习 题六
一、选择题（将正确的答案填入括号内）
1．质子理论认为，下列物质中全部是酸的是（ ）
a.H 2S 、C 2O 42-、HCO 3-
b.H 2CO 3、NH 4+、H 2O
c.Cl -、BF 3、OH -
d.H 2S 、CO 32-、H 2O 2．质子理论认为，下列物质中全部是碱的是（ ）
a.HAc 、H 3PO 4、H 2O
b.Ac -、PO 43-、H 2O
c.HAc 、H 2PO 4-、OH -
d.Ac -、PO 43-、NH 4+ 3．用质子理论比较下列物质的碱性由强到弱顺序为（ ）
https://www.doczj.com/doc/922414765.html, -＞CO 32-＞Ac -＞NO 3-
b.CO 32-＞CN -＞Ac -＞NO 3-
c.Ac -＞NO 3-＞CN -＞CO 32-
d.NO 3-＞Ac -＞CO 32-＞CN - 4．质子理论认为，下列物质中全部是两性物质的是（ ）
a.Ac -、CO 32-、PO 43-、H 2O
b.CO 32-、CN -、Ac -、NO 3-
c.HS -、HNO 3-、H 2PO 42-、H 2O -
d. H 2S 、Ac -、NH 4+、H 2O 5．在下列化合物中，其水溶液的pH 值最高的是（ ）
a.NaCl
b.Na 2CO 3
c.NH 4Cl
d.NaHCO 3 6．下列水溶液中，c(NH 4+)最高的为（ ）
a.c(NH 4Cl)=0.1mol·l -1氯化铵水溶液；
b. c(NH 4HSO 4)=0.1mol·l -1硫酸氢铵水溶液；
c. c(NH 4HCO 3)=0.1mol·l -1碳酸氢铵水溶液；
d. c(NH 4Ac)=0.1mol·l -1醋酸氢铵水溶液。 7．在0.1mol·l -1NaF 溶液中
a.c(H +)≈c(HF)
b.c(HF) ≈c(OH -
)
c.c(H +)≈c(OH -)
d.c(H +
)≈c(HF) 8．在pH=6.0的土壤溶液中，下列物质浓度最大的为
a.H 3PO 4
b.H 2PO 4-
c.HPO 42-
d.PO 43-
9．在110ml 浓度为0.1mol·l -1的HAc 中，加入10ml 浓度为0.1 mol·l -1的NaOH 溶液，则混合溶液的pH 值为（已知HAc 的pKa=4.75）（ ）
a.4.75
b.3.75
c.275
d.5.75
10．往1L 0.10 mol·l -1HAc 溶液中加入一些NaAc 晶体并使之溶解，会发生的情况是（ ）
a.HAc 的K a 值增大
b.HAc 的K a 值减小
c.溶液的pH 值增大
d.溶液的pH 值减小
11．设氨水的浓度为C ，若将其稀释1倍，溶液中的OH -浓度为
C a 2
1.C K b b 2
1
.
d.2C 12
．欲配制pH=9.0的缓冲溶液，应选用
a.甲醋（K a θ
=1.0×10-4）及其盐 b.HAc-NaAc
c.NH 3—NH 4+
d.六次甲基四胺 13．下列混合物溶液中，缓冲容量最大的是（ ）
a.0.02 mol·l -1NH 3—0.18 mol·l -1NH 4Cl
b.0.17 mol·l -1NH 3—0.03 mol·l -1NH 4Cl
c.0.15 mol·l -1NH 3—0.05 mol·l -1NH 4Cl
d..0.10 mol·l -1NH 3—0.10 mol·l -1NH 4Cl
14．在0.06mol·l -1HAc 溶液中，加入NaAc ，并使c(NaAc)=0.2 mol·l -1。（已知K a θ
=1.8
×10-5），混合液的c(H +)接近于（ ）
a.10.3×10-7 mol·l -1
b. 5.4 ×10-5 mol·l -1
c.3.6 ×10-4 mol·l -1
d. 5.4 ×10-6 mol·l -1 二、填空题
1．根据酸碱质子理论，在水溶液中的下列分子或离子：HSO 4-、C 2O 42-、H 2PO 4-、[Al(H 2O)6]3+、NO 3-、HCl 、Ac -、H 2O 、[Al(H 2O)4(OH)2]+中，属于酸（不是碱）的有 ；属于碱（不是酸）的有 既可作为酸又可作为碱的有 。
2．已知0.1 mol·l -1HAc 的c(H +)=1.3×10-7 mol·l -1，则HAc 水溶液的电离度为 ，离解平衡常数为 。
3．在H 2S 饱和溶液中c(S 2-)近似等于 。
4．0.20 mol·l -1HCl 溶液的c(H +) 0.20 mol·l -1HCN 溶液的c(H +) ，若用0.10 mol·l -1NaOH 恰好中和时，前者所需要的NaOH 体积 后者所需要的。
5．往pH=5的溶液中加入若干酸，使c(H +)增加到为原来的10倍时，溶液的pH= ，pOH= 。
6．分别写出下列各物质在水中的离解平衡表达式，离解常数表达式和离解常数的名称。 7．将固体NaAc 加入HAc 水溶液中，能使HAc 溶液的离解度 ，称为 效应。
8．配制缓冲溶液时，选择缓冲对的原则是 。
9．决定HAc-NaAc 缓冲溶液pH 值的因素是（1） （2） 。
10．由NaH 2PO 4和Na 2HPO 4组成缓冲溶液的缓冲对物质是 ，该缓冲溶液的缓冲作用的有效范围pH 值是 。
三、计算题
2.
