中考数学十大解题思路之构造法.doc

构造法在初中数学中的应用所谓构造法就是根据题设条件或结论所具有的特征和性质，构造满足条件或结论的数学对象，并借助该对象来解决数学问题的思想方法。

构造法是一种富有创造性的数学思想方法。

运用构造法解决问题，关键在于构造什么和怎么构造。

充分地挖掘题设与结论的内在联系，把问题与某个熟知的概念、公式、定理、图形联系起来，进行构造，往往能促使问题转化，使问题中原来蕴涵不清的关系和性质清晰地展现出来，从而恰当地构造数学模型，进而谋求解决题目的途径。

下面介绍几种数学中的构造法：一、构造方程构造方程是初中数学的基本方法之一。

在解题过程中要善于观察、善于发现、认真分析，根据问题的结构特征、及其问题中的数量关系，挖掘潜在已知和未知之间的因素，从而构造出方程，使问题解答巧妙、简洁、合理。

1、某些题目根据条件、仔细观察其特点，构造一个"一元一次方程" 求解，从而获得问题解决。

例1：如果关于x的方程ax+b=2（2x+7）+1有无数多个解，那么a、b的值分别是多少？解：原方程整理得（a-4）x=15-b∵此方程有无数多解，∴a-4=0且15-b=0分别解得a=4，b=152、有些问题，直接求解比较困难，但如果根据问题的特征，通过转化，构造"一元二次方程"，再用根与系数的关系求解，使问题得到解决。

此方法简明、功能独特，应用比较广泛，特别在数学竞赛中的应用。

3、有时可根据题目的条件和结论的特征，构造出方程组，从而可找到解题途径。

例3：已知3，5，2x，3y的平均数是4。

20，18，5x，-6y的平均数是1。

求的值。

分析：这道题考查了平均数概念，根据题目的特征构造二元一次方程组，从而解出x、y的值，再求出的值。

二、构造几何图形1、对于条件和结论之间联系较隐蔽问题，要善于发掘题设条件中的几何意义，可以通过构造适当的图形把其两者联系起来，从而构造出几何图形，把代数问题转化为几何问题来解决．增强问题的直观性，使问题的解答事半功倍。

十、构造法解数学问题时，常规的思考方法是由条件到结论的定向思考，但有些问题用常规的思维方式来寻求解题途径却比较困难，甚至无从着手。

在这种情况下,经常要求我们改变思维方向，换一个角度去思考从而找到一条绕过障碍的新途径。

历史上有不少著名的数学家，如欧几里得、欧拉、高斯、拉格朗日等人，都曾经用“构造法”成功地解决过数学上的难题。

数学是一门创造性的艺术，蕴含着丰富的美,而灵活、巧妙的构造令人拍手叫绝，能为数学问题的解决增添色彩，更具研究和欣赏价值。

近几年来，构造法极其应用又逐渐为数学教育界所重视，在数学竞赛中有着一定的地位。

构造需要以足够的知识经验为基础，较强的观察能力、综合运用能力和创造能力为前提，根据题目的特征，对问题进行深入分析，找出“已知”与“所求（所证）”之间的联系纽带，使解题另辟蹊径、水到渠成。

用构造法解题时，被构造的对象是多种多样的，按它的内容可分为数、式、函数、方程、数列、复数、图形、图表、几何变换、对应、数学模型、反例等，从下面的例子可以看出这些想法的实现是非常灵活的，没有固定的程序和模式，不可生搬硬套。

但可以尝试从中总结规律：在运用构造法时，一要明确构造的目的，即为什么目的而构造；二要弄清楚问题的特点，以便依据特点确定方案，实现构造。

再现性题组 1、求证： 31091022≥++=x x y （构造函数） 2、若x > 0, y > 0, x + y = 1，则42511≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+y y x x （构造函数） 3、已知01a <<，01b <<，求证：22)1()1()1()1(22222222≥-+-+-+++-++b a b a b a b a（构造图形、复数）4、求证：9)9(272≤-+x x ，并指出等号成立的条件。

