中考数学十大解题思路之等积法
等面积法是一种常用的、重要的数学解题思想方法。它是利用“同一个图形的面积相等”、“分割图形后各部分面积之和等于原图形的面积”、“同底等高或等底同高的两个三角形的面积相等”等性质解决有关的数学问题。在解题中，灵活运用等面积法解答相关问题，可以使解题思路清晰，解题过程简捷。下面举例说明等积法在初中数学解题中的应用：
一．求三角形的高
例1.如图1所示，在△ABC 中，AB=10,BC=6,AC=8,求AB 边上的高CD 的长.
解：在△ABC 中，
.10010,10086222222===+=+AB AC BC
.222AB AC BC =+∴
∴△ABC 是直角三角形.
利用三角形面积计算公式得,
.2
121CD AB BC AC ?=? 即8.410
68=?=?=AB BC AC CD 二．求图形的面积
例2. 如图2所示，⊙O 的半径为
3，OA=6,AB 切⊙O 于B ，弦BC ∥OA ，
连接AC ，则图中阴影部分的面积是多
少？
分析：连接OB 、OC ，将图中不规
则的阴影部分的面积转化为扇形0BC
的面积是解决此问题的切入点和关
键.
解:连接OB 、OC ，
由BC ∥OA 知，△OCB 与△ACB 的
边CB 上的高相等.
故由等积性质可知,CB ACB S S 0??=
易知，∠BOC=
60.
所以ππ2
336036020=?==CB S S 扇形阴影. 三.求三角形内切圆半径 例3.如图3所示,已知⊙O 是△ABC 的内切圆，∠C= 90，AC=4，BC=3.
求
⊙O 的半径.
解:设⊙O 的半径为r ，连接0A 、0B 、OC 、OE 、OF 、OG..
∵⊙O 是△ABC 的内切圆，
∴OG ⊥AB ，OE ⊥BC ，OF ⊥AC ，且
OE=OF=OG=r.
在Rt △ABC 中，由勾股定理，得
.5432222=+=+=AC BC AB
于是由ACO BCO ABO ABC S S S S ????++=，得
.2
1212121AC BC r AC r BC r AB ?=?+?+? 即 .)(AC BC r AC BC AB ?=++ ∴.14
3543=++?=++?=
AC BC AB AC BC r 四．求函数的解析式
例4．如图4所示，线段AB=8，直线m 与⊙o 相切于点 D,且m ∥AB ，P 是直线m 上的一点,PB 交以AB 为直径的圆于C,连结AC.设PB=x,AC=y,求y 与x 的函数关系式.
分析：因为AB 是⊙O 的直径，所以AC ⊥BP ，又因为把直线m 与⊙o 相切于点 D,且m ∥AB ，所以DO ⊥AB,BP 和AC 看成三角形的底和高，于是很自然地连接AP 、OD ，利用同一个三角形的面
积相等的性质，就可以得到x 与y 的关系.
解:连结AP ，
∵AB 是⊙O 的直径，
∴AC ⊥BP.
又∵直线m 与⊙o 相切于点 D,且m ∥AB ，
∴DO ⊥AB
即△ABP 的AB 边上的高是4,
∴,42
121?=?AB AC BP 即xy=8×4. x
y 32= (x ＞4). 五.在探究规律题中的应用
例5.如图-5所示，将一个边长为1的正方形平均分成两个面积是
21矩形，又将一个面积为21矩形平均分成两个面积是4
1的矩形，再将一个面积为41的矩形平局分成两个面积是8
1的矩形，如此进行分割下去，如果分割
n 次后，按图中揭示的规律计算： n 2
121212*********++++++ 分析：分割图形后各部分面积之和等于原图形
的面积根,得
.2
1221121212121161814121444432-=-=+++=+++ 于是利用这个规律就可以把问题解决.
解：n 2121212121215432++++++ =.2
12211n n n -=- 总之，等面积法是一种重要的数学解题思想方法。利用此法解决相关数学问题时，不但思路清晰、过程简捷，而且更能体现出知识间的相互联系，更有利于培养学生的数学思维能力，发展学生的数学能力。在数学解题教学中值得借鉴。
2016年北京中考专题突破几何综合 在北京中考试卷中，几何综合题通常出现在后两题，分值为8分或7分．几何综合题主要包含三角形(全等、相似)、四边形、锐角三角函数、圆等知识，主要研究图形中的数量关系、位置关系、几何计算以及图形的运动、变换等规律． 求解几何综合题时，关键是抓住“基本图形”，能在复杂的几何图形中辨认、分解出基本图形，或通过添加辅助线补全、构造基本图形，或运用图形变换的思想将分散的条件集中起来，从而产生基本图形，再根据基本图形的性质，合理运用方程、三角函数的运算等进行推理与计算． 1．[2015·北京] 在正方形ABCD中，BD是一条对角线，点P在射线CD上(与点C，D 不重合)，连接AP，平移△ADP，使点D移动到点C，得到△BCQ，过点Q作QH⊥BD于点H，连接AH，PH. (1)若点P在线段CD上，如图Z9－1(a)． ①依题意补全图(a)； ②判断AH与PH的数量关系与位置关系，并加以证明． (2)若点P在线段CD的延长线上，且∠AHQ＝152°，正方形ABCD的边长为1，请写出求DP长的思路．(可以不写出计算结果 ．．．．．．．．．) 图Z9－1 2．[2014·北京] 在正方形ABCD外侧作直线AP，点B关于直线AP的对称点为E，连接BE，DE，其中DE交直线AP于点F. (1)依题意补全图Z9－2①； (2)若∠PAB＝20°，求∠ADF的度数； (3)如图②，若45°<∠PAB<90°，用等式表示线段AB，FE，FD之间的数量关系，并证明．
图Z9－2 3．[2013·北京] 在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α(0°<α<60°)，将线段BC绕点B 逆时针旋转60°得到线段B D. (1)如图Z9－3①，直接写出∠ABD的大小(用含α的式子表示)； (2)如图②，∠BCE＝150°，∠ABE＝60°，判断△ABE的形状并加以证明； (3)在(2)的条件下，连接DE，若∠DEC＝45°，求α的值． 图Z9－3 4．[2012·北京] 在△ABC中，BA＝BC，∠BAC＝α，M是AC的中点，P是线段BM上的动点，将线段PA绕点P顺时针旋转2α得到线段PQ. (1)若α＝60°且点P与点M重合(如图Z9－4①)，线段CQ的延长线交射线BM于点D，请补全图形，并写出∠CDB的度数； (2)在图②中，点P不与点B，M重合，线段CQ的延长线与射线BM交于点D，猜想∠CDB 的大小(用含α的代数式表示)，并加以证明； (3)对于适当大小的α，当点P在线段BM上运动到某一位置(不与点B，M重合)时，能使得线段CQ的延长线与射线BM交于点D，且PQ＝DQ，请直接写出α的范围． 图Z9－4
