北京爱迪(国际)学校必修第一册第五单元《三角函数》检测题(包含答案解析)

人教A版高一数学必修第一册第五章《三角函数》单元练习题卷10（共22题）一、选择题（共10题）1.函数f(x)=sin2x，x∈R的最小正周期为( )A．π2B．πC．2πD．4π2.已知cotα=2，tan(α−β)=−25，则tan(β−2α)的值是( )A．14B．−112C．18D．−183.如图所示，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sin(π6x+φ)+k．据此函数可知，这段时间水深（单位：m）的最大值为( )A．5B．6C．8D．104.已知函数f(x)=asin2x−√3cos2x的图象关于直线x=−π12对称，若f(x1)⋅f(x2)=−4，则a∣∣x1−x2∣的最小值为( )A．π4B．π2C．πD．2π5.若函数f(x)=asin2x−bcos2x在x=π6处有最小值−2，则常数a，b的值是( ) A．a=−1，b=√3B．a=1，b=−√3C．a=√3，b=−1D．a=−√3，b=16.函数y=2sin(2x+π3)的图象的一条对称轴方程可以是( )A．x=0B．x=π2C．x=π12D．x=π67.设函数f(x)=sin(ωx+φ)+cos(ωx+φ)(ω>0,∣φ∣<π2)的最小正周期为π，且f(−x)= f(x)，则( )A．f(x)在(0,π2)单调递减B．f(x)在(π4,3π4)单调递减C．f(x)在(0,π2)单调递增D．f(x)在(π4,3π4)单调递增8.若角α的终边经过点P(1,−2)，则sinα的值为( )A．2√55B．√55C．−√55D．−2√559.如果函数y=3cos(2x+φ)的图象关于点(4π3,0)中心对称，那么∣φ∣的最小值为( )A．π6B．π4C．π3D．π210.函数y=cos2x−sin2x(0<x<π2)的值域为( ) A．(−1,1)B．[−√2,√2] C．[−√2,1]D．(−1,√2]二、填空题（共6题）11.化简sinθ1+sinθ−sinθ1−sinθ的值为．12.已知函数f(x)=√3sinωx+cosωx(ω>0)，x∈R，f(x1)=−2，f(x2)=0且∣x1−x2∣的最小值等于π，则ω=．13.已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴．若P(4,y)是角θ终边上一点，且sinθ=−2√55，则y=．14.将下列各角度化为弧度：（1）30∘=；（2）120∘=；（3）−60∘=；（4）−30∘=；（5）−200∘=；（6）180∘=；（7）135∘=；（8）−75∘=；（9）270∘=；（10）0∘=；15.如图，A，B为某市的两个旅游中心，海岸线l可看做一条直线，且与AB所在直线平行，现计划将两个旅游中心与海岸线连接起来，由于地势原因，需在以AB为直径的半圆上选定一点P，修建PA，PB，PQ三段公路，其中PQ⊥l，AB=20km，两平行直线AB与l之间的距离为20km，公路PA和PB段的造价均为6千万元/km，公路PQ段的造价为5千万元/km，为便于筹备充足资金，需要计算该项工程的最大预算，根据以上信息，这三段公路总造价的最大值为千万．,x∈R)的部分图象，则y=f(x)函数16.如图为函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,∣φ∣<π2解析式为．三、解答题（共6题）．17.已知α∈(0,π)，cosα=−13−α)的值；(1) 求cos(π4(2) 求sin(2π3+2α)的值．18.设函数f(x)=lg(1−cos2x)+cos(x+θ)，θ∈[0,π2)．(1) 讨论函数y=f(x)的奇偶性，并说明理由；(2) 设θ>0，解关于x的不等式f(π4+x)−f(3π4−x)<0．19.已知角α的终边上有一点P，OP=3√10，且tanα=−13(π2<α<π)，求点P的坐标．20.已知锐角α，β，且tanα=2，cosβ=513，求：(1) sin2α；(2) tan(2α−β)．21.已知等腰三角形底角的正弦值为45，求这个三角形顶角的正弦、余弦和正切值．22.写出与下列各角终边相同的角的集合，并找出集合中适合不等式−360∘≤β<360∘的元素β：(1) 60∘；(2) −75∘；(3) −824∘30ʹ；(4) 475∘；(5) 90∘；(6) 270∘；(7) 180∘；(8) 0∘．答案一、选择题（共10题） 1. 【答案】B【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质2. 【答案】B【知识点】两角和与差的正切3. 【答案】C【解析】由图可知 −3+k =2，所以 k =5， 所以 y =3sin (π6x +φ)+5，所以 y max =3+5=8． 【知识点】三角函数模型的应用4. 【答案】B【解析】由辅助角公式知 f (x )=√a 2+3sin (2x +φ)，φ∈[0,2π)， f (x ) 图象类似于 sinx ，可判断 x =−π12 时取最值， sin (2⋅(−π12)+φ)=±1， φ−π6=π2或32π， φ=23π或53π， 而 sinφ=√3√a 2+3，于是 φ=53π，cosφ=√a 2+3=cos 53π，解得 a =1，f (x )=2sin (2x +53π)，f (x 1)⋅f (x 2)=−4 只有一个取 2，一个取 −2， 最大值点与最小值点 ∣x 1−x 2∣min =T2=2π2ω=π2， 于是 a∣∣x 1−x 2∣min ≥π2． 综上，选B ．【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质5. 【答案】D【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质6. 【答案】C【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质7. 【答案】A【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质8. 【答案】D【知识点】任意角的三角函数定义9. 【答案】A【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质10. 【答案】C【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质二、填空题（共6题）11. 【答案】−2tan2θ【解析】sinθ1+sinθ−sinθ1−sinθ=sinθ−sin2θ−sinθ−sin2θ1−sin2θ=−2sin2θcos2θ=−2tan2θ.【知识点】同角三角函数的基本关系12. 【答案】12【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质13. 【答案】−8【解析】P(4,y)是角θ终边上一点，由三角函数的定义知sinθ=√16+y2，又sinθ=−2√55，所以√16+y2=−2√55，解得y=−8．【知识点】任意角的三角函数定义14. 【答案】π6；2π3；−π3；−π6；−10π9；π；3π4；−5π12；3π2；0【知识点】弧度制15. 【答案】 222【解析】根据题意，设 ∠PAD =θ，则 0≤θ≤π2，过点 P 作 PD ⊥AB ，则 P ，D ，Q 三点共线， 设这三段公路总造价为 y ，又由 AB =20 km ，则 AP =20cosθ km ，BP =20sinθ km ， 则 PD =20cosθsinθ km ，又由两平行直线 AB 与 l 之间的距离为 20 km ，则 PQ =(20−20cosθsinθ)km ，则 y=6×(20sinθ+20cosθ)+5×(20−20cosθsinθ)=120(sinθ+cosθ)+100(1−sinθcosθ),设 sinθ+cosθ=t ，则 t =√2sin (θ+π4)，则有 1≤t ≤√2，则 sinθcosθ=t 2−12，则 y =120t +100(1−t 2−12)=120t +100(3−t 22)=−50t 2+120t +150，1≤t ≤√2，分析可得：t =65 时，y 取得最大值，且 y max =222．【知识点】三角函数模型的应用、Asin(ωx+ψ)形式函数的性质16. 【答案】 y =2sin(2x +π3)【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质三、解答题（共6题） 17. 【答案】(1) 因为 sin 2α+cos 2α=1，cosα=−13， 所以 sin 2α=89， 又因为 α∈(0,π)， 所以 sinα=2√23．又因为 cos (π4−α)=cos π4cosα+sin π4sinα=√22⋅(−13)+√22⋅2√23=4−√26．(2) 因为 sinα=2√23，cosα=−13，所以 sin2α=2sinα⋅cosα=−4√29，cos2α=cos 2α−sin 2α=−79， sin (2π3+2α)=sin2π3⋅cos2α+cos2π3⋅sin2α=√32⋅−79+−12⋅−4√29=4√2−7√318． 【知识点】二倍角公式、两角和与差的余弦、两角和与差的正弦18. 【答案】(1) 根据对数有意义，得 1−cos2x >0， 所以 cos2x ≠1，x ≠kπ(k ∈Z ) 定义域关于原点对称，当函数是偶函数，那么有 f (−x )=f (x )，lg [1−cos2(−x )]+cos (−x +θ)=log (1−cos2x )+cos (x +θ)cos (−x +θ)=cos (x +θ)， 展开整理得 2sinxsinθ=0 对一切 x ≠kπ(k ∈Z ) 恒成立， 因为 θ∈[0,π2)， 所以 θ=0，当函数是奇函数，那么任意定义域内 x 0 有 f (x 0)+f (−x 0)=0， 例如 x 0=π4，f (π4)+f (−π4)=0，f (−π4)=lg (1−cos (−π2))+cos (−π4+θ)=cos (−π4+θ)，f (π4)=lg (1−cos π2)+cos (π4+θ)=cos (π4+θ)，f (π4)+f (−π4)=0，推得 cosθ=0，显然这样 θ∈(0,π2) 是不存在的， 所以当 θ∈(0,π2) 时既不是奇函数又不是偶函数，说明假命题只能举反例．(2) f (π4+x)−f (3π4−x)<0 代入得 lg [1−cos2(π4+x)]+cos (π4+x +θ)−lg [1−cos2(3π4−x)]−cos (3π4−x +θ)<0，lg (1+sin2x )+cos (π4+x +θ)−lg (1+sin2x )−cos (3π4−x +θ)<0，化简 cos (π4+x −θ)+cos (π4+x +θ)<0，展开整理得 2cos (x +π4)cosθ<0， 因为 θ∈(0,π2)，所以 cosθ>0， 所以 cos (x +π4)<0，所以 { cos (x +π4)<0,π4+x ≠k 1π,3π4−x ≠k 2π, k 1∈Z ，k 2∈Z ，所以不等式解集为 (2mπ+π4,2mπ+3π4)∪(2mπ+3π4,2mπ+5π4)，m ∈Z ．【知识点】函数的奇偶性、Asin(ωx+ψ)形式函数的性质19. 【答案】设点 P 的坐标为 (x,y )．因为π2<α<π，所以 x <0，y >0．由题意，得 {x 2+y 2=(3√10)2,y x=−13,x <0,y >0.解方程组，得 x =−9，y =3，即点 P 的坐标为 (−9,3)．【知识点】任意角的三角函数定义20. 【答案】(1) 因为 tanα=2， 所以 sin2α=2sinαcosα=2sinαcosαsin 2α+cos 2α=2tanαtan 2α+1=2×222+1=45.(2) 因为 tanα=2，所以 tan2α=2tanα1−tan 2α=2×21−22=−43． 因为 cosβ=513，且 β 为锐角，所以 sinβ=√1−cos 2β=√1−(513)2=1213，所以 tanβ=sinβcosβ=1213513=125，所以tan (2α−β)=tan2α−tanβ1+tan2αtanβ=−43−1251+(−43)×125=5633.【知识点】两角和与差的正切、二倍角公式21. 【答案】设底角为 B ，顶角为 A ，则 A =π−2B ，而 sinB =45，则 sinA =sin (π−2B )=sin2B =2425，cosA =725，tanA =247．【知识点】二倍角公式22. 【答案】(1) {β∣ β=60∘+k ⋅360∘,k ∈Z }，−300∘，60∘．(2) {β∣ β=−75∘+k ⋅360∘,k ∈Z }，−75∘，285∘．(3) {β∣β=−824∘30ʹ+k ⋅360∘,k ∈Z )，−104∘30ʹ，255∘30ʹ．(4) {β∣ β=475∘+k ⋅360∘,k ∈Z }，−245∘，115∘．(5) {β∣ β=90∘+k ⋅360∘,k ∈Z }，−270∘，90∘．(6) {β∣ β=270∘+k ⋅360∘,k ∈Z }，−90∘，270∘．(7) {β∣ β=180∘+k ⋅360∘,k ∈Z }，−180∘，180∘．(8) {β∣ β=k ⋅360∘,k ∈Z }，−360∘，0∘．【知识点】任意角的概念。

22北京市高一数学三角函数测试题 很简单的二角函数练习题，适合初学者、选择题（本题有10个小题，每小题5分，共50分）1. 下列转化结果错误的是()A .367 30化成弧度是 rad 10B. 化成度是-600度8 3C .150化成弧度是一 radD.化成度是15度6 122•已知 是第二象限角，那么是2()B.第二象限角D .第或第三象限角3.已知sin0, tan0，则、1 sin 2化简的结果为 ()A . COsB.cos C .cosD.以上都不对4.函数cos(2x -）的图象的一条对称轴方程是B.C. X 8D. X5.已知訐），sin x3 ，则tan 2x=C . 24D . 242424 7 76.已知tan()右ta n(7)1 3，则 tan(）的值为4()A .2B. 1C. 2D. 2cos x sin x7.函数f (X)的最小正周期为cosx sin xB.-C. 2D.A •第一象限角 C.第二或第四象限角B.A. 28二、填空题(本题有4个小题，每小题5分，共20分)11.把函数y sin(2x)先向右平移 个单位，然后向下平移 2个单位后所得的函数解 3 2析式为 ___________________________________212.已知 tan( —) 2，则 1 3sin cos 2cos = _____________________13.函数y 2sin3x(— x —)与函数 y=2 的图像围成一个封闭图形，这个封闭图形的6 6面积是 ____________________________C . 函数y2k 2k 9.函数10.若cos(- 2,2k,2k3 sin x 均为锐角, 3)的单调递增区间是8 (kcosx ,B. 2 且 2sinB.Z)Z)B. D.4k4k 了2］的最大值为sin()，则与C.,4k,4k(k (k D.的大小关系为D. Z)Z)不确定814.给出下列命题:①存在实数，使sin cos 1②存在实数，使sin cos3-5 ④x 是函数y sin （2x —84⑤ 若、是第象限的角，且⑥ 若、（一，），且tan 2其中正确命题的序号是 __________三、解答题（1） 函数y 的最大值，最小值及最小正周期;（2） 函数y 的单调递增区间③函数y sin （㊁x ）是偶函数15. （12分）已知角 P (-4, 3),求cos(―2 )si n(16. （14分）已知函数y.1 sin x 2cos(11 2)s in (9）的值）3cos —x ，求:2）的一条对称轴方程，贝U sin sin丄 口3 cot ，则2317. （14分）求证: sin(2sin-2cos(sinsin18. (14 分)已知 sinx cosx-(0 x )，求 tanx 的值219. (12分) 已知tan 、an 是方程x 求的值20. (14分)如下图为函数 y Asin( x )c(A 0, 0, 0)图像的一部分(1) 求此函数的周期及最大值和最小值(2) 求与这个函数图像关于直线x 2对称的函数解析式3、3x 4 0的两根，且高一数学三角函数测试题参考答案1.选（C）2.选（D）3.选（B）4.选（B）5.选（D）6.选（B）7.选（D）& 选（D）9.选（B）10 .选（A）11 .答案：2y si n(2x ) 212 .答案：11013 .答案：4314 .答案：③④⑥y 2s in才亍）sin (2 ) sinsin 沁乩2cos( sinsin(2sin -2cos()sinsin15 .【解】•••tan -x 3 4cos( ) sin( )sin sintan 311 9 cos( )sin(2 2 )sin cos 416•【解】(2)由2k lx -2k ,k Z，得2 23 2函数y的单调递增区间为：4k 5,4k —k Z3 3，(1)函数y的最大值为2，最小值为一2,最小正周期T仃.【证明】•••空^2---------- 空sin sin20.【解】（1）由图可知，从4〜12的的图像是函数 y Asin （ x 的三分之二个周期的图像，所以1A -（4 2） 32 ，故函数的最大值为 3，最小值为—3 1c - （4 2） 122 2 。

一、选择题1．若将函数1()sin 223f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象上的每一个点都向左平移3π个单位长度，得到()g x 的图象，则函数()g x 的单调递增区间为（ ）A ．3,()44k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦B ．,()44k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦C ．2,()36k k k Z ππππ⎡⎤--∈⎢⎥⎣⎦D ．5,()1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦2．已知()0,πα∈，2sin cos 1αα+=，则cos 21sin 2αα=-（ ）A ．2425-B ．725- C ．7- D ．17- 3．函数()sin()(0)f x x ωϕω=+>的一段图象如图所示，则ω=（ ）A ．14B ．2π C ．4π D ．124．sin 3π=（ ）A ．12B ．12-C 3D ．3 5．函数πcos 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的一条对称轴方程是（ ） A ．π2x =-B ．π4x =-C ．π8x =-D ．πx =6．若角α的终边过点(3,4)P -，则cos2=α（ ） A ．2425-B ．725C ．2425D ．725-7．已知函数()2sin 46f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则（ ）A ．()f x 的最小正周期为πB ．()f x 的单调递增区间为(),26212k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z C ．()f x 的图象关于直线6x π=对称D ．()f x 的图象关于点,024π⎛⎫⎪⎝⎭对称 8．()()sin f x A x =+ωϕ0,0,2A πωϕ⎛⎫>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，若将函数()f x 的图象向右平移2π个单位长度，得到函数()g x 的图象，则（ ）A ．()12sin 212g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ B ．()12sin 212g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭ C ．()2sin 212g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ D ．()2sin 212g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭9．已知1sin cos 3αα+=，则sin 2α的值是（ ）. A ．89B ．89-C 17D ．17 10326tan 34tan 26tan 34++=（ ） A 3 B ．3C 3D ．311．已知,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭且1sin 23πα⎛⎫+=-⎪⎝⎭，则()tan απ+=（ ） A ．22-B ．2C ．24-D ．2412．函数()sin()0,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的图象如图所示，为了得到g()sin 34x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只需将()f x 的图象（ ）A ．向右平移π6个单位长度 B ．向左平移π6个单位长度 C ．向右平移π2个单位长度 D ．向左平移π2个单位长度 二、填空题13．角θ的终边经过点(1,3)P -，则sin 6πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭____________. 14．已知角θ的终边经过点(,3)P x （0x <）且10cos 10x θ=，则x =___________. 15．已知角α的终边经过点()3,4P -，则sin 2cos αα+的值等于______. 16．已知函数()sin (0)5f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在[0,2]π有且仅有5个零点．下述四个结论：①()f x 在(0,2)π上有且仅有3个极大值点；②()f x 在(0,2)π上有且仅有2个极小值点：③()f x 在(0,2)π上单调递增；④ω的取值范围是1229,510⎡⎫⎪⎢⎣⎭．其中结论正确的是______．（填写所有正确结论的序号）．17．已知ABC ∆不是直角三角形，45C =︒，则(1tan )(1tan )A B --=__. 18．已知tan 3α=，则2sin 21sin cos 2ααα-=+_________． 19．若3sin 5αα=，是第二象限角，则sin 24πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭__________．20．设函数()()2sin 0,2f x x πωφφφ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的部分图象如图.若对任意的()()2x R f x f t x ∈=-，恒成立，则实数t 的最小正值为____.三、解答题21．已知α，β为锐角，4tan 3α=，()tan 2αβ+=-. （1）求cos2α的值. （2）求()tan αβ-的值.22．已知函数()21()2cos 1sin 2cos 42=-+f x x x x . （1）求()f x 的最小正周期；（2）求()f x 的最大和最小值以及相应的x 的取值； （3）若,2παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，且2()4f α=，求α的值. 23．设1cos 29βα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，2sin 23αβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，其中,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭． （1）求2βα-以及2αβ-的取值范围．（2）求cos2αβ+的值．24．在①函数()f x 的图象关于点,6b π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称； ②函数()f x 在,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值为12；③函数()f x 的图象关于直线12x π=对称.这三个条件中任选两个补充在下面的问题中，再解答这个问题. 已知函数()()n 22si f x x b ϕϕπ=⎛⎫⎪⎝+<⎭+，若满足条件 与 .（1）求函数()f x 的解析式；（2）若将函数()y f x =的图象上点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，再将所得图象向右平移8π个单位，得到函数()y g x =的图象，求函数()g x 的单调递减区间. 25．已知α∈(0,)2π，tan α＝12，求tan 2α和sin ()4πα-的值．26．（1）在面积为16的扇形中，半径多少时扇形的周长最小；（2.