1.4数学归纳法课件(共16张ppt)

(2)1 假2 设 当2 n2 = k时3 2 ,等 式成 立,k 就2是k(k 6 1 )(2 k 1 ).
当n=k+1时, 1 2 2 2 3 2 k2 6 (k 1 )2
k(k1)(2k1)(k1)2.故当n=k+1时,等式成立.
k(k1)6(2k1)6(k1)2
综合(1),(2)知等式对于任何 n∈N*都成立.
例4 用数学归纳法证明: x2ny2n能 被 xy整 除 . 证明: 综 合 ( 1 ) ,( 2 ) 得 ,x 2 n y 2 n 能 被 x y 整 除 .
( 1 ) 当 n = 1 时 , 显 然 x 2 y 2 = ( x y ) ( x y ) 能 被 ( x y ) 整 除 .
例7、求证:(n+1)(n+2)…(n+n)=2n• 1• 3•… •(2n-1)
证明：① n=1时：左边=1+1=2，右边=21•1=2， 左边=右边，∴ 等式成立。
② 假设当n=k (k ∈N ）时有： (k+1)(k+2)…(k +k)=2K• 1• 3•…• (2k-1),
当n=k+1时 左边=(k+2)(k+3)…(k+k)(k+k+1)(k+k+2)
=(k+1)(k+2)(k+3)…(k +k)•[(2K+1) •2] = 2K • 1• 3•…•(2k-1)[(2k+1)•2] = 2K+1 •1• 3•…• (2k-1) •[2(k+1)-1]=右边 ∴当n=k+1时等式也成立。
由 ①、②可知，对一切n ∈N* ,原等式均成立。

之誉。
孔隙一段的写作特点：
通过描写船小及作者的感受 写出孔隙的特点。
（借其他事物描写本事物）
洞内景观
洞内钟乳石、石笋众多，造型 奇特，布局巧妙，有“黄龙吐 水”、“倒挂金钟”、“彩云 遮月”、“天马行空”、“海
龟探海”、“龟蛇共生”、 “青蛙盗仙草”、“寿星与仙 桃”…… 幻化多变，使人目不
暇接，宛若置身水晶龙宫。
知
识
点
• 区别归纳法和数学归纳法
复
• 数学归纳法原理是什么? 如果关于自然数n 的一个命题p(n)满足下列条件
习
(1) p(n0)成立,即当n=n0(例如 n0=1)时,命题成立;
(2) 假设p(k)成立,则p(k+1)也成立;
根据(1)(2)知p(n)成立
• 用数学归纳法证明一个与自然数有关的命题的步骤 是怎样的?
tn－1＋tn=n2
)
专 项 训 练
对 命 题 的 理 解
•用数学归纳法证明（n＋1) ＋(n＋2) ＋…＋（n＋n）=
的第二步中，n=k＋1时的等式左边与n=k时的等式左边的差等于
解 析:令f(n)=（n＋1) ＋(n＋2) ＋…＋（n＋n） f(k)= (k＋1) ＋(k＋2) ＋…＋(k＋k) f(k＋1)=[(k＋1) ＋1] ＋[(k＋1) ＋2] ＋…＋[(k＋1) ＋(k＋1)] =(k＋2) ＋(k＋3) ＋…＋(k＋k) ＋(2k＋1) ＋(2k＋2) f(k＋1) －f(k)=(2k＋1) ＋(2k＋2) －(k＋1) =3k＋2
像桥洞似的，很宽。
走进去，仿佛到 了个大会堂，周围 是石壁，头上是高高的石顶， 在那里聚集一千或是八百人 开个会，一定不觉得拥挤。 泉水靠着洞口的右边往外流。 这是外洞。

