【含高考模拟卷16套】黑龙江省双鸭山市第一中学2020-2021学年高考压轴卷数学试卷含解析

【全国百强校】黑龙江省双鸭山市第一中学2020-2021学年高二4月月考数学（理）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．由①安梦怡是高二（1）班的学生，②安梦怡是独生子女，③高二（1）班的学生都是独生子女，写一个“三段论”形式的推理，则大前提，小前提和结论分别为（ ） A ．②①③ B ．②③① C ．①②③ D ．③①② 2．设i 为虚数单位，复数121i,z 2i 1z =-=- ，则复数12z z 在复平面上对应的点在( ). A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3．已知函数()2ln 241f x x x x =+-+，则函数()f x 的图象在1x =处的切线方程为（ ）A ．20x y -+=B ．20x y +-=C ．20x y --=D ．20x y ++=4．一物体在力F(x)＝2x ＋3(x 的单位：m ，F 的单位：N)的作用下，沿着与力F 相同的方向，从x ＝1运动到x ＝4处，求力F(x)所做的功．（ ）A ．24B ．25C ．26D ．275．用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时，反设是. （ ）A ．三内角至少有一个小于60°B ．三内角只有一个小于60°C ．三内角有三个小于60°D ．三内角都大于60度6．已知函数()y f x =，其导函数()y f x '=的图象如图，则对于函数()y f x =的描述正确的是（ ）A ．在(),0-∞上为减函数B ．在0x =处取得最大值C ．在()4,+∞上为减函数D ．在2x =处取得最小值7．曲线y ＝x 2与曲线y ＝所围成的封闭图形的面积为 ( )A ．643B ．1283C ．483D ．14438．在侦破某一起案件时，警方要从甲、乙、丙、丁四名可疑人员中查出真正的嫌疑人，现有四条明确信息：（1）此案是两人共同作案；（2）若甲参与此案，则丙一定没参与；（3）若乙参与此案，则丁一定参与；（4）若丙没参与此案，则丁也一定没参与.据此可以判断参与此案的两名嫌疑人是（ ）A ．丙、丁B ．乙、丙C ．甲、乙D ．甲、丁9．设f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当x ＜0时，f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )>0，且f (3)＝0，则不等式()()0f x g x <的解集是( ) A ．(－3,0)∪(3，＋∞)B ．(－3,0)∪(0,3)C ．(－∞，－3)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(0,3)10．如图，第1个图形由正三角形扩展而成，共12个顶点.第n 个图形是由正n+2边形扩展而来 ，则第n+1个图形的顶点个数是 ( )（1） （2）（3）（4）A ．(2n+1)(2n+2)B ．3(2n+2)C ．(n+2)(n+3)D ．(n+3)(n+4)11．已知函数()f x lnx x k =-++，在区间1[,]e e上任取三个实数a ，b ，c 均存在以(),(),()f a f b f c 为边长的三角形，则实数k 的取值范围是( )A ．(,1)-∞-B ．(,3)e -∞-C ．(1,)-+∞D ．(3,)e -+∞二、填空题12．计算：0=⎰________．13．已知复数23i z i i -=+，则z =___________； 14．若函数f(x)＝lnx ＋x 2+ax 在定义域内为增函数，则实数a 的取值范围是________________．15．在等差数列{a n }中，若a 9=0，则有等式a 1+a 2+⋅⋅⋅+a n =a 1+a 2+⋅⋅⋅+a 17−n (n <17, n ∈N ∗)成立，类比上述性质，在等比数列{b n }中，若b 7=1，则有等式______________ .16．对于任意的实数[]1,x e ∈，总存在三个不同的实数[]1,4y ∈-，使得21ln 0y y xe ax x ---=成立,则实数a 的取值范围为__________三、解答题17．（1）求函数32()31f x x x =-+的极小值；（2）求函数2()2ln g x x x =-的单调减区间.18．某社会研究机构，为了研究大学生的阅读习惯，随机调查某大学40名不同性别的大学生在购买食物时是否读营养说明，其中男女各一半，男生中有45表示会读，女生中有35表示不会读. （1）根据调查结果，得到如下2╳2列联表：（2）根据以上列联表，进行独立性检验，能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为性别与是否读营养说明之间有关系？19．在如图所示的多面体中，EF ⊥平面AEB ，AE EB ⊥，//AD EF ，//EF BC ，4BC =，3EF =，2AD AE BE ===，G 是BC 的中点.（1）求证：BD EG ⊥；（2）求二面角G DE F --的平面角的余弦值.20．节能灯的质量通过其正常使用时间来衡量，使用时间越长，表明质量越好，且使用时间大于或等于6千小时的产品为优质品．现用A ，B 两种不同型号的节能灯做试验，各随机抽取部分产品作为样本，得到试验结果的频率分布直方图如图所示．以上述试验结果中使用时间落入各组的频率作为相应的概率．（1）现从大量的A ，B 两种型号节能灯中各随机抽取两件产品，求恰有两件是优质品的概率；（2）已知A 型节能灯的生产厂家对使用时间小于6千小时的节能灯实行“三包”．通过多年统计发现，A 型节能灯每件产品的利润y(单位：元)与其使用时间t(单位：千小时)的关系如下表：若从大量的A 型节能灯中随机抽取两件，其利润之和记为X(单位：元)，求X 的分布列及数学期望．21．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为F 1、F 2，离心率为12，且经过点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭. （1）求椭圆C 的方程；（2）动直线()():40l y k x k =-≠与椭圆C 相交于点M ，N ，椭圆C 的左右顶点为12,A A ,直线1A M 与2A N 相交于点G ，证明点G 在定直线上，并求出定直线的方程.22．已知函数()()1,xf x ax e a R =-∈. （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()()1g x a x =-，不等式()()g x f x >有且只有两个整数解，求a 的取值范围.参考答案1．D【分析】根据三段论推理的形式“大前提，小前提，结论”，根据大前提、小前提和结论的关系，即可求解.【详解】由题意，利用三段论的形式可得演绎推理的过程是：大前提：③高二（1）班的学生都是独生子女；小前提：①安梦怡是高二（1）班的学生；结论：②安梦怡是独生子女，故选D.【点睛】本题主要考查了演绎推理中的三段论推理，其中解答中正确理解三段论推理的形式是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.2．A【解析】由题意可得()()21212121213z z i i i i i i =--=--+=+ ， 即复数12z z 在复平面上对应的点()1,3 在第一象限.本题选择A 选项.3．C【解析】【分析】求出函数()2ln 241f x x x x =+-+的导函数，把1x =代入求出在1x =处的切线的斜率，然后根据点斜式求出切线方程，最后化成一般式。

黑龙江省高三模拟考试数学（理）试卷附答案解析班级:___________姓名：___________考号：___________一、单选题1．已知复数2z ai =-+(,a R i ∈是虚数单位)对应的点在复平面内第二象限，且6z z ⋅=，则=a AB．C ．2D ．2-2．全集[]1,10U =，集合{|(1)(8)0}A x x x =--≤和[]2,10B =，则()UA B =（ ）A ．()2,8B ．[]2,8C ．[][]1,28,10⋃D ．[)(]1,28,10⋃3．平面直角坐标系中角α的终边经过点()3,4P -，则2cos +π=2α⎛⎫ ⎪⎝⎭（ ）A ．110B ．15C ．45D ．9104．二项式1()(0,0)nax a b bx+>>的展开式中只有第6项的二项式系数最大，且展开式中的第3项的系数是第4项的系数的3倍，则ab 的值为（ ） A ．4B ．6C ．8D ．105．下列命题正确的个数是（ ）①)0a b ab +≥>②若0a b >>，0c d << 则ac bd <；③不等式110x+>成立的一个充分不必要条件是1x <-或1x >； ④若i a 、i b 和()1,2i c i =是全不为0的实数，则“111222a b c a b c ==”是“不等式21110a x b x c ++>和22220a xb xc ++>解集相同”的充分不必要条件． A ．1B ．2C ．3D ．46．新闻出版业不断推进供给侧结构性改革，深入推动优化升级和融合发展，持续提高优质出版产品供给，实现了行业的良性发展.下面是2017年至2021年我国新闻出版业和数字出版业营收情况，则下列说法错误的是（ ）A ．2017年至2021年我国新闻出版业和数字出版业营收均逐年增加B ．2021年我国数字出版业营收超过2017年我国数字出版业营收的2倍C ．2021年我国新闻出版业营收超过2017年我国新闻出版业营收的3倍D ．2021年我国数字出版业营收占新闻出版业营收的比例未超过三分之一7．若函数()23f x x ax a =-++在[]1,2上单调递减，则a 的取值范围是（ ）A ．3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．2,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦8．记单调递增的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2410a a +=，23464a a a =则A ．112n n n S S ++-=B ．2n n a =C ．21n n S =-D ．121n n S -=-9．已知平面l αβ=，m 是α内不同于l 的直线，那么下列命题中错误．．的是（ ） A ．若//m β，则//m l B ．若//m l ，则//m β C ．若m β⊥，则m l ⊥D ．若m l ⊥，则m β⊥10．古希腊阿基米德被称为“数学之神”.在他的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱里内切着一个球，这个球的直径恰好等于圆柱的高，则球的表面积与圆柱的表面积的比值为（ ） A ．12B ．23C ．34D ．4511．已知向量,a b 满足1,a a b =⊥，则向量2a b -在向量a 方向上的投影向量为（ ） A ．a B ．1 C ．-1 D ．a -12．已知函数()()()()1ln ,0,0x x x f x xe x -⎧-<⎪=⎨≥⎪⎩，若关于x 的方程22()()0f x af x a a -+-=有四个不等实根，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(0,1]B ．()[),11,-∞-⋃+∞C ．(,1){1}-∞-D ．(){}1,01-二、填空题13．已知(2,1),(,1)a b λ=-=-，若a 与b 夹角为钝角，则实数λ取值范围是___________.14．已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布(0,4)N ，从中随机取一件，其长度误差落在区间(2,4)内的概率为___________.（附：若随机变量ξ服从正态分布2(,)N μσ，则()0.6827P μσξμσ-<<+=，(22)0.9545P μσξμσ-<<+=） 15．过抛物线2:4C x y =的焦点Fl ，交抛物线于A ，B 两点，抛物线在A ，B 处的两条切线交于点M ，则MF =______．三、双空题16．海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象潮汐．一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐．通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头：卸货后，在落潮时返回海洋．下表是某港口某天的时刻与水深关系的预报，我们想选用一个函数来近似描述这一天港口的水深y 与时间x 之间的关系，该函数的表达式为__________________________．已知一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4米，安全条例规定至少要有2.25米的安全间隙（船底与洋底的距离），则该船可以在此港口停留卸货的时间最长为_____________小时（保留整数）．四、解答题17．（1）已知数列{}n a 的前n 项和Sn =n 2+n ，求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n a 的首项为a 1=1，递推公式为an=1+11n a - (2)n ≥，写出这个数列的前5项 18．如图，已知四棱锥V ABCD -的底面是矩形，VD ⊥平面,222,,,ABCD AB AD VD E F G ===分别是棱,,AB VC CD 的中点．(1)求证：EF ∥平面VAD ；(2)求平面AVE 与平面VEG 夹角的大小．19．甲乙丙三人进行竞技类比赛，每局比赛三人同时参加，有且只有一个人获胜，约定有人胜两局（不必连胜）则比赛结束，此人直接赢得比赛．假设每局甲获胜的概率为12，乙获胜的概率为14，丙获胜的概率为14，各局比赛结果相互独立． (1)求甲在3局以内（含3局）赢得比赛的概率；(2)记X 为比赛决出胜负时的总局数，求X 的分布列和均值（数学期望）． 20．点(,)P x y 与定点(1,0)F 的距离和它到直线:4l x =距离的比是常数12. （1）求点P 的轨迹方程；（2）记点P 的轨迹为C ，过F 的直线l 与曲线C 交于点,M N ，与抛物线24y x =交于点,A B ，设(1,0)D -，记DMN 与DAB 面积分别是12,S S ，求21S S 的取值范围. 21．已知函数()2e ex xf x =和()221g x x x =-++. (1)求函数()f x 的单调区间和最值；(2)求证：当1x <时()()f x g x <；当1x >时()()f x g x >； (3)若存在12x x <，使得()()12f x f x =，证明122x x +>.22．已知双曲线C 的中心在原点，(1,0)D. (1)求双曲线C 的方程；(2)若过点(3,0)-任意作一条直线与双曲线C 交于A ，B 两点（A ，B 都不同于点D ），求证:DA DB ⋅为定值. 23．已知函数()2f x x =-.（1）解不等式()()242f x f x -+<；（2）若()()2133f x f x m m -++≥+对所有的x ∈R 恒成立，求实数m 的取值范围.参考答案与解析1．A【详解】试题分析：2(2)(2)46z z ai ai a ⋅=-+--=+= 和 22a = ，z 对应点在第二象限，则0a >，所以a =A ．考点：复数的运算． 2．D【分析】解不等式确定集合A ，然后由集合的运算法则计算． 【详解】{|(1)(8)0}A x x x =--≤[1,8]=，[]2,10B = ∴[]2,8A B ⋂=. ∵[]1,10U =，∴()[)(]1,28,10UA B ⋂=⋃.故选：D ． 3．B【分析】首先根据三角函数定义得到3cos 5α=-，再根据余弦二倍角公式和诱导公式求解即可.【详解】角α的终边经过点()3,4P -，5r == 所以3cos 5α=-.()2311+cos +2π1+cos 15cos +π====22225-ααα⎛⎫ ⎪⎝⎭.故选：B 4．C【分析】根据给定条件求出幂指数n 的值，再求出二项展开式的通项，利用给定关系式即可计算得解. 【详解】因为1()(0,0)nax a b bx+>>的展开式中只有第6项的二项式系数最大，则展开式共有11项，即10n =于是得101ax bx ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通项为1010102110101C ()()C r r r rr r r r a T ax x bx b ---+==⋅依题意得10210323101023C 3C a a b b--⋅=⋅⋅，化简得8ab =所以ab 的值为8. 故选：C 5．B【分析】利用基本不等式判断①，利用不等式的性质判断②，根据充分条件、必要条件的定义判断③④；【详解】解：对于①，当0a >，0b >时a b +≥当且仅当a b =时取等号，若1a =-、1b 满足0ab >，显然a b +<对于②，若0a b >>，0c d <<则0c d ->->，故ac bd ->-，故ac bd <，故②正确； 对于③，使不等式110x +>，整理得10x x +>，故0x >或1x <-，所以不等式110x+>成立的一个充分不必要条件是1x <-或1x >，故③正确；对于④，不等式210x x ++>与220x x ++>的解集都为R ，但是1112≠ 若111111==---，则不等式210x x ++>与210x x --->的解集不相同 故若i a 、i b 和(1,2)i c i =是全不为0的实数，则“111222a b c a b c ==”是 “不等式21110a x b x c ++>和22220a x b x c ++>解集相同”的既不充分也不必要条件，故④错误．