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】 求出()1sin 22g x x =-，令()322222k x k k Z +≤≤+∈ππππ即可解出增区间. 【详解】 由题可知()()111sin 2sin 2sin 223322g x x x x πππ⎡⎤⎛⎫=++=+=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 令()322222k x k k Z +≤≤+∈ππππ，解得()344k x k k Z ππππ+≤≤+∈， ∴()g x 的单调递增区间为3,()44k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦. 故选：A.2．D解析：D 【分析】利用22sin cos 1αα+=以及2sin cos 1αα+=解出sin α，cos α的值，再利用二倍角公式化简即可求解. 【详解】因为2sin cos 1αα+=，所以cos 12sin αα=-， 代入22sin cos 1αα+=得()22sin 12sin 1αα+-=， 因为()0,πα∈，所以4sin 5α，所以43cos 12sin 1255αα=-=-⨯=-，所以4324sin 22sin cos 25525ααα⎛⎫==⨯⨯-=- ⎪⎝⎭，2247cos 212sin 12525αα⎛⎫=-=-⨯=- ⎪⎝⎭cos 211sin 2717252425αα-==--⎛⎫- ⎪⎭-⎝， 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是熟记同角三角函数基本关系，以及三角函数值在每个象限内的符号，熟记正余弦的二倍角公式，计算仔细.3．B解析：B 【分析】根据函数的图象，求得函数的最小正周期，结合三角函数周期的公式，即可求解. 【详解】由题意，函数()sin()(0)f x x ωϕω=+>的一段图象， 可得2114T=-=，所以4T =，又由24w π=，解得2w π=. 故选：B. 4．C解析：C 【分析】根据特殊角对应的三角函数值，可直接得出结果. 【详解】sin32π=. 故选：C.5．C解析：C 【分析】根据余弦函数的对称轴可得π22π4x k +=，解方程即可求解. 【详解】π22π4x k +=，k Z ∈，则有ππ8x k =-+，k Z ∈当0k =时，πcos 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的一条对称轴方程为π8x =-． 故选：C6．D解析：D 【分析】先利用任意角三角函数的定义求sin α和cos α，再利用二倍角的余弦公式计算即可. 【详解】由角α的终边过点(3,4)P -知，4sin 5α，3cos 5α=-，故229167cos 2cos sin 252525ααα=-=-=-. 故选：D.7．B解析：B 【分析】对A ，根据解析式可直接求出最小正周期；对B ，令242,262k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈可求出单调递增区间；对C ，计算6f π⎛⎫⎪⎝⎭可判断； 对D ，计算24f π⎛⎫⎪⎝⎭可判断.【详解】 对于A ，()2sin 46f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，∴()f x 的最小正周期为242T ππ==，故A 错误；对于B ，令242,262k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈，解得,26212k k x k Z ππππ-≤≤+∈，∴()f x 的单调递增区间为(),26212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，故B 正确； 对于C ，2sin 412666f πππ⎛⎫⨯+=≠± ⎪⎝=⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴()f x 的图象不关于直线6x π=对称，故C 错误；对于D ，2sin 4026244f πππ⎛⎫⨯⎛⎫= +=≠ ⎪⎭⎭⎪⎝⎝，∴()f x 的图象不关于点,024π⎛⎫⎪⎝⎭对称. 故选B. 【点睛】方法点睛：判断正弦型函数()()=sin f x A x ωϕ+对称轴或对称中心的方法：（1）利用正弦函数的性质求出对称轴或对称中心，令()2x k k Z πωϕπ+=+∈可求得对称轴，令()x k k Z ωϕπ+=∈可求得对称中心；（2）代入求值判断，若()()00=sin f x A x A ωϕ+=±，则0x x =是对称轴；若()()00=sin 0f x A x ωϕ+=，则()0,0x 是对称中心. 8．A解析：A 【分析】根据图象易得2A =，最小正周期T 2433ππ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，进而求得ω，再由图象过点2,23π⎛⎫⎪⎝⎭求得函数()f x ，然后再根据平移变换得到()g x 即可. 【详解】由图象可知2A =，最小正周期2T 4433πππ⎡⎤⎛⎫=--= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， ∴212T πω==，1()2sin 2f x x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 又22sin 233f ππϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴232k ππϕπ+=+，26k πϕπ=+，∵||2ϕπ<，∴6π=ϕ，1()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，将其图象向右平移2π个单位长度得 11()2sin 2sin 226212g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故选：A 9．B解析：B 【分析】已知条件平方后，利用sin 22sin cos ααα=，直接计算结果. 【详解】∵1sin cos 3αα+=，平方得，)(21sin cos 9αα+=，∴)()(221sin 2sin cos cos 9αααα++=，∴82sin cos 9αα=-，∴8sin29α=-.故选:B10．C解析：C 【分析】利用两角和的正切公式，特殊角的三角函数值化简已知即可求解． 【详解】26tan34tan 26tan34︒︒+︒+︒26tan 34tan(2634)(1tan 26tan 34)=︒︒+︒+︒-︒︒26tan 34tan 26tan 34)=︒︒+-︒︒26tan3426tan34=︒︒︒︒=故选：C ．11．A解析：A 【分析】由条件可得1cos 3α=-，然后可得sin 3α=，然后()sin tan tan cos ααπαα+==，即可算出答案. 【详解】因为1sin cos 23παα⎛⎫+==- ⎪⎝⎭，,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin α=所以()sin tan tan cos ααπαα+===-故选：A12．A解析：A 【分析】首先根据函数()f x 的图象得到()sin 34f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再根据三角函数的平移变换即可得到答案. 【详解】 由题知：541246T πππ=-=，所以223T ππω==，解得3ω=. 3sin 044f ππϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以324k πϕππ+=+，k Z ∈，解得24k ϕπ=+π，k Z ∈.又因为2πϕ<，所以4πϕ=，()sin 34f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭. 因为4436πππ--=-，所以只需将()f x 的图象向右平移π6个单位长度.故选：A二、填空题13．【分析】利用正弦函数定义求得再由正弦函数两角和的公式计算【详解】由题意所以故答案为：解析：12-【分析】利用正弦函数定义求得sin θ，再由正弦函数两角和的公式计算 【详解】由题意sin θ=1cos 2θ=，所以，1sin cos 622πθθθ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭311442=-+=-， 故答案为：12-14．【分析】由余弦函数的定义可得解出即可【详解】由余弦函数的定义可得解得（舍去）或（舍去）或故答案为： 解析：1-【分析】由余弦函数的定义可得cos x θ==，解出即可. 【详解】由余弦函数的定义可得cos x θ==， 解得0x =（舍去），或1x =（舍去），或1x =-，1x ∴=-.故答案为：1-.15．【分析】根据三角函数定义求出的值由此可求得的值【详解】由三角函数的定义可得因此故答案为：解析：25-【分析】根据三角函数定义求出sin α、cos α的值，由此可求得sin 2cos αα+的值. 【详解】由三角函数的定义可得()223cos 534α==--+，()224sin 534α==-+，因此，432sin 2cos 2555αα⎛⎫+=+⨯-=- ⎪⎝⎭. 故答案为：25-. 16．①④【分析】作出函数的图象根据在有且仅有5个零点再逐项判断【详解】如图所示：由图象可知在上有且仅有3个极大值点故①正确;在上可能有3个极小值点故②错误；因为函数在有且仅有5个零点所以解得故④正确；因解析：①④ 【分析】作出函数的图象，根据()f x 在[0,2]π有且仅有5个零点，再逐项判断. 【详解】 如图所示：由图象可知()f x 在(0,2)π上有且仅有3个极大值点，故①正确; ()f x 在(0,2)π上可能有3个极小值点，故②错误；因为函数()sin (0)5f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在[0,2]π有且仅有5个零点，所以2429255πππωω≤<，解得1229510ω≤<，故④正确；因为()0,2x π∈，所以,2555x πππωπω⎛⎫+∈+ ⎪⎝⎭，若()f x 在(0,2)π上单调递增，则252πππω+<，解得320ω<，不符合1229510ω≤<，故③错误；故答案为：①④ 【点睛】关键点点睛：本题的关键是作出函数的图象，根据零点的个数确定ω的范围.17．2【分析】由已知可得利用正切函数的和角公式即可求解【详解】因为所以则整理得所以故答案为：2解析：2. 【分析】由已知可得135A B +=︒，利用正切函数的和角公式即可求解. 【详解】 因为45C =︒， 所以135A B +=︒， 则tan tan tan()11tan tan A BA B A B++==--，整理得tan tan tan tan 1A B A B +=-，所以(1tan )(1tan )tan tan 1(tan tan )A B A B A B --=+-+，tan tan 1(tan tan 1)A B A B =+--，2=，故答案为：2.18．【分析】可将式子化简为即可求解【详解】故答案为： 解析：4-【分析】可将式子化简为22tan tan 1αα--，即可求解. 【详解】tan 3α=,()22222sin cos sin cos sin 21sin cos 2cos αααααααα-+-∴=+ 222tan tan 123314αα=--=⨯--=-.故答案为：4-.19．【分析】根据条件分别求再代入求两角和的正弦【详解】且是第二象限角故答案为：解析：50-【分析】根据条件分别求cos α，sin 2α，cos2α，再代入求两角和的正弦 【详解】3sin 5α=，且α是第二象限角，4cos 5α∴==- 27cos 22cos 125αα∴=-=，3424sin 22sin cos 25525ααα⎛⎫==⨯⨯-=- ⎪⎝⎭，)sin 2sin 2cos 24250πααα⎛⎫+=+=- ⎪⎝⎭.故答案为：50-20．【分析】由图象求得再根据求得从而求得函数解析式再根据由函数图象的对称轴为直线x=t 求解【详解】由图象知：即则由五点法得所以即因为所以所以又因为所以函数图象的对称轴为直线x=t 则所以解得当k=0时t 取解析：12π 【分析】 由图象5556124T ππ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，求得ω，再根据506f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，求得φ，从而求得函数解析式，再根据()()2f x f t x =-，由函数()f x 图象的对称轴为直线x =t 求解. 【详解】 由图象知：5556124T ππ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，即T π=， 则22Tπω==， 由“五点法”得552sin 063f ππφ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以()53k k Z πφπ+=∈，即()53k k Z πφπ=-∈， 因为2πφ<， 所以3πφ=，所以()2sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭， 又因为()()2f x f t x =-，所以函数()f x 图象的对称轴为直线x =t ，则()2sin 223f t t π⎛⎫=+=± ⎪⎝⎭，所以23t π+()2k k Z ππ=+∈，解得()212k t k Z ππ=+∈， 当k =0时，t 取到了最小正值为12π. 故答案为：12π. 【点睛】方法点睛：根据三角函数()()sin f x A x b ωϕ=++的部分图象求函数解析式的方法： （1）求A 、()()max min:2f x f x b A -=，()()max min2f x f x b +=；（2）求出函数的最小正周期T ，进而得出2Tπω=； （3）取特殊点代入函数可求得ϕ的值.三、解答题21．（1）725-；（2）211-.【分析】（1）利用同角三角函数的关系以及二倍角公式即可求值； （2）先求出24tan 27α=-，再利用()()tan tan 2αβααβ-=-+⎡⎤⎣⎦即可求解. 【详解】解：（1）由题意知：α为锐角，且22sin 4tan cos 3sin cos 1ααααα⎧==⎪⎨⎪+=⎩，解得：4sin 53cos 5αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，229167cos 2cos sin 252525ααα∴=-=-=-； （2）由（1）知，4324sin 22sin cos 25525ααα==⨯⨯=， 则24sin 22425tan 27cos 2725ααα===--，()()()()tan 2tan tan tan 21tan 2tan ααβαβααβααβ-+-=-+=⎡⎤⎣⎦+⋅+，()()241022775524111277----===-⎛⎫+-⨯- ⎪⎝⎭， 故()2tan 11αβ-=-. 22．（1）2π；（2）函数()f x，此时+,162k x k Z ππ=∈；函数()f x的最小值为，此时3+,162k x k Z ππ=-∈；（3）3148πα=或4748π． 【分析】（1）化简函数解析式为最简形式，利用公式求出周期 （2）根据正弦的性质可求得函数最值和相应的x 的取值； （3）根据限定范围和正弦函数的取值可求得答案． 【详解】（1），因为()()212cos 1sin 2cos 42f x x x x =-+1cos 2sin 2cos 42x x x =+()sin 124cos4x x +=)24x π=+，所以()fx )24x π=+， 所以()f x 的最小正周期为242ππ=， （2）由（1）得()fx )24x π=+， 所以当sin(4)14x π+=时，函数()f x的最大值为2，此时4+2,42x k k Z πππ+=∈，即+,162k x k Z ππ=∈； 当sin(4)14x π+=-时，函数()f x的最小值为2-，此时4+2,42x k k Z πππ+=-∈，即3+,162k x k Z ππ=-∈；所以函数()f x 的最大值为2，此时+,162k x k Z ππ=∈；函数()f x 的最小值为2-，此时3+,162k x k Z ππ=-∈；（3）因为(,)2παπ∈，所以9174(,)444πππα+∈.因为()4f α=，所以())4f παα=+=1sin(4)42πα+=. 所以17446ππα+=或256π，故3148πα=或4748π.23．（1）22πβαπ<-<，022απβ<-<；（2）27． 【分析】（1）由,2παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭以及不等式知识求出,24βπαπ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，,242αππβ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭,再根据1cos 29βα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，2sin 23αβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭可得,22βπαπ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，0,22απβ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭． （2）根据cos cos 222αββααβ⎡⎤+⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，利用两角差的余弦公式可求得结果.【详解】 （1）,2παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，,242αππ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭，0,24βπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，,02πβ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭， ,224αππ⎛⎫∴-∈-- ⎪⎝⎭，,024βπ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，,24βπαπ⎛⎫∴-∈ ⎪⎝⎭，,242αππβ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭, 又1cos 29βα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，2sin 23αβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以22πβαπ<-<，022απβ<-<.（2）coscos 222αββααβ⎡⎤+⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦cos cos sin sin 2222βαβααβαβ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，又1cos 29βα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭且,22βπαπ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，sin 2βα⎛⎫∴-== ⎪⎝⎭， 又2sin 23αβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，0,22απβ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，cos 23αβ⎛⎫∴-==⎪⎝⎭，12cos293αβ+∴=-+=【点睛】关键点点睛：将所求角拆成两个已知角进行求解是解题关键. 24．（1）答案见解析；（2）5,,26212k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z . 【分析】（1）分别选①②，②③，①③三种情况，根据三角函数的性质，即可求出函数解析式；（2）由（1）的结果根据三角函数的伸缩变换与平移原则，求出()g x ，再根据正弦函数的单调性，即可求出单调递减区间. 【详解】 解：（1）选①②因为,6b π⎛⎫- ⎪⎝⎭为()f x 的对称中心，所以2,,63k k k ππϕπϕπ⎛⎫⨯-+==+∈ ⎪⎝⎭Z 又2πϕ<，所以3πϕ=；因为44x ππ-≤≤，所以52636x πππ-≤+≤，所以1sin 2123x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭ 所以()min 1122f x b =-+=，所以1b =； 所以()sin 213f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭选②③因为12x π=为()f x 的一条对称轴，所以2122k ππϕπ⨯+=+，所以,3k k πϕπ=+∈Z ，又2πϕ<，所以3πϕ=，因为44x ππ-≤≤，所以52636x πππ-≤+≤；所以1sin 2123x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭， 所以()min 1122f x b =-+=，所以1b =， 所以()sin 213f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭；选①③，由前面两种情况，可得，根据对称性只能求得3πϕ=，所以()sin 23f x x b π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭； （2）当()sin 213f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭时， 将函数()y f x =的图象上点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，可得sin 413y x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图像，再将所得图象向右平移8π个单位，得到函数()y g x =的图象，所以()sin 416g x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭； 当()sin 23f x x b π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭时，同理可得()sin 46g x x b π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，令3242,262k x k k πππππ+≤-≤+∈Z 解得：5,26212k k x k ππππ+≤≤+∈Z 所以函数()g x 的减区间为5,,26212k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z . 【点睛】 思路点睛：求解三角函数解析式，以及三角函数性质的题目，一般需要根据三角函数的单调性、对称性等，结合题中条件，求出参数，即可得出解析式；求解三角函数性质问题时，一般根据整体代入的方法，结合正余弦函数的性质求解.25．an 2α＝43，sin ()4πα-＝10-. 【分析】 先由tan α＝12可得tan 2α＝43，再由sin cos αα＝12，结合角的范围可得sin α和cos α的值，再由in ()4πα-的展开求解即可.【详解】∵tan α＝12，∴tan 2α＝22tan 1tan a a -＝122114⨯-＝43. 且sin cos αα＝12，即cos α＝2sin α. 又sin 2α＋cos 2α＝1，∴5sin 2α＝1.而α∈(0,)2π，∴sin α，cos α. ∴sin ()4πα-＝sin αcos4π－cos αsin 4π×2×2＝－10. 26．（1）4，16；（2）5. 【分析】（1）设扇形的半径为r ，弧长为l ，根据面积为16，可得32l r=，列出周长表达式，利用基本不等式即可求得答案；（2）利用基本不等式，即可求得所求乘积的最大值. 【详解】（1）设扇形的半径为r ，弧长为l ，所以面积1162S l r =⋅=，即32l r=，且08r <<，则周长322216c l r r r =+=+≥=，当且仅当322r r =即4r =时等号成立，所以当半径4r =时，周长有最小值16. （2）由题意得(10)0x x -≥，解得010x ≤≤，1052x x+-≤=，当且仅当(10)x x =-，即5x =时等号成立，5.。