C
K c b
1．0.01 mol·l -1HAc 溶液的离解离为0.042，求HAc 的离解常数和溶液的pH 值。 2．一酸雨样品，pH=4.07。设此酸性完全因水中含HNO 2所致，计算c(HNO 2)。 3．计算下列溶液的pH 值：
（1）0.10 mol·l -1NH 4Cl; （2）1.0 mol·l -1Na 2S; （3）0.050 mol·l -1NaHSO 4; （4）0.050 mol·l -1H 3PO 4。
4．向c(HCl)=0.050 mol·l -1盐酸中通H 2S 至饱和（c （H 2S ））≈0.10 mol·l -1。计算溶液pH 及c(S 2-)。
5．计算下列溶液的C （H +）、C （OH -）及pH 值。 （1）0.010 mol·l -1NaOH; （2）0.050 mol·l -1HAc
（3）0.10 mol·l -1KCN; （4）0.10 mol·l -1ClCH 2COOH （氯代乙酸）
6．健康人血液的pH 值为7.35～7.45。患某种疾病的人的血液pH 可暂时降到5.90，问此时血液中c(H +)为正常状态人的多少倍？
7．尼古丁（C 10H 12N ）是二元弱碱 。计算c(C 10H 14N 2)=0.050 mol·l -1尼古丁水溶液的pH 值及c(C 10H 14N 2)、c(C 10H 14N 2H +) c(C 10H 14N 2H 22+)。
8．在100ml 0.10 mol·l -1的氨水中加入1.07gNH 4Cl ，溶液的pH 为多少？在此溶液中再加入100ml 中。pH 值有何变化。
9．试计算：
（1）pH=1.00与pH=2.00的HCl 溶液等体积混合后溶液的pH 值。
（2）pH=2.00的HCl 溶液与pH=13.00NaOH 溶液等体积混合后溶液的pH 值。 10．计算0.20 mol·l -1HCl 溶液与0.20 mol·l -1氨水混合溶液的pH 值？ （1）两种溶液等体积混合？ （2）两种溶液按2：1的体积混合？ （3）两种溶液按1：2的体积混合。
11．在1L 0.1 mol·l -1NaH 2PO 4溶液中加入500ml 0.10 mol·l -1NaOH 溶液后，求算此溶液的pH 值。
12．将2.0ml 14 mol·l -1的HNO 3溶液至400ml ，试计算： （1）稀释后溶液的c(H 3O +)和pH 值；
（2）使400ml HNO 3溶液的pH 增加到7，需要加入固体KOH 多少克？
13．欲配制pH=5，含HAc 0.2 mol·l -1的缓冲溶液1升，需1 mol·l -1HAc,1 mol·l -1NaAc 溶液各多少ml ？
14．欲配制pH 值为9.25的缓冲溶液，如用0.2 mol·l -1的氨水溶液500ml ，需加入浓度为
0.5 mol·l -1的盐酸多少毫升 。 15．每100ml 纯碱溶液中含5.7gNa 2CO 3·10H 2O 时，溶液的c(CO 32-)和pH 是多少？ 16．0.10 mol·l -1Na 3PO4溶液中c(PO 43-)和pH 各是多少？ 17．分别计算下列各混合溶液中的pH ：
（1）0.50 mol·l -1300ml HCl 与0.50 mol·l -1200mlNaOH ； （2）0.20 mol·l -150ml NH 4Cl 与0.20 mol·l -150ml NaOH ；
11
7
104.1,100.721--?=?=b b K K )
108.6(9,243-?=PO H K )
108.1(5
3-?=bNH K
（3）0.20 mol·l-150ml NH4Cl与0.20 mol·l-125ml NaOH;
（4）0.20 mol·l-125ml NH4Cl与0.20 mol·l-150mlNaOH;
（5）1.0 mol·l-120ml H2C2O4与1.0 mol·l-130mlNaOH。
18．将10ml 0.30 mol·l-1 HCOONa与20ml 0.15 mol·l-1的HF混合，（1）计算反应的平衡常数；（2）计算溶液中的c(HCCO-)、c(F-)、c(H+)。
（K HCOOH=1.7×10-4,K HP=6.8×10-4）
习题六参考答案
一、选择题
1.b
2.b
3.b
4.c
5.b
6.b
7.b 8.b 9.b 10.c 11.c 12.c
13.d 14.d
二、计算题
1.Ka=1.76×10-5,pH=3.38
2.c(HNO2)=1.44×10-5 mol·l-1
3.pH=5.13 b.pH=13.00 c.pH=1.74 d.pH=1.80
4.pH=1.30 c(S2-)=4×10-18 mol·l-1
5.(1)c(H+)=1.0×10-12 c(OH-)=1.0×10-2 pH=12.00
(2)c(H+)=9.3×10-4 c(OH-)=1.1×10-11 pH=3.03
(3)c(H+)=7.0×10-12 c(OH-)=1.42×10-3 pH=11.15
(4)c(H+)=0.011 c(OH-)=9.1×10-11 pH=1.96
6.（28～35）倍
7．pH=10.27 c(C10H14N2)=0.050
c(C10H14N2H+)=1.87×10-14
c(C10H14N2H22+)=1.4×10-11
8．pH=12.48 c(HS-)=3×10-2 c(H2S)=1.1×10-7
c(S2-)=0.07
9.pH=8.95,pH=8.95 基本不变
10．（1）pH=1.26 (2)pH=12.65
11.(1)pH=5.11 (2)pH=1.17 (3)pH=9.23
12.pH=7.17
13．V HAc=360(ml) V naAc=200(ml)
14.VHCl=100(ml)
15.c(CO32-)=0.19, pH=11.78
16.c(pO43-)=0.052,pH=12.68
17.(1)pH=1.00 (2)pH=11.12 (3)pH=9.25
(4)pH=12.84 (5)pH=4.19
习题解答
2．解：pH=4.07 c(H +
)=8.13×10-5
(mol·l -1)
5.(3)解： c(OH -)=1.42×10-3
(mol·l -1)
pH=14-3+lg1.42=11.15
(4)解：
c(OH -)=9.1×10
-11
(mol ·1-1) pH=1.96
16.解：
O H PO 234+-
-
-+OH HPO 24
C eq
/mol ·1-1
0.1-x x x
解出x=0.0478(mol·1-1)
18.解：离子反应式为： HCOO - +HF
F - + HCOOH
0 0
C eq /mol·1-1 = 0.1 =0.1
(1) 5
554542221044.11013.8)1013.8(106.41013.8)]
([)(106.4)()()(222-----++--
+?=?-?-??=?-?=?==HNO HNO HNO a C C H c C K H c HNO c NO c H c K 10.010
93.410)(1014
??=?=---c K OH c b 30
15
.020?3030
.010?1
1
/-?mol C θ)
(1057.9)(1
52--??=∴l mol HNO C ()
()()()1232
332314
1101.11
.0104.14104.12
104.14
1042.110-------+
??=??+?+?-=?++
?=mol C
K
K H c a
a ()
x x HPO K K x x K a w b -=
??=?==-=-----1.01055.41055.410
2.2101.02
22
13
14
2423()()
()68
.1278.41214141
0478.010522.00478.01.01
1
34=+-=-=?==?=-=--
--g POH pH m ol x OH c m ol PO c 4
107.1108.64
4=??==--HCOOH aHF
K K K )(1071042.110)(1123
14----+??=?=l mol H c
(2) 即
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()1
2
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x
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解出