用数学归纳法证明几何命题 平面上有 n 个圆，其中每两个圆都相交于两点，并且 每三个圆都不相交于同一点，求证：这 n 个圆把平面分成了 f(n) ＝n2－n＋2 部分．
【证明】 ①当 n＝1 时，一个圆把平面分成两部分，且 f(1) ＝1－1＋2＝2，因此，n＝1 时命题成立． ②假设 n＝k(k≥1，k∈N＋)时，命题成立，即 k 个圆把平面分 成 f(k)＝k2－k＋2 部分．如果增加一个满足条件的任一个圆， 则这个圆必与前 k 个圆交于 2k 个点．这 2k 个点把这个圆分成 2k 段弧，每段弧把它所在的原有平面分成为两部分．因此，这 时平面被分割的总数在原来的基础上又增加了 2k 部分，即有 f(k＋1)＝f(k)＋2k＝k2－k＋2＋2k＝(k＋1)2－(k＋1)＋2， 即当 n＝k＋1 时，f(n)＝n2－n＋2 也成立． 根据①②可知 n 个圆把平面分成了 f(n)＝n2－n＋2 部分．
因为(x＋1)k＋1＋(x＋2)2k－1 和 x2＋3x＋3 都能被 x2＋3x＋3 整除， 所以上面的式子也能被 x2＋3x＋3 整除． 这就是说，当 n＝k＋1 时， (x＋1)(k＋1)＋1＋(x＋2)2(k＋1)－1 也能被 x2＋3x＋3 整除． 根据①②可知，命题对任何 n∈N＋都成立．
利用数学归纳法证明恒等式的注意点 利用数学归纳法证明代数恒等式时要注意两点：一是要准确表 达 n＝n0 时命题的形式，二是要准确把握由 n＝k 到 n＝k＋1 时，命题结构的变化特点，并且一定要记住：在证明 n＝k＋1 成立时，必须使用，1×1 3＋3×1 5＋… ＋（2n－1）1（2n＋1）＝2nn＋1.
2．数学归纳法的步骤 (1)(归纳奠基)验证当__n__＝__n_0(_n_0_为__命__题__成__立__的__起__始__自__然__数__)___ 时命题成立； (2)(归纳递推)假设当__n_＝__k_(k_∈__N__＋_，__且__k_≥__n_0_)_时命题成立，推 导__n_＝__k_＋__1____时命题也成立． (3)结论：由(1)(2)可知，命题对一切 n≥n0 的自然数都成立．

则当 n＝k＋1 时， 1×1 3＋3×1 5＋…＋2k－112k＋1＋2k＋112k＋3 ＝2k＋k 1＋2k＋112k＋3＝2kk＋2k1＋32k＋＋13 ＝22kk＋2＋132kk＋＋13＝2kk＋＋13＝2k＋k＋11＋1， 所以当 n＝k＋1 时，等式也成立． 由(1)(2)可知，对一切 n∈N*等式都成立．
❖ 【方法与技巧】
❖ [思维升华]
1．数学归纳法的两个步骤相互依存，缺一不可 有一无二，是不完全归纳法，结论不一定可靠；有二无 一，第二步就失去了递推的基础． 2．归纳假设的作用 在用数学归纳法证明问题时，对于归纳假设要注意以下两 点：
❖ (1)归纳假设就是已知条件；(2)在推证n＝k＋1时，必须用上 归纳假设．
活学活用 1 用数学归纳法证明：
对任意的
n
∈
N*
，
1 1×3
＋
1 3×5
＋
…
＋
1 2n－12n＋1
＝
2nn＋1. [证明]
(1)当 n＝1 时，左边＝1×1 3＝13，
右边＝2×11＋1＝13，左边＝右边，所以等式成立．
(2)假设当 n＝k 时等式成立，即
1×1 3＋3×1 5＋…＋2k－112k＋1＝2k＋k 1，
第七章 不等式、推理与证明
7.6 数学归纳法
考纲要求
❖ 1．了解数学归纳法的原理． ❖ 2．能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．
❖ [要点梳理]
❖ 数学归纳法 ❖ 一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进
行： ❖ (1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0 (n0∈N*)时命题成立； ❖ (2)(归纳递推)假设当n＝k(k∈N*，k≥n0)时命题成立，推出

跟踪训练 1 用数学归纳法证明1×1 3＋3×1 5＋…＋2n－1×1 2n＋1＝ 2nn＋1(n∈N*).
类型二 利用数学归纳法证明不等式
例 2 用数学归纳法证明对一切 n∈N*，1＋212＋312＋…＋n12≥2n3＋n 1.
跟踪训练 2 2114(n∈N*).
用数学归纳法证明n＋1 1＋n＋1 2＋n＋1 3＋…＋n＋1 n>
类型三 归纳—猜想—证明
例 3 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，其中 an＝n2nS－n 1且 a1＝13. (1)求a2，a3； 解 a2＝22×S22 －1＝a1＋6 a2，a1＝13，
则 a2＝115，类似地求得 a3＝315.
(2)猜想数列{an}的通项公式，并证明.
跟踪训练 3 n∈N*.
已知数列{an}的前 n 项和 Sn 满足：Sn＝a2n＋a1n－1，且 an>0，
(1)求a1，a2，a3，并猜想{an}的通项公式；
(2)证明通项公式的正确性.
数学归纳法
知识点 数学归纳法
对于一个与正整数有关的等式 n(n－1)(n－2)…(n－50)＝0. 思考1 验证n＝1，n＝2，…，n＝50时等式成立吗？ 答 成立. 思考2 能否通过以上归纳出n＝51时等式也成立？为什么？ 答 不能，上面的等式只对n取1至50的正整数成立.