人教A版高中数学必修第一册《第五章三角函数》复习参考题及答案复习巩固1. 写出与下列各角终边相同的角的集合S,并且把S中适合不等式−2π≤β<4π的元素β写出来:(1) π4; (2) −23π1(3) 125π; (4) 0 .2. 一个扇形的弧长与面积的数值都是5, 求这个扇形中心角的度数(精确到1 %).3. (1) 已知cosφ=14,求sinφ,tanφ.(2) 已知sinx=2cosx,求角x的三个三角函数值.4. 已知tanα=−13,计算:(1) sinα+2cosα5cosα−sinα; (2) 12sinαcosα+cos2α4(3) sinαcosα; (4) (sinα+cosα)2.5. 计算(可用计算工具, 第(2)(3)题精确到0.0001 ):(1) sin256π+cos253π+tan(−254π);(2) sin2+cos3+tan4;(3) cos(sin2).6. 设π<x<2π,填表:7. 求下列函数的最大值、最小值,并求使函数取得最大、最小值的x的集合:(1) y=√2+sinxπ; (2) y=3−2cosx.8. 画出下列函数在长度为一个周期的闭区间上的简图,并指出分别由函数y=sinx,x∈ℝ的图象经过怎样的变换得到:(1) y=12sin(3x−π3); (2) y=−2sin(x+π4);(3) y=1−sin(2x−π5); (4) y=3sin(π6−x3).9. (1) 用描点法画出函数y=sinx,x∈[0,π2]的图象.(2) 如何根据第(1) 小题并运用正弦函数的性质,得到函数y=sinx,x∈[0,2π]的图象?(3) 如何根据第(2) 小题并通过平行移动坐标轴,得到函数y=sin(x+φ)+k,x∈[0,2π] ( φ,k都是常数)的图象?10. 不通过画图, 写出下列函数的振幅、周期、初相, 并说明如何由正弦曲线得到它们的图象:(1) y=sin(5x+π6); (2) y=2sin16x.11. (I) 已知α⋅β都是锐角, sinα=45,cos(α+β)=513,求sinβ的值;(2) 已知cos(π4−a)=35,sin(5π4+β)=−1213,α∈(π4,3π4),β∈(0,π4),求sin(α+β)的值;(3) 已知α,β都是锐角, tanα=17,sinβ=√1010. 求tan(α+2β)的值.12. (1) 证明tanα+tanβ=tan(α+β)−tanαtanβtan(α+β);(2) 求tan20∘+tan40∘+√3tan20∘tan40∘的值;(3) 若α+β=3π4,求(1−tanα)(1−tanβ)的值;(4) 求tan20∘+tan40∘+tan120∘tan20∘tan40∘的值.13. 化简:(1) 1sin10∘−√3cos10∘; (2) sin40∘(tan10∘−√3)1(3) tan70∘cos10∘(√3tan20∘−1); (4) sin50∘(1+√3tan10∘).14. (1) 已知cosθ=−35,π<θ<3π2,求(sinθ2−cosθ2)2的值;(2) 已知sinα2−cosα2=15,求sinα的值;(3) 已知sin4θ+cos4θ=59,求sin2θ的值;(4) 已知cos2θ=35,求sin4θ+cos4θ的值.15. (1) 已知cos(α+β)=15,cos(α−β)=35,求tanαtanβ的值;(2) 已知cosα+cosβ=12,sinα+sinβ=13,求cos(α−β)的值.综合运用16. 证明:(1) cos4α+4cos2α+3=8cos4α; (2) 1+sin2α2cos2α+sin2α=12tanα+12;(3) sin(2α+β)sinα−2cos(α+β)=sinβsinα; (4) 3−4cos2A+cos4A3+4cos2A+cos4A=tan4A.17. 已知sinα−cosα=15,0≤α≤π,求sin(2α−π4)的值.18. 已知cos(π4+x)=35,17π12<x<7π4,求sin2x+2sin2x1−tanx的值.19. 已知sinθ+cosθ=2sinα,sinθcosθ=sin2β,求证4cos22α=cos22β.20. 已知函数f(x)=cos4x−2sinxcosx−sin4x,(1) 求f(x)的最小正周期;(2) 当x∈[0,π2]时,求f(x)的最小值以及取得最小值时x的集合.21. 已知函数f(x)=sin(x+π6)+sin(x−π6)+cosx+a的最大值为1,(1) 求常数a的值;(2) 求函数f(x)的单调递减区间;(3) 求使f(x)≥0成立的x的取值集合.22. 已知函数f(x)=√3sin2x+2cos2x+m在区间[0,π2]上的最大值为6 ,(第23 题)(1) 求常数m的值;(2) 当x∈R时,求函数f(x)的最小值,以及相应x的集合.23. 如图,正方形ABCD的边长为1,P,Q分别为边AB,DA上的点. 当△APQ的周长为2 时,求∠PCQ的大小.拓广探索24. 已知sinβ+cosβ=15,β∈(0,π),(1) 求tanβ的值;(2)你能根据所给的条件, 自己构造出一些求值问题吗?25. 如图,已知直线l1//l2,A是l1,l2之间的一定点,并且点A到l1,l2的距离分别为ℎ1,ℎ2. B是直线l2上一动点,作AC⊥AB,且使AC与直线l1交于点C. 设∠ABD=α.(第25 题)(1) 写出△ABC面积S关于角α的函数解析式S(α);(2) 画出上述函数的图象:(3) 由(2) 中的图象求S(α)的最小值.26. 英国数学家泰勒发现了如下公式:sinx=x−x33!+x55!−x77!+⋯,cosx=1−x22!+x44!−x66!+⋯,其中n!=1×2×3×4×⋯×n.这些公式被编入计算工具, 计算工具计算足够多的项就可以确保显示值的精确性. 比如、用前三项计算 cos0.3 . 就得到 cos0.3≈1−0.322!+0.344!=0.9553375 .试用你的计算工具计算 cos0.3 ,并与上述结果比较.27. 在地球公转过程中, 太阳直射点的纬度随时间周而复始不断变化.(第 27 题)(1) 如图,设地球表面某地正午太阳高度角为 0,δ 为此时太阳直射点的纬度, φ 为当地的纬度值,那么这三个量满足 θ=90∘−|φ−δ| .某科技小组以某年春分(太阳直射赤道且随后太阳直射点逐渐北移的时间) 为初始时间, 统计了连续 400 天太阳直射点的纬度平均值 (太阳直射北半球时取正值, 太阳直射南半球时取负值). 下面是该科技小组的三处观测站成员在春分后第 45 天测得的当地太阳高度角数据:请根据数据完成上面的表格 (计算结果精确到 0.0001);(2) 设第x天时太阳直射点的纬度平均值为y. 该科技小组通过对数据的整理和分析,推断y与x近似满足函数y=Asinwx,其中A为北回归线的纬度值,约为23.4392911,试利用(1) 中的数据,估计w的值(精确到10−8);(3) 定义从某年春分到次年春分所经历的时间为一个回归年, 求一个回归年对应的天数(精确到0.0001 );(4) 利用(3) 的结果, 估计每400 年中, 应设定多少个闰年, 可使这400 年与400 个回归年所含的天数最为接近(精确到1).答案：1. (1) {β∣β=π4+2kπ,k∈Z},−7π4,π4,9π4.(2) {β∣β=−23π+2kπ,k∈Z},−23π,43π,103π.(3) {β∣β=125π+2kπ,k∈Z},−85π,25π,125π.(4) {β∣β=2kπ,k∈Z},−2π,0,2π.2. 约143∘.3. (1) 当φ为第一象限角时, sinφ=√154,tanφ=√15;当φ为第四象限角时, sinφ=−√154,tanφ=−√15.(2) 当x为第一象限角时, tanx=2,cosx=√55,sinx=2√55;当x为第三象限角时, tanx=2,cosx=−√55,sinx=−2√55.4. (1) 516. (2) 103. (3) −310. (4) 25.5. (1) 0 . (2) 1.077 1 . (3) 0.6143 .6.7. (1) 最大值为√2+1π,此时x的集合为{x| x=π2+2kπ,k∈Z};最小值为√2−1π,此时x的集合为{x∣x=−π2+2kπ,k∈Z}.(2) 最大值为5,此时x的集合为{x∣x=(2k+1)π,k∈Z}; 最小值为1,此时x的集合为{x∣x=2kπ,k∈Z}.8. 表及图象变换略, 图象如图所示:(第8 题)9. (1) 列表:描点画图如下:(第9 (1) 题)(2) 由sin(π−x)=sinx,可知函数y=sinx,x∈[0,π]的图象关于直线x=π2对称,据此可得函数y=sinx,x∈[π2,π]的图象; 又由sin(2π−x)=−sinx,可知函数y=sinx, x∈[0,2π]的图象关于点(π,0)对称,据此可得到函数y=sinx,x∈[π,2π]的图象. (3) 先把y轴向右(当φ>0时) 或向左(当φ<0时) 平行移动|φ|个单位长度,再把x轴向下(当k>0时) 或向上(当k<0时) 平行移动|k|个单位长度,将图象向左或向右延伸,并擦去[0,2π]之外的部分,便得到函数y=sin(x+φ)+k,x∈[0,2π]的图象.10. (1) 振幅是1,周期是2π5,初相是π6.把正弦曲线向左平行移动π6个单位长度,可以得函数y=sin(x+π6),x∈R的图象; 再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的15倍(纵坐标不变),就可得出函数y=sin(5x+π6), x∈R的图象.(2) 振幅是2,周期是12π,初相是0 .把正弦曲线上所有点的横坐标伸长到原来的 6 倍(纵坐标不变),得到函数y=sin16x,x∈R的图象; 再把所得图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2 倍(横坐标不变),就可得到函数y=2sin16x,x∈R的图象.11. (1) 1665. (2) 5665. (3) 1 .12. (1) 提示: 利用公式tan(α+β)=tanα+tanβ1−tanαtanβ(2) √3. (3) 2 . (4) −√3.13. (1) 原式=cos10∘−√3sin10∘sin10∘cos10∘=4sin(30∘−10∘)sin20∘=4.(2) 原式=sin40∘(sin10∘cos10∘−√3)=sin40∘⋅sin10∘−√3cos10∘cos10∘=−sin80∘cos10∘=−1;(3) 原式=tan70∘cos10∘(√3sin20∘cos20∘−1)=sin70∘cos70∘⋅cos10∘⋅−2sin10∘cos20∘=−sin20∘cos70∘=−1;(4) 原式:sin50∘(1+√3sin10∘cos10∘)=sin50∘⋅cos10∘+√3sin10∘cos10∘=sin100∘cos10∘=1,14. (1) 95. (2) 2425. (3) ±2√23. (4) 1725.15. (1) 由已知可求得cosαcosβ=25,sinαsinβ=15. 于是有tanαtanβ=sinαsinβcosαcosβ=12.(2) 把cosα+cosβ=12两边分别平方,得cos2α+cos2β+2cosαcosβ=14. 把sinα+sinβ=13两边分别平方,得sin2α+sin2β+2sinαsinβ=19. 把所得两式相加,得2+2(cosαcosβ+sinαsinβ)=1336,即2+2cos(α−β)=1336. 所以cos(α−β)=−5972.16. (1) 左式=2cos22a−1+4cos2a+3=2(cos2a+1)2=2(2cos2a)2=8cos4a=右式.(2) 左式=sin2α+cos2α+2sinαcosα2cos2α+2sinαcosα=(sinα+cosα)22cosα(cosα+sinα)=12tanα+12=右式.(3) 左式=sin(2α+β)2cos(α+β)sinαsinα=sinβsinα=右式.(4) 左式=3−4cos2A+2cos22A−13+4cos2A+2cos∗2A−1=(1−cos2A)2(1+cos2A)2(2sin2A)2(2cos2A)2=tan4A=右式.17. sin(2α−π4)=31√250.18. sin2x+2sin2x1−tanx =2sinxcosx+2sin2x1−sinxcosx=sin2x⋅1+tanx1−tanx=sin2x⋅tan(π4+x).由17π12<x<7π4,得5π3<x+π4<2π. 又cos(π4+x)=35,所以sin(π4+x)=−45,tan(π4+x)=−43. 又cosx=cos[(π4+x)−π4]=−√210,所以sinx=−7√210,sin2x=725. 所以sin2x+2sin2x 1−tanx =−2875.19. 把已知代入sin2θ+cos2θ=(sinθ+cosθ)2−2sinθcosθ=1中,得(2sinα)2−2sin2β=1. 变形得2(1−cos2α)−(1−cos2β)=1,即2cos2α=cos2β,4cos22α= 4cos22β.20. f(x)=(cos2x+sin2x)(cos2x−sin2x)−2sinxcosx=cos2x−sin2x=√2cos(2x+π4).(1) 最小正周期是π.(2) 由x∈[0,π2],得2x+π4∈[π4,5π4],所以当2x+π4=π,即x=3π8时, f(x)的最小值为−√2,f(x)取最小值时x的集合为{3π8}.21. f(x)=√3sinx+cosx+a=2sin(x+π6)+a.(1) 由2+a=1,得a=−1.(2) 单调递减区间为[π3+2kπ,4π3+2kπ],k∈Z.(3) {x ∣2kπ≤x ≤2π3+2kπ,k ∈Z} .22. f (x )=√3sin2x +1+cos2x +m =2sin (2x +π6)+m +1 .(1) 由 x ∈[0,π2] ,得 2x +π6∈[π6,7π6] ,于是有 2+m +1=6 . 解得 m =3 . (2) f (x )=2sin (2x +π6)+4(x ∈R ) 的最小值为 −2+4=2 ,此时 x 的取值集合由2x +π6 =3π2+2kπ(k ∈Z ) 求得,所求集合为 {x ∣x =2π3+kπ,k ∈Z} .23. 设 AP =x,AQ =y,∠BCP =α,∠DCQ =β ,则 tanα=1−x,tanβ=1−y . 于是 tan (α+β)=2−(x+y )(x+y )−xy . 又 △APQ 的周长为 2,即 x +y +√x 2+y 2=2 ,变形可得 xy = 2(x +y )−2 . 于是 tan (α+β)=2−(x+y )(x+y )−[2(x+y )−2]=1 . 又 0<α+β<π2 ,所以 α+β=π4,∠PCQ =π2−(α+β)=π4. 24. (1) 由 {sinβ+cosβ=15,sin 2β+cos 2β=1,可得 25sin 2β−5sinβ−12=0 . 解得 sinβ=45 或 sinβ=−35 (由 β∈(0,π) ,舍去). 所以 cosβ=15−sinβ=−35 . 于是 tanβ=−43 .(2) 根据所给条件,可求出仅由 sinβ,cosβ,tanβ 表示的三角函数式的值. 例如, sin (β+π3) , cos2β+2,sinβ+cosβ2tanβ,sinβ−cosβ3sinβ+2cosβ ,等等.25. 因为 ∠ABD =α ,所以 ∠CAE =α,AB =ℎ2sinα,AC =ℎ1cosα . 所以 S △ABC =12⋅AB ⋅AC =ℎ1ℎ2sin2α,0<α<π2. (1) 所求函数解析式为 S (α)=ℎ1ℎ2sin2α,0<α<π2 . (2) 略 (可借助信息技术).(3) 当 2α=π2 ,即 α=π4 时, S (α) 的最小值为 ℎ1ℎ2 .26. 略.27. (1)(2) 由16.3862=23.4392911⋅sin(45ω),解得ω=0.01720279.=365.2422.(3) T=2πω(4) 400(T−365)=96.88,故应在400 年中设定97 个闰年.。

一、选择题1．已知()0,πα∈，2sin cos 1αα+=，则cos 21sin 2αα=-（ ）A ．2425-B ．725-C ．7-D ．17-2．函数()2sin(2)33f x x π=-+的最小正周期为（ ）A ．2π B ．πC ．2πD ．4π3．已知一个扇形的半径与弧长相等，且扇形的面积为22cm ，则该扇形的周长为（ ） A ．6cmB ．3cmC ．12cmD ．8cm4．函数()()sin 0,0,22f x A x A ωϕωϕππ⎛⎫=+>>-<< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则()f x =（ ）A ．sin 6x ππ⎛⎫+⎪⎝⎭B ．sin 3x ππ⎛⎫+⎪⎝⎭C ．sin 6x ππ⎛⎫-⎪⎝⎭D ．sin 3x ππ⎛⎫-⎪⎝⎭5．计算cos 20cos80sin160cos10+=（ ）． A ．12B 3C ．12-D ．3 6．化简求值1tan12tan 72tan12tan 72+-（ ）A ．3B ．3C 3D 37．要得到函数3224y x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象只需将函数322y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象（ ） A ．先向右平移8π个单位长度，再向下平移2个单位长度B ．先向左平移8π个单位长度，再向上平移2个单位长度 C ．先向右平移4π个单位长度，再向下平移2个单位长度D ．先向左平移4π个单位长度，再向上平移2个单位长度8．()()sin f x A x =+ωϕ0,0,2A πωϕ⎛⎫>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，若将函数()f x 的图象向右平移2π个单位长度，得到函数()g x 的图象，则（ ）A ．()12sin 212g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ B ．()12sin 212g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭ C ．()2sin 212g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ D ．()2sin 212g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭9．已知,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭且1sin 23πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则()tan απ+=（ ）A ．22-B ．2C ．2-D 2 10．已知1sin()43πα-=，则cos()4πα+=（ ） A ．13-B ．13 C ．223-D ．2311．已知tan 2α=，则sin sin 44ππαα⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（ ）A ．310-B ．310C ．35D ．3512．已知tan 62πα⎛⎫= ⎪⎝⎭-，()tan 3αβ+=-，则πtan 6β⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题13．已知22034sin παα=<<，，则sin cos αα-=_____________________. 14．设函数()sin (0,0)6f x A x A πωω⎛⎫=->> ⎪⎝⎭，[]0,2x π∈，若()f x 恰有4个零点，则下述结论中：①0()()f x f x ≥恒成立，则0x 的值有且仅有2个；②存在0>ω，使得()f x 在80,19π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增；③方程1()2f x A =一定有4个实数根，其中真命题的序号为_________. 15．若1cos()2αβ-=，3cos()5αβ+=-，则tan tan αβ=__________. 16．已知α、β均为锐角，且2sin 10α=，()25cos αβ+=，则cos 2β=_______________17．设函数()cos 2sin f x x x =+，下述四个结论正确结论的编号是__________. ①()f x 是偶函数； ②()f x 的最小正周期为π； ③()f x 的最小值为0； ④()f x 在[]0,2π上有3个零点.18．若函数()|2cos |f x a x =+的最小正周期为π，则实数a 的值为____. 19．已知扇形的弧长为6，圆心角弧度数为2，则其面积为______________.20．已知函数()cos 2f x x =，若12,x x 满足12|()()|2f x f x -=，则12||x x -的一个取值为________．三、解答题21．某高档小区有一个池塘，其形状为直角ABC ，90C ∠=︒，2AB =百米，1BC =百米，现准备养一批观赏鱼供小区居民观赏．（1）若在ABC 内部取一点P ，建造APC 连廊供居民观赏，如图①，使得点P 是等腰三角形PBC 的顶点，且2π3CPB ∠=，求连廊AP PC +的长； （2）若分别在AB ，BC ，CA 上取点D ，E ，F ，建造DEF 连廊供居民观赏，如图②，使得DEF 为正三角形，求DEF 连廊长的最小值．22．已知函数()2sin 24cos cos 644f x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. （1）求函数()f x 的单调区间； （2）当,612x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 的值域. 23．已知函数()sin cos f x a x b x =+，其中0ab ≠．（1）若1b =，是否存在实数a 使得函数()f x 为偶函数，若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由； （2）若34x π=为函数()f x 的对称轴，求函数()f x 的单调增区间． 24．已知函数()22sin cos 2sin 1f x x x x =-+. （1）求4f π⎛⎫⎪⎝⎭的值； （2）求()f x 的最小正周期； （3）求()f x 在区间,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值. 25．已知()()cos 0f x x ωω=>（1）若f (x )的周期是π，求ω，并求此时()12f x =的解集；（2）若()()()21,2g x fx x f x πω⎛⎫==+-+ ⎪⎝⎭，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求()g x 的值域.26．已知函数2()cos sin 12cos f x a x x x =⋅+-，且(0)3f f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭. （1）求函数()y f x =的最小正周期； （2）求()f x 在52,243ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D 解析：D 【分析】利用22sin cos 1αα+=以及2sin cos 1αα+=解出sin α，cos α的值，再利用二倍角公式化简即可求解. 【详解】因为2sin cos 1αα+=，所以cos 12sin αα=-， 代入22sin cos 1αα+=得()22sin 12sin 1αα+-=， 因为()0,πα∈，所以4sin 5α，所以43cos 12sin 1255αα=-=-⨯=-，所以4324sin 22sin cos 25525ααα⎛⎫==⨯⨯-=- ⎪⎝⎭， 2247cos 212sin 12525αα⎛⎫=-=-⨯=- ⎪⎝⎭cos 211sin 2717252425αα-==--⎛⎫- ⎪⎭-⎝， 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是熟记同角三角函数基本关系，以及三角函数值在每个象限内的符号，熟记正余弦的二倍角公式，计算仔细.2．B解析：B 【分析】利用函数()sin y A ωx φ=+的周期公式2T ωπ=即可求解.【详解】22T ππ==， 故函数()2sin(2)33f x x π=-+的最小正周期为π，故选：B3．A解析：A 【分析】由题意利用扇形的面积公式可得2122R =，解得R 的值，即可得解扇形的周长的值．解：设扇形的半径为Rcm ，则弧长l Rcm =， 又因为扇形的面积为22cm ， 所以2122R =，解得2R cm =， 故扇形的周长为6cm ． 故选：A ．4．C解析：C 【分析】由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出ϕ的值，从而得到函数的解析式. 