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a
高等数学下试题及参考 答案 内部编号：（YUUT-TBBY-MMUT-URRUY-UOOY-DBUYI-0128）
华南农业大学期末考试试卷（A 卷 ） 2016~2017学年第2 学期 考试科目：高等数学A Ⅱ 考试类型：（闭卷）考试 考试时间： 120 分钟 学号 姓名 年级专业 一、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1．二元函数2ln(21)z y x =-+的定义域为 。 2. 设向量(2,1,2)a =，(4,1,10)b =-，c b a λ=-，且a c ⊥，则λ= 。 3．经过(4,0,2)-和(5,1,7)且平行于x 轴的平面方程为 。 4．设yz u x =，则du = 。 5．级数11 (1)n p n n ∞ =-∑，当p 满足 条件时级数条件收敛。 二、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1．微分方程2()'xy x y y +=的通解是 （ ） A ．2x y Ce = B ．22x y Ce = C ．22y y e Cx = D ．2y e Cxy =
2 ．求极限(,)(0,0)lim x y →= （ ） A ．14 B ．12- C ．14- D ．12 3．直线:3 27 x y z L = =-和平面:32780x y z π-+-=的位置关系是 （ ） A ．直线L 平行于平面π B ．直线L 在平面π上 C ．直线L 垂直于平面π D ．直线L 与平面π斜交 4．D 是闭区域2222{(,)|}x y a x y b ≤+≤ ，则D σ= （ ） A ．33()2 b a π- B ．332()3 b a π- C ．334()3 b a π - D ． 3 33()2 b a π- 5．下列级数收敛的是 （ ） A ．11(1)(4)n n n ∞ =++∑ B ．2111n n n ∞=++∑ C ．1 1 21n n ∞ =-∑ D ．n ∞ = 三、计算题（本大题共7小题，每小题7分，共49分） 1. 求微分方程'x y y e +=满足初始条件0x =，2y =的特 解。 2. 计算二重积分22 D x y dxdy x y ++?? ，其中22 {(,):1,1}D x y x y x y =+≤+≥。
高等数学（下册）试卷（一） 一、填空题（每小题3分，共计24分） 1、 z =)0()(log 2 2>+a y x a 的定义域为D= 。 2、二重积分 ?? ≤++1 ||||22)ln(y x dxdy y x 的符号为 。 3、由曲线x y ln =及直线1+=+e y x ，1=y 所围图形的面积用二重积分表示 为 ，其值为 。 4、设曲线L 的参数方程表示为),() () (βαψ?≤≤?? ?==x t y t x 则弧长元素=ds 。 5、设曲面∑为92 2 =+y x 介于0=z 及3=z 间的部分的外侧，则 =++?? ∑ ds y x )122 （ 。 6、微分方程x y x y dx dy tan +=的通解为 。 7、方程04) 4(=-y y 的通解为 。 8、级数 ∑∞ =+1) 1(1 n n n 的和为 。 二、选择题（每小题2分，共计16分） 1、二元函数),(y x f z =在),(00y x 处可微的充分条件是（ ） （A ）),(y x f 在),(00y x 处连续； （B ）),(y x f x '，),(y x f y '在),(00y x 的某邻域内存在； （C ） y y x f x y x f z y x ?'-?'-?),(),(0000当0)()(2 2→?+?y x 时，是无穷小； （D ）0) ()(),(),(lim 2 2 00000 =?+??'-?'-?→?→?y x y y x f x y x f z y x y x 。 2、设),()(x y xf y x yf u +=其中f 具有二阶连续导数，则2222y u y x u x ??+??等于（ ） （A ）y x +； （B ）x ； (C)y ； (D)0 。 3、设Ω：,0,12 2 2 ≥≤++z z y x 则三重积分???Ω = zdV I 等于（ ） （A ）4 ? ??20 20 1 3cos sin π π ???θdr r d d ；
《高等数学A 》(下）期末试卷A 答案及评分标准 一、选择题（本大题分5小题，每题3分，共15分） 1、交换二次积分 ? ? x e dy y x f dx ln 0 1 ),(的积分次序为 （ c ） (A ) ? ? x e dx y x f dy ln 0 1 ),( (B ) ?? 1 ),(dx y x f dy e e y (C ) ? ? e e y dx y x f dy ),(10 (D ) ?? e x dx y x f dy 1 ln 0 ),( 2、锥面22y x z +=在柱面x y x 22 2≤+内的那部分面 积为 （D ） (A ) ? ? - θπ π ρρθcos 20 22 d d (B ) ? ? - θπ π ρ ρθcos 20 222 d d (C ) ? ? - θπ π ρρθcos 20 2 22 2d d (D ) ? ? - θπ π ρρθcos 20 22 2d d 3、若级数∑∞ =-1 )2(n n n x a 在2-=x 处收敛，则级数 ∑∞ =--1 1 )2(n n n x na 在5=x （B ）
(A ) 条件收敛 (B ) 绝对收敛 (C ) 发散(D ) 收敛性不确定 4、下列级数中收敛的级数为 （ A ） (A ) ∑∞ =-1 )13(n n n n (B ) ∑∞ =+1 21n n n (C ) ∑∞ =+1 11 sin n n (D ) ∑∞ =1 3!n n n 5、若函数 )()2()(2 222x axy y i xy y x z f -+++-=在复平面上处处解析，则实常数a 的值 为 （ c ） (A ) 0 (B ) 1 (C ) 2 (D ) -2
高等数学 一、填空 、选择题（每题3分，共30分） 1．曲面z xy =上点(1,2,2)处的法线方程为 . 2.已知D 是由直线1,1x y x y +=-=及0x =所围,则D yd σ=?? . 3.若曲线L 是2 2 1x y +=在第一象限的部分,则L xds =? . 4.设(,)ln()2y f x y x x =+ ,则(1,0)xx f = . 5.若级数 1 (2)n n u ∞ =+∑收敛,则lim n n u →∞ = . 6.函数3 2 2 (,)42f x y x x xy y =-+-,下列说法正确的是( ). (A)点(2,2)是(,)f x y 的极小值点; (B) 点(0,0)是(,)f x y 的极大值点; (C) 点(2,2)不是(,)f x y 的驻点; (D)(0,0)f 不是(,)f x y 的极值. 7.函数2 2 (,)f x y x y =+在点(1,1)处沿着那个方向的方向导数最大?( ) (A) (1,1); (B) (2,2); (C) (0,1); (D) (1,0). 8.曲线L 为沿2 24x y +=顺时针一周,则 1 2 L xdy ydx -=??( ). (A)2π- (B) 4π; (C) 4π-; (D)0. 9. 累次积分1 (,)y dy f x y dx ? 改变积分次序后等于( ). (A) 2 1 0(,)x x dx f x y dy ? ? ; (B) 21 (,)x x dx f x y dy ? ?; (C) 1 (,)x dx f x y dy ? ; (D) 21 (,)x dx f x y dy ?. 10. 下列各级数中条件收敛的是（ ） (A) 1 1 (1) n n ∞ +=-∑; (B) 1 2 11 (1)n n n ∞ +=-∑; (C) 1 1 (1) 1 n n n n ∞ +=-+∑; (D) 1 1 1 (1)(1) n n n n ∞ +=-+∑; 二解答题(6*4) 1.设函数22 ln()y x z x y e =++,求(1,0) dz . 2.设sin ,,2u z e v u xy v x y ===-,求 ,z z x y ????.