专题一 选填重难点题型突破 题型一 巧解选择、填空题 一、排除法 1．(2017·玉林)一天时间为86400秒，用科学记数法表示这一数字是( C ) A ．864×102 B ．86.4×103 C ．8.64×104 D ．0.864×105 2．(2017·永州)在同一平面直角坐标系中，函数y ＝x ＋k 与y ＝k x (k 为常数，k ≠0)的 图象大致是( B ) 3．如图所示的三视图所对应的几何体是( B ) (导学号 58824218) 4．(2017·绥化)把一张正方形纸片如图①、图②对折两次后，再按如图③挖去一个三角形小孔，则展开后图形是( C ) 二、验证法 1．(2017·无锡)某商店今年1月份的销售额是2万元，3月份的销售额是4.5万元，从1月份到3月份，该店销售额平均每月的增长率是( C ) A ．20% B ．25% C ．50% D ．62.5% 2．(2017·临沂)在△ABC 中，点D 是边BC 上的点(与B ，C 两点不重合)，过点D 作DE∥AC，DF ∥AB ，分别交AB ，AC 于 E ， F 两点，下列说法正确的是( D ) A ．若AD⊥BC，则四边形AEDF 是矩形 B ．若AD 垂直平分B C ，则四边形AEDF 是矩形 C ．若B D ＝CD ，则四边形AEDF 是菱形
D ．若AD 平分∠BAC，则四边形AEDF 是菱形 ,第2题图) ,第3题图) 3．(2017·河北)图①和图②中所有的小正方形都全等，将图①的正方形放在图②中①②③④的某一位置，使它与原来7个小正方形组成的图形是中心对称图形，这个位置是( C ) A ．① B ．② C ．③ D ．④ 三、特殊值法 1．当0
专题突破(一) 填空压轴题型 规律探究性问题的解答需要学生经历观察、分析、归纳、概括、推理、检验等一系列探索活动，对学生的“数感”提出较高要求． 新定义题型就是指通过试题提供的新定义、新规则、新概念、新材料来创设新情景，提升类比迁移等综合素质． 因此，这两个考点成为北京市中考填空题压轴题的热点． 1．[2019·北京] 阅读下面材料： 在数学课上，老师提出如下问题： 尺规作图：作一条线段的垂直平分线． 已知：线段AB. 图Z1－1 求作：线段AB 的垂直平分线． 小芸的作法如下： 如图， 图Z1－2 (1)分别以点A 和点B 为圆心，大于1 2 AB 的长为半径作弧，两弧相交于C ，D 两点； (2)作直线CD . 所以直线CD 就是的所求作的垂直平分线． 老师说：“小芸的作法正确．” 请回答：小芸的作图依据是______________________． 2．[2019·北京] 在平面直角坐标系xOy 中，对于点P (x ，y )，我们把点P ′(－y ＋1，x ＋1)叫做点P 的伴随点，已知点A 1的伴随点为A 2，点A 2的伴随点为A 3，点A 3的伴随点为A 4，这样依次得到点A 1，A 2，A 3…，A 4…，若点A 1的坐标为(3，1)，则点A 3的坐标为________，点A 2019的坐标为________；若点A 1的坐标为(a ，b )，对于任意正整数n ，点A n 均在x 轴上方，则a ，b 应满足的条件为__________________． 3．[2019·北京] 如图Z1－3，在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l ：t ＝－x －1，双曲线y ＝1 x .在l 上 取点A 1，过点A 1作x 轴的垂线交双曲线于点B 1，过点B 1作y 轴的垂线交l 于点A 2，请继续操作并探究：
下面介绍的解题方法，都是初中数学中最常用的，有些方法也是中学教学大纲要求掌握的。同样这些方法也能给你们现在的学习有些帮助。请同学们把它作为资料好好保存，当然，以后全部学会弄懂，保存大脑当中再好不过了。 1、配方法 所谓配方，就是把一个解析式利用恒等变形的方法，把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数次幂的和形式。通过配方解决数学问题的方法叫配方法。其中，用的最多的是配成完全平方式。配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，它的应用十分非常广泛，在因式分解、化简根式、解方程、证明等式和不等式、求函数的极值和解析式等方面都经常用到它。 2、因式分解法 因式分解，就是把一个多项式化成几个整式乘积的形式。因式分解是恒等变形的基础，它作为数学的一个有力工具、一种数学方法在代数、几何、三角等的解题中起着重要的作用。因式分解的方法有许多，除中学课本上介绍的提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等外，还有如利用拆项添项、求根分解、换元、待定系数等等。 3、换元法 换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法。我们通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子，使它简化，使问题易于解决。 4、判别式法与韦达定理 一元二次方程ax2+bx+c=0(a、b、c属于R，a≠0)根的判别，△=b2-4ac，不仅用来判定根的性质，而且作为一种解题方法，在代数式变形，解方程(组)，解不等式，研究函数乃至几何、三角运算中都有非常广泛的应用。 韦达定理除了已知一元二次方程的一个根，求另一根;已知两个数的和与积，求这两个数等简单应用外，还可以求根的对称函数，计论二次方程根的符号，解对称方程组，以及解一些有关二次曲线的问题等，都有非常广泛的应用。 5、待定系数法 在解数学问题时，若先判断所求的结果具有某种确定的形式，其中含有某些待定的系数，而后根据题设条件列出关于待定系数的等式，最后解出这些待定系数的值或找到这些待定系数间的某种关系，从而解答数学问题，这种解题方法称为待定系数法。它是中学数学中常用的方法之一。 6、构造法 在解题时，我们常常会采用这样的方法，通过对条件和结论的分析，构造辅助元素，它可以是一个图形、一个方程(组)、一个等式、一个函数、一个等价命题等，架起一座连接条件和结论的桥梁，从而使问题得以解决，这种解题的数学方法，我们称为构造法。运用构造法解题，可以使代数、三角、几何等各种数学知识互相渗透，有利于问题的解决。 7、反证法 反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设