（构造向量）5、已知：a>0、b>0、c>0 ,求证：222222c ac a c bc b b ab a ++≥+-++-当且仅当ca b 111+=时取等号。

CBAD CBAME DCBA九年级中考数学思维训练——构造法“构造法”是武汉市近几年中考的热点，它对学生常规常法的训练要求很高，并能灵活的运用. 本案例就平时积累的自编自改的题目，谈谈构造法如何解决问题，仅供参考.一、全等与相似的相互转换例1、如图，△ACD 中，AD ＝3，CDBC ⊥AC 于C ，AC =BC ，求BD 的最大值.简解：作CE ⊥CD ，且CE =CD⇒2BCD ACEDE ∆≅∆⎧⎪⎨==⎪⎩，∴AE =BD ，又∵AD -DE ≤AE ≤AD+DE ，∴1≤BD ≤5.变式：如图，△ACD 中，AD，CD＝BC ⊥AC 于C ，AC =2BC ，求BD 的最大值.简解：作CE ⊥CD ，CE =2CD⇒BCD ACEDE ∆∆⎧⎪⎨==⎪⎩ ∴AE =2BD ，又∵AD -DE ≤AE ≤AD+DE ，∴0≤AE≤∴0≤BD.例2、如图，五边形ABCDE 中，∠BCD =∠BAE =90°，CB = CD ，AB ＝3，AE ＝4，连AC ，M 在DE 上，且∠CAM =45°，求DMEM.MED CBAEDC BAPCBA作CF ⊥CA 交直线AM 于F ，⇒CDF CBA ∆≅∆，∴DF =BA=3，易证DF ∥AE ，∴DM EM =DF AE =34变式：如图，五边形ABCDE 中，∠BCD =∠BAE =90°，CB = CD ，AB ＝AE ，连AC ，M 在DE 上，AC ＝10，且∠CAM =45°，求五边形ABCDE 的面积.简解：作CF ⊥CA 交直线AM 于F ，⇒CDF CBA ∆≅∆，∴DF =BA=AE ，⇒DFM EAM ∆≅∆，∴A C F A B C D E S S ∆=五边形 而11010=502ACF S ∆=⨯⨯，∴=50ABCDE S 五边形.二、全等三角形的构建例3、如图，四边形ABCD 中，对角线相交于E ，且E 为对角线BD 的中点， ∠DAE =45°，∠BCE =135°，若CE =1， BC=，则AC = .简解：作DM ⊥DA 于D ，⇒ADM ∆为等腰直角三角形，且DM ∥CB ，易证DME BCE ∆≅∆，∴DM =BC=， 再作DN ⊥AC 于N ，可得MN =3，∴AC =8.例4、等腰直角△ACB ，BC = AC=4，∠ACB =90°，P 为△ACB 内一点，连BP 若∠CBP =∠PCB =15°，求P A 的长(两种构建思维)；简解：思考一：作BF ⊥CP 于F ，作AE ⊥CP 于E ，易证：BFC CEA ∆≅∆.∴BF =CE =m ，可得PB =PC=2m ，∴CE = PE =m ，∴P A = CA=4.Q EDCAβαQPEDCBAFEDA思考二：作等边△EPC，证：CPB CEA PEA∆≅∆≅∆∴P A= CA=4.三、构建平行线截比或者辅助圆例5、如图：点B在线段AC上，D，E在AC同侧，∠A=∠C=90°，BD⊥BE，AD= BC，AD=3，CE=5.P为A，B(与A，B不重合)上，且DP⊥PQ交直线BE于Q，求DP PQ.简解：思考一：作PF∥BD，∴DFBP=DABA=35，易证：PDF QPB∆∆，∴DFBP=DPPQ，而∴DFBP=DAAB=35，∴DPPQ=35.思考二：四点共圆∵∠DPQ=∠DBQ=90°，∴∠α=∠β，而tan∠α=DAAB=35，tan∠β=DPPQ=35.例6、如图：点B在线段AC上，D，E在AC同侧，∠A=∠C=90°，AD= BC ，CD⊥BE于F，连AF.求证：tan∠AFB=AB BC.简解：思考一：作AQ⊥CD于Q，∴∠α=∠β，tan∠α=tan∠β，易证：CQA EFC∆≅∆∴AQ=CF，而tan∠β=QF AQ，即tan∠β=QFAQ=QFCF，又∵BF∥AQ，∴QFCF=ABBC∴tan∠AFB=AB.FE DCBAF EDCBAFEDCBAFEDCBA思考二：四点共圆∵∠DAB=∠DFB =90°，∴可证∠ADB =∠AFB ，而tan ∠ADB =ABAD，易证：DAC BCE ∆≅∆ ∴AD = CB ，∴tan ∠ADB =AB AD =AB BC ，∴tan ∠AFB =AB AD =ABBC. 四、依托基本图形构建相似例7、□ABCD 中，AB =6，BC =8，E ，F 分别为BC ，AB 上的点，当∠DEF =∠B =60°，DF ⊥EF 于F ， 求AF 的长度(三种构建思维).由条件知：∠EFD =60°，∴EF ED =12. 思考一：作等边△BEQ ，易证：FQE ECD ∆∆ ，∴QF CE =QE CD =EF ED =12，∴QE =3，∴BE =3，CE =5，∴QF =2.5， ∴AF =0.5.思考二：作等边△CDM ，易证：FBE EMD ∆∆ ，∴FB EM =BE EM =EF ED =12，∴DM =DC =6，∴BE =3，ME =11，∴BF =5.5，∴AF =0.5.思考三：作EQ ⊥AB 于Q ，DM ⊥BC 于M ，易证：FQE EMD ∆∆ ，∴FQ EM =QE DM =EF ED =12，∴CM =3，∴DM =QE BE =3，∴QF =12EM =4，∴BF =5.5，∴AF =0.5.。