《高等数学》试题30 考试日期：2004年7月14日 星期三 考试时间：120 分钟 一.选择题 1. 当0→x 时，)1ln(x y +=与下列那个函数不是等价的 （ ） A)、x y = B)、x y sin = C)、x y cos 1-= D)、1-=x e y 2. 函数f(x)在点x 0极限存在是函数在该点连续的（ ） A )、必要条件 B )、充分条件 C )、充要条件 D )、无关条件 3. 下列各组函数中，)(x f 和)(x g 不是同一函数的原函数的有（ ）. A)、()()() 222 1 ,21)(x x x x e e x g e e x f ---=-= B) 、(( )) ()ln ,ln f x x g x x ==- C)、()()x x g x x f --=-=1arcsin 23,12arcsin )( D)、()2 tan ,sec csc )(x x g x x x f =+= 4. 下列各式正确的是（ ） A ）、2ln 2x x x dx C =+? B ）、sin cos tdt t C =-+? C ）、 2arctan 1dx dx x x =+? D ）、2 11 ()dx C x x -=-+? 5. 下列等式不正确的是（ ）. A ）、 ()()x f dx x f dx d b a =??????? B ）、()()()[]()x b x b f dt x f dx d x b a '=??????? C ）、()()x f dx x f dx d x a =??????? D ）、()()x F dt t F dx d x a '=???? ??'? 6. 0 ln(1)lim x x t dt x →+=?（ ） A ）、0 B ）、1 C ）、2 D ）、4 7. 设bx x f sin )(=，则=''?dx x f x )(（ ） A ）、 C bx bx b x +-sin cos B ） 、C bx bx b x +-cos cos C ）、C bx bx bx +-sin cos D ）、C bx b bx bx +-cos sin
高等数学下册试题 一、选择题（每题4分，共20分） 1. 已知A (1,0,2), B (1,2,1)是空间两点，向量 AB 的模是：（ A ） A ）5 B ） 3 C ） 6 D ）9 解 ={1-1，2-0，1-2}={0，2，-1}， |AB |= 5)1(20222=-++. 2. 设a ={1,-1,3}, b ={2,-1,2}，求c =3a -2b 是：（ B ） A ）{-1,1,5}. B ） {-1,-1,5}. C ） {1,-1,5}. D ）{-1,-1,6}. 解 (1) c =3a -2b =3{1,-1,3}-2{2,-1,2}={3-4,-3+2,9-4}={-1,-1,5}. 3. 设a ={1,-1,3}, b ={2, 1, -2}，求用标准基i , j , k 表示向量c=a-b ; （ A ） A ）-i -2j +5k B ）-i -j +3k C ）-i -j +5k D ）-2i -j +5k 解c ={-1,-2,5}=-i -2j +5k . 4. 求两平面032=--+z y x 和052=+++z y x 的夹角是：（C ） A ）2π B ）4π C ）3 π D ）π 解 由公式（6-21）有 2 1112)1(211)1(1221cos 2222222 121= ++?-++?-+?+?= ??= n n n n α， 因此，所求夹角 32 1 arccos π α= =． 5. 求平行于z 轴，且过点)1,0,1(1M 和)1,1,2(2-M 的平面方程．是：（D ） A ）2x+3y=5=0 B ）x-y+1=0 C ）x+y+1=0 D ）01=-+y x ． 解 由于平面平行于z 轴，因此可设这平面的方程为 0=++D By Ax 因为平面过1M 、2M 两点，所以有 ?? ?=+-=+020D B A D A 解得D B D A -=-=,，以此代入所设方程并约去)0(≠D D ，便得到所求的 平面方程 01=-+y x 6．微分方程()043 ='-'+''y y y x y xy 的阶数是( D )。
第二学期期末考试试卷 一、 填空题(每空 3 分，共 15 分) 1. 已知向量()1,1,4r a =-,()3,4,0r b =,则以r a ,r b 为边的平行四边形的面积等于. 2. 曲面sin cos z x y =在点1,,442ππ?? ??? 处 的切平面方程是. 3. 交换积分次序()22 0,x dx f x y dy = ??. 4. 对于级数11 n n a ∞ =∑（a ＞0），当a 满足条件 时收敛. 5. 函数1 2y x =-展开成x 的幂级数为 . 二、 单项选择题 (每小题3分,共15分) 1. 平面20x z -=的位置是 （ ） （A ）通过y 轴 （B ）通过x 轴 （C ）垂直于y 轴 （D ）平行于xoz 平面 2. 函数(),z f x y =在点()00,x y 处具有偏导数 ()00,x f x y '，()00,y f x y ',是函数在该点可微分的 （ ） （A ）充要条件 （B ）充分但非必要条件 （C ）必要但非充分条件 （D ）既非充分又非必要条件 3. 设()cos sin x z e y x y =+，则10 x y dz ===（ ） （A ）e （B ）()e dx dy +
（C ）1()e dx dy -+ （D ）()x e dx dy + 4. 若级数()11n n n a x ∞ =-∑在1x =-处收敛， 则此级数在2x =处（ ） （A ）敛散性不确定 （B ）发散 （C ）条件收敛 （D ）绝对收敛 5. 微分方程y xy x '-=的通解是（ ） （A ）212 1x y e =- （B ）212 1x y e -=- （C ）212 x y Ce -= （D ）212 1x y Ce =- 三、(本题满分8分) 设平面通过点()3,1,2-，而且通过直线43521 x y z -+==， 求该平面方程． 四、(本题满分8分) 设(),z f xy x y =+，其中(),f u v 具有二阶连续偏导数， 试求z x ??和2z x y ???． 五、(本题满分8分) 计算三重积分y zdxdydz Ω =???， 其中 (){},,01,11,12x y z x y z ≤≤-≤≤≤≤． 六、(本题满分8分) 计算对弧长的曲线积分L ?，