中考数学的解题思路和 技巧 文件编码（008-TTIG-UTITD-GKBTT-PUUTI-WYTUI-8256）
在中考数学解题的时候，经常会碰到一些困难的题目，而往往很多考生在这些难题中浪费了大量的时间，导致中考分数低。所以，我们在中考的时候，就需要掌握一些中考的解题技巧，来解决这些事情。 中考的解题技巧还是很多的，下面我们就来看看其中一些比较重要的。 首先，审题时注意力要集中，思维应直接指向试题，力争做到眼到、心到、手到。审题时，应弄清已知条件、所求结论，同时在短时间内汇集有关概念、公式、定理，用综合法、或分析法、或两头凑的方法，探索解题途径。特别注意已知条件所设的陷阱，仔细审题，认真分析是否该分类讨论，以免丢解。 其次，在答题顺序上，应逐题进行解答,由易到难。要正确迅速地完成选择题和填空题，有效利用时间，为顺利完成中档题和压轴题奠定基础。在逐题进行解答时，遇到一时解不出的题应先放下(别忘了做记号，以免落题)，把会解的题目都做完后，再回来把留下的疑难逐一解决。 第三，遇到平时没见过的题目，不要慌，稳定好情绪。题目貌似异常，其实都出自原本。要冷静回想它与平时见过的题目、书本中的知识有哪些关联。要相信自己的功底，多方寻找思路，便能豁然得释。切忌对着题发呆不敢下手，有时动笔做一做或者画一画，就图形进行相应地
分析，也就做出来了。尽可能解答一步是一步，不放过多得一分的机会。 第四，解综合题时，应步步为营，稳扎稳打，否则前面错了，后面即使方法对了，也得分甚少。 最后，注意认真检查，如感觉某题答错了，不能盲目去改，要十分冷静地重新审题，仔细研究，确定此时思路正确，再动笔去改，因为此时易把正确的改错了，尽量减少失误。检查在数学考试中尤为重要，它是减少失误的最有效途径。 另外，面对冲刺中考，本文为大家准备了中考数学答题的指导方法。 1、配方法 所谓配方，就是把一个解析式利用恒等变形的方法，把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数次幂的和形式。通过配方解决数学问题的方法叫配方法。其中，用的最多的是配成完全平方式。配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，它的应用十分非常广泛，在因式分解、化简根式、解方程、证明等式和不等式、求函数的极值和解析式等方面都经常用到它。 2、因式分解法
中考数学重难点突破专题二：作图问题 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
专题二作图问题 类型1尺规作图 1．(2017·兰州)在数学课本上，同学们已经探究过“经过已知直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程： 已知：直线l和l外一点P. 求作：直线l的垂线，使它经过点P. 作法：如图：(1)在直线l上任取两点A、B； (2)分别以点A、B为圆心，AP，BP长为半径画弧，两弧相交于点Q； (3)作直线PQ. 参考以上材料作图的方法，解决以下问题： (1)以上材料作图的依据是：______________________________________________ (2)已知：直线l和l外一点P. 求作：⊙P，使它与直线l相切．(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔描黑) 解：(1)到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上
(2)如图⊙P 即为所求． 2．(2017·六盘水)如图，MN 是⊙O 的直径，MN ＝4，点A 在⊙O 上，∠AMN ＝30°，B 为AN ︵的中点，P 是直径MN 上一动点． (1)利用尺规作图，确定当PA ＋PB 最小时P 点的位置(不写作法，但要保留作图痕迹)． (2)求PA ＋PB 的最小值． 解：(1)如图1所示，点P 即为所求； (2)由(1)可知，PA ＋PB 的最小值即为A′B 的长，连接OA′、OB 、OA ，∵A′点为点A 关直 线MN 的对称点，∠AMN ＝30°，∴∠AON ＝∠A′ON ＝2∠AMN ＝2×30°＝60°，又∵B 为AN ︵的中点，∴AB ︵＝BN ︵，∴∠BON ＝∠AOB ＝12∠AON ＝30°，∴∠A′OB ＝60°＋30°＝90°，又 ∵MN ＝4，∴OA′＝OB ＝12MN ＝12×4＝2.∴在Rt △A′OB 中，A′B ＝22，∴PA ＋PB 的最小值 为2 2. 3．(2017·舟山)如图，已知△ABC ，∠B ＝40°. (1)在图中，用尺规作出△ABC 的内切圆O ，并标出⊙O 与边AB ，BC ，AC 的切点D ，E ，F(保留痕迹，不必写作法)； (2)连接EF ，DF ，求∠EFD 的度数． 解：(1)如图1，⊙O 即为所求．