【详解】解：由图象可得1A =，再根据35134362T =-=，可得2T =， 所以22πωπ==， 再根据五点法作图可得1,6k k Z πϕπ⨯+=∈，求得6πϕ=-， 故函数的解析式为()sin 6f x x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.故选：C.5．A解析：A 【分析】将160化为20,10化为80后，利用两角差的余弦公式可求得结果. 【详解】cos 20cos80sin160cos10+cos 20cos80sin 20sin80=+()cos 8020=-cos60=12=． 故选：A ．6．A解析：A 【分析】逆用两角差的正切公式先求出tan12tan 721tan12tan 72-+，即可求解.因为()tan 1272-tan12tan 721tan12tan 72-=+()tan 60=-=-所以()1tan12tan 721tan12tan 723tan 60+===---.故选：A7．B解析：B 【分析】根据三角函数图像平移规则，进行平移即可 【详解】解：由函数222248y x x ππ⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，222y x x π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，所以先向左平移8π个单位长度，得2())84y x x ππ=+=+的图像，再向上平移2个单位长度，得 224y x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图像，故选：B8．A解析：A 【分析】根据图象易得2A =，最小正周期T 2433ππ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，进而求得ω，再由图象过点2,23π⎛⎫⎪⎝⎭求得函数()f x ，然后再根据平移变换得到()g x 即可. 【详解】由图象可知2A =，最小正周期2T 4433πππ⎡⎤⎛⎫=--= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，∴212T πω==，1()2sin 2f x x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 又22sin 233f ππϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴232k ππϕπ+=+，26k πϕπ=+，∵||2ϕπ<，∴6π=ϕ，1()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，将其图象向右平移2π个单位长度得 11()2sin 2sin 226212g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故选：A 9．A解析：A 【分析】由条件可得1cos 3α=-，然后可得sin α=，然后()sin tan tan cos ααπαα+==，即可算出答案. 【详解】因为1sin cos 23παα⎛⎫+==- ⎪⎝⎭，,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin 3α=所以()sin tan tan cos ααπαα+===-故选：A10．A解析：A 【分析】 运用α-、2πα-的诱导公式，计算即可得到.【详解】 解：1sin()43πα-=，即为1sin()43πα-=-， 即有1sin[()]243ππα-+=-， 即1cos()43πα+=-. 故选：A.11．B解析：B 【分析】利用两角和与差的正弦公式、同角三角函数的基本关系式化简所求表达式，由此求得所求表达式的值. 【详解】sin sin sin cos cos sin sin cos cos sin 444444ππππππαααααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+=-⋅+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()22222211sin cos sin cos 22sin cos αααααα-=-=⨯+ 221tan 114132tan 124110αα--=⨯=⨯=++. 故选：B12．A解析：A 【分析】根据两角差的正切公式，由题中条件，直接得出结果. 【详解】 因为tan 62πα⎛⎫= ⎪⎝⎭-，()tan 3αβ+=-， 则()()()πta tan πtan t n 6an 661tan πtan 6αβααβπβαβαα⎛⎫ ⎪⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎝⎭+=+--= ⎪ ⎪⎢⎥⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎣⎦+ ⎪⎝+--+⎭-123321==-⨯--.故选：A. 二、填空题13．【分析】结合二倍角的正弦公式和同角三角函数的基本关系由即可求出正确答案【详解】解：因为所以所以故答案为:解析：【分析】结合二倍角的正弦公式和同角三角函数的基本关系，由sin cos αα-=即可求出正确答案. 【详解】 解：因为04πα<<，所以0sin cos αα-<，所以sin cos αα-====， 故答案为: -14．①②③【分析】可把中的整体当作来分析结合三角函数的图象与性质即可得解【详解】由于恰有4个零点令由有4个解则解得①即由上述知故的值有且仅有个正确；②当时当时解得又故存在使得在上单调递增正确；③而所以可解析：①②③ 【分析】可把sin()y A x ωθ=+中的x ωθ+整体当作t 来分析，结合三角函数的图象与性质即可得解． 【详解】由于()f x 恰有4个零点，令6t x πω=-，266t ππωπ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦，， 由sin 0t =有4个解，则3246x ππωπ≤-<，解得19251212ω≤<， ①()0f x A =即0262ππωx k π-=+，由上述知0,1k =， 故0x 的值有且仅有2个，正确； ②当0x =时，66ππωx -=-，当819πx =时，81962πππω⋅-≤，解得1912ω≤， 又19251212ω≤<，故存在1912ω=，使得()f x 在80,19π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，正确； ③11()sin 262f x A x πω⎛⎫=⇒-= ⎪⎝⎭，而2[3,4)6ππωππ-∈， 所以6x πω-可取51317,,,6666ππππ，共4个解，正确，综上，真命题的序号是①②③. 故答案为：①②③. 【点睛】三角函数的性质分析一般用数形结合，图象的简化十分重要。

第五章 三角函数单元检测卷（基础达标卷）一、单选题1．若角α的终边上一点的坐标为(11)-，，则cos α=( ) A ．1-B ．2C ．22D ．12．cos675︒的值为（ ） A 2B ．2C ．3 D ．123．已知()()tan 01f x x ωω=<<在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦3ω=（ ）A ．12B ．13C ．23D ．344．函数2()(1)cos 1xf x x e =-⋅+的图象的大致形状是（ ） A ． B ．C ．D ．5．sin1︒，sin1，sin π︒的大小顺序是（ ） A ．sin1sin1sin π︒<<︒ B ．sin1sin sin1π︒<︒< C ．sin sin1sin1π︒<︒<D ．sin1sin1sin π<︒<︒6．已知1tan 2α=-，那么22sin 2sin cos 3cos αααα+-的值是（ ） A ．3-B ．59-C ．3D ．75-7．函数()22cos 2f x x =图象的一个对称中心为（ ）A ．,08π⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．,14π⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．,18π⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．,04π⎛⎫ ⎪⎝⎭8．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到应用.假定在水流稳定的情况下，简车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.如图，将简车抽象为一个几何图形（圆），筒车半径为4m ，筒车转轮的中心O 到水面的距离为2m ，筒车每分钟沿逆时针方向转动4圈.规定：盛水筒M 对应的点P 从水中浮现（即P 0时的位置）时开始计算时间，且以水轮的圆心O 为坐标原点，过点O 的水平直线为x 轴建立平面直角坐标系xOy .设盛水筒M 从点P 0运动到点P 时所经过的时间为t （单位：s ），且此时点P 距离水面的高度为h （单位：m ），则点P 第一次到达最高点需要的时间为（ ）s .A ．2B ．3C ．5D ．10二、多选题9．下列说法正确的是（ ） A ．终边在y 轴上的角的集合为{|2,}2k k Z πθθπ=+∈B ．0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则sin tan <<x x xC ．三角形的内角必是第一或第二象限角D ．若α是第二象限角，则2α是第一或第三象限角 10．设α是三角形的一个内角，下列选项中可能为负值的有（ ） A ．sin αB ．cos αC ．tan αD ．cos tan αα11．在△ABC 中，3sin 4cos 6,3cos 4sin 1A B A B +=+=，则C 的大小不可能为（ ） A ．6πB ．3π C ．23πD ．56π12．已知函数()22sin sin 21f x x x =-++，则（ ）A ．()f x 的图象可由22y x =的图象向右平移8π个单位长度得到 B ．()f x 在0,8π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增C ．()f x 在[]0,π内有2个零点D ．()f x 在,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦2三、填空题13．圆的半径是6 cm ，则圆心角为30°的扇形面积是_________2cm ． 14．已知22sin 2sin cos 3cos 0αααα-⋅-=，求sin 2cos 2sin cos αααα+=-__________．15．已知函数()sin()f x A x ωφ=+（0A >，0>ω，||2πφ<）在一个周期内的图象如图所示，则()4f π=_______.16．将函数3sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平行移动6π个单位长度得到函数()y f x =的图象，若()2f α=则26f πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭___________.四、解答题17．如图所示，某市拟在长为8km 的道路OP 的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM ，该曲线段为函数()sin 0,0y A x A ωω=>>，[]0,4x ∈的图象，且图象的最高点为(3,3S ；赛道的后一部分为折线段MNP ．为保证参赛运动员的安全，限定120MNP ∠=︒．求A ，ω的值和M ，P 两点间的距离．18．某企业欲做一个介绍企业发展史的铭牌，铭牌的截面形状是如图所示的扇形环面（由扇形OAD 挖去扇形OBC 后构成的）.已知10OA =，()010OB x x =<<，线段BA ，CD 与BC ，CD 的长度之和为30，圆心角为θ弧度.（1）求θ关于x 的函数表达式；（2）记铭牌的截面面积为y ，试问x 取何值时，y 的值最大？并求出最大值. 19．已知函数()2sin f x x ω=，其中常数0>ω.（1）令2ω=，将函数()y f x =的图象向左平移6π个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数()y g x =的图象，求函数()y g x =的表达式.（2）求出（1）中()y g x =的对称中心和对称轴.（3）若()y f x =在2,43ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，求ω的取值范围.20．已知函数()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭，且()f x 图像的相邻两条对称轴之间的距离为π2，再从条件①、条件②、条件③中选择两个作为一组已知条件． （1）确定()f x 的解析式；（2）若()()π2cos 26g x f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，求函数()g x 的单调减区间．条件①：()f x 的最小值为－2；条件②：()f x 图像的一个对称中心为5π,012⎛⎫⎪⎝⎭；条件③：()f x 的图像经过点5π,16⎛⎫- ⎪⎝⎭．注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分．21．已知α､(0)2πβ∈，，且sin 5α=，sin 10β=. （1）求αβ+的值；（2）令γαβ=+，设[0]x γ∈，，是否存在实数m ，使得()sin cos sin cos f x m x x x x =⋅⋅++21？若存在，求出m 的值，否则，请说明理由.22．（1）已知角α的终边经过点43,55P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，求()()()πsin tan π2sin πcos 3παααα⎛⎫-⋅- ⎪⎝⎭+⋅-的值； （2）已知0πx <<，1sin cos 5x x +=，求tan x 的值．参考答案1．C 【分析】根据任意角三角函数的定义即可求解. 【详解】△角α的终边上一点的坐标为(11)-，，它与原点的距离221(1)2r +- △2cos 2x r α=== 故选：C. 2．A 【分析】利用诱导公式及特殊角的三角函数值计算可得； 【详解】()cos 7202c 45cos 45os 675=︒-︒=︒=︒ 故选：A. 3．A 【分析】 先求出03x ωπω≤≤，再根据()max 3tantan36f x ωππ===. 【详解】因为0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，即03x π≤≤，又01ω<<，所以033x ωππω≤≤<，所以()max 3tantan36f x ωππ===所以36ωππ=，12ω=． 故选：A ． 4．B 【分析】判断函数为奇函数，排除AC ，再计算π(0)2x ∈，时()0f x <，排除D ，得到答案.【详解】1e ()cos 1e x xf x x -=⋅+，e 1()cos ()e 1x x f x x f x --=⋅=-+，△()f x 为奇函数，排除AC.当π(0)2x ∈，，210,cos 01e xx -<>+，故()0f x <，排除D. 故选：B ． 5．B 【分析】直接根据正弦函数的单调性即可得出答案. 【详解】 解：因为180sin1sinπ︒=，函数sin y x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上递增，1800190ππ︒︒<︒<︒<<︒， 所以180sin1sin sin ππ︒︒<︒<，即sin1sin sin1π︒<︒<.故选：B. 6．A 【分析】对于正余弦的齐次式，进行弦化切，代入求解. 【详解】22sin 2sin cos 2cos αααα+-222222sin 2sin cos 3cos tan 2tan 3sin cos tan 1ααααααααα+-+-==++，将1tan 2α=-代入上式，得原式3=-． 故选：A ． 7．C 【分析】由二倍角的余弦公式化简函数解析式，根据余弦型函数的性质求解即可. 【详解】()22cos 2cos41f x x x ==+，令42x k ππ=+（k ∈Z ），得84k x ππ=+（k ∈Z ）， 当1k =-时，8x π=-，即()f x 图象的一个对称中心为,18π⎛⎫- ⎪⎝⎭. 故选：C 8．C 【分析】设点P 离水面的高度为()sin()2h t A t ωϕ=++，根据题意求出,,A ωϕ，再令()6h t =可求出结果. 【详解】设点P 离水面的高度为()sin()2h t A t ωϕ=++， 依题意可得4A =，826015ππω==，6πϕ=-， 所以2()4sin()2156h t t ππ=-+， 令2()4sin()6156h t t ππ=-=，得2sin()1156t ππ-=，得221562t k ππππ-=+，k Z ∈，得155t k =+，k Z ∈，因为点P 第一次到达最高点，所以2015215t ππ<<=， 所以0,5s k t ==. 故选：C 9．BD 【分析】选项A 轴线角的写法，y 轴正半轴{|2,}2k k Z πθθπ=+∈，y 轴{|,}2k k Z πθθπ=+∈；选项B 利用三角函数线证明即可;选项C 角90︒ 时不在第一或第二象限角；选项D 可以利用图像判断，也可以利用象限角的范围求解即可. 【详解】选项A 轴线角的写法，y 轴正半轴{|2,}2k k Z πθθπ=+∈，y 轴{|,}2k k Z πθθπ=+∈,所以不正确；选项B ，可以利用三角函数线围成面积的大小来比较大小,OMA OAT OMA S S S <<△△扇形所以sin tan <<x x x ，故正确选项C ，角为90︒ 时不在第一也不在第二象限；选项D 中α是第二象限角，{|22,}2k k k Z παπαππ+<<+∈，所以{|,}2422k k k Z απαπππ+<<+∈，当0,1,2,3k = 可判断2α是第一或第三象限角.故选：BD. 10．BC【分析】α是三角形的一个内角所以0απ<<，根据α的范围逐项判断可得答案.【详解】因为α是三角形的一个内角，所以0απ<<， 所以sin 0α>； 当2παπ<<时，cos 0α<； 当2παπ<<时，tan 0α<；cos tan sin 0ααα=>.故选：BC. 11．BCD 【分析】将题干中两个式子平方后求和化简可得()1sin 2A B +＝，结合()1sin sin 2C A B =+＝，可得C ＝6π或56π，又4sin B ＝1－3cos A >0，可得cos A <13<12，则A >3π，分析即得解【详解】由3sin 4cos 6,3cos 4sin 1A B A B +=+=， 两式平方和得22229sin 9cos 16cos 16sin 24sin cos 24cos sin 361A A B B A B A B +++++=+即 9＋16＋24sin(A ＋B )＝37，因而()1sin 2A B +＝.在△ABC 中，sin C ＝sin[π－(A ＋B )]＝sin(A ＋B )＝12，且(0,)C π∈ 因而C ＝6π或56π， 又3cos A ＋4sin B ＝1化为4sin B ＝1－3cos A >0，所以cos A <13<12，则A >3π，故C ＝6π故选：BCD 12．BC 【分析】A.根据函数的平移判断；B.求出函数的单调增区间来判断；C.求出函数的零点来判断；D.求出函数的最大值来判断； 【详解】由题得()22sin sin21cos2sin22sin 24f x x x x x x π⎛⎫=-++=+=+ ⎪⎝⎭，由2sin2y x =的图象向右平移8π个单位长度，得到2sin22sin 284y x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象，所以选项A错误； 令222,242k x k k πππππ-++∈Z ，得其增区间为3,,88k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ， 所以()f x 在0,8π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，所以选项B 正确；令()0f x =得2,4x k k ππ+=∈Z ，得,28k x k ππ=-∈Z ，又[]0,x π∈． 所以x 可取37,88ππ，即有2个零点，所以选项C 正确； 由,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦π得322,,sin 24444x x ππππ⎡⎡⎤⎛⎫+∈-+∈-⎢ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦， 所以()2,1f x ⎡⎤∈-⎣⎦，所以选项D 错误．故选：BC ． 13．3π 【分析】根据扇形的面积公式即可计算. 【详解】306πα==,221163226S r παπ=⋅⋅=⋅⋅=. 故答案为：3π. 14．1或 【分析】由题意可知222222sin 2sin cos 3cos sin 2sin cos 3cos sin cos αααααααααα-⋅--⋅-=+，把式子化简成22tan 2tan 3tan 1ααα--+，求出tan α的值，进而求出tan 22tan 1αα+-的值即可.【详解】解：由题意可知222222sin 2sin cos 3cos sin 2sin cos 3cos 0sin cos αααααααααα-⋅--⋅-==+，即22tan 2tan 30tan 1ααα--=+，解得tan 3α=或tan 1α=-， 若tan 3α=，则sin 2cos tan 23212sin cos 2tan 1231αααααα+++===--⨯-；若tan 1α=-，则()sin 2cos tan 21212sin cos 2tan 12113αααααα++-+===---⨯--故答案为：1或13-.152【分析】根据图象求出A 、ω、φ，然后可得答案. 【详解】由图象可知，2A =，52882T ππππω=-==，△2ω=，由()28f π=， 得2282k ππφπ⨯+=+，k Z ∈，解得24k πφπ=+，k Z ∈，△||2πφ<，△4πφ=，△()2sin(2)2444f πππ=⨯+=216．53【分析】先求出()y f x =的解析式，由()2f α2sin 26πα⎛⎫- ⎪⎝⎭26f πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭整理为23cos 463f ππαα⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，利用二倍角公式即可求解.【详解】解：将函数3sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平行移动6π个单位长度，得到函数()3sin 26y f x x π⎛⎫==- ⎪⎝⎭的图象，若()3sin 226f παα⎛⎫=-= ⎪⎝⎭2sin 26πα⎛⎫- ⎪⎝⎭23sin 223sin 43cos 43cos 4666633f ππππππααααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=+=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦225312sin 2312693πα⎡⎤⎛⎫⎛⎫=⨯--=⨯-⨯= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦.故答案为：53. 【点睛】利用三角公式求三角函数值的关键：(1)角的范围的判断；(2)根据条件选择合适的公式进行化简计算．17．23A =6π=ω，MP =5km ． 【分析】曲线段OSM 为函数()sin 0,0y A x A ωω=>>，[]0,4x ∈的图象，由最大值得出A ，由周期求得ω，然后可求得M 点坐标，从而求得,M P 间的距离．【详解】 解：依题意，有3A =34T =，即12T =． 又2T πω=，△6π=ω，△23sin 6y x π=，[]0,4x ∈． △当4x =时，22333y π==，△()4,3M ． 又()8,0P ，△()()22228403435MP =-+-+=（km ）． 即M ，P 两点间的距离为5km ．18．（1）()21001010x x x θ+=<<+ （2）52x =，2254 【分析】（1）依题意可得BC x θ=⋅，100AD θ=，再根据30BA CD BC AD +++=，即可得到函数关系式.（2）依题意可得()()110102y x x θ=⨯+-，再利用二次函数的性质计算可得； （1）解：根据题意，可得BC x θ=⋅，100AD θ=.