三角形三边关系的五种应用

三角形三边关系定理的应用三角形是几何学中的基本图形之一，而三角形的性质和关系也是几何学中的重要内容。

三角形三边关系定理是指三角形三边之间的关系定理，通过这些定理可以解决与三角形三边相关的各种问题。

本文将探讨三角形三边关系定理的应用。

一、勾股定理的应用勾股定理是三角形三边关系定理中最为熟知和常用的定理之一。

它表明在一个直角三角形中，直角边的平方等于两个直角边的平方之和。

根据勾股定理，我们可以判断一个三角形是否为直角三角形，也可以计算它的边长。

例如，已知一个三角形的两条边长分别为3和4，若要求第三边的长度，可以使用勾股定理：3²+4²=5²，因此，第三边的长度为5。

二、余弦定理的应用余弦定理是三角形三边关系定理中的重要定理，它描述了三角形中一个角的余弦与三条边之间的关系。

余弦定理的数学表达式为：c² = a²+ b² - 2abcosC，其中a、b、c分别表示三角形的三边长度，C表示夹角的度数。

通过余弦定理，我们可以解决一些与三角形的边长和角度相关的问题。

例如，已知一个三角形的两边长分别为3和4，而它们夹角的度数为60°，那么可以使用余弦定理来求解第三边的长度c：c² = 3² + 4² -2×3×4cos60°，计算得出c的值为2。

三、正弦定理的应用正弦定理也是三角形三边关系定理中的一项重要定理，它描述了三角形中一个角的正弦与三条边之间的关系。

正弦定理的数学表达式为：a/sinA = b/sinB = c/sinC，其中a、b、c分别表示三角形的三边长度，A、B、C分别表示对应边的夹角。

正弦定理可以用于解决一些与三角形的边长和角度相关的问题。

例如，已知一个三角形的两边长分别为3和4，而它们夹角的度数为60°，那么可以使用正弦定理来求解第三边的长度c：3/sin60° = 4/sinB =c/sinC，通过计算可以得到c的值。

直角三角形的三边关系直角三角形是指其中一个角为直角（90度）的三角形。

在直角三角形中，三边之间存在着特殊的关系，这些关系对于数学和实际应用领域都具有重要意义。

一、勾股定理直角三角形的最重要的定理就是勾股定理，它描述了直角三角形的三边之间的关系。

勾股定理表达式如下：c^2 = a^2 + b^2其中，a和b是直角三角形的两个直角边，c是斜边（斜边是直角三角形中与直角不相邻的边）。

这个定理意味着，如果我们知道了直角三角形的两个直角边的长度，我们就可以计算出斜边的长度。

也就是说，勾股定理提供了计算直角三角形边长的方法。

二、三角函数在直角三角形中，三角函数被广泛应用来描述三边之间的关系。

常见的三角函数有正弦、余弦和正切。

1. 正弦函数（sin）：定义为直角三角形中斜边与斜边上的对边的比值。

sinA = 对边/斜边2. 余弦函数（cos）：定义为直角三角形中斜边与斜边上的邻边的比值。

cosA = 邻边/斜边3. 正切函数（tan）：定义为直角三角形中对边与邻边的比值。

tanA = 对边/邻边通过三角函数，我们可以在直角三角形中计算出任意一个角的大小。

反之，如果我们知道了三角形的某个角度和任意两个边的长度，我们也可以通过三角函数计算出第三边的长度。

三、特殊的三边关系除了勾股定理和三角函数之外，直角三角形还有一些特殊的三边关系。

1. 等腰直角三角形：当直角三角形的两个直角边相等时，称为等腰直角三角形。

在等腰直角三角形中，斜边的长度等于直角边的开根号2倍。

2. 等边直角三角形：当直角三角形的三边都相等时，称为等边直角三角形。

在等边直角三角形中，三个角都是45度。

3. 30-60-90三角形：当直角三角形的两个锐角分别为30度和60度时，称为30-60-90三角形。

在这种三角形中，边的比例关系为1:√3:2。

斜边的长度等于短直角边的开根号3倍。

4. 45-45-90三角形：当直角三角形的两个锐角都为45度时，称为45-45-90三角形。

三角形的三边关系三角形三边的关系，是在学生初步了解了三角形的定义的基础上，进一步研究三角形的特征，从中我们不仅能够了解三角形三边之间的大小关系，也提供了判断三条线段能否组成三角形的标准。