中考数学专项讲解 配方法 知识梳理 把代数式通过凑配等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质达到增加问题的条件的目的，这种解题方法叫配方法． 配方法的作用在于改变代数式的原有结构，是求解变形的一种手段；配方法的实质在于改变式子的非负性，是挖掘隐含条件的有力工具，配方法在代数式的化简求值、解方程、解最值问题、讨论不等关系等方面有广泛的应用． 运用配方法解题的关键是恰当的“凑配”，应具有整体把握题设条件的能力，即善于将某项拆开又重新分配组合，得到完全平方式． 典型例题 一、配方法在解一元二次方程中的应用 【例1】用配方法解方程x 2+6x+3=0． 【解】 移项，得x 2+6x =－3 配方，得222 666322x x ????++=-+ ? ????? 即(x+3) 2=6，从而3x += 所以13x =，23x =． 二、配方法在一元二次方程根的判别式中的应用 一般地，这种题型方程系数含有字母，可通过配方法把b 2－4a c 变形为±(m ±h) 2+k 的形式，由此得出结论，无论m 为何值，b 2－4a c ≥0或b 2－4a c ≤0，从而判定一元二次方程根的情况． 【例2】 已知关于x 的方程x 2－m x+m －2=0．求证：方程有两个不相等的实数根． 【证明】 因为△=(m －2)2+4>0 所以方程x 2－mx+m －2=0有两个不相等的实根； 变式；已知二次函数y=x 2－mx+m －2，求证：不论m 为何值，抛物线y=x 2－mx+m －2总与x 有两个不同的交点． 三、配方法在求二次函数的顶点坐标和最值的应用 对于任何一个二次函数都可以通过配方法把原来的二次函数配方成y=a (x －h) 2+k 的形式，则得到顶点坐标(h ，k)；若a >0，函数值y 有最小值k ；若a <0时，函数值y 有最大值为k ． 【例3】通过配方，写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标： (1)y=x 2－2x －4； (2)21522 y x x =-+- 【解】 (1)()22 222 2224241522y x x x x x ????=--=-+--=-- ? ????? a =1>0，∴开口向上． 对称轴方程是x=1，顶点坐标是(1，－5)．
专业资料整理分享 中考数学压轴题解题技巧 湖北竹溪城关中学明道银 解中考数学压轴题秘诀（一） 数学综合题关键是第24题和25题，我们不妨把它分为函数型综合题和几何型综合题。 （一）函数型综合题：是先给定直角坐标系和几何图形，求（已知）函数的解析式（即在求解前已知函数的类型），然后进行图形的研究，求点的坐标或研究图形的某些性质。初中已知函数有：①一次函数（包括正比例函数）和常值函数，它们所对应的图像是直线；②反比例函数，它所对应的图像是双曲线； ③二次函数，它所对应的图像是抛物线。求已知函数的解析式主要方法是待定系数法，关键是求点的坐标，而求点的坐标基本方法是几何法（图形法）和代数法（解析法）。此类题基本在第24题，满分12分，基本分2－3小题来呈现。 （二）几何型综合题：是先给定几何图形，根据已知条件进行计算，然后有动点（或动线段）运动，对应产生线段、面积等的变化，求对应的（未知）函数的解析式(即在没有求出之前不知道函数解析式的形式是什么)和求函数的定义域，最后根据所求的函数关系进行探索研究，一般有：在什么条件下图形是等腰三角形、直角三角形、四边形是菱形、梯形等或探索两个三角形满足什么条件相似等或探究线段之间的位置关系等或探索面积之间满足一定关系求x的值等和直线（圆）与圆的相切时求自变量的值等。求未知函数解析式的关键是
列出包含自变量和因变量之间的等量关系（即列出含有x、y的方程），变形写成y＝f（x）的形式。一般有直接法（直接列出含有x和y的方程）和复合法（列出含有x和y和第三个变量的方程，然后求出第三个变量和x之间的函数关系式，代入消去第三个变量，得到y＝f（x）的形式），当然还有参数法，这个已超出初中数学教学要求。找等量关系的途径在初中主要有利用勾股定理、平行线截得比例线段、三角形相似、面积相等方法。求定义域主要是寻找图形的特殊位置（极限位置）和根据解析式求解。而最后的探索问题千变万化，但少不了对图形的分析和研究，用几何和代数的方法求出x的值。几何型综合题基本在第25题做为压轴题出现，满分14分，一般分三小题呈现。 在解数学综合题时我们要做到：数形结合记心头，大题小作来转化，潜在条件不能忘，化动为静多画图，分类讨论要严密，方程函数是工具，计算推理要严谨，创新品质得提高。 解中考数学压轴题秘诀（二） 具有选拔功能的中考压轴题是为考察考生综合运用知识的能力而设计的题目，其特点是知识点多，覆盖面广，条件隐蔽，关系复杂，思路难觅，解法灵活。解数学压轴题，一要树立必胜的信心，二要具备扎实的基础知识和熟练的基本技能，三要掌握常用的解题策略。现介绍几种常用的解题策略，供初三同学参考。 1、以坐标系为桥梁，运用数形结合思想：
2019-2020年中考数学函数重点难点突破解题技巧传播十五 1、如图，在平面直角坐标系中，A、B为x轴上两点，C、D为y轴上的两点，经 过点A、C、B的抛物线的一部分C 1与经过点A、D、B的抛物线的一部分C 2 组合 成一条封闭曲线，我们把这条封 闭曲线称为“蛋线”．已知点C的坐标为（0，），点M是抛物线C 2 ：（＜0）的顶点． （1）求A、B两点的坐标； （2）“蛋线”在第四象限上是否存在一点P，使得△PBC的面积最大？若存在，求出△PBC面积的最大值；若不存在，请说明理由； （3）当△BDM为直角三角形时，求的值． 【答案】解：（1）令y=0，则， ∵m＜0，∴，解得：，。 ∴A（，0）、B（3，0）。 （2）存在。理由如下： ∵设抛物线C1的表达式为（）， 把C（0，）代入可得，。 ∴Ｃ1的表达式为：，即。 设P（p，）， ∴ S△PBC = S△POC + S△BOP–S△BOC =。 ∵<0，∴当时,S△PBC最大值为。 （3）由C2可知： B（3，0），D（0，），M（1，）， ∴BD2=，BM2=，DM2=。 ∵∠MBD<90°, ∴讨论∠BMD=90°和∠BDM=90°两种情况： 当∠BMD=90°时，BM2+ DM2= BD2，即＋=， 解得：, (舍去)。