故选：B ． 6．C【分析】根据统计图逐个分析判断即可【详解】解：对于A ，由统计图可知2017年至2021年我国新闻出版业和数字出版业营收均逐年增加，所以A 正确；对于B ，由统计图可得2021年我国数字出版业营收为5720.9亿元，2017年我国数字出版业营收为1935.5亿元，5720.921935.5>⨯ 所以B 正确；对于C ，由统计图可得2021年我国新闻出版业营收为23595.8亿元，2017年我国新闻出版业营收为16635.3亿元，因为23595.8316635.3<⨯，所以C 错误；对于D ，由统计图可得，2021年我国数字出版业营收为5720.9亿元，新闻出版业营收23595.8亿元，而123595.87865.35720.93⨯≈>，所以D 正确故选：C 7．D【分析】结合二次函数的性质求解函数()f x 的单减区间为3[,)2a +∞，即[]31,2,2a ∞⎡⎫⊆+⎪⎢⎣⎭，列出不等关系求解即可.【详解】由题意，函数()f x 是开口向下的二次函数，对称轴为32ax = 故函数()f x 的单减区间为3[,)2a+∞ 即[]31,2,2a ∞⎡⎫⊆+⎪⎢⎣⎭，故312a ≤解得：23a ≤则a 的取值范围是2,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.故选：D 8．C【分析】先利用等比数列的性质得到3a 的值，再根据24,a a 的方程组可得24,a a 的值，从而得到数列的公比，进而得到数列的通项和前n 项和，根据后两个公式可得正确的选项.【详解】因为{}n a 为等比数列，所以2324a a a =，故3364a =即34a =由24241016a a a a +=⎧⎨=⎩可得2428a a =⎧⎨=⎩或2482a a =⎧⎨=⎩，因为{}n a 为递增数列，故2428a a =⎧⎨=⎩符合.此时24q =，所以2q或2q =-（舍，因为{}n a 为递增数列）.故3313422n n n n a a q ---==⨯= ()1122112n n n S ⨯-==--.故选C.【点睛】一般地，如果{}n a 为等比数列，n S 为其前n 项和，则有性质： （1）若,,,*,m n p q N m n p q ∈+=+，则m n p q a a a a =；（2）公比1q ≠时则有nn S A Bq =+，其中,A B 为常数且0A B +=；（3）232,,,n n n n n S S S S S -- 为等比数列（0n S ≠ ）且公比为n q .9．D【分析】A 选项.由线面平行的性质可判断；B 选项.由线面平行的判定可判断；C 选项.由线面垂直的性质可判断D 选项.由线面垂直的判定定理可判断. 【详解】A 选项：//m β,由l αβ=，又m α⊂，则由线面平行的性质可得//m l ，故A 正确．B 选项：//m l ，由l αβ=，m β⊄，l β⊂由线面平行的判定可得//m β，故B 正确． C 选项：由l αβ=，则l β⊂，又m β⊥所以m l ⊥，故C 正确．D 选项：因为一条直线垂直于平面内的一条直线不能推出直线垂直于平面，故D 错误．故选：D 10．B【分析】设球半径为R ，则圆柱底面半径为R ，圆柱的高为2R ，根据球和圆柱的表面积公式，即可求出比值.【详解】设球半径为R ，则圆柱底面半径为R ，圆柱的高为2R 则24S R π=球2222226S S S R R R R πππ=+=⋅+⨯=圆柱侧底所以23S S =球圆柱 故选：B. 11．A【分析】根据给定条件，求出(2)a b a -⋅，再借助投影向量的意义计算作答.【详解】因1,a a b =⊥，则2(2)21a b a a b a -⋅=-⋅=，令向量2a b -与向量a 的夹角为θ 于是得(2)|2|cos ||||||a ab a a a b a a a a θ-⋅-⋅=⋅= 所以向量2a b -在向量a 方向上的投影向量为a . 故选：A 12．A【分析】画出函数()f x 的图象，使用换元法，令()t f x =，并构造函数()22=-+-g t t at a a ，通过t 的范围，可得结果.【详解】当0x ≥时()1xf x xe -=，则()()'11-=-x f x x e令()'0f x >，则01x ≤<令()'0f x <，则1x >所以函数()f x 在[)0,1递增，在()1,+∞递减 则()()min 11==f x f ，且当0x ≥时()0f x > 函数()()()()1ln ,0,0x x x f x xe x -⎧-<⎪=⎨≥⎪⎩图象如图关于x 的方程22()()0f x af x a a -+-=有四个不等实根令()t f x = ()22=-+-g t t at a a则①0=t ，t=1所以()()22001110g a a a g a a a ⎧=-=⎪⇒=⎨=-+-=⎪⎩②()0,1t ∈ ()(),01,∈-∞⋃+∞t 由()()2110=-≥g a则函数()g t 一个根在()0,1，另外一个根在(),0∞-中所以()20001=-<⇒<<g a a a综上所述：(0,1]a ∈ 故选：A【点睛】本题考查方程根的个数求参数，学会使用等价转化的思想以及换元法，考验分析能力以及逻辑推理能力，采用数型结合的方法，形象直观，化繁为简，属难题. 13．1,2(2,)2⎛⎫-⋃+∞ ⎪⎝⎭【分析】根据a 与b 夹角为钝角可得(2,1)(,1)0a b λ⋅=-⋅-<，求得λ的范围，再去掉向量反向时的值即可得解.【详解】根据题意可得：(2,1)(,1)210a b λλ⋅=-⋅-=--< 可得12λ>-当2λ=，a b =-时，a 与b 方向相反夹角为180，不符题意 所以12λ>-且2λ≠故答案为1,2(2,)2⎛⎫-⋃+∞ ⎪⎝⎭.14．0.1359【分析】利用正态分布的对称性计算给定区间内的概率作答.【详解】因长度误差ξ（单位：毫米）服从正态分布(0,4)N ，则0,2μσ== 于是得(22)0.6827P ξ-<<= (44)0.9545P ξ-<<= 所以1(24)(0.95450.6827)0.13592P ξ<<=-=.故答案为：0.1359 15．4【分析】先求出直线l ，设1122(,),(,)A x y B x y ，将直线方程代入抛物线方程化简利用根与系数的关系，再利用导数的几何意求出切线的斜率，从而可求出在A ，B 处的切线方程，再求出点M 的坐标，进而可求出MF【详解】抛物线2:4C x y =的焦点为(0,1)F ，则直线l 为1y =+，设1122(,),(,)A x y B x y由214y x y⎧=+⎪⎨=⎪⎩，得240x --=则12124x x x x +==- 由214y x =，得12y x '=，则过点11(,)A x y 的切线的斜率为112x所以过点11(,)A x y 的切线方程为21111()42x y x x x -=-，即211124x y x x =-同理可得过22(,)B x y 的切线方程222124x y x x =-两切线方程联立，得221212112424x x x x x x -=-，得121()2x x x =+= 所以2111212111()12244x y x x x x x =⋅+-==-所以点M 的坐标为)1-所以4MF =故答案为：416． () 2.5sin()5372f x x π=+ 4【分析】第一空根据表中数据的周期性规律判断为正弦型函数，先由周期计算出ω，再由最值计算出A 和b ，最后由最大值处的数据计算出ϕ，即可得到函数的表达式；第二空先判断出水深的最小值，再由前面求得的函数列不等式，求出解集的宽度即为安全停留时长.【详解】观察表中数据可知，水深与时间近似为正弦型函数.设该函数表达式为()sin()f x A x b ωϕ=++由表中数据可知，一个周期为12小时24分，即744分钟 所以2372T ππω== max min ()()7.5 2.5 2.522f x f x A --=== max ()7.5 2.55b f x A =-=-= (186) 2.5sin()57.52f πϕ=++= 0ϕ∴= 则该函数的表达式为：() 2.5sin()5372f x x π=+.由题可知，水深为4 2.25 6.25+=米以上时安全令() 6.25f x ≥解得62310x ≤≤即安全时间为31062248-=分钟，约4小时. 故答案为：() 2.5sin()5372f x x π=+；4.17．（1）=2n a n ；（2）1=1a ，2a =2 345358,,235a a a ===. 【分析】（1）Sn =n 2+n ，21(2)n S n n n -=-≥ 两式相减即得解；（2）利用递推公式直接求解.【详解】解：（1）由题得Sn =n 2+n 221(1)1(2)n S n n n n n -=-+-=-≥所以两式相减得=2n a n ，又11=2a S =所以=2n a n 适合1n =.所以数列{}n a 的通项公式为=2n a n .（2）由题得1=1a ，2a =1+11=2a 3451325381,1,1223355a a a =+==+==+=. 所以数列的前5项为1=1a ，2a =2 345358,,235a a a ===. 18．(1)证明见详解； (2)π3【分析】（1）如图建立空间直角坐标系，求出平面VAD 的法向量，然后EF 与法向量垂直可证；（2）分别求出两个平面的法向量再根据平面AVE 与平面VEG 夹角公式可求得.【详解】（1）如图建系()()()()()()1000,100,0,0,1110,020,010,012D A V E C G F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，，，，，，，，，，，， ()()100,001DA DV ∴==，，，，，设平面VAD 的法向量为()=,,,n a b c所以0,0DA n a DV n c ⎧⋅==⎪∴⎨⋅==⎪⎩不妨取()=0,1,0,n 又111,0,,100100,22EF EF n ⎛⎫=-∴⋅=-⨯+⨯+⨯= ⎪⎝⎭ 又EF ⊄平面VAD ，EF ∴∥平面VAD ；（2）由（1）知：()()()()0,1,0,1,0,1,1,0,0,0,1,1AE AV GE GV ==-==-设平面AVE 的法向量为()1=,,n x y z ，平面VEG 的法向量()2=,,n p q r所以110,0AE n y AV n x z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩不妨取()1=1,0,1;n同理220,0GE n p GV n q r ⎧⋅==⎪⎨⋅=-=⎪⎩不妨取()2=0,1,1;n 设平面AVE 与平面VEG 夹角为π,0,2θθ≤≤所以121πcos cos ,,.23n n θθ===∴= 19．(1)12(2)分布列见解析，()4516E X =【分析】（1）根据相互独立事件与互斥事件的概率公式计算可得.（2）依题意X 的可能取值为2、3、4，求出所对应的概率，即可得到分布列与数学期望.（1）解：用A 表示“甲在3局以内（含3局）赢得比赛”，k A 表示“第k 局甲获胜”，k B 表示“第k 局乙获胜”， k C 表示“第k 局丙获胜” 则()()()()12123213P A P A A P A A A P A A A =++11111111111222222222⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯-⨯+-⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （2）解：依题意X 的可能取值为2、3、4所以()()()()121212111111322244448P X P A A P B B P C C ==++=⨯+⨯+⨯= ()()()()()()()1231231231231231234P X P A B C P AC B P B A C P BC A P C A B P C B A ==+++++1113624416=⨯⨯⨯= ()()()7312416P X P X P X ==-=-== 所以X 的分布列为所以()373452348161616E X =⨯+⨯+⨯=20．（1）22143x y +=（2）4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ 【解析】（112=，化简即可求出； （2）当直线l 的斜率存在时将直线方程分别与椭圆和抛物线的方程联立，将两个三角形的面积比转化为弦长比，化为关于k 的关系式，求最值求值域即可，之后将直线l 的斜率不存在的情况求出，最后得到答案.【详解】（112= 化简得：223412x y +=，故1C 的方程为22143x y +=. （2）依题意21AB S S MN= ①当l 不垂直于x 轴时设l 的方程是()()10y k x k =-≠联立()21 4y k x y x⎧=-⎨=⎩，得()2222240k x k x k -++= 设()11,A x y ， ()22,B x y 则212224k x x k ++= ()2122412k AB x x k +=++=；联立()221 34120y k x x y ⎧=-⎨+-=⎩得：()22223484120k x k x k +-+-= 设()33,M x y ，()44,N x y 则2342834k x x k +=+ 234241234k x x k -=+()2212134k MN k +==+ 则2221234414,333AB S k S MN k k +⎛⎫===+∈+∞ ⎪⎝⎭②当l 垂直于x 轴时易知AB 4= 223b MN a== 此时1243AB S S MN ==综上，21S S 的取值范围是4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 【点睛】该题考查的是有关解析几何的问题，涉及到的知识点有动点轨迹方程的求解，直线被椭圆截得的弦长，直线被抛物线截得的弦长，属于较难题目.21．(1)单调递增区间为(),1-∞，单调递减区间为()1,+∞，最大值为2，无最小值(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】（1）求出函数的导数，判断导数的正负，即可求得答案；（2）设()()()22e 21ex x h x f x g x x x =-=+--，求导，根据导数的正负，判断()h x 的单调性，结合()10h =，即可证明结论；（3）作出函数()2e e x x f x =，()221g x x x =-++的大致图象，数形结合，利用函数的图象，根据函数值判断根的情况，从而证明结论.(1)∵()()()()()22e e 2e e 2e 1e e x x x x x x x f x ''--'== ∴当1x <时0f x ，函数()f x 的单调递增区间为(),1-∞；当1x >时()0f x '<，函数()f x 的单调递减区间为()1,+∞.∴函数()f x 的最大值为()12f =，无最小值.(2)证明：设()()()22e 21ex x h x f x g x x x =-=+-- 则()()()()21e e 2e 122e e x x xx x h x x ---'=+-= ∴()0h x '≥，当且仅当1x =时等号成立∴函数()h x 单调递增，又()10h =∴当1x <时()0h x <，即()()f x g x <当1x >时()0h x >，即()()f x g x >.(3)证明：结合（1）（2）作出函数()2e e xx f x =，()221g x x x =-++的大致图象：当x →-∞时()f x →-∞；当x →+∞时()0f x →令()()12f x f x m ==，则()012m f <<=.又∵二次函数()g x 的图象开口向下，最大值为()12g =∴存在34x x <，使得()()()()3412g x g x f x f x ===.结合（2）的结论以及图象知3142x x x x <<<∵函数()g x 的图象关于直线1x =对称∴342x x +=∴12342x x x x +>+=【点睛】本题综合考查了导数的应用，考查导数与函数的单调性以及最值得关系，以及利用导数证明相关不等式问题，解答时要注意构造函数，从而利用导数判断新函数的性质，进而证明不等式.22．(1)2212y x -= (2)证明见解析【分析】（1）根据双曲线的性质及其点到直线的距离公式即可求解.（2）根据已知条件设出直线AB 方程及A ，B 的坐标，将直线与双曲线方程联立，得出关于y 的 一元二次方程，根据韦达定理得出12,y y 的关系，再根据向量的数量积的坐标运算即可求解.（1）因双曲线C 的中心在原点，一个顶点是(1,0)D ，则设双曲线C 的方程为：2221(0)y x b b -=>，则c()双曲线C 的渐近线为y bx ±=焦点()到渐近线y bx ±=的距离为d =b =所以双曲线C 的方程为2212y x -=. （2）显然直线AB 不垂直于y 轴，设直线AB 方程：3x ty =-由22322x ty x y =-⎧⎨-=⎩消去x 得：22(21)12160t y ty --+= 当2210t -≠时222(12)64(21)16(4)0t t t ∆=--=+>恒成立设1122(,),(,)A x y B x y ，则 所以1212221216,2121t y y y y t t +==-- 1122(1,),(1,)DA x y DB x y =-=-因此，12121212(1)(1)(4)(4)DA DB x x y y ty ty y y ⋅=--+=--+21212(1)4()16t y y t y y =+-++222216(1)481602121t t t t +=-+=-- 所以DA DB ⋅为定值0.23．（1）()2,2,3⎛⎫-∞-⋃-+∞ ⎪⎝⎭；（2）[]4,1-. 【解析】（1）利用分段讨论法去掉绝对值，求出不等式()()242f x f x -+<的解集；（2）由绝对值不等式的意义求出()()13f x f x -++的最小值，得出关于m 的不等式，求解即可．【详解】解：（1）由题知不等式()(24)2f x f x -+< 即2222x x --+<等价于12222x x x <-⎧⎨-+++<⎩或122222x x x -≤≤⎧⎨-+--<⎩ 或22222x x x >⎧⎨---<⎩； 解得<2x -或223x -<≤或2x >，即<2x -或23x >-（2）由题知(1)(3)31(3)(1)4f x f x x x x x -++=-+--+≥+= (1)(3)f x f x ∴-++的最小值为4234m m ∴+≤解得41m -≤≤∴实数m 的取值范围为[4-，1]．。

