§6 广义特征值问题

线性代数中的广义特征值问题与广义特征向量线性代数是数学的一个重要分支领域，广义特征值问题与广义特征向量是线性代数中的关键概念。

本文将介绍广义特征值问题及其相关概念，并探讨其在实际应用中的重要性。

1. 特征值与特征向量在线性代数中，我们常常研究矩阵和向量的性质。

给定一个n阶方阵A，如果存在一个非零向量v，使得Av = λv，其中λ是一个常数，则我们称λ为矩阵A的特征值，v称为对应于特征值λ的特征向量。

2. 广义特征值问题在某些情况下，特征值问题的定义需要进行推广，这就引入了广义特征值问题。

广义特征值问题可以被描述为：对于一个n阶方阵A和一个非零向量v，存在一个矩阵B，使得Av = λBv，其中B是一个非零矩阵，λ是一个常数。

3. 广义特征向量根据广义特征值问题的定义，我们可以定义广义特征向量。

对于一个n阶方阵A和一个非零向量v，如果存在一个矩阵B使得Av = λBv，则称v为A的广义特征向量。

4. 广义特征值问题的求解广义特征值问题的求解与特征值问题类似，都需要找到矩阵A的特征值和特征向量。

通常，我们会使用特征值分解或者广义特征值分解来解决这个问题。

4.1 特征值分解特征值分解将一个矩阵A分解为A = PDP^(-1)的形式，其中D是对角矩阵，P是一个可逆矩阵。

对于广义特征值问题，我们可以通过广义特征值分解来求解。

4.2 广义特征值分解广义特征值分解将一个方阵A分解为A = PDP^(-1)，其中D是对角矩阵，P是一个可逆矩阵。

广义特征值分解的特征值和特征向量满足广义特征值问题的要求。

5. 广义特征值问题的应用广义特征值问题在实际应用中具有广泛的应用价值。

例如，在物理学中，广义特征值问题被用于描述量子力学中的粒子波函数。

在工程学中，广义特征值问题被用于描述振动和波动现象。

在计算机科学中，广义特征值问题被用于图像处理和模式识别。

总结：线性代数中的广义特征值问题与广义特征向量是重要的概念，通过对矩阵特征值问题的推广，我们可以解决更多实际问题。

广义特征值分解广义特征值分解（Generalized Eigenvalue Decomposition, GED）是一种重要的矩阵分解方法，常常被应用在信号处理、机器学习等领域中。