当∠BDM=90°时，BD 2+ DM 2= BM 2 ，即＋=， 解得：， (舍去) 。 综上所述， 或时，△BDM 为直角三角形。 【解析】（1）在中令y=0，即可得到A 、B 两点的坐标。 （2）先用待定系数法得到抛物线C 1的解析式，由S △PBC = S △POC + S △BOP –S △BOC 得到△PBC 面积的表达式，根据二次函数最值原理求出最大值。 （3）先表示出DM 2，BD 2，MB 2，再分两种情况：①∠BMD=90°时；②∠BDM=90°时，讨论即 可求得m 的值。 2、一次函数、二次函数和反比例函数在同一直角坐标系中图象如图，A 点为（－2，0）。则下列结论中，正确的是【 】 A ． B ． C ． D ． 【答案】D 。 【解析】将A （－2，0）代入，得。 ∴二次函数()2 22y ax bx ax 2ax a x 1a =+=+=+-。∴二次函数的顶点坐标为（－1，－a ）。 当x=－1时，反比例函数。 由图象可知，当x=－1时，反比例函数图象在二次函数图象的上方，且都在x 下方， ∴，即。故选D 。 （实际上应用排它法，由，也可得ABC 三选项错误） 3．已知二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象如图所示，下列结论： ①b ＜0；②4a+2b+c ＜0；③a ﹣b+c ＞0；④（a+c ）2＜b 2．其中正确的结论是 A ．①② B ．①③ C ．①③④ D ．①②③④ 【答案】C 【解析】 试题分析：①图象开口向上，对称轴在y 轴右侧，能得到：a ＞0，＞0，则b ＜0。正确。 ②∵对称轴为直线x=1，∴x=2与x=0时的函数值相等，∴当x=2时，y=4a+2b+c ＞0。错误。 ③当x=﹣1时，y=a ﹣b+c ＞0。正确。
中考数学考试典型10大解题思路及方法数学学习中经常出现一些经典而实用的解题方法和思路。这里总结10大解题方法的汇总。 1、配方法：所谓配方，就是把一个解析式利用恒等变形的方法，把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数次幂的和形式。通过配方解决数学问题的方法叫配方法。其中，用的最多的是配成完全平方式。配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，它的应用非常广泛，在因式分解、化简根式、解方程、证明等式和不等式、求函数的极值和解析式等方面都经常用到它。 2、因式分解法：因式分解，就是把一个多项式化成几个整式乘积的形式。因式分解是恒等变形的基础，它作为数学的一个有力工具、一种数学方法在代数、几何、三角函数等的解题中起着重要的作用。因式分解的方法有许多，除中学课本上介绍的提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等外，还有如利用拆项添项、求根分解、换元、待定系数等等。 3、换元法：换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法。我们通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子，使它简化，使问题易于解决。
4、判别式法与韦达定理：一元二次方程ax2+bx+c=0(a、b、c∈R，a≠0)根的判别式△=b2-4ac，不仅用来判定根的性质，而且作为一种解题方法，在代数式变形，解方程(组)，解不等式，研究函数乃至解析几何、三角函数运算中都有非常广泛的应用。 韦达定理除了已知一元二次方程的一个根，求另一根；已知两个数的和与积，求这两个数等简单应用外，还可以求根的对称函数，计论二次方程根的符号，解对称方程组，以及解一些有关二次曲线的问题等，都有非常广泛的应用。 5、待定系数法：在解数学问题时，若先判断所求的结果具有某种确定的形式，其中含有某些待定的系数，而后根据题设条件列出关于待定系数的等式，最后解出这些待定系数的值或找到这些待定系数间的某种关系，从而解答数学问题，这种解题方法称为待定系数法。它是中学数学中常用的重要方法之一。 6、构造法：在解题时，我们常常会采用这样的方法，通过对条件和结论的分析，构造辅助元素，它可以是一个图形、一个方程(组)、一个等式、一个函数、一个等价命题等，架起一座连接条件和结论的桥梁，从而使问题得以解决，这种解题的数学方法，我们称为构造法。运用构造法解题，可以使代数、三角、几何等各种数学知识互相渗透，有利于问题的解决。
中考数学考点突破系列专练 15统计 一、选择题 1．(2020·鄂州)下列说法正确的是( B ) A．了解飞行员视力的达标率应使用抽样调查 B．一组数据3，6，6，7，9的中位数是6 C．从2 000名学生中选200名学生进行抽样调查，样本容量为2 000 D．一组数据1，2，3，4，5的方差是10 2．(2020·淄博)下列特征量不能反映一组数据集中趋势的是( C ) A．众数B．中位数 C．方差D．平均数 3．(2015·遵义)如果一组数据x1，x2，…，x n的方差是4，则另一组数据x1＋3，x2＋3，…，x n＋3的方差是( A ) A．4 B．7 C．8 D．19 4．(2020·苏州)一次数学测试后，某班40名学生的成绩被分为5组，第1～4组的频数分别为12、10、6、8，则第5组的频率是( A ) A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4 5．(2020·滨州)某校男子足球队的年龄分布如图所示，则根据图中信息可知这些队员年龄的平均数，中位数分别是( D ) A．5.5，15.5 B．15.5，15 C．15，15.5 D．15，15 二、填空题 6．(2020·金华)为监测某河道水质，进行了6次水质检测，绘制了如图的氨氮含量的折线统计图．若这6次水质检测氨氮含量平均数为1.5 mg/L，则第3次检测得到的氨氮含量是__1__mg/L. 7．(2020·菏泽)某校九(1)班40名同学中，14岁的有1人，15岁的有21人，16岁的
有16人，17岁的有2人，则这个班同学年龄的中位数是__15__岁． 8．(2020·苏州)某学校计划购买一批课外读物，为了了解学生对课外读物的需求情况，学校进行了一次“我最喜爱的课外读物”的调查，设置了“文学”、“科普”、“艺术”和“其他”四个类别，规定每人必须并且只能选择其中一类，现从全体学生的调查表中随机抽取了部分学生的调查表进行统计，并把统计结果绘制了如图所示的两幅不完整的统计图，则在扇形统计图中，艺术类读物所在扇形的圆心角是__72__度． 9．(2020·潍坊)超市决定招聘广告策划人员一名，某应聘者三项素质测试的成绩如表： 测试项目创新能力综合知识语言表达 测试成绩(分数) 70 80 92 ，则该应聘者的总成绩是__77.4__分． 10．(2020·百色)一组数据2，4，a，7，7的平均数x＝5，则方差s2＝__3.6__． 三、解答题 11．(2020·厦门)某公司内设四个部门，2015年各部门人数及相应的每人所创年利润如表所示，求该公司2015年平均每人所创年利润． 部门人数每人所创年利润/万元 A 1 36 B 6 27 C 8 16 D 11 20 解：该公司2015年平均每人所创年利润为 36×1＋27×6＋16×8＋20×11 ＝21，答：该公司2015年平均每人所创年利润为21万1＋6＋8＋11 元 12．(2020·贵港)在国务院办公厅发布《中国足球发展改革总体方案》之后，某校为了调查本校学生对足球知识的了解程度，随机抽取了部分学生进行一次问卷调查，并根据调查结果绘制了如图的统计图，请根据图中所给的信息，解答下列问题： (1)本次接受问卷调查的学生总人数是__120__； (2)扇形统计图中，“了解”所对应扇形的圆心角的度数为__30°__，m的值为__25__； (3)若该校共有学生1 500名，请根据上述调查结果估算该校学生对足球的了解程度为“基本了解”的人数．