黑龙江省双鸭山市第一中学2020-2021学年高三上学期第一次月考数学（理）试题学校_________ 班级__________ 姓名__________ 学号__________一、单选题1. 若集合，则()（）A．B．C．D．2. 已知（其中为虚数单位），则的虚部为（）A．B．C．2 D．23. 已知，，，则（）A．B．C．D．4. 若定义在的奇函数f(x)在单调递减，且f(2)=0，则满足的x的取值范围是（）A．B．C．D．5. 设函数，则函数的图像可能为（）A．B．C．D．6. 若，，三点共线，则的值为（）A．0 B．C．1 D．7. 已知函数,那么在下列区间中含有函数零点的是（）A．B．C．D．8. 若将函数y=2sin2x的图像向左平移个单位长度，则平移后图像的对称轴为A．x=（k∈Z）B．x=（k∈Z）C．x=（k∈Z）D．x=（k∈Z）9. 在梯形中，，，，若，则的值为（）D．0A．B．C．10. 已知实数满足，则“”是“函数单调递减”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件11. 已知非等向量与满足，且，则为（）A．等腰非等边三角形B．直角三角形C．等边三角形D．三边均不相等的三角形12. 已知对任意实数都有，，若恒成立，则的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题13. ____________．14. 函数，则__________.15. 已知函数在定义域上是偶函数，在上单调递减，并且，则的取值范围是______.16. 是上可导的奇函数，是的导函数.已知时不等式的解集为，则在上的零点的个数为___________.三、解答题17. 已知命题，，命题.（1）若命题是真命题，求实数的取值范围；（2）若是假命题，求实数的取值范围.18. 已知函数.（1）求函数的单调减区间及在区间上的值域；（2）若，，求的值.19. 设函数.（Ⅰ）若曲线在点处的切线斜率为0，求a；（Ⅱ）若在处取得极小值，求a的取值范围.20. 的三个内角，，所对的边分别为，，，三个内角，，满足.（1）求；（2）若，的内角平分线，求的周长.21. 在中，内角，，所对的边分别为，，，且．（1）求角的大小；（2）若，求的取值范围．22. 已知函数.（1）讨论的单调性；（2）设，函数有两个不同的零点，（），求实数a的取值范围.。

2020-2021学年黑龙江省双鸭山一中高一（下）第一次月考数学试卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知向量a ⃗ =(2,1)，a ⃗ ⋅b ⃗ =10，|a ⃗ +b ⃗ |=5√2，则|b ⃗ |=( )A. √5B. √10C. 5D. 252. 已知AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ +5b ⃗ ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−2a ⃗ +8b ⃗ ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =3(a ⃗ −b ⃗ )，则( )A. A 、B 、D 三点共线B. A 、B 、C 三点共线C. B 、C 、D 三点共线D. A 、C 、D 三点共线3. 下列命题正确的是( )A. 单位向量都相等B. 若a ⃗ 与b ⃗ 是共线向量，b ⃗ 与c⃗ 是共线向量，则a ⃗ 与c ⃗ 是共线向量 C. |a ⃗ +b ⃗ |=|a ⃗ −b ⃗ |，则a ⃗ ⊥b ⃗D. 若a ⃗ 与b ⃗ 单位向量，则|a ⃗ |=|b ⃗ |4. 已知e 1⃗⃗⃗ ，e 2⃗⃗⃗ 是夹角为60°的两个单位向量，则a ⃗ =2e 1⃗⃗⃗ +e 2⃗⃗⃗ 与b ⃗ =−3e 1⃗⃗⃗ +2e 2⃗⃗⃗ 的夹角是( )A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°5. 若|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1,|OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√3,∠AOB =23π，点C 在∠AOB 外，且OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，设实数m ，n 满足OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =m OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +n OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则mn等于( ) A. −2 B. 2 C. 2√3 D. √36. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c.已知A =45°，a =6，b =3√2，则B 的大小为( )A. 30°B. 60°C. 30°或150°D. 60°或120°7. 已知点O 、N 、P 在△ABC 所在平面内，且|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |，NA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +NB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +NC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PA⃗⃗⃗⃗⃗ ，则点O 、N 、P 依次为△ABC 的( ) A. 重心、外心、垂心 B. 重心、外心、内心 C. 外心、重心、垂心D. 外心、重心、内心8. 已知向量a ⃗ =(1,0),b ⃗ =(1,2)，则向量b ⃗ 在向量a⃗ 方向上的投影向量为( ) A. (1,0)B. (15,25)C. (√5√5)D. (0,2)9. 在直角三角形ABC 中，斜边BC 长为2，O 是平面ABC 内一点，点P 满足OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )，则|AP⃗⃗⃗⃗⃗ |等于( ) A. 2 B. 1C. 12D. 410. 若(a +b +c)(b +c −a)=3ab ，且sinA =2sinBcosC ，那么△ABC 是( )A. 直角三角形B. 等边三角形C. 等腰三角形D. 等腰直角三角形11. 在△ABC 中，点P 满足BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =3PC⃗⃗⃗⃗⃗ ，过点P 的直线与AB ，AC 所在的直线分别交于点M ，N ，若AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =μAC⃗⃗⃗⃗⃗ (λ>0,μ>0)，则λ+μ的最小值为( ) A. √22+1 B. √32+1 C. 32D. 5212. 已知△ABC 是边长为4的等边三角形，D 为BC 的中点，P 为平面ABC 内一点，则PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·(PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ )的最小值是( )A. −2B. −32C. −3D. −6二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. △ABC 中，a ，b ，c 分别为∠A ，∠B ，∠C 的对边，∠A =60°，b =1，c =4，R 为△ABC 外接圆半径，则R = ______ ．14. 锐角三角形ABC 的面积为S ，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2S =(b 2+c 2−a 2)sin2A ，则A = ______ ．15. 在△ABC 中，若满足C =π6，c =5，a =x 的三角形有两个，则实数x 的取值范围为______ ．16. 在△ABC 中，AB =5，AC =6，D 是BC 的中点，H 是△ABC 的垂心，则DH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =______ ．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分） 17. 已知a ⃗ =(1,0),b⃗ =(2,1)． (1)当k 为何值时，k a ⃗ +b ⃗ 与a ⃗ +2b ⃗ 共线？ (2)当k 为何值时，k a ⃗ +b ⃗ 与a ⃗ +2b ⃗ 垂直？ (3)当k 为何值时，k a ⃗ +b ⃗ 与a ⃗ +2b ⃗ 的夹角为锐角？18. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若asinBcosC +csinBcosA =12b ，且c >b ． (1)求角B 的值；(2)若A =π6，且△ABC 的面积为4√3，求BC 边上的中线AM 的长．19. 如图，在菱形ABCD 中，BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =2FD ⃗⃗⃗⃗⃗ ． (1)若EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，求3x +2y 的值； (2)若|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=6，∠BAD =60°，求AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ． (3)若菱形ABCD 的边长为6，求AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅EF ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围．20.如图，已知两条公路AB，AC的交汇点A处有一学校，现拟在两条公路之间的区域内建一工厂P，在两公路旁M，N(异于点A)处设两个销售点，且满足∠A=∠PMN=75°，MN=√6+√2(千米)，PM=2√3(千米)，设∠AMN=θ．(1)试用θ表示AM，并写出θ的范围；(2)当θ为多大时，工厂产生的噪声对学校的影响最小(即工厂与学校的距离最远).(注：sin75°=√6+√24)21.将函数y=sin(x−π3)的图象纵坐标不变，横坐标变为原来的两倍，再向右平移π3个单位长度，得到函数y=f(x)的图象．(Ⅰ)求函数f(x)的解析式；(Ⅱ)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若f(2A)=−√22，且a=4，b=4√2，求△ABC的面积．22.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2bcosA−2c+a=0．(1)求角B；(2)若b=√3，△ABC为锐角三角形，求△ABC的周长的范围．答案和解析1.【答案】C【解析】 【分析】本题考查平面向量数量积运算和性质，根据所给的向量表示出要求模的向量，用求模长的公式写出关于变量的方程，解方程即可，解题过程中注意对于变量的应用． 根据所给的向量的数量积和模长，对|a +b|=5√2两边平方，变化为有模长和数量积的形式，代入所给的条件，等式变为关于要求向量的模长的方程，解方程即可． 【解答】解：∵|a ⃗ +b ⃗ |=5√2，|a⃗ |=√5， ∴(a ⃗ +b ⃗ )2=a ⃗ 2+b ⃗ 2+2a ⃗ ⋅b ⃗ =50，∴5+|b ⃗ |2+2×10=50， 所以|b ⃗ |2=25，|b ⃗ |=5． 故选C ．2.【答案】A【解析】 【分析】利用三角形法则可求得BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，由向量共线条件可得AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 共线，从而可得结论．本题考查向量共线的条件，属基础题，熟记向量共线的充要条件是解决问题的关键． 【解答】解：BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2a ⃗ +8b ⃗ )+3(a ⃗ −b ⃗ )=a ⃗ +5b ⃗ ， 又AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ +5b ⃗ ，所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 共线， 又AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 有公共点B ， 所以A 、B 、D 三点共线． 故选A ．3.【答案】D【解析】解：单位向量的模相等，但是方向不一定相同，所以A 不正确； 如果b ⃗ =0⃗ ，满足条件，但是a ⃗ 与c ⃗ 不一定是共线向量，所以B 不正确；然后b ⃗ =0⃗ ，满足|a ⃗ +b ⃗ |=|a ⃗ −b ⃗ |，但是a ⃗ ⊥b ⃗ 不一定正确，所以C 不正确； 若a ⃗ 与b ⃗ 单位向量，则|a ⃗ |=|b ⃗ |，满足单位向量的定义，所以D 正确． 故选：D ．利用向量的定义判断A ；反例判断B ；特例判断C ；单位向量的定义判断D ． 本题考查命题的真假的判断，向量的基本知识的考查，是基础题．4.【答案】C【解析】 【分析】本题主要考查两个向量数量积的运算，两个向量数量积的定义，求向量的模的方法，属于中档题．利用两个向量数量积的定义求出e 1⃗⃗⃗ ⋅e 2⃗⃗⃗ ，再求出|a ⃗ |，|b ⃗ |，a ⃗ ⋅b ⃗ 的值，根据cosθ=a⃗ ⋅b ⃗ |a ⃗ |⋅|b⃗ |，求得则a ⃗ =2e 1⃗⃗⃗ +e 2⃗⃗⃗ 与b ⃗ =−3e 1⃗⃗⃗ +2e 2⃗⃗⃗ 的夹角θ的值． 【解答】解：∵已知e 1⃗⃗⃗ ，e 2⃗⃗⃗ 是夹角为60°的两个单位向量，∴e 1⃗⃗⃗ ⋅e 2⃗⃗⃗ =1×1×cos60°=12， 设a ⃗ =2e 1⃗⃗⃗ +e 2⃗⃗⃗ 与b ⃗ =−3e 1⃗⃗⃗ +2e 2⃗⃗⃗ 的夹角为θ，θ∈(0°,180°)，∵|a ⃗ |=√(2e 1⃗⃗⃗ +e 2⃗⃗⃗ )2=√4e 1⃗⃗⃗ 2+4e 1⃗⃗⃗ ⋅e 2⃗⃗⃗ +e 2⃗⃗⃗ 2=√7，|b ⃗ |=√(−3e 1⃗⃗⃗ +2e 2⃗⃗⃗ )2=√9e 1⃗⃗⃗ 2−12e 1⃗⃗⃗ ⋅e 2⃗⃗⃗ +4e 2⃗⃗⃗ 2=√7， a ⃗ ⋅b ⃗ =(2e 1⃗⃗⃗ +e 2⃗⃗⃗ )⋅(−3e 1⃗⃗⃗ +2e 2⃗⃗⃗ )=−6e 1⃗⃗⃗ 2+e 1⃗⃗⃗ ⋅e 2⃗⃗⃗ +2e 2⃗⃗⃗ 2=−6+12+2=−72，∴cosθ=a⃗ ⋅b ⃗ |a ⃗ |⋅|b⃗ |=−72√7⋅√7=−12，∴θ=120°， 故选：C ．5.【答案】C【解析】解：∵OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =m OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +n OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1,|OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√3,∠AOB =23π ∴OC⃗⃗⃗⃗⃗ 2=(m OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +n OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) 2=m 2+2mn OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +3n 2=m 2+3n 2−√3mn① ∵OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −n OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =m OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，且OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0 两边同时平方可得，OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+n 2OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=m 2OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2整理可得，OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=m 2−3n 2②①②联立可得，mn =2√3 故选：C ．由OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =m OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +n OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，两边平方可得，OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=(m OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +n OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) 2，再由已知可得，OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −n OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =m OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，结合OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0两边同时平方可得，OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+n 2OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=m 2OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2，从而可求本题考查平面向量的基本运算性质，数量积的运算性质，考查向量问题的基本解法，等价转化思想．要区分向量运算与数的运算．6.【答案】A【解析】解：在△ABC 中，由正弦定理可得asinA =bsinB ，即6sin45∘=3√2sinB ，解得sinB =12． ∵b <a ，∴B <A =45°，∴B =30°， 故选A ．由正弦定理求得sinB =12，再由大边对大角求得B 的值．本题主要考查正弦定理的应用，大边对大角，已知三角函数值求角的大小，属于中档题．7.【答案】C【解析】证明：∵|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |， ∴O 到三角形三个顶点的距离相等， ∴O 是三角形的外心，根据所给的四个选项，第一个判断为外心的只有C ，D 两个选项， ∴只要判断第三个条件可以得到三角形的什么心就可以， ∵PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴PB ⃗⃗⃗⃗⃗ (PA ⃗⃗⃗⃗⃗ −PC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=0， ∴PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0， ∴PB⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 同理得到另外两个向量都与相对应的边垂直， 得到P 是三角形的垂心， 故选：C ．根据O 到三角形三个顶点的距离相等，得到O 是三角形的外心，根据所给的四个选项，第一个判断为外心的只有C ，D 两个选项，只要判断第三个条件可以得到三角形的什么心就可以，移项相减，得到垂直，即得到P 是三角形的垂心．本题是一个考查的向量的知识点比较全面的题目，把几种三角形的心总结的比较全面，解题时注意向量的有关定律的应用，不要在运算律上出错．8.【答案】A【解析】解：因为a ⃗ =(1,0)，b ⃗ =(1,2)，所以向量b ⃗ 在向量a ⃗ 方向上的投影为|b ⃗ |cosθ=a ⃗ ⋅b ⃗|a ⃗ |=√12+02=1， 则向量b ⃗ 在向量a ⃗ 方向上的投影向量为(1,0)． 故选：A ．根据投影向量的概念计算出答案即可．本题考查了平面向量投影的定义与计算问题，是基础题．9.【答案】B【解析】解：∵OP ⃗⃗⃗⃗⃗=OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )， ∴OP ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )，AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )， ∴AP 为Rt △ABC 斜边BC 的中线，∴|AP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1． 故选：B ．利用向量的减法可得AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )，从而可得AP 为Rt △ABC 斜边BC 的中线，即可求解．本题考查向量的线性运算，体现了数形结合思想，属于基础题．10.【答案】B【解析】【解析】对(a +b +c)(b +c −a)=3bc 化简整理得b 2−bc +c 2=a 2，代入余弦定理中求得cos A ，进而求得A =60°，又由sinA =2sinBcosC ，可求sinAsinB =2cosC ，即ab=2a 2+b 2−c 22ab，化简可得b =c ，结合A =60°，进而可判断三角形的形状．本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用．要熟练记忆余弦定理的公式及其变形公式，考查了计算能力和转化思想，属于中档题． 【解析】解：∵(a +b +c)(b +c −a)=3bc ， ∴[(b +c)+a][(b +c)−a]=3bc ， ∴(b +c)2−a 2=3bc ， b 2+2bc +c 2−a 2=3bc ， b 2−bc +c 2=a 2，根据余弦定理有a 2=b 2+c 2−2bccosA ， ∴b 2−bc +c 2=a 2=b 2+c 2−2bccosA ， bc =2bccosA ， cosA =12， ∴A =60°，又由sinA =2sinBcosC ， 则sinAsinB =2cosC ，即ab =2a 2+b 2−c 22ab，化简可得，b 2=c 2， 即b =c ，∴△ABC 是等边三角形 故选B ．11.【答案】B【解析】解：∵△ABC 中，BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC⃗⃗⃗⃗⃗ 点P 满足BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =3PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴−AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =3(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AP ⃗⃗⃗⃗⃗ )∴AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =34AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +14AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∵AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =μAC⃗⃗⃗⃗⃗ (λ>0,μ>0)， ∴AP⃗⃗⃗⃗⃗ =34μAN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +14λAM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 因为B ，P ，C 三点共线，所以，34μ+14λ=1，λ>0，μ>0∴λ+μ=(λ+μ)(34μ+14λ)=1+3λ4μ+μ4λ≥1+2√3λ4μμ4λ=√32+1当且仅当μ=√3λ时取“=”，则λ+μ的最小值为√32+1故选：B ．根据题意画出图形，结合图形利用平面向量的线性运算与共线定理，即可求得2λ+μ的最小值．本题考查了平面向量的线性运算与共线定理以及基本不等式的应用问题，是中档题．12.【答案】D【解析】 【分析】本题主要考查了平面向量的数量积，根据条件建立坐标系，利用坐标法是解题的关键． 建立平面直角坐标系，表示出点的坐标，利用坐标法结合平面向量数量积的定义，求最小值即可．【解答】解：以BC 中点D 为坐标原点，建立如图所示的坐标系，则A(0,2√3)，B(−2,0)，C(2,0)， 设P(x,y)，则PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−x,2√3−y)， PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2−x,−y)，PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2−x,−y)， 所以PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·(PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC⃗⃗⃗⃗⃗ ) =−x ⋅(−2x)+(2√3−y)⋅(−2y) =2x 2−4√3y +2y 2=2x 2+2(y −√3)2−6；所以当x =0，y =√3时，PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·(PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ )取得最小值−6． 故选D ．13.【答案】√393【解析】解：由余弦定理可得：a2=b2+c2−2bccosA=13，可得：a=√13，由正弦定理可得：2R=asinA =√13sin60°=2√393，故答案为：√393．由已知及余弦定理可求a的值，再由正弦定理计算可得．本题主要考查了余弦定理，正弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．14.【答案】π3【解析】解：因为b2+c2−a2=2bccosA，2S=(b2+c2−a2)sin2A，所以2×12bcsinA=2bccosA×2sinAcosA，因为sinA>0，所以cos2A=14，因为A为锐角，cosA>0，所以cosA=12，故A=π3．故答案为：π3．由已知结合余弦定理及三角形的面积公式进行化简可求cos A，进而可求A．本题主要考查了余弦定理，三角形的面积公式及二倍角公式在求解三角形中的应用，属于中档题．15.【答案】(5,10)【解析】解：根据题意，在△ABC中，若C=π6，c=5，a=x，则asinA =csinC，则有sinA=a⋅sinCc=x10，若满足题意的三角形有2个，则有A>C=π6，则必有12<x10<1，解可得5<x<10，即x的取值范围为(5,10)，故答案为：(5,10)．根据题意，由正弦定理可得sinA =a⋅sinC c=x 10，结合三角形有2解可得A >C =π6，据此可得12<x10<1，解可得x 的范围，即可得答案．本题考查正弦定理的应用，涉及三角形解的情况的判断，属于基础题．16.【答案】−112【解析】解：根据题意画出图象，如图：∵H 是△ABC 的垂心，可得AH ⊥BC ， ∴AH⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0， ∵D 是BC 的中点，可得AD 为中线，∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )， 故DH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=12(AB⃗⃗⃗⃗⃗ 2−AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2)=−112． 故答案为：−112．根据题意画出图象，H 是△ABC 的垂心，可得AH ⊥BC ，故AH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0.D 是BC 的中点，可得AD 为中线，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )，即可求得答案． 本题考查向量的数量积的求法，考查分析问题解决问题的能力，是基础题．17.【答案】解：(1)根据题意，a ⃗ =(1,0),b ⃗ =(2,1)，则k a ⃗ +b ⃗ =(k +2,1)，a ⃗ +2b ⃗ =(5,2)，若k a ⃗ +b ⃗ 与a ⃗ +2b ⃗ 共线，则有(k +2)×2−1×5=0， 解可得：k =12，(2)根据题意，k a ⃗ +b ⃗ =(k +2,1)，a ⃗ +2b ⃗ =(5,2)，若k a ⃗ +b ⃗ 与a ⃗ +2b ⃗ 垂直，则(k a ⃗ +b ⃗ )⋅(a ⃗ +2b ⃗ )=2(k +2)−5=0，解可得：k =−125，(3)根据题意，k a ⃗ +b ⃗ =(k +2,1)，a ⃗ +2b ⃗ =(5,2)，若k a ⃗ +b ⃗ 与a ⃗ +2b ⃗ 的夹角为锐角，则有(k a ⃗ +b ⃗ )⋅(a ⃗ +2b ⃗ )>0且k a ⃗ +b ⃗ 与a ⃗ +2b ⃗ 不共线，即(k a ⃗ +b ⃗ )⋅(a ⃗ +2b ⃗ )=2(k +2)−5>0且(k +2)×2−1×5≠0， 解可得：k >−125且k ≠12．【解析】(1)根据题意，求出k a ⃗ +b ⃗ 与a ⃗ +2b ⃗ 的坐标，由向量平行的坐标表示方法可得(k +2)×2−1×5=0，解可得k 的值，即可得答案；(2)根据题意，求出k a ⃗ +b ⃗ 与a ⃗ +2b ⃗ 的坐标，由向量垂直的判断方法可得(k a ⃗ +b ⃗ )⋅(a ⃗ +2b ⃗ )=2(k +2)−5=0，解可得k 的值，即可得答案；(3)根据题意，求出k a ⃗ +b ⃗ 与a ⃗ +2b ⃗ 的坐标，分析可得(k a ⃗ +b ⃗ )⋅(a ⃗ +2b ⃗ )>0且k a ⃗ +b ⃗ 与a ⃗ +2b ⃗ 不共线，据此可得关于k 的不等式，解可得答案．本题考查向量的线性运算，涉及向量垂直、平行的判断，属于基础题．18.【答案】解：(1)因为asinBcosC +csinBcosA =12b ，由正弦定理得sinAsinBcosC +sinCsinBcosA =12sinB ， 整理得sinAcosC +sinCcosA =12， 即sin(A +C)=12，得sinB =12． 又c >b ，所以0<B <π2，可得B =π6． (2)由(1)知B =π6，若A =π6， 则S △ABC =12absinC =12a 2sin 2π3=4√3，所以a =4，a =−4(舍)．又在△AMC 中，AM 2=AC 2+MC 2−2AC ⋅MCcos 2π3，所以AM 2=AC 2+22−2×2AC ⋅cos 2π3=42+22−2×4×2×(−12)=28，所以AM =2√7．【解析】(1)由正弦定理，两角和的正弦公式化简已知等式可求sinB =12，结合0<B <π2，可得B 的值．(2)由已知利用三角形的面积公式可求a 的值，在△AMC 中，利用余弦定理即可求解AM 的值．本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦公式，三角形的面积公式，余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．19.【答案】解：(1)因为BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =2FD ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =EC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −23DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以x =−23，y =12，故3x +2y =3×(−23)+2×12=−1． (2)∵AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(12AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=12AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2−23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−16AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∵ABCD 为菱形，∴|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=6∴AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =−16|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2−16|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2cos∠BAD =−16×36−16×36×12=−9，即AC⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =−9．