(1)数学归纳法的定义 一般地，证明一个与 正整数 n有关的命题，可按下列步骤进行：
n=k+1
从n0开始所 有的正整数
类型一 用数学归纳法证明等式
例1 (1)用数学归纳法证明(n＋1)·(n＋2)·…·(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n －1)(n∈N*)，“从k到k＋1”左端增乘的代数式为_2_(2_k_＋__1_)_.

直线l1与这k条直线恰有k个交点，则直线l1被这k个交点分成k＋1条射线或线 段．k条直线l2，l3，…，lk－1中的每一条都与l1恰有一个交点，因此每条直线又 被这一个交点多分割出一条射线或线段，共有k条．
故f(k＋1)＝f(k)＋k＋1＋k＝k2＋2k＋1＝(k＋1)2， ∴当n＝k＋1时，结论正确． 由(1)(2)可知，上述结论对一切n≥2且n∈N＋均成立．
＝－k(2k＋1)－(4k＋3) ＝－(2k2＋5k＋3) ＝－(k＋1)[2(k＋1)＋1]， 所以n＝k＋1时等式也成立， 根据(1)和(2)可知，等式对任何n∈N＋都成立．
用数学归纳法证明整除问题
用数学归纳法证明：(3n＋1)·7n－1能被9整除(n∈N＋)． 【精彩点拨】 先验证n＝1时命题成立，然后再利用归纳假设证明，关键 是找清f(k＋1)与f(k)的关系并设法配凑．
【证明】 (1)当n＝1时，左边＝12－22＝－3， 右边＝－1×(2×1＋1)＝－3，等式成立． (2)假设当n＝k(k≥1)时，等式成立，就是 12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＝－k(2k＋1)． 当n＝k＋1时， 12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＋(2k＋1)2－(2k＋2)2 ＝－k(2k＋1)＋(2k＋1)2－[2(k＋1)]2
用数学归纳法证明：1＋a＋a2＋…＋an＋1＝
1－an＋2 1－a
(a≠1，n∈N
＋)，在验证n＝1成立时，左边计算的结果是( )
A．1
B．1＋a
C．1＋a＋a2
D．1＋a＋a2＋a3
【精彩点拨】 注意左端特征，共有n＋2项，首项为1，最后一项为an＋1.
【自主解答】 实际是由1(即a0)起，每项指数增加1，到最后一项为an＋1， 所以n＝1时，左边的最后一项应为a2，因此左边计算的结果应为1＋a＋a2.

材
生
学 法 学 书 趣和课堂效率．让学生经历知识的构建过 程, 体会类比的数学思想．
分学
目
手 程 设 让学生领悟数学思想和辩证唯物
析
情情感态度标价值观段主一义种观方点法；,序体激会发研学究生数的学学计问习题热的情，
使学生初步形成做数学的意识和
科学精神．
数学归纳法及其应用举例
教学方法 类比启发探究式教学方法进行教学
在教学过程中，我不仅要传授学生课
教
学学法指导教
本知识，还要培养学生主动观察、主
方 教 板 动思考、亲自动手、自我发现等学习
能力，增强学生的综合素质，从而达
材
生
学 到较为法理想的教学学终极目标．书
分学 目 手 程 设
析
教情学手段标
借助多段媒体呈现多序米诺骨牌等计生活素
材,真正辅助课堂教学.
数学归纳法及其应用举例
数学归纳法及其应用举例
教学 教 方 教 板 材生 学 法 学 书 分学 目 手 程 设 析情 标 段 序 计
数学归纳法及其应用举例
教学内容
数学归纳法及其应用举例是人民教育 出版社全日制普通高级中学教科书数 学第三册(选修II)第二章第一节的内 容，根据教学大纲，本节共3课时，这 是第1课时, 主要内容是数学归纳法理 解与简单应用．
第一阶段:输入阶段
创设问题情境，启动学生思维; 回顾数学旧知，追溯归纳意识; 借助数学史料, 促使学生思辨.
第二阶段:新旧知识相互作用阶段
教
学 教 方 搜索生活实例，激发学习兴趣;
教
板
材 分 析
生 学 法 类比数学
第学情三阶段目 标:操作阶手 段段
学书 教 12..程序知思学识想设线方计法;三线条;设计线:

典例分析
例4 设为正实数，为大于1的正整数，若数列, + , ( + ) , … ，
+ − ， … 的前项和为 ，试比较 与的大小，并用数学归纳
法证明你的结论.
>
证明: (1)当 =2时， 不等式显然成立.
∗
(2)假设当 = ( ∈ 且>1时,不等式成立,即 >
的推理，证明n取所有正整数
都成立？
情景引入
我们先从多米诺骨牌游戏说起.码放
骨牌时,要保证任意相邻的两块骨牌,若
前一块骨牌倒下,则一定导致后块骨牌倒
下.这样,只要推倒第1块骨牌,就可导致
第2块骨牌倒下；而第2块骨牌倒下,就可
导致第3块骨牌倒下；…….总之,不论有
多少块骨牌,都能全部倒下.
探究新知
思考1：在这个游戏中，能使所有多米诺骨牌全部倒下的条件是什么？
高中数学
选择性必修第二册
RJ
RJA
4.4*数学归纳法
情景引入
我是
一毛
我是
二毛
我是
三毛
我不是
四毛！我
猜：
是小明！
四毛！
我是
谁？
不完全归纳： 从一类对象中的部分对象都具有某种性质推出
这类对象全体都具有这种性质的归纳推理方法
探究新知
问题1:口袋中有4个吃的东西，如何证明它们都是糖？
把研究对象一一都考察到，而推出结论的归纳法.
n＝k＋1
推出“当__________时命题也成立”．
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整
数n都成立．
这种证明方法称为数学归纳法．
思考：数学归纳法的第一步n0的初始值是否一定为1?

要 证 明 这 个 ,必问须题寻 找 一 种 有 骤,就 限 个 能 够 处 理 完 无 限 象多 的个 方. 对 法
我们先从 多米诺骨牌游 戏说起 .这是一 种码 放骨牌的游戏,码放时保证任意相邻的两块 骨 牌, 若 前 一 块 骨 牌 倒 下, 则 一 定 导 致 后 一 块 骨牌倒下.这样, 只要推倒第1块骨 牌,由于第1 块骨牌倒下,就可导致第2块骨牌倒下;而第 2 块骨牌倒下, 就可 导致第3块骨牌 倒下 最 后, 不 论 有 多 少 块 骨 牌 , 都 能 全 部 倒 下.
1 k 1 2 k 1 1 1 kk 1 k 1 2 k 1 1 . 1 k 1 k 2 k 1 1 1k1k1 右边. 所n 以 k 1 时 当 等 成 .由 式 1立 ,2可知
1 3 5 1 n 2 n 1 1 n n n N .
2若 从 "nk时 等式 成 立 "能 推"n出 k1时 等 式也 成",立 则 可 以 建 立 一诺 种骨 像牌 多那 米样
的"由 前 到 "的后自 动 递 .推 关 系
人教版-数学归纳法ppt完美课件
人教版-数学归纳法ppt完美课件
综合 12,就自然地想 这到 个一 等种 式 : 证 的 首先 1 n 1 证 时明 等 成 ;式 立 然后证 2中 明的递.推关系 完 成 以 上 两 ,就步 可n后 由 1时 等式 成 立 为,起 点 递 推n出 2时 等式 成 立 ;再 由 n2时 等式 成 立 , 递 推n出 3时 等式 成 立 如 此 继 续 自 动 递 下 去 ,就 可 以:对 说于 任 意 正 n,等整式 数 成 立 .
在 高 考 中 ,这 类 问 题 也 是 经 常 出 现 ， 同 时 这 也 是 一 种 重 要 的 数 学 推 理 方 法 — — 数 学 归 纳 法 .

的结论． 的结论．
1 例3、证明： − 2 + 3 − 4 + L + ( − 1)
2 2 2 2
n −1
n = ( − 1)
2
n −1
n ( n + 1) 2
证明
1+ 3 + 5 +⋅⋅⋅⋅⋅⋅+(2n − 3) + (2n −1) = n2
假设n=k时等式成立 时等式成立， 假设 时等式成立 (n 1 ，等式成立 ，左边 (2)假设 = 1，右边 = 12=∈ N∗)，即 11+ 3 + 5 +⋅⋅⋅⋅⋅⋅+(2− 3)3)(2(2k1) 1)k 2 k 2 + 3 + 5 +⋅⋅⋅⋅⋅⋅+2 =k − + + k − −= = 时成立， （2）假设当 ）假设当n=k时成立，即： 时成立 1(2k 1 那么 当n=k+1时，代入 时 1 + 3 + 5 ư 得： + 1) 证明：(1) 当 证明：
时等式成立。 即n=k+1时等式成立。 时等式成立 综合（ ） 均成立。 综合（1）和（2）等式对一切自然数 均成立。 ）等式对一切自然数n均成立
得：
点评：是错误的，这是因为 点评：是错误的，这是因为n=k+1时的等式是有待于得 时的等式是有待于得 用归纳假设和已知条件加以证明，不能直接将n=k+1代入 用归纳假设和已知条件加以证明，不能直接将 代入 要求证的等式。在推证过程中一定要利用好归纳假设。 要求证的等式。在推证过程中一定要利用好归纳假设。
即第k块倒下，则相邻的第 即第 块倒下，则相邻的第k+1块也倒下 块倒下 块也倒下