中考数学大题解题技巧总结大全2019中考各地区时间不尽相同，部分地区已经结束，部分地区还在备考中，今天小编为大家整理了2019中考数学大题解题技巧的相关内容，以便考生做好考前复习。 1、配方法 所谓配方，就是把一个解析式利用恒等变形的方法，把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数次幂的和形式。通过配方解决数学问题的方法叫配方法。其中，用的最多的是配成完全平方式。配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，它的应用十分非常广泛，在因式分解、化简根式、解方程、证明等式和不等式、求函数的极值和解析式等方面都经常用到它。 2、因式分解法 因式分解，就是把一个多项式化成几个整式乘积的形式。因式分解是恒等变形的基础，它作为数学的一个有力工具、一种数学方法在代数、几何、三角等的解题中起着重要的作用。因式分解的方法有许多，除中学课本上介绍的提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等外，还有如利用拆项添项、求根分解、换元、待定系数等等。 3、换元法换元法 是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法。我们通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是在一个比较
复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子，使它简化，使问题易于解决。 4、待定系数法 在解数学问题时，若先判断所求的结果具有某种确定的形式，其中含有某些待定的系数，而后根据题设条件列出关于待定系数的等式，最后解出这些待定系数的值或找到这些待定系数间的某种关系，从而解答数学问题，这种解题方法称为待定系数法。它是中学数学中常用的方法之一。 5、判别式法与韦达定理 一元二次方程ax2+bx+c=0(a、b、c属于R，a0)根的判别，△=b2-4ac，不仅用来判定根的性质，而且作为一种解题方法，在代数式变形，解方程(组)，解不等式，研究函数乃至几何、三角运算中都有非常广泛的应用。韦达定理除了已知一元二次方程的一个根，求另一根;已知两个数的和与积，求这两个数等简单应用外，还可以求根的对称函数，计论二次方程根的符号，解对称方程组，以及解一些有关二次曲线的问题等，都有非常广泛的应用。 6、构造法 在解题时，我们常常会采用这样的方法，通过对条件和结论的分析，构造辅助元素，它可以是一个图形、一个方程(组)、一个等式、一个函数、一个等价命题等，架起一座连接条件和结论的桥梁，从而使问题得以解决，这种解题的数学方法，
初中数学10大解题方法及典型例题详解 1、配方法 所谓配方，就是把一个解析式利用恒等变形的方法，把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数次幂的和形式。通过配方解决数学问题的方法叫配方法。其中，用的最多的是配成完全平方式。配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，它的应用十分非常广泛，在因式分解、化简根式、解方程、证明等式和不等式、求函数的极值和解析式等方面都经常用到它。 例题： 用配方法解方程x2+4x+1=0，经过配方，得到( ) A．(x+2) 2=5 B．(x－2) 2=5 C．(x－2) 2=3 D．(x+2) 2=3 【分析】配方法：若二次项系数为1，则常数项是一次项系数的一半的平方，若二次项系数不为1，则可先提取二次项系数，将其化为1后再计算。【解】将方程x2+4x+1=0， 移向得：x2+4x=－1， 配方得：x2+4x+4=－1+4， 即(x+2) 2=3； 因此选D。 2、因式分解法 因式分解，就是把一个多项式化成几个整式乘积的形式。因式分解是恒等变形的基础，它作为数学的一个有力工具、一种数学方法在代数、几何、三角等的解题中起着重要的作用。因式分解的方法有许多，除中学课本上介绍的提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等外，还有如利用拆项添项、求根分解、换元、待定系数等等。 例题： 若多项式x2+mx-3因式分解的结果为（x-1）（x+3），则m的值为（）A．-2 B．2 C．0 D．1 【分析】根据因式分解与整式乘法是相反方向的变形，先将（x-1）（x+3）乘法公式展开，再根据对应项系数相等求出m的值。
【解】∵x2+mx-3因式分解的结果为（x-1）（x+3）， 即x2+mx-3=（x-1）（x+3）， ∴x2+mx-3=（x-1）（x+3）=x2+2x-3， ∴m=2； 因此选B。 3、换元法 换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法。我们通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子，使它简化，使问题易于解决。 例题： 已知(x2+y2+1)(x2+y2+3)=8，则x2+y2的值为（） A．-5或1 B．1 C．5 D．5或-1 【分析】解题时把x2+y2当成一个整体来考虑，再运用因式分解法就比较简单【解】设x2+y2=t，t≥0，则原方程变形得 (t+1)(t+3)=8，化简得： (t+5)(t-1)=0， 解得：t 1=-5，t 2 =1 又t≥0 ∴t=1 ∴x2+y2的值为只能是1． 因此选B． 4、判别式法与韦达定理 一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c属于R，a≠0）根的判别，△=b2-4ac，不仅用来判定根的性质，而且作为一种解题方法，在代数式变形，解方程(组)，解不等式，研究函数乃至几何、三角运算中都有非常广泛的应用。 韦达定理除了已知一元二次方程的一个根，求另一根；已知两个数的和与积，求