(3)AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(−23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=−23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+16AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +14AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=−24+9+6cos <AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ > =6cos〈AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 〉−15，∵cos <AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >∈(−1,1)， ∴AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅EF ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围：(−21,−9)．【解析】(1)利用已知条件求出EF⃗⃗⃗⃗⃗ ，然后求解x ，y 即可． (2)利用已知向量，表示数量积的向量，然后求解即可． (3)利用向量的数量积，结合三角函数的有界性，求解即可．本题考查向量的数量积的求法与应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．20.【答案】解：(1)如图，∠AMN =θ，在△AMN 中，由正弦定理得：MNsin75∘=AMsin(75∘+θ)，∵MN =√6+√2，∴AM =4sin(75°+θ)，(0°<θ<105°)；(2)在△APM中，AM=4sin(105°−θ)，∴AP2=AM2+MP2−2AM⋅MPcos∠AMP=16sin2(75°+θ)+12−16√3sin(75°+θ)cos(75°+θ)=8[1−cos(2θ+150°)]−8√3sin(2θ+150°)+12=20−8[√3sin(2θ+150°)+cos(2θ+150°)]=20−16sin(2θ+180°)(0°<θ<105°)=20+16sin2θ，(0°<θ<105°)．当且仅当2θ=90°，即θ=45°时，AP2取得最大值36，即AP取得最大值6．∴当θ=45°时，工厂产生的噪声对学校的影响最小．【解析】(1)在△AMN中，直接由正弦定理列式即可求得AM=4sin(75°+θ)，(0°<θ< 105°)；(2)在△APM中，AM=4sin(105°−θ)，由余弦定理求得AP2，再由倍角公式降幂，结合辅助角公式化积，则最值可求．本题是应用题，考查简单的数学建模思想方法，考查三角形的解法，是中档题．21.【答案】解：(Ⅰ)将函数y=sin(x−π3)的图象纵坐标不变，横坐标变为原来的两倍，得到y=sin(12x−π3)，再向右平移π3个单位长度，得f(x)=sin[12(x−π3)−π3]=sin(x2−π2)=−cos x2．(Ⅱ)∵f(2A)=−√22，∴f(2A)=−cosA=−√22，即cosA=√22，∵0<A<π，∴A=π4．∵a=4，b=4√2，A=π4，由余弦定理得42=(4√2)2+c2−2×4√2c×√22，整理得c2−8c+16=0，得c=4．∴S△ABC=12AB×AC×sinA=8．即△ABC的面积为8．【解析】(Ⅰ)根据三角函数图象变换关系求出函数的解析式即可．(Ⅱ)根据条件先求出角A的值，然后根据三角形的面积公式进行计算．本题主要考查解三角形的应用，根据三角函数的图象变换求出函数的解析式，以及利用余弦定理和三角形的面积公式是解决本题的关键，是中档题．22.【答案】解：(1)由正弦定理知，a sinA =b sinB =csinC ，∵2bcosA −2c +a =0， ∴sinBcosA +12sinA =sinC ，∵sinC =sin(A +B)=sinAcosB +cosAsinB ， ∴12sinA =sinAcosB ，∵sinA ≠0，∴cosB =12，即B =π3．(2)由正弦定理得，a sinA =c sinC =b sinB =√3sin π3=2，∴a =2sinA ，c =2sinC ，∴a +c =2(sinA +sinC)=2[sin(2π3−C)+sinC]=2(√32cosC +12sinC +sinC)=2√3(√32sinC +12cosC)=2√3sin(C +π6)， ∵△ABC 为锐角三角形，B =π3， ∴{0<A =2π3−C <π20<C <π2，解得π6<C <π2，∴π3<C +π6<2π3，∴sin(C +π6)∈(√32,1]， ∴a +c ∈(3,2√3]，故△ABC 的周长a +b +c 的范围为(3+√3,3√3]．【解析】(1)利用正弦定理化边为角，再结合三角形内角和定理，两角和的正弦公式，可得cosB =12，从而得解；(2)由正弦定理可得a =2sinA ，c =2sinC ，再结合两角差的正弦公式、辅助角公式，推出a +c =2√3sin(C +π6)，然后由正弦函数的图象与性质，得解．本题考查解三角形与三角函数的综合，熟练掌握正弦定理、两角和差的正弦公式、辅助角公式，以及正弦函数的图象与性质等是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．。

2021黑龙江高考数学试卷篇一：2021届黑龙江省哈尔滨六中高三(上)10月月考数学试卷(理科)解析版2021-2021学年黑龙江省哈尔滨六中高三（上）10月月考数学试卷（理科）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）哈尔滨市第六中学2021届高三10月月考数学试卷（理工类）1．（5分）（2021?浙江模拟）设集合，，则m∩n=（）a．（1，+∞）b．[1，2）c．（1，2）d．[1，2]22．（5分后）（2021?上饶校级一模）未知i为虚数单位，a∈r，若a1+（a+1）i为氢铵虚数，则复数z=a+（a2）i在为丛藓科扭口藓平面内对应的点坐落于（）a．第一象限b．第二象限c．第三象限d．第四象限3．（5分后）（2021?郴州演示）未知a＞1，，则f（x）＜1成立的一个充分不必要条件就是（）a．0＜x＜1b．1＜x＜0c．2＜x＜0d．2＜x＜14．（5分）（2021?南昌校级二模）已知函数，为了得到函数g（x）=sin2x+cos2x的图象，只需要将y=f（x）的图象（）a．向右平移c．向右平移个单位长度个单位长度b．向左平移d．向左平移个单位长度个单位长度5．（5分）（2021秋?哈尔滨校级月考）已知函数＞4a，则实数a的取值范围是（）a．（∞，1）b．（∞，0）c．d．（1，+∞），若f（f（1））6．（5分后）（2021秋?哈尔滨校级月托福）未知α就是△abc的一个内角，且则sin2α+cosα的值（）a．b．c．d．或2，7．（5分）（2021秋?正定县校级期末）定义在r上的函数f（x）满足：f（x）=f （x），f（x+1）=，当x∈（1，0）时，f（x）=21，则f（log220）=（）d．xa．b．c．8．（5分后）（2021春?哈尔滨校级期中）数列{an}就是等比数列，若a2=1，a5=，设立sn=a1a2+a2a3+…+anan+1，若3sn≤m+2m对任意n∈n恒成立，则m的取值范围为（）a．4≤m≤2b．m≤4或m≥2c．2≤m≤4d．m≤2或m≥42*9．（5分后）（2021?内黄县校级一模）未知a，b，c分别为△abc内角a，b，c的对边，且a，b，c成等比数列，且b=a．b．c．，则d．+=（）10．（5分后）（2021春?哈尔滨校级期中）平行四边形abcd中，ad=1，∠bad=60°，e为cd中点．若a．1b．=1，则|ab|=（）c．d．11．（5分后）（2021?锦州一模）未知f（x），g（x）都就是定义在r上的函数，g （x）≠0，f′（x）g（x）＞f（x）g′（x），且f（x）=a?g（x）（a＞0，且a≠1），若数列的前n项和大于62，则n的最小值为（）x，a．6b．7c．8d．912．（5分后）（2021?绍兴校级演示）定义在（1，+∞）上的函数f（x）满足用户以下两个条件：（1）对任一的x∈（1，+∞）恒存有f（2x）=2f（x）设立；（2）当x∈（1，2]时，f（x）=2x；记函数g（x）=f（x）k（x1），若函数g（x）恰存有两个零点，则实数k的值域范围就是（）a．[1，2）b．c．d．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分）13．（5分后）（2021春?日照校级期末）若||=5，||=3，|||=7，则、的夹角为______．14．（5分后）（2021春?文峰区校级期末）未知数列{an}中，a3=2，a7=1，且数列{高数列，则a5=______．15．（5分）（2021?辽宁校级模拟）已知就是以o为直角顶点的全等直角三角形，则△oab的面积就是______．16．（5分后）（2021?甘肃二模）未知函数f（x）=个相同的求解x1，x2，x3，x4，且x1＜x2＜x3＜x4，则x3（1x+x2）+的取值范围是______．，若方程f（x）=a存有四=，若△oab}为等三、答疑题：（本大题共70分后，求解应允写下必要的文字说明，证明过程或编程语言步骤）17．（10分后）（2021?河南演示）在直角坐标系xoy中，圆c的参数方程为参数），以o为极点，x轴的非负半轴为极轴创建极坐标系．（1）谋圆c的极坐标方程；（φ（2）直线l的极坐标方程就是2ρsin（θ+）=3，射线om：θ=与圆c的交点为o、p，与直线l的交点为q，求线段pq的长．18．（12分）（2021?黄浦区二模）在△abc 中，记∠bac=x（角的单位是弧度制），△abc的面积为s，且=8，4≤s≤4．（1）求x的取值范围；（2）根据（1）中x的值域范围，求函数f（x）=2sin（x+2）+2cosx2的最大值和最小值．19．（12分后）（2021?衡阳三模）在△abc中，角a、b、c面元的边为a、b、c，且满足用户cos2acos2b=（1）求角b的值；（2）若且b≤a，谋的取值范围．20．（12分后）（2021?成都校级演示）未知数列{an}中，a1=1，当n≥2时，其前n 项和sn八十2肢snansn+2an=0．（1）谋an．（2）若bn=2n1，记{}前n项和为tn，求证：tn＜3．21．（12分后）（2021秋?哈尔滨校级月托福）数列{an}的前n项和为sn，且满足用户s1=2，sn+1=3sn+2．（1）谋数列{an}的通项公式an；（2）设立，求证：b1+b2+…+bn＜1．222．（12分）（2021?哈尔滨校级四模）设函数f（x）=x+bln（x+1），其中b≠0．（ⅰ）当b=时，判断函数f（x）在定义域上的单调性；（ⅱ）当b＜时，求函数f （x）的极值点（ⅲ）证明对任意的正整数n，不等式都设立．2021-2021学年黑龙江省哈尔滨六中高三（上）10月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分后，在每小题得出的四个选项中，只有一项就是合乎题目建议的）哈尔滨市第六中学2021届高三10月月托福数学试卷（理工类）1．（5分后）（2021?浙江演示）设立子集a．（1，+∞）b．[1，2）c．（1，2），d．[1，2]，，则m∩n=（）【分析】由题意，可以先化简两个子集，得，再由交集的运算求出交集，即可选出正确答案．【答疑】求解：由题意，，∴m∩n={x|1≤x＜2}∩{x|x＞1}=（1，2），故选c．【评测】本题考查谋子集的交，求解分式不等式，指数不等式，解题的关键就是恰当化简两个子集及认知缴的运算．2．（5分）（2021?上饶校级一模）已知i为虚数单位，a∈r，若a1+（a+1）i为纯虚数，则复数z=a+（a2）i在复平面内对应的点位于（）a．第一象限b．第二象限c．第三象限d．第四象限【分析】由复数为氢铵虚数求出a，进一步算出z的座标得答案．【答疑】求解：由a1+（a+1）i为氢铵虚数，得22，解得a=1．∴z=a+（a2）i=1i．则复数z=a+（a2）i在复平面内对应的点的坐标为（1，1），位于第四象限．故选：d．【评测】本题考查了复数的等式表示法及其几何意义，就是基础题．3．（5分）（2021?郴州模拟）已知a＞1，，则f（x）＜1设立的一个充份不必要条件是（）a．0＜x＜1b．1＜x＜0c．2＜x＜0d．2＜x＜1【分析】求出不等式的解集即不等式成立的充要条件；据当集合a?集合b且b?a时，a是b的充分不必要条件．【答疑】求解：f（x）＜1设立的充要条件就是∵a＞1∴x+2x＜0∴2＜x＜0∴f（x）＜1成立的一个充分不必要条件是1＜x＜0故选项为b【评测】本题考查不等式的边值问题就是不等式的充要条件；据子集之间的关系推论条件关系．4．（5分）（2021?南昌校级二模）已知函数=sin2x+cos2x的图象，只须要将y=f（x）的图象（）a．向右位移c．向右位移个单位长度个单位长度b．向左位移d．向左位移个单位长度个单位长度，为了获得函数g（x）2【分析】利用二倍角公式、两角和高的正弦公式化珍函数f（x）和g（x）的解析式，再根据函数y=asin（ωx+?）的图象转换规律，得出结论．【答疑】求解：由于函数=sin2x，函数g（x）=sin2x+cos2x=sin（2x+）=sin2（x+），个单位长度，即可获得g（x）的图象，故将y=f（x）的图象向左平移故挑选d．【点评】本题主要考查函数y=asin（ωx+?）的图象变换规律，以及二倍角公式、两角和差的正弦公式的应用，属于中档题．5．（5分后）（2021秋?哈尔滨校级月托福）未知函数＞4a，则实数a的值域范围就是（）a．（∞，1）b．（∞，0）c．d．（1，+∞），若f（f（1））【分析】根据分段函数值的求法，先求出f（1）=3，再求f（3）=1+3a，得到关于a的不等式解得即可．1【解答】解：f（1）=2+1=3，f（3）=log33+3a=1+3a，∴f（f（1））=1+3a，∴1+3a＞4a，解得a＜1，故选：a．【评测】本题考查了分段函数的函数值的带发修行，和不等式的数学分析，属基础题．6．（5分）（2021秋?哈尔滨校级月考）已知α是△abc的一个内角，且则sin2α+cosα的值为（）2，篇二：2021年黑龙江中考演示(二)数学试卷（二）一．选择题（共12小题）1．在“世界读书日”前夕，为了了解某地5000名居民某天的阅读时间，从中抽取了200名居民的阅读时间进行统计分析，在这个问题中，5000名居民的阅读时间的全体是（）a．总体b．个体c．样本的容量d．从总体中提取的一个样本2．“λ＜1”是“数列an=n2λn（n∈n）为递增数列”的（）a．充份不必要条件b．必要不充分条件c．充要条件d．既不充分也不必要条件3．为了研究某药品的疗效，挑选出若干名志愿者展开临床试验．所有志愿者的舒张压数据（单位：kpa）的分组区间为[12，13），[13，14），[14，15），[15，16），[16，17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，…，第五组．例如图就是根据试验数据做成的频率分布直方图．未知第一组与第二组共计20人，第三组中没疗效的存有6人，则第三组中存有疗效的人数为（）2*a．6b．8c．12d．184．正六棱柱abcdefa1b1c1d1e1f1的底面边长为1，侧棱长为，则这个棱柱侧面对角线e1d与bc1所成的角是（）a．90°b．60°c．45°d．30°5．王明早晨在6：30～7：00之间离开家去上学，送奶员在早上6：45～7：15之把牛奶送到王明家，则王明离开家之前能取到牛奶的概率为（）a．b．c．d．6．如图是“二分法”解方程的流程图．在①～④处应填写的内容分别就是（）a．f（a）f（m）＜0；a=m；是；否b．f（b）f（m）＜0；b=m；就是；否c．f（b）f（m）＜0；m=b；是；否d．f（b）f（m）＜0；b=m；否；就是7．已知向量=（0，1，1），（4，1，0），|λ+|=且λ＞0，则λ=（）a．2b．2c．3d．38在区间[1，5]和[2，4]分别挑一个数，记作a，b，则方程则表示焦点在x轴上且距心率大于的椭圆的概率为（）a．b．c．d．9．例如图，在长方体abcda1b1c1d1中，ab=bc=2，aa1=1，则bc1与平面bb1d1d所成角的正弦值（）a．b．c．d．10．未知中心在原点的椭圆与双曲线存有公共焦点，且左右汪点分别为f1f2，且两条曲线在第一象限的交点为p，△pf1f2就是以pf1为底边的等腰三角形．若|pf1|=10，椭圆与双曲线的离心率分别为e1，e2，则e1?e2的取值范围是（）a．（0，）b．d．=+λc．11．未知o就是平面上一定点，apbpc就是平面上不共线的三个点，动点p满足用户（+）λ∈[0，+∞），则点p的轨迹一定通过△abc的（）a．外心b．内心c．战略重点d．正三角形12．已知a，b是抛物线y=4x上异于顶点o的两个点，直线oa与直线ob的斜率之积为22定值4，△aof，△bof的面积为s1，s2，则s1+s2的最小值为（）a．8b．6c．4d．2二．填空题（共4小题）2213．椭圆5xky=5的一个焦点是（0，2），那么k=．14．设立，，就是单位向量，且15．存在两条直线x=±m与双曲线，则向量，的夹角等于．=1（a＞0，b＞0）相交于四点a，b，c，d，且216．例如图，在正三角形abc中，d，e，f分别为各边的中点，g，h分别为de，af 的中点，将△abc沿de，ef，df卷成正四面体pdef，则四面体中异面直线pg与dh阿芒塔的角的余弦值．三．解答题（共6小题）17．未知两个命题r：sinx+cosx＞m，s：x+mx+1＞0．如果任一的x∈r，r与s存有且仅有一个就是真命题，谋实数m的值域范围．18．过抛物线顶点任做互相垂直的两弦，交此抛物线于两点，求证此两点联线的中点的轨迹仍为一抛物线．19.