高等数学（下册）考试试卷（一） 一、填空题（每小题3分，共计24分） 1、 z =)0()(log 2 2 >+a y x a 的定义域为D= 。 2、二重积分 ?? ≤++1 ||||22)ln(y x dxdy y x 的符号为 。 3、由曲线x y ln =及直线1+=+e y x ，1=y 所围图形的面积用二重积分表示 为 ，其值为 。 4、设曲线L 的参数方程表示为),() () (βαψ?≤≤?? ?==x t y t x 则弧长元素=ds 。 5、设曲面∑为92 2 =+y x 介于0=z 及3=z 间的部分的外侧，则 =++?? ∑ ds y x )122 （ 。 6、微分方程x y x y dx dy tan +=的通解为 。 7、方程04) 4(=-y y 的通解为 。 8、级数 ∑∞ =+1) 1(1 n n n 的和为 。 二、选择题（每小题2分，共计16分） 1、二元函数),(y x f z =在),(00y x 处可微的充分条件是（ ） （A ）),(y x f 在),(00y x 处连续； （B ）),(y x f x '，),(y x f y '在),(00y x 的某邻域内存在； （C ） y y x f x y x f z y x ?'-?'-?),(),(0000当0)()(2 2→?+?y x 时，是无穷小； （D ）0) ()(),(),(lim 2 2 00000 =?+??'-?'-?→?→?y x y y x f x y x f z y x y x 。 2、设),()(x y xf y x yf u +=其中f 具有二阶连续导数，则2222y u y x u x ??+??等于（ ） （A ）y x +； （B ）x ； (C)y ； (D)0 。 3、设Ω：,0,12 2 2 ≥≤++z z y x 则三重积分???Ω = zdV I 等于（ ）
考试日期：2012年 院（系）别 班级 学号 姓名 成绩 一、填空题：（本题共5小题，每小题4分，满分20分，把答案直接填在题中横线上） 1、已知向量a 、b 满足0a b +=，2a =，2b =，则a b ?= ． 2、设ln()z x xy =，则32 z x y ?=?? ． 3、曲面2 2 9x y z ++=在点(1,2,4)处的切平面方程为 ． 4、设()f x 是周期为2π的周期函数，它在[,)ππ-上的表达式为()f x x =，则()f x 的傅里叶级数 在3x =处收敛于 ，在x π=处收敛于 ． 5、设L 为连接(1,0)与(0,1)两点的直线段，则 ()L x y ds +=? ． ※以下各题在答题纸上作答，答题时必须写出详细的解答过程，并在每张答题纸写上：姓名、学号、班级． 二、解下列各题：（本题共5小题，每小题7分，满分35分） 1、求曲线222 222 239 3x y z z x y ?++=??=+??在点0M (1,1,2)-处的切线及法平面方程． 2、求由曲面2222z x y =+及22 6z x y =--所围成的立体体积． 3、判定级数 1 1 (1)ln n n n n ∞ =+-∑是否收敛如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛 4、设(,)sin x z f xy y y =+，其中f 具有二阶连续偏导数，求2,z z x x y ?????． 5、计算曲面积分 ,dS z ∑ ??其中∑是球面2222 x y z a ++=被平面(0)z h h a =<<截出的顶部． 三、（本题满分9分）
抛物面22 z x y =+被平面1x y z ++=截成一椭圆，求这椭圆上的点到原点的距离的最大值与最小值． 四、 （本题满分10分） 计算曲线积分 (sin )(cos )x x L e y m dx e y mx dy -+-? ， 其中m 为常数，L 为由点(,0)A a 至原点(0,0)O 的上半圆周2 2 (0)x y ax a +=>． 五、（本题满分10分） 求幂级数13n n n x n ∞ =?∑的收敛域及和函数． 六、（本题满分10分） 计算曲面积分332223(1)I x dydz y dzdx z dxdy ∑ = ++-??， 其中∑为曲面2 2 1(0)z x y z =--≥的上侧． 七、（本题满分6分） 设()f x 为连续函数，(0)f a =，2 22()[()]t F t z f x y z dv Ω= +++???，其中t Ω 是由曲面z = 与z = 3 () lim t F t t + →． ------------------------------------- 备注：①考试时间为2小时； ②考试结束时，请每位考生按卷面→答题纸→草稿纸由表及里依序对折上交； 不得带走试卷。 高等数学A(下册)期末考试试题【A 卷】
高等数学下册试题及 答案解析
高等数学（下册）试卷（一） 一、填空题（每小题3分，共计24分） 1、 z =)0()(log 22>+a y x a 的定义域为D= 。 2、二重积分 ?? ≤++1 ||||22)ln(y x dxdy y x 的符号为 。 3、由曲线x y ln =及直线1+=+e y x ，1=y 所围图形的面积用二重积分表 示为 ，其值为 。 4、设曲线L 的参数方程表示为),() () (βαψ?≤≤?? ?==x t y t x 则弧长元素 =ds 。 5、设曲面∑为922=+y x 介于0=z 及3=z 间的部分的外侧，则 =++??∑ ds y x )122（ 。 6、微分方程 x y x y dx dy tan +=的通解为 。 7、方程04)4(=-y y 的通解为 。 8、级数∑ ∞ =+1 )1(1 n n n 的和为 。 二、选择题（每小题2分，共计16分） 1、二元函数),(y x f z =在),(00y x 处可微的充分条件是（ ） （A ）),(y x f 在),(00y x 处连续； （B ）),(y x f x '，),(y x f y '在),(00y x 的某邻域内存在； （C ） y y x f x y x f z y x ?'-?'-?),(),(0000当0)()(22→?+?y x 时，是无穷小； （D ）0) ()(),(),(lim 2 2 00000 =?+??'-?'-?→?→? y x y y x f x y x f z y x y x 。