在中考数学解题的时候，经常会碰到一些困难的题目，而往往很多考生在这些难题中浪费了大量的时间，导致中考分数低。所以，我们在中考的时候，就需要掌握一些中考的解题技巧，来解决这些事情。 中考的解题技巧还是很多的，下面我们就来看看其中一些比较重要的。 首先，审题时注意力要集中，思维应直接指向试题，力争做到眼到、心到、手到。审题时，应弄清已知条件、所求结论，同时在短时间内汇集有关概念、公式、定理，用综合法、或分析法、或两头凑的方法，探索解题途径。特别注意已知条件所设的陷阱，仔细审题，认真分析是否该分类讨论，以免丢解。 其次，在答题顺序上，应逐题进行解答,由易到难。要正确迅速地完成选择题和填空题，有效利用时间，为顺利完成中档题和压轴题奠定基础。在逐题进行解答时，遇到一时解不出的题应先放下(别忘了做记号，以免落题)，把会解的题目都做完后，再回来把留下的疑难逐一解决。 第三，遇到平时没见过的题目，不要慌，稳定好情绪。题目貌似异常，其实都出自原本。要冷静回想它与平时见过的题目、书本中的知识有哪些关联。要相信自己的功底，多方寻找思路，便能豁然得释。切忌对着题发呆不敢下手，有时动笔做一做或者画一画，就图形进行相应地分析，也就做出来了。尽可能解答一步是一步，不放过多得一分的机会。 第四，解综合题时，应步步为营，稳扎稳打，否则前面错了，后面即使方法对了，也得分甚少。
最后，注意认真检查，如感觉某题答错了，不能盲目去改，要十分冷静地重新审题，仔细研究，确定此时思路正确，再动笔去改，因为此时易把正确的改错了，尽量减少失误。检查在数学考试中尤为重要，它是减少失误的最有效途径。 另外，面对冲刺中考，本文为大家准备了中考数学答题的指导方法。 1、配方法 所谓配方，就是把一个解析式利用恒等变形的方法，把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数次幂的和形式。通过配方解决数学问题的方法叫配方法。其中，用的最多的是配成完全平方式。配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，它的应用十分非常广泛，在因式分解、化简根式、解方程、证明等式和不等式、求函数的极值和解析式等方面都经常用到它。 2、因式分解法 因式分解，就是把一个多项式化成几个整式乘积的形式。因式分解是恒等变形的基础，它作为数学的一个有力工具、一种数学方法在代数、几何、三角等的解题中起着重要的作用。因式分解的方法有许多，除中学课本上介绍的提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等外，还有如利用拆项添项、求根分解、换元、待定系数等等。 3、换元法换元法
2019-2020年中考数学专题突破训练相似三角形含考点分类汇编详解 一、选择题(每小题3分，共27分) 1．(2017·兰州)已知2x ＝3y(y>0)，则下面结论成立的是( A ) A .x y ＝32 B .x 3＝2y C .x y ＝23 D .x 2＝y 3 2．(2017·重庆B )已知△ABC ∽△DEF ，且相似比为1∶2，则△ABC 与△DEF 的面积比为( A ) A ．1∶4 B ．4∶1 C ．1∶2 D ．2∶1 3．(2017·杭州)如图，在△ABC 中，点D ， E 分别在边AB ，AC 上，DE ∥BC ，若BD ＝2AD ，则( B ) A .AD A B ＝12 B .AE E C ＝12 C .A D EC ＝12 D .D E BC ＝12 第3题图 第4题图 4．(2017·恩施州)如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，∠ADE ＝∠EFC ，AD ∶BD ＝5∶3，CF ＝6，则DE 的长为( C ) A ．6 B ．8 C ．10 D ．12 (导学号 58824155) 5．(2017·绥化)如图，△A ′B ′C ′是△ABC 以点O 为位似中心经过位似变换得到的，若△A′B′C′的面积与△ABC 的面积比是4∶9，则OB′∶OB 为( A ) A ．2∶3 B ．3∶2 C ．4∶5 D ．4∶9 第5题图 第6题图 6．(2017·哈尔滨)如图，在△ABC 中，D 、E 分别为AB 、AC 边上的点，DE ∥BC ，点F 为BC 边上一点，连接AF 交DE 于点G ，则下列结论中一定正确的是( C )
2020中考数学复习突破与提升专题提升练习 （五类常用数学思想分类汇编） 类型一整体思想 1. (2019·宁波)小慧去花店购买鲜花,若买5枝玫瑰和3枝百合,则她所带的钱还剩下10元;若买3枝玫瑰和5枝百合,则她所带的钱还缺4元.若只买8枝玫瑰,则她所带的钱还剩下( ) A.31元 B.30元 C.25元 D.19元 2.(2019·内江)若x,y,z为实数,且{x+2y-z=4, x-y+2z=1,则代数式x2-3y2+z2的 最大值是. 3.(2019·厦门思明区模拟)“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理,是我国古代数学的骄傲.如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形.设直角三角形较长的直角边长为a,较短直角边长为b,若(a+b)2=21,大正方形的面积为13,则小正方形的面积为. 4. .(2018·常德)5个人围成一个圆圈做游戏,游戏的规则是:每个人心里都想好一个实数,并把自己想好的数如实地告诉他相邻的两个人,然后每个人将他相邻的两个人告诉他的数的平均数报出来,若报出来的数如图所示,则报4的人心里想的数是.