它能够将两个矩阵同时对角化，得到它们的特征向量和特征值。

在本文中，我们将对广义特征值分解做一个详细的讲解。

步骤一：理解特征值与特征向量在矩阵计算中，特征向量是指在矩阵进行线性变换后仍然保留其方向的向量。

特征值是与特征向量相关的标量，描述了该特征向量在变换中的“伸缩”程度。

一般来说，我们可以通过解决以下方程式来找到一个矩阵的特征向量和特征值：(A−λI)v=0其中，A是一个方阵，λ是一个标量，I是单位矩阵，v是特征向量。

步骤二：理解广义特征值分解在广义特征值分解中，我们要找到两个矩阵A和B的特征向量和特征值。

也就是说，我们需要解决以下方程式：Av=λBv其中，v是特征向量，λ是特征值。

将其转化为标准形式：(A−λB)v=0这样，我们就可以将两个矩阵同时对角化，得到它们的特征向量和特征值。

步骤三：寻找广义特征值分解在实际应用中，我们可以使用数值计算方法来寻找广义特征值分解。

这包括基于迭代算法的方法，如幂法、反幂法和雅可比迭代法等。

其中，幂法是最常用的方法之一，可以用来寻找矩阵的最大特征值和对应的特征向量。

雅可比迭代法则是另一个最常见的方法，可以用来寻找所有特征值和对应的特征向量。

步骤四：应用广义特征值分解广义特征值分解在实际应用中有很多用途。

例如，它可以用来处理分析较大的数据集、图像、信号等。

在信号处理领域中，可以将电磁波分解为多个频率的成分，在图像处理领域中，可以寻找图像的相似性和模式。

在机器学习领域中，广义特征值分解可以被用来进行降维和特征提取。

总之，广义特征值分解是一种非常有用的矩阵分解方法，在很多领域中都被广泛应用。

理解广义特征值分解的原理和寻找方法，将有助于我们更好地应用这种方法来解决实际问题。

线性代数中的广义特征值问题线性代数是数学的一个分支，主要研究向量、向量空间和线性变换等概念。

在线性代数的学习中，广义特征值问题是一个重要的概念。

本文将详细介绍广义特征值的概念、求解方法以及其在实际问题中的应用。

一、广义特征值的概念在传统的特征值问题中，我们考虑的是一个方阵A的特征值和特征向量。

特征值是一个标量，而特征向量是方阵A乘以该向量等于特征值乘以该向量。

然而，在某些情况下，方阵A可能是非方阵，这时候就需要考虑广义特征值问题。

广义特征值是非方阵的特征值。

设矩阵A为m×n维，特征向量x为n维列向量，特征值λ为标量。

则广义特征值问题可以表示为Ax = λBx，其中B为m维方阵。

为了求解该问题，需要考虑B的非奇异性。

二、广义特征值问题的求解方法解决广义特征值问题的方法有很多，下面介绍几种常用的方法。

1. 通用特征值问题的转化：将广义特征值问题转化为标准特征值问题。

这种方法适用于一些特殊情况，例如B是正定的或者B很接近一个正定矩阵时。

通过对矩阵进行相似变换，可以将广义特征值问题转化为标准特征值问题，从而利用已有的求解方法求解。

2. 修正特征值问题的求解：对于一些特殊的B矩阵，例如对称正定的B矩阵，可以利用修正特征值问题进行求解。

通过将广义特征值问题转化为修正特征值问题，进一步求解得到广义特征值。

3. 广义特征值问题的迭代法：迭代法是一种常用的数值求解方法，对于广义特征值问题也有相应的迭代算法。

例如广义幂法，可以通过迭代的方式逐渐逼近广义特征值问题的解。

三、广义特征值问题的应用广义特征值问题在实际问题中具有广泛的应用。

以下列举一些常见的应用领域。

1. 物理学中的应用：广义特征值问题在量子力学中有很多的应用。

例如，通过广义特征值问题可以求解量子力学中的能量本征值和波函数等。

2. 工程中的应用：广义特征值问题在结构动力学和振动工程中有着重要的应用。

通过求解广义特征值问题，可以得到结构物的固有频率和振型等信息，从而评估结构物的稳定性和安全性。

广义特征值问题的求解方法广义特征值问题是数学领域中的一个重要的问题，它在许多领域中都有着广泛的应用，如化学、物理、工程、金融等领域。

而求解广义特征值问题也有着多种方法，本文将从理论和实践两个方面来探讨广义特征值问题的求解方法。

一、理论方面1.1 基本概念广义特征值问题是解决形如Ax=λBx的问题，其中A和B均为n维实对称矩阵，x为n维向量，λ为待求的广义特征值。

当B为单位矩阵时，即A为普通特征值问题。

广义特征值问题与普通特征值问题相比，其解的包容性更强，更适用于复杂的实际问题。

1.2 特征值的性质广义特征值问题中的λ和x存在着多种性质。

首先，λ一般为复数，且具有二次代数方程的性质。

其次，x一般是正交矩阵的列向量，即任意两个列向量的点积为0，与单位矩阵的乘积等于其本身。

这也使得求解广义特征值问题能够采用正交化方法，即将矩阵A和B进行正交分解，得到一个对角矩阵D和一个正交矩阵Q，其中D的主对角线上的元素即为广义特征值，Q的列向量即为对应的广义特征向量。

1.3 求解方法广义特征值问题的求解方法主要有几种，包括迭代法、变形法、分解法、约减法等。

其中，迭代法是一种基于计算机的数值方法，能够通过收敛迭代来求解广义特征值和广义特征向量。

变形法和分解法则是基于代数和几何关系的方法，能够通过变形和分解来简化问题，进而求解广义特征值问题。

约减法则是基于矩阵特征的方法，能够通过矩阵的特征值和特征向量进行约减，将问题的规模降低到可解范围。

二、实践方面2.1 应用领域广义特征值问题在实际应用中有着广泛的应用领域。

在化学中，它可以用于研究分子的振动频率和各种化学反应的性质；在物理中，它可以用于研究材料的物理特性和电路的运行特性等；在工程中，它可以用于研究建筑结构的稳定性和机器组件的强度等；在金融领域中，它可以用于研究金融市场的风险特性和投资策略的优化等。