2、设),()(x y xf y x yf u +=其中f 具有二阶连续导数，则2222y u y x u x ??+??等于 （ ） （A ）y x +； （B ）x ； (C)y ； (D)0 。 3、设Ω：,0,1222≥≤++z z y x 则三重积分???Ω =zdV I 等于（ ） （A ）4???20 20 1 3cos sin π π ???θdr r d d ； （B ）???20 1 2sin π π??θdr r d d ； （C ）? ??ππ ???θ20 20 1 3cos sin dr r d d ； （D ）? ??ππ???θ20 1 3cos sin dr r d d 。 4、球面22224a z y x =++与柱面ax y x 222=+所围成的立体体积V=（ ） （A ）?? -20 cos 20 2244π θθa dr r a d ； （B ）?? -20 cos 20 2244π θθa dr r a r d ； （C ）?? -20 cos 20 2248π θθa dr r a r d ； （D ）? ? - -22 cos 20 224π πθθa dr r a r d 。 5、设有界闭区域D 由分段光滑曲线L 所围成，L 取正向，函数 ),(),,(y x Q y x P 在D 上具有一阶连续偏导数，则?=+L Qdy Pdx )( （A ）????-??D dxdy x Q y P )( ； （B ）????-??D dxdy x P y Q )(；
一、填空题（共21分 每小题3分） 1．曲线???=+=0 12x y z 绕z 轴旋转一周生成的旋转曲面方程为12 2++=y x z ． 2．直线35422:1z y x L =--=-+与直线?? ? ??+=+-==t z t y t x L 72313:2的夹角为 2π． 3．设函数2 2232),,(z y x z y x f ++=，则= )1,1,1(grad f }6,4,2{． 4．设级数 ∑∞ =1 n n u 收敛，则=∞ →n n u lim 0 ． 5．设周期函数在一个周期内的表达式为???≤<+≤<-=, 0,10 ,0)(ππx x x x f 则它的傅里叶级数在π=x 处 收敛于 2 1π+． 6．全微分方程0d d =+y x x y 的通解为 C xy =． 7．写出微分方程x e y y y =-'+''2的特解的形式 x axe y =*． 二、解答题（共18分 每小题6分） 1．求过点)1,2,1(-且垂直于直线???=+-+=-+-0 20 32z y x z y x 的平面方程． 解：设所求平面的法向量为n ，则{}3,2,11 11121=--=k j i n (4分) 所求平面方程为 032=++z y x (6分) 2．将积分 ???Ω v z y x f d ),,(化为柱面坐标系下的三次积分，其中Ω是曲面 )(22 2y x z +-=及22y x z += 所围成的区域． 解： πθ20 ,10 ,2 :2 ≤≤≤≤-≤≤Ωr r z r (3分) ??? Ω v z y x f d ),,(? ??-=2 210 20 d ),sin ,cos (d d r r z z r r f r r θθθπ (6分)
大一第二学期高等数学期中考试试卷 一、填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分），请将合适的答案填在空中。 1、已知球面的一条直径的两个端点为()532，，-和()314-，，，则该球面的方程为______________________ 2、函数ln(u x =在点(1,0,1)A 处沿点A 指向点(3,2,2)B -方向的方向导数为 3、曲面22z x y =+与平面240x y z +-=平行的切平面方程为 4、 22 22222 (,)(0,0) (1cos())sin lim ()e x y x y x y xy x y +→-+=+ 5、设二元函数y x xy z 3 2 +=，则 =???y x z 2_______________ 二、选择填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分）。以下每道题有四个答案，其中只有一个答案是正确的，请选出合适的答案填在空中，多选无效。 1、旋转曲面1222=--z y x 是（ ） （A ）．xOz 坐标面上的双曲线绕Ox 轴旋转而成； （B ）．xOy 坐标面上的双曲线绕Oz 轴旋转而成； （C ）．xOy 坐标面上的椭圆绕Oz 轴旋转而成； （D ）．xOz 坐标面上的椭圆绕Ox 轴旋转而成． 2、微分方程23cos 2x x x y y +=+''的一个特解应具有形式（ ） 其中3212211,,,,,,d d d b a b a 都是待定常数. (A).2 12211sin )(cos )(x d x b x a x x b x a x ++++; (B).322 12211sin )(cos )(d x d x d x b x a x x b x a x ++++++; (C).322 12211)sin cos )((d x d x d x b x a b x a x +++++; (D).322 111)sin )(cos (d x d x d x x b x a x +++++ 3、已知直线π 22122 : -= += -z y x L 与平面4 2:=-+z y x ππ,则 （ ） (A).L 在π内; (B).L 与π不相交; (C).L 与π正交; (D).L 与π斜交. 4、下列说法正确的是（ ） (A) 两向量a 与b 平行的充要条件是存在唯一的实数λ，使得b a λ=； (B) 二元函数()y x f z ,=的两个二阶偏导数22x z ??,22y z ??在区域D 内连续，则在该区 域内两个二阶混合偏导必相等；
高等数学期末考试试卷1 一、单项选择题（6×3分） 1、设直线，平面，那么与之间的夹角为( ) A.0 B. C. D. 2、二元函数在点处的两个偏导数都存在是在点处可微的（） A.充分条件 B.充分必要条件 C.必要条件 D.既非充分又非必要条件 3、设函数，则等于（） A. B. C． D. 4、二次积分交换次序后为（） A. B. C. D. 5、若幂级数在处收敛，则该级数在处（） A.绝对收敛 B.条件收敛 C.发散 C.不能确定其敛散性 6、设是方程的一个解，若，则在处（）
A.某邻域内单调减少 B.取极小值 C.某邻域内单调增加 D.取极大值 二、填空题（7×3分） 1、设＝（4，-3，4），＝（2，2，1），则向量在上的投影 ＝ 2、设，，那么 3、D为，时， 4、设是球面，则＝ 5、函数展开为的幂级数为 6、＝ 7、为通解的二阶线性常系数齐次微分方程为 三、计算题(4×7分) 1、设，其中具有二阶导数，且其一阶导数不为 1，求。 2、求过曲线上一点（1，2，0）的切平面方程。 3、计算二重积分，其中 4、求曲线积分，其中是沿曲线由点（0，1）到点（2，1）的弧段。 5、求级数的和。
四、综合题(10分) 曲线上任一点的切线在轴上的截距与法线在轴上的截距之比为3，求此曲线方程。 五、证明题 (6分) 设收敛，证明级数绝对收敛。 一、单项选择题（6×3分） 1、 A 2、 C 3、 C 4、 B 5、 A 6、 D 二、填空题（7×3分） 1、2 2、 3、 4 、 5、 6、0 7、 三、计算题(5×9分) 1、解：令则，故 2、解：令 则 所以切平面的法向量为：
