程： 一、 预习﹒交流﹒评价 如下图， 毕达歌拉斯（古希腊的数学家）的三角形、正方形数分别是：二、新知﹒巩固﹒展示 探究一：数列的概念1、数列的定义：按一定 排列的一列数叫做数列.2、数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的.各项依次叫做这个数列的第项（或项），第2项，…，第项，….例如正方形数中的”9”是第项.三角形数中的第4项是. 3、数列的一般形式： ,,,,,321n a a a a ，或简记为，其中n a 是数列的第项. 探究二：数列的分类：(1) 根据数列项数的多少分类：有穷数列：项数的数列叫做有穷数列；无穷数列：项数的数列叫做无穷数列。

(2) 根据数列项的大小分类：递增数列：从第2项起，每一项都不于它的前一项的数列； 递减数列：从第2项起，每一项都不于它的前一项的数列； 常数数列：各项的数列；摆动数列：从第2项起，有些项于它的前一项，有些项于它的前一项的数列． 试一试１.填写下表：哪些是递增数列，递减数列，常数数列，摆动数列？探究三：数列的函数定义和通项公式：1． 数列的函数定义：数列可以看成以正整数集 （或它的有限子集{1，2，3，…，n}）为 的函数()n a f n =，当自变量从小到大依次取值时对应的一列 值。

反过来，对于函数y=f(x),如果f(i)（i=1、2、3、4…）有意义，那么我们可以得到一个数列：．试一试2： 下列函数，当x 依次取1，2，3，…时，其函数值构成的数列各有什么特点？（１）97+=x y ； （２）x y 3=； 2． 数列的通项公式：如果数列{}n a 的第n 项n a 与n 之间的关系可以用一个来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.注意: ⑴并不是数列都能写出其通项公式；⑵一个数列的通项公式有时是不的．⑶数列通项公式的作用：①求数列中一项；②检验某数是否是该数列中的.三、训练﹒拓展﹒提高【问题一】写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：（1）41,31,21,1--；（2）2，0，2，0.注意：与函数一样，数列也可以用图象、列表来表示。

数列使用课时数 1 课时一、授课目的：1．理解数列的看法。

2．能由通项公式求前n 项，并能判断某个数是否是数列中的项。

3．能依照数列的前n 项写出它的一个通项公式。

二、导入新课：某剧场有30 排座位，第一排有20 个座位，从第二排起，后一排都比前一排多 2 个座位，那么各排座位数依次为20， 22， 24 ， 26， 28，,,某种细胞若是每分钟一个分裂为 2 个，那么每过一分钟 1 个细胞分裂的个数依次为 1， 2， 4，8， 16，,,某人买回一对兔子，一年后长成一对大兔子。

再过一年，大兔子生了一对小兔子。

再过一年小兔子长成了大兔子，大兔子又生了一对小兔子。

这样连续，每年的兔子对数依次为1，1， 2，3， 5， 8，,,从 1984 年到 2008 年，我国共参加了 7 次奥运会，各次参赛得的金牌总数依次为 15， 5， 16， 16， 28， 32， 51。

回答我国古代用诗歌形式提出的一个数列问题：瞭望巍巍塔七层，红灯向下成倍增，共灯三百八十一，试问塔顶几盏灯？三、看法1．叫做数列，叫做这个数列的项。

记号：数列简记为，数列的第 n 项记为。

2．依照数列的项数可以把数列分为和。

3．数列与函数的关系：数列可以看作即a n f n 。

4．数列的通项公式：。

5．数列的表示方法：、、。

数列用图像法表示：在直角坐标系中的为横坐标，为纵坐标描点画图，其图像是一些，它们位于。

四、例讲【例 1】已知数列a n的第 n 项 a n为2n1，写出这个数列的首项、第 2 项和第 3 项。

练习：1．已知数列a n中的首项为 a11，且满足a n 11a n1，则此数列的第三项是。

22n2．已知数列a的通项公式为a2n229n 3 ，则数列 a 中最大项是第项，n n n其值为。

3．数列a n的通项公式为a n n2 5n 4，则数列中有多少项是负数？。

【例 2】已知数列a n的通项公式，写出这个数列的前 5 项，并作出它的图像。

§2.1 数列的概念一、知识要点1、数列的定义：按照一定 排列的一列数叫数列.数列中的 都叫做这个数列的项.各项依次叫做这个数列的第1项（或首 项），第2项, …,第n 项, …数列的一般形式可以写成： ,,,,,321n a a a a ，其中n a 是数列的 ，叫做数列的 ，我们通常把一般形式的数列简记作 。

2、数列的表示:(1) 列举法:将每一项一一列举出来表示数列的方法.(2) 图像法:由(n,a n )点构成的一些孤立的点;(3) 解析法:用通项公式a n =f(n)（*∈N n ）表示.通项公式：如果数列{n a }中的第n 项n a 与n 之间的关系可以用一个公式来表示，则称此公式为数列的 .数列通项公式的作用：①求数列中任意一项；②检验某数是否是该数列中的一项.思考与讨论:①数列与数集有什么区别？与集合中元素的性质相比较，数列中的项也有三个性质；确定性：一个数在不在数列中，即一个数是不是数列中的项是确定的。

可重复性：数列中的数可以重复。

有序性：一个数列不仅与构成数列的“数”有关，而且与这些数的排列次序也有关。

②是否所有的数列都有通项公式？③{n a }与n a 有什么区别？⑷递推公式法:用前n 项的值与它相邻的项之间的关系表示各项. 递推公式也是求数列的一种重要的方法，但并不是所有的数列都有递推公式。

3、数列与函数从函数的观点看，数列可以看作是一个定义域为 （或它的 ）的函数)(n f a n =，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时，所对应的一列函数值.数列的 是相应的函数的解析式，它的图像是 。