例如图，在四棱柱abcda1b1c1d1中，两端棱aa1⊥底面abcd，ab∥dc，aa1=1，ab=3k，ad=4k，bc=5k，dc=6k（k＞0）．（ⅰ）求证：cd⊥平面add1a1；（ⅱ）若直线aa1与平面ab1c所成角的正弦值，谋k的值．20．某校随机提取某次高三数学模拟考试甲、乙两班各10名同学的客观题成绩（满分60分后），统计数据后赢得成绩数据的茎叶图（以十位数字为茎，个位数字为叶），如图所示：（ⅰ）分别排序两组数据的平均数，并比较哪个班级的客观题平均值成绩更好；（ⅱ）从这两组数据中分别抽取一个数据，求其中至少有一个是满分（60分）的概率；（ⅲ）规定：客观题成绩不低于55分为“优秀客观卷”，从甲班的十个数据中任意抽取两个，21．例如图，四边形abcd就是边长为2的正方形，de⊥平面abcd，af∥de，de=2af，be与平面abcd所成角的正弦值．2（ⅰ）求证：直线ac∥平面efb；（ⅱ）谋直线ac与平面abe所成角的正弦值．22.已知椭圆c：+=1（a＞b＞0）的离心率为，以原点为圆心、椭圆的短半轴长为半径的圆与直线xy+2=0相切．（ⅰ）谋椭圆c的方程；（ⅱ）设a（4，0），过点r（3，0）作与x轴不重合的直线l交椭圆于p，q两点，连结ap，aq分别交直线x=于m，n两点，试探究直线mr、nr的斜率之积是否为定值，若为定值，请求出；若不为定值，请说明理由．参考答案（二）1.a2.a3.c4.b5.a6.b7.d8．【答疑】求解：∵，∴a＞b＞0，a＜2b它对应的平面区域例如图中阴影部分右图：则方程的概率为p==，故选b．表示焦点在x轴上且离心率小于的椭圆表示焦点在x轴上且离心率小于9．d．10．【解答】解：设椭圆与双曲线的半焦距为c，pf1=r1，pf2=r2．由题意知r1=10，r2=2c，且r1＞r2，2r2＞r1，∴2c＜10，2c+2c＞10，?＜c＜5．?∴∴=；，故挑选c．=．，11．【解答】解：∵∴而λ=+（+λ=2+（）则表示与+）=设立它们等同于t，共线的向量而点d是bc的中点，所以即p的轨迹一定通过三角形的重心．故选c12．【答疑】求解：设a（x1，y1），b（x2，y2），则∵直线oa与直线ob的斜率之积为定值4，∴∴y1y2=4，∵△aof，△bof的面积为s1，s2，∴s1+s2=（y1+y2）≥?2|y1y2|=2，当且仅当|y1|=|y2|时取等号，故选：d．二．选择题（共4小题）2222=4，篇三：2021届黑龙江省大庆市高三第一次模拟考试数学(理科)(解析版)黑龙江省大庆市2021年高考数学一模试卷（理科）（解析版）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分后，满分60分后）1．已知集合a={x|x2＜0}，b={x|x＜a}，若a∩b=a，则实数a的取值范围是（）a．（∞，2]b．[2，+∞）c．（∞，2]d．[2，+∞）【分析】化简a，再根据a∩b=a，求出实数a的值域范围．【解答】解：∵集合a={x|x2＜0}={x|x＜2}，b={x|x＜a}，a∩b=a，∴a≥2，故选：d．【评测】本题主要考查两个子集的关连的定义和带发修行，属基础题．2．若复数x满足x+i=a．b．10c．4d．，则复数x的有理函数（）【分析】利用复数代数形式的乘除运算求得复数x，再求其模即可．【答疑】求解：x+i=∴x=∴|x|=，，i=13i，故选：a．【评测】本题考查复数代数形式的秦九韶运算，属基础题．3．下列函数中，在（0，+∞）上单调递减，并且是偶函数的是（）a．y=x2b．y=x3c．y=ln|x|d．y=2x【分析】本题根据函数奇偶性定义，判断函数的是否为偶函数，再根据函数单调性判断函数是否为减函数，得到本题结论．【答疑】求解：选项a，y=x2是偶函数，当x＞0时，y=x在在（0，+∞）上单调递减，相左题意；选项b，y=x3，就是奇函数，相左题意；选项c，y=ln|x|就是偶函数，当x＞0时，y=lnx在在（0，+∞）上单调递减，符合题意；选项d，y=2x，不是偶函数，递增，不合题意．故挑选：c．【点评】本题考查了奇偶性与单调性，本题难度不大，属于基础题．4．双曲线的一个顶点为（2，0），一条渐近线方程为y=a．=1b．=1c．=1d．x，则该双曲线的方程是（）=1【分析】根据双曲线的一条渐近线方程为y=x，且一个顶点的座标就是（2，0），可以确认双曲线的焦点在x轴上，从而可以谋双曲线的标准方程．【解答】解：∵双曲线的一个顶点为（2，0），∴其焦点在x轴，且虚半轴的长a=2，∵双曲线的一条渐近线方程为y=∴双曲线的方程就是故选：d．【评测】本题考查双曲线的直观性质，推论焦点边线与实半轴的短就是关键，属中档题．5．下列说法中不正确的个数是（）①命题“?x∈r，x3x2+1≤0”的驳斥就是“?x0∈r，x03x02+1＞0”；②若“p∧q”为假命题，则p、q均为假命题；③“三个数a，b，c成等比数列”就是“b=a．ob．1c．2d．3”的既不充份也不必要条件．=1．x，∴b=2，【分析】①根据含有量词的命题的否定判断．②根据复合命题与简单命题之间的关系判断．③根据充分条件和必要条件的定义判断．【答疑】求解：①全称命题的驳斥就是特称命题，∴命题“?x∈r，x3x2+1≤0”的驳斥就是“?x0∈r，x03x02+1＞0”恰当．②若“p∧q”为假命题，则p、q至少有一个为假命题；故错误．③“三个数a，b，c成等比数列”则b2=ac，∴b=若a=b=c=0，满足b=，，但三个数a，b，c成等比数列不成立，”的既不充份也不必要条件，恰当．∴“三个数a，b，c成等比数列”就是“b=故不正确的是②．故挑选：b．【点评】本题主要考查命题的真假判断，解决的关键是对于命题的否定以及真值的判定的运用，属于基础题6．未知直线l⊥平面α，直线m?平面β，得出以下命题①α∥β=l⊥m；②α⊥β?l∥m；③l∥m?α⊥β；④l⊥m?α∥β．其中正确命题的序号是（）a．①②③b．②③④c．①③d．②④【分析】由两平行平面中的一个和直线垂直，另一个也和平面垂直得直线l⊥平面β，再利用面面垂直的判定可得①为真命题；当直线与平面都和同一平面横向时，直线与平面可以平行，也可以在平面内，故②为假命题；由两平行线中的一条和平面垂直，另一条也和平面垂直得直线m⊥平面α，再利用面面垂直的判定可得③为真命题；当直线与平面都和同一平面横向时，直线与平面可以平行，也可以在平面内，如果直线m在平面α内，则存有α和β平行于m，故④为假命题．l⊥平面α且α∥β可以得到直线l⊥平面β，【解答】解：又由直线m?平面β，所以有l⊥m；即为①为真命题；因为直线l⊥平面α且α⊥β可得直线l平行与平面β或在平面β内，又由直线m?平面β，所以l与m，可以平行，相交，异面；故②为假命题；因为直线l⊥平面α且l∥m只须直线m⊥平面α，又由直线m?平面β可以得α⊥β；即为③为真命题；由直线l⊥平面α以及l⊥m可得直线m平行与平面α或在平面α内，又由直线m?平面β得α与β可以平行也可以相交，即④为假命题．所以真命题为①③．故选c．【评测】本题就是对空间中直线和平面以及直线和直线边线关系的综合考查．重点考查课本上的公理，定理以及推断，所以一定必须对课本科学知识掌控娴熟，对公理，定理以及推断认知细致，并会用．7．b]上的连续函数y=fb]，=记定义在区间[a，（x），如果存在x0∈[a，使得f（x0）设立，则表示x0为函数f（x）在[a，b]上的“平均值点”，那么函数f（x）=x3+2x在[1，1]上“平均值点”的个数为（）a．1b．2c．3d．4【分析】由崭新定义排序的定分数可以将问题转变为g（x）=x3+2x在x∈[1，1]上的零点个数，由零点认定定理和函数单调性可以得．【解答】解：由题意可得（x3+2x）dx=（x4+x2）=，∴函数f（x）=x3+2x在[1，1]上“平均值点”的个数为方程x3+2x=在[1，1]上根的个数，构造函数g（x）=x3+2x，则问题转化为g（x）在x∈[1，1]上的零点个数，求导数可得g′（x）=3x2+2＞0，故函数g（x）在x∈[1，1]上单调递增，由g（1）g（1）＜0，故函数g（x）在x∈[1，1]上存有唯一一个零点．故选：a．【评测】本题考查的定分数的运算，牵涉转变和数形融合的思想，属于中档题．8．（5分）（2021呼伦贝尔一模）一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为4的两个全等的等腰直角三角形．若该几何体的体积为v，并且可以用n个这样的几何体拼成一个棱长为4的正方体，则v，n的值是（）a．v=32，n=2b．c．d．v=16，n=4【分析】由三视图可知，几何体为底面是正方形的四棱锥，再根据公式求解即可．【答疑】求解：由三视图所述，几何体为底面就是正方形的四棱锥，所以v=，边长为4的正方体v=64，所以n=3．故选b【评测】本题考查学生的空间想象能力，就是基础题．9．（5分）（2021漳州一模）已知曲线f（x）=sin（wx）+相连的对称轴之间的距离为x0=（）a．b．c．d．]内的x0的值．cos（wx）（w＞0）的两条]，则，且曲线关于点（x0，0）成中心对称，若x0∈[0，【分析】利用两角和的正弦公式化简f（x），然后由f（x0）=0求得[0，【答疑】求解：∵曲线f（x）=sin（wx）+轴之间的距离为∴∴w=2∴f（x）=2sin（2x+）．=π，，cos（wx）=2sin（wx+）的两条相连的等距∵f（x）的图象关于点（x0，0）成中心对称，∴f（x0）=0，即2sin（2x0+）=0，。

数学试题（文科）第I 卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1. 两直线330x y +-=与610x my ++=平行，则m =（ ） A. 4B. 3C.52D. 2【★答案★】D 【解析】 【分析】根据两直线平行，斜率相等即可求出m 的值.【详解】由330x y +-=得33y x =-+，所以330x y +-=的斜率为3-， 所以0m ≠，由610x my ++=得61y x m m =--，所以63m-=-， 解得：2m =， 故选：D【点睛】本题主要考查了两直线平行，斜率相等，属于基础题. 2. 【★答案★】D3. 椭圆221259x y +=与双曲线221124y x -=的关系是（ ）A. 有相同的离心率B. 有相等的焦距C. 有相同的焦点D. 有相同的顶点【★答案★】B 【解析】 【分析】分别求出椭圆和双曲线的离心率，焦距，焦点，顶点，即可判断.【详解】在椭圆221259x y +=中，5,3,4a b c ===，则离心率45c e a ==，焦距28c =，焦点为()4,0-，()4,0，顶点为()()()()5,0,5,0,0,3,0,3--；在双曲线221124y x -=中，2,4a b c ===，则离心率c e a ==，焦距28c =，焦点为()()0,4,0,4-，顶点为((,0,-，综上可知，椭圆221259x y +=与双曲线221124y x -=有相同的焦距.故选：B.【点睛】本题考查椭圆和双曲线的性质，属于基础题. 4. 【★答案★】 D5. 点(2,1)P 关于直线+10x y -=的对称点坐标为（ ） A. 3(0,)2- B. (1,0)- C. (0,1)- D. 3(,0)2-【★答案★】C 【解析】 【分析】设(2,1)P 关于直线+10x y -=的对称点坐标为()100,P x y ，根据直线1PP 与+10x y -=垂直， (2,1)P 和()100,P x y 中点在直线+10x y -=上，列方程组即可求解.【详解】设(2,1)P 关于直线+10x y -=的对称点坐标为()100,P x y ，因为直线1PP 与+10x y -=垂直，所以()001112y x -⨯-=--，即001y x =-， 又因为(2,1)P 和()100,P x y 中点在直线+10x y -=上， 所以00211022x y +++-=，即001y x +=-， 所以00x =，01y =-，所以点(2,1)P 关于直线+10x y -=的对称点坐标为(0,1)-， 故选：C【点睛】本题主要考查了求点关于直线对称的点，属于中档题.6. 设抛物线2:4C y x =上一点P 到y 轴的距离为4，则点P 到抛物线C 的焦点的距离是（ ）A. 5B. 5.5C. 6D. 7【★答案★】A 【解析】 【分析】求出点P 的横坐标，利用抛物线的定义可求得点P 到抛物线焦点的距离.【详解】抛物线C 的准线方程为1x =-，由于抛物线上的点P 到y 轴的距离为4， 则点P 的横坐标为4，由抛物线的定义可知，点P 到抛物线C 的焦点的距离是415+=. 故选：A.【点睛】本题考查利用抛物线的定义求解焦半径，考查计算能力，属于基础题. 7. 【★答案★】 B8. 一个动圆与圆221:(3)1C x y ++=外切，与圆22:(3)81C x y +-=内切，则这个动圆圆心的轨迹方程为（ ）A. 2212516y x +=B. 2212516x y +=C. 221169y x +=D.221169x y += 【★答案★】A 【解析】 【分析】根据题意得到动圆圆心到两个定圆圆心的距离之和为常数，且大于两个定点的距离，故轨迹为椭圆，根据条件计算得到★答案★.【详解】设动圆半径为r ，圆心为M ，根据题意可知，2(0,3C ）和1(0,3C -），1||1+MC r =，2||9MC r =-，12|C |3(3)6C =--=12||+||91+106MC MC r r =-+=>，故动圆圆心的轨迹为焦点在y 轴上椭圆，且焦点坐标为2(0,3C ）和1(0,3C -），其中210,5a a ==, 122||6,3c C C c === ， 所以222=25916b a c -=-=，故椭圆轨迹方程为: 2251162x y +=，【点睛】本题考查了椭圆的轨迹方程，确定轨迹方程的类型是解题的关键. 9. 【★答案★】 C10. 已知斜率为1的直线l 过椭圆22184y x +=的下焦点，交椭圆于,A B 两点，O 为坐标原点，则OAB 的面积是（ ）A.B. 8C. 4D.83【★答案★】D 【解析】 【分析】求出直线方程，代入椭圆方程，求得交点的坐标，然后求解△OAB 的面积.【详解】椭圆22184y x +=的下焦点坐标为(0,2)- ,∵斜率为1的直线过椭圆22184y x +=的下焦点，∴可得直线方程为2y x =-，代入椭圆方程可得23440x x --=，2x ∴=或23x =-，OAB ∴△的面积：11282222233⨯⨯+⨯⨯=，故选：D【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，三角形的面积的求法，属于基础题.11. 若椭圆221164x y +=弦AB 被点(1,1)M 平分，则AB 所在直线方程为（ ）A. 450x y -+=B. 450x y +-=C. 450x y -+=D. 450x y +-=【★答案★】B 【解析】采用点差法，设()()1122,,,A x y B x y ，联立方程即可求解【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，则满足2211222211641164x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 两式作差得()222212124x x y y -=--，又AB 被点(1,1)M 平分，故12121212x x y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，且直线AB 的斜率存在，所以1221122114x x y y y y x x ⎛⎫+--=⎪+-⎝⎭， 化简得212114AB y y k x x -==--，则AB 所在直线方程为()1114y x =--+， 化简得450x y +-= 故选：B【点睛】本题考查由椭圆弦中点求对应直线方程，点差法是解决此类题型关键，对于小题，也可熟记结论22AB OMk k b a=-⋅，属于中档题12. 已知双曲线22142x y -=的右焦点为F ，P 为双曲线左支上一点，点A ，则APF ∆周长的最小值为（ ）A. 4+B. 4(1+C.D.【★答案★】B 【解析】曲线22142x y -=右焦点为F()6,0，APF∆周长2l AF AP PF AF AP a PF =++=++'+ 要使APF ∆周长最小，只需AP PF +' 最小，如图：当,,A P F '三点共线时取到,故l =2|AF |+2a =(412 故选B点睛：本题考查了双曲线的定义，两条线段之和取得最小值的转化，考查了转化思想，属于中档题.第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，请把正确★答案★填在题中横线上)13. 以双曲线221169x y -=的中心为顶点，右焦点为焦点的抛物线方程为_________.【★答案★】220y x =【解析】 【分析】求出双曲线的中心和右焦点坐标，最后写出抛物线方程.【详解】由双曲线方程221169x y -=可知：双曲线的中心为坐标原点，4,3a b ==， 因此2222435c a b =+=+=，所以右焦点坐标为：(5,0)，由题意可知：抛物线的焦点坐标为：(5,0)，中心为坐标原点，所以抛物线方程设为：22(0)y px p =>，于是有5102pp =⇒=，所以抛物线方程为：220y x =.故★答案★为：220y x =【点睛】本题考查了双曲线的中心和焦点的坐标，考查了抛物线方程的求法，考查了数学运算能力.14. 【★答案★】 115. 过(2,2)P 作圆22:(1)1C x y -+=的切线，则其切线方程为____________. 【★答案★】2x =或3420x y+=- 【解析】 【分析】当过点(2,2)的直线斜率不存在时，方程是2x =，通过验证圆心到直线的距离，得到2x =符合题意；当过点(2,2)的直线斜率存在时，设直线方程为(22)y k x -=-，根据圆心到直线的距离等于半径1，建立关于k 的方程，解之得k ，进而得到直线的方程，最后综合可得★答案★．