x 一、填空题 《高等数学(下册)》第八章练习题 1.设z sin( x y)，则dz 2.设z cos( x2y ), ，则 (1, ) 2 3.函数z 6( x y) x 2y 2的极值点为 4.设z e xy ，则dz 5.设 x ln z ，则 z y zx 二、选择题 1、、 f ( 、y) x 3y 3 3 x2 3 y 2、( ) A. (2、2) B. (0、0) C. (2、0) D. (0 、2) 2、f ( x, y) 在点(x ,y )处偏导数f x( x 0 , y0 )、 的( ). f y( x0 , y0 ) 存在是f ( x, y) 在该点连续 (a)充分条件，(b)必要条件，(c)充要条件，(d)既非充分条件又非必要条件。 3、设f ( x, y) ln( x y ) ，则f 2 x (1,1 、. （A） 1、 3 三、计算题 y 2 x 2 （B）1、 3 （C） 5、 6 （D） 5 . 6 、、 z x 3 、( 、、1 、、 2、设z z( x, y) 是由方程F ( x z, y z) 0 确定的隐函数，F 具有一阶连续偏导数，且F F 0, 其中u x z, v y z, 求z,z. u v x y 3、求曲面x2y2xz z2 3 在点(1,2,1) 处的切平面及法线方程。 4、设u e x2y2z2,而z x2sin y,求 u . x 5、求曲线x e t, y e t, z t ,对应于t 0 点处的切线和法平面方程。 6、求函数z x 2y(4 x y) 在闭域x 0, y 0, x y 4 上的最大值及最小值。 x
高等数学A(下册)期末考试试题【A 卷】 考试日期：2009年 1、求曲线222222239 3x y z z x y ?++=??=+??在点0M (1,1,2)-处的切线及法平面方程． 2、求由曲面2222z x y =+及226z x y =--所围成的立体体积． 3、判定级数 1 1 (1) ln n n n n ∞ =+-∑是否收敛？如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？ 4．设(,)sin x z f xy y y =+，其中f 具有二阶连续偏导数，求2, z z x x y ?????． 5. 计算曲面积分 ,dS z ∑ ??其中∑是球面2 222x y z a ++=被平面(0)z h h a =<<截出的顶部． 6. 抛物面22z x y =+被平面1x y z ++=截成一椭圆，求这椭圆上的点到原点的距离的最大值与最小值． 7. 计算曲面积分332223(1)I x dydz y dzdx z dxdy ∑ =++-??，其中∑为曲面221(0)z x y z =--≥的上侧 8. 设 () f x 为连续函数， (0)f a =， 222()[()]t F t z f x y z dv Ω=+++???，其中 t Ω是由曲 面 z = 与 z =所围成的闭区域，求 3 () lim t F t t + →． 高等数学A(下册)期末考试试题【A 卷】 参考解答与评分标准 2009年6月 1、解：方程两边对x 求导，得323dy dz y z x dx dx dy dz y z x dx dx ?+=-????-=-??， 从而54dy x dx y =- ， 74dz x dx z = …………..【4】 该曲线在 ()1,1,2-处的切向量为571 (1, ,)(8,10,7).488 T ==…………..【5】 故所求的切线方程为 112 8107 x y z -+-== ………………..【6】 法平面方程为 ()()()81101720x y z -+++-= 即 810712x y z ++= (7)
高等数学（II ）试题（A ） 一 填空 （每小题3分 共15分 ） 1 曲面 221z x y =+- 在点 (2,1,4)的切平面的方程为___________。 2 设隐函数 (,) z z x y =是由方程 2 z y e x z e ++=确定的，则 _________0,0 z x y x ?===?。 3 设∑是平面 1x y z + +=在第一卦限部分， 则 ()__________x y z dS ∑ ++=??。 4 设 ()f x 周期为2π，且 ,0(),0 x e x f x x x π π?≤<=? -≤
《高等数学》 一.选择题 1. 当0→x 时，)1ln(x y +=与下列那个函数不是等价的 （ ） A)、x y = B)、x y sin = C)、x y cos 1-= D)、1-=x e y 2. 函数f(x)在点x 0极限存在是函数在该点连续的（ ） A )、必要条件 B )、充分条件 C )、充要条件 D )、无关条件 3. 下列各组函数中，)(x f 和)(x g 不是同一函数的原函数的有（）. A)、()()() 222 1 ,21)(x x x x e e x g e e x f ---=-= B) 、(( )) ()ln ,ln f x x g x x ==- C)、()()x x g x x f --=-=1arcsin 23,12arcsin )( D)、()2 tan ,sec csc )(x x g x x x f =+= 4. 下列各式正确的是（） A ）、2ln 2x x x dx C =+? B ）、sin cos tdt t C =-+? C ）、 2arctan 1dx dx x x =+? D ）、2 11 ()dx C x x -=-+? 5. 下列等式不正确的是（）. A ）、 ()()x f dx x f dx d b a =??????? B ）、()()()[]()x b x b f dt x f dx d x b a '=???? ??? C ）、()()x f dx x f dx d x a =??????? D ）、()()x F dt t F dx d x a '=???? ??'? 6.0 ln(1)lim x x t dt x →+=?（） A ）、0 B ）、1 C ）、2 D ）、4 7. 设bx x f sin )(=，则=''?dx x f x )(（） A ）、 C bx bx b x +-sin cos B ） 、C bx bx b x +-cos cos