又30BA CD BC AD +++=，所以10101030x x x θθ-+-+⋅+=，所以()21001010x x x θ+=<<+. （2）解：依据题意，可知()()()22221111101010102222OAD OBC y S S x x x x θθθθ=-=⨯-=⨯-=⨯+-扇形扇形， 化简得22522555024y x x x ⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭. 于是，当52x =（满足条件010x <<）时，max 2254y =. 所以当52x =时铭牌的面积最大，且最大面积为2254. 19． （1）()2sin 213g x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭ （2）对称轴：,212k x k Z ππ=+∈，对称中心：,1,26k k Z ππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭ （3）30,4⎛⎤ ⎥⎝⎦ 【分析】（1）由函数图象变换结论求得函数()y g x =的解析式；（2）利用整体代入法求对称轴和对称中心；（3）求条件可得()2,2,2,4322x k k k ωπωπππωππ⎡⎤⎡⎤∈-⊆-+∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦Z ，由此可求ω的取值范围. （1）()2sin2,2sin 2,12sin 216363f x x f x x f x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=∴+=+∴++=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即()2sin 213g x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭. （2） 2,,,32212k x k k Z x k Z πππππ+=+∈∴=+∈.即对称轴为,212k x k Z ππ=+∈又2,,,326k x k k Z x k Z ππππ+=∈∴=-∈.即对称中心为：,1,k 26k Z ππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭ （3） 0,ω>∴当2,43x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时， 2,43x ωπωπω⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦， 2,,422232k k k ωπππωπππ⎧-≥-∈⎪⎪∴⎨⎪≤+⎪⎩Z解得303,4k k ω<≤+∈Z . 又2112,34122T ππππω+=≤= 243,0114ωω∴≤∴<≤ 即ω的取值范围为30,4⎛⎤ ⎥⎝⎦. 20．（1）()2sin(2)6f x x π=+； （2）13,,2424k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦. 【分析】(1)先根据已知求出()f x 的最小正周期，即可求解ω，选条件①②：可得()f x 的最小值为A -，可求A ．根据对称中心可求ϕ，即可得解函数解析式；选条件①③：可得()f x 的最小值为A -，可求A ．根据函数()f x 的图象过点5(6π，1)-，可求ϕ，可得函数解析式；选条件②③：根据对称中心可求ϕ，再根据函数()f x 的图象过点5(6π，1)-，可求A 的值，即可得解函数解析式．(2)先求g (x )的最简式，再根据正弦型函数的减区间的求法求解.（1）由于函数()f x 图像上两相邻对称轴之间的距离为2π， △()f x 的最小正周期22,22T Tπππω=⨯===. 此时()()sin 2f x A x ϕ=+.选条件①②： △()f x 的最小值为A -，△2A =．△()f x 图象的一个对称中心为5(12π，0)， △52()12k k Z πϕπ⨯+=∈， △56k ϕπ=π-，()k ∈Z ，△||2ϕπ<，△6π=ϕ，此时1k =， △()2sin(2)6f x x π=+．选条件①③：△()f x 的最小值为A -，△2A =．△函数()f x 的图象过点5(6π，1)-， 则5()16f π=-，即52sin()13πϕ+=-，51sin()32πϕ+=-． △||2ϕπ<，△7513636πππϕ<+<， △51136ππϕ+=，6π=ϕ， △()2sin(2)6f x x π=+．选条件②③：△函数()f x 的一个对称中心为5(12π，0)， △52()12k k Z πϕπ⨯+=∈， △5()6k k Z πϕπ=-∈． △||2ϕπ<，△6π=ϕ，此时1k =． △()sin(2)6f x A x π=+．△函数()f x 的图象过点5(6π，1)-， △5()16f π=-，即sin(A 5)136ππ+=-，11sin 16A π=-，△2A =， △()2sin(2)6f x x π=+． 综上，不论选哪两个条件，()2sin(2)6f x x π=+.（2）由(1)知，()2sin(2)6f x x π=+，△()()π2cos 26g x f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭=2sin 26x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭π2cos 26x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭=5222226412x x πππ⎛⎫⎛⎫++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 由531322221222424k x k k x k πππππππππ+≤+≤+⇒+≤≤+，△g (x )的单调递减区间为：13,,2424k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦.21．（1）4π；（2）存在，2m =-.【分析】(1)根据cos(α＋β)的值求αβ+的大小；(2)利用换元法求解，令sin cos x x t +=即可﹒（1）△α､(0)2πβ∈，，且sin 5α，sin 10β=， △2cos 1sin 5αα=-=2cos 1sin 10ββ=-， 则2cos()cos cos sin sin 2510510αβαβαβ+=⋅-⋅==，△(0)αβπ+∈，，△4παβ+=；（2）由(1)得4πγ=，则[0]4x π∈，，设sin cos x x t +=， △2)4t x π=+， △[]442x πππ+∈，，△2]t ∈，，△sin cos x x t +=，△2sin 21x t =-， △222()sin 2sin cos (1)222m m mt t mf x x x x t t +-=⋅++=-+=， 令22()2mt t mg t +-=，2]t ∈，，当0m =时，()g t t =，min ()(1)121g t g ==(舍)，当0m >时，()g t 函数图像的对称轴方程为10t m =-<， △min ()(1)121g t g ==≠(舍)，当0m <时，此时()g t 函数图像的开口向下， △{}min ()min (1),(2)g t g g =，又(1)1g =， △22(2)21m g +==，解得20m =-<，符合题意， △存在2m =-，使得()sin cos sin cos f t m x x x x =⋅⋅++21.22．（1）54；（2）4tan 3x =- ． 【分析】（1）由三角函数定义易得4cos 5α=，再利用诱导公式和基本关系式化简为()()()πsin tan π12sin πcos 3πcos ααααα⎛⎫- ⎪-⎝⎭⋅=+-求解；（2）将1sin cos 5x x +=两边平方得到242sin cos 025x x =-<，进而求得7sin cos 5x x -=，与1sin cos 5x x +=联立求解.【详解】解：（1）P 点到原点O 的距离2243155r ⎛⎫⎛⎫=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 由三角函数定义有4cos 5x r α==， ()()()πsin tan πcos tan 152sin πcos 3πsin cos cos 4ααααααααα⎛⎫- ⎪-⎝⎭⋅=⨯==+---；（2）△0πx <<，将1sin cos 5x x +=两边平方得112sin cos 25x x +=， △242sin cos 025x x =-<，可得ππ2x <<， △sin 0x >，cos 0x <，△sin cos 0x x ->，△()()22sin cos sin cos 2x x x x -++=， △7sin cos 5x x -=，联立1sin cos 5x x +=， △4sin 5x =，3cos 5x =-，△4x=-．tan3。

人教A版高一数学必修第一册第五章《三角函数》单元练习题卷6（共22题）一、选择题（共10题）1.函数y=2cos2x(x∈R)的最小正周期为( )A．π2B．πC．2πD．4π2.若α与β关于y轴对称，则( )A．α+β=π2+kπ(k∈Z)B．α+β=2kπ+π2(k∈Z)C．α+β=2kπ(k∈Z)D．α+β=2kπ+π(k∈Z) 3.若角α的终边经过点(1,−√3)，则sinα=( )A．−12B．−√32C．12D．√324.与角−390∘终边相同的最小正角是( )A．−30∘B．30∘C．60∘D．330∘5.若cosα<0，tanα>0，则α是( )A．第四象限角B．第三象限角C．第二象限角D．第一象限角6.若函数y=tan(ωx+π6)在[−π3,π3]上单调递减，且在[−π3,π3]上的最大值为√3，则ω的值可能为( )A．−12B．12C．−1D．17.sin2⋅cos3⋅tan4的值( )A．小于0B．大于0C．等于0D．不存在8.右图给出了红豆生长时间t(月)与枝数y(枝)的散点图：那么"红豆生南国，春来发几枝．"的红豆生长时间与枝数的关系用下列函数模型拟合最好的是．A．指数函数: y=2t B．对数函数: y=log2tC．幂函数: y=t3D．二次函数: y=2t29.−19π6是( )A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角10.函数y=tan(2x−π4)的最小正周期是( )A．π4B．π2C．πD．2π二、填空题（共6题）11.已知角θ的终边过点(1,−1)，tanθ=．12.函数y=3tan(2x+π3)的图象的对称中心为．13.cos120∘=．14.在平面直角坐标系中，P(3,4)为角α终边上的点，则sinα=．15.若角α的终边与30∘角的终边关于直线y=x对称，且α∈(−720∘,720∘)，则α=．16.求值：cos4π3=．三、解答题（共6题）17.设函数f(x)=√32−√3sin2ωx−sinωxcosωx（ω>0），且y=f(x)图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4．(1) 求ω的值．(2) 求f(x)在区间[π,3π2]上的最大值和最小值．18.求函数y=lgx和y=sinx的图象的交点个数．19.换算：(1) 将22∘30ʹ换算成弧度；(2) 将−5弧度换算成角度（精确到0.01∘）．20.请研究与函数f(x)=tanx相关的下列问题，在表中填写结论．问题结论(不需要过程)分数求f(2x−π3)的定义域求函数f(2x−π3)的周期写出f(2x−π3)的单调区间(指明是增还是减)写出f(x−π2)在区间[−π4,π4]范围内的值域写出f(2x)图象的所有对称中心21.设函数f(x)=sinωx+sin(ωx−π2)，x∈R．若ω=12，求f(x)的最大值及相应的x的集合22.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)（A>0，ω>0，−π2<φ<π2）的部分图象如图所示．(1) 求函数f(x)的解析式；(2) 求函数f(x)的单调递增区间．答案一、选择题（共10题）1. 【答案】B【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质2. 【答案】D【解析】由于α，β关于y轴对称，得β=2kπ+π−α（k∈Z），即α+β=2kπ+π(k∈Z)．【知识点】弧度制3. 【答案】B【解析】角α的终边经过点(1,−√3)，则sinα=yr =−√32．【知识点】任意角的三角函数定义4. 【答案】D【解析】依题意得−390∘+360∘=−30∘，−30∘+360∘=330∘．【知识点】任意角的概念5. 【答案】B【解析】设(x,y)为α终边上的一点，由三角函数的定义可知cosα=√x2+y2<0⇒x<0，tanα=yx>0⇒y<0，则(x,y)对应第三象限的点，即α是第三象限角．【知识点】任意角的三角函数定义6. 【答案】A【解析】由题意知，函数y=tan(ωx+π6)在[−π3,π3]上为减函数，可得ω<0且−π3ω+π6=π3+kπ(k∈Z)，解得ω=−12−3k(k∈Z)，当k=0时，解得ω=−12．【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质7. 【答案】A【解析】因为π2<2<3<π<4<3π2，所以sin2>0，cos3<0，tan4>0．所以sin2⋅cos3⋅tan4<0．【知识点】任意角的三角函数定义8. 【答案】A【知识点】建立函数表达式模型9. 【答案】B【解析】因为−19π6=−4π+5π6，所以−19π6与5π6的终边相同，它是第二象限角．【知识点】任意角的概念10. 【答案】B【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质二、填空题（共6题）11. 【答案】−1【知识点】任意角的三角函数定义12. 【答案】(kπ4−π6,0)(k∈Z)【解析】由2x+π3=kπ2(k∈Z)，得x=kπ4−π6(k∈Z)．故所求函数的图象的对称中心为点(kπ4−π6,0)(k∈Z)．【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质13. 【答案】−12【知识点】诱导公式14. 【答案】45【解析】因为P(3,4)为角α终边上的点，则sinα=√9+16=45．【知识点】任意角的三角函数定义15. 【答案】 −660∘，−300∘，60∘ 或 420∘【解析】如图所示，设 30∘ 角的终边为 OA ，OA 关于直线 y =x 对称的射线为 OB ，则以 OB 为终边且在 0∘ 到 360∘ 之间的角为 60∘，故以 OB 为终边的角的集合为 {α∣ α=k ⋅360∘+60∘,k ∈Z }． 因为 α∈(−720∘,720∘)，所以 −720∘<k ⋅360∘+60∘<720∘， 所以 −136<k <116，又因为 k ∈Z ，所以 k =−2,−1,0或1，即 α=−660∘,−300∘,60∘或420∘．【知识点】任意角的概念16. 【答案】 −12【知识点】诱导公式三、解答题（共6题） 17. 【答案】(1)f (x )=√32−√3sin 2ωx −sinωxcosωx =√32−√3×1−cos2ωx2−12sin2ωx=√32cos2ωx −12sin2ωx=−sin (2ωx −π3).依题意，知2π2ω=4×π4，ω>0，所以 ω=1．(2) 由（1），知 f (x )=−sin (2x −π3)．当 π≤x ≤3π2时，5π3≤2x −π3≤8π3．所以 −√32≤sin (2x −π3)≤1．所以 −1≤f (x )≤√32．故 f (x ) 在区间 [π,3π2] 上的最大值为 √32，最小值为 −1．【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质18. 【答案】 3．【知识点】对数函数及其性质、正弦函数的图象19. 【答案】(1) 22∘30ʹ=22.5∘=π180弧度×22.5=π8弧度．(2) −5弧度=(180π)∘×(−5)≈−286.48∘．【知识点】弧度制20. 【答案】问题结论求f (2x −π3)的定义域{x∣ x ∈R,x ≠kπ2+5π12}(k ∈Z )求函数f (2x −π3)的周期周期为π2写出f (2x −π3)的单调区间(指明是增还是减)增区间(kπ2−π12,kπ2+5π12)(k ∈Z )写出f (x −π2)在区间[−π4,π4]范围内的值域(−∞,−1]∪[1,+∞)写出f (2x )图象的所有对称中心(kπ4,0)(k ∈Z )【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质21. 【答案】 f (x )=sinωx +sin (ωx −π2)=sinωx −cosωx ，当 ω=12 时，f (x )=sin x2−cos x2=√2sin (x2−π4)， 而 −1≤sin (x2−π4)≤1， 所以 f (x ) 的最大值为 √2， 此时 x2−π4=2kπ+π2，k ∈Z ， 即 x =4kπ+3π2，k ∈Z ，相应的 x 的集合为 {x ∣∣x =4kπ+3π2,k ∈Z}．【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质22. 【答案】(1) 设f(x)的最小正周期为T．由题图可知A=2，T4=5π12−π6=π4，所以T=π，ω=2πT=2，所以f(x)=2sin(2x+φ)．因为函数f(x)的图象过点(π6,0)，所以2sin(π3+φ)=0，φ=kπ−π3，k∈Z．因为−π2<φ<π2，所以取k=0，则φ=−π3.所以f(x)=2sin(2x−π3)．(2) 由2kπ−π2≤2x−π3≤2kπ+π2，k∈Z，得kπ−π12≤x≤kπ+5π12，k∈Z，故函数f(x)的单调递增区间为[kπ−π12,kπ+5π12]，k∈Z．【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质。

人教A版高一数学必修第一册第五章《三角函数》单元练习题卷4（共22题）一、选择题（共10题）1.若函数f(x)=sin(2x−π3)与g(x)=cos(x+π4)都在区间(a,b)(0<a<b<π)上单调递减，则b−a的最大值为( )A．π6B．π3C．π2D．5π122.化简：√1−sin20∘+√1−cos20∘2=( )A．cos10∘B．sin10∘C．2sin10∘−cos10∘D．2cos10∘−sin10∘3.在△ABC中，若tanAtanB=tanA+tanB+1，则cosC的值为( )A．−√22B．√22C．12D．−124.sin40∘cos10∘−sin130∘sin10∘等于( )A．−√32B．√32C．−12D．125.若sinα=13，则cos2α=( )A．89B．79C．−79D．−896.函数f(x)=Asin(ωx+φ)(∣φ∣<π2)的图象如图所示，则下列说法正确的是( )A ．在区间 [7π6,13π6] 上单调递减B ．在区间 [7π12,13π12] 上单调递增 C ．在区间 [7π12,13π12] 上单调递减 D ．在区间 [7π6,13π6] 上单调递增7. 设 a ∈R ，函数 f (x )={cos (2πx −2πa ),x <ax 2−2(a +1)x +a 2+5,x ≥a ，若函数 f (x )(0,+∞) 内恰有 6 个零点，则 a 的取值范围是 ( ) A ． (2,94]∪(52,114]B ． (74,2]∪(52,114]C ． (2,94]∪[114,3)D ． (74,2)∪[114,3)8. 函数 f (x )=2sin (ωx +φ)(ω>0) 对任意 x 都有 f (π6+x)=f (π6−x)，则 f (π6) 的值为( ) A ． 2 或 0 B ． −2 或 2 C ． 0 D ． −2 或 09. 已知 α 是第二象限角，tanα=−12，则 cosα 等于 ( ) A ． 15B ． −15C ．2√55D ． −2√5510. 有下列四种变换方式：①向左平移 π4，再将横坐标变为原来的 12（纵坐标不变）； ②横坐标变为原来的 12（纵坐标不变），再向左平移 π8；③横坐标变为原来的 12（纵坐标不变），再向左平移 π4； ④向左平移 π8，再将横坐标变为原来的 12（纵坐标不变）．其中能将正弦曲线 y =sinx 的图象变为 y =sin (2x +π4) 的图象的是 ( ) A ．①和③ B ．①和② C ．②和③ D ．②和④二、填空题（共6题）11. 函数 f (x )=3cos 2x −4cosx +1，x ∈[π3,2π3]，当 x = 时，f (x ) 最小且最小值为 ．12. 已知 a ，b ∈R ，a 2−2ab +5b 2=4，则 ab 的最小值为 ．13. 已知 tanα=√22，则 cosα−sinαcosα+sinα= ；cos2α= ．14. 已知 α 是三角形的内角，且 tanα=−13，则 sinα+cosα 的值为 ．15. 已知 ω>0，函数 f (x )=sin (ωx +π4) 在 (π2,π) 上单调递减，则 ω 的取值范围是 ．16. 设 α∈(0,π3)，β∈(π6,π2)，且 5√3sinα+5cosα=8，√2sinβ+√6cosβ=2，则 cos (α+β) 的值为 ．三、解答题（共6题）17. 已知二次函数 f (x )=ax 2+x ．(1) 若 f (sinx )(x ∈R ) 的最大值为 54，求实数 a 的值；(2) 对于任意的 x ∈R ，总有 ∣f (sinxcosx )∣≤1．求实数 a 的取值范围．18. 函数 f (x )=Asin (ωx +φ)（A >0，ω>0，∣φ∣<π2）的部分图象如图所示．(1) 求f(x)的最小正周期及解析式；(2) 设g(x)=f(x)+cosx，将g(x)化简为Asin(ωx+φ)+b形式，并求g(x)在区间[0,π2]上的最小值与最大值．19.请回答下列问题：(1) 比较大小：tan2与tan9；(2) 求满足−√3<tanx≤1的x的集合．20.已知函数y=Asin(ωx+φ)（x∈R，A>0，ω>0，∣φ∣<π2），若该函数图象一个最高点坐标为(π6,3)，与其相邻的对称中心的坐标是(−π2,0)．(1) 求函数y=Asin(ωx+φ)的解析式．(2) 求函数的最小值，并写出函数取得最小值时自变量x的集合．21.已知函数f(x)=sin(x−π6)+cosx．(1) 求函数f(x)的最小正周期；(2) 若α是第一象限角，且f(α+π3)=45，求tan(α−π4)的值．22.某同学用“五点法”画函数f(x)=Asin(ωx+φ)（ω>0，∣φ∣<π2）在某一周期内的图象时，列表并填入的部分数据如表：x−2π3π3x1x210π3ωx+φ0π2π3π22πsin(ωx+φ)010−10f(x)0√30y20 (1) 请写出上表的x1，x2，y2，及函数f(x)的解析式；(2) 将函数f(x)的图象向右平移2π3个单位，再所得图象上各点的横坐标缩小为原来的12，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象，求g(x)的解析式及y=log12[g(x)−√32]的单调递增区间；(3) 在（2）的条件下，若F(x)=g2(x)+√33a⋅g(x)−1在x∈(0,2019π)上恰有奇数个零点，求实数a与零点个数n的值．答案一、选择题（共10题） 1. 【答案】B【解析】对于函数 f (x )，令 π2+2kπ≤2x −π3≤3π2+2kπ(k ∈Z )，解得5π12+kπ≤x ≤11π12+kπ(k ∈Z )，当 x ∈(0,π) 时，令 k =0，则 5π12≤x ≤11π12；对于函数 g (x )，令 2kπ≤x +π4≤π+2kπ(k ∈Z )， 解得 −π4+2kπ≤x ≤3π4+2kπ(k ∈Z )，当 x ∈(0,π) 时，令 k =0，则 0<x ≤3π4.易得当函数 f (x ) 与 g (x ) 均在区间 (a,b )（0<a <b <π）上单调递减时，b 的最大值为 3π4，a 的最小值为5π12，所以 b −a 的最大值为 3π4−5π12=π3.【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质2. 【答案】A【解析】 √1−sin20∘+√1−cos20∘2=√sin 210∘+cos 210∘−2sin10∘cos10∘+√1−cos (2×10∘)2=∣sin10∘−cos10∘∣+sin10∘=cos10∘−sin10∘+sin10∘=cos10∘.【知识点】半角公式3. 【答案】B【解析】由 tanAtanB =tanA +tanB +1，可得 tanA+tanB 1−tanAtanB=−1，即 tan (A +B )=−1，又 A +B ∈(0,π)，所以 A +B =3π4，则 C =π4，cosC =√22．【知识点】两角和与差的正切4. 【答案】D【知识点】两角和与差的正弦5. 【答案】B【解析】因为sinα=13，所以cos2α=1−2sin2α=1−2×19=79．故选：B．【知识点】二倍角公式6. 【答案】B【解析】由题中图象可得A=2，最小正周期T=4×(π3−π12)=π，所以ω=2，则f(x)=2sin(2x+φ)．