4、数列分类：按项数分类： ， .按项与项间的大小关系分类： ， ， ， .5、任意数列{a n }的前n 项和的性质n S = a 1+ a 2+ a 3+ ……+ a n()()⎩⎨⎧≥-==-2111n S S n S a n n n 6、求数列中最大最小项的方法：最大⎩⎨⎧≥≥-+11n n n n a a a a 最小⎩⎨⎧≤≤-+11n nn n a a a a ，考虑数列的单调性. 二、典例分析题型1: 用观察法求数列的通项公式例1、根据下面各数列前几项，写出一个通项.⑴-1,7,-13,19,…；⑵7,77,777,777,…；⑶1-，1，1-…；⑷ 0，2，0，2，…；⑸32-，83，154-，245，356-，…； 根据数列前几项的规律，写出数列的一个通项公式，主要从以下几个方面来考虑：⑴通常先将每项分解成几部分（如符号、绝对值、分子、分母、底数、指数等），然后观察各部分与项数n 的关系写通项.⑵正负相间的问题，符号用（－1）n 或（－1）n+1来调节，这是因为n 和n+1奇偶交错.⑶分式形式的数列，分子找通项，分母找通项，要充分借助分子、分母的关系.⑷较复杂的数列的通项公式，可借助一些熟知数列，如数列{n 2}，{n 1}，{2n }，{}n )1(- ， {10n －1}，{1－10—n }等.⑸有些数列的通项公式可用分段函数形式来表示.题型2: 运用a n 与S n 的关系求通项例2、已知数列}{n a 的前n 项的和562+-=n n S n .⑴写出数列的通项公式；⑵判断}{n a 的单调性.题型3:运用函数思想解决数列问题例3、已知数列{}n a 中，,31022+-=n n a n 它的最小项是（ ） A.第一项B.第二项C.第三项D. 第二项或第三项题型4: 递推数列例4、⑴若数列{}n a 中，12a =，且各项满足12n n a a +=+，写出该数列的前5项．⑵已知数列{a n }中，12a =，且各项满足n n a a 21=+，写出该数列的前5项.三、课时作业1.数列,924,715,58,1--…的一个通项公式是 （ ） A .12)1()1(++-=n n n a nn B .12)3()1(++-=n n n a n n C .12)1()1(2++-=n n a nn D .12)2()1(++-=n n n a nn 2.已知数列}{n a 满足211+=+n n a a ,则数列}{n a 是( ) A. 递增数列B. 递减数列C. 摆动数列D. 常数列 3.已知数列}{n a 的首项11=a 且)2(211≥-=-n a a n n ,则4a 等于( )A. 1-B.21 C. 2417 D. 81- 4.已知数列}{n a 中,)3(1,3,12121≥+===--n a a a a a n n n , 则5a 等于( ) A. 1255 B. 313 C. 4 D. 55.已知数列{}n a 对任意的*p q ∈N ，满足p q p q a a a +=+，且26a =-，那么10a 等于（ ）A ．165-B ．33-C ．30-D ．21-6.已知数列{n a }的前n 项和29n S n n =-，第k 项满足58k a <<，则k =（ ）A ．9B ．8 C. 7 D ．67.数列11,22,5,2，…，则按此规律，52是这个数列的第 项.8.已知数列{}n a 的通项公式2412n a n n =--，则4a = ， 65是它的第 项.9.在数列1,1,2,3,5,8,x,21,34,55中，x 应为_______.10.写出下列数列的通项公式：①2，5-，10，17-，．．．；②1，3，7，15，．．．； ③23，415，635，863，．．．； ④12，2，92，8，252，．．．； ⑤0.5，0.55，0.555，0.5555，．．．； ⑥1,0,1,0,1,0,…；11.已知数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+-1929922n n n （1）求这个数列的第10项；（2）10198是不是该数列中的项，为什么？ （3）求证：数列中的各项都在区间（0，1）内；（4）在区间⎪⎭⎫ ⎝⎛32,31内有无数列中的项？若有，有几项？若无，说明理由.12.已知数列}{n a 的通项公式为3922++-=n n a n .(1)试问2是否是数列}{n a 中的项?(2)求数列}{n a 的最大项.。