知识点拨【知识提要】1.代数构造；2.几何构造；3.其他一些构造。

【基本题型】1.证明存在符合题目条件的某个“事物”；2.说明某个“事物”的最大值或最小值（需要构造说明它存在）；3.其他一些杂题。

【解题技巧】1.构造一一对应方法；2.用组合数学的方法；3.极端的思想。

快乐热身【热身】求证：区间(0,1)上的实数和整个实数集中的实数一样多。

【解析】分析两个集合都有无穷多个实数，不能求出个数。

看起来，一条有限长的线段和一条无限长的直线里面的点不会一样多。

那么，要想说明两个无穷集合是一样大的，需要构造出一个一一对应的关系。

解令函数π()tanπ(01)2f x x x⎛⎫=-<<⎪⎝⎭，则易知()f x是从(0,1)到上的一一映射。

所第二讲构造法以，这两个集合里面的数一样多。

说明 证明两个集合的元素个数一样多（可能是无限集合），最常规的方法就是做一一对应。

热身完了，我们开始今天的课程吧！例题精讲【例 1】 用构造法求147464712...47...52515250515256 (52)⨯⨯⨯⨯++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯的值。

【解析】 分析 看起来是组合数的概率问题，可以构造一个模型。

解 分母出现52，那么考虑1到52的全排列。

第一个数是1的概率为152； 考虑第二项，4752是“前5项中没有出现1”的概率，且这显然与“第一个数是1”互斥；那么，475152⨯便是：前5项中没有出现1，且第一项为2的概率。

继续考虑第三项，4647505152⨯⨯⨯是前5项中没有出现1或2，且第一项为3的概率。

……最后一项是前5项中没有出现1，2，3，……，47，且第一项为48的概率。

综上所述，所求的数为第一项是前5项中最小的那项的概率，所以等于15。

说明 本题当然也可以用裂项法。

【例 2】 记n 为正整数，设n A 为数字和为n 且不含有1，3，4以外的数字的自然数个数，n B 为数字和为n 且不含有1，2以外的数字的自然数个数。