2.2 实际案例广义特征值问题在实践中的应用也有着很多的案例。

比如，在物理中，研究由离子织成的晶体结构时，就需要求解晶体的振动频率，以决定其稳定性。

广义特征值问题的数值求解算法广义特征值问题是数值线性代数中一个重要的问题，涉及到矩阵的特征值和特征向量的计算。

在实际应用中，广义特征值问题经常出现在工程、科学计算以及机器学习等领域。

本文将介绍一些常用的数值求解算法来解决广义特征值问题。

一、背景介绍广义特征值问题是求解形如Ax = λBx的问题，其中A和B是已知矩阵，x是特征向量，λ是特征值。

A和B可以是实对称矩阵、复对称矩阵、实正定矩阵、复正定矩阵等。

广义特征值问题的求解可以通过转化为普通特征值问题来实现。

二、常用求解算法1. 广义特征值问题的转化为了将广义特征值问题转化为普通特征值问题，可以使用Cholesky 分解、QR分解等方法。

其中，Cholesky分解适用于A和B都是实对称正定矩阵的情况，而QR分解适用于一般情况。

2. 广义特征值问题的迭代法Arnoldi迭代法和Lanczos迭代法是常用的广义特征值问题求解的迭代法。

这两种方法都是基于Krylov子空间的迭代，能够高效地求解大规模的广义特征值问题。

3. 广义特征值问题的直接法如果A和B的规模比较小，可以使用直接法求解广义特征值问题，例如LU分解、SVD分解等。

这种方法通常适用于规模不大的问题。

4. 广义特征值问题的特殊情况当A是实对称正定矩阵、B是单位矩阵时，广义特征值问题可以简化为普通特征值问题。

此时可以使用雅可比方法、幂迭代法等传统的特征值求解算法来解决。

三、算法性能评估为了评估广义特征值问题求解算法的性能，可以考虑以下指标：收敛速度、计算时间、内存消耗等。

实际应用中，需要根据具体的问题选择合适的算法，并根据需求进行性能评估和算法优化。

四、应用领域举例广义特征值问题的数值求解算法在各个领域都有广泛的应用。

例如，在结构力学中，用于求解振动频率和模态分析；在电力系统中，用于求解电力网络的特征频率；在机器学习中，用于求解矩阵的奇异值分解等。

这些应用都需要对广义特征值问题进行求解。

综上所述，广义特征值问题的数值求解算法是数值线性代数中的重要问题。

求广义特征向量的例题广义特征向量又称为广义特征值向量，它指的是一组由多个实数组成的列向量，广义特征向量可以说是一种非线性矩阵的特征向量。

它与传统的特征值向量的区别是，它是由一组实数构成的，而不仅仅是一组实数。

在特征向量理论中，它被称为特征值/特征向量，表示为{lambda_1,lambda_2,cdots,lambda_k}，可以用来描述矩阵的特征。

经典样例考虑下面的矩阵：$$A=begin{bmatrix}1&4&52&-3&73&0&-1end{bmatrix}$$ 显然，A矩阵的特征方程是下列公式：$$begin{split}lambda^3+(4lambda^2-10lambda+27)&=0lambda^2+(2lambda-9)&=0end{split}$$将特征方程分解，得到三个特征值：$$lambda_1=3, lambda_2=3, lambda_3=3$$接下来，求每个特征值对应的特征向量：对于$lambda_1=3$，特征方程有：$$(A-3I)vec{x}=0$$令 $x_2=1$，入上式得：$$begin{bmatrix}1&4&50&-6&73&0&-4end{bmatrix}vec{x}=0$$ $$x_1+4x_3=0,7x_3=-6$$$$vec{x}_1=begin{bmatrix}-411end{bmatrix}$$对于$lambda_2=3$，特征方程有：$$(A-3I)vec{x}=0$$令$x_1=1$，带入上式得：$$begin{bmatrix}0&4&52&-6&73&0&-4end{bmatrix}vec{x}=0$$ $$4x_2+5x_3=0,7x_3=-2$$$$vec{x}_2=begin{bmatrix}1-1/21/5end{bmatrix}$$ 对于$lambda_3=3$，特征方程有：$$(A-3I)vec{x}=0$$令$x_1=1$，带入上式得：$$begin{bmatrix}0&4&52&-6&70&0&-7end{bmatrix}vec{x}=0$$ $$4x_2+5x_3=0,7x_3=0$$$$vec{x}_3=begin{bmatrix}100end{bmatrix}$$综上所述，矩阵A的特征向量是：$$vec{x}_1=begin{bmatrix}-411end{bmatrix},vec{x}_2=begin{bm atrix}1-1/21/5end{bmatrix},vec{x}_3=begin{bmatrix}100end{bm atrix}$$该矩阵的特征向量组成的特征矩阵为：$$ X=begin{bmatrix}-4&1&11&-frac{1}{2}&frac{1}{5}1&0&0end{b matrix}$$求非线性矩阵的广义特征向量一般来说，求解非线性矩阵的广义特征向量不是一件容易的事情。