因为函数图象过点(π12,2)，所以2×π12+φ=π2+2kπ，k∈Z，则φ=π3+2kπ，k∈Z．又∣φ∣<π2，所以φ=π3．所以f(x)=2sin(2x+π3)．当−π2+2kπ≤2x+π3≤π2+2kπ，k∈Z，即−5π12+kπ≤x≤π12+kπ，k∈Z时，f(x)单调递增，当π2+2kπ≤2x+π3≤3π2+2kπ，k∈Z，即π12+kπ≤x≤7π12+kπ，k∈Z时，f(x)单调递减．令k=1，所以f(x)在[π+π12,7π12+π]，即[13π12,19π12]上单调递减，在[π−5π12,π12+π]，即[7π12,13π12]上单调递增．【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质7. 【答案】A【解析】因为f(x)在区间(0,+∞)内恰有6个零点，又因为二次函数最多有两个零点，所以当 x <a 时，f (x )=6 至少有四个根， 因为 f (x )=cos (2πx −2πa )=cos2π(x −a )， 所以令 f (x )=0，即 2π(x −a )=π2+kπ，k ∈Z ， 所以 x =k2+14+a ，又因为 x ∈(0,+∞)，所以 0<k2+14+a <a ，即 −2a −12<k <−12，①当 x <a 时，−5≤−2a −12≤−4，f (x ) 有 4 个零点，即 74<a ≤64， −6≤−2a −12≤−5，即 94<x ≤114， −7≤−2a −42≤−6，即115<x ≤134，②当 x ≥a 时，f (x )=x 2−2(a +1)x +a 2+8，所以 Δ=b 2−4ac =8(a +1)2−5(a 2+5)=8a −16=0，解得 a =2， 当 a <7 时，Δ<0， 当 a =2 时，Δ=2，当 a >2 时，f (a )=a 2−7a (a +1)+a 2+5=−2a +5， 因为 f (x ) 的对称轴 x =a +7，即 f (a ) 在对称轴的左边， 所以当 −2a +5≥4 时，即 2<a ≤52，当 −2a +5<6 时，即 a >52，综合①②可得，若函数 f (x ) 在区间 (0,+∞) 内恰有 6 个零点，则需满足：{74<a ≤64,2<a ≤82 或{94<a ≤114,a >52或a =2 或 {114<a ≤135,a <2.解得 a ∈(2,84]∪(56,114]．故选：A ．【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质、函数的零点分布8. 【答案】B【解析】因为函数 f (x )=2sin (ωx +φ) 对任意 x 都有 f (π6+x)=f (π6−x)，所以该函数图象关于直线x=π6对称，因为在对称轴处对应的函数值为最大值或最小值，故选B．【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质9. 【答案】D【解析】因为α是第二象限角，tanα=−12，由sin2α+cos2α=1，tanα=sinαcosα=−12，解得cosα=−2√55．【知识点】同角三角函数的基本关系10. 【答案】B【解析】本题考查三角函数的图象变换．依次判断各选项，① sinx→sin(x+π4)→sin(2x+π4)；② sinx→sin2x→sin2(x+π8)=sin(2x+π4)；③ sinx→sin2x→sin2(x+π4)=sin(2x+π2)；④ sinx→sin(x+π8)→sin(2x+π8)，故只有①②符合题意．【知识点】三角函数的图象变换二、填空题（共6题）11. 【答案】π3；−14【知识点】余弦函数的性质12. 【答案】1−√52【解析】因为a2−2ab+5b2=4，所以(a−b2)2+b2=1，令a−b2=cosθ，b=sinθ(0≤θ<2π)，所以a=2cosθ+sinθ，所以ab=(2cosθ+sinθ)sinθ=sin2θ−12cos2θ+12=√52sin(2θ−φ)+12.（其中 cosφ=2√55） 所以当 sin (2θ−φ)=−1 时，ab 取得最小值 1−√52．【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质13. 【答案】 3−2√2 ； 13【知识点】二倍角公式14. 【答案】 −√105【解析】由 tanα=−13，得 sinα=−13cosα， 将其代入 sin 2α+cos 2α=1，得 109cos 2α=1，所以 cos 2α=910，易知 cosα<0，所以 cosα=−3√1010，sinα=√1010， 故 sinα+cosα=−√105． 【知识点】同角三角函数的基本关系15. 【答案】 [12,54]【解析】由 π2<x <π，ω>0 得ωπ2+π4<ωx +π4<ωπ+π4，又 y =sinx 的单调递减区间为 [2kπ+π2,2kπ+3π2]，k ∈Z ，所以 {ωπ2+π4≥π2+2kπ,ωπ+π4≤3π2+2kπk ∈Z ，解得 4k +12≤ω≤2k +54，k ∈Z ．又由 4k +12−(2k +54)≤0，k ∈Z 且 2k +54>0，k ∈Z ，得 k =0，所以 ω∈[12,54]．【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质16. 【答案】−√210【解析】由5√3sinα+5cosα=8，得sin(α+π6)=45，因为α∈(0,π3)，α+π6∈(π6,π2)，所以cos(α+π6)=35．又β∈(π6,π2)，β+π3∈(π2,56π)，由已知得sin(β+π3)=√22．所以cos(β+π3)=−√22．所以cos(α+β)=sin[π2+(α+β)]=sin[(α+π6)+(β+π3)]=sin(α+π6)cos(β+π3)+cos(α+π6)sin(β+π3)=−√210.【知识点】两角和与差的正弦三、解答题（共6题）17. 【答案】(1) 二次函数中a≠0，设s=sinx，x∈R，所以s∈[−1,1]，若f(sinx)(x∈R)的最大值为54，即关于S的二次函数g(s)=as2+s在区间上s∈[−1,1]有最大值54，由二次函数图象性质可知此最大值只能是g(−1)，g(1)，g(−12a)之一，若g(−1)=−a−1=54⇒a=−94，此时二次函数开口向下且对称轴s=−12a=29∈[−1,1]，函数在区间上最大值在顶点处取得，不是g(−1)，不合题意；若g(1)=a+1=54⇒a=14，此时二次函数开口向上且对称轴s=−12a=−2<−1，最大值是g(1)，符合题意；若g(−12a )=54⇒a=−15，此时二次函数开口向下且对称轴s=−12a=52∉[−1,1]，并不在顶点处有最大值，不符合题意，综上所述a=14．(2) 因为对于任意的 x ∈R ，总有 ∣f (sinxcosx )∣≤1， 令 t =sinxcosx =12sin2x ∈[−1,1]，则命题转化为 ∀t ∈[−12,12]，不等式 ∣f (t )∣≤1 恒成立，①当 t =0 时，f (t )=0 使 ∣f (t )∣≤1 成立； ②当 t ≠0 时，有 {a ≤1t 2−1t =(1t −12)2−14,a ≥−1t2−1t=−(1t+12)2+14.对于任意的 t ∈[−12,0)∪(0,12] 恒成立， 因为 t ∈[−12,0)∪(0,12]，所以 1t ≥2 或 1t ≤−2，则 (1t −12)2−14≥2，故要使①式成立，则有 a ≤2， 又 −(1t +12)2+14≤−2，故要使②式成立，则有 a ≥−2，由题设知 a ≠0，综上，a ∈[−2,0)∪(0,2] 为所求．【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质、函数的最大（小）值18. 【答案】(1) 根据图象：T2=4π3−π3=π，T =2π，故 T =2πω=2π，ω=1，A =1，f (x )=sin (x +φ)，f (π3)=sin (π3+φ)=1，故 φ=π6+2kπ，k ∈Z ，当 k =0 时，满足题意，故 φ=π6，f (x )=sin (x +π6)． (2) g (x )=f (x )+cosx =sin (x +π6)+cosx =√32sinx +32cosx =√3sin (x +π3)， 当 x ∈[0,π2] 时，x +π3∈[π3,5π6]，故 f (x )min =f (π2)=√32，f (x )max =f (π6)=√3．【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质、三角函数的图象19. 【答案】(1) 因为 tan9=tan (9−2π)，π2<2<9−2π<π， 又函数 y =tanx 在 (π2,π) 上是增函数，所以tan2<tan(9−2π)，即tan2<tan9．(2) 根据正切函数的图象可知，在(−π2,π2)上，满足−√3<tanx≤1的x的取值范围是(−π3,π4]，又正切函数的最小正周期是π，故满足−√3<tanx≤1的x的集合是{x∣ kπ−π3<x≤kπ+π4,k∈Z}．【知识点】正切函数的性质20. 【答案】(1) 由题意知A=3，14T=π6−(−π12)=π4，所以T=π，ω=2πT=2，y=3sin(2x+φ)，又由2×π6+φ=2kπ+π2，k∈Z，所以φ=2kπ+π6，k∈Z，因为∣φ∣<π2，所以φ=π6，所以y=3sin(2x+π6)，x∈R．(2) 由（1）知，函数的最小值为−3，由2x+π6=2kπ−π2，k∈Z得x=kπ−π3，所以函数取得最小值时的自变量x的集合为{x∣ x=kπ−π3,k∈Z}．【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质21. 【答案】(1) f(x)=sin(x−π6)+cosx=sinxcosπ6−cosxsinπ6+cosx=√32sinx+12cosx=sinxcosπ6+cosxsinπ6=sin(x+π6).所以函数 f (x ) 的最小正周期为 2π． (2) 因为 f (α+π3)=45， 所以 sin (α+π3+π6)=45．所以 sin (α+π2)=45． 所以 cosα=45． 因为 α 是第一象限角， 所以 sinα=√1−cos 2α=35． 所以 tanα=sinαcosα=34．所以tan (α−π4)=tanα−tanπ41+tanα⋅tanπ4=34−11+34×1=−17.【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质、两角和与差的正切22. 【答案】(1) 由表格根据五点法作图的规律，可得 π3+2π3=x 1−π3=x 2−x 1=10π3−x 2，解得 x 1=4π3，x 2=7π3，A =√3，y 2=−√3，f (x )=√3sin (12x +4π3)．(2) 将函数 f (x )=√3sin (12x +4π3) 的图象向右平移 2π3个单位，可得 y =√3sin (12x −π3+4π3)=−√3sin 12x 的图象； 再所得图象上各店的横坐标缩小为原来的 12，纵坐标不变，得到函数 g (x )=√3sinx 的图象． 函数 y =log 12[g (x )−√32]=log 12[√3sinx −√32]， 由 √3sinx −√32>0，可得 sinx >12，要求函数的单调递增区间，即求 y =sinx 的减区间，而 y =sinx 的减区间为 [π2,5π6)，故 y =log 12[g (x )−√32] 的单调递增区间为 [π2,5π6)．(3) F(x)=g2(x)+√33a⋅g(x)−1=3sin2x+asinx−1，令F(x)=0，则asinx=1−3sin2x，显然当sinx=0时，F(x)不存在零点，因此只需考虑sinx≠0时，F(x)的零点情况，令t=sinx（sinx≠0且0<x≤2π），则t∈[−1,0)∪(0,1]，a=1−3t 2t =1t−3t，则函数y=1t−3t在[−1,0)和(0,1]上单调递减，且t=1时y=2，当t=−1时，y=−2，所以当y∈(−2,2)时，y=t与y=1t−3t有两个交点，此时方程asinx=1−3sin2x存在4个实根，当y∈(−∞,−2)∪(2,+∞)时，y=t与y=1t−3t有一个交点，此时方程asinx=1−3sin2x 存在2个实根，当y=2或y=−2时，y=t与y=1t−3t有两个交点，此时方程asinx=1−3sin2x存在3个实根．因为F(x)=g2(x)+√33a⋅g(x)−1在x∈(0,2019π)上恰有奇数个零点，所以当x∈(2018π,2019π)时，F(x)只可能存在2个零点．因此只有a=2时符合条件，所以x∈(0,2019π)时F(x)的零点为：2018×32+2=3029个．【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质、正弦函数的图象。

人教A版高一数学必修第一册第五章《三角函数》单元练习题卷8（共22题）一、选择题（共10题）1.化简√1−sin2160∘的结果是( )A．cos160∘B．−cos20∘C．±cos160∘D．sin70∘2.已知函数y=sin(ωx+φ)的两条相邻的对称轴的间距为π2，现将y=sin(ωx+φ)的图象向左平移π8个单位后得到一个偶函数，则φ的一个可能取值为( )A．3π4B．π4C．0D．−π43.若ω>0，函数y=cos(ωx+π3)的图象向右平移π3个单位长度后与函数y=sinωx的图象重合，则ω的最小值为( )A．112B．52C．12D．324.函数y=sin(2x+φ)的图象沿x轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能的值为( )A．3π4B．π4C．0D．−π45.已知−π2<α−β<π2，sinα+2cosβ=1，cosα−2sinβ=√2，则sin(β+π3)=( )A．√33B．√63C．√36D．√666.设a=√22(sin17∘+cos17∘)，b=2cos213∘−1，c=√32，则( )A．c<a<b B．b<c<a C．a<b<c D．b<a<c 7.若角a的终边经过点P(−2,3)，则tana=( )A．−23B．23C．−32D．328. 已知 sin (α−π2)=√32(0≤α≤π)，则 tan (π−α)= ( ) A ．√33B ． √3C ． −√33D ． −√39. 函数 y =−xcosx 的部分图象是 ( )A ．B ．C ．D ．10. 若 α 是第二象限角，则点 P (sinα,cosα) 在 ( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限二、填空题（共6题）11. 已知 a ，b ∈R ，a 2−2ab +5b 2=4，则 ab 的最小值为 ．12. 将函数 f (x )=Asin (ωx +φ)(A >0,ω>0,∣φ∣<π2) 的图象上所有点向左平行移动 π3 个单位长度，所得函数的部分图象如图所示，则 f (x )= ．13. 化简下列各式：（1）cos (α+β)cosβ+sin (α+β)sinβ= ；（2）cos (90∘+α)+sin (180∘−α)−sin (180∘+α)−sin (−α)= ；（3）sin (π−α)tan (π+α)⋅cot(π2−α)tan(π2+α)⋅cos (−α)sin (2π−α)= ．14. 化简：sin(15π2+α)cos(α−π2)sin(9π2−α)cos(3π2+α)= ．15. 已知 tan2θ=−2√2，π2<2θ<π，则2cos 2θ2−sinθ−1√2sin(π4+θ)的值为 ．16. 将下列各角度化为弧度：（1）30∘=；（2）120∘=；（3）−60∘=；（4）−30∘=；（5）−200∘=；（6）180∘=；（7）135∘=；（8）−75∘=；（9）270∘=；（10）0∘=；三、解答题（共6题）17.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,∣φ∣<π2)的图象在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为(x0,2)和(x0+π,−2)．若将函数f(x)的图象向左平移π3个单位长度后得到的图象关于原点对称．(1) 求函数f(x)的解析式；(2) 若函数y=f(kx)+1(k>0)的周期为2π3，当x∈[0,π3]时，方程f(kx)+1=m恰有两个不同的解，求实数m的取值范围．18.如图，摩天轮上的一点P在x时刻距离地面的高度满足y=Asin(ωx+φ)+b，φ∈[−π,π]，已知该摩天轮的半径为60米，摩天轮转轮中心O距离地面的高度是70米，摩天轮逆时针做匀速转动，每6分钟转一圈，点P的起始位置在摩天轮的最低点P0处．(1) 根据条件求出y（米）关于x（分钟）的解析式．(2) 在摩天轮从最低点P0开始计时转动的一圈内，有多长时间点P距离地面不低于100米？19.某种波的传播是由曲线f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0)来实现的，我们把解析式f(x)=Asin(ωx+φ)称为“波”，把振幅都是A的波称为“A类波”，把两个波的解析式相加称为波的叠加．(1) 已如“1类波”中的两个波，f1(x)=sin(x+π6)与f2(x)=sin(x+π3)加后是一个“A类波”，求A的值；(2) 已知三个不同的“A类波”，从f1(x)=Asin(x+φ1)，f2(x)=Asin(x+φ2)，f3(x)=Asin(x+φ3)（其中φ1，φ2，φ3互不相同），三个波叠加后是“平波”y=0，即f1(x)+ f2(x)+f3(x)=0，求cos(φ1−φ2)cos(φ2−φ3)cos(φ3−φ1)的值．20.化简(1+sinα+cosα)(sinα2−cosα2)√2+2cosα（其中180∘<α<360∘）．21.已知函数f(x)=tan(π2x+π3)，(1) 求f(x)的最小正周期和定义域；(2) 求f(x)的单调区间．22.已知函数f(x)=2sin2(π4+x)−√3cos2x．(1) 求函数f(x)的最大值，以及取到最大值时所对应的x的集合；(2) ∣f(x)−m∣<2在x∈[π4,π2]上恒成立，求实数m的取值范围．答案一、选择题（共10题） 1. 【答案】D【解析】 160∘ 是钝角，所以 √1−sin 2160∘=∣cos160∘∣=−cos160∘=cos20∘=sin70∘． 【知识点】同角三角函数的基本关系2. 【答案】B【解析】函数 y =sin (ωx +φ) 的两条相邻的对称轴的间距为 π2，所以 π2=πω，解得 ω=2， 现将 y =sin (2x +φ) 的图象向左平移 π8 个单位后得到一个 g (x )=sin (2x +π4+φ) 为偶函数， 则 φ+π4=kπ+π2(k ∈Z )，整理得 φ=kπ+π4(k ∈Z )， 当 k =0 时，φ=π4．【知识点】三角函数的图象变换、Asin(ωx+ψ)形式函数的性质3. 【答案】B【解析】 y =cos (ωx +π3) 的图象向右平移 π3 个单位长度后，所得函数图象对应的解析式为 y =cos [ω(x −π3)+π3]=cos (ωx −ωx 3+π3)，其图象与函数 y =sinωx =cos (ωx −π2+2kπ)，k ∈Z的图象重合． 所以 −π2+2kπ=−ωπ3+π3，k ∈Z ，所以 ω=−6k +52，k ∈Z ，又 ω>0，所以 ω 的最小值为 52． 【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质4. 【答案】B【知识点】三角函数的图象变换5. 【答案】A【解析】因为 sinα+2cosβ=1，cosα−2sinβ=√2， 两式平方相加可得sin 2α+cos 2α+4sin 2β+4cos 2β+4cosβsinα−4sinβ⋅cosα=3， 所以 5+4sin (α−β)=3，即 sin (α−β)=−12．因为 −π2<α−β<π2，所以 α−β=−π6，即 α=β−π6．代入 sinα+2cosβ=1 可得 sin (β−π6)+2cosβ=1， 所以√32sinβ+32cosβ=1，√3sin (β+π3)=1， 则 sin (β+π3)=√33． 故选A ．【知识点】两角和与差的正弦6. 【答案】A【解析】根据两角差的余弦公式，得 a =cos45∘cos17∘+sin45∘sin17∘=cos28∘， 根据倍角公式，得 b =cos26∘，c =√32=cos30∘，因为 26∘<28∘<30∘，所以 cos30∘<cos28∘<cos26∘，即 c <a <b ， 故选A ．【知识点】两角和与差的余弦、二倍角公式7. 【答案】C【知识点】任意角的概念8. 【答案】A【解析】因为 0≤α≤π，可得 −π2≤α−π2≤π2， 又 sin (α−π2)=√32， 所以 α=5π6，所以 tan (π−α)=tan π6=√33． 故选：A ．【知识点】诱导公式、同角三角函数的基本关系9. 【答案】D【解析】因为 y =−xcosx 是奇函数，它的图象关于原点对称， 所以排除A ，C 项；当 x ∈(0,π2) 时，y =−xcosx <0，所以排除B项．【知识点】余弦函数的图象、函数图象10. 【答案】D【解析】因为α是第二象限角，所以sinα>0，cosα<0，所以点P(sinα,cosα)在第四象限．【知识点】任意角的三角函数定义二、填空题（共6题）11. 【答案】1−√52【解析】因为a2−2ab+5b2=4，所以(a−b2)2+b2=1，令a−b2=cosθ，b=sinθ(0≤θ<2π)，所以a=2cosθ+sinθ，所以ab=(2cosθ+sinθ)sinθ=sin2θ−12cos2θ+12=√52sin(2θ−φ)+12.（其中cosφ=2√55）所以当sin(2θ−φ)=−1时，ab取得最小值1−√52．【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质12. 【答案】2sin(2x−π3)【解析】将函数f(x)=Asin(ωx+φ)的图象上所有点向左平行移动π3个单位长度，所得函数g(x)=Asin(ωx+π3ω+φ)，由g(x)图象可得A=2，T4=π12−(−π6)=π4，所以T=π，所以ω=2πT =2ππ=2，所以g(x)=2sin(2x+2π3+φ)，代入(−π6,0)得：g(−π6)=2sin(π3+φ)=0，π3+φ=kπ，k∈Z，当k=0时，φ=π3符合∣φ∣<π2，故f(x)=2sin(2x−π3)．【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质13. 【答案】cosα；2sinα；sinα【知识点】同角三角函数的基本关系、两角和与差的余弦14. 【答案】−1【解析】原式=sin(3π2+α)cos(π2−α)sin(π2−α)sinα=(−cosα)⋅sinαcosα⋅sinα=−1.【知识点】诱导公式15. 【答案】−3+2√2【解析】因为tan2θ=−2√2，所以2tanθ1−tan2θ=−2√2．解得tanθ=√2或tanθ=−√22．因为π2<2θ<π，所以π4<θ<π2，所以tanθ>0，所以tanθ=√2，所以原式=√2(√22cosθ+√22sinθ)=cosθ−sinθcosθ+sinθ=1−tanθ1+tanθ=√21+√2=−3+2√2.【知识点】二倍角公式16. 【答案】 π6 ；2π3； −π3； −π6； −10π9； π ； 3π4； −5π12； 3π2； 0【知识点】弧度制三、解答题（共6题） 17. 【答案】(1) 由题意，知函数 f (x ) 的周期 T =2π，且 A =2， 所以 ω=2πT=1，故 f (x )=2sin (x +φ)，将函数 f (x ) 的图象向左平移 π3 个单位长度后得到的图象对应的函数解析式为 y =2sin (x +π3+φ)，因为函数 y =2sin (x +π3+φ) 的图象关于原点对称， 所以 π3+φ=kπ(k ∈Z )，即 φ=kπ−π3(k ∈Z )， 又 ∣φ∣<π2，所以 φ=−π3，故 f (x )=2sin (x −π3)．(2) 由（1）得函数 y =f (kx )+1=2sin (kx −π3)+1，其周期为 2π3，又 k >0，所以 k =2π2π3=3，令 t =3x −π3，因为 x ∈[0,π3]，所以t∈[−π3,2π3]．若sint=s在[−π3,2π3]上有两个不同的解，则s∈[√32,1)，所以当m∈[√3+1,3)时，方程f(kx)+1=m在x∈[0,π3]上恰有两个不同的解，即实数m 的取值范围是[√3+1,3)．【知识点】三角函数模型的应用18. 【答案】(1) 由题意知，A=60，b=70，T=6，所以ω=2π6=π3，易知当x=0时，sinφ=−1，因为φ∈[−π,π]，所以φ=−π2，所以y=60sin(π3x−π2)+70．(2) 令60sin(π3x−π2)+70≥100(0≤x≤6)，化简得sin(π3x−π2)≥12，所以π6≤π3x−π2≤5π6，解得2≤x≤4，故有2分钟的时间点P距离地面不低于100米．【知识点】三角函数模型的应用、Asin(ωx+ψ)形式函数的性质19. 【答案】(1) f1(x)=sin(x+π6)与f2(x)=sin(x+π3)加后是一个“A类波”，即：f1(x)+f2(x)=sin(x+π6)+sin(x+π3)=sinxcosπ6+cosxsinπ6+sinxcosπ3+cosxsinπ3=√3+12sinx+√3+12cosx=√6+√22sin(x+π4),由定义解析式f(x)=Asin(ωx+φ)称为“波”，把振幅都是A的波称为“A类波”，所以A=√6+√22．(2) 设 f 1(x )=Asin (x +φ1)，f 2(x )=Asin (x +φ2)，f 3(x )=Asin (x +φ3)， 由 f 1(x )+f 2(x )+f 3(x )=0 恒成立，同（1）化简方法利用两角和差公式及辅助角公式，可解得 (cosφ1+cosφ2+cosφ3)sinx +(sinφ1+sinφ2+sinφ3)cosx =0， 易得 cosφ1+cosφ2+cosφ3=0, ⋯⋯①sinφ1+sinφ2+sinφ3=0, ⋯⋯②由两式变型平方可得 cosφ1+cosφ2=−cosφ3；sinφ1+sinφ2=−sinφ3， 两式左右完全平方相加可得 2+2cos (φ1−φ2)=1；cos (φ1−φ2)=−12， 同理可得 cos (φ2−φ3)=−12；cos (φ3−φ1)=−12， 所以 cos (φ1−φ2)cos (φ2−φ3)cos (φ3−φ1)=−18．【知识点】辅助角公式、Asin(ωx+ψ)形式函数的性质20. 【答案】 原式=(2cos 2α2+2sin α2cos α2)(sin α2−cos α2)√4cos 2α2=2cos α2(cos α2+sin α2)(sin α2−cos α2)2∣∣cos α2∣∣=cos α2(sin 2α2−cos 2α2)∣∣cos α2∣∣=−cos α2cosα∣∣cos α2∣∣.因为 180∘<α<360∘，所以 90∘<α2<180∘， 所以 cos α2<0，所以 原式=cosα．【知识点】半角公式21. 【答案】(1) 对于函数 f (x )=tan (π2x +π3)，它的最小正周期为 ππ2=2， 令 π2x +π3≠kπ+π2，求得 x ≠2k +13，k ∈Z ，可得函数的定义域为 {x∣ x ≠2k +13,k ∈Z}．(2) 令 kπ−π2<π2x +π3<kπ+π2，求得 2k −53<x <2k +13，可得函数f(x)的增区间为(2k−53,2k+13)，k∈Z，此函数没有减区间．【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质22. 【答案】(1) 因为f(x)=[1−cos(π2+2x)]−√3cos2x=1+sin2x−√3cos2x=1+2sin(2x−π3).f(x)max=3，此时，因为2x−π3=π2+2kπ，所以x=512π+kπ(k∈Z)．(2) 因为x∈[π4,π2 ]，所以π6≤2x−π3≤2π3，即2≤1+2sin(2x−π3)≤3，所以f(x)max=3，f(x)min=2．因为∣f(x)−m∣<2⇔f(x)−2<m<f(x)+2，x∈[π4,π2 ]，所以m>f(x)max−2且m<f(x)min+2，所以1<m<4，即m的取值范围是(1,4)．【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质。