【详解】圆22:(1)1C x y -+=的圆心为(1,0)，半径为1， （1）当过点(2,2)的直线垂直于x 轴时， 此时直线斜率不存在，方程是2x =， 圆心(1,0)O 到直线的距离为1dr ，∴直线2x =符合题意；（2）当过点(2,2)的直线不垂直于x 轴时，设直线方程为(22)y k x -=-，即220kx y k --+=． 直线是22:(1)1C x y -+=的切线，∴点(1,0)O 到直线的距离为1d ==，解之得34k =，此时直线方程为3420x y+=-．∴切线方程为2x =或3420x y+=-．故★答案★为：2x =或3420x y+=-．【点睛】借助于求过圆外一个定点的圆的切线方程的问题，考查了直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式等知识点，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．16. 已知椭圆22162x y C +=：的左、右焦点分别为12,,F F 过2F 的通径AB （过焦点垂直于长轴的弦叫做通径），则1ABF 的内切圆方程为____________. 【★答案★】2244()39x y -+= 【解析】 【分析】 先求出6a =，2b =，2c =，求出156AF =，26AF =，进而可以求出1ABF 的周长L 和面积S ，设1ABF 的内切圆半径为r ，由12S r L =⨯⨯即可求出r ，利用2F 坐标和半径即可以求出圆心坐标，从而得出圆的方程.【详解】设1ABF 的内切圆半径为r ，由椭圆的方程知：6a =2b =622c =-=则124F F =，因为AB 垂直于x 轴，所以221216AF AF -= ，12226AF AF a +==解得：156AF =26AF =， 1ABF 的周长为1256562646333L AF AF AB =++=++=，其面积为：1211264642233S AB F F =⨯⨯=⨯=，由内切圆的性质得：12S r L =⨯⨯12r =⨯⨯23r =， 圆心横坐标为：24233-=，所以圆心坐标为4,03⎛⎫ ⎪⎝⎭， 所以所求圆的方程为：2244()39x y -+=， 故★答案★为：2244()39x y -+=【点睛】本题主要考查了椭圆的几何性质以及圆的方程，属于中档题.三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17. 已知直线1:3100l x y -+=与2:280l x y +-=相交于点A ，点O 为坐标原点，P 为线段OA 的中点.（1）求点P 的坐标；（2）过点P 作直线l 垂直于直线1l ，求直线l 的方程.【★答案★】（1）()12，；（2）350x y +-=.【解析】 【分析】（1）通过联立方程组求出直线的交点坐标，利用中点坐标公式即可求解； （2）直线l 垂直于直线1l 可以求出直线l 的斜率，再结合过点P 即可求解【详解】（1）因为直线13100l x y -+=：与2280l x y +-=：相交于点A ， 解方程组3100280x y x y -+=⎧⎨+-=⎩，，得24x y =⎧⎨=⎩，，所以()24A ，. 因为()00O ，，P 为线段OA 中点，故由中点坐标公式求得()12P ，. （2）当1l l ⊥时，直线l 的斜率为3-，因为直线l 过()12P ，，所以直线l 的方程：23(1)y x -=-- 故直线l 的方程为：350x y +-=.【点睛】本题只要考查了求两条直线的交点坐标，以及求直线的方程，涉及中点坐标公式，两直线垂直斜率为1-，属于基础题.18.已知p ：实数x 满足不等式（x ﹣a ）（x ﹣3a ）＜0（a ＞0），q ：实数x 满足不等式|x ﹣5|＜3． （1）当a ＝1时，p ∧q 为真命题，求实数x 的取值范围； （2）若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．【解答】解：p ：实数x 满足不等式（x ﹣a ）（x ﹣3a ）＜0（a ＞0），解得：a ＜x ＜3a ．a ＞0．q ：实数x 满足不等式|x ﹣5|＜3，解得2＜x ＜8．（1）当a ＝1时，p ：1＜x ＜3．p ∧q 为真命题，∴，解得2＜x ＜3．∴实数x 的取值范围是2＜x ＜3． （2）若p 是q 的充分不必要条件，则，等号不能同时成立，解得：2≤a ≤．∴实数a 的取值范围是2≤a ≤．【知识点】充分条件、必要条件、充要条件、复合命题及其真假19．已知：双曲线:C 221169x y -=.（1）求双曲线C 的焦点坐标、顶点坐标、离心率；（2）若一条双曲线与已知双曲线C 有相同的渐近线，且经过点(23,3)A -，求该双曲线的方程.【★答案★】(1)焦点()5,0±，顶点()4,0±，离心率54e =；(2)224194y x -=【解析】（1）由双曲线:C 221169x y -=可得：4,3a b ==，从而求得：5c =，问题得解．（2）设所求双曲线的方程为：22169x y -=λ，将()23,3A -代入即可求得λ，问题得解．【详解】双曲线:C 221169x y -=，所以4,3a b ==，∴225c a b =+=，∴双曲线C 的焦点坐标()5,0-，()5,0，顶点坐标()4,0-，()4,0，离心率54c e a ==．（2）设所求双曲线的方程为：22169x y -=λ， 将()23,3A -代入上式得：()()22233169λ--=，解得：14λ=- ∴所求双曲线的方程为：224194y x -=． 【点睛】（1）主要考查了双曲线的简单几何性质，属于基础题．（2）主要考查了共渐近线的双曲线方程的特征-若双曲线方程为：22221x y a b-=()0,0a b >> 则与它共共渐近线的双曲线方程可设为：2222x y a bλ-=，属于基础题．20. 如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是直角梯形，90,//DAB AD BC ∠=︒，AD ⊥侧面,PAB PAB ∆是等边三角形，2DA AB ==，12BC AD =，E 是线段AB 的中点.（1）求证：PE ⊥平面ABCD ；（2）求四棱锥P ABCD -的体积.【★答案★】（1）证明见解析；（23【解析】【分析】(1）根据PE AB ⊥，PE AB ⊥即可得出PE ⊥平面ABCD ;(2）计算PE ，代入棱锥的体积公式计算．【详解】（1）因为AD ⊥侧面PAB ，PE ⊂平面PAB ，所以AD PE ⊥，又因为PAB △是等边三角形，E 是线段AB 的中点，所以PE AB ⊥，因为AD AB A ⋂=，所以PE ⊥平面ABCD .（2）由（1）知：PE ⊥平面ABCD ，所以PE 是四棱锥P ABCD -的高，由2DA AB ==，12BC AD =，可得1BC =，因为PAB △是等边三角形，可求得PE =所以()111122332P ABCD ABCD V S PE -=⋅=⨯+⨯=【点睛】本题考查了线面垂直的判定，棱锥的体积计算，属于中档题.21. 在平面直角坐标系xOy 中，圆C 经过(3,4),(3,2),(0,1)P Q R -三点.（1）求圆C 的方程；（2）若圆C 与直线0x y a -+=交于,A B 两点，且CA CB ⊥，求a 的值.【★答案★】（1）()()22319x y -+-=；（2）1a =或5-.【分析】（1）因为圆C 的圆心在线段PQ 的垂直平分线上，所以可设圆C 的圆心为(),1t ，即可求出参数t ，得到圆心坐标，再求出圆的半径，从而求出圆的方程；（2）依题意可得ACB △为等腰直角三角形，则圆心到直线的距离3sin 45d =︒，从而求出参数的值； 【详解】解：（1）因为圆C 的圆心在线段PQ 的垂直平分线上，所以可设圆C 的圆心为()1t ，，则有()()()222231411t t -+-=+-，解得3t =.即圆心为()31，则圆C 3=.所以圆C 的方程为()()22319x y -+-=.（2）因为圆C 与直线0x y a -+=交于,A B 两点，且CA CB ⊥，所以ACB △为等腰直角三角形，点C 到直线AB距离3sin 45d =︒=解得15a =-或. 【点睛】本题考查几何意义法求圆的方程，直线与圆的位置关系求参数的值，属于基础题.22. 已知椭圆2222+=1(0)x y a b a b 的左焦点为(,0)F c -,离心率为3，点M 在椭圆上且位于第一象限，直线FM 被圆222+4b x y =截得的线段的长为c，|FM|=3. （Ⅰ）求直线FM 的斜率；（Ⅱ）求椭圆的方程；（Ⅲ）设动点P 在椭圆上，若直线FP，求直线OP （O 为原点）的斜率的取值范围.【★答案★】（Ⅰ）（Ⅱ）22132x y += ；（Ⅲ）,⎛-∞⋃ ⎝⎭⎝⎭. 【解析】 （Ⅰ） 由已知有2213c a =，又由222a b c =+，可得223a c =，222b c =， 设直线FM 的斜率为(0)k k >，则直线FM 的方程为()y k x c =+，由已知有22222c b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得k =（Ⅱ）由（Ⅰ）得椭圆方程为2222132x y c c+=，直线FM 的方程为()y k x c =+，两个方程联立，消去y ，整理得 223250x cx c +-=，解得53x c =-或x c =，因为点M 在第一象限，可得M的坐标为c ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，由FM ==1c =，所以椭圆方程为22132x y +=（Ⅲ）设点P 的坐标为(,)x y ，直线FP 的斜率为t ，得1y t x =+，即(1)y t x =+(1)x ≠-,与椭圆方程联立22(1){132y t x x y =++=，消去y ，整理得22223(1)6x t x ++=，又由已知，得t => 312x -<<-或10x -<<， 设直线OP 的斜率为m ，得y m x =，即(0)y mx x =≠，与椭圆方程联立，整理可得22223m x =-. ①当3,12x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭时，有(1)0y t x =+<，因此0m >，于是m =33m ⎛∈ ⎝⎭②当()1,0x ∈-时，有(1)0y t x =+>，因此0m <，于是m =,m ⎛∈-∞ ⎝⎭综上，直线OP的斜率的取值范围是,⎛-∞⋃ ⎝⎭⎝⎭考点：1.椭圆的标准方程和几何性质；2.直线和圆的位置关系；3.一元二次不等式.。

双鸭山市第一中学2020-2021学年高二第二次月考数学试题（文科）第I 卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1. 两直线330x y +-=与610x my ++=平行，则m =（ ） A. 4 B. 3C.52D. 2【答案】D 【解析】 【分析】根据两直线平行，斜率相等即可求出m 的值.【详解】由330x y +-=得33y x =-+，所以330x y +-=的斜率为3-， 所以0m ≠，由610x my ++=得61y x m m =--，所以63m-=-， 解得：2m =， 故选：D【点睛】本题主要考查了两直线平行，斜率相等，属于基础题. 2. 【答案】D3. 椭圆221259x y +=与双曲线221124y x -=的关系是（ ）A. 有相同的离心率B. 有相等的焦距C. 有相同的焦点D. 有相同的顶点【答案】B 【解析】 【分析】分别求出椭圆和双曲线的离心率，焦距，焦点，顶点，即可判断.【详解】在椭圆221259x y +=中，5,3,4a b c ===，则离心率45c e a ==，焦距28c =，焦点为()4,0-，()4,0，顶点为()()()()5,0,5,0,0,3,0,3--；在双曲线221124y x -=中，2,4a b c ===，则离心率c e a ==，焦距28c =，焦点为()()0,4,0,4-，顶点为((,0,-，综上可知，椭圆221259x y +=与双曲线221124y x -=有相同的焦距.故选：B.【点睛】本题考查椭圆和双曲线的性质，属于基础题. 4. 【答案】 D5. 点(2,1)P 关于直线+10x y -=的对称点坐标为（ ） A. 3(0,)2- B. (1,0)- C. (0,1)- D. 3(,0)2-【答案】C 【解析】 【分析】设(2,1)P 关于直线+10x y -=的对称点坐标为()100,P x y ，根据直线1PP 与+10x y -=垂直， (2,1)P 和()100,P x y 中点在直线+10x y -=上，列方程组即可求解.【详解】设(2,1)P 关于直线+10x y -=的对称点坐标为()100,P x y ，因为直线1PP 与+10x y -=垂直，所以()001112y x -⨯-=--，即001y x =-， 又因为(2,1)P 和()100,P x y 中点在直线+10x y -=上， 所以00211022x y +++-=，即001y x +=-， 所以00x =，01y =-，所以点(2,1)P 关于直线+10x y -=的对称点坐标为(0,1)-， 故选：C【点睛】本题主要考查了求点关于直线对称的点，属于中档题.6. 设抛物线2:4C y x =上一点P 到y 轴的距离为4，则点P 到抛物线C 的焦点的距离是（ ） A. 5 B. 5.5 C. 6 D. 7【答案】A 【解析】 【分析】求出点P 的横坐标，利用抛物线的定义可求得点P 到抛物线焦点的距离.【详解】抛物线C 的准线方程为1x =-，由于抛物线上的点P 到y 轴的距离为4， 则点P 的横坐标为4，由抛物线的定义可知，点P 到抛物线C 的焦点的距离是415+=. 故选：A.【点睛】本题考查利用抛物线的定义求解焦半径，考查计算能力，属于基础题. 7. 【答案】 B8. 一个动圆与圆221:(3)1C x y ++=外切，与圆22:(3)81C x y +-=内切，则这个动圆圆心的轨迹方程为（ ）A. 2212516y x +=B. 2212516x y +=C. 221169y x +=D.221169x y += 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意得到动圆圆心到两个定圆圆心的距离之和为常数，且大于两个定点的距离，故轨迹为椭圆，根据条件计算得到答案.【详解】设动圆半径为r ，圆心为M ，根据题意可知，2(0,3C ）和1(0,3C -），1||1+MC r =，2||9MC r =-，12|C |3(3)6C =--=12||+||91+106MC MC r r =-+=>，故动圆圆心的轨迹为焦点在y 轴上椭圆，且焦点坐标为2(0,3C ）和1(0,3C -），其中210,5a a ==, 122||6,3c C C c === ， 所以222=25916b a c -=-=，故椭圆轨迹方程为: 2251162x y +=，故选：A.【点睛】本题考查了椭圆的轨迹方程，确定轨迹方程的类型是解题的关键. 9. 【答案】 C10. 已知斜率为1的直线l 过椭圆22184y x +=的下焦点，交椭圆于,A B 两点，O 为坐标原点，则OAB 的面积是（ ）A.B. 8C. 4D.83【答案】D 【解析】 【分析】求出直线方程，代入椭圆方程，求得交点的坐标，然后求解△OAB 的面积.【详解】椭圆22184y x +=的下焦点坐标为(0,2)- ,∵斜率为1的直线过椭圆22184y x +=的下焦点，∴可得直线方程为2y x =-，代入椭圆方程可得23440x x --=，2x ∴=或23x =-，OAB ∴△面积：11282222233⨯⨯+⨯⨯=，故选：D【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，三角形的面积的求法，属于基础题.11. 若椭圆221164x y +=弦AB 被点(1,1)M 平分，则AB 所在直线方程为（ ）A. 450x y -+=B. 450x y +-=C. 450x y -+=D. 450x y +-=【解析】 【分析】采用点差法，设()()1122,,,A x y B x y ，联立方程即可求解【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，则满足2211222211641164x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 两式作差得()222212124x x y y -=--，又AB 被点(1,1)M 平分，故12121212x x y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，且直线AB 的斜率存在，所以1221122114x x y y y y x x ⎛⎫+--=⎪+-⎝⎭， 化简得212114AB y y k x x -==--，则AB 所在直线方程为()1114y x =--+， 化简得450x y +-= 故选：B【点睛】本题考查由椭圆弦中点求对应直线方程，点差法是解决此类题型关键，对于小题，也可熟记结论22AB OMk k b a=-⋅，属于中档题12. 已知双曲线22142x y -=的右焦点为F ，P 为双曲线左支上一点，点A ，则APF ∆周长的最小值为（ ）A. 4+B. 4(1+C.D.【答案】B曲线22142x y -=右焦点为F()6,0，APF∆周长2l AF AP PF AF AP a PF =++=++'+ 要使APF ∆周长最小，只需AP PF +' 最小，如图：当,,A P F '三点共线时取到,故l =2|AF |+2a =(412 故选B点睛：本题考查了双曲线的定义，两条线段之和取得最小值的转化，考查了转化思想，属于中档题.第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中横线上)13. 以双曲线221169x y -=的中心为顶点，右焦点为焦点的抛物线方程为_________.【答案】220y x = 【解析】 【分析】求出双曲线的中心和右焦点坐标，最后写出抛物线方程.