三角形的三边关系：三角形任意两边的和大于第三边，两边之差小于第三边。

常见应用类型类型一：判断三条线段能否组成三角形根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”进行分析。

判断能否组成三角形的简便方法是：看较小的两个数的和是否大于第三个数。

下列长度的三条线段能组成三角形的是（）A．1，2，3 B．5，4，2 C．2，2，4 D．4，6，11【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”进行分析．【解答】解：根据三角形的三边关系，知A、1+2＝3，不能组成三角形，故A错误；B、2+4＞5，能够组成三角形；故B正确；C、2+2＝4，不能组成三角形；故C错误；D、6+4＜11，不能组成三角形，故D错误．故选：B。

类型二：求三角形第三边的长或取值范围根据三边关系确定某一边的取值范围，一般题目中会给出其他两边的大小，需要注意的是结合实际问题的运用，比如：人数组成三角形中的隐含条件，数字必须是正整数。

一个三角形的两边长分别为5cm和3cm，第三边的长是整数，且周长是偶数，则第三边的长是（）A．2 cm或4 cm B．4 cm或6 cmC．4 cm D．2 cm或6 cm【分析】可先求出第三边的取值范围．再根据5+3为偶数，周长也为偶数，可知第三边为偶数（偶数+偶数=偶数），从而找出取值范围中的偶数，即为第三边的长．【解答】解：设第三边长为x，则5﹣3＜x＜5+3，即2＜x＜8．又x为偶数，因此x＝4或6，故选：B。

类型三：解答等腰三角形相关问题考查等腰三角形的性质和三角形的三边关系，一般没有明确腰和底边的题目，一定要想到两种情况，进行分类讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键。