第一课时数列（一）教学方针：理解数列的概念、暗示、分类、通项等基本概念，了解数列和函数之间的关系，了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项，对于比力简单的数列，会按照其前几项写出它的一个通项公式；培养学生认真观察的习惯，培养学生从特殊到一般的归纳能力，提高观察、抽象的能力.教学重点：1.理解数列概念；2.用通项公式写出数列的任意一项.教学难点：按照一些数列的前几项抽象、归纳出数列的通项公式.教学过程：Ⅰ.复习回顾在前面第二章中我们一起学习了有关映射与函数的知识，现在我们再来回顾一下函数的定义.如果A、B都是非空的数集，那么A到B的映射f︰A→B就叫做A到B的函数，记作：y ＝f(x)，其中x∈A，y∈B.Ⅱ.讲授新课在学习第二章函数知识的基础上，今天我们一起来学习第三章数列有关知识，首先我们来看一些例子.1，2，3，4，…，50 ①1，2，22，23， (263)15，5，16，16，28 ③0，10，20，30，…，1000 ④1，0.84，0.842，0.843，…⑤请同学们观察上述例子，看它们有何共同特点？它们均是一列数，它们是有必然次序的.引出数列及有关定义.1.定义（1）数列：按照必然次序排成的一列数.看来上述例子就为我们所学数列.那么一些数为何将其按照必然的次序分列，它有何实际意义呢？也就是说和我们生活有何关系呢？如数列①，它就是我们班学生的学号由小到大排成的一列数.数列②，是引言问题中各个格子里的麦粒数按放置的先后排成的一列数.数列③，仿佛是我国体育健儿在五次奥运会中所获金牌数排成的一列数.数列④，可看作是在1 km长的路段上，从起点开始，每隔10 m种植一棵树，由近及远各棵树与起点的距离排成的一列数.数列⑤，我们在化学课上学过一种放射性物质，它不断地变化为其他物质，每经过1年，它就只剩留本来的84%，若设这种物质最初的质量为1，则这种物质各年开始时的剩留量排成一列数，则为：1，0.84，0.842，0.843，….诸如此类，还有很多，举不胜举，我们学习它，掌握它，也是为了使我们的生活更美好，下面我们进一步讨论，好吗？现在，就上述例子，我们来看一下数列的基本知识.比如，数列中的每一个数，我们以后把其称为数列的项，各项依次叫做数列的第1项（或首项），第2项，…，第n项，….那么，数列一般可暗示为a1，a2，a3，…，a n，….其中数列的第n项用a n来暗示.数列还可简记作{a n}.数列{a n}的第n项a n与项数n有必然的关系吗？数列①中，每一项的序号与这一项有这样的对应关系：序号 1 2 3 (50)↓↓↓…↓项 1 2 3 (50)即数列的每一项就等于其相对应的序号.也可以用一式子：a n=n(1≤n≤50)来暗示.且n∈N*)数列②中，每一项的序号与这一项的对应关系为：序号 1 2 3 (64)↓↓↓…↓项 1 2 22 (263)↓↓↓…↓2°21 22 (263)↓↓↓…↓21－1 22－123－1…264－1即：a n＝2n－1(n为正整数，且1≤n≤64)数列④中：序号 1 2 3 (101)↓↓↓...↓项0 10 20 (1000)↓↓↓…↓10×0 10×1 10×2 …10×100↓↓↓…↓10×(1－1) 10×(2－1) 10×(3－1) …10×(101－1) ∴a n＝10(n－1)(n∈N*且1≤n≤101).数列⑤中：序号 1 2 3 4 …↓↓↓↓…项 1 0.84 0.842 0.843 …↓↓↓↓…0.840 0.841 0.842 0.843 …∴a n ＝0.84n －1(n ≥1且n ∈N *)数列{a n }的第n 项a n 与n 之间的关系都可以用这样的式子来暗示吗？ 不是，如数列③的项与序号的关系就弗成用这样的式子来暗示.综上所述，如果数列{a n }的第n 项a n 与n 之间的关系可以用一个公式来暗示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.即：只要依次用1，2，3，…代替公式中的n ,就可以求出该数列相应的各项. 下面，我们来练习找通项公式.1，12 ，13 ，14 ，…. ① 1，0.1，0.01，0.001，…. ② －1，1，－1，1，…. ③ 2，2，2，2，2，2. ④ 1，3，5，7，9，….⑤得出数列①的通项公式为：a n ＝1n 且n ∈N *.数列②可用通项公式：a n ＝110n －1，(n ∈N *，n ≥1)来暗示. 数列③的通项公式为：a n ＝(－1)n (n ∈N *)或a n ＝⎩⎨⎧－1 （n 为奇数）1 （n 为偶数）数列④的通项公式为：a n ＝2(n ∈N *且1≤n ≤6) 数列⑤的通项公式为：a n ＝2n －1(n ∈N *). 数列与数集的区别和联系.在数列的定义中，要强调数列中的数是按必然次序分列的；而数集中的元素没有次序. 例如，数列4，5，6，7，8，9与数列9，8，7，6，5，4是分歧的两个数列.如果组成两个数列的数相同而分列次序分歧，那么它们就是分歧的数列.而数集中的元素若相同，则为同一集合，与元素的次序无关.数列中的数是可以反复泛起的，而数集中的数是不允许反复泛起的.如上数列③与④，均有反复泛起的数.数列与数的集合都是具有某种共同属性的数的全体. {a n }与a n 又有何区别和联系？{a n }暗示数列；a n 暗示数列的项.具体地说，{a n }暗示数列a 1，a 2，a 3，a 4，…，a n ，…，而a n 只暗示这个数列的第n 项.其中n 暗示项的位置序号，如：a 1，a 2，a 3，a n 分别暗示数列的第1项，第2项，第3项及第n 项.数列是否都有通项公式？数列的通项公式是否是惟一的？从映射、函数的概念来看，数列也可看作是一个定义域为正整数集N *(或它们的有限子集{1，2，3，…，n }）的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，数列的通项公式就是相应函数的解析式.对于函数，我们可以按照其函数解析式画出其对应图象.看来，数列也可以按照其通项公式画出其对应图象，下面请同学们练习画数列①、⑤的图象.按照所求通项公式画出数列⑤、①的图象，并总结其特点：特点：它们都是一群弧立的点.（5）有穷数列：项数有限的数列.如数列④只有6项，是有穷数列. （6）无穷数列：项数无限的数列.如数列①、②、③、⑤都是无穷数列.2.例题讲解［例1］按照下面数列{a n}的通项公式，写出它的前5项：(1)a n＝nn＋1；(2)a n＝(－1)n·n分析：由通项公式定义可知，只要将通项公式中n依次取1，2，3，4，5，即可获得数列的前5项.解：(1)在a n＝nn＋1中依次取n＝1，2，3，4，5，获得数列{nn＋1}的前5项分别为：12，2 3，34，45，56.即：a1＝12；a2＝23；a3＝34；a4＝45；a5＝56.(2)在a n＝(－1)n·n中依次取n＝1，2，3，4，5，获得数列{－1n·n}的前5项分别为：－1，2，－3，4，－5.即：a1＝－1；a2＝2；a3＝－3；a4＝4；a5＝－5.［例2］写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：(1)1，3，5，7；(2) 22－12，32－13，42－14，52－15(3)－11×2，12×3，－13×4，14×5.分析：认真观察各数列所给出项，寻求各项与其项数的关系，归纳其规律，抽象出其通项公式.解：(1)序号： 1 2 3 4↓↓↓↓项：1＝2×1－1 3＝2×2－1 5＝2×3－1 7＝2×4－1规律：这个数列的前4项1，3，5，7都是序号的2倍减去1，所以它的一个通项公式是a n ＝2n －1；(2) 序号： 1 2 3 4 ↓ ↓ ↓ ↓ 项分母： 2＝1＋1 3＝2＋1 4＝3＋1 5＝4＋1↓ ↓ ↓ ↓ 项分子： 22－1 32－1 42－1 52－1规律：这个数列的前4项22－12 ，32－13 ，42－14 ，52－15 的分母都是序号加上1，分子都是分母的平方减去，所以它的一个通项公式是：a n ＝（n ＋1）2－1n ＋1；（3） 序号： 1 234↓ ↓ ↓ ↓ 项： －11×2 12×3 －13×4 14×5 ‖‖‖‖（－1）1)11(11+⨯（－1）2)12(21+⨯（－1）3)13(31+⨯（－1）4)14(41+⨯规律：这个数列的前4项－11×2 ，12×3 ，－13×4 ，14×5的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式是：a n ＝(－1)n ·1n （n ＋1） .Ⅲ.课堂练习课本P 32练习1，2，3，4，5，6 Ⅳ.课时小结对于本节内容应着重掌握数列及有关定义，会按照通项公式求其任意一项，并会按照数列的一些项求一些简单数列的通项公式. Ⅴ.课后作业课本P 32习题 1，2，3数 列（一）1．把自然数的前五个数①排成1，2，3，4，5；②排成5，4，3，2，1；③排成3，1，4，2，5；④排成2，3，1，4，5，那么可以叫做数列的有 个 A.1 B.2 C.3 D.4 2．已知数列的{a n }的前四项分别为1，0，1，0，则下列各式可作为数列{a n }的通项公式的个数有 （ ）①a n ＝12[1＋（－1）n +1]；②a n ＝sin 2nπ2 ；(注n 为奇数时，sin 2nπ2 ＝1；n 为偶数时，sin 2nπ2 ＝0.)；③a n ＝12[1＋(－1)n +1]＋(n －1)(n －2)；④a n ＝1－cos nπ2，(n ∈N *)(注：n 为奇数时，cos n π＝－1，n 为偶数时，cos n π＝1)；⑤a n ＝⎩⎨⎧1 （n 为正偶数）0 （n 为正奇数）A.1个B.2个C.3个D.4个3．数列－1，85 ，－157 ，249，…的一个通项公式a n 是 （ ）A.(－1)nn 22n ＋1B.(－1)n n （n ＋2） n ＋1C.(－1)n（n ＋1）2－12（n ＋1） D.(－1)n n （n ＋2）2n ＋14．数列0，2，0，2，0，2，……的一个通项公式为 （ ）A.a n ＝1＋(－1)n －1B.a n ＝1＋(－1)nC.a n ＝1＋(－1)n +1D.a n ＝2sin nπ25．以下四个数中是数列{n (n ＋1)}中的一项的是 （ ）A.17B.32C.39D.380 6．数列2，5，11，20，x ，47，……中的x 等于 （ ）A.28B.32C.33D.27 7．数列1，2，1，2，1，2的一个通项公式是 . 8．求数列25 ，215 ，235，…的通项公式.数 列（一）答案1．分析：按照数列定义得出答案.评述：数列的定义中所说的“必然次序”不是要求按自然数次序，所以①②③④这四种排法都可叫做数列. 答案：D2．分析：要判别某一公式不是数列的通项公式，只要把适当的n 代入a n ，其不满足即可，如果要确定它是通项公式，必需加以必然的说明.解：对于③，将n ＝3代入，a 3＝3≠1，故③不是{a n }的通项公式；由三角公式知；②和④本色上是一样的，不难验证，它们是已知数列1，0，1，0的通项公式；对于⑤，易看出，它不是数列{a n }的通项公式；①显然是数列{a n }的通项公式.综上可知，数列{a n }的通项公式有三个，即有三种暗示形式. 答案：C 3．D 4．B 5．D 6．解析：∵5＝2＋3×1，11＝5＋3×2，20＝11＋3×3，∴x ＝20＋3×4＝32. 答案：B评述：用观察归纳法写出数列的一个通项公式，体现了由特殊到一般的思维规律、观察、分析问题的特点是最重要的，观察要有目的，要能观察出特点，观察出项与项数之间的关系、规律，这类问题就是要观察各项与项数之间的联系，利用我们熟知的一些基本数列（如自然数列、奇偶数列、自然数的前n 项和数列、自然数的平方数列、简单的指数数列，…），建立合理的联想、转换而达到问题的解决. 7．a n ＝1＋12[1＋（－1）n ].8．求数列25 ，215 ，235，…的通项公式.分析：可通过观察、分析直接写出其通项公式，也可利用待定系数法求通项公式. 解：通过观察与分析，不难写出其三个分数中分母5，15，35，…的一个通项公式10·2n －1－5.故所求数列的通项公式为：a n ＝210·2n －1－5 .。