高等数学试题 一、单项选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分） 1．设f(x)=lnx ，且函数?(x)的反函数1?-2(x+1)(x)= x-1，则[]?=f (x)（ ） ....A B C D x-2x+22-x x+2 ln ln ln ln x+2x-2x+22-x 2．()002lim 1cos t t x x e e dt x -→+-=-?（ ） A ．0 B ．1 C ．-1 D ．∞ 3．设00()()y f x x f x ?=+?-且函数()f x 在0x x =处可导，则必有（ ） .lim 0.0.0.x A y B y C dy D y dy ?→?=?==?= 4．设函数,131,1 x x x ?≤?->?22x f(x)=，则f(x)在点x=1处（ ） A.不连续 B.连续但左、右导数不存在 C.连续但不可导 D. 可导 5．设C +?2 -x xf(x)dx=e ，则f(x)=（ ） 2222-x -x -x -x A.xe B.-xe C.2e D.-2e 二、填空题（本大题共10小题，每空3分，共30分） 请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 6.设函数f(x)在区间[0，1]上有定义，则函数f(x+14)+f(x-14 )的定义域是__________. 7．()()2lim 1_________n n a aq aq aq q →∞ ++++<= 8．arctan lim _________x x x →∞= 9.已知某产品产量为g 时，总成本是2 g C(g)=9+800 ，则生产100件产品时的边际成本100__g ==MC 10.函数3()2f x x x =+在区间[0，1]上满足拉格朗日中值定理的点ξ是_________. 11.函数3229129y x x x =-+-的单调减少区间是___________. 12.微分方程3'1xy y x -=+的通解是___________. 13. 设2ln 2 ,6a a π==?则___________. 14.设2cos x z y =则dz= _______. 15.设{}2(,)01,01y D D x y x y xe dxdy -=≤≤≤≤=??，则_____________. 三、计算题（一）（本大题共5小题，每小题5分，共25分） 16.设1x y x ??= ??? ，求dy.
高等数学(下册)期末考试试题 考试日期：2012年 院（系）别 班级 学号 姓名 成绩 一、填空题：（本题共5小题，每小题4分，满分20分，把答案直接填在题中横线上） 1、已知向量a 、b 满足0a b +=，2a =，2b =，则a b ?= ． 2、设ln()z x xy =，则32 z x y ?=?? ． 3、曲面2 2 9x y z ++=在点(1,2,4)处的切平面方程为 ． 4、设()f x 是周期为2π的周期函数，它在[,)ππ-上的表达式为()f x x =，则()f x 的傅里叶级数 在3x =处收敛于 ，在x π=处收敛于 ． 5、设L 为连接(1,0)与(0,1)两点的直线段，则 ()L x y ds +=? ． ※以下各题在答题纸上作答，答题时必须写出详细的解答过程，并在每张答题纸写上：姓名、学号、班级． 二、解下列各题：（本题共5小题，每小题7分，满分35分） 1、求曲线222 222 239 3x y z z x y ?++=??=+??在点0M (1,1,2)-处的切线及法平面方程． 2、求由曲面2 2 22z x y =+及22 6z x y =--所围成的立体体积． 3、判定级数 1 1 (1)ln n n n n ∞ =+-∑是否收敛？如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？ 4、设(,)sin x z f xy y y =+，其中f 具有二阶连续偏导数，求2,z z x x y ?????．
5、计算曲面积分 ,dS z ∑ ??其中∑是球面2222 x y z a ++=被平面(0)z h h a =<<截出的顶部． 三、（本题满分9分） 抛物面2 2 z x y =+被平面1x y z ++=截成一椭圆，求这椭圆上的点到原点的距离的最大值与最小值． 四、 （本题满分10分） 计算曲线积分 (sin )(cos )x x L e y m dx e y mx dy -+-? ， 其中m 为常数，L 为由点(,0)A a 至原点(0,0)O 的上半圆周2 2 (0)x y ax a +=>． 五、（本题满分10分） 求幂级数1 3n n n x n ∞ =?∑的收敛域及和函数． 六、（本题满分10分） 计算曲面积分332 223(1)I x dydz y dzdx z dxdy ∑ = ++-??， 其中∑为曲面2 2 1(0)z x y z =--≥的上侧． 七、（本题满分6分） 设()f x 为连续函数，(0)f a =，2 22()[()]t F t z f x y z dv Ω= +++???，其中t Ω 是由曲面z = 与z = 3 () lim t F t t + →．
南京邮电大学2010/2011学年第二学期 《高等数学A 》(下）期末试卷A 答案及评分标准 一、选择题（本大题分5小题，每题3分，共15分） 1、交换二次积分 ? ? x e dy y x f dx ln 0 1 ),(的积分次序为 （ c ） (A ) ? ? x e dx y x f dy ln 0 1 ),( (B ) ??1 ),(dx y x f dy e e y (C ) ? ? e e y dx y x f dy ),(1 (D ) ?? e x dx y x f dy 1 ln 0 ),( 2、锥面22y x z +=在柱面 x y x 22 2≤+内的那部分面积为 （D ） (A ) ? ? - θπ π ρρθcos 20 22 d d (B ) ? ?- θπ π ρ ρθcos 20 22 2 d d (C ) ? ? - θπ π ρρθcos 20 2 22 2 d d (D ) ??- θ π πρρθcos 202 2 2d d 3、若级数∑∞ =-1 )2(n n n x a 在2-=x 处收敛，则级数
∑∞ =--1 1 )2(n n n x na 在5=x （B ） (A ) 条件收敛 (B ) 绝对收敛 (C ) 发散(D ) 收敛性不确定 4、下列级数中收敛的级数为 （ A ） (A ) ∑∞ =-1 )13(n n n n (B ) ∑∞ =+121n n n (C ) ∑∞ =+111sin n n (D ) ∑∞ =13! n n n 5、若函数)()2()(2 222x axy y i xy y x z f -+++-=在复平 面上处处解析，则实常数a 的值 为 （ c ） (A ) 0 (B ) 1 (C ) 2 (D ) -2