三角形的三边关系与角平分线三角形是几何学中的基本形状之一，它由三条边和三个角组成。

在研究三角形时，我们常常会遇到三边之间的关系以及角平分线的性质。

本文将就这两个主题展开讨论。

一、三边关系在三角形中，三条边的关系可以帮助我们研究其形状以及内部角度的关系。

常见的三边关系有以下几种：1. 三边的长度关系：在任意三角形ABC中，三边的长度满足以下不等式关系：AB+BC＞AC，AC+BC＞AB，AB+AC＞BC。

这一关系被称为三角形的三边不等式。

根据这个不等式，我们可以判断三条线段是否能够构成一个三角形。

2. 等边三角形：等边三角形是指三条边的长度都相等的三角形。

在等边三角形中，每一个内角都是60度。

等边三角形具有对称性和稳定性，常常在建筑和设计中被广泛应用。

3. 等腰三角形：等腰三角形是指两条边的长度相等的三角形。

在等腰三角形中，两个底角（底边两边对应的内角）是相等的。

等腰三角形也具有对称性，常用于制作礼花和图腾等艺术设计中。

二、角平分线角平分线是指从三角形的一个顶点出发，将相邻两边的内角平分为两个相等的角的线段。

角平分线具有以下几个重要性质：1. 角平分线的存在性：对于任意一个三角形ABC，从顶点A出发，可以找到一条角平分线AD。

AD将角BAC平分为两个相等的角。

同样地，我们还可以找到BC和CA的角平分线。

2. 角平分线的性质：a) 角平分线与边的关系：角平分线与三角形的边垂直且平分对边上的角。

例如，在三角形ABC中，如果AD是角BAC的平分线，则AD 与BC垂直且平分角BAC。

b) 角平分线的交点：角平分线的三条线段AD、BE、CF的交点O 称为三角形ABC的内心。

内心是三角形的一个重要特点，它有许多有趣的性质，例如内心到三角形的顶点距离相等。

c) 角平分线的角度关系：在三角形ABC中，如果AD是角BAC的平分线，那么角BAD和角CAD是相等的。

类似地，BE和CF也分别是三角形ABC其他两个内角的平分线。

三角形的三边关系为:三角形，任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边.由于是线段的不等量关系，我们在遇到求边或周长的范围以及一些不等量的习题时，就要想到利用这一性质，常见的应用如下:一.判断三条线段能否组成三角形(最直接的方法是，若两条短线段的和大于最长的线段，则此三线段可构成三角形)1.下列各组数中，不可能成为一个三角形三边长的是(____)A.2，3，4.B.5，6，7.C.5，6，12.D.6，8，10.2.下列长度的三条线段不能组成三角形的是(____)A.5，5，10.B.4，5，6.C.4，4，4.D.3，4，5.二.求三角形第三边的长或取值范围3.若a，b，c为三角形的三边长，且a，b满足|a2一9|+(b一2)2=0，则第三边长a的取值范围是______.4.若一个三角形的两边长分别为5和8，则第三边长可能是(______).A.14.B.10.C.3.D.2.5.若三角形的两边长分别为3和5，则周长L的取值范围是(_____).A.6<L<15.B.6<L<16.C.11<L<13.D.10<L<166.一个三角形的两边长分别为5㎝和3㎝，第三边的长是整数，且周长是偶数，则第三边的长是(_____).A.2㎝或4㎝.B4㎝或6㎝.C.4㎝.D.2㎝或6㎝.三.求等腰三角形的边长及周长7.已知实数x，y满足|x一4|+(y一8)2=0，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是(____).A.20或16.B.20.C.16.D.以上均不对.8.若等腰三角形的周长为10㎝，其中一边长为2㎝，则该等腰三角形的底边长为(_)A.2㎝，B.4㎝.，C.6㎝，D.8㎝.9.已知在△ABC中，AB=5，BC=2，且AC的长为奇数.(1)求△ABC的周长;(2)判断△ABC的形状.解:(1)∵AB=5，BC=2，∴3<AC<7，又∵AC的长为奇数，∴AC=5，∴△ABC的周长为5+5+2=12.(2)∵AB=AC=5，∴△ABC是等腰三角形四.化简含绝对值的式子10.已知a，b，c为三角形的三边长，化简:|b+c一a|+|b一c一a|一|c一a一b|一|a 一b+c|.【分析】化简绝对值，关键判断绝对值里边的代数式是正数、负数还是零.是正数或零，去掉绝对值，代数式保持不变;是负数，去掉绝对值后，代数式变为原来的相反数，之后，能合并的再合并同类项.本题通过三角形三边关系判断绝对值里边代数式的正、负情况.解:∵a，b，c为三角形的三边长，∴b+c>a，a+c>b，a+b>c，∴b+c一a>0，b一c一a<0，c一a一b<0，a一b+c>0，∴原式=(b+c一a)一(b一c一a)+(c一a一b)一(a一b+c)=2c 一2a.五.证明线段不等关系10.如图，已知P是△ABC内一点，求证:PA+PB+PC>(AB+BC+AC)【分析】AP，BP，CP把△ABC分为三个三角形，每个三角形两边和大于第三边，AP，BP，CP正好各用两次，也即2PA+2PB+2PC>AB+BC+AC，也即得证.证明:在△ABP中，PA+PB>AB，在△ACP中，PA+PC>AC，在△BPC中，PB+PC>BC，∴2(PA+PB+PC)>AB+BC+AC，即PA+PB+PC>(AB+BC+AC)/2.11.如图，P是正方形ABCD的边DC延长线上的一点，连结PA交BC于点E，求证:AP>AC.【分析】证明线段不等关系，想到三角形三边关系，可AC，AP，PC是在一个三角形中，但又引进了PC，那么就想到把AP折成两条线段和AC围成一个三角形，那么又怎样把AP分成两段呢？从图看∠ECP=90°，想到直角三角形斜边的中线，如图取PE的中点F，连结CF，则PF=CF，这样成功的把AP段分成AF，PF两段，CF等量代换PF，在△ACF中利用三边关系可证.证明:取PE的中点F，连接CF，∵四边形ABCD是正方形，∴BC⊥DP，∴CF=FP=PE/2，在△AFC中，有AF十FC>AC，∴AF十FP>AC，即AP>AC.12.如图，已知:D是△ABC的外角∠EAC的平分线上的一点.求证:DB+DC>AB+AC.【分析】要证DB+DC>AB+AC，可用三角形三边关系定理，但必须把BD、DC、AB+AC移到一个三角形中，可以从构造AB+AC入手，由于AD平分∠EAC，利用角平分线的对称性，将AC，AB移在一条线上，同时能将CD边进行转换，如图，在BA的延长线AE上截取AN=AC，连接DN则可构造出△DAN≌△DCA，则AC=AN，DC=DN，达到了所要的目的在△BDN中，BD+DN(DC)>AN(AB+AC).证明:在BA的延长线AE上截取AN=AC，连接DN，∵AD平分∠EAC，∴∠EAD=∠CAD，AD=AD，AN=AC，∴△ADN≌△ADC，∴DN=DC，在△BDN中，BD+DN>BN，∴BD+DC>AB+AC.13.如图，P为△ABC内一点，求证:AB+AC>PB+PC.【分析】直接运用图中的△ABC和△PBC得到的AB+AC>BC，PB+PC>BC，不能解决问题，为使PB和CP同时出现在大于号右侧，则应构造新的三角形，可延长BP交AC于点D，或过点P作一直线.证明:(一)如图，延长BP交AC于点D，在△ABD中，AB+AD>BD，即AB+AD>BP+PD，在△CDP中CD+PD>PC，∴AB+AD+CD+PD>BP+PD+PC，∴AB+AD+CD>BP+PC，即AB+AC>BP+PC.证明:(二)如图，过点P任作一直线交AB于E交AC于F在△AEF中，AE+AF>EP+PF，在△BEP中，BE+EP>PB，在△PFC中，FC+PF>PC，∴(AE+BE)十(AF+FC)十EP+PF>PB+PC+EP+PF，∴AB+AC>PB+PC.六.利用三角形三边关系求最值13.如图∠MON=90°，矩形ABCD的顶点A，B分别在OM，ON上，当点B在边ON上运动时，点A随之在OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，在运动过程中，点D 到点O的最大距离是多少？【分析】动点问题，总的方法是，以静制动，取AB的中点H，OH=AB/2不变，由勾股定理得AD2+AH2=DH2，∴DH=√2，也不变，在△DOH中，OH在变，有OH+DH≥DO，则点D、H、O 三点共线时取等号，所以点D到点O的最大距离为OH+DH=√2+1，如图.前八题答案如下:1.C，2.A，3.1<c<5，4.B，5.D，6.B，7.B，8.A.。