高中数学必修5数列教案
教学内容：数列
教学目标：
1. 了解数列的概念和性质；
2. 能够求解数列的通项公式和前n项和；
3. 能够应用数列的知识解决实际问题。

教学重点：
1. 数列的定义和常见性质；
2. 求解数列的通项公式和前n项和；
3. 应用数列解决实际问题。

教学难点：
1. 应用数列的知识解决实际问题；
2. 思维拓展，提高问题解决能力。

教学方法：讲述、举例、练习
教学过程：
一、引入：
通过一道生活中的问题引入数列的概念，让学生了解数列在实际生活中的应用。

二、概念讲解：
1. 数列的定义：数列是按照一定规律排列成的一组数字的集合。

2. 数列的常见性质：等差数列、等比数列等。

三、求解数列的通项公式和前n项和：
1. 求解等差数列的通项公式和前n项和；
2. 求解等比数列的通项公式和前n项和。

四、应用实例：
通过一些实际问题，让学生应用数列的知识解决问题，培养他们的思维能力和解决问题的能力。

五、课堂练习：
让学生进行相关题目的练习，巩固所学知识。

六、作业布置：
布置相关的作业，让学生在家里进行巩固和复习。

七、小结：
总结本节课的内容，强调数列在数学中的重要性和应用价值。

教学反思：
本节课主要介绍了数列的概念和性质，以及如何求解数列的通项公式和前n项和。

通过实际例题的讲解和练习，帮助学生掌握数列的相关知识，并能够应用到实际问题中去解决。

同时也需要引导学生在学习数列的过程中，培养他们的思维能力和解决问题的能力。

必修五数学高中数列教案【教学目标】1.了解数列的概念和性质；2.掌握数列的基本性质和方法；3.能够应用数列解决实际问题；4.培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

【教学重点】1.数列的定义和性质；2.常见数列的概念和特点；3.数列的求和公式及应用；4.数列的递推关系和通项公式。

【教学内容】1.数列的定义和性质2.等差数列、等比数列、斐波那契数列等常见数列的概念和特点3.数列的求和公式及应用4.数列的递推关系和通项公式【教学步骤】一、导入：通过一个生活中的例子引入数列的概念，让学生了解数列的定义和性质。

二、讲解：介绍等差数列、等比数列、斐波那契数列等常见数列的概念和特点，引导学生理解数列的基本性质。

三、练习：让学生通过练习掌握数列的求和公式及应用，培养学生解决数列问题的能力。

四、讨论：通过讨论数列的递推关系和通项公式，引导学生探讨数列的规律及应用。

五、总结：对数列的概念和性质进行总结，巩固学生对数列的理解和掌握。

【课堂作业】1.求下列等差数列的前n项和：1, 3, 5, 7, ...2.求下列等比数列的前n项和：2, 6, 18, 54, ...3.求斐波那契数列的通项公式及前n项和。

【教学反馈】1.检查学生上交的课堂作业；2.答疑解惑，巩固学生对数列的理解；3.鼓励学生思考数列问题的方法和策略。

【拓展延伸】1.让学生自主探究其他类型的数列及其性质；2.通过实际问题引导学生应用数列解决实际问题；3.组织数学活动，培养学生的数学兴趣和创新能力。

【教学反思】1.对本节课的教学效果进行评估；2.总结教学经验，优化教学方法；3.为下一节课的教学做好准备。

【板书设计】数列- 定义和性质- 等差数列、等比数列、斐波那契数列- 求和公式及应用- 递推关系和通项公式【教学参考】1.高中数学必修5 人教版2.《数列》教学教学实践教程3.高中数学学习指南【习题集】。

