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第六章非对称特征值问题的计算方法这一章我们来介绍矩阵特征值和特征向量的计算方法。
大家知道，求一个矩阵的特征值问题实质上是求一个多项式的根的问题。
而数学上已经证明：5阶以上的多项式的根一般不能用有限次运算求得。
因此，矩阵特征值的计算方法本质上都是迭代的。
目前，已有不少非常成熟的数值方法用于计算矩阵的全部或部分特征值和特征向量。
而全面系统地介绍所有这些重要的数值方法，会远远超出我们这门课程的范围，因而这里我们仅介绍几类最常用的基本方法。
6·1 基本概念和性质设，一个复数称作是的一个特征值是指存在非零向量使得．复向量称作是关于特征值的特征向量．复数是Ａ的一个特征值的充分必要条件是，因而称多项式为Ａ的特征多项式．显然阶矩阵的特征多项式是一个首项系数为１的次多项式，而且有个特征值．记Ａ的特征值的全体为，通常称之为Ａ的谱集．假定有如下分解其中，，则称为的代数重数（简称重数）；而称数为的几何重数。
易知如果，则称是A的一个单特征值；否则，称是A的一个重特征值。
对于一个特征值，如果，则称其是A的一个半单特征值。
显然，单特征值必是半单特征值。
如果A的所有特征值都是半单的，则称A是非亏损的。
容易证明，A是非亏损的充分必要条件是A有个线性无关的特征向量（即A是可对角化矩阵）。
设．若存在非奇异阵使得则称Ａ与Ｂ是相似的，而上述变换称作是相似变换．若Ａ与Ｂ相似，则Ａ和Ｂ有相同的特征值，而且是Ａ的一特征向量的充分必要条件是是Ｂ的一个特征向量．这样，如果我们能够找到一个适当的变换矩阵，使Ｂ的特征值和特征向量易于求得，则我们就可立即得到Ａ的特征值和相应的特征向量．很多计算矩阵特征值和特征向量的方法正是基于这一基本思想而得到的．从理论上讲，利用相似变换可以将一个矩阵约化成的最简单形式是Jordan标准型，即有定理６·１·１（Jordan分解定理）设有个互不相同的特征值，其重数分别为，则必存在一个非奇异矩阵使得其中并且除了的排列次序可以改变外是唯一确定的。
非对称广义特征值问题的并行同伦-行列式算法非对称广义特征值问题是一个经典的数值线性代数问题，涉及到计算矩阵的广义特征值以及对应的特征向量。
在实际应用中，这个问题的规模往往很大，需要使用高效的并行算法来加速计算过程。
本文将介绍一种并行同伦-行列式算法来求解非对称广义特征值问题。
一、问题描述给定一个n阶矩阵A，广义特征值问题可以表示为Ax=λBx，其中B是一个非奇异的n阶对称正定矩阵，x是非零向量，λ是实数。
求解这个问题可以得到广义特征值λ和对应的特征向量x。
二、算法思想并行同伦-行列式算法是一种基于行列式计算的方法，通过计算矩阵行列式的变化来求解特征值问题。
算法的基本思路是通过同伦方法将原始的广义特征值问题转化为一系列的标准特征值问题（特征值问题中的B矩阵为单位阵）。
具体而言，通过引入一个可逆矩阵Q，将原始问题转化为：AQy=λy其中y=Qx，y是新的特征向量，Q是可逆矩阵。
对于新的特征值问题，可以使用标准的特征值求解算法来求解。
将得到的特征值记为μ，对应的特征向量为y，则原始特征值问题的解可以表示为x=Qy。
为了求解标准特征值问题，可以使用行列式计算的方法。
对于给定的矩阵C，可以通过计算其行列式来求解标准特征值。
并行同伦-行列式算法将利用这一性质来求解广义特征值问题。
三、算法流程并行同伦-行列式算法的基本流程如下：1.随机生成一个可逆矩阵Q；2.计算新的特征值问题AQy=μy，其中μ是一个待求解的特征值；3.将特征值问题转化为求解矩阵行列式的问题，即计算，AQ-μI，=0；4.采用并行行列式计算算法，对每个线程分配不同的行片段，使用LU分解方法计算行列式；5.对得到的特征值μ，使用标准特征值求解方法求解特征向量y；6.将得到的特征向量y转化为原始广义特征值问题的特征向量x，即x=Qy。
四、算法优势并行同伦-行列式算法相比于传统的解特征值问题的方法具有以下优势：1.并行计算：算法采用并行行列式计算算法，可以充分发挥多核计算机和分布式系统的计算能力，加速求解过程；2.可扩展性：算法可以适应不同规模的问题，只需要调整行片段的划分方式即可，具有较好的可扩展性；3.数值稳定性：算法使用LU分解方法计算行列式，避免了直接计算行列式的数值稳定性问题，能够在较大规模的问题上保持数值稳定性；4.适用范围广：算法适用于一般的非对称广义特征值问题，可以满足不同应用场景的需求。
幂法求特征值幂法求特征值是数值线性代数中最常见最重要的一种数值解法，它基于一类非对称矩阵求解方程的特征根以及相应的特征值。
为了求解非对称矩阵，需要进行一定的数值计算，可以使用幂法来求解。
幂法求特征值多用于工程中，可以实现对数值线性系统的迭代解法。
二、原理幂法求特征值是一种迭代法，也就是说，它是非对称矩阵特征值求解的迭代方法。
与快速特征分解（QR分解）相比，幂法求特征值的收敛速度更快，而且无需进行矩阵的分解，也不需要计算特征向量。
幂法求特征值的基本思想是以矩阵A的特征值λ等于矩阵A的本征矢向量的倍数的特殊性质为基础，通过迭代的方法，不断改变矩阵A的本征矢向量，最终收敛得到特征根和特征值。
首先，我们将定义一个矩阵A，矩阵A可以表示为：A= [a_{ij}]quad i,j=1,2,...,n其中，a_{ij}为矩阵A的系数，n为矩阵A的行数和列数。
然后，定义一个向量x，使x不为零向量，即：xeq0最后，定义一个参数κ，κ表示一个实数，表示迭代次数。
三、算法步骤（1）求解方程Ax=κ x，得到特征根κ；（2）利用矩阵A的性质，计算特征矩阵B，即B=A-κI，其中I是n阶单位矩阵；（3）计算向量x，利用Bx=0，求解出新的本征矢向量x；（4）重复第一步到第三步，直到本征矢x收敛，即误差ε≤阈值，最终求得特征根κ和特征矢x；（5）根据本征矩阵A=A-κI计算出特征值λ=κ，就可以得到矩阵A的特征根和特征值。
四、应用幂法求特征值在各种工程事件中有着广泛的应用，常用于求解大规模的线性系统，离散数学和最优化问题等。
比如，在金融工程和数值分析中，可以使用它来求解矩阵改变后值的解法，如果只是简单的改变矩阵，也能简捷而准确地求解出它的特征值。
幂法求特征值还常用于管理和工程类问题，例如，可以用它来有效地衡量系统中不同组件之间的关系，识别贡献者和参与者之间的影响力大小，进而更好地解决复杂的问题。
五、优势幂法求特征值的优势在于多方面。