三角形三边关系三角形是几何图形中最基本也是最重要的图形之一。

三角形的三边关系是三角形性质的基石，掌握好这一基本概念对于理解其他几何概念非常重要。

本文将详细介绍三角形三边关系及其应用。

一、三角形三边关系的定义三角形是由三条不在同一直线上的线段首尾顺次相接所组成的图形。

根据三角形的定义，我们可以知道三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。

这种性质通常被称为“三角形三边关系”。

二、三角形三边关系的证明证明三角形三边关系有多种方法，其中最经典的是利用“反证法”。

假设三角形三边a、b、c满足a<b+c，我们来证明这与假设矛盾。

假设反面成立，即a≥b+c，那么b+c≥a+c，即b≥a+c-c=a，这与题目中a>b矛盾。

因此，我们的假设是错误的，所以三角形三边关系成立。

三、三角形三边关系的几何应用三角形三边关系在几何学中有着广泛的应用。

例如，它可以用来判断三条线段能否组成一个三角形，或者比较两条线段的长度大小。

它还可以用于解决一些与三角形有关的实际问题，如测量不可直接测量的距离或高度等。

四、总结三角形三边关系是几何学中的一个基本概念，它反映了三角形中任意两边之和与第三边的关系。

这一性质不仅在几何学中有着广泛的应用，而且在解决实际问题时也具有重要意义。

掌握好三角形三边关系对于理解其他几何概念也是非常有帮助的。

三角形三边的关系在几何学中，三角形是一种基本的图形，其三边之间的关系是构成三角形的核心要素。

本文将探讨三角形三边的关系，以及其在实际生活中的应用。

一、三角形三边的关系三角形三边的关系可以用以下三个基本定理来描述：1、三角形两边之和大于第三边。

这意味着，任意两边之和必须大于第三边，否则不能构成三角形。

2、三角形两边之差小于第三边。

这意味着，任意两边之差必须小于第三边，否则也不能构成三角形。

3、三角形的任意两边之和大于第三边，同时任意两边之差小于第三边。

这个定理实际上是前两个定理的组合。

直角三角形边与面积的关系及应用
如果直角三角形两直角边分别为A和B，斜边为C，那么 A2+B2=C2。

直角三角形三边关系：任意两边长度之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。

①三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。

（三角形两边之和大于第三边中的两边是指两条较小的边，两边之差小于第三边的两边是指两条较大的边。

）
②在一个直角三角形中，若一个角等同于30度，则30度角面元的直角边就是斜边的一半。

直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）。

勾股定理逆定理：如果三角形的.三边长a，b，c满足用户a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形。