人教版高中数学数列教案一、数列通项公式的求法介绍求通项公式是学习数列时的一个难点.由于求通项公式时渗透多种数学思想方法，因此求解过程中往往显得方法多、灵活度大、技巧性强.现举数例1.观察法已知数列前若干项，求该数列的通项时，一般对所给的项观察分析，寻找规律，从而 根据规律写出此数列的一个通项【例1】 已知数列21,41 ,85- ,1613 ,3229- ,6461 ,…,写出此数列的一个通项公式 解：观察数列前若干项可得通项公式为a n =(-1)n n n 232-. 2.公式法已知数列的前n 项和求通项时，通常用公式a n =⎩⎨⎧≥-=-2,,1,11n S S n S n nS n -S n -1,n ≥2.用此公式时要注意结论有两种可能，一种是“一分为二”，即分段式；另一种是“合二为一”,即a 1和a n 合为一个表达式【例2】 已知数列{a n }的前n 和S n 满足log 2(S n +1)=n +1,求此数列的通项公式解:由条件可得S n =2n +1-1，当n =1时，a 1=3,当n ≥2时,a n =S n -S n -1=2n +1-2n =2n所以a n =3,n n ,n ≥2.3.累差迭加法若数列{a n }满足a n +1=a n +f(n )的递推式，其中f(n )又是等差数列或等比数列，则可用累差迭加法求通项【例3】 已知数列6，9，14，21，30，…，求此数列的通项解：∵a 2-a 1=3,a 3-a 2=5,a 4-a 3=7,…，a n -a n -1=2n -各式相加得a n -a 1=3+5+7+…+(2n -∴a n =n 2+5(n ∈N ).4.连乘法若数列{a n }能写成a n =a n -1+(n )(n ≥2)的形式，则可由a n =a n -1f(n ),a n -1=a n -2f(n -1),a n -2=an -3f(n -2),…,a 2=a 1f(2)连乘求得通项公式【例4】 已知数列{a n }满足a 1=1,S n =2)1(n a n + (n ∈N )，求{a n }的通项公式 解:∵2S n =(n +1)a n (n ∈N )，2S n -1=na n -1(n ≥2,n ∈N )，两式相减得2a n =(n +1)a n -na n -1，∴11-=-n n a a n n (n ≥2,n ∈N 于是有1212=a a ,2323=a a ,3434=a a ，…,11-=-n n a a n n (n ≥2,n ∈N )， 以上各式相乘，得a n =na 1=n (n ≥2,n ∈N ).又a =1，∴a n =n (n ∈N ).5.求解方程法若数列{a n }满足方程f(a n )=0时，可通过解方程的思想方法求得通项公式【例5】 已知函数f(x)=2x -2 -x ,数列{a n }满足f(log 2a n )=-2n ,求数列{a n }的通项公式解:由条件f(log 2a n )=2 log2an -2-an =-2n ,即n a a n n 21-=-∴an 2+2na n -1=0,又a n ＞0，∴a n =12+n -n .6.迭代法若数列{a n }满足a n =f(a n -1)，则可通过迭代的方法求得通项公式 二、阅读材料 愚公的子子孙孙《愚公移山》中愚公说过这样一段话：“即使我死了，还有儿子在；儿子又生孙子，孙子再生儿子，儿子又有儿子，儿子又有孙子，子子孙孙无穷无尽……”愚公的话，不但表达了他移山的决心，而且提出了一个有趣的无穷数列，即他的子孙后代繁殖的数列设愚公的儿子，即第一代的人数为a 1；愚公的孙子，即第二代子孙的人数为a 2；孙子的儿子，即第三代子孙的人数为a 3；一般地，第n 代子孙的人数为a n这样，我们就得到一个由正整数组成的无穷数列a 1，a 2，a 3，a n .（这个数列描述了愚公子孙生殖繁衍的“无穷无尽”的状态.这个数列的每一项显然都与它前面的项有关，但这种关系不是确定的关系，而具有随机性质.可惜我们没有任何资料来确定(1)的具体数字.如果愚公的时代人们也自觉地计划生育，例如，一对夫妇只生两个孩子(假设愚公子孙们不能互相通婚)，那么数列(1)就可成为递推数列：a n +1=2a n如果愚公有3个儿女，即a 1=3，就得到下面这个数列：3，6，12，24，48，96，（这个数列(3)，就是一个满足a n +1=2a n 的数列2.1 数列的概念与简单表示法2.1.1 数列的概念与简单表示法(一)从容说课本节课先由教师提供日常生活实例，引导学生通过对实例的分析体会数列的有关概念，再通过对数列的项数与项之间的对应关系的探究，认识数列是一种特殊的函数，最后师生共同通过对一列数的观察、归纳，写出符合条件的一个通项公式.通过本节课的学习使学生能理解数列及其有关概念，了解数列和函数之间的关系；了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的通项公式. 教学重点 数列及其有关概念，通项公式及其应用.教学难点 根据一些数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式.教具准备 课件三维目标 一、知识与技能1.理解数列及其有关概念，了解数列和函数之间的关系；2.了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；3.对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的通项公式. 二、过程与方法1.采用探究法，按照思考、交流、实验、观察、分析、得出结论的方法进行启发式教学；2.发挥学生的主体作用，作好探究性学习；3.理论联系实际，激发学生的学习积极性.三、情感态度与价值观1.通过日常生活中的大量实例，鼓励学生动手试验.理论联系实际，激发学生对科学的探究精神和严肃认真的科学态度，培养学生的辩证唯物主义观点；2.通过本节课的学习，体会数学来源于生活，提高数学学习的兴趣.教学过程 导入新课师 课本图211中的正方形数分别是多少？生 1，3，6，10，….师 图212中正方形数呢？生 1，4，9，16，25，….师 像这样按一定次序排列的一列数你能否再举一些？生 -1的正整数次幂：-1，1，-1，1，…;无穷多个数排成一列数：1，1，1，1，….生 一些分数排成的一列数：32，154，356，638，9910，….推进新课 ［合作探究］ 折纸问题师 请同学们想一想，一张纸可以重复对折多少次？请同学们随便取一张纸试试(学生们兴趣一定很浓).生 一般折5、6次就不能折下去了，厚度太高了.师 你知道这是为什么吗？我们设纸原来的厚度为1长度单位，面积为1面积单位，随依次折的次数，它的厚度和每层纸的面积依次怎样？生 随着对折数厚度依次为:2，4，8，16，…，256，…；随着对折数面积依次为21,41 ,81 ,161 ,…,2561 ,…. 生 对折8次以后，纸的厚度为原来的256倍，其面积为原来的分 1[]256式，再折下去太困难了.师 说得很好，随数学水平的提高，我们的思维会更加理性化.请同学们观察上面我们列出的这一列一列的数，看它们有何共同特点？生 均是一列数.生 还有一定次序.师 它们的共同特点：都是有一定次序的一列数. ［教师精讲］1.数列的定义：按一定顺序排列着的一列数叫做数列. 注意：（1）数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；（2）定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现.2.数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项.各项依次叫做这个数列的第1项(或首项)，第2项，…，第n 项，….同学们能举例说明吗？生 例如，上述例子均是数列，其中①中，“2”是这个数列的第1项(或首项)，“16”是这个数列中的第4项.3.