类型二转化思想 1. (2019·河南开封模拟)运用图形变化的方法研究下列问题:如图,AB是☉O的直径,CD,EF是☉O的弦,且AB∥CD∥EF,AB=10, CD=6,EF=8,则图中阴影部分的面积是( ) A. π B.10π C.24+4π D.24+5π 2. (2018·上海)通过画出多边形的对角线,可以把多边形内角和问题转化为三角形内角和问题.如果从某个多边形的一个顶点出发的对角线共有2条,那么该多边形的内角和是度. 3.(2019·十堰)如图,AB为半圆的直径,且AB=6,将半圆绕点A顺时针旋转60°,点B旋转到点C的位置,则图中阴影部分的面积为. 4. 如图,正方形ABCD和Rt△AEF,AB=5,AE=AF=4,连接BF,DE.若△AEF绕点A旋 = . 转,当∠ABF最大时,S △ADE 5.(2019·宝安模拟)如图,已知圆柱的底面周长为6,高AB=3,小虫在圆柱表面爬行,从C点爬到对面的A点,然后再沿另一面爬回C点,则小虫爬行的最短路程为.
2020中考数学解题思路与方法汇总 初中数学解题方法与技巧 要学好数学，学会解题是关键。在进行解题的过程中，不仅需要加强必要的训练，其还要掌握一定的解题规律与技巧。 一、数学思想方法在解题中有不可忽视的作用 解题的学习过程通常的程序是：阅读数学知识，理解概念;在对例题和老师的讲解进行反思，思考例题的方法、技巧和解题的规范过程;然后做数学练习题。 基本题要练程序和速度;典型题尝试一题多解开发数学思维;最后要及时总结反思改错，交流学习好的解法和技巧。著名的数学教育家波利亚说“如果没有反思，就错过了解题的的一次重要而有意义的方面。” 教师在教学设计中要让解学生好数学问题，就要对数学思想方法有清楚的认识，才能更好的挖掘题目的功能，引导学生发现总结题目的解法和技巧，提高解题能力。 1.函数与方程的思想 函数与方程的思想是中学数学最基本的思想。所谓函数的思想是指用运动变化的观点去分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，再运用函数的图像与性质去分析、解决相关的问题。而所谓方程的思想是分析数学中的等量关系，去构建方程或方程组，通过求解或利用方程的性质去分析解决问题。 2.数形结合的思想 数与形在一定的条件下可以转化。如某些代数问题、三角问题往往有几何背景，可以借助几何特征去解决相关的代数三角问题;而某些几何问题也往往可以通过数量的结构特征用代数的方法去解决。因此数形结合的思想对问题的解决有举足轻重的作用。 3.分类讨论的思想 分类讨论的思想之所以重要，原因一是因为它的逻辑性较强，原因二是因为它的知识点的涵盖比较广，原因三是因为它可培养学生的分析和解决问题的能力。原因四是实际问题中常常需要分类讨论各种可能性。
中考数学十大解题思路之反证法 一、选择题 1否定结论“至多有两个解”的说法中，正确的是（） A.有一个解 B.有两个解 C .至少有三个解D .至少有两个解 ［答案］C ［解析］在逻辑中“至多有n个”的否定是“至少有n+ 1个”,所以“至多有两个解”的否定为“至 少有三个解” 故应选C. 2?否定“自然数a、b、c中恰有一个偶数”时的正确反设为（） A. a、b、c都是奇数 B . a、b、c或都是奇数或至少有两个偶数 C. a、b、c都是偶数 D . a、b、c中至少有两个偶数 ［答案］B ［解析］a, b, c三个数的奇、偶性有以下几种情况：①全是奇数；②有两个奇数，一个偶数；③有一 个奇数，两 个偶数；④三个偶数.因为要否定②，所以假设应为“全是奇数或至少有两个偶数”.故应选B. 3.用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时，反设正确的是（） A.假设三内角都不大于60° B .假设三内角都大于60 ° C.假设三内角至多有一个大于60° D .假设三内角至多有两个大于60° ［答案］B ［解析］“至少有一个不大于”的否定是“都大于60°”.故应选B. 4.用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程ax2+ bx+ c = 0（a工0）有有理根，那么a, b, c中至少 有一个是偶 数” 下列假设正确的是（) 时， A.假设a, b, c都是偶数 B .假设a、b, c都不是偶数
C.假设a, b, c至多有一个偶数 D .假设a, b, c至多有两个偶数 ［答案］B 9.用反证法证明命题在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45 °”时，应先假设（)