人教A新版必修1《第5章三角函数》2019年单元测试卷（二）复习巩固1. 写出与下列各角终边相同的角的集合S，并且把S中适合不等式−2π≤β<4π的元素β写出来：（1）π4；（2）−23π；（3）125π；（4）2. 一个扇形的弧长与面积的数值都是5，求这个扇形中心角的度数．3. （1）已知cosφ=14，求sinφ，tanφ． 3.（2）已知sin x＝2cos x，求角x的三个三角函数值4. 已知tanα=−13，计算（1）sinα+2cosα5cosα−sinα；（2）12sinαcosα+cos2α；（3）sinαcosα；（4）(sinα+cosα)2．5. 计算（可用计算工具，第（2）（3）题精确到0.0001）（1）sin256π+cos253π+tan(−254π)；（2）sin2+cos3+tan4；（3）cos(sin2)．6. 设π<x<2π，填表：7. 求下列函数的最大值、最小值，并且求使函数取得最大、最小值的x的集合．（1）y=√2+sin xπ，x∈R；（2）y＝3−2cos x，x∈R．8. 画出下列函数在长度为一个周期的闭区间上的简图，并指出分别由函数y＝sin x，x∈R的图象经过怎样的变换得到：（1）y=12sin(3x−π3)；（2）y＝−2sin(x+π4)；（3）y＝1−sin(2x−π5)；（4）y＝3sin(π6−x3)9. （1）用描点法画出函数y＝sin x，x∈[0, π2]的图象． 9.（2）如何根据第（1）小题并运用正弦函数的性质，得出函数y＝sin x，x∈[0, 2π]的图象？ 9.（3）如何根据第（2）小题并通过平行移动坐标轴，得出函数y ＝sin (x +φ)+k ，x ∈[0, 2π]的图象？（其中φ．k 都是常数）10. 不通过画图，写出下列函数的振幅、周期、初相，并说明如何由正弦曲线得到它们的图象（1）y ＝sin (5x +π6)；（2）y ＝2sin 16x ；11. （1）已知α，β都是锐角，如sin α=45，cos (α+β)=513，求sin β的值； 11.（2）已知cos (π4−α)=35，sin (5π4+β)=−1213，α∈(π4, 3π4)，β∈(0, π4)，求sin (α+β)的值； 11.（3）已知α，β都是锐角，tan α=17，sin β=√1010，求tan (α+2β)的值．12. （1）证明：tan α+tan β＝tan (α+β)−tan αtan βtan (α+β)； 12. （2）求tan 20∘+tan 40∘+√3tan 20∘tan 40∘的值； 12.（3）若α+β=3π4，求(1−tan α)(1−tan β)的值；12. （4）求tan 20+tan 40+tan 120tan 20tan 40的值．13. 化简： （1）1sin 10−√3cos 10（2）sin 40∘(tan 10∘−√3)（3）tan 70∘cos 10∘(√3tan 20∘−1)（4）sin 50∘(1+√3tan 10∘)14. （1）已知cos θ=−35，π<θ<3π2，求(sin θ2−cos θ2)2的值； 14. （2）已知sin α2−cos α2=15，求sin α的值； 14.（3）已知sin 4θ+cos 4θ=59，求sin 2θ的值；14.（4）已知cos 2θ=35，求sin 4θ+cos 4θ的值．15. （1）(07年江苏卷.11)已知cos (α+β)=15，cos (α−β)=35，求tan α⋅tan β的值 15. （2）已知cos α+cos β=12，sin α+sin β=13，求cos (α−β)的值．16. 证明：（1）cos 4α+4cos 2α+3＝8cos 4α；（2）1+sin 2α2cos 2α+sin 2α=12tan α+12； （3）sin (2α+β)sin α−2cos (α+β)=sin βsin α；（4）3−4cos 2A+cos 4A 3+4cos 2A+cos 4A =tan 4A ．17. 已知sin α−cos α=15，0≤α≤π，求sin (2α−π4)的值．18. 已知cos (π4+x)=35，17π12<x <7π4，求sin 2x+2sin 2x 1−tan x的值．19. 已知sinθ+cosθ＝2sinα，sinθcosθ＝sin2β，求证4cos22α＝cos22β．20. 已知函数f(x)=cos4x−2sin x cos x−sin4x．(1)求f(x)的最小正周期；(2)当x∈[0,π2]时，求f(x)的最小值以及取得最小值时x的集合．21. 已知函数f(x)＝sin(x+π6)+sin(x−π6)+cos x+a的最大值为1．（1）求常数a的值；（2）求函数f(x)的单调递减区间；（3）求使f(x)≥0成立的x的取值集合．22. 若函数f(x)=√3sin2x+2cos2x+m在区间[0, π2]上的最大值为6，求常数m的值及此函数当x∈R时的最小值，并求相应的x的取值集合．23. 如图，正方形ABCD的边长为1，P、Q分别为边AB、DA上的点，当△APQ的周长为2时，求∠PCQ的大小．24. 已知sinβ+cosβ=15，β∈(0, π)（1）求tanβ的值；（2）求sin2β的值；（3）你能根据所给的条件，自己构造出一些求值问题吗？25. 如图，已知直线l1 // l2，A是l1，l2之间的一定点，并且点A到l1，l2的距离分别为ℎ1，ℎ2，B 是直线l 2上一动点，作AC ⊥AB ，且使AC 与直线l 1交于点C ．设∠ABD ＝α．（1）写出△ABC 面积S 关于角α的函数解析式S(α)；（2）画出上述函数的图象；（3）由（2）中的图象求S(α)的最小值26. 英国数学家泰勒发现了如下公式 sin x ＝x −x 33!+x 55!−x 77!+⋯⋯， cos x ＝1−x 22!+x 44!−x 66!+⋯⋯，其中n !＝1×2×3×4×...×n这些公式被编入计算工具，计算工具计算足够多的项就可以确保显示值的精确性，比如，用前三项计算cos 0.3，就得到cos 0.3≈1−0.322!+0.344!=0.9553375．试用你的计算工具计算cos 0.3，并与上述结果比较．27. 在地球公转过程中，太阳直射点的纬度随时间周而复始不断变化．（1）如图，设地球表面某地正午太阳高度角为θ，δ为此时太阳直射点的纬度，φ为当地的纬度值，那么这三个量满足θ＝90∘−|φ−δ|．某科技小组以某年春分（太阳直射赤道且随后太阳直射点逐渐北移的时间）为初始时间，统计了连续400天太阳直射点的纬度平均值（太阳直射北半球时取正值，太阳直射南半球时取负值）．下面是该科技小组的三处观测站成员在春分后第45天测得的当地太阳高度角数据：请根据数据完成上面的表格；（2）设第x天时太阳直射点的纬度平均值为y．该科技小组通过对数据的整理和分析，推断y与x近似满足函数y＝A sinωx，其中A为北回归线的纬度值，约为23.4392911，试利用（1）中的数据，估计ω的值（精确到10−8）；（3）定义从某年春分到次年春分所经历的时间为一个回归年，求一个回归年对应的天数（精确到0.0001）；（4）利用（3）的结果，估计每400年中，应设定多少个闰年，可使这400年与400个回归年所含的天数最为接近（精确到1）参考答案与试题解析人教A新版必修1《第5章三角函数》2019年单元测试卷（二）复习巩固1.【答案】与角π4终边相同的角的集合S＝{α|α=π4+2kπ, k∈Z}，S中适合不等式−2π≤β<4π的元素β是：−7π4、π4、9π4；与角−2π3终边相同的角的集合S＝{α|α=−2π3+2kπ, k∈Z}，S中适合不等式−2π≤β<4π的元素β是：−2π3、4π3、10π3；与角12π5终边相同的角的集合S＝{α|α=12π5+2kπ, k∈Z}，S中适合不等式−2π≤β<4π的元素β是：−8π5、2π5、12π5；与角0终边相同的角的集合S＝{α|α＝2kπ, k∈Z}，S中适合不等式−2π≤β<4π的元素β是：−2π、0、2π．【考点】终边相同的角【解析】根据终边相同的角的概念，写出与所求角的终边相同的角的集合S，再求出S中适合条件的元素β值．【解答】与角π4终边相同的角的集合S＝{α|α=π4+2kπ, k∈Z}，S中适合不等式−2π≤β<4π的元素β是：−7π4、π4、9π4；与角−2π3终边相同的角的集合S＝{α|α=−2π3+2kπ, k∈Z}，S中适合不等式−2π≤β<4π的元素β是：−2π3、4π3、10π3；与角12π5终边相同的角的集合S＝{α|α=12π5+2kπ, k∈Z}，S中适合不等式−2π≤β<4π的元素β是：−8π5、2π5、12π5；与角0终边相同的角的集合S＝{α|α＝2kπ, k∈Z}，S中适合不等式−2π≤β<4π的元素β是：−2π、0、2π．2.【答案】设这个扇形中心角的弧度数为α，半径为r．∵一个扇形的弧长与面积的数值都是5，∴ 5＝αr ，5=12αr 2，解得α=52．【考点】 扇形面积公式 【解析】设这个扇形中心角的弧度数为α，半径为r ．利用弧长公式、扇形的面积计算公式即可得出． 【解答】设这个扇形中心角的弧度数为α，半径为r ． ∵ 一个扇形的弧长与面积的数值都是5， ∴ 5＝αr ，5=12αr 2， 解得α=52． 3. 【答案】cos φ=14>0，则φ在第一、四象限． 当φ在第一象限时，sin φ=√1−(14)2=√154， tan φ=√15414=√15；当φ在第四象限时，sin φ=−√154，tan φ=−√15．由于sin x ＝2cos x ，且sin 2x +cos 2x ＝1， 解得，sin x =2√55，cos x =√55 或sin x =−2√55，cos x =−√55． tan x =sin x cos x=2．则当x 在第一象限时，sin x =2√55，cos x =√55，tan x ＝2； 当x 在第三象限时，sin x =−2√55，cos x =−√55，tan x ＝2． 【考点】同角三角函数间的基本关系 【解析】（1）讨论φ在第一、四象限，运用同角三角函数的平方关系和商数关系，即可得到所求值．（2）运用同角的基本关系式：平方关系和商数关系，即可得到所求的三角函数值． 【解答】cos φ=14>0，则φ在第一、四象限．当φ在第一象限时，sin φ=√1−(14)2=√154， tan φ=√15414=√15；当φ在第四象限时，sin φ=−√154，tan φ=−√15．由于sin x ＝2cos x ， 且sin 2x +cos 2x ＝1， 解得，sin x =2√55，cos x =√55 或sin x =−2√55，cos x =−√55． tan x =sin xcos x =2．则当x 在第一象限时，sin x =2√55，cos x =√55，tan x ＝2； 当x 在第三象限时，sin x =−2√55，cos x =−√55，tan x ＝2． 4. 【答案】sin α+2cos α5cos α−sin α=tan α+25−tan α=−13+25−(−13)=−516；12sin αcos α+cos 2α=sin 2α+cos 2α2sin αcos α+cos 2α=tan 2α+12tan α+1=(−13)2+12×(−13)+1=103；sin αcos α=sin αcos αsin 2α+cos 2α=tan αtan 2α+1=−13(−13)2+1=−310；(sin α+cos α)2=sin 2α+cos 2α+2sin αcos αsin 2α+cos 2α=tan 2α+1+2tan αtan 2α+1=(−13)2+1+2×(−13)(−13)2+1=25．【考点】同角三角函数间的基本关系 【解析】（1）利用商数关系和“弦化切”即可得出；（2）把分子用sin 2α+cos 2α代换，利用“弦化切”即可得出．（3）把分母看作“1”，用sin 2α+cos 2α代换，利用“弦化切”即可得出． （4）把分母看作“1”，再用sin 2α+cos 2α代换，利用“弦化切”即可得出． 【解答】sin α+2cos α5cos α−sin α=tan α+25−tan α=−13+25−(−13)=−516；12sin αcos α+cos 2α=sin 2α+cos 2α2sin αcos α+cos 2α=tan 2α+12tan α+1=(−13)2+12×(−13)+1=103；sin αcos α=sin αcos αsin 2α+cos 2α=tan αtan 2α+1=−13(−13)2+1=−310；(sin α+cos α)2=sin 2α+cos 2α+2sin αcos αsin 2α+cos 2α=tan 2α+1+2tan αtan 2α+1=(−13)2+1+2×(−13)(−13)2+1=25．5. 【答案】 sin256π+cos253π+tan (−254π)＝sin π6+cos π3−tan π4=12+12−1＝0；sin 2+cos 3+tan 4＝0.90930−0.98999+1.15782＝1.07713≈1.0771； cos (sin 2)＝cos 0.90930＝0.6143． 【考点】三角函数的恒等变换及化简求值 【解析】（1）先用诱导公式化简，再求值即可； （2）利用科学型计算器求值即可； （3）利用科学型计算器计算即可． 【解答】 sin256π+cos253π+tan (−254π)＝sin π6+cos π3−tan π4=12+12−1＝0；sin 2+cos 3+tan 4＝0.90930−0.98999+1.15782＝1.07713≈1.0771； cos (sin 2)＝cos 0.90930＝0.6143． 6. 【答案】 sin7π6=(2π−5π6)＝−sin5π6=−12，cos 7π6=cos (2π−5π6)＝cos (−5π6)=−√32，tan 7π6=sin7π6cos7π6=√32； π<x <2π，cos x =−√22，则x =5π4，sin 5π4=−√22，tan 5π4=1；tan x =√3，则x =4π3，sin 4π3=−√32，cos 4π3=√3；cos x =12，则x =5π3，sin 5π3=−√32，tan 5π3=−√3；sin7π4=−√22，cos 7π4=√22； cos x =7π4，则x =7π4，sin 7π4=−12，tan7π4=−√33【考点】三角函数的恒等变换及化简求值【解析】根据正弦函数余弦函数和正切函数的性质，进而求解． 【解答】 sin7π6=(2π−5π6)＝−sin5π6=−12，cos 7π6=cos (2π−5π6)＝cos (−5π6)=−√32，tan 7π6=sin7π6cos7π6=√32； π<x <2π，cos x =−√22，则x =5π4，sin5π4=−√22，tan 5π4=1；tan x =√3，则x =4π3，sin 4π3=−√32，cos 4π3=√3；cos x =12，则x =5π3，sin 5π3=−√32，tan 5π3=−√3；sin7π4=−√22，cos 7π4=√22； cos x =7π4，则x =7π4，sin 7π4=−12，tan7π4=−√33【答案】令sin x ＝1，此时，{x|x ＝2kπ+π2, k ∈Z}，函数有最大值√2+1π， 令sin x ＝−1，此时，{x|x ＝2kπ−π2, k ∈Z}，函数有最小值√2−1π， 令cos x ＝−1，此时，{x|x ＝2kπ+π, k ∈Z}，函数有最大值3+2＝5， 令cos x ＝1，此时，{x|x ＝2kπ, k ∈Z}，函数有最小值3−2＝1， 【考点】余弦函数的图象 正弦函数的图象【解析】（1）直接根据sin x ＝±1时，该函数取得最值； （2）根据cos x ＝±，该函数取得最值， 【解答】令sin x ＝1，此时，{x|x ＝2kπ+π2, k ∈Z}，函数有最大值√2+1π， 令sin x ＝−1，此时，{x|x ＝2kπ−π2, k ∈Z}，函数有最小值√2−1π， 令cos x ＝−1，此时，{x|x ＝2kπ+π, k ∈Z}，函数有最大值3+2＝5，令cos x＝1，此时，{x|x＝2kπ, k∈Z}，函数有最小值3−2＝1，8.【答案】y＝sin x沿x轴向右平移π3个单位长度得到y＝sin(x−π3)，将y＝sin(x−π3)图象横坐标缩短为原来的13，得到y＝sin(3x−π3)，将y＝sin(3x−π3)的图象纵坐标缩短为原来的12倍，得到y=12sin(3x−π3)的图象．画出函数y在一个周期[−π9, 5π9]内的图象，如图1所示；y＝sin x沿x轴向左平移π4个单位长度得到y＝sin(x+π4)，将y＝sin(x+π4)的图象纵坐标伸长为原来的2倍，得到y＝2sin(x+π4)的图象，作函数y＝2sin(x+π4)的图象关于x轴的对称图象，得到函数y＝−2sin(x+π4)的图象．画出函数y在一个周期[−π4, 7π4]内的图象，如图2所示；y＝sin x沿x轴向右平移π5个单位长度得到y＝sin(x−π5)，将y＝sin(x−π5)图象横坐标缩短为原来的12，得到y＝sin(2x−π5)，将做y＝sin(2x−π5)的图象关于x轴的对称图象，得到y＝−sin(2x−π5)的图象；将函数y＝−sin(2x−π5)的图象向上平移1个单位，得到函数y＝1−sin(2x−π5)的图象；画出函数y在一个周期[π10, 11π10]内的图象，如图3所示；作y＝sin x关于x轴的对称图象，得到函数y＝sin(−x)，将y＝sin(−x)的图象向右平移π6个单位得到y＝sin(−x+π6)，将y＝sin(−x+π6)的图象纵坐标保持不变，横坐标伸长为原来的3倍，得到y＝sin(π6−x3 )，将y＝sin(π6−x3)的图象纵坐标伸长为原来的3倍，得到y＝3sin(π6−x3)的图象；画出函数y在一个周期[π2, 13π2]内的图象，如图4所示；【考点】五点法作函数y=Asin （ωx+φ）的图象【解析】依题意，根据函数的解析式，根据函数图象变换规律，写出图象变换过程即可得解．【解答】y＝sin x沿x轴向右平移π3个单位长度得到y＝sin(x−π3)，将y＝sin(x−π3)图象横坐标缩短为原来的13，得到y＝sin(3x−π3)，将y＝sin(3x−π3)的图象纵坐标缩短为原来的12倍，得到y=12sin(3x−π3)的图象．画出函数y在一个周期[−π9, 5π9]内的图象，如图1所示；y＝sin x沿x轴向左平移π4个单位长度得到y＝sin(x+π4)，将y＝sin(x+π4)的图象纵坐标伸长为原来的2倍，得到y＝2sin(x+π4)的图象，作函数y＝2sin(x+π4)的图象关于x轴的对称图象，得到函数y＝−2sin(x+π4)的图象．画出函数y在一个周期[−π4, 7π4]内的图象，如图2所示；y＝sin x沿x轴向右平移π5个单位长度得到y＝sin(x−π5)，将y＝sin(x−π5)图象横坐标缩短为原来的12，得到y＝sin(2x−π5)，将做y＝sin(2x−π5)的图象关于x轴的对称图象，得到y＝−sin(2x−π5)的图象；将函数y＝−sin(2x−π5)的图象向上平移1个单位，得到函数y＝1−sin(2x−π5)的图象；画出函数y在一个周期[π10, 11π10]内的图象，如图3所示；作y＝sin x关于x轴的对称图象，得到函数y＝sin(−x)，将y＝sin(−x)的图象向右平移π6个单位得到y＝sin(−x+π6)，将y＝sin(−x+π6)的图象纵坐标保持不变，横坐标伸长为原来的3倍，得到y＝sin(π6−x3 )，将y＝sin(π6−x3)的图象纵坐标伸长为原来的3倍，得到y＝3sin(π6−x3)的图象；画出函数y在一个周期[π2, 13π2]内的图象，如图4所示；9. 【答案】取点列表如下：sin x00.170.340.500.640.770.870.940.981描点作图如下：对称，据此可由sin(π−x)＝sin x，可知函数y＝sin x，x∈[0, π]的图象关于直线x=π2, π]的图象；又由sin(2π−x)＝−sin x，可知函数y＝sin x，x∈得函数y＝sin x，x∈[π2[0, 2π]的图象关于点(π, 0)对称，据此可得出函数y＝sin x，x∈[π, 2π]的图象．先把y轴向右（当φ>0时）或向左（当φ<0时）平行移动|φ|个单位长度，再把x轴向下（当k>0时）或向上（当k<0时）平行移动|k|个单位长度，最后将图象向左或向右平行移动2π个单位长度，并擦去[0, 2π)之外的部分，便得出函数y＝sin(x+φ)+k，x∈[0, 2π]的图象．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换五点法作函数y=Asin（ωx+φ）的图象【解析】（1）计算出几个特殊点的坐标，描点连线即可．（2）利用正弦函数的对称性即可作图．（3）利用函数y＝A sin(ωx+φ)的图象变换规律即可得解．【解答】取点列表如下：描点作图如下：由sin (π−x)＝sin x ，可知函数y ＝sin x ，x ∈[0, π]的图象关于直线x =π2对称，据此可得函数y ＝sin x ，x ∈[π2, π]的图象；又由sin (2π−x)＝−sin x ，可知函数y ＝sin x ，x ∈[0, 2π]的图象关于点(π, 0)对称，据此可得出函数y ＝sin x ，x ∈[π, 2π]的图象． 先把y 轴向右（当φ>0时）或向左（当φ<0时）平行移动|φ|个单位长度，再把x 轴向下（当k >0时）或向上（当k <0时）平行移动|k|个单位长度，最后将图象向左或向右平行移动2π个单位长度，并擦去[0, 2π)之外的部分，便得出函数y ＝sin (x +φ)+k ，x ∈[0, 2π]的图象． 10. 【答案】函数y ＝sin (5x +π6)的振幅为A ＝1，周期为T =2π5，初相为φ=π6； 由y ＝sin x 的图象向左平移π6个单位得到y ＝sin (x +π6)，然后纵坐标不变，横坐标缩短到原来的15倍，得到y ＝sin (5x +π6)的图象； 函数y ＝2sin 16x 的振幅为A ＝2，周期为T =2π16=12π，初相为φ＝0；由y ＝sin x 的图象纵坐标不变，横坐标伸长到原来的6倍，得到y ＝sin 16x ， 再横坐标不变，纵坐标伸长到原来的2倍，得到y ＝2sin 16x 的图象．【考点】三角函数模型的应用 【解析】根据三角函数中振幅A ，频率ω和初相φ的意义，利用图象平移法则，求解即可． 