数列的分类：1)根据数列项数的多少分：有穷数列：项数有限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6是有穷数列.无穷数列：项数无限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6…是无穷数列.2)根据数列项的大小分：递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列.递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列.常数数列：各项相等的数列.摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列. 请同学们观察：课本P 33的六组数列，哪些是递增数列、递减数列、常数数列、摆动数列？ 生 这六组数列分别是(1)递增数列，(2)递增数列，(3)常数数列，(4)递减数列，(5)摆动数列，(6)1.递增数列，2.递减数列. ［知识拓展］师 你能说出上述数列①中的256是这数列的第多少项？能否写出它的第n 项？ 生 256是这数列的第8项，我能写出它的第n 项，应为a n =2n . ［合作探究］同学们看数列2，4，8，16，…，256，…①中项与项之间的对应关系，项 2 4 8 16 32↓ ↓ ↓ ↓ ↓序号 1 2 3 4 5 你能从中得到什么启示？生 数列可以看作是一个定义域为正整数集N *(或它的有限子集{1，2，3，…，n })的函数a n =f(n )，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值.反过来，对于函数y=f(x)，如果f(i)(i=1、2、3、4…)有意义，那么我们可以得到一个数列f(1),f(2),f(3),…,f(n ),…. 师 说的很好.如果数列{a n }的第n 项a n 与n 之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式. ［例题剖析］1.根据下面数列{a n }的通项公式，写出前5项：(1)a n =1n n ;(2)a n =(-1)n ·n . 师 由通项公式定义可知，只要将通项公式中n 依次取1，2，3，4，5，即可得到数列的前5项.生 解：(1)n =1,2,3,4,5.a 1=21;a 2=32;a 3=43;a 4=54;a 5=65.(2)n =1,2,3,4,5.a 1=-1;a 2=2;a 3=-3;a 4=4;a 5=-5.师 好！就这样解.2.根据下面数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式：(1)3，5，7，9，11，…；(2)32，154，356，638，9910，…； (3)0，1，0，1，0，1，…；(4)1，3，3，5，5，7，7，9，9，…；(5)2，-6，12，-20，30，-42，….师 这里只给出数列的前几项的值，哪位同学能写出这些数列的一个通项公式？(给学生一定的思考时间)生老师，我写好了！解：(1)a n ＝2n ＋1；(2)a n ＝)12)(12(2+-n n n ；(3)a n ＝2)1(1n -+； (4)将数列变形为1＋0，2＋1，3＋0，4＋1，5＋0，6＋1，7＋0，8＋1，…，∴a n ＝n ＋2)1(1n-+； (5)将数列变形为1×2，-2×3，3×4，-4×5，5×6，…，∴a n ＝(-1)n +1n (n ＋1).师 完全正确！这是由“数”给出数列的“式”的例子，解决的关键是要找出这列数呈现出的规律性的东西，然后再通过归纳写出这个数列的通项公式.［合作探究］师 对于函数，我们可以根据其函数解析式画出其对应图象，看来，数列也可根据其通项公式来画出其对应图象，下面同学们练习画数列:4，5，6，7，8，9，10…;② 1,21 ,31 ,41 ,…③的图象. 生 根据这数列的通项公式画出数列②、③的图象为师 数列4，5，6，7，8，9，10,…②的图象与我们学过的什么函数的图象有关？ 生 与我们学过的一次函数y=x+3的图象有关.师 数列1,21 ,31 ,41 ,…③的图象与我们学过的什么函数的图象有关？ 生 与我们学过的反比例函数x y 1=的图象有关. 师 这两数列的图象有什么特点？生 其特点为：它们都是一群孤立的点.生 它们都位于y 轴的右侧，即特点为：它们都是一群孤立的，都位于y 轴的右侧的点. 本课时的整个教学过程以学生自主探究为主，教师起引导作用，充分体现学生的主体作用，体现新课程的理念.课堂小结对于本节内容应着重掌握数列及有关定义，会根据通项公式求其任意一项，并会根据数列的前n 项求一些简单数列的通项公式.布置作业课本第38页习题2.1 A 组第1题. 板书设计 数列的概念与简单表示法(一) 定义1.数列 例12.项3.一般形式 例2 函数定义4.通项公式5.有穷数列6.无穷数列备课资料一、备用例题1.写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：(1)1，3，5，7；(2)515;414,313;2122222----; (3)211⨯-,321⨯- ,431⨯- ,541⨯-. 分析：(1)项：1=2×1-1 3=2×2-1 5=2×3-1 7=2×4-1↓ ↓ ↓ ↓序号： 1 2 3 4所以我们得到了a n =2n -1；(2)序号： 1 2 3 4↓ ↓ ↓ ↓项分母： 2=1+1 3=2+1 4=3+1 5=4+1↓ ↓ ↓ ↓项分子： 22-1=(1+1)2-1 32-1=(2+1)2-1 42-1=(3+1)2-1 52-1=(4+1)2-1所以我们得到了a n =1)1(2++n n 或1)2(+∙+n n n ； (3)序号: 1 2 3 4↓ ↓ ↓ ↓211⨯- 321⨯- 431⨯- 541⨯-↓ ↓ ↓ ↓)11(11+⨯- )12(21+⨯- )13(31+⨯- )14(41+⨯-所以我们得到了a n =-)1(1+⨯n n .2.写出下面数列的一个通项公式，使它的前n 项分别是下列各数：(1)1,0,1,0; 〔a n =2)1(11+-+n ,n ∈N *〕 (2)-32,83 ,154- ,245,356-; 〔a n =(-1)n ·1)1(12-++n n 〕 (3)7,77,777,7 777; 〔a n =97×(10n -1)〕(4)-1,7,-13,19,-25,31; 〔a n =(-1)n (6n -5)〕(5)23,45 ,169 ,25617. 〔a n =12212-+n n 〕 点评：上述两题都是根据数列的前几项来写出这数列的通项公式，根据数列的前几项来写出这数列的通项公式时，常可联想奇数、偶数、平方数、指数等等.遇到分数的时候，常可根据需要把分子和分母同时扩大再来看看分子和分母中数的规律性，有时可直截了当地研究分子和分母之间的关系3.已知数列{a n }的通项公式是a n =2n 2-n ，那么(A .30是数列{a n }的一项B .44是数列{a n }的一项C.66是数列{a n }的一项 D .90是数列{a n }的一项分析：注意到30，44，66，90均比较小，可以写出这个数列的前几项，如果这前几项中出现了这四个数中的某一个，则问题就可以解决了.若出现的数比较大，还可以用解方程求正整数解的方法加以解决 答案：点评：看一个数A 是不是数列{a n }中的某一项，实质上就是看能不能找出一个非零自然数n ，使得a n =A4.(链接探究题)假定有一张极薄的纸，厚度为2001就是每200张叠起来刚好为1 cm ，现在把这张纸裁一为二，叠起来，它的厚度记为a 1；再裁一为二，叠起来，它的厚度记为a 2，又裁一为二，叠起来，它的厚度记为a 3，这样一裁一叠，每次叠起来所得的厚度依次排列，就得到一个数列：a 1,a 2,a 3,…,a k你能求出这个数列的通项公式吗？