广义特征值问题的快速傅里叶变换法吴锋;徐小明;钟万勰【摘要】For generalized eigenvalue problems,a method based on the fast Fourier transform (FFT) was developed.In the proposed method,the dynamical structural response was viewed as a signal containing all information about the vibrational ing FFT to the signal,the vibrational frequencies can be obtained.The method is a kind of direct solution method which can compute all eigenvalues without the matrix inversion.A numerical example manifests the correctness of the proposed method.%针对广义特征值问题提出离散傅里叶变换法。

该方法把结构的动力响应看作是一种信号，利用快速傅里叶变换进行分析，从而得到结构的振动频率。

该方法避免对刚度矩阵求逆，可同时计算出所有的特征值，是一种直接方法。

数值算例验证了该方法的正确性。

【期刊名称】《振动与冲击》【年(卷),期】2014(000)022【总页数】6页(P67-71,77)【关键词】特征值;动态结构响应;快速傅里叶变换;采样【作者】吴锋;徐小明;钟万勰【作者单位】大连理工大学工业装备结构分析国家重点实验室，工程力学系，辽宁大连 116024;大连理工大学工业装备结构分析国家重点实验室，工程力学系，辽宁大连 116024;大连理工大学工业装备结构分析国家重点实验室，工程力学系，辽宁大连 116024【正文语种】中文【中图分类】O327;O214.6在工程中，结构振动频率分析和稳定分析都涉及到广义特征值问题。

计算实对称矩阵广义特征值问题的并行算法
魏立峰;李晓梅
【期刊名称】《计算机工程与应用》
【年(卷),期】2001(037)011
【摘要】矩阵广义特征值问题是科学计算与工程应用中的一个重要的研究课题.文章探讨了近年来计算对称矩阵广义特征值问题的并行算法,并着重介绍了二分法、分治算法、同伦连续法和迭代算法.
【总页数】3页(P4-5,105)
【作者】魏立峰;李晓梅
【作者单位】国防科技大学计算机学院;国防科技大学计算机学院
【正文语种】中文
【中图分类】TP301.6
【相关文献】
1.广义特征值问题与两线性流形之间夹角的计算 [J], 张圣贵
2.非对称广义特征值问题的并行算法 [J], 谢敖文;曾孟佳
3.实对称矩阵束广义特征值逆问题及其最佳逼近 [J], 吴筑筑
4.实对称矩阵广义特征值反问题 [J], 戴华
5.广义特征值问题的EBE－Lanczos并行算法 [J], 周树荃;邓绍忠
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。

函数的广义特征值与广义特征向量定义设A∈C n×n,B∈C n×n，则称λ∈C是A与B的广义特征值，且存在非零向量x∈C n，满足：Ax=λBx则称x是λ对应的广义特征向量。