【解答】函数y ＝sin (5x +π6)的振幅为A ＝1，周期为T =2π5，初相为φ=π6； 由y ＝sin x 的图象向左平移π6个单位得到y ＝sin (x +π6)，然后纵坐标不变，横坐标缩短到原来的15倍，得到y ＝sin (5x +π6)的图象； 函数y ＝2sin 16x 的振幅为A ＝2，周期为T =2π16=12π，初相为φ＝0；由y ＝sin x 的图象纵坐标不变，横坐标伸长到原来的6倍，得到y ＝sin 16x ，再横坐标不变，纵坐标伸长到原来的2倍，得到y ＝2sin 16x 的图象． 11. 【答案】∵ 已知α，β都是锐角，sin α=45，∴ cos α=√1−sin 2α=35．∵ cos (α+β)=513，∴ sin (α+β)=√1−cos 2(α+β)=1213，∴ sin β＝sin [(α+β)−α]＝sin (α+β)cos α−cos (α+β)sin α=1213⋅35−513⋅45=1665． ∵ 已知cos (π4−α)=35，sin (5π4+β)=−1213，α∈(π4, 3π4)，β∈(0, π4)， ∴ π4−α∈(−π2, 0)，5π4+β∈(5π4, 3π2)，∴ sin (π4−α)=−√1−cos 2(π4−α)=−45，cos (5π4+β)=−√1−sin 2(5π4+β)=−513， ∴ sin (α+β)＝−sin [(5π4+β)−(π4−α)]＝−[sin (5π4+β)cos (π4−α)−cos (5π4+β)sin (π4−α)]＝−[−1213⋅35−(−513)⋅(−45)]=5665． 已知α，β都是锐角，tan α=17，sin β=√1010，∴ cos β=√1−sin 2β=3√1010，tan β=sin βcos β=13，∴ tan 2β=2tan β1−tan 2β=34， ∴ tan (α+2β)=tan α+tan 2β1−tan α⋅tan 2β=1．【考点】两角和与差的三角函数 【解析】（1）由题意利用同角三角函数的基本关系，两角和差的三角公式，求得sin β的值． （2）由题意利用同角三角函数的基本关系，两角和差的三角公式，求得sin (α+β)的值．（3）由题意利用同角三角函数的基本关系，两角和差的三角公式、二倍角公式，求得要求式子的值． 【解答】∵ 已知α，β都是锐角，sin α=45，∴ cos α=√1−sin 2α=35． ∵ cos (α+β)=513，∴ sin (α+β)=√1−cos 2(α+β)=1213，∴ sin β＝sin [(α+β)−α]＝sin (α+β)cos α−cos (α+β)sin α=1213⋅35−513⋅45=1665． ∵ 已知cos (π4−α)=35，sin (5π4+β)=−1213，α∈(π4, 3π4)，β∈(0, π4)，∴ π4−α∈(−π2, 0)，5π4+β∈(5π4, 3π2)，∴ sin (π4−α)=−√1−cos 2(π4−α)=−45，cos (5π4+β)=−√1−sin 2(5π4+β)=−513， ∴ sin (α+β)＝−sin [(5π4+β)−(π4−α)]＝−[sin (5π4+β)cos (π4−α)−cos (5π4+β)sin (π4−α)]＝−[−1213⋅35−(−513)⋅(−45)]=5665． 已知α，β都是锐角，tan α=17，sin β=√1010，∴ cos β=√1−sin 2β=3√1010，tan β=sin βcos β=13，∴ tan 2β=2tan β1−tan 2β=34， ∴ tan (α+2β)=tan α+tan 2β1−tan α⋅tan 2β=1．12. 【答案】证明：∵ tan (α+β)=tan α+tan β1−tan αtan β，∴ tan α+tan β＝tan (α+β)(1−tan αtan β)＝tan (α+β)−tan αtan βtan (α+β)；问题得以证明，tan 20∘+tan 40∘+√3tan 20∘tan 40∘＝tan (20∘+40∘)(1−tan 20∘tan 40∘)+√3tan 20∘tan 40∘=√3(1−tan 20∘tan 40∘)+√3tan 20∘tan 40∘=√3，(1−tan α)(1−tan β)＝1−(tan α+tan β)+tan αtan β＝1+tan αtan β−tan (α+β)(1−tan αtan β)＝1+tan αtan β−tan3π4(1−tan αtan β)＝1+tan αtan β+(1−tan αtan β)＝2，∵ tan 120＝−tan 60∘=−√3，tan 20∘+tan 40∘＝tan (20∘+40∘)(1−tan 20∘tan 40∘)＝tan 60∘(1−tan 20∘tan 40∘)=√3−√3tan 20∘tan 40∘ ∴tan 20+tan 40+tan 120tan 20tan 40=√3−√3tan 20tan 40−√3tan 20tan 40=−√3．【考点】两角和与差的三角函数 【解析】分别根据两角和的正切公式即求出或证明． 【解答】证明：∵ tan (α+β)=tan α+tan β1−tan αtan β，∴ tan α+tan β＝tan (α+β)(1−tan αtan β)＝tan (α+β)−tan αtan βtan (α+β)； 问题得以证明，tan 20∘+tan 40∘+√3tan 20∘tan 40∘＝tan (20∘+40∘)(1−tan 20∘tan 40∘)+√3tan 20∘tan 40∘=√3(1−tan 20∘tan 40∘)+√3tan 20∘tan 40∘=√3，(1−tan α)(1−tan β)＝1−(tan α+tan β)+tan αtan β＝1+tan αtan β−tan (α+β)(1−tanαtanβ)＝1+tanαtanβ−tan3π4(1−tanαtanβ)＝1+tanαtanβ+(1−tanαtanβ)＝2，∵tan120＝−tan60∘=−√3，tan20∘+tan40∘＝tan(20∘+40∘)(1−tan20∘tan40∘)＝tan60∘(1−tan20∘tan40∘)=√3−√3tan20∘tan40∘∴tan20+tan40+tan120tan20tan40=√3−√3tan20tan40−√3tan20tan40=−√3．13.【答案】1 sin10−√3cos10=2(sin30sin10−cos30cos10)＝2×sin(30−10)12sin20=4；sin40∘(tan10∘−√3)＝cos50∘tan(10∘−60∘)(1+√3tan10∘)＝−sin50∘×(1+√3tan10∘)＝−sin50∘×2sin40cos10=−sin80 cos10＝−1；tan70∘cos10∘(√3tan20∘−1)=√3cos10∘−tan70∘cos10∘＝cos10∘×(−sin10cos70cos60)＝−1；sin50∘(1+√3tan10∘)＝sin50∘×tan60−tan10tan(60−10)＝sin50∘×√3−tan10tan50＝cos50∘(√3−tan10∘)＝−tan10∘cos50∘+√3cos50∘＝cos50∘×sin50cos10cos60=sin100 cos10＝1．【考点】三角函数中的恒等变换应用【解析】由诱导公式、同角三角函数的关系式逐一化简即可求值．【解答】1 sin10−√3cos10=2(sin30sin10−cos30cos10)＝2×sin(30−10)12sin20=4；sin40∘(tan10∘−√3)＝cos50∘tan(10∘−60∘)(1+√3tan10∘)＝−sin50∘×(1+√3tan10∘)＝−sin 50∘×2sin 40cos 10=−sin 80cos 10 ＝−1； tan 70∘cos 10∘(√3tan 20∘−1)=√3cos 10∘−tan 70∘cos 10∘＝cos 10∘×(−sin 10cos 70cos 60)＝−1； sin 50∘(1+√3tan 10∘) ＝sin 50∘×tan 60−tan 10tan (60−10)＝sin 50∘×√3−tan 10tan 50＝cos 50∘(√3−tan 10∘)＝−tan 10∘cos 50∘+√3cos 50∘ ＝cos 50∘×sin 50cos 10cos 60=sin 100cos 10 ＝1． 14. 【答案】由cos θ=−35，π<θ<3π2，得sin θ=−√1−cos 2θ=−45，所以(sin θ2−cos θ2)2＝sin 2θ2−2sin θ2cos θ2+cos 2θ2=1−sin θ＝1+45=95；由sin α2−cos α2=15，所以(sin α2−cos α2)2=sin 2α2−2sin α2cos α2+cos 2α2=1−sin α=125， 解得sin α=2425；由sin 4θ+cos 4θ=59，得(sin 2θ+cos 2θ)2＝sin 4θ+cos 4θ+2sin 2θcos 2θ=59+12sin 22θ＝1， 解得sin 22θ=89，则sin 2θ＝±2√23；由cos 2θ=35，得：sin 4θ+cos 4θ＝(sin 2θ+cos 2θ)2−2sin 2θcos 2θ ＝1−12sin 22θ＝1−12(1−cos 22θ)＝1−12+12×(35)2 =1725．【考点】三角函数中的恒等变换应用 【解析】（1）由cos θ=−35，利用同角的三角函数关系求出sin θ，再计算(sin θ2−cos θ2)2的值； （2）由sin α2−cos α2=15，两边平方利用二倍角个数求出sin α的值；（3）由sin 4θ+cos 4θ=59，根据平方公式和二倍角公式求出sin 2θ的值；（4）由cos 2θ=35，利用平方关系结合题意求得sin 4θ+cos 4θ的值． 【解答】由cos θ=−35，π<θ<3π2，得sin θ=−√1−cos 2θ=−45，所以(sin θ2−cos θ2)2＝sin 2θ2−2sin θ2cos θ2+cos 2θ2=1−sin θ＝1+45=95； 由sin α2−cos α2=15，所以(sin α2−cos α2)2=sin 2α2−2sin α2cos α2+cos 2α2=1−sin α=125， 解得sin α=2425； 由sin 4θ+cos 4θ=59，得(sin 2θ+cos 2θ)2＝sin 4θ+cos 4θ+2sin 2θcos 2θ=59+12sin 22θ＝1， 解得sin 22θ=89，则sin 2θ＝±2√23；由cos 2θ=35，得：sin 4θ+cos 4θ＝(sin 2θ+cos 2θ)2−2sin 2θcos 2θ ＝1−12sin 22θ ＝1−12(1−cos 22θ) ＝1−12+12×(35)215.【答案】∵cos(α+β)＝cosαcosβ−sinαsinβ=15①；cos(α−β)＝cosαcosβ+sinαsinβ=35②．①+②得cosαcosβ=25，②-①得sinαsinβ=15，∴tanα⋅tanβ=sinα⋅sinβcosα⋅cosβ=12．cosα+cosβ=12⇒cos2α+2cosαcosβ+cos2β=14(1)sinα+sinβ=13⇒sin2α+2sinαsinβ+sin2β=19 (2)（1）+(2)2+2cos(α−β)=1336∴cos(α−β)=−5972【考点】同角三角函数间的基本关系两角和与差的三角函数【解析】（1）利用二倍角公式把题设的余弦函数展开，两式分别相加，相减后相除即可求得答案．（2）把题设等式分别平方后相加，整理求得cos(α−β)的值．【解答】∵cos(α+β)＝cosαcosβ−sinαsinβ=15①；cos(α−β)＝cosαcosβ+sinαsinβ=35②．①+②得cosαcosβ=25，②-①得sinαsinβ=15，∴tanα⋅tanβ=sinα⋅sinβcosα⋅cosβ=12．cosα+cosβ=12⇒cos2α+2cosαcosβ+cos2β=14(1)sinα+sinβ=13⇒sin2α+2sinαsinβ+sin2β=19 (2)（1）+(2)2+2cos(α−β)=1336∴cos(α−β)=−597216.【答案】222(cos2α+1)2＝2(2cos2α−1+1)2＝2(2cos2α)2＝8cos4α＝右边；左边=1+sin2α2cos2α+sin2α=(sinα+cosα)22cosα(cosα+sinα)=sinα+cosα2cosα=12tanα+12=右边；左边=sin(α+β)cosα+cos(α+β)sinαsinα−2cosαcosβ+2sinαsinβ＝2cosβcosα+sinβ(cos2α−sin2α)sinα−2cosαcosβ+2sinαsinβ=sinβ(cos2α−sin2α+2sin2α)sinα=sinβsinα=右边；左边=3−4cos2A+cos4A3+4cos2A+cos4A =2−4cos2A+2cos22A2+4cos2A+2cos22A=(cos2A−1)2(cos2A+1)2=4sin4A4cos4A=tan4A＝右边；【考点】三角函数恒等式的证明【解析】（1）根据余弦的倍角公式，依次进行化简即可得到结论；（2）根据二倍角的正弦公式展开后提取因式，再根据同角三角函数关系式即可化简；（3）根据二倍角的正弦公式展开后通分，再根据同角三角函数关系式即可化简；（4）先根据二倍角公式化简，再配方后用二倍角公式消去1，最后由同角三角函数的基本关系可得到答案．【解答】左边＝cos4α+4cos2α+3＝2cos22α−1+4cos2α+3＝2(cos22α+2cos2α+1)＝2(cos2α+1)2＝2(2cos2α−1+1)2＝2(2cos2α)2＝8cos4α＝右边；左边=1+sin2α2cos2α+sin2α=(sinα+cosα)22cosα(cosα+sinα)=sinα+cosα2cosα=12tanα+12=右边；左边=sin(α+β)cosα+cos(α+β)sinαsinα−2cosαcosβ+2sinαsinβ＝2cosβcosα+sinβ(cos2α−sin2α)sinα−2cosαcosβ+2sinαsinβ=sinβ(cos2α−sin2α+2sin2α)sinα=sinβsinα=右边；左边=3−4cos2A+cos4A3+4cos2A+cos4A =2−4cos2A+2cos22A2+4cos2A+2cos22A=(cos2A−1)2(cos2A+1)2=4sin4A4cos4A=tan4A＝右边；17.【答案】∵sinα−cosα=15，∴1−2sinαcosα=125，sinαcosα=1225，结合0≤α≤π，∴α为锐角，∴sinα=45，cosα=35，∴sin2α＝2sinαcosα=2425，cos2α＝2cos2α−1=−725，求sin(2α−π4)＝sin2αcosπ4−cos2αsinπ4=2425×√22+725×√22=31√250．【考点】三角函数的恒等变换及化简求值【解析】利用同角三角函数的基本关系，二倍角公式，求得α得正弦和余弦，可得2α的正弦和余弦值，再利用两角差的正弦公式，求得sin(2α−π4)的值．【解答】∵sinα−cosα=15，∴1−2sinαcosα=125，sinαcosα=1225，结合0≤α≤π，∴α为锐角，∴sinα=45，cosα=35，∴sin2α＝2sinαcosα=2425，cos2α＝2cos2α−1=−725，求sin(2α−π4)＝sin2αcosπ4−cos2αsinπ4=2425×√22+725×√22=31√250．18.【答案】解∵17π12<x<7π4∴5π3<x+π4<2π，又∵cos(π4+x)=35∴sin(x+π4)=−√1−cos2(x+π4)=−45，sin2x=−cos(π2+2x)=1−2cos2(π4+x)=725∴sin2x+2sin2x1−tan x =2sin x(cos x+sin x)cos x−sin xcos x=sin2x⋅√2⋅sin(π4+x)√2⋅cos(π4+x)=sin2x⋅sin(π4+x)cos(π4+x)=725×(−45)35=−2875【考点】二倍角的三角函数三角函数的恒等变换及化简求值【解析】根据x的范围求出π4+x的范围，由cos(π4+x)的值利用同角三角函数间的基本关系求出sin(π4+x)的值，并利用诱导公式及二倍角的余弦函数公式求出sin2x的值；把所求的式子的分子的第一项利用二倍角的正弦函数公式化简后与第二项提取2sin x，把分母利用同角三角函数间的基本关系化简，然后分子分母都提取√2，把分子分母都化为一个角的正弦或余弦函数，将各自的值代入即可求出原式的值．【解答】解∵17π12<x<7π4∴5π3<x+π4<2π，又∵cos(π4+x)=35∴sin(x+π4)=−√1−cos2(x+π4)=−45，sin2x=−cos(π2+2x)=1−2cos2(π4+x)=725∴sin2x+2sin2x1−tan x =2sin x(cos x+sin x)cos x−sin xcos x=sin2x⋅√2⋅sin(π4+x)√2⋅cos(π4+x)=sin2x⋅sin(π4+x)=725×(−45)=−2819.【答案】证明：∵sin2θ+cos2θ＝1，∴(sinθ+cosθ)2＝1+2sinθcosθ，把sinθ+cosθ＝2sinα，sinθ⋅cosθ＝sin2β代入得：4sin2α＝1+2sin2β，即4(1−cos2α)＝1+2(1−cos2β)，整理得：4cos2α＝1+2cos2β．4cos2α−2＝−1+2cos2β．2cos2α＝−cos2β，两边平方可得：4cos22α＝cos22β．【考点】三角函数恒等式的证明【解析】由sin2θ+cos2θ＝1，得到(sinθ+cosθ)2＝1+2sinθcosθ，把已知两等式代入，整理即可得证．【解答】证明：∵sin2θ+cos2θ＝1，∴(sinθ+cosθ)2＝1+2sinθcosθ，把sinθ+cosθ＝2sinα，sinθ⋅cosθ＝sin2β代入得：4sin2α＝1+2sin2β，即4(1−cos2α)＝1+2(1−cos2β)，整理得：4cos2α＝1+2cos2β．4cos2α−2＝−1+2cos2β．2cos2α＝−cos2β，两边平方可得：4cos22α＝cos22β．20.【答案】解：f(x)=cos2x−2sin x cos x−sin2x=cos2x−sin2x=√2cos(2x+π4 )(1)T=π(2)∵0≤x≤π2∴π4≤2x+π4≤54π当2x+π4=π⇒x=38π∴x∈{38π}时f(x)有最小值为−√2【考点】三角函数的最值三角函数中的恒等变换应用三角函数的周期性及其求法【解析】(1)先根据三角函数的二倍角公式化简为y=√2cos(2x+π4)，再由T=2π2可得答案．(2)先根据x的范围确定2x+π4的范围，再由余弦函数的性质可求出最小值．解：f(x)=cos2x−2sin x cos x−sin2x=cos2x−sin2x=√2cos(2x+π4 )(1)T=π(2)∵0≤x≤π2∴π4≤2x+π4≤54π当2x+π4=π⇒x=38π∴x∈{38π}时f(x)有最小值为−√2 21.【答案】由题意：函数f(x)＝sin(x+π6)+sin(x−π6)+cos x+a，化简得：f(x)＝sin x cosπ6+cos x sinπ6+sin x cosπ6−cos x sinπ6+cos x+a=√3sin x+cos x+a＝2sin(x+π6)+a，∵sin(x+π6)的最大值为1，∴f(x)＝2×1+a＝1，解得：a＝−1．∵由（1）可知f(x)＝2sin(x+π6)−1．根据三角函数的性质可得：x+π6∈[2kπ+π2, 2kπ+3π2](k∈Z)．即2kπ+π2≤x+π6≤2kπ+3π2，(k∈Z)∴解得：2kπ+π3≤x≤2kπ+4π3，(k∈Z)，∴f(x)的单调递减区间为[2kπ+π3, 2kπ+4π3](k∈Z)；∵由题意：f(x)≥0，即2sin(x+π6)−1≥0，可得：sin(x+π6)≥12．∴2kπ+π6≤x+π6≤2kπ+5π6，(k∈Z)．解得：2kπ≤x≤2kπ+2π3．∴f(x)≥0成立的x的取值范围是{x|2kπ≤x≤2kπ+2π3}，(k∈Z)．【考点】正弦定理三角函数的最值（1）利用两角和与差的公式化简成为y＝A sin(ωx+φ)的形式，根据三角函数的性质可得a的值．（2）将内层函数看作整体，放到正弦函数的减区间上，解不等式得函数的单调递减区间；（3）根据三角函数的性质求解f(x)≥0成立的x的取值集合．【解答】由题意：函数f(x)＝sin(x+π6)+sin(x−π6)+cos x+a，化简得：f(x)＝sin x cosπ6+cos x sinπ6+sin x cosπ6−cos x sinπ6+cos x+a=√3sin x+cos x+a＝2sin(x+π6)+a，∵sin(x+π6)的最大值为1，∴f(x)＝2×1+a＝1，解得：a＝−1．∵由（1）可知f(x)＝2sin(x+π6)−1．根据三角函数的性质可得：x+π6∈[2kπ+π2, 2kπ+3π2](k∈Z)．即2kπ+π2≤x+π6≤2kπ+3π2，(k∈Z)∴解得：2kπ+π3≤x≤2kπ+4π3，(k∈Z)，∴f(x)的单调递减区间为[2kπ+π3, 2kπ+4π3](k∈Z)；∵由题意：f(x)≥0，即2sin(x+π6)−1≥0，可得：sin(x+π6)≥12．∴2kπ+π6≤x+π6≤2kπ+5π6，(k∈Z)．解得：2kπ≤x≤2kπ+2π3．∴f(x)≥0成立的x的取值范围是{x|2kπ≤x≤2kπ+2π3}，(k∈Z)．22.【答案】解：f(x)=√3sin2x+2cos2x+m=√3sin2x+1+cos2x+m=2sin(2x+π6)+m+1，∵x∈[0,π2]，∴2x+π6∈[π6, 7π6]，−1≤sin(2x+π)≤1，所以函数f(x)的最大值为3+m，∴3+m=6，m=3，∴f(x)=2sin(2x+π6)+4，当x∈R时，函数f(x)的最小值为2，此时2x+π6=−π2+2kπ，即x=−π3+kπ(k∈Z)时取最小值．【考点】求二倍角的余弦三角函数的最值【解析】先利用两角和的正弦公式化成标准形式，根据x的范围求函数的最大值，然后让最大值等于6，求出m的值；当x∈R时，根据正弦函数求函数的最小值及取到最小值时的x的值．【解答】解：f(x)=√3sin2x+2cos2x+m=√3sin2x+1+cos2x+m=2sin(2x+π6)+m+1，∵x∈[0,π2]，∴2x+π6∈[π6, 7π6]，−12≤sin(2x+π6)≤1，所以函数f(x)的最大值为3+m，∴3+m=6，m=3，∴f(x)=2sin(2x+π6)+4，当x∈R时，函数f(x)的最小值为2，此时2x+π6=−π2+2kπ，即x=−π3+kπ(k∈Z)时取最小值．23.【答案】设AQ＝x，AP＝y，则DQ＝1−x，PB＝1−y，(0<x<1, 0<y<1)，则tan∠DCQ=DQDC =1−x，tan∠BCP＝1−y，tan(∠DCQ+∠BCP)=(1−x)+(1−y)1−(1−x)(1−y)=2−(x−y)x+y−xy①．在Rt△APQ中，PQ2＝AQ2+AP2＝x2+y2，又PQ＝2−(x+y)，∴(2−x−y)2＝x2+y2，即xy＝2(x+y)−2②．把②代入①可得tan(∠DCQ+∠BCP)＝1，∴∠DCQ+∠BCP＝45∘，∴∠PCQ＝45∘．【考点】两角和与差的三角函数设AQ ＝x ，AP ＝y ，利用直角三角形中的边角关系求得tan ∠DCQ =DQ DC=1−x ，tan ∠BCP ＝1−y ，再两角和的正切公式求得tan (∠DCQ +∠BCP)＝1，可得∠DCQ +∠BCP ＝45∘，从而求得∠PCQ ＝45∘． 【解答】设AQ ＝x ，AP ＝y ，则DQ ＝1−x ，PB ＝1−y ，(0<x <1, 0<y <1)， 则tan ∠DCQ =DQDC =1−x ，tan ∠BCP ＝1−y ，tan (∠DCQ +∠BCP)=(1−x)+(1−y)1−(1−x)(1−y)=2−(x−y)x+y−xy①．在Rt △APQ 中，PQ 2＝AQ 2+AP 2＝x 2+y 2，又PQ ＝2−(x +y)，∴ (2−x −y)2＝x 2+y 2，即 xy ＝2(x +y)−2 ②．把②代入①可得tan (∠DCQ +∠BCP)＝1，∴ ∠DCQ +∠BCP ＝45∘，∴ ∠PCQ ＝45∘． 24. 【答案】将已知等式sin β+cos β=15①，两边平方得：(sin β+cos β)2＝1+2sin βcos β=125，即2sin βcos β=−2425<0，∴ (sin β−cos β)2＝1−2sin βcos β=4925， ∵ β∈(0, π)，∴ sin β>0，cos β<0，即sin β−cos β>0， ∴ sin β−cos β=75②，联立①②得：sin β=45，cos β=−35，则tan β=sin βcos β=−43； ∵ sin β=45，cos β=−35，∴ sin 2β＝2sin βcos β＝2×45×(−35)=−2425；∵ sin β=45，cos β=−35，∴ cos 2β＝cos 2β−sin 2β=925−1625=−725．【考点】同角三角函数间的基本关系 【解析】（1）将已知等式两边平方，利用同角三角函数间基本关系化简，求出sin βcos β的值，进而求出sin β−cos β的值，联立求出sin β与cos β的值，即可确定出tan β的值； （2）原式利用二倍角的正弦函数公式化简，将各自的值代入计算即可求出值； （3）求出cos 2β的值． 【解答】将已知等式sin β+cos β=15①，两边平方得：(sin β+cos β)2＝1+2sin βcos β=125，即。