你知道a ，即裁了50次、叠了50次后的厚度是多少厘米吗？是否有10层楼高呢？答案：这个数列的通项公式为a n =2002n ， 裁了50次、叠了50次后的厚度是5 629 499 534 213.12 cm ＞56 294 995 km ，大于地球到月球距离的146倍 二、阅读材料 无法实现的奖赏相传古印度舍罕王朝有一位宰相叫达依尔，据说是他发明了国际象棋，古印度的舍罕王学会了下国际象棋以后，非常激动，他要重赏他的宰相达依尔达依尔对他的国王说：陛下，我不要您的重赏，只要您按我下面的办法赏我一些麦粒就可以了：在我的棋盘上(它有64个格)第一格赏1粒，第二格赏2粒，第三格赏4粒，第四格赏8粒……依此类推每后一格的麦粒数都是前面一格的两倍.国王答应了达依尔的要求，但是几天以后他就发现事实上这是一个无法兑现的奖赏请问国王为什么不能兑现他的奖赏呢？2.1.2 数列的概念与简单表示法(二从容说课这节课通过对数列通项公式的正确理解，让学生进一步了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同；会根据数列的递推公式写出数列的前几项；通过经历数列知识的感受及理解运用的过程，作好探究性教学.发挥学生的主体作用，提高学生的分析问题以及解决问题的能力教学重点 根据数列的递推公式写出数列的前几项教学难点 理解递推公式与通项公式的关系教具准备 多媒体三维目标 一、知识与技能1.了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同；2.会根据数列的递推公式写出数列的前几项 二、过程与方法1.经历数列知识的感受及理解运用的过程2.发挥学生的主体作用，作好探究性实验3.理论联系实际，激发学生的学习积极性三、情感态度与价值观 通过本节课的学习，体会数学来源于生活，提高数学学习的兴趣教学过程导入新课师 同学们，昨天我们学习了数列的定义，数列的通项公式的意义等内容，哪位同学能谈一谈什么叫数列的通项公式？生 如果数列{a n }的第n 项与序号之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式师 你能举例说明吗？生 如数列0，1，2，3，…的通项公式为a n =n -1(n ∈N *1,1,1的通项公式为a n =1(n ∈N *,1≤n 1,21 ,31 ,41 ,…的通项公式为a n =n 1 (n ∈N *［合作探究］ 数列的表示方法师 通项公式是表示数列的很好的方法，同学们想一想还有哪些方法可以表示数列？ 生 图象法，我们可仿照函数图象的画法画数列的图形.具体方法是以项数n 为横坐标，相应的项a n 为纵坐标，即以(n ,a n )为坐标在平面直角坐标系中作出点(以前面提到的数列1, 21,31,41,…为例，作出一个数列的图象)，所得的数列的图形是一群孤立的点，因为横坐标为正整数，所以这些点都在y 轴的右侧，而点的个数取决于数列的项数.从图象中可以直观地看到数列的项随项数由小到大变化而变化的趋势师 说得很好，还有其他的方法吗？生师下面我们来介绍数列的另一种表示方法：递推公式法知识都来源于实践，同时还要应用于生活，用其来解决一些实际问题.下面同学们来看右下图：钢管堆放示意图(投影片).观察钢管堆放示意图，寻其规律，看看能否建立它的一些数学模型.生 模型一：自上而下第1层钢管数为4,即＝第2层钢管数为5,即＝第3层钢管数为6,即＝第4层钢管数为7,即＝第5层钢管数为8,即＝第6层钢管数为9,即＝第7层钢管数为10,即＝若用a n 表示钢管数，n 表示层数，则可得出每一层的钢管数为一数列，且a n =n +3(1≤n ≤7). 师 同学们运用每一层的钢管数与其层数之间的对应规律建立了数列模型，这完全正确，运用这一关系，会很快捷地求出每一层的钢管数.这会给我们的统计与计算带来很多方便.让同学们继续看此图片，是否还有其他规律可循？(启发学生寻找规律生模型二：上下层之间的关系自上而下每一层的钢管数都比上一层钢管数多即a 1=4；a 2=5=4+1=a 1+1；a 3=6=5+1=a2依此类推：a n =a n -1+1(2≤n师 对于上述所求关系，同学们有什么样的理解生 若知其第1项，就可以求出第二项，以此类推，即可求出其他项师看来，这一关系也较为重要，我们把数列中具有这种递推关系的式子叫做递推公式 推进新课1.递推公式定义：如果已知数列{a n }的第1项(或前几项)，且任一项a n 与它的前一项a n -1(或前n 项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式 注意：递推公式也是给出数列的一种方法如下列数字排列的一个数列：3，5，8，13，21，34，55，递推公式为：a 1=3,a 2=5,a n =a n -1+a n -2(3≤n2.数列可看作特殊的函数，其表示也应与函数的表示法有联系，函数的表示法有：列表法、图象法、解析式法.相对于数列来说也有相应的这几种表示方法：即列表法、图象法、解析式法 ［例题剖析］【例1】 设数列{a n }满足1,11111＞n a a a n n ⎪⎩⎪⎨⎧+==-.写出这个数列的前五项师 分析：题中已给出{a n }的第1项即a 1=1，题目要求写出这个数列的前五项，因而只要再求出二到五项即可.这个递推公式：a n =1+11-n a 我们将如何应用呢生 这要将n 的值2和a 1=1代入这个递推公式计算就可求出第二项，然后依次这样进行就可以了师 请大家计算一下生 解：据题意可知：a 1=1,a 2=1+11a =2,a 3=1+21a =32,a 4=1+31a =35,a 5=58师 掌握递推公式很关键的一点就是其中的递推关系，同学们要注意探究和发现递推公式中的前项与后项，或前后几项之间的关系【例2】 已知a 1=2，a n +1=2a n ，写出前5项，并猜想an师 由例1的经验我们先求前5项生 前5项分别为2，4，8，16，师 对，下面来猜想第n 项生 由a 1=2，a 2=2×2=22，a 3=2×22=23观察可得，我猜想a n =2n师很好生 老师，本题若改为求a n 是否还可这样去解呢师 不能.必须有求解的过程生 老师，我由a n +1=2a n 变形可得a n =2a n -1，即21=-n n a a ，依次向下写，一直到第一项，然后将它们乘起来，就有⨯⨯⨯-----32211n n n n n n a a a a a a …×1122-=n aa ，所以a n =a 1·2n -1=2n师 太妙了，真是求解的好方法.你所用的这种方法通常叫迭乘法，这种方法在已知递推公式求数列通项的问题中是比较常用的方法，对应的还有迭加法 ［知识拓展］已知a 1=2，a n +1=a n -4,求an师 此题与前例2比较，递推式中的运算改为了减法，同学们想一想如何去求解呢 生1 写出：a 1=2，a 2=-2，a 3=-6，a 4=-10，观察可得：a n =2+(n -1)(n -4)=2-4(n -生2 他这种解法不行，因为不是猜出a n ，而是要求出a n我这样解：由a n +1-a n =-4依次向下写，一直到第一项，然后将它们加起来a n -a n -1=-a n -1-a n -2=-a n -2-a n -3=-)1(44a )112--=--=-+n a a a n ∴a n =2-4(n -师 好极了，真是触类旁通啊，这种方法也请同学们课后多体会［教师精讲］(1)数列的递推公式是由初始值和相邻几项的递推关系确定的，如果只有递推关系而无初始值，那么这个数列是不能确定的例如，由数列{a n }中的递推公式a n +1=2a n +1无法写出数列{a n }中的任何一项，若又知a 1=1，则可以依次地写出a 2=3,a 3=7,a 4(2)递推公式是给出数列的一种方法，由递推公式可能求出数列的通项公式，也可能求不出通项公式 ［学生活动］根据各个数列的首项和递推公式，写出它的前五项，并归纳出通项公式.