【详解】由双曲线方程221169x y -=可知：双曲线的中心为坐标原点，4,3a b ==， 因此2222435c a b =+=+=，所以右焦点坐标为：(5,0)，由题意可知：抛物线的焦点坐标为：(5,0)，中心为坐标原点，所以抛物线方程设为：22(0)y px p =>，于是有5102pp =⇒=，所以抛物线方程为：220y x =. 故答案为：220y x =【点睛】本题考查了双曲线的中心和焦点的坐标，考查了抛物线方程的求法，考查了数学运算能力.14. 【答案】 115. 过(2,2)P 作圆22:(1)1C x y -+=的切线，则其切线方程为____________. 【答案】2x =或3420x y+=- 【解析】 【分析】当过点(2,2)的直线斜率不存在时，方程是2x =，通过验证圆心到直线的距离，得到2x =符合题意；当过点(2,2)的直线斜率存在时，设直线方程为(22)y k x -=-，根据圆心到直线的距离等于半径1，建立关于k 的方程，解之得k ，进而得到直线的方程，最后综合可得答案． 【详解】圆22:(1)1C x y -+=的圆心为(1,0)，半径为1， （1）当过点(2,2)的直线垂直于x 轴时， 此时直线斜率不存在，方程是2x =， 圆心(1,0)O 到直线的距离为1dr ，∴直线2x =符合题意；（2）当过点(2,2)的直线不垂直于x 轴时，设直线方程为(22)y k x -=-，即220kx y k --+=． 直线是22:(1)1C x y -+=的切线，∴点(1,0)O 到直线的距离为1d =，解之得34k =，此时直线方程为3420x y+=-．∴切线方程为2x =或3420x y+=-．故答案为：2x =或3420x y+=-．【点睛】借助于求过圆外一个定点的圆的切线方程的问题，考查了直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式等知识点，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．16. 已知椭圆22162x y C +=：的左、右焦点分别为12,,F F 过2F 的通径AB （过焦点垂直于长轴的弦叫做通径），则1ABF 的内切圆方程为____________. 【答案】2244()39x y -+= 【解析】 【分析】 先求出6a =，2b =，2c =，求出1563AF =，263AF =，进而可以求出1ABF 的周长L 和面积S ，设1ABF 的内切圆半径为r ，由12S r L =⨯⨯即可求出r ，利用2F 坐标和半径即可以求出圆心坐标，从而得出圆的方程.【详解】设1ABF 的内切圆半径为r ，由椭圆的方程知：6a =2b =622c =-=则124F F =，因为AB 垂直于x 轴，所以221216AF AF -= ，12226AF AF a +==解得：156AF =26AF =， 1ABF 的周长为1256562646333L AF AF AB =++=++=，其面积为：1211422S AB F F =⨯⨯==， 由内切圆的性质得：12S r L =⨯⨯，即132r =⨯⨯23r =， 圆心横坐标为：24233-=，所以圆心坐标为4,03⎛⎫ ⎪⎝⎭， 所以所求圆的方程为：2244()39x y -+=， 故答案为：2244()39x y -+=【点睛】本题主要考查了椭圆的几何性质以及圆的方程，属于中档题.三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17. 已知直线1:3100l x y -+=与2:280l x y +-=相交于点A ，点O 为坐标原点，P 为线段OA 的中点.（1）求点P 的坐标；（2）过点P 作直线l 垂直于直线1l ，求直线l 的方程.【答案】（1）()12，；（2）350x y +-=.【解析】 【分析】（1）通过联立方程组求出直线的交点坐标，利用中点坐标公式即可求解； （2）直线l 垂直于直线1l 可以求出直线l 的斜率，再结合过点P 即可求解【详解】（1）因为直线13100l x y -+=：与2280l x y +-=：相交于点A ， 解方程组3100280x y x y -+=⎧⎨+-=⎩，，得24x y =⎧⎨=⎩，，所以()24A ，. 因为()00O ，，P 为线段OA 中点，故由中点坐标公式求得()12P ，. （2）当1l l ⊥时，直线l 的斜率为3-，因为直线l 过()12P ，，所以直线l 的方程：23(1)y x -=--故直线l 的方程为：350x y +-=.【点睛】本题只要考查了求两条直线的交点坐标，以及求直线的方程，涉及中点坐标公式，两直线垂直斜率为1-，属于基础题.18.已知p ：实数x 满足不等式（x ﹣a ）（x ﹣3a ）＜0（a ＞0），q ：实数x 满足不等式|x ﹣5|＜3． （1）当a ＝1时，p ∧q 为真命题，求实数x 的取值范围； （2）若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．【解答】解：p ：实数x 满足不等式（x ﹣a ）（x ﹣3a ）＜0（a ＞0），解得：a ＜x ＜3a ．a ＞0．q ：实数x 满足不等式|x ﹣5|＜3，解得2＜x ＜8．（1）当a ＝1时，p ：1＜x ＜3．p ∧q 为真命题，∴，解得2＜x ＜3．∴实数x 的取值范围是2＜x ＜3． （2）若p 是q 的充分不必要条件，则，等号不能同时成立，解得：2≤a ≤．∴实数a 的取值范围是2≤a ≤．【知识点】充分条件、必要条件、充要条件、复合命题及其真假19．已知：双曲线:C 221169x y -=.（1）求双曲线C 的焦点坐标、顶点坐标、离心率；（2）若一条双曲线与已知双曲线C 有相同的渐近线，且经过点(23,3)A -，求该双曲线的方程.【答案】(1)焦点()5,0±，顶点()4,0±，离心率54e =；(2)224194y x -=【解析】（1）由双曲线:C 221169x y -=可得：4,3a b ==，从而求得：5c =，问题得解．（2）设所求双曲线的方程为：22169x y -=λ，将()23,3A -代入即可求得λ，问题得解．【详解】双曲线:C 221169x y -=，所以4,3a b ==，∴225c a b +=，∴双曲线C 的焦点坐标()5,0-，()5,0，顶点坐标()4,0-，()4,0，离心率54c e a ==． （2）设所求双曲线的方程为：22169x y -=λ，将()23,3A -代入上式得：()()22233169λ--=，解得：14λ=-∴所求双曲线的方程为：224194y x -=． 【点睛】（1）主要考查了双曲线的简单几何性质，属于基础题．（2）主要考查了共渐近线的双曲线方程的特征-若双曲线方程为：22221x y a b-=()0,0a b >>则与它共共渐近线的双曲线方程可设为：2222x y a bλ-=，属于基础题．20. 如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是直角梯形，90,//DAB AD BC ∠=︒，AD ⊥侧面,PAB PAB ∆是等边三角形，2DA AB ==，12BC AD =，E 是线段AB 的中点.（1）求证：PE ⊥平面ABCD ； （2）求四棱锥P ABCD -的体积. 【答案】（1）证明见解析；（23. 【解析】【分析】(1）根据PE AB ⊥，PE AB ⊥即可得出PE ⊥平面ABCD ; (2）计算PE ，代入棱锥的体积公式计算．【详解】（1）因为AD ⊥侧面PAB ，PE ⊂平面PAB ， 所以AD PE ⊥，又因为PAB △是等边三角形，E 是线段AB 的中点， 所以PE AB ⊥，因为AD AB A ⋂=，所以PE ⊥平面ABCD . （2）由（1）知：PE ⊥平面ABCD ， 所以PE 是四棱锥P ABCD -的高， 由2DA AB ==，12BC AD =，可得1BC =，因为PAB △是等边三角形，可求得PE =所以()111122332P ABCD ABCD V S PE -=⋅=⨯+⨯=【点睛】本题考查了线面垂直的判定，棱锥的体积计算，属于中档题. 21. 在平面直角坐标系xOy 中，圆C 经过(3,4),(3,2),(0,1)P Q R -三点. （1）求圆C 的方程；（2）若圆C 与直线0x y a -+=交于,A B 两点，且CA CB ⊥，求a 的值. 【答案】（1）()()22319x y -+-=；（2）1a =或5-. 【分析】（1）因为圆C 的圆心在线段PQ 的垂直平分线上，所以可设圆C 的圆心为(),1t ，即可求出参数t ，得到圆心坐标，再求出圆的半径，从而求出圆的方程；（2）依题意可得ACB △为等腰直角三角形，则圆心到直线的距离3sin 45d =︒，从而求出参数的值；【详解】解：（1）因为圆C 的圆心在线段PQ 的垂直平分线上，所以可设圆C 的圆心为()1t ，，则有()()()222231411t t -+-=+-，解得3t =.即圆心为()31，则圆C 3=.所以圆C 的方程为()()22319x y -+-=.（2）因为圆C 与直线0x y a -+=交于,A B 两点，且CA CB ⊥，所以ACB △为等腰直角三角形，点C 到直线AB距离3sin 45d =︒= 解得15a =-或.【点睛】本题考查几何意义法求圆的方程，直线与圆的位置关系求参数的值，属于基础题.22. 已知椭圆2222+=1(0)x y a b a b 的左焦点为(,0)F c -,，点M 在椭圆上且位于第一象限，直线FM 被圆222+4b x y =截得的线段的长为c，|FM|=3. （Ⅰ）求直线FM 的斜率； （Ⅱ）求椭圆的方程；（Ⅲ）设动点P 在椭圆上，若直线FP，求直线OP （O 为原点）的斜率的取值范围.【答案】（Ⅰ）3； （Ⅱ）22132x y += ；（Ⅲ）,3⎛⎛-∞⋃ ⎝⎭⎝⎭. 【解析】（Ⅰ） 由已知有2213c a =，又由222a b c =+，可得223a c =，222b c =，设直线FM 的斜率为(0)k k >，则直线FM 的方程为()y k x c =+，由已知有22222c b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得k =（Ⅱ）由（Ⅰ）得椭圆方程为2222132x y c c+=，直线FM 的方程为()y k x c =+，两个方程联立，消去y ，整理得223250x cx c +-=，解得53x c =-或x c =，因为点M 在第一象限，可得M的坐标为,3c c ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，由3FM ==，解得1c =，所以椭圆方程为22132x y += （Ⅲ）设点P 的坐标为(,)x y ，直线FP 的斜率为t ，得1yt x =+，即(1)y t x =+(1)x ≠-,与椭圆方程联立22(1){132y t x x y =++=，消去y ，整理得22223(1)6x t x ++=，又由已知，得t => 312x -<<-或10x -<<， 设直线OP 的斜率为m ，得ym x=，即(0)y mx x =≠，与椭圆方程联立，整理可得22223m x =-. ①当3,12x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭时，有(1)0y t x =+<，因此0m >，于是m =3m ⎛∈ ⎝⎭②当()1,0x ∈-时，有(1)0y t x =+>，因此0m <，于是m =,m ⎛∈-∞ ⎝⎭综上，直线OP的斜率的取值范围是,,333⎛⎛-∞-⋃ ⎝⎭⎝⎭考点：1.椭圆的标准方程和几何性质；2.直线和圆的位置关系；3.一元二次不等式.。

2020-2021学年⾼三数学（理科）第⼀次⾼考模拟考试试题及答案解析@学⽆⽌境！@绝密★启⽤前试卷类型：A 最新第⼀次⾼考模拟考试数学试卷（理科）本试卷分选择题和⾮选择题两部分，共4页，满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：1．答卷前，考⽣要务必填写答题卷上的有关项⽬。

2．选择题每⼩题选出答案后，⽤2B 铅笔把答案填在答题卡相应的位置上。

3．⾮选择题必须⽤⿊⾊字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题⽬指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使⽤铅笔和涂改液. 不按以上要求作答的答案⽆效。

4．考⽣必须保持答题卷的整洁，考试结束后，将答题卷交回。

第Ⅰ卷（选择题，共60分）⼀.选择题：本⼤题共12⼩题，每⼩题5分，共60分.在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的. 1.复数i215-（i为虚数单位）的虚部是（）A. 2iB. 2i -C. 2-D. 22. 下列函数在其定义域上既是奇函数⼜是减函数的是（）A ．()2x f x =B ．()sin f x x x =C ．1()f x x =D ．()||f x x x =- 3.已知()=-παcos 12，πα-<<，则tan α=（）A.B.C. D.4.设双曲线2214y x -=上的点P到点的距离为6，则P点到(0,的距离是（）@学⽆⽌境！@A ．2或10 B.10 C.2 D.4或85. 下列有关命题说法正确的是（）A. 命题p ：“sin +cos =2x x x ?∈R ，”，则?p 是真命题 B ．21560x x x =---=“”是“”的必要不充分条件 C ．命题2,10x x x ?∈++的否定是：“210x x x ?∈++D ．“1>a ”是“()log (01)(0)a f x x a a =>≠+∞，在，上为增函数”的充要条件6. 将函数-=32sin )(πx x f 的图像向右平移3π个单位得到函数)(x g 的图像,则)(x g 的⼀条对称轴⽅程可以为（） A. 43π=x B. 76x π= C. 127π=x D. 12π=x 7．2015年⾼中⽣技能⼤赛中三所学校分别有3名、2名、1名学⽣获奖，这6名学⽣要排成⼀排合影，则同校学⽣排在⼀起的概率是（）A ．130 B ．115 C ．110 D ．158．执⾏如图8的程序框图，若输出S 的值是12，则a 的值可以为（）A ．2014B ．2015C ．2016D ．20179．若某⼏何体的三视图(单位：cm )如图所⽰，则该⼏何体的体积（）A.310cmB.320cmC.330cmD.340cm10．若nx x ??? ?-321的展开式中存在常数项，则n 可以为（） A ．8 9 C ．10 D. 11 11．=∠=?==?C CA A B CA BC ABC 则中在,60,6,8, （）A ．?60B ．C ．?150D ．?120 12. 形如)0,0(||>>-=b c cx by 的函数因其图像类似于汉字中的“囧”字，故我们把其⽣动地称为“囧函数”．若函数()()2log 1a f x x x =++)1,0(≠>a a 有最⼩值，则当,c b 的值分别为⽅程222220x y x y +--+=中的,x y 时的“囧函数”与函数||log x y a =的图像交点个数为（）．A ．1B ．2C ．4D ．6第Ⅱ卷（⾮选择题，共90分）⼆.填空题：本⼤题共4⼩题，每⼩题 5分，共20分.13．⼀个长⽅体⾼为5，底⾯长⽅形对⾓线长为12，则它外接球的表⾯积为@学⽆⽌境！@14．如图，探照灯反射镜的纵截⾯是抛物线的⼀部分，光源在抛物线的焦点F 处，灯⼝直径AB 为60cm ，灯深（顶点O 到反射镜距离）40cm ，则光源F 到反射镜顶点O 的距离为15.已知点()y x P ,的坐标满⾜条件>-+≤≤02221y x y x ，那么()221y x ++的取值范围为 16．CD CB AD AC AD AB ，AB D ABC 3,,3,===?且的⼀个三等分点为中在，则B cos =三.解答题：本⼤题共5⼩题，每题12分共60分.解答应写出⽂字说明，证明过程或演算步骤.17．（本⼩题满分12分）已知{}n b 为单调递增的等差数列，168,266583==+b b b b ,设数列{}n a 满⾜n b n n a a a a 2222233221=++++(1)求数列{}n b 的通项； (2)求数列{}n a 的前n 项和n S 。

高考资源网（ ） 您身边的高考专家 版权所有@高考资源网 - 1 - 2020-2021学年度上学期 高二数学（理）期中考试题 高二 数学（理科）（考试时间：120分钟 总分：150分）第Ⅰ卷（12题：共60分）一、选择题（包括12小题，每小题5分，共60分）1．已知命题p ：∀x ∈R ，sinx ≤1，则（ ）A ．¬p：∃x ∉R ，sinx ≥1B ．¬p：∃x ∉R ，sinx ＞1C ．¬p：∃x ∈R ，sinx ＞1D ．¬p：∃x ∈R ，sinx ≥1 2．抛物线22y x =的焦点到准线的距离是（ ） A ．18 B ．14 C ．12 D ．1 3．已知双曲线的中心在坐标原点,离心率2=e ,且它的一个顶点与抛物线x y 82-=的焦点重合,则此双曲线的方程为（ ）A ．1322=-y xB ．1322=-y xC ．141222=-y xD ．112422=-y x 4．“0mn <”是“方程221mx ny -=表示椭圆”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 5．以双曲线22:13y C x -=的右焦点为圆心，且与双曲线C 的渐近线相切的圆的方程是（ ） A ．()2223x y -+= B ．()2223x y ++= C ．()2221x y -+= D ．()2211x y ++= 6．阿基米德不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积公式，设椭圆的长半轴长、短半轴长分别为,a b ，则椭圆的面积公式为S ab π=.若椭圆C 的离心率为32，面积为8π，则椭圆的C 的标准方程为（ ） 4．┆┆○┆┆┆┆○┆┆┆┆○┆┆┆┆┆┆装┆┆┆┆┆┆┆订┆┆┆┆┆┆┆线┆┆┆┆┆┆○┆┆┆┆○┆┆┆┆○┆┆┆。