性质1.广义特征值和广义特征向量都是矩阵A和B的特征值和特征向量。

2.如果λ是A和B的广义特征值，则−λ也是A和B的广义特征值。

3.如果λ1,λ2,⋯,λk是A和B的广义特征值，则λ1+λ2+⋯+λk是A+B的特征值。

4.如果λ1,λ2,⋯,λk是A和B的广义特征值，则λ1λ2⋯λk是AB的特征值。

求法求广义特征值和广义特征向量的方法有两种：直接求法和间接求法。

直接求法直接求法是将Ax=λBx改写成齐次线性方程组：(A−λB)x=0然后求解该方程组的非零解，求出的非零解就是广义特征向量，对应的λ就是广义特征值。

间接求法间接求法是先求出A和B的特征值和特征向量，然后将这些特征值和特征向量代入Ax=λBx中，求出λ和x即可。

应用广义特征值和广义特征向量在许多领域都有应用，例如：•线性代数：广义特征值和广义特征向量用于求解矩阵的特征值和特征向量。

•微分方程：广义特征值和广义特征向量用于求解齐次线性微分方程的解。

•振动理论：广义特征值和广义特征向量用于求解振动系统的特征频率和振型。

•控制理论：广义特征值和广义特征向量用于求解控制系统的特征值和特征向量。

广义特征值与广义特征向量在矩阵理论中的应用在矩阵理论中，广义特征值和广义特征向量有着广泛的应用。

例如，在求解矩阵的特征值和特征向量时，如果矩阵不可对角化，则可以使用广义特征值和广义特征向量来求解。

此外，在求解矩阵的秩、行列式、逆矩阵等性质时，也可以使用广义特征值和广义特征向量。

广义特征值与广义特征向量在微分方程理论中的应用在微分方程理论中，广义特征值和广义特征向量也具有重要的应用。

例如，在求解齐次线性微分方程的解时，可以使用广义特征值和广义特征向量来构造解的通式。

此外，在求解非齐次线性微分方程的解时，也可以使用广义特征值和广义特征向量来构造非齐次微分方程的解的特殊解。

广义特征值问题求解的改进Ritz向量法
李秀梅;吴锋
【期刊名称】《振动与冲击》
【年(卷),期】2012(031)007
【摘要】从提高算法的稳定性和计算效率入手,采取迭代及防止漏根、多根的措施,对传统的Ritz向量法进行改进,提出改进的Ritz向量法.此算法仅需生成r维的Krylov空间,大大降低投影矩阵阶数,减少投影矩阵特征值计算时间.引入重正交方案和模态比较法,并给出Ritz向量块宽q与生成步数r的建议取值.最后通过四参数的谱变换法,不但提高了该算法的稳定性和计算效率,也拓宽了Ritz向量法的适用范围.并用算例证明该算法的优越性.
【总页数】5页(P19-23)
【作者】李秀梅;吴锋
【作者单位】广西大学土木建筑工程学院,南宁530004;大连理工大学工程力学系,大连116023
【正文语种】中文
【中图分类】TU311.3
【相关文献】
1.逐个加入初始向量的Ritz向量法 [J], 徐稼轩
2.求解广义特征值问题的多重Ritz向量法 [J], 黄吉锋
3.改进Ritz向量法在动态子结构分析中的应用 [J], 曲乃泗;吴全军
4.大型广义特征值问题的部分特征值和特征向量的块迭代求解 [J], 赵小红;陈飞武;吴健;周巧龙
5.求解广义特征值近似支持向量机的反幂法 [J], 陈佳伟;唐嘉
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。

广义特征值摄动问题的一种通用方法
刘济科;张宪民
【期刊名称】《西北工业大学学报》
【年(卷),期】1995(013)003
【摘要】研究了结构动力分析中广义特征值问题的矩阵摄动法。

根据逐次逼近的思想，提出了一种能同时处理孤立特征值、相近特征值及相重特征值三种不同情况的摄动问题的通用方法。

推导过程简单，公式紧凑，且具有足够的精度。

计算实例证实了本文方法的有效性。

【总页数】4页(P336-339)
【作者】刘济科;张宪民
【作者单位】不详;不详
【正文语种】中文
【中图分类】O327
【相关文献】
1.线性广义特征值问题重分析的分步摄动法 [J], 冯振东;吕振华
2.广义复特征值摄动问题的逐步逼近法 [J], 刘济科;徐伟华;杨宏彦
3.广义特征值摄动问题的逐步逼近法 [J], 刘济科;高磊
4.基于随机摄动方法的广义随机复特征值问题研究 [J], 仇翯辰;樊维超
5.复模态摄动问题的一种通用方法 [J], 徐伟华;刘济科
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。

具有附加质量矩阵的广义特征值问题的近似解法
楼梦麟
【期刊名称】《大连理工大学学报》
【年(卷),期】1992(032)002
【摘要】在实际工程中常常遇到具有附加质量矩阵的广义特征值问题，本文介绍
一个求解这一问题的简捷计算方法。

应用这一算法，可以利用原广义特征值问题
的解，通过迭代求解一个规模很小的线性代数方程组获得新特征值问题的近似解，从而能有效地减少计算时间。

这一方法对于具有附加质量矩阵形式的大型结构的
特征值问题十分有效。

算例结果表明：一般只需迭代１～２次就可以获得精度很
高的计算成果。

【总页数】6页(P231-236)
【作者】楼梦麟
【作者单位】无
【正文语种】中文
【中图分类】TV642.46
【相关文献】
1.子矩阵约束下广义反中心对称矩阵的广义特征值反问题 [J], 王小雪;程宏伟;杨琼琼;周硕
2.Orr—Sommerfeld方程数值解法中的复广义矩阵特征值问题 [J], 孙德军;童秉
纲
3.由部分特征值和顺序主子阵构造广义Jacobi矩阵的逆特征值问题 [J], 潘云兰;
秦立
4.由特征值和顺序主子阵构造广义Jacobi矩阵的逆特征值问题 [J], 徐秀斌;秦立
5.广义自反矩阵与广义反自反矩阵的广义逆特征值问题 [J], 刘能东;张忠志
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。