(投影片(1)a 1＝0，a n +1＝a n ＋(2n -1)(n ∈N )；(2)a 1＝1，a n +1＝2+n n a a (n ∈N )； (3)a 1＝3，a n +1＝3a n -2(n ∈N(让学生思考一定时间后，请三位学生分别作答解：(1)a 1＝0，a 2＝1，a 3＝4，a 4＝9，a 5＝16，∴a n ＝(n -1)2(2)a 1＝1，a 2＝32，a 3＝21=42，a 4＝52，a 5＝31 =62，∴a n ＝12+n(3)a 1＝3＝1+2×30，a 2＝7＝1+2×31，a 3＝19＝1+2×32，a 4＝55＝1+2×33，a 5＝163＝1+2×34，∴a n ＝1＋2·3 n -1注：不要求学生进行证明归纳出通项公式 ［合作探究］一只猴子爬一个8级的梯子，每次可爬一级或上跃二级，最多能上跃起三级，从地面上到最上一级，你知道这只猴子一共可以有多少种不同的爬跃方式吗？析：这题是一道应用题，这里难在爬梯子有多种形式，到底是爬一级还是上跃二级等情况要分类考虑周到 爬一级梯子的方法只有一种爬一个二级梯子有两种,即一级一级爬是一种，还有一次爬二级，所以共有两种 若设爬一个n 级梯子的不同爬法有a n 种则a n =a n -1+a n -2+a n -3(n则得到a 1=1,a 2=2,a 3=4及a n =a n -1+a n -2+a n -3(n ≥4)，就可以求得a 8课堂小结师 这节课我们主要学习了数列的另一种给出方法，即递推公式及其用法，要注意理解它与通项公式的区别，谁能说说？生 通项公式反映的是项与项数之间的关系，而递推公式反映的是相邻两项(或n 项)之间的关系生 对于通项公式，只要将公式中的n 依次取1，2，3…,即可得到相应的项.而递推公式则要已知首项(或前n 项)，才可求得其他的项(让学生自己来总结，将所学的知识，结合获取知识的过程与方法，进行回顾与反思，从而达到三维目标的整合.培养学生的概括能力和语言表达能力布置作业课本第38页习题2.1A 组第4、6题预习内容：课本P 41～P 44板书设计一、定义二、例题讲解 小结：7.递推公式： 例通项公式与例2 递推公式区别备课资料一、备用习题1.已知{a n }是等差数列，a 5=10，d =3，求a 10.解法一：设数列的首项为a 1，由a 5=a 1+4d 得a 1=-2，故而a 10=a 1+9d解法二：a 10=a 5+5d2.已知{a n }是等差数列，a 5=10，a 12=31，求a 20，a n解法一：设{a n }的首项为a 1，公差为d ，则 ⎩⎨⎧=-=⇒⎩⎨⎧=+=+323111104111d a d a d a 因为a 20=a 1+19d =55，所以a n =a 1+(n -1)d =3n -解法二：因为a 12=a 5+7d ,所以d =3.所以得a 20=a 12+8d =55,a n =a 12+(n -12)d =3n -注：根据以上两个例题的解法二启发学生得出等差数列的变形公式：a n =a m +(n -m)d3.等差数列2，5，8，…，107共有多少项？解：由107=2+(n -1)×3得n引申：设等差数列{a n }的首项为a 1，末项为a n ，公差为d ，则其项数11+-=d a a n n 这是等差数列通项公式的又一变形公式 4.在-1与7之间顺次插入三个数a 、b 、c 使这五个数成等差数列，试求出这个数列解法一：因为-1,a ,b ,c,7成等差数列,所以b 是数-1与数7的等差中项所以3271=+-=b .a 又是-1与3的等差中项，所以1231=+-=a又因为c 是3与7的等差中项，5273=+=c解法二：设a 1=-1,a 5=7,所以7=-1+(5-1)d ⇒d 则所求的数列为-1，1，3，5，5.在一次大型庆祝“申奥”成功的活动中，广场上正对着观礼台的场地上由近及远地竖立着“2008相聚北京”八块标语牌.每块牌子的高为2 m ，距离观礼台最近的标语牌与观礼台的距离为20 m.若一个人从观礼台上距离地面8 m 的高处能完整地看清这八块标语牌.问：最后一块“京”字标语牌与观礼台的距离至少要多少米？(结果精确到1米答案：最后一块“京”字标语牌与观礼台的距离至少要149米二、阅读材料等差数列的子数列问题从等差数列a 1,a 2,a 3,…，a n ,…中，选出一些项按原来的次序组成一个新的数列{b n }，则称数列{b n }是数列{a n }的子数列.例如，数列2，4，6，8，…，2n ，…是数列1，2，3，…，n ，…的一个子数列子数列的概念虽然教材中没有讲，但我们仍可以遇到很多等差数列的子数列问题，在解此类问题时，需注意两点：其一，这些项是按什么“标准”选取出来的，不同的标准，选出来的子数列具有不同的性质，因此要弄清这种“标准”的数学含义，并把它用数学式子表示出来其二，无论按何标准选取出来的子数列的项，都是原数列的一项，在这意义之下，我们可以得出下面的结论：若原数列{a n}的通项公式为a n=f(n)，子数列{b m}的通项公式为b m=g(m)，则必存在n,m∈N*使得f(n)=g(m)成立【例1】已知一个无穷等差数列{a n}的首项为a1,公差为d，取出这数列中所有项数为7的倍数的各项，组成一个新的数列，这个数列是否是等差数列？如果是，它的首项与公差各是多少？如果不是，请说明理由分析：新数列{b n}是由原数列{a n}中的项数为7的倍数的各项组成的，因此，有b n=a7n，再由等差数列的定义判定差b n+1-b n是否为与n无关的常数解：设新数列为{b n}，依题意可知b n=a7n=a1+(7n-1)d=7dn+a1-d所以b n+1-b n=7d(n+1)+a1-d-7dn-a1+d=7d为常数所以新数列是等差数列，其公差为7d，首项为a1+6d点评:本题的关键在于抓住选项的“标准”，即“项数为7的倍数”，于是得到了b n=a7n，进而得出新的数列{b n}的通项公式【例2】等差数列1 002，1 005，1 008，…，1 998中能被4整除的项共有多少项?并写出这些项按原来的次序组成的新数列的通项公式分析：原数列的通项公式为a n=1 002+3(n-1)，设数列中各数均为3的倍数，故数列中能被4整除的项必为12的倍数解：设原等差数列为{a n}，则a n=1 002+3(n-1)=3n+999，此数列中各项均为3的倍数又依题意新数列是由原数列中能被4整除的各项组成的，所以新数列中的各项为12的倍数.设12k是新数列中的项，则1 002≤12k≤1 998，解得83.5≤k≤166.5，故k取84，85，86，…，166，即原数列中能被4整除的项共有83项这些项组成的新数列的通项公式为b n=12n+996(n∈N*,1≤n点评:本例还可以运用等差数列的性质，先判断出新数列是以12为公差的等差数列，再找出其首项为1 008，即可写出它的通项公式2.2等差数列2.2.1等差数列的概念、等差数列的通项公式从容说课本节课先在具体例子的基础上引出等差数列的概念，接着用不完全归纳法归纳出等差数列的通项公式，最后根据这个公式去进行有关计算.可见本课内容的安排旨在培养学生的观察分析、归纳猜想、应用能力.结合本节课特点，宜采用指导自主学习方法，即学生主动观察——分析概括——师生互动，形成概念——启发引导，演绎结论——拓展开放，巩固提高.在学法上，引导学生去联想、探索，同时鼓励学生大胆质疑，学会探究在教学过程中，遵循学生的认知规律，充分调动学生的积极性，尽可能让学生经历知识的形成和发展过程，激发他们的学习兴趣，发挥他们的主观能动性及其在教学过程中的主体地位.创设问题情境，引起学生学习兴趣，激发他们的求知欲，培养学生由特殊到一般的认知能力.使学生认识到生活离不开数学，同样数学也是离不开生活的.学会在生活中挖掘数学问题，解决数学问题，使数学生活化，生活数学化教学重点理解等差数列的概念，探索并掌握等差数列的通项公式，会用公式解决一些简单的问题教学难点(1)等差数列的性质，等差数列“等差”特点的理解、把握和应用。