③直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。

④三角形的三条角平分线缴于一点，三条高线的所在直线缴于一点，三条中线处设一点。

⑤三角形三条中线的长度的平方和等于它的三边的长度平方和的3/4。

⑥等底同低的三角形面积成正比。

⑦底相等的三角形的面积之比等于其高之比，高相等的三角形的面积之比等于其底之比。

⑧三角形的任一一条中线将这个三角形分成两个面积成正比的三角形。

⑨等腰三角形顶角的角平分线和底边上的高、底边上的中线在一条直线上（三线合一）。

专题04 例说三角形三边关系的几种典型运用【专题综述】三角形的三条边之间主要有这样的关系：三角形的两边的和大于第三边，三角形的两边的差小于第三边．设三角形三边为a,b,c则a+b>c,a>c-bb+c>a,b>a-ca+c>b,c>b-a这个定理及推论在解题中有着较为重要的应用.【方法解读】一、已知两边求第三边的取值范围例1 用三条绳子打结成三角形(不考虑结头长)，已知其中两条长分别是3m和7m，问第三条绳子的长有什么限制．【举一反三】（2017春•吉安月考）已知三角形的三边长分别为a、b、c，且a＞b＞c，若b=7，c=5，那么a的取值范围是．二、判定三条线段能否围成三角形例2 以下列各组线段为边，能组成三角形的是（）.A．1cm，2cm，4cm B．8cm，6cm，4cmC．12cm，5cm，6cm D．2cm，3cm，5cm【举一反三】（2017秋•宁河县期中）以下列各组线段为边，能组成三角形的是（）A．2cm，4cm，6cm B．2cm，2cm，5cmC．4cm，6cm，9cm D．2cm，3cm，6cm三、确定组成三角形的个数问题例3 现有长度分别为2cm、3cm、4cm、5cm的木棒，从中任取三根，能组成三角形的个数为（）A．1B．2C．3D．4【举一反三】（2017春•闵行区校级期末）在长度分别为4厘米、5厘米、9厘米、12厘米的四条线段中，任选三条线段可以组成三角形的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个四、确定三角形的边长例4 一个三角形的两边分别是2厘米和9厘米，第三边长是一个奇数，则第三边长为______．【举一反三】（2016秋•长春期末）一个三角形的两边长为3和8，第三边长为奇数，则第三边长为（）A．5或7 B．7或9 C．7 D．9五、化简代数式问题例5 已知三角形三边长为a、b、c，且|a＋b－c|＋|a－b－c|=10，求b的值．【举一反三】（2016秋•黄冈校级月考）已知a、b、c是三角形的三边长，①化简：|a﹣b﹣c|+|b﹣c﹣a|+|c﹣a﹣b|；②若a+b=11，b+c=9，a+c=10，求这个三角形的各边．【强化训练】1.已知三角形的三边长为a，b，c，若a≤3，b≤15，则c的取值范围是．2.（2014秋•台安县期中）一个三角形的周长是偶数，其中的两条边长分别是4和7，满足上述条件的三角形（三角形的边长均为整数）的个数为（）A．1个B．3个C．5个D．7个3.（2016春•淄博期中）在下列所给的条件中，能组成三角形的是（）A ．三条线段的比为2：3：4B ．三条线段的比为1：2：3C ．三条线段的比为4：5：9D ．三条线段的比为7：4：34.（2016秋•涞水县期末）满足下列条件的三条线段a 、b 、c ，能组成三角形的有（ ）①a=2，b=3，c=4；②a=3，b=5，c=2；③a ：b ：c=1：2：3；④a=m+1，b=m+2，c=2m （m ＞2）A ．①②B ．③④C ．①④D ．①③5.（2017秋•济源期中）有四条线段，长分别是3cm 、5cm 、7cm 、9cm ，如果用这些线段中的三条线段组成三角形，可以组成不同的三角形的个数为（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个6.（2015春•平度市期末）已知：a 、b 、c 是△ABC 三边长，且M=（a+b+c ）（a+b ﹣c ）（a ﹣b ﹣c ），那么（ ）A ．M ＞0B ．M=0C ．M ＜0D ．不能确定7.（2017秋•秀屿区校级月考）三角形的两条边为2cm 和4cm ，第三边长是一个偶数，第三边的长是 ．8.（2016秋•杜尔伯特县期中）三角形的两条边长分别是4和9，且第三边长是奇数，则第三边长为 ． 9.已知三角形的三边长分别为a ，b ，c ，且满足+|b ﹣5|=0，求c 的取值范围．10.已知三角形的三边长为a ，b ，c ，根据三角形三边的关系